ELEMENTY KOMBINATORYKI

Opracowała: Jolanta Chadaj

Reguła mnożenia

Przykład 1.

Rzucamy trzy razy monetą. Ile jest wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia?

Rozwiązanie:

Możliwe wyniki to np.: (O, O, R), (O,R,R), (R,O,R), (R,R,R)...

Zatem:

W tej sytuacji mamy:2⋅2⋅2=8 możliwości.

W I rzucie może

wypaść o lub r, czyli

są 2 możliwości.

W II rzucie również

może wypaść o lub r

czyli są 2 możliwości.

W III rzucie również

może wypaść o lub r,

czyli są 2 możliwości.

Reguła mnożenia

Możemy wykonać dwie czynności. Pierwsza czynność kończy się

jednym z m wyników. Druga czynność, niezależnie od wyniku

pierwszej czynności, kończy się jednym z n wyników.

Wykonujemy kolejno obie czynności. Wynikiem tak

wykonanych czynności jest para wyników:

wynik pierwszej czynności, wynik drugiej czynności.

Możemy wówczas otrzymać jeden z m · n wyników.

Reguła mnożenia

Rzucamy 10 razy monetą. Ile jest możliwych wyników?

Rozwiązanie:

W każdym rzucie możemy otrzymać 2 wyniki: O albo R.

Powiemy: W pierwszym rzucie mamy 2 możliwości

i w drugim rzucie mamy 2 możliwości i w trzecim rzucie

mamy 2 możliwości... i w dziesiątym rzucie mamy 2 możliwości.

Zatem łącznie mamy: 2⋅2⋅2⋅2⋅2 2⋅2⋅2⋅2⋅2=1024 możliwości.

Reguła mnożenia

Rzucamy 3 razy sześcienną kostką do gry.

Ile jest możliwych wyników?

Rozwiązanie:

W każdym rzucie możemy otrzymać jeden z sześciu

wyników. Powiemy:

W pierwszym rzucie mamy 6 możliwości i w drugim rzucie

mamy 6 możliwości i w trzecim rzucie mamy 6 możliwości.

Zatem łącznie mamy:6⋅6⋅6=216 możliwości.

Reguła mnożenia

Ze wsi A do wsi B prowadzi 5 ścieżek przez las. Na ile

sposobów można odbyć spacer A−B−A tak, aby

spacer ze wsi B do wsi A odbyć inną ścieżką niż ze

wsi A do wsi B?

A. 625 B. 5+4 C. 45 D. 5⋅4

Reguła mnożenia Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech

jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny.

Oba pasy zewnętrzne mają być tego samego koloru,

a pas znajdujący się między nimi ma być innego koloru. Liczba

różnych takich flag, które można uszyć, mając do dyspozycji

tkaniny w 10 kolorach, jest równa

A. 100 B. 99 C. 90 D. 19

Reguła mnożenia

Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych,

których obie cyfry są mniejsze od 5 jest

A. 16 B. 20

C. 25 D. 30

Reguła mnożenia

Liczba sposobów, na jakie Ala i Bartek mogą

usiąść na dwóch spośród pięciu miejsc

w kinie, jest równa

A. 25 B. 20

C. 15 D. 12

Reguła dodawania

Możemy wykonać dwie czynności. Pierwsza z nich kończy

się jednym z m wyników,

druga kończy się jednym z n wyników.

Żaden wynik pierwszej czynności nie jest jednocześnie

wynikiem drugiej czynności.

Wykonujemy jedną z tych czynności.

Możemy wówczas otrzymać jeden z m + n wyników.

Reguła dodawania

Mamy 23 barany i 22 owce.

Pytanie na ile sposobów możemy wybrać jedno ze

zwierząt?

Odpowiedź: 45

Dlaczego: wybieramy owcę lub wybieramy barana.

Jeśli spójnik „lub” to dodajemy

Reguła mnożenia i dodawania

Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych takich,

że w ich zapisie dziesiętnym występuje jedna

cyfra parzysta i trzy cyfry nieparzyste.

Czyli jest 2375 takich liczb

pnnn npnn nnpn nnnp

4·5·5·5 5·5·5·5 5·5·5·5 5·5·5·5

Zadanie.

Oblicz, ile jest liczb naturalnych

trzycyfrowych podzielnych przez 5 i mających

trzy różne cyfry.

Odp. 9·8+8·8=136

Dziękuję za uwagę