ENSAYO No. 1

ANÁLISIS DIMENSIONAL EN INGENIERÍA

QUÍMICA

TABLA DE CONTENIDO

Resumen……………………………………………………………………………….IIIIntroducción……………………………………………………………………………IVDesarrollo Del Cuerpo Del Ensayo………………………………………………….1Aplicación……………………………………………………………………………...11Conclusiones………………………………………………………………………….12Recomendaciones……………………………………………………………………13Referencias Bibliográficas…………………………………………………………...14

RESUMEN

El análisis dimensional permite predecir diferentes grupos dimensionales que son de gran ayuda para Correlacionar los datos. En el flujo de fluidos y en la transferencia de calor, los números de Reynolds, de Prandtl, de Grashof y de Nusselt se utilizan con frecuencia para correlacionar datos experimentales.

El análisis dimensional no conduce a una ecuación numérica y es preciso recurrir a la experimentación para completar la solución del problema. El análisis dimensional es muy valioso para orientar la experimentación, y resulta de gran utilidad para señalar el camino a seguir con el fin de correlacionar los datos experimentales en una forma adecuada para su utilización en ingeniería. Más adelante se presenta una discusión de la técnica para efectuar un análisis dimensional, con un ejemplo del método.

El estudio del análisis dimensional está basado en correlaciones empíricas de datos, tomando como guía el análisis dimensional. Las ecuaciones así obtenidas todavía se utilizan mucho en el diseño. Con posterioridad estudiara teóricamente el problema, obteniéndose un conocimiento más profundo del mecanismo de la transmisión de calor con flujo turbulento, a la vez que se han mejorado las ecuaciones aplicables a intervalos de condiciones más amplios.En este ensayo se considera primeramente el método empírico-dimensional y después se analizan brevemente los resultados más teóricos.

II

INTRODUCCIÓN

Una magnitud física conlleva dos aspectos: un número que indica su valor y una unidad que representa su significado único. El análisis dimensional es un tratamiento algebraico de los símbolos de las unidades consideradas independientemente de su valor numérico. El análisis dimensional simplifica enormemente el ajuste de datos experimentales por medio de una ecuación cuando no es posible un tratamiento totalmente matemático; también resulta útil para comprobar la consistencia de las unidades de las ecuaciones, para convertir unidades y para el cambio de escala a partir de datos obtenidos mediante modelos físicos con el fin de predecir el comportamiento del equipo en cualquier escala. El método está basado en el concepto de dimensión y el empleo de fórmulas a dimensionales. Magnitudes primarias y secundarias. Para el análisis dimensional, las magnitudes físicas se dividen en dos grupos. En primer lugar se elige un pequeño número de magnitudes y después se expresan las restantes en función de éstas. Las magnitudes del primer tipo reciben el nombre de magnitudes primarias, y las del segundo tipo magnitudes secundarias.

La elección de magnitudes primarias es bastante arbitraria, tanto en cuanto al número como al tipo, y se basa fundamentalmente en la conveniencia. Un grupo de magnitudes primarias suficiente para todos los problemas de ingeniería es el formado por longitud, masa, tiempo, temperatura y carga eléctrica. En el caso de operaciones unitarias no es necesaria la carga eléctrica, y es conveniente, aunque no esencial, añadir a la lista la fuerza y el calor.

