enpc baep1 2011 - seance 4 mode de compatibilite

ENPC – Module BAEP1 – Séance 4 1

Béton armé et précontraint I FLEXION COMPOSEE – DIAGRAMME INTERACTION

Jean Marc JAEGER Setec TPI

E.N.P.C. module B.A.E.P.1


12. FLEXION COMPOSEE - DEFINITION

N

M

G

Σ

Σ

Σ

N

G

e

Poutre 0,60 x 1.10ht

1.20m

Poteau 0,60 x 0.80

0.80m

12.0m

Appareil d’appui 300x300

0.3m

6m

2m

Semelle 2m x 1m x 0,8m

g = 130 KN/ml et q = 30 KN/ml

.80m


Flexion composée - DéfinitionsLe portique représenté ci-dessus est constitué d’une traverse supérieure encastrée dans un piédroit. La section droite Σ d’encastrement du piédroit dans la traverse est soumise à un effort normal de compression N et à un moment de flexion M, ces sollicitations sont calculées par rapport au centre de gravité G de la section Σ. Cette section est soumise à une flexion composée. L’effort normal peut être un effort de compression, c’est le cas le plus courant en béton armé, ou un effort de traction.Le torseur (N,M) est équivalent à celui créé par un unique effort normal N appliqué en un point nommé centre de pression. L’excentricité e du centre de pression C est déterminée par l’expression e=M/N.En Résistance des Matériaux (RdM), le noyau central d’une section droite est le lieu des centres de pression tels que un point du contour de cette section droite soit soumis à une contrainte nulle. Si le centre de pression se trouve à l’intérieur du noyau central la section est soit totalement comprimée soit totalement tendue, dans le cas contraire la section est partiellement comprimée et partiellement tendue.En béton armé, l’utilisation du noyau central est tout à fait justifiée en E.L.S. dans le cas d’une flexion composée avec compression mais ne s’applique plus dans le cas de traction dans la mesure ou le béton tendu est négligé. Dans ce dernier cas la position du centre de pression par rapport aux nappes d’armatures sera l’élément déterminant.


12. FLEXION COMPOSEE : NOYAU CENTRAL

SECTION RECTANGULAIRE b x h

Aire de la section droite Ω=bhInertie de flexion Iz = bh3/12Inertie de flexion Iy = hb3/12

AXE NEUTREA l’axe ∆1 correspond le centre de pression C1 (-h/3,0)A l’axe ∆2 correspond le centre de pression C2 (h/3,0)

NOYAU CENTRALUn losange de dimensions h/3 et b/3

z

y

b

h

∆1

∆2

C1

C2

b/3

h/3


Noyau centralLe noyau central est la zone à l’intérieure de laquelle doit se trouver le centre de pression pour que la section soit entièrement soumise à une contrainte normale de même signe.Un point, centre de pression de coordonnées y0,z0, de son contour est caractérisé par le fait que l’axe neutre qui lui correspond est tangent au contour de la section.Dans le cas général d’une section soumise à des sollicitations N, My, Mz l’équation de l’axe neutre en fonction de (y0,z0) est la suivante:

Dans le cas d’une section rectangulaire le noyau central est un losange de hauteur égale au tiers de la hauteur de la section, on parle du « tiers central ».

0100

0 N

Mzy0

),(

=Ω

++

=

==

++Ω

=

Iy

zz

Iz

yy

N

Myz

Iy

Myz

Iz

Mzy

Nzy

0)z)σ(y, que tels points des (lieu neutre axel' de Equation

pression de Centre

RdM usuelles signes de sconvention les selon z)point(y, au normale Contrainte

σ


12. FLEXION COMPOSEE : Différents états de la section

Selon les valeurs de M et de N la section peut être :

- totalement tendue,- partiellement comprimée,- totalement comprimée.


