empezaremos por el Álgebra lineal...
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Empezaremos por el Álgebra lineal porque:
• Las soluciones de una ecuación diferencial, como la ecuación de Schroedinger, son
base de algún espacio vectorial.
• Las operaciones de simetría son transformaciones lineales de R3 R3.
• El concepto de representación irreducible une al Algebra Lineal con la Teoría de
Grupos, ayudándonos a conocer “cualitativamente” a las funciones de onda.
Laura Gasque 2016-2 1
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Conceptos que tenemos que recordar:
• Espacios vectoriales
• Subespacios
• Bases
• Dependencia e independencia lineal
• Matrices
• Con su extraña multiplicación
Laura Gasque 2016-2 2
PURO REPASO
Súper rápido
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ESPACIO VECTORIAL (V) = Un conjunto de objetos con una operación
binaria (“suma”) definida entre ellos y un “producto escalar” definido entre uno de
sus elementos y un elemento de un Campo K (por. ej. los números reales), tal que:
• Para la operación binaria, V V V se cumple:
• Conmutatividad
• Asociatividad
• Existencia del elemento neutro para esa operación
• Existencia de los inversos para todos los elementos
• Para el producto escalar K x V V se cumple:
• Asociatividad a(bu) = (ab)u
• Existencia del neutro para el producto escalar
• Distributividad del producto escalar sobre la suma vectorial (escribirlo)
• Distributividad de la suma escalar sobre el producto escalar (escribirlo)
Laura Gasque 2016-2 3
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Ejemplos muy conocidos
• Los “vectores” en R2 (parejas ordenadas de números reales)
• R2 = (a,b)a,b R
• Los “vectores” en R3 (ternas ordenadas de números reales)
• R3 = (a,b,c)a,b,c R
• i.e. las “flechas” de la física
Laura Gasque 2016-2 4
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Otros ejemplos más interesantes
• Las funciones (continuas en un intervalo): f C (a,b)
• La suma entre ellas . . .
• La multiplicación de ellas por números reales . . .
• ¿Cumplen con las propiedades de la definición de Espacio Vectorial?
• Revisen la definición . . . ESPACIO VECTORIAL (V) = Un conjunto de objetos con una o...
Laura Gasque 2016-2 5
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Subespacios Vectoriales
• Definición: Un subconjunto U de un espacio vectorial V es un
subespacio de V si él mismo es un espacio vectorial.
• Criterio del subespacio (teorema)
• Un subconjunto de V es un E.V. si es cerrado bajo la suma vectorial y
bajo el producto escalar.
Laura Gasque 2016-2 6
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¿Son espacios vectoriales los siguientes conjuntos de
vectores en R2?
• V1 = (0,0), (1,1),(2,2), (3,3)
• V2 = (a,a) aR
• V3 = (a,2a) aR
• V4 = (a, a+1) aR
• ¿podemos hacer una generalización geométrica?Laura Gasque 2016-2 7
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Ejemplos con funciones• P = el conjunto de todos los polinomios:
P(x) = anxn + an-1x
n-1 + an-2xn-2 . . . . + a1x + ao
¿Son funciones continuas?
¿Cumplen con las propiedades de la definición de Espacio Vectorial?
¿Este conjunto (P) satisface el criterio del subespacio?
Un subconjunto de V es un E.V. si es cerrado bajo la suma vectorial y bajo el producto escalar.
• Otro ejemplo
P3= P(x) = a3x
3 + a2x2 + a1x + ao a R P3 P C (a,b)
¿Cumple con el criterio
del subespacio?
Laura Gasque 2016-2 8
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¿Cumple con el criterio
del subespacio?
Más ejemplos de subespacios de funciones• f(x) = sen x; g(x) = cos x f: R R g: R R
• T =asenx + bcosx a, b R
• f(x) = sen x; p(x) = anxn + an-1x
n-1 + an-2xn-2+ . . . . + ax +a0
f: R R g: R R
TP = a senx + b p(x) a, b R¿Cumple con el criterio
del subespacio?
Laura Gasque 2016-2 9
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Dependencia e independencia lineal
Laura Gasque 2016-2 10
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Dependencia lineal
• Lenguaje formal: Un conjunto de n vectores vi es linealmente
DEPENDIENTE si existe un conjunto de ai (distinto de ai =0 i) tal que
• a1v1 + a2v2 + a3v3 + . . . . + anvn = 0
• Lenguaje común: Un conjunto de vectores es linealmente DEPENDIENTE,
si cualquiera de ellos puede expresarse como una combinación lineal de los
demás.