III

1. ANALISIS DIMENSIONAL EN INGENIERÍA QUIMICA

Muchos problemas importantes de ingeniería no pueden resolverse totalmente por métodos teóricos o matemáticos. Problemas de este tipo son especialmente frecuentes en flujo de fluidos, flujo de calor y operaciones difusionales. Una forma de abordar un problema para el que no es posible deducir una ecuación matemática, consiste en recurrir a la experimentación empírica. Por ejemplo, la pérdida de presión por fricción en una tubería circular, larga, recta y lisa depende de todas estas variables: longitud y diámetro de la tubería, velocidad de flujo del fluido, así como de su densidad y viscosidad. Si se modifica cualquiera de estas variables, se modifica también la caída de presión. El método empírico para obtener una ecuación que relacione estos factores con la caída de presión requiere determinar el efecto de cada variable por separado, para lo cual es preciso efectuar una experimentación sistemática con cada una de las variables manteniendo todas las demás constantes. El procedimiento es muy laborioso y resulta difícil correlacionar los resultados obtenidos con el fin de hallar una relación útil para los cálculos. Existe un método intermedio entre el desarrollo matemático formal y el estudio empírico’“, que se basa en el hecho de que, si existe una ecuación teórica entre las variables que afectan a un proceso físico, dicha ecuación tiene que ser dimensionalmente homogénea. Teniendo en cuenta esta condición, se pueden reunir varios factores en un número menor de grupos a dimensionales de las variables. Los valores numéricos de estos grupos son, en un caso determinado, independientes del sistema dimensional utilizado.

El análisis dimensional no conduce a una ecuación numérica y es preciso recurrir a la experimentación para completar la solución del problema. El análisis dimensional es muy valioso para orientar la experimentación, y resulta de gran utilidad para señalar el camino a seguir con el fin de correlacionar los datos experimentales en una forma adecuada para su utilización en ingeniería.

Mediante el análisis dimensional, el problema o fenómeno físico, se representa por una función de los denominados “grupos adimensionales”, en vez de por las variables que intervienen. Con este procedimiento, se reduce el número de variables, con lo que el coste de la experimentación disminuye.

Se puede expresar una dimensión dependiente en función de un conjunto seleccionado de dimensiones básicas independientes, en general se utiliza el Sistema Internacional de unidades, estas dimensiones básicas son:

- L, longitud.- M, masa.- T, tiempo.- K, grados kelvin.

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Así se puede expresar, por ejemplo, la velocidad dimensionalmente como:

vL

T

Como una longitud entre un tiempo.Se denomina grupo adimensional, aquel cuya dimensión es 1; es decir,

cuando el producto de un grupo de cantidades expresadas dimensionalmente es igual a 1.

Por ejemplo:

* * * *

*

v DM

L

L

TL

M

L T

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1

Este grupo adimensional recibe un nombre particular, el número de Reynolds.

1.1 TEOREMA DE PI O BUCKINGHAM

Este teorema dice lo siguiente: “Si se sabe que un proceso físico es gobernado por una relación dimensionalmente homogénea que comprende a n parámetros dimensionales, tales como:

x1 = f (x2, x3,...., xn)Donde las “x” son variables dimensionales, existe una relación equivalente que contiene un número (n - k) de parámetros adimensionales, tales como:

f’(n-k)Donde los “” son grupos adimensionales que se construyen a partir de las “x”. La reducción “k” generalmente es igual al número de dimensiones fundamentales contenidas en “x”, pero nunca mayor que él”.

1.2 APLICACIONES DEL TEOREMA DE PI.

El teorema pi, lo único que nos dice es el número mínimo de grupos adimensionales. Para la construcción completa de un sistema de grupos adimensionales, se debe seguir con el siguiente método:1) Escribir una relación funcional para la relación dimensional que se investiga,

asegurándose de incluir todos los parámetros dimensionales relevantes.Así podemos escribir la pérdida de altura por fricción (Hfricción) en una tubería recta de sección circular, que depende de:

Donde es la rugosidad absoluta de la tubería (dimensión longitud).

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2) Determinar el número de parámetros adimensionales que se requieren construir.Para ello cada variable se expresa dimensionalmente:Hfricción = LL = LD = LV = L/T = M/L3

= M/(L*T) = L

En donde se tiene 7 variables (n) y 3 dimensiones (k). Por tanto el número de grupos adimensionales que tendremos según el teorema de “pi” es de:

n – k = 7 – 3 = 4 grupos adimensionales.

