en la figura, es perpendicular al ap plano que contiene al
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En la figura, es perpendicular al plano que contiene al trapecio isósceles ABCD ( es la base mayor). Si AP = 5 m y BD = 12, halle PC.
AP
AB
A
P
B
CD
En la figura, es perpendicular plano que contiene al triángulo equilátero ABC. Si AM = MP y CN = NB = 3 m, halle PB
BP
A
C
N
BM
P
Sea perpendicular al plano que contiene a un hexágono regular ABCDEF. Si mAFP = 45°, halle la medida del ángulo entre
AP
PC y FD.
Sea perpendicular al plano que contiene a un triángulo rectángulo isósceles ABC. Si PB = AC y AB = 4 cm, halle la distancia de P a
PB
AC.
En la figura, es perpendicular al plano que contiene a la circunferencia de diámetro Halle mQBC.
AQ
AB.
Q
A 45° B
C
45°
Sea perpendicular al plano que contiene a un cuadrado ABCD de centro O. Si OP = AB, halle la medida del ángulo entre
AP
OP y CD.
Sean los triángulos equiláteros ABC y ABE contenidos en planos diferentes. Si AB = m y CE = m, halle la medida del diedro C−AB−E.
2 5 2 3
En la figura, las semicircunferencias de diámetro están contenidas en planos perpendiculares. Si M y P son puntos medios de hallemMAB.
AP y AB,
AB y AP
A
B
P
M
En un hexaedro regular ABCD−EFGH, M y N son puntos medios derespectivamente. Si la distancia de C a es 3m, halle el área total del hexaedro regular.
EH y GH
MN
En un hexaedro regular ABCD−EFGH, M y N son puntos medios derespectivamente. Si la distancia de C a es 3m, halle el área total del hexaedro regular.
En un tetraedro regular B−ACD, O es centro de la cara ACD. Si la distancia entre los puntos medios dees m, halle la longitud de la altura del tetraedro regular.
OB y CD2 3
En la figura, es perpendicular al plano que contiene al triángulo equilá-tero ABC. Si BM = MC y QM = AB, halle mAQM
AQ
Q
B
M
C
A
Dos cilindros circulares rectos son semejantes y sus áreas totales son36π cm2 y 64π cm2. Halle la razón entre sus volúmenes.
En un cuadrado ABCD cuyo lado mide m, por el punto A se traza la perpendicular al plano que contiene al cuadrado ABCD. Si AP = m y M es punto medio de halle el área de la región triangular PMC.
2 2AP
3CD
En un tetraedro regular P−ABC, O es centro de la cara ABC y M es punto medio de Si OM = 2m, halle el área total del tetraedro regular.
BP.
Los planos que contienen a un cuadran-te ABQ y a una semicircunferencia de diámetro son perpendiculares. Si M es punto medio del arco AB y AM = 2 m, halle el área de la región triangular AMQ.
AB
En la figura, es perpendicular al plano que contiene al rombo ABCD. SimBCD = 53°. Hallar la medida del diedro M−AC−B.
BM
M
B C
A D
En la figura, los planos que contienen a la semicircunferencia de diámetroAB y al cuadrado ABCD son perpendi-culares. Si P es punto medio del arco AB, halle la medida del ángulo PCA.
AB
P
B C
DA
En la figura, ABCD−EFGH es un hexae-dro regular y O es el centro de la cara EFGH. Si el área de la región triangular OBG es halle el volumen del hexaedro regular.
24 3 m ,
B C
GF
O
E
AD
H
La distancia entre los puntos medios de dos aristas opuestas de un tetraedro regular es 8 m, halle el área total del tetraedro.
En la figura, la recta L2 está contenida en el plano P y el ángulo entre la recta L1 y el plano P mide 45°. Si el ángulo entre L2 y la proyección de L1 sobre el plano P mide 45°, halle la medida del ángulo que forman L1 y L2.
