engineering mechanics: statics in si units, 12e...2.1 skaler ve vektörler • vektör – bir...
TRANSCRIPT
Force Vectors 2
Engineering Mechanics:
Statics in SI Units, 12e
Bölüm Hedefleri
• Parallelkenar kuralı
• Kartezyen vektörler
• Skaler çarpım ve iki vektör arasındaki açı
Bölüm Özeti
1. Skalerler ve vektörler
2. Vectörel işlemler
3. Kuvvetlerin vektörel toplamı
4. Düzlemsel kuvvetlerin toplanması
5. Kartezyen vektörler
6. Kartezyen vektörlerlerde toplama ve çıkarma
7. Konum vektörleri
8. Bir doğru boyunca yönelen kuvvet vektörü
9. Skaler çarpım
2.1 Skaler ve Vektörler
• Skaler
– Pozitif veya negatif bir sayı ile karakterize edilen
büyüklüğe denir
–A skaleri gibi italik harfle gösterilecektir.
Örneğin. Kütle ,hacim ve uzunluk
2.1 Skaler ve Vektörler
• Vektör
– Bir büyüklük ve doğrultuya sahip bir büyüklüktür.
e.g. Konum,kuvvet ve moment
–Harfin üstüne ok konarak gösterilir.
– Büyüklüğü veya sadece A ile gösterilir.
– Bu dersde vektörler A olarak ve pozitif olan büyüklük
ise A olarak gösterilecek
A
A
2.2 Vektörel işlemler
• Vektörün bir skalerle çarpımı ve bölümü
- A vektörünün a skaleriyle çarpımı = aA
- Büyüklük =
- Çarpım kuralı geçerlidir e.g. A/a = ( 1/a ) A, a≠0
aA
2.2 Vektörel işlemler
• Vektörlerin toplamı
- A ve B iki vektörün toplanması paralelkenar kuralına göre
R bileşke vektörünü verir.
- R bileşke vektörü üçgen oluşturularak da elde edilebilir
- Değişme özelliği e.g. R = A + B = B + A
- özel durum: A ve B vektörü aynı doğru üzerinde ise
R=A+B cebirsel toplamına indirgenir
2.2 Vektörel işlemler
• Vektörlerin farkı
- toplamın özel bir durumudur.
e.g. R’ = A – B = A + ( - B )
- vektör toplama kuralı uygulanır
2.3 Kuvvetlerin Vektörel Toplamı
Bileşke kuvvetin bulunması
• Parallelkenar kuralı kullanılarak bulunur
• Resultant,
FR = ( F1 + F2 )
2.3 Kuvvetlerin Vektörel Toplamı
Analizde incelenecek yol
• Parallelkenar kuralı
– Paralelkenar kuralı kullanılarak vektör toplamını
gösteren bir şekil çiziniz
– Kuvvetlerin iki bileşenini bileşke kuvveti oluşturmak için
ekleyiniz
– Bileşke kuvvet paralelkenarın diyagonelinde göster
2.3 Kuvvetlerin Vektörel Toplamı
Analizde incelenecek yol
• Trigonometri
– Parelelkenarın yarısını çiziniz
– Bileşke kuvvetin büyüklüğü cosinüs kuralı
kullanılarak bulunabilir.
– Bileşke kuvvetin yönü sinüs kuralı kullanılarak
bulunabilir
– İki bileşenin büyüklüğü sinüs kuralı kullanılarak bulunabilir
Örnek 2.1
Kanca, F1 ve F2 kuvvetlerine maruzdur.bileşke kuvvetin
büyüklük ve doğrultusunu belirleyiniz.
Çözüm
Parallelkenar kuralı
Bilinmeyen: FR nin büyüklüğü ve θ açısı
Çözüm
Trigonometri
Cosinüs kuralı
Sinüs kuralı
NN
NNNNFR
2136.2124226.0300002250010000
115cos150100215010022
8.39
9063.06.212
150sin
115sin
6.212
sin
150
N
N
NN
Çözüm
Trigonometri
Direction Φ of FR measured from the horizontal
8.54
158.39
2.4 Düzlemsel Kuvvetlerin Toplanması
• Skalar Gösterim
– x ve y eksenleri pozitif ve negatif olarak belirtilir
– Kuvvetin bileşenleri cebirsel skalerle ifade edilir
sin and cos FFFF
FFF
yx
yx
2.4 Düzlemsel Kuvvetlerin Toplanması
• Kartezyen Vektör Gösterimi
– Kartezyen birim vektörler i ve j x ve y yönlerini
göstermek için kullanılır.