3) Cálculo de los grupos adimensionales.La relación funcional se expresa dimensionalmente, elevando las variables dependientes a coeficientes:

[L] = f ([L]a, [L]b, [L*T-1]c, [M*L-3]d, [M*L-1*T-1]e, [L]f)Como debe ser una ecuación dimensionalmente homogénea, el lado izquierdo de la igualdad tiene que tener la misma dimensión que el lado derecho de la igualdad, por tanto se cumple:[L]

1 = a + b + c – 3d – e + f[T]

0 = - c – e[M]

0 = d + e Se produce un sistema de 3 ecuaciones con 6 incógnitas, por lo que se escogen tres variables (que queramos que se repitan en los diferentes grupos adimensionales), y se ponen en función de las demás.En este caso se escoge la densidad (d), la velocidad (c) y el diámetro (f):

d = - ec = - e1 = a + b – e – 3*(- e) – e + f1 = a + b + e + ff = 1 – a – b – e

Sustituyendo en la misma relación:[L] = f ([L]a, [L]b, [L*T-1]-e, [M*L-3]-e, [M*L-1*T-1]e, [L]1-a-b-e)

y agrupando las potencias se obtiene:

3

Con lo que se han obtenido cuatro grupos adimensionales, tales como se habían deducido por la aplicación del teorema de pi.

1.3 GRUPOS ADIMENSIONALES IMPORTANTES EN LA MECÁNICA DE FLUIDOS.

En todos los problemas relacionados con la Mecánica de Fluidos, aparece siempre un número determinado de grupos adimensionales. Así, a nivel general, se sabe que la suma de fuerzas que actúan sobre un fluido, puede provocar una aceleración del mismo:

Esta fuerza de inercia se puede expresar como:

Las fuerzas que componen el sumatorio de fuerzas, son las másicas y las superficiales, y pueden ser:a) Fuerzas másicas:

1) Fuerzas debido a la gravedad:

b) Fuerzas superficiales:1) Fuerzas normales o de presión:

2) Fuerzas tangenciales o de fricción debido a la viscosidad:

3) Fuerzas tangenciales debido a la tensión superficial:

4) Fuerzas normales debido a la compresibilidad:

Sumando todas las fuerzas e igualando a las de inercia, obtenemos:

Esta es una expresión que relaciona 8 magnitudes físicas:

Como intervienen 3 magnitudes básicas (masa, longitud y tiempo), se han de obtener 5 grupos adimensionales:Dividiendo la ecuación del por las fuerzas de inercia, obtendremos:

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Estos cinco números adimensionales, en general, se les da otra forma y se les asigna unos nombres particulares:

Número de Reynolds.

Es el cociente entre las fuerzas de inercia y las de fricción producidas por la viscosidad.

Número de Euler.

Representa la raíz cuadrada del cociente entre las fuerzas de inercia y las de presión.

Número de Froude.

Es la raíz cuadrada del cociente entre las fuerzas de inercia y las de gravedad.

Número de Mach.

Es la raíz cuadrada del cociente entre las fuerzas de inercia y las de elasticidad.

Siendo la velocidad del sonido en el fluido en cuestión.

Número de Weber.

Es la raíz cuadrada del cociente entre las fuerzas de inercia y las debidas a la tensión superficial.

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1.4 LEYES DE SEMEJANZA

Para poder extrapolar los resultados, previamente se han de cumplir:

a) El modelo ha de ser geométricamente igual que el prototipo.Por tanto, las longitudes L, superficies A y volúmenes V deben ser homólogos entre el prototipo y el modelo, y han de verificar la siguiente relación:

Siendo la escala del prototipo en relación al modelo.

b) El modelo ha de ser dinámicamente semejante al prototipo.Para que los fenómenos en el modelo y en el prototipo sean comparables no basta que los modelos de estructuras o máquinas hidráulicas sean geométricamente semejantes a los prototipos, sino que también los flujos, o sea las líneas de corriente, han de ser semejantes. Para ello es necesario que las velocidades, aceleraciones, y fuerzas sean semejantes.Cuando se cumple la semejanza geométrica y dinámica se dice que el modelo tiene semejanza cinemática con el prototipo.Por lo tanto para una semejanza completa, supuesta la intervención de todas las fuerzas señaladas anteriormente, se debería cumplir:

Eup = Eum; Frp = Frm; Map = Mam; Rep = Rem; Wep = Wem

Esta condición sólo se cumple cuando el modelo y el prototipo tienen el mismo tamaño.Afortunadamente, en un buen número de casos puede prescindirse de la influencia de tres de las fuerzas y consecuentemente, de sus tres adimensionales correspondientes.