Flexion composée – Différents états de la sectionSelon que la section est soumise à une flexion composée avec traction ou avec compression et selon la position du centre de pression C la section peut être soit :- Entièrement tendue : l’effort normal est un effort de traction, l’axe neutre se trouve à l’extérieur du contour de la section et toute la section est tendue; par hypothèse le béton tendu est négligé donc seules les deux nappes d’acier hautes et basses vont équilibrer les sollicitations N et M,- Partiellement comprimée : l’axe neutre partage la section en deux zones, la zone comprimée constituée du béton comprimé et des armatures comprimées se trouvant dans cette zone, et la zone tendue où seules les armatures tendues seront prises en compte,- Entièrement comprimée : l’effort normal est un effort de compression, l’axe neutre se trouve à l’extérieur du contour de la section et toute la section est comprimée ; toute la section béton et les deux nappes d’armatures hautes et basses vont participer à équilibrer les sollicitations N et M.

La détermination des armatures à mettre en œuvre sera effectuée selon des principes différents en fonction de ces trois états.


12. FLEXION COMPOSEE : Sollicitations de calcul

• Flexion composée avec traction

SOLLICITATIONS CALCULEES SELON LES :

• combinaisons caractéristiques et quasi-permanentes en ELS• combinaisons fondamentales en ELU

• Flexion composée avec compression en ELU :

• vérification selon l’ÉTAT LIMITE DE STABILITE DE FORME (flambement)[l’Eurocode propose une méthode générale et deux méthodes forfaitaires]

en ELS :

• combinaisons caractéristiques et quasi-permanentes

ENPC – Module BAEP1 – Séance 410

Flexion composée – Combinaisons de calculEn flexion composée avec traction les justifications sont à faire aux états limites ultimes et aux états limites de service. Les critères de justifications sont les mêmes que ceux exposés pour la flexion simple.

En flexion composée avec compression la justification doit prendre en compte la vérification selon les états limites de stabilité de forme ou la vérification du non flambement. Sous l’effet des efforts appliqués une pièce élancée en béton armé peut être amenée à se déformer et à subir des sollicitations supplémentaires dites de second ordre, induites par ces déformations. Ces sollicitations supplémentaires augmentent les déformations, si le processus converge vers un état d’équilibre la stabilité de forme est vérifiée et ne l’est pas dans le cas contraire.


12. FLEXION COMPOSEE : Section totalement tendue

0.eN-.eN

NN N

équilibred' Equations

a2st2a1st1

st2st1

==+

• L’effort normal est un effort de traction et le cen tre de pression est situé entre les aciers

21

1

st2

21

2

st1

NA

NA

Résolution

aa

a

aa

a

ee

e

ee

e

+×=

+×=

σ

σ


Flexion composée – Section entièrement tendueLa section est entièrement tendue quand l’effort normal est un effort de traction et quand le centre de pression est situé entre les deux nappes d’armatures hautes et basses. En notant d’une part, v la distance entre le centre de gravité G et la fibre supérieure, et v’ la distance entre le centre de gravité et la fibre inférieure ; et d’autre part c’ la distance entre le barycentre des armatures inférieures et la fibre inférieure et c la distance entre le barycentre des armatures supérieures et la fibre supérieure ; cette condition s’écrit: -(v’-c’) ≤ e ≤ (v-c). L’excentricité du centre de pression e = M/N, ces deux sollicitations internes étant calculées par rapport au centre de gravité G.

En positionnant le centre de pression C entre les deux nappes d’acier basses et hautes par les deux valeurs ea1 et ea2 un simple calcul barycentrique donne l’effort de traction à équilibrer par ces deux nappes.


12. FLEXION COMPOSEE : Section partiellement comprimée

• Flexion composée avec traction• Le centre de pression est à l’extérieur de l’emprise des deux nappes d’armatures extrêmes A1 et A2

• Flexion composée avec compression en ELS :

• Le centre de pression est à l’extérieur du noyau central

en ELU :

• Le moment de flexion calculé par rapport aux aciers tendus MuA=N*ea est inférieur au moment équilibré par un diagramme de déformation passant simultanément par les pivots B et C

A2

A1

x C

xC

x

x

Pivot B

Pivot C


Flexion composée – Section partiellement compriméeLa section peut être partiellement comprimée aussi bien en flexion composée avec traction qu’en flexion composée avec compression.

Dans le cas de flexion composée avec traction, si le centre de pression est à l’extérieur des deux nappes d’acier hautes et basses, la section est partiellement comprimée ; il faut noter que la zone comprimée est alors à l’opposé du centre de pression par rapport à la section.