– Birim vektörler i ve j boyutsuz birim değere sahiptir
( = 1 )
– Skaler Fx ve Fy ile gösterilen büyüklük daima pozitiftir.
jFiFF yx
2.4 Düzlemsel Kuvvetlerin Toplanması
• Düzlemsel kuvvetlerin bileşkeleri
Çok sayıda düzlemsel kuvvetin bileşkesini belirlemek için
kullanılır. :
– Kuvvet x ve y bileşenlerine ayrılır.
– Karşılıklı bileşenler skaler cebir kullanılarak toplanır.
– Bileşke kuvvet paralelkenar kuralı kullanlarak bulunur.
– Kartezyen vektör gösterimi
jFiFF
jFiFF
jFiFF
yx
yx
yx
333
222
111
2.4 Düzlemsel Kuvvetlerin Toplanması
• Düzlemsel kuvvetlerin bileşkeleri
– Bileşke kuvvet
– Skaler gösterim kullanılırsa
jFiF
FFFF
RyRx
R
321
yyyRy
xxxRx
FFFF
FFFF
321
321
2.4 Düzlemsel Kuvvetlerin Toplanması
• Düzlemsel kuvvetlerin bileşkeleri
– Bütün durumlarda
– FR nin büyüklüğü Pisagor teoreminden bulunur.
yRy
xRx
FF
FF
Rx
Ry
RyRxRF
FFFF 1-22 tan ve
* İşaretlere dikkat
örnek 2.5
F1 ve F2 nin x ve y bileşenlerini Belirleyiniz.Herbir kuvveti
kartezyen vektör şeklinde gösteriniz.
Çözüm
Skaler gösterim
Hence, from the slope triangle, we have
NNNF
NNNF
y
x
17317330cos200
10010030sin200
1
1
12
5tan 1
Çözüm
Benzer üçgenden
Skaler gösterim:
Kartezyen vektör gösterimi:
N10013
5260
N24013
12260
2
2
y
x
F
F
NNF
NF
y
x
100100
240
2
2
NjiF
NjiF
100240
173100
2
1
Çözüm
Skaler gösterim
Hence, from the slope triangle, we have:
Cartesian Vector Notation
NNNF
NNNF
y
x
17317330cos200
10010030sin200
1
1
12
5tan 1
NjiF
NjiF
100240
173100
2
1
Örnek 2.6
Kanca F1 ve F2 kuvvetlerine maruzdur.Bileşke kuvvetin
büyüklüğünü ve yönünü bulunuz.
Çözüm I
Skaler Gösterim:
N
NNF
FF
N
NNF
FF
Ry
yRy
Rx
xRx
8.582
45cos40030sin600
:
8.236
45sin40030cos600
:
Çözüm I
Bileşke kuvvet
θ açısı
N
NNFR
629
8.5828.23622
9.67
8.236
8.582tan 1
N
N
Çözüm II
Kartezyen vektör notasyonu
F1 = { 600cos30°i + 600sin30°j } N
F2 = { -400sin45°i + 400cos45°j } N
Böylece,
FR = F1 + F2
= (600cos30ºN - 400sin45ºN)i
+ (600sin30ºN + 400cos45ºN)j
= {236.8i + 582.8j}N
FR büyüklüğü ve yönü önceki şekilde bulunur.
2.5 Kartezyen vektörler
• Sağ-el koordinat sistemi
Bir diktörtgen veya kartezyen koordinat sistemine sağ-el
koordinat sistemi denir. :
– Sağ elin başparmağı pozitif z eksenini gösteriyorsa
– z-ekseni 2 boyutlu problem için kağıda dik ve dışarı
doğru yönelecektir.
2.5 Kartezyen vektörler
• Bir vektörün dik bileşenleri
– Bir A vektörünün x y ve z koordinat eksenlerine göre
yönelimine bağlı olarak ,bu eksenler üzerinde bir,iki veya üç
dik bileşeni olabilir.
– Paralel kenar kuralını iki kez ard arda uygulayarak
A = A’ + Az
A’ = Ax + Ay
– Bu denklemler birleştirilerek,
A
A = Ax + Ay + Az olarak ifade edilir.
2.5 Kartezyen vektörler
• Birim vektör
– A nın yönü birim vektör kullanılarak tanımlanabilir
– Birim vektörün büyüklüğü 1 dir.
– Eğer A büyüklüğü A ≠ 0 olan vektörse, A ile aynı yönlü
birim vektör uA = A / A.