1.5 ECUACIONES DE ESTADO DE LOS GASES

Un gas puro consistente en 12 moles que se mantiene a una temperatura T y presión p, ocupará un volumen V. Si una cualquiera de estas tres magnitudes está fijada, la cuarta también está determinada y, por tanto, sólo tres magnitudes son independientes.Esto puede expresarse mediante la ecuación funcional

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f(p, T, V, n) = 0

Las formas específicas de esta relación se llaman ecuaciones de estado. Se han propuesto muchas de estas ecuaciones y varias de ellas son de uso frecuente. Las ecuaciones de estados más satisfactorias pueden expresarse en la forma PV B C D

Esta ecuación, llamada ecuación del virial, está bien fundamentada por la teoría molecular de los gases. Los coeficientes B, C y D son el segundo, tercero y cuarto coeficientes del virial, respectivamente. Cada uno de ellos es función de la temperatura e independiente de la presión. Se pueden incorporar coeficientes adicionales, pero los valores numéricos para los coeficientes superiores a D son tan poco conocidos que rara vez se utilizan más de tres. La ecuación del virial también se aplica a mezclas gaseosas, y los coeficientes del virial dependen de la temperatura y la composición de la mezcla. Existen reglas para estimar los coeficientes de B, C y D para mezclas a partir de sus valores para los gases puros individuales.

Factor de compresibilidad y densidad molar. Para fines de ingeniería la ecuación anterior se escribe con frecuencia así:

Donde z es el factor de compresibilidad y pM es la densidad molar definida porP M = n/V;

Ley de los gases ideales. Los gases reales a presión elevada requieren el uso de los tres coeficientes del virial para cálculos exactos de z a partir de PV y T. A medida que se reduce la densidad por disminución de la presión, los valores numéricos de los términos del virial se anulan, aun cuando los valores de los coeficientes no se modifican. A medida que el efecto de D se hace despreciable, la serie se trunca suprimiendo este término, después el término C, y así sucesivamente, hasta que para bajas presiones (del orden de una o dos

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atmósferas para gases ordinarios), se pueden despreciar los tres viriales. El resultado es la sencilla ley de los gases

Presiones parciales. La presión parcial es una magnitud útil para el tratamiento de los componentes individuales de una mezcla gaseosa. La presión parcial de un componente en una mezcla, tal como, por ejemplo, el componente A, está definida por la ecuación

PA = pYA

Donde pA = presión parcial del componente A en la mezclayA = fracción molar del componente A en la mezclaP = presión total de la mezcla

Si se suman todas las presiones parciales de una determinada mezcla el resultado es

PA + PB + PC + "' = p(YA + YB + YC + "')Puesto que la suma de las fracciones molares es la unidad,

PA + PB + PC + “’ = P

La suma de todas las presiones parciales de una mezcla dada es igual a la presión total de la mezcla. Esto es aplicable tanto para mezclas de gases ideales como no ideales.

Balances de materia. La ley de conservación de la materia establece que la materia no se puede crear ni destruir. Esto conduce al concepto de masa, y la ley puede enunciarse en la forma de que la masa de los materiales que intervienen en un proceso es constante. Actualmente sabemos que la ley está muy restringida para el caso de materia que se mueve con velocidades próximas a la de la luz o para sustancias que experimentan reacciones nucleares. En estas circunstancias, la materia y la energía son interconvertibles, de forma que la suma de las dos permanece constante en vez de cada una por separado. Sin embargo, en la mayor parte de las situaciones de ingeniería esta transformación es demasiado pequeña para ser detectada.

