Energiteknisk grundfagTermisk energi

Forelæsning 9Flow og varmetransmission

1

2

Dagens emner

• Grundlæggende fluidmekanik– Baggrund– Viscositet– Bernoulli og energi

• Grundlæggende varmetransmission

3

Sammenhæng mellem termodynamik, fluidmekanik og varmetransmission

• Termodynamik giver den overordnede sammenhæng på systemniveau

• Fluidmekanik og varmetransmission er de konkrete metoder/processer, der udveksler energi i systemet

Energioutput som varme ved lav temperatur

Ekspan-sionKo

m-pres-sion

TH

TL

qin

qout

Wnet,out

Wnet,in

Energiinput som varme ved høj temperatur

4 4

Strømningsteknikkens historie...

5

Fluidmekanik - en usammenhængende videnskab frem til 1904

HydrodynamikTeoretisk videnskab om frie,

tabsfri strømninger

HydraulikPraktisk/eksperimentel videnskab om virkelige

strømninger (særligt vand)

6

Ludwig Prandtl 1904

Hydrodynamik Hydraulik

GRÆNSELAG

7 7

Grænselaghastighed og temperatur

Interface mellem fri strømning og faste randeOmråde hvor viskøse effekter dominerer

Meget tyndt!

8

Hvad er en fluid?• Et fast stof deformes endeligt ved påvirkning af en

konstant kraft

• En fluid deformeres med konstant hastighed ved påvirkning af en konstant kraft

V=kst

F

VF

9

ViskositetViskositeten er et mål for fluidens ”deformationsvillighed” (fluiditet)

lHastighedsfordeling

V F

2/mNdydu

y

10

Viskositet• Viskositet og forskydningsspændinger

– spænding kræver relativ bevægelse:• væggen bevæger sig i forhold til strømningen

– ELLER• strømningen bevæger sig i forhold til væggen (f.eks. i rør)

– vægspænding repræsenterer den samlede spænding over hele strømningsprofilet

2/mNdydu

l Hastighedsfordeling

V F

yl

Hastighedsfordeling

lV

dydu

2max2R

rVdrdu

lyVyu )(

2

2

max 1)(RrVru

11

Viskositet

New

t ons

ke fl

uid e

rIk

ke-N

ewt o

nske

flui

d er

12

Fluidegenskaber - viskositet

VLVL

kræfterviskøsekræfterinerti ReReynolds tal:

1313

Reynolds tal - karakterisering af strømninger

• Reynoldstallet afhænger af valg af geometri! Derfor– angiv altid den valgte dimension– se, om der findes en standarddimension for strømningstypen

• En strømnings karakter afhænger af– hastighed– geometri (diameter, sidelængde…)– fluid (viskositet)

kræfterViskøseterInertikræfULUL

Re

Osborne Reynolds(1842-1912)

14

Lam

inar

tTu

rbul

ent

Niels Ole Sloth 2006

15

Bernoulli’s ligning• Energien i en strømning kan udtrykkes ved trykket

– Et statisk (eller termodynamisk) tryk – Et dynamisk tryk (som kommer af bevægelse)

– Og så et hydrostatisk tryk (som er lidt snyd...)• Det hydrostatiske tryk varierer med højden, og medregnes når der er flytninger i

tyngdens retning (lidt ligesom potentiel energi)• For luft kan det ofte negligeres

• Summen af det statiske og dynamiske tryk kaldes stagnationstrykket– Svarer til at strømning bremses fuldstændigt– Hele det dynamiske tryk konverteres til statisk tryk

212

total stagnation statisk dynamisk

stagnation statisk

p p p p

p p V

16

Bernoulli’s ligning• Bernoulli’s ligning udledes af Newton’s 2. lov (F=ma) og svarer

til energiligningen for en væske eller gas– Hvis der ikke er nogle tab, må energien være bevaret langs

en strømlinie...1 2 3

,1 ,2 ,3

2 2 2

1 2 3

1 1 12 2 2

total total total

statisk statisk statisk

p p p

p V gz p V gz p V gz

17

Bernoulli’s ligning• Bernoulli’s ligning gælder, når

– der ikke er intern friktion i fluiden (dvs. når der ikke er hastighedsforskelle, eller når viskositeten er meget lav)

– densiteten er konstant– strømningen er uændret i tiden– den anvendes langs en strømlinie

– Det betyder faktisk, at Bernoulli’s ligning er bedst til turbulente strømninger...!!

