elettrotecnica - moodle@units · elettrotecnica ingegneria ... stefano pastore dipartimento di...
TRANSCRIPT
ELETTROTECNICAIngegneria Industriale
− POTENZA−
Stefano Pastore
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Corso di Elettrotecnica (043IN)
a.a. 2013-14
• Se, per qualsiasi valore di t, valgono le seguenti relazioni, si ha che il componente è (convenzione normale):
• Dissipativo: p(t) ≥ 0
Classificazione dei componentiin base alla potenza
• Strettamente attivo: p(t) ≤ 0
• Inerte: p(t) = 0
• Attivo: altrimenti
2
• Consideriamo un bipolo di impedenza z sottoposto alle seguente tensione e corrente e calcoliamo la potenza p(t)
Potenza istantanea di un bipolo inregime sinusoidale
A )cos()(
V )cos()(
IM
VM
tIti
tVtv
ϕωϕω
+=+=
3
[ ]
)2cos(2
)cos(2
)2cos()cos(2
)cos()cos()cos()cos(
)()()(
IVMM
IVMM
IVIVMM
IVMM
IMVM
tIV
IV
tIV
ttIVtItV
titvtp
ϕϕω
ϕϕ
ϕϕωϕϕ
ϕωϕωϕωϕω
+++
+−=
=+++−=
=++==++=
==
• In alternativa, per il calcolo della potenza istantanea si possono utilizzare i fasori
Potenza istantanea di un bipolo inregime sinusoidale (2)
I
V
jM
jM
eIItieVVtv
ϕ
ϕ
=→=→
)()(
[ ] [ ])()()( tjtj eIeVtitvtp ωω =ℜℜ== [ ] [ ][ ] [ ][ ]
[ ] [ ]
)2cos(2
)cos(2
2
1
2
14
12
1
2
1)()()(
2*
2****2
**
IVMM
IVMM
tj
tjtj
tjtjtjtj
tjtj
tIV
IV
eIVIV
eIVIVIVeIV
eIeIeVeV
eIeVtitvtp
ϕϕω
ϕϕ
ω
ωω
ωωωω
ωω
+++
+−=
=ℜ+ℜ=
=+++=
=++=
=ℜℜ==
−
−−
• Resistenza:
• Condensatore:
Potenza istantanea di un bipolo inregime sinusoidale (3)
2/2/1 πϕϕπϕ +=→−=→= IV
[ ] W)22cos(12
)(
0
VMM
MM
VI
tIV
tp
IRVIRV
ϕω
ϕϕϕ
++=
==→=→=
• Induttore:
W)2/22cos(2
1)(
2/2/
2 πϕωω
ω
πϕϕπϕω
++=
=
+=→−=→=
VM
MM
VI
tCVtp
CVI
ICj
V
W)2/22cos(2
1)(
2/2/
2 πϕωω
ωπϕϕπϕω
++=
=+=→=→=
IM
MM
IV
tLItp
LIVILjV
• Calcoliamo la potenza attiva come media della potenza istantanea su un multiplo di un semi-periodo T/2 (T = 2π/ω)
Potenza attiva di un bipolo
MM
IVMM
t
tAB
IV
IVp
ttP
B
A
ϕ
ϕϕττ
=
=−=−
= ∫
[W] cos
)cos(2
d)(1
• Resistenza: ϕ = 0; p(t) ≥ 0 � P = VM IM / 2
• Condensatore: ϕ = −π/2 � P = 0
• Induttore: ϕ = π/2 � P = 0
IVAB , kT
ktt ϕϕϕ
ϕ
−=>>=−
=
1,2
:dove
[W] cos2
Potenza attiva e apparente
• La potenza media è chiamata “attiva”. Rappresenta l’energia convertibile in lavoro. Per un bipolo con impedenza z (fase ϕ) si ha:
[W] cos2
ϕMM IVP =
7
• Dove:
• È la potenza apparente
• cosϕ: è il fattore di potenza
[VA] 2
MMapp
IVP =
• La potenza dipende dal quadrato della tensione o della corrente. Introduciamo perciò la media del quadrato di una di queste due grandezze
Valore efficace
∫=T
eff vT
V ττ
1
d)(1 2
• In regime sinusoidale ciò corrisponde a
8
∫=T
eff iT
I ττ d)(1 2
MeffMeff IIVV2
1,
2
1 ==
• La potenza attiva e quella apparente si esprimono quindi con i valori efficaci come
• Alimentando un resistore con una sorgente sinusoidale a tensione Veff, ottengo la stessa dissipazione di potenza che avrei se lo
Valore efficace (2)
effeffapp
effeff
IVP
IVP
=
= ϕcos