La conservación de la materia exige que los materiales que entran en un proceso, o bien se acumulan o salen del proceso, de forma que no puede haber pérdida ni ganancia. La ley se aplica con frecuencia en la forma de balances de materia. El proceso es deudor con respecto a lo que entra y acreedor con respecto a lo que sale. La suma del debe tiene que ser igual a la suma del haber. Los balances de materia han de cumplirse para todo el proceso o

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equipo, así como para cualquier parte de los mismos. Se cumplen tanto para todo el material que entra y sale del proceso como para cualquier material individual que pasa a través del proceso sin modificarse.

Balances de energía. A un proceso, o a una parte del mismo, separado de los alrededores por un límite imaginario, se le puede aplicar un balance de energía. Como en un balance de materia, la entrada que cruza el límite tiene que ser igual a la salida más la acumulación. Si las condiciones son de estado estacionario (no varían con el tiempo), la entrada es igual a la salida.En un balance de energía es preciso incluir todas las formas de energía. Sin embargo, en la mayor parte de los procesos de flujo algunas formas de energía, tal como magnética, superficial y de esfuerzo mecánico, no varían y no es preciso tenerlas en cuenta. Las formas más importantes son la energía cinética, la energía potencial, la entalpía, el calor y el trabajo. En los procesos electroquímicos hay que añadir a la lista la energía eléctrica.

1.6 METODO DEL ANALISIS DIMENSIONAL

Un análisis dimensional no se puede realizar si no se tiene un conocimiento suficiente acerca de la situación física para decidir qué variables son importantes en el problema y qué leyes físicas básicas deberán intervenir en una solución matemática si es que existe alguna. Las leyes físicas son importantes debido a que tales leyes introducen constantes dimensionales que es preciso considerar juntamente con las variables. La etapa definitiva en el análisis dimensional es decidir qué factores dimensionales y variables intervienen en el problema.

1.7 DIMENSIONES

Una magnitud primaria se representa por medio de una letra, llamada dimensión de la magnitud, que simboliza la magnitud generalizada. Representa el conjunto de todas las unidades que se han utilizado. No deben confundirse las magnitudes primarias con las unidades unitarias, que son unidades SI basadas en patrones establecidos por la corporación internacional de normalización, la Conferencia General de Pesas y Medidas. Las magnitudes primarias son las elegidas por un determinado investigador con el fin de realizar un análisis dimensional específico. Las dimensiones de las unidades primarias generalmente incluyen las magnitudes masa, longitud, tiempo, y a veces, temperatura, pero esto es una cuestión de conveniencia.

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Las unidades que se utilizan o puedan utilizarse para medir la magnitud. Por ejemplo, sea la dimensión de longitud. Su conjunto estará formado por:

L = {pie, pulgada, metro, milla, vara, yarda, codo...}Donde los puntos suspensivos representan todas las demás unidades de

longitud. Para las dimensiones de masa (g), tiempo (t); temperatura (T), fuerza (F), y calor (H), se realizan definiciones similares.

Criterios para una magnitud primaria. Las unidades de un conjunto que define una magnitud primaria han de cumplir un requisito: debe existir un factor de conversión constante entre dos unidades cualesquiera contenidas en el conjunto. Otro ejemplo es la dimensión de la temperatura absoluta, que puede escribirse así:

Las unidades de este conjunto son interconvertibles. Por tanto

Dimensiones de las magnitudes secundariasLas dimensiones de una magnitud secundaria expresan la forma en que dicha magnitud se construye a partir de magnitudes primarias. Así, una velocidad, con independencia de su unidad o valor, se obtiene dividiendo una longitud por un tiempo, de forma que las dimensiones de la velocidad son L/t o Lt-1. Análogamente, las dimensiones de la aceleración son L/t2 0 Lt-2.