– Samtidig skal Bernoulli’s ligning bruges langt fra faste rande/overflader (i princippet)

• Bernoulli’s ligning kan bruges til at– Bestemme tryk og hastighed, når strømningsarealet ændres

18

Bernoulli og naturen

• For at en strømning kan bevæge sig mod stigende tryk skal der tilføres energi

• Hvis ikke det sker, vil fluidstrømninger bevæge sig mod lavere tryk– Strømningen vil forsøge at finde den nemmeste

vej– Der vil være en akkumulation i punktet med lavest

tryk (i naturen ofte det lavest beliggende sted)

Strømlinie koordinater

Strømlinier (s,n) er rumlige cirkelbuer

2D flow - strømlinier

21

Bernoullis Ligning - Strømrør

22

Bernoullis ligning: må – må ikke...

Brug af Bernoullis ligning

Hastighedsmåling med Pitot-rør

”Free jet” strømninger, med eller uden en fri overflade

24

Idealiserede vindmøller

V0

p0

A0

AA1

p p-Δpu u1

p1=p0

TrykHastighedV0

u

u1

p0

p

p-Δp

25 25

Idealiserede vindmøller• Bernoulli kan anvendes til at

bestemme sammenhænge mellem hastighed og tryk

• Foran mølleplanet

• Bag mølleplanet

• Og dermed trykfaldet over rotorplanet:

• Eller udtrykt som impulsændring

V0

p0

A0

AA1

p p-Δp

uu1

p1=p0

212

V p H

2 20 01 12 2

p V p u

2 20 1

1 12 2

p p u p u

2 20 1

12

p V u

0 112

p u V u

26

Idealiserede vindmøller

• De to udtryk for trykfald sammenskrives til

• Og effekt og aksialkraft bliver

0 112

u V u

2 20 1

12

P u V u A

T pA

27

Bernoulli vs energiligningen

• Bernoulli flow er

– Steady– Inkompressibelt– Friktionsfrit– Langs strømlinier– Indeholder ikke akselarbejde– Udveksler ikke varme

• Energiligningen

• Inkluderer – Friktion/viskøst arbejde– Akselarbejde– varmeudveksling

kst22 2

222

1

211 gzVpgzVp

wwquugzVpgzVp

s 122

2222

1

2111 ˆˆ

22

28

Var

me

tra ns mis

sio n

• 3 mekanismer– Varmeledning

• Finder sted i medier: gasser, væsker eller faste stoffer• Varmeledningsevnen k af mediet er styrende• k er er materialeegenskab

– Konvektion• Finder sted ved grænse mellem faste stoffer og fluider• Varmeovergangstallet h er styrende• h er afhængig af en række specifikke forhold, f.eks.

– Naturlig eller tvungen konvektion– Laminart eller turbulent grænselag– Lokale temperaturforhold

– Stråling• Kræver ikke et medie

T

4T

29

Var

me

led

nin g

][WdxdTkAQcond

Fourier’s varmeledningsligning

x

A

Q

2T

1T

]/[ mKWk

30

Var

me

led

nin

gse

vn e

31

Ko nv ek tio n

][WTThAQ sconv

A

convQ

T

sT

Newton’s lov

]/[ 2KmWh

32

1D

var

me

led

nin g

1T

2Tdx

dT

L

condQ xT

A

L

x

TT

TTwallcond kAdTdxQ0 ,

2

1

dxdTkAQ wallcond ,

LTTkAQ wallcond21

,

33

Ter

mis k mo

dst

an d

1T 2TRTTQcond21

R

kALR

RTTQ s

conv

sT T

hAR 1

Varmeledning Konvektion

x

A

Q

2T

1T

A

convQ

T

sT

34

Ter

mis k mo

dst

an d

x

Q

2T

T

sT

T

gssurroundinT

convQ

radQ

convR

radR

radconv QQQ

35

Ov

era ll he at

tra

nsf

er

coe

ffici

ent

L

Q2T

sT1T

1T

1convR wallR 2convR

22221

111 TTAhLTTkATTAhQ

AhTT

kALTT

AhTTQ

2

2221

1

11

/1//1

2

2221

1

11

convwallconv RTT

RTT

RTTQ

totalRTTQ 21

totalRUA 1

U: overall heat transfer coefficient

36

Sa m me

nsa t var

me

led

nin g

1L

Q

2T1T

2L 3L

3T

4T

1T

2T

AhRconv

11,

1

AhRconv

22,

1

AkLR1

1 AkLR2

2 AkLR3

3

37

Opgaver

• 12-5, 12-13C, 12-22C, 12-40• 16-20, 16-35, 16-38, 16-44