AP
B
L2
L1
1) ABCD: trapecio isósceles ⇒ AC = BD = 12
2)
3) PAC: T. de Pitágoras x = 13 m
AP ABCD AP AC⊥ ⇒ ⊥
A
P
5
12
xB
CD
1) ANC: notable (30°)
2) T. mediatriz: AN = NP =
3)
4) PBN: T. de Pitágoras
A
C
6
N
B
xM
3
3
P
3 3
3 3
AN 3 3⇒ =
3 3
BP ABC BP CB⊥ ⇒ ⊥
3 2 mx =
1)
2)
3) PAC: notable (30°)
A
P
F E
D
CB
120°45°a
a
a
a x
3a
3a
AC // FDm PCA x⇒ =
AP ABCDEF⊥ AP AF y AP AC⇒ ⊥ ⊥
30x∴ = °
1) TTP:
2) BHA: notable (45°)
3) PBH: not. (53°/2)
P
B
x
C
A
4 45° H2 2
22
22
4 2
PH AC⊥
AH BH 2 2⇒ = =
2 10 cmx =
1)
2) TTP:
3) QCB: not. (30°)
Q
A 45°a
B
C
45°
x
2a2a
2a
AQ ACB AQ AB⊥ ⇒ ⊥
QC BC⊥
60x∴ = °
1) Sea
2) ABCD: O centro
3)
4) PHO: not. (30°)
B
a
a a
x
P
2a
C
D
O
HA
2a
OH // CD m POH x⇒ =
CDOH
2a⇒ = =
TTP: PH OH⊥
60x∴ = °
1) EMC: ángulo plano
2) EMC: isósceles
3) MHC: not. (53°/2)
x/2x/2
B
E
H
AC
3
3
15
1552 5
m EMC x⇒ =
EH HC 3⇒ = =
5353
2 2x
x°
⇒ = ⇒ = °
M
1)
2) TTP:
3) AHM: not. (30°)
A
O
H
x45°45°
B
P
90°
M
2
2
AMP APB OM APB⊥ ⇒ ⊥
MH AB⊥
60x∴ = °
1)
2) TTP:
3) CGQ: T. Pitágoras
AD
G
C
F
EM H
N45° Qa
3
a
B
2 2a2
a2
a
2 2TA 6(2 2) 48a a= =
CQ NQ⊥
1a =2
TA 48 m∴ =
1) ABCD: T. Regular
2) NOM: T. Pitágoras
A OM
D
C
B
N
30° 2a a
2a
2a2
3
3a
3a
6BO (2 3) 2 2
3a a⇒ = =
2a =OB 4 2 m∴ =
1)
2) QAM ≅ CMA
Q
x
B
M
60°
30°
C
A
AQ ABC AQ AM⊥ ⇒ ⊥
60x∴ = °
1) 2
122
V3664 V
π=
π
1
2
V 3V 4
=
31 1
32 2
V rV r
=
3
1
2
VV
=
3
34
=
2764
=
1) TTP:
2)
3)
4) PAD: T. Pitágoras
3
2 22
2
B
P
A D
h C
M
Sx
PD DC⊥
2hS
2x =
AP ABCD⊥ AP AD⇒ ⊥
h 11=
211S m
2x∴ =
1)
2)
3) POB: mediana
22
B
C
O
A
a2
M
P
2TA 3a=
OP ABC OP OB⊥ ⇒ ⊥
OMPB 4⇒ =
4a⇒ =2
TA 16 3 m∴ =
1)
2) TTP:
3) AMQ: not.(30°)
4)
ABQ AMB⊥
BQ AMB⇒ ⊥
QM AM⊥
MQ 2 3=
2 2 3S
2x×
=
2S 2 3 mx∴ =
A 2
90°
B
Q
4Sx
90°
M
2 3
2 2 45°
1) TTP:
2) BQM: ángulo plano
3)
4) MBQ: not. (30°)
MQ AC⊥
m BQM x⇒ =
MB ABCD⊥ MB BQ⇒ ⊥
60x∴ = °
M
B
Q2a
2a
2a
a xC
A D
53°/253°/2
1)
2) TTP:
3) APC: notable (30°)
ABCD APB⊥
BC APB⇒ ⊥
CP AP⊥
30x∴ = °
P
90°B
45°
2a
ax C
DA
2a
1) TTP:
2)
3) Dato:
4)
BO OG⊥
FB EFGH⊥ FB FO⇒ ⊥
3S 4 3
2a a×
= =
2 2a =
3 3V (4) 64 mx = =
B C
GFa
aO
E
AD
S
H
3a2a
1) ∆ANP: isósceles
2) AMN: T. Pitágoras
3)
NP AN 3a= =NM AP⇒ ⊥
4 2a =
2TA (8 2) 3=
2TA 128 3 m∴ =
A
M
8
N
C
B
P
a
a
a
a
3a
1)
2) TTP:
3) AHB: notable (30°)
A
H
45°45°
Q
aa
xP
B
L2
L1
2a
BQ P m BAQ 45⊥ ⇒ = °
2BH L⊥
60x∴ = °