dissipazione di potenza che avrei se lo alimentassi con una sorgente costante sempre a valore Veff
• Se non altrimenti specificato, d’ora in poi il modulo dei fasori sarà formato con il valore efficace della funzione sinusoidale
9
{ }tjjeff
jMM
eXtxeXX
eX
XtXtx
ωϕ
ϕϕω
2)(,
2),cos()(
ℜ==
=+=
• Si definisce come
• Potenza attiva:
Potenza complessa
ϕϕ
ϕϕ
sincos
)(*
IVjIV
eIVIVP IVjc
+=
=== −
[W] cos}{ ϕIVPP =ℜ=
• Potenza reattiva
• Potenza apparente
10
[W] cos}{ ϕIVPP c =ℜ=
[VAR] sin}{ ϕIVPQ c =ℑ=
[VA] IVPP capp ==
Potenza complessa neibipoli elementari
• Resistenza
• Condensatore
0
2
2
=
====
QR
VIRIVPPc
• Induttore
0
2
=
−=−=→−==
P
VCIVQIVjjQPc ω
0
2
=
==→==
P
ILIVQIVjjQPc ω
•
•
Espressioni dellapotenza complessa
IzV
IjXIRIzIIzIVPc
=
+====222**
( )
22
2
22
2
*
2
**
/
/
XR
XVj
XR
RV
zVIz
VzVVIVPc
++
+=
=
====
•
•
12
2222 XRVj
XRV
++
+=
VyI
VjBVGVyVVyIVPc
=
−====222****
( )
22
2
22
2
2
**
/
/
BG
BIj
BG
GI
yIV
y
IIyIIVPc
+−+
+=
=
====
• Consideriamo la potenza complessa e le potenze attiva e reattiva. Il triangolo formato è simile al triangolo dell’impedenza.
Triangolo delle potenze
• Si possono applicare il teorema di Pitagora e le formule della trigonometria
13
P
Q
QPPapp
=
+=
ϕtg
222
• Si possono ricavare dalla potenza istantanea le seguenti espressioni che saranno utili nello studio dei sistemi trifase
Potenza istantanea per il trifase
[ ])22cos(1cos)( MM tIV
tp ϕωϕ +++=
14
[ ]
[ ] )22sin()22cos(1
)22sin(sin2
)22cos(1cos2
)(
VV
VMM
VMM
tQtP
tIV
tIV
tp
ϕωϕω
ϕωϕ
ϕωϕ
++++=
=++
+++=
• Facciamo il bilancio delle potenze complesse in un circuito in regime sinusoidale. Da Tellegen, risulta che
Teorema di Boucherot
0,0
0*
∑∑
∑==⇒
=== T
kckCtot
QP
PP IV
• Nel computo delle potenze, si deve prestare attenzione alla convenzione usata per i versi delle tensioni e delle correnti dei componenti
15
0,0 ∑∑ ==⇒k
kk
k QP
• Il teorema di Boucherot può essere utilizzato per caratterizzare da un punto di vista energetico un bipolo
• Nel caso di un risonante serie, considerato che la potenza reattiva di un condensatore è negativa mentre
Teorema di Boucherot (2)
un condensatore è negativa mentre quella di un induttore è positiva, il bipolo sarà resistivo-induttivo o resistivo-capacitivo a seconda del componente reattivo che ha la maggiore potenza reattiva in valore assoluto
16
=+=
Rz
LCz
PP
QQQ
• Consideriamo il seguente circuito di alimentazione di un carico zu induttivo tramite una linea di trasmissione con impedenza zl
Rifasamento totale diun carico induttivo
• Calcoliamo le perdite sulla linea
• Per minimizzare Pl si deve portare ϕu a zero
17
( )22
22
cos
2
cos
2
uu
ull
uuu
ll
V
PRP
IVP
IRP
ϕϕ=⇒
==
• Si inserisce quindi un condensatore C in parallelo per compensare la potenza reattiva Qu del carico (e per annullare la ℑ{ yu + yC})
Rifasamento totale diun carico induttivo (2)
18
ωω
πω
ω
uu
u
u
u
u
uuuC
BCCjy
Vf
Q
V
QC
QVCQQ
−=→=+ℑ
==
=+−→=+
0}{
2
00
22
2