Laura Gasque 2016-2 11
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Independencia lineal
• Lenguaje formal: Un conjunto de vectores vi es linealmente independiente si
la única posibilidad de que
a1v1 + a2v2 + a3v3 + . . . . + anvn = 0 es que ai = 0 i
• Lenguaje común: Un conjunto de vectores vi es linealmente independiente si
no es posible expresar a cualquiera de ellos como combinación lineal de los
demás.
Laura Gasque 2016-2 12
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Ejemplos (relevantes) de dependencia e
independencia lineal con vectores en C
• Sean 1, 2, y 3 funciones C
• 1 = 1 + 2 + 3
• 2 = 21 + 2 + 3
• 3 = 21 - 2 - 3
• ¿ 1 2 y3 son l.d. ó l.i.?
• Sean 1, 2, y 3 funciones C
• 1 = 1 + 2 + 3
• 2 = 21 - 2 - 3
• 3 = 2 - 3
• ¿ 1 2 y3 son l.d. ó l.i.?
Laura Gasque 2016-2 13
Tarea 1
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Base de un espacio vectorial: Definición:
• Un subconjunto S V es una base de V si:
• Es linealmente independiente
• Genera a todo el espacio vectorial
Laura Gasque 2016-2 14
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Ejemplos en Rn
• R3 = (a,b,c) a,b,c R
• Base canónica (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)
• ¿qué otra?
• Probar que (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1) es una base para R3
Laura Gasque 2016-2 15
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Anti-ejemplos para bases en R3
• ¿Por qué (1,0,0), (0, 2, 0) no es
una base de R3
• ¿Por qué (1,1,1), (2,1,0) (0,-1,-2)
no es una base de R3
Laura Gasque 2016-2
16
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Ejemplos de bases en un espacio de funciones
• Series de Taylor (combinaciones lineales de polinomios)
• Series de Fourier (combinaciones lineales de senos y cosenos)
Laura Gasque 2016-2 17
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Ortogonalidad de vectores
Laura Gasque 2016-2 18
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Producto interior o producto escalar:
Definición
• Es una operación binaria entre vectores cuyo producto es un escalar, que
debe cumplir las siguientes propiedades:
• uv = vu v, u V
• u (v+w) = (u v) + (u w) v, u, w V
• u v = (u v) = u v v, u V, K
• uu 0 v V, uu = 0 si y solo si u= 0.
Laura Gasque 2016-2 19
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Producto escalar para vectores en Rn
• Ya se lo saben
• Es fácil ver que cumple con las propiedades
Laura Gasque 2016-2 20
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Producto escalar para funciones
Sean 𝑓 𝑦 𝑔 funciones continuas de Rn Rn
𝑓𝑔 = 𝑎
𝑏𝑓𝑔 𝑑𝑥
¿Cumple con las propiedades?
Laura Gasque 2016-2 21
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Definición de ortogonalidad
• Dos vectores son ortogonales si
• uv = 0
• Tarea 1: Traer un ejemplo de dos funciones ortogonales en un intervalo
Laura Gasque 2016-2 22
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TRANSFORMACIONES LINEALES
• T
• vi T(vi)
• V1 V2
Laura Gasque 2016-2 23
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Definición
• Una Transformación Lineal de un V1 a un V2, es una función A que asocia a
cada vector de x V1 un solo vector A(x) V2 de tal forma que
• A(x1 + x2) = A(x1) + A(x2)
• A(x) = A(x)
xV, R
Laura Gasque 2016-2 24
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Ejemplos
f : R R f(x) = senx
• ¿es lineal?
• f(x+y) = f(x)+ f(y) ¿ ?
• sen(x+y) senx + seny
• NO es lineal
: g : R R g(x) = 3x +2
• ¿es lineal?
• g(x) = 3x +2
• g(y) = 3y +2
• g(x+y) = g(x) + g(y) ??
• g(x+y) = 3(x+y) +2 = 3x +3y +2
• g(x)+g(y) = 3x+2+3y+2 = 3x + 3y +4
• NO es lineal Laura Gasque 2016-2 25
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Otro ejemplo
T : R2 R2 vi = (xi, yi)
T(x,y) = (x+y, 2x) ¿es lineal?
1ª Parte: ¿ T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) ?
• T(v1 + v2) = T[(x1,y1) + (x2,y2)]
• T(x1 + x2, y1 +y2)
• = (x1+x2+ y1+y2 , 2x1+2x2)
• T(v1) + T(v2) = T(x1,y1)+ T(x2,y2)
• (x1+y1, 2x1) +(x2+y2, 2x2) =
• (x1+y1 + x2+y2 , 2x1+ 2x2 )
Laura Gasque 2016-2 26
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• Segunda parte: ¿ T(vi) = T(vi) ?