Fórmulas dimensionales. Las dimensiones de cualquier magnitud se pueden representar utilizando corchetes,

Por ejemplo, la segunda ecuación dice: las dimensiones de la presión son fuerza por longitud elevada a menos. Una vez que las magnitudes primarias han sido elegidas, se puede obtener la fórmula dimensional para cualquier magnitud secundaria a partir de su definición, tal como se ha hecho para los casos de velocidad, aceleración y presión. El resultado general para cualquier magnitud G puede escribirse así

Los exponentes son siempre números enteros, positivos 0 negativos, fracciones entre números enteros positivos o negativos, o bien cero.

APLICACIÓN

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El análisis dimensional en ingeniería Química no se puede realizar si no se tiene un conocimiento suficiente acerca de la situación física para decidir qué variables son importantes en el problema y qué leyes físicas básicas deberán intervenir en una solución matemática si es que existe alguna. Las leyes físicas son importantes debido a que tales leyes introducen constantes dimensionales que es preciso considerar juntamente con las variables.

Ejemplo:

En un campo de flujo, la cabeza de altura de un fluido que circula por el interior de un tramo vertical de tubería de sección transversal circular pasando por una bomba centrífuga, por observación del fenómeno, se ha observado que es función de las siguientes variables:Diámetro de la tubería [D]Longitud de la tubería [l]Rugosidad absoluta de la tubería Velocidad media de la tubería Viscosidad absoluta del fluido Densidad del fluido Constante gc

Encuentre por análisis dimensional lo siguiente:

a) Numero de grupos adimensionales o grupos п. n = 4b) Forma de cada grupo adimensional o grupo п. m = 3

El análisis dimensional también es la base de los ensayos con maquetas a escala reducida utilizados en muchas ramas de la ingeniería, tales como la aeronáutica, la automoción o la ingeniería civil. A partir de dichos ensayos se obtiene información sobre lo que ocurre en el fenómeno a escala real cuando existe semejanza física entre el fenómeno real y el ensayo.

Finalmente, el análisis dimensional también es una herramienta útil para detectar errores en los cálculos científicos e ingenie riles. Con este fin se comprueba la congruencia de las unidades empleadas en los cálculos, prestando especial atención a las unidades de los resultados.

CONCLUSIONES

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1. El análisis dimensional aplicado en las operaciones unitarias permite predecir diferentes grupos dimensionales que sean de ayuda y que son utilizados para correlacionar los datos obtenidos experimentalmente.

2. Para el análisis dimensional es preciso recurrir a la experimentación para completar la solución al problema planteado, debido a que éste señala el camino a seguir para obtener una ecuación empírica que relacione datos experimentales.

3. El análisis dimensional es un tratamiento algebraico de los símbolos de las unidades consideradas independientemente de su valor numérico.

4. El análisis dimensional resulta útil para comprobar la consistencia de las unidades de las ecuaciones, para convertir unidades y para el cambio de escala a partir de datos obtenidos mediante modelos físicos con el fin de predecir el comportamiento del equipo en cualquier escala.

RECOMENDACIONES

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Definir qué variables son importantes en el problema y qué leyes físicas básicas deberán intervenir en una solución matemática si es que existe alguna, con el fin de especificar las dimensionales de dichas variables, reducir el número de variables, y evitar el cálculo innecesario de otras variables.

Es preciso recurrir a la experimentación para el análisis dimensional del problema planteado, por lo que se requiere determinar el efecto de cada variable por separado, con el fin de obtener una ecuación dimensionalmente homogénea.

Escribir una relación funcional, asegurándose de incluir todos los parámetros relevantes, y así poder determinar el número de parámetros adimensionales que se requieren para construir una relación dimensional, para la solución del problema planteado.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

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UNITARIAS”. Primera edición en español. Editorial C.E.C.S.A. México

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QUÍMICA”. Cuarta edición. Editorial McGraw – Hill. Madrid 1991. pp. 343

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3. Perry, Robert. “MANUAL DEL INGENIERO QUÍMICO”. Tomo III. 6ta. Ed.

McGraw- Hill, México, 1992.

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