Dans le cas de flexion composée avec compression la situation diffère en E.L.S. et en E.L.U. :- En état limite de service, si le centre de pression est à l’extérieur du noyau central, la section est partiellement comprimée; il faut noter que la zone comprimée est alors située du côté du centre de pression.

- En état limite ultime la section sera partiellement comprimée si le moment de flexion calculé par rapport aux aciers tendus MELU/At est inférieur au moment équilibré par un diagramme de déformation qui passe à la fois par le pivot B et le pivot C.


12. FLEXION COMPOSEE : Centre de pression

flexion composée avec compression

flexion composée avec tractione = excentricité du centre de pression par rapport au centre de gravité :

N

Me =

ea = excentricité du centre de pression par rapport aux aciers tendus


Flexion composée – Excentricité du centre de pressio n par rapport aux aciers tendusLes deux diagrammes ci-dessus représentent deux cas de sections partiellement comprimées :- Un cas en flexion composée avec compression ou le centre de pression est situé au-dessus du contour de la section, la zone comprimée se trouve du côté du centre de pression, l’excentricité du centre de pression par rapport aux aciers tendus a pour valeur ea= (v’-c’) + e,- Un cas en flexion composée avec traction ou le centre de pression est également situé au-dessus du contour de la section, la zone comprimée se trouve du côté opposé au centre de pression et les armatures tendues sont situées du côté du centre de pression par rapport à la section ; l’excentricité du centre de pression par rapport aux aciers tendus a pour valeur ea= e – (v-c).



)'(

)'(

)(0

'ddzM

ddzM

NA

bA

A

AA−+=

−+=

−+=

+−+=

+=+=

scb

stscb

A

scb

stst

scb

stscbstscb

NN

N0

M de actionl' sous simple flexion en équilibred' Equations

NN

A'N

A-A'NN-NNN

C en N de actionl' sous équilibred' Equations

σσ

σσ

σ

σσ

• Méthode par assimilation à la flexion simple


Section partiellement comprimée – calcul des armatur esLa détermination des armatures dans le cas d’une section partiellementcomprimée en flexion composée s’effectue en se ramenant à l’étude d’une flexionsimple par identification de deux systèmes d’équations.D’une part les deux équations d’équilibre exprimant que le torseur des sollicitations internes (N,M/A) appliqué au point A barycentre des aciers tendus est égal au torseur des efforts internes béton armé (Nc résultante des contraintes de compression dans le béton, Nst résultante des contraintes de traction dans les aciers tendus et Nsc résultante des contraintes de compression dans les aciers comprimés) au même point A.D’autre part les deux équations d’équilibre exprimant l’équilibre de la même section soumise à une flexion simple est caractérisée par le moment M/A = Nea.

Ces deux systèmes étant équivalents le calcul des armatures procède des étapes suivantes :- Calcul du moment par rapport aux acier tendus M/A = Nea,- Calcul en flexion simple des sections d’acier à mettre en place en zone tendue Ast et en zone comprimée Asc,- Calcul final de la section à mettre en place en zone tendue Ast = Ast - N/σst.

A noter qu’en flexion avec compression N est positif et qu’il est négatif en cas de flexion composée avec traction.



Le théorème de superposition permet de retrouver les équations précédentes


Section partiellement comprimée – calcul des armatur esUne autre manière plus directe permettant de comprendre cette assimilation à la flexion simple consiste à décomposer l’état de flexion composé en la somme de deux états : un premier état ou la section n’est soumise qu’à l’effort normal mais appliqué au droit des aciers tendus et un second état où la section n’est soumise qu’à une flexion simple caractérisée par le moment M/A .La somme des sollicitations (N,M) exprimées par rapport à G dans ces deux états redonne bien les sollicitations de l’état de flexion composé. Par exemple en flexion composée avec compression :N = N (état 1) + 0 (état 2) M/G = -N (v’-c’) (état 1) + M/A (état 2) = -N (v’-c’) + N ea= Ne en effet en flexion composée avec compression ea= (v’-c’) + e.