A = A uA
2.5 Kartezyen vektörler
• Kartezyen vektör gösterimi
– A nın üç bileşeni i, j ve k nın pozitif yönünde
etkimektedir,
A = Axi + Ayj + AZk
*herbir bileşen vektörün büyüklüğü ve
doğrultusu ayrılır ve bu vektör cebri
işlemlerini basitleştirir
2.5 Kartezyen vektörler
• Kartezyen vektörün büyüklüğü
• Renkli üçgenden,
– Gölgelim üçgenden,
– Denklemleri birleştirerek
A nın büyüklüğünü verir
2 2 2 z y x A A A A
2 2 ' y x A A A
2 2 ' z A A A
2.5 Kartezyen vektörler
• Kartezyen vektörün doğrultusu
– A vektörünün yönü başlangıç noktası ve bu noktada yer
alan pozitif x, y ve z eksenleri arasında ölçülen α, β ved
γ koordinat doğrultu açıları ile tanımlanır. es
– 0° ≤ α, β ve γ ≤ 180 °
– A nın doğrultu kosinüsleri
A
Axcos
A
Aycos
A
Azcos
2.5 Kartezyen vektörler
2.5 Kartezyen vektörler
• Kartezyen vektörün doğrultusu
– α, β ve γ açıları ters kosinüs fonksiyonlarından
belirlenebilir.
A = Axi + Ayj + AZk
Birim vektör,
uA = A /A = (Ax/A)i + (Ay/A)j + (AZ/A)k
burada 222
zyx AAAA
2.5 Kartezyen vektörler
• Kartezyen vektörün doğrultusu – uA şu şekildede ifade edilebilir.
uA = cosαi + cosβj + cosγk
– olduğundan ve uA = 1, o zaman
– A kartezyen vektör formunda ifade edilebilir.
A = AuA
= Acosαi + Acosβj + Acosγk
= Axi + Ayj + AZk
222
zyx AAAA
1coscoscos 222
2.6 Kartezyen vektörlerde toplama ve çıkarma
• Aynı noktadan geçen kuvvet sistemleri
– Bileşke kuvvet sisteme etki eden bütün kuvvetlerin
toplamına eşittir.
FR = ∑F = ∑Fxi + ∑Fyj + ∑Fzk
örnek 2.8
F kuvvetini kartezyen vektör formunda yazınız.
Çözüm
İki açı bilindiğinden ,üçüncü açı
İki ihtimal var
1205.0cos 1
60 5 . 0 cos 1
5 . 0 707 . 0 5 . 0 1 cos
1 45 cos 60 cos cos
1 cos cos cos
2 2
2 2 2
2 2 2
±
Çözüm
α = 60º olduğu görülür çünkü Fx +x yönündedir.
F = 200N verilmiş
F = Fcosαi + Fcosβj + Fcosγk
= (200cos60ºN)i + (200cos60ºN)j
+ (200cos45ºN)k
= {100.0i + 100.0j + 141.4k}N
Control edilirse
N
FFFF zyx
2004.1410.1000.100222
222
Örnek 2
örnek 3
2.7 Konum vektörleri
• x,y,z koordinatları
– Sağ-el koordinat sistemi
– Pozitif z ekseninin ,bir nesnenin uzunluğunu veya bir
noktanın yüksekliğini ölçecek şekilde ,yukarı doğru yönelmesi
şeklinde uylaşım kullanacağız.
– Noktalar O orijinine göre belirlenir.
2.7 Konum vektörleri
Konum vektörü
– r konum vektörü ,bir noktanın uzaydaki konumunu diğer
bir noktaya göre belirleyen bir vektördür.
– E.g. r = xi + yj + zk
2.7 Konum vektörleri
Konum vektörü
– Vectörlerin uc uca eklenmesi ile rA + r = rB
– Çözersek
r = rB – rA = (xB – xA)i + (yB – yA)j + (zB –zA)k
or r = (xB – xA)i + (yB – yA)j + (zB –zA)k
2.7 Konum vektörleri
• AB kablosunun yönü ve boyu A ve B nin x, y, z eksenleri
kullanılarak ölçülür ve bulunur.
• r konum vektörü kurulabilir.
• r büyüklüğü kablonun boyunu verir.
• α, β ve γ açıları kablonun yönünü gösterir.
• Birim vektör, u = r/r
Örnek 2.12
A ve B noktalarına elastik bir bant tutturulmuştur. Bantın
uzunluğunu ve A’dan B’ye ölçülen doğrultusunu belirleyiniz.