• ¿ T[(x1,y1)] = [T(x1, y1)]?
• T(x1, y1)] = (x1 + y1 , 2x1)
• (x1 + y1 , 2x1) = (x1 + y1 , 2x1)
• Sí es lineal
Laura Gasque 2016-2 27
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Algunos de los ejemplos que nos van a interesar
Os : R3 R3 v = (x, y, z)
C2(x, y, z) = (-x, -y, z) rotación alrededor del eje z
xz (x, y, z) = (x, -y, z) reflexión a través del plano xz
i(x, y, z) = (-x, -y, -z) inversión
E(x, y, z) = (x, y, z) identidad
Puede demostrarse que todas son Transformaciones Lineales
Laura Gasque 2016-2 28
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Dos maneras de caracterizar a una
T.L : Rn RN
• Definiendo el efecto de la
transformación sobre un vector
cualquiera.
• T (x, y, z) = (x´, y´, z´)
• Donde x´= f(x, y, z)
y´= g(x, y, z)
z´= h(x, y, z)
• Definiendo el efecto de la
transformación sobre un conjunto de
vectores base, por ej., la canónica
• T(1, 0, 0) =
• T(0, 1, 0) =
• T(0, 0, 1) =
Laura Gasque 2016-2 29
Ilustrar con ejemplos: C2, xz
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Relación entre las dos
• Todo vector en R3 puede expresarse como
(x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)
• T(x, y, z) = T[x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)]
• Y por ser lineal . . .
• = xT(1, 0, 0)+ yT(0, 1, 0) + zT(0, 0, 1)
Laura Gasque 2016-2 30
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Ejemplo importante: C4(x, y, z) = ( , , )
• Encontremos la T.L de R3 R3 que se asocia con una rotación de 90°
alrededor del eje z (en sentido opuesto a las manecillas).
• Definiendo el efecto de la transformación sobre un conjunto de vectores
base, por ej., la canónica
• C4(1, 0, 0) = (0, 1, 0)
• C4(0, 1, 0) = (-1, 0, 0)
• C4(0, 0, 1) = (0, 0, 1)
• C4(x, y, z) = ?Laura Gasque 2016-2 31
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C4(1, 0, 0) = (0, 1, 0)
C4(0, 1, 0) = (-1, 0, 0) C4(x, y, z) = ?C4(0, 0, 1) = (0, 0, 1)
• C4(x, y, z) = C4[x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1)]
= [xC4(1,0,0) + yC4 (0,1,0) + zC4 (0,0,1)] porque C4 es lineal
= x(0,1,0) + y(-1,0,0) + z(0,0,1)
= (0, x, 0) + (-y, 0, 0) + (0, 0, z)
C4(x, y, z) = (-y, x, z)
Laura Gasque 2016-2 32
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Matriz asociada a una Transformación Lineal
T: V1V2 (puede ser V1=V2, que de hecho, será nuestro caso ahora )
• Escribir el efecto de la T.L. sobre los vectores de la base elegida de V1, como una combinación lineal de los vectores base
• C4(1, 0, 0) = (0, 1, 0) = 0(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) + 0(0, 0, 1)
• C4(0, 1, 0) = (-1, 0, 0) = -1(1, 0, 0) +0(0, 1, 0) + 0(0, 0, 1)
• C4(0, 0, 1) = (0, 0, 1) = 0(1, 0, 0) + 0(0, 1, 0) + 1(0, 0, 1)
0 -1 0 x -y
1 0 0 y = x
0 0 1 z z
¿Recuerdan la multiplicación
de matrices?
Laura Gasque 2016-2 33
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Ejercicio: Matrices asociadas a
C42 = C2 : R3 R3 y C4
3 : R3 R3
(usando la base canónica)
OJO: Las matrices asociadas a una misma transformación lineal
son diferentes según la base que se elija.
Laura Gasque 2016-2 34
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Ejercicio fácil : Matrices asociadas a xy: R
3 R3 xz: R3 R3 yz: R
3 R3
(usando la base canónica)
Y súper fácil: Matriz asociada a la transformación E
(idéntica, o neutra)
Laura Gasque 2016-2 35
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Ejercicio menos fácil: Matrices asociadas a
C3 = : R3 R3 y C32 : R3 R3
(usando la base canónica)
Tarea 1
Laura Gasque 2016-2 36