• Section totalement comprimée en ELS :

• Le centre de pression est dans le noyau central

en ELU :

• Le moment de flexion calculé par rapport aux aciers tendus MuA=N*ea est supérieur au moment équilibré par un diagramme de déformation passant simultanément par les pivots B et C

• Méthode de calcul

Méthode d’assimilation à la flexion simple ou utilisation du diagramme d’interaction

12. FLEXION COMPOSEE : Section totalement comprimée


Section totalement comprimée – calcul des armaturesLa section est totalement comprimée en flexion composée avec compression et en état limite de service si le centre de pression se trouve dans le noyau central de la section.

En état limite ultime, une section soumise à une flexion composée aveccompression est entièrement comprimée si le moment de flexion calculé parrapport aux aciers tendus M/A est supérieur au moment équilibré par undiagramme de déformation qui passe à la fois par le pivot B et le pivot C.

Le calcul des aciers dans ce cas se fait soit par assimilation à la flexion simple,soit par utilisation du diagramme d’interaction qui est l’outil le plus efficace pourétudier une flexion composée.


45‰

3.5‰2‰

Traction pure

Compression pure

0‰

Pivot A

Pivot B

Pivot CPivot AB

Pivot BC

Section 6 §6.1

13. DIAGRAMME D’INTERACTION : PIVOTS A, B et C


Diagramme d’interaction – Pivots A, B et CLe diagramme d’interaction d’une section en béton armé est le lieu des points (N,M) correspondants à un état limite ultime de la section.Pour construire ce diagramme on envisage les diagrammes de déformation relative sur la hauteur de la section qui passent par l’un des trois pivots : A, B ou C.

Le pivot A correspond à l’atteinte, par l’acier passif tendu situé en partie basse d’une section soumise à un moment de flexion positif, de sa limite de déformation relative en traction, en se rappelant que celle-ci n’est limitée qu’avec la branche inclinée du diagramme contrainte déformation à εud = 45‰. Le pivot B correspond à l’atteinte, par le béton comprimé situé en fibre supérieure de la section, de sa limite de déformation relative en compression εcu2 = 3,5‰. Le pivot C correspond à la limite de déformation relative du béton en compression pure; il s’obtient en faisant l’intersection des deux diagrammes [εcsup = 3,5 ‰, εcinf = 0] et [εc(y)= 2 ‰].


13. DIAGRAMME D’INTERACTION

Quand le diagramme des déformations élémentaires tourne successivement autour des trois pivots le point (M,N) correspondant décrit le diagramme d’interaction.


Diagramme d’interaction – Construction du diagrammeUn diagramme de déformation relative sur la hauteur de la section est défini par deux valeurs : εc raccourcissement du béton et εst allongement des aciers (ou εcinfdéformation relative de la fibre inférieure en pivot C). La donnée de ces deux valeurs permet de trouver la position de l’axe neutre [α= εc/(εc+ εst)] et de définir la zone comprimée.La variation des contraintes de compression sur la hauteur de la zone comprimée résulte directement de l’application du diagramme contrainte-déformation du béton, de même les contraintes dans les aciers tendus et comprimés sont données par la loi contrainte-déformation des aciers passifs. L’intégration de ces états de contrainte sur les aires de béton ou d’armatures concernées permet d’aboutir aux résultantes N et M correspondant à un point (N,M) du diagramme d’intégration. Celui-ci est construit en envisageant successivement les diagrammes de déformations limites qui tournent autour du pivot A [εst = 45‰ et εc ≤3,5 ‰] en commençant par un diagramme vertical [ε(y) = 45‰] et en terminant par le diagramme passant par les pivots A et B puis les diagrammes qui tournent autour du pivot B [εst ≤ 45‰ et εc = 3,5 ‰] jusqu’à atteindre le diagramme passant par B et C [εcsup = 3,5 ‰ et εcinf = 0] et en terminant par les diagrammes qui tournent autour du pivot C. Le dernier diagramme est vertical et correspond à [εc(y)= 2 ‰]. Le problème est symétrisé en supposant ensuite la fibre supérieure tendue. L’intérieur du diagramme d’interaction correspond au domaine réglementaire respectant les limites admissibles et l’extérieur n’est pas autorisé.