Çözüm
Konum vektörü
r = [-2m – 1m]i + [2m – 0]j + [3m – (-3m)]k
= {-3i + 2j + 6k}m
Büyüklük = elastik bantın uzunluğu
r doğrultusundaki birim vektör
u = r /r
= -3/7i + 2/7j + 6/7k
mr 7623222
Çözüm
α = cos-1(-3/7) = 115°
β = cos-1(2/7) = 73.4°
γ = cos-1(6/7) = 31.0°
2.8 Bir doğru boyunca yönelen kuvvet vektörü
• 3 boyutlu problemlerde, F kuvvetinin doğrultusu etki
çizgisinin geçtiği iki nokta ile belirlenir.
• F Kartezyen vektör olarak formüle edebiliriz.
F = F u = F (r/r)
• F kuvvet birimi (N)
ancak, uzunluk birimidir (m)
2.8 Bir doğru boyunca yönelen kuvvet vektörü
• Zincir boyunca hareket eden F kuvveti Kartezyen vektörle
gösterilebilir.
- x, y, z eksenleri kurarak
- Zincir boyunca r konum vektörü oluştararak
• Birim vektör, u = r/r hem kuvvetin hem de zincirin yönünü
tanımlar.
• F = Fu elde ederiz.
Örnek 2.13
Adam ipi 350N luk bir kuvvetle çekmektedir.A mesnedine
etkiyen bu kuvveti Kartezyen vektör şeklinde ifade ediniz ve
doğrultusunu belirleyiniz
Çözüm
İpin uç noktalarının koordinatları A (0m, 0m, 7.5m) ve B (3m, -2m, 1.5m)
r = (3m – 0m)i + (-2m – 0m)j + (1.5m – 7.5m)k = {3i – 2j – 6k}m
Büyüklük = AB ipinin uzunluğu
Birim vektör, u = r /r
= 3/7i - 2/7j - 6/7k
mmmmr 7623222
Çözüm
F in büyüklüğü 350N ve doğrultusu u ile tanımlandığından.
F = Fu
= 350N(3/7i - 2/7j - 6/7k)
= {150i - 100j - 300k} N
α = cos-1(3/7) = 64.6°
β = cos-1(-2/7) = 107°
γ = cos-1(-6/7) = 149°
2.9 Skaler çarpım
• A ve B vektörlerinin skaler çarpımı A·B şeklinde yazılır ve
(A skaler çarpım B diye okunur.)
• A ve B nin büyüklükleri ile iki vektör arasındaki açının
kosinüsünün çarpımı olarak tanımlanır.
A·B = AB cosθ where 0°≤ θ ≤180°
• Bu çarpım adını sonucun bir skaler olmasından alır.
2.9 Skaler çarpım
• İşlem kuralları
1. Değişme özelliği
A·B = B·A
2. Skaler ile çarpım
a(A·B) = (aA)·B = A·(aB) = (A·B)a
3. Dağılma kuralı
A·(B + D) = (A·B) + (A·D)
2.9 Skaler çarpım
• Kartesian Vektör Formulasyonu
- birim vektörlerin skaler çarpımı
i·i = (1)(1)cos0° = 1
i·j = (1)(1)cos90° = 0
- benzer şekilde
i·i = 1 j·j = 1 k·k = 1
i·j = 0 i·k = 0 j·k = 0
2.9 Skaler çarpım
• Kartesian Vektör Formulasyonu
– A ve B iki vektörün skaler çarpımı
A·B = AxBx + AyBy + AzBz
• uygulamalar
– İki vektör veya kesişen doğrular arasındaki açı
θ = cos-1 [(A·B)/(AB)] 0°≤ θ ≤180°
– Bir vektörün bir doğruya parelel ve dik bileşenleri
Aa = A cos θ = A·u
Örnek 2.17
Çerçeveye F = {300j} N yatay kuvveti etkimektedir.bu kuvvetin
AB elemanına paralel ve dik bileşenlerini belirleyiniz..
çözüm
Since
Thus
N
kjijuF
FF
kji
kji
r
ru
B
AB
B
BB
1.257
)429.0)(0()857.0)(300()286.0)(0(
429.0857.0286.0300.
cos
429.0857.0286.0
362
362
222
çözüm
Sonuç pozitif bir skaler olduğundan, FAB nin yönü uB ile
aynıdır. kartesyen formda
Dik bileşen
NkjikjijFFF
Nkji
kjiN
uFF
AB
ABABAB
}110805.73{)1102205.73(300
}1102205.73{
429.0857.0286.01.257
çözüm
F┴ büyüklüğü Pisagor teoreminden veya bu vektörden
belirlenebilir.