13. DIAGRAMME D’INTERACTION – Poteau 60*60 C50

section d'acier At 14,041ferraillage pratique Ac 3HA25

At 3HA253. Diagramme d'interaction

allongement acier epsst -0,0100raccourcissement béton epsb 0,0035

hauteur de béton comprimé hx 0,1400raccourcissement acier comprimés epssc 0,0020contrainte béton 33,33contrainte acier tendus -434,78contrainte aciers comprimés 400,00

effort de compression béton Fb 2,240bras de levier 0,244moment béton Mb 0,547

effort de compression Ac Fsc 0,589bras de levier 0,240moment Ac Msc 0,141

effort de traction At Fst -0,640bras de levier -0,240moment At Mst 0,154

effort resultant N 2,189moment resultant M 0,842

εc= 3.5‰

εst= 10‰

εsc= 2.0‰Ac= 14,01cm²

At= 14,01cm²

Fb= 2,24MNFsc= 0,59MN

Fst= 0,64MN

Diagramme d'interaction - Section rectangulaire - E C2

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

-4.00 -2.00 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.00

N (MN)

M (

MN

m)


Diagramme d’interaction – ExempleConsidérons un poteau en béton C50 de 60cm x 60cm armé par 3 HA25 sur chacune de ses deux faces hautes et basses avec un barycentre à 6cm du parement. Une simple feuille de calcul permet de constituer point par point le diagramme d’interaction de ce poteau. Après les lignes de données concernant la géométrie de la section, les matériaux utilisés et les sections d’acier mises en place deux cellules contiennent la valeur du raccourcissement du béton et de l’allongement de l’acier inférieur pour un état limite de déformation donné (εc = 3,5 ‰ εst = 10 ‰ )

La hauteur de béton comprimé αd = εc/(εc+ εst), d est égal à 3,5/13,5*0,53=0,137m.Le raccourcissement des aciers comprimés a pour valeur εsc=(αd-c’)/ αd*3,5‰ =2‰.La contrainte béton a pour valeur σc=50/1,5MPa, celle des aciers tendus σst=435MPa (aciers plastifiés ; branche horizontale) et celle des aciers comprimés σsc=400MPa (aciers en phase élastique ; σ= E ε)La résultante des compressions dans le béton Fb=0,8 αdb σc= 2,24MN située à 0,4αd de la fibre supérieure soit 0,056m, le moment résultant au CdG vaut M=Fb(h/2-0,4 αd)= 0,55MNm.La résultante des compressions dans les aciers comprimés a pour valeurAc σsc=0,59MN, elle est située à 6cm de la fibre supérieure d’où un moment Msc=0,14MNm.La résultante des tractions dans les aciers tendus a pour valeur As σst=0,64MN, elle est située à 6cm de la fibre inférieure d’où un moment résultant au CdG Mst=0,15MNm.L’effort normal équilibré par la section a pour valeur N = 2,24+0,59-0,64= 2,19MN.Le moment de flexion a pour valeur M=0,55+0,14+0,15=0,84MNm.Le point (N=2,19MN et M=0,84MNm) est un point du diagramme d’interaction.

En modifiant les cellules contenant εc et εst on détermine les autres points du diagramme.


13. DIAGRAMME D’INTERACTION – EXEMPLE 1 (fin)

b = 0.60 mh = 0.60 md = 0.54 m

A inf = 14.70 cm²c = 0.060 m

A sup = 14.70 cm²c' = 0.060 m

fck = 50.00 MPafcd = 33.3 MPa

εcu2 = 0.0035

εc1 = 0.0020

fyk = 500.00 MPa

fyd = 434.8 MPa

εud = 0.0450

k-1 = 0.08

NELU = 3.00 MN

MELU = 0.800 MN


-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

-4.00 -2.00 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.00

N (MN)

M (

MN

m)


13. DIAGRAMME D’INTERACTION - EXEMPLE

b = 0.50 mh = 0.70 md = 0.64 m

A inf = 24.55 cm²c = 0.060 m

A sup = 0.00 cm²c' = 0.060 m

fck = 50.00 MPafcd = 33.3 MPa

εcu2 = 0.0035

εc1 = 0.0020

fyk = 500.00 MPa

fyd = 434.8 MPa

εud = 0.0450

k-1 = 0.08

NELU = 0.60 MN

MELU = 0.600 MN


-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

-2.00 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00

N (MN)

M (

MN

m)

enpc baep1 2011 - seance 4 mode de compatibilite

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