N
NN
FFF AB
155
1.25730022
22
örnek
çözüm
çözüm
QUIZ
1. Which one of the following is a scalar quantity?
A) Force B) Position C) Mass D) Velocity
2. For vector addition, you have to use ______ law.
A) Newton’s Second
B) the arithmetic
C) Pascal’s
D) the parallelogram
QUIZ
3. Can you resolve a 2-D vector along two directions,
which are not at 90° to each other?
A) Yes, but not uniquely.
B) No.
C) Yes, uniquely.
4. Can you resolve a 2-D vector along three directions
(say at 0, 60, and 120°)?
A) Yes, but not uniquely.
B) No.
C) Yes, uniquely.
QUIZ
5. Resolve F along x and y axes and write it in vector
form. F = { ___________ } N
A) 80 cos (30°) i – 80 sin (30°) j
B) 80 sin (30°) i + 80 cos (30°) j
C) 80 sin (30°) i – 80 cos (30°) j
D) 80 cos (30°) i + 80 sin (30°) j
6. Determine the magnitude of the resultant (F1 + F2)
force in N when F1={ 10i + 20j }N and F2={ 20i + 20j }
N .
A) 30 N B) 40 N C) 50 N
D) 60 N E) 70 N
30°
x y
F = 80 N
QUIZ
7. Vector algebra, as we are going to use it, is based on
a ___________ coordinate system.
A) Euclidean B) Left-handed
C) Greek D) Right-handed E) Egyptian
8. The symbols , , and designate the __________ of
a 3-D Cartesian vector.
A) Unit vectors B) Coordinate direction angles
C) Greek societies D) X, Y and Z components
QUIZ
9. What is not true about an unit vector, uA ?
A) It is dimensionless.
B) Its magnitude is one.
C) It always points in the direction of positive X- axis.
D) It always points in the direction of vector A.
10. If F = {10 i + 10 j + 10 k} N and
G = {20 i + 20 j + 20 k } N, then F + G = { ____ } N
A) 10 i + 10 j + 10 k
B) 30 i + 20 j + 30 k
C) – 10 i – 10 j – 10 k
D) 30 i + 30 j + 30 k
QUIZ
11. A position vector, rPQ, is obtained by
A) Coordinates of Q minus coordinates of P
B) Coordinates of P minus coordinates of Q
C) Coordinates of Q minus coordinates of the origin
D) Coordinates of the origin minus coordinates of P
12. A force of magnitude F, directed along a unit vector U, is given
by F = ______ .
A) F (U)
B) U / F
C) F / U
D) F + U
E) F – U
QUIZ
13. P and Q are two points in a 3-D space. How are the
position vectors rPQ and rQP related?
A) rPQ = rQP B) rPQ = - rQP
C) rPQ = 1/rQP D) rPQ = 2 rQP
14. If F and r are force vector and position vectors,
respectively, in SI units, what are the units of the
expression (r * (F / F)) ?
A) Newton B) Dimensionless
C) Meter D) Newton - Meter
E) The expression is algebraically illegal.
QUIZ
15. Two points in 3 – D space have coordinates of P (1, 2, 3) and Q (4, 5, 6) meters. The position vector rQP is given by
A) {3 i + 3 j + 3 k} m
B) {– 3 i – 3 j – 3 k} m
C) {5 i + 7 j + 9 k} m
D) {– 3 i + 3 j + 3 k} m
E) {4 i + 5 j + 6 k} m
16. Force vector, F, directed along a line PQ is given by
A) (F/ F) rPQ B) rPQ/rPQ
C) F(rPQ/rPQ) D) F(rPQ/rPQ)
QUIZ
17. The dot product of two vectors P and Q is defined as
A) P Q cos B) P Q sin
C) P Q tan D) P Q sec
18. The dot product of two vectors results in a _________
quantity.
A) Scalar B) Vector
C) Complex D) Zero
P
Q
QUIZ
19. If a dot product of two non-zero vectors is 0, then the two vectors
must be _____________ to each other.
A) Parallel (pointing in the same direction)
B) Parallel (pointing in the opposite direction)
C) Perpendicular
D) Cannot be determined.
20. If a dot product of two non-zero vectors equals -1, then the
vectors must be ________ to each other.
A) Parallel (pointing in the same direction)
B) Parallel (pointing in the opposite direction)
C) Perpendicular
D) Cannot be determined.
QUIZ
1. The dot product can be used to find all of the following except ____ .
A) sum of two vectors
B) angle between two vectors
C) component of a vector parallel to another line
D) component of a vector perpendicular to another line
2. Find the dot product of the two vectors P and Q.
P = {5 i + 2 j + 3 k} m
Q = {-2 i + 5 j + 4 k} m
A) -12 m B) 12 m C) 12 m2
D) -12 m2 E) 10 m2