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Ensino Superior
3 – Transformada de Laplace
Amintas Paiva Afonso
Introdução aos Sistemas Dinâmicos
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Sumário
3.1 Introdução
3.2 Revisão das variáveis complexas e das funções complexas.
3.3 Transformada de Laplace.
3.4 Teoremas da Transformada de Laplace.
3.5 Transformada inversa de Laplace.
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3.1 Introdução
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3.2 Definição da Transformada de Laplace
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3.2 Definição da Transformada de Laplace
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3.2 Definição da Transformada de Laplace
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0dte st
f(t) = uma função de tempo t em que f(t) = 0 para t < 0
s = uma variável complexa
F(s) = transformada de Laplace de f(t)
L = Operador de Laplace - um símbolo operacional que indica que a grandeza que ele antecede vai ser tranformada por meio da integral de Laplace
Então, a transformada de Laplace de f(t) é dada por:
0
dttfesF st )()(L [f(t)]= Desde que a integral convirja
3.2 Definição da Transformada de Laplace
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Portanto, o método consiste em resolver equações diferenciais como se fossem equações algébricas.
Definição: Dada uma função f(t) definida no intervalo [0, ) definimos a sua transformada de Laplace, F(s), por
0
))((L)()( tfdttfesF st
Supondo que a integral convirja pelo menos para algum valor de s.
3.2 Definição da Transformada de Laplace
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• Por meio de sua utilização, podemos converter muitas funções comuns, como funções senoidais, amortecidas e funções exponenciais, em funções algébricas de uma variável
complexa s.
• A transformada de Laplace é um método operacional que pode ser usado de maneira proveitosa para solucionar equações diferenciais lineares.
• Operações como diferenciação e integração podem ser substituídas por operações algébricas no plano complexo.
• Assim, a equação diferencial linear pode ser transformada em
uma equação algébrica em uma variável complexa s.
3.2 Definição da Transformada de Laplace
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• Se a equação algébrica em s for solucionada em termos da variável dependente, então a solução da equação diferencial (a transformada de Laplace inversa da variável dependente) poderá ser obtida por meio da tabela das transformadas de Laplace.
3.2 Definição da Transformada de Laplace
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Vantagens da Transformada de Laplace
• Converte uma equação diferencial linear em uma equação algébrica, facilitando a sua solução. Obtém-se tanto a solução transitória quanto a permanente;
• Conversão de vários tipos de função em funcões algébricas;
• Permite o uso de técnicas gráficas para a previsão do desempenho do sistema, sem necessitar resolver suas equações diferenciais.
3.2 Definição da Transformada de Laplace
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3.2 Definição da Transformada de Laplace
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Aplicando a Definição
Exemplo 1:
3.2 Definição da Transformada de Laplace
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3.2 Definição da Transformada de Laplace
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Exemplo 2:
3.2 Definição da Transformada de Laplace
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Exemplo 3:
3.2 Definição da Transformada de Laplace
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Exemplo 4:
3.2 Definição da Transformada de Laplace
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3.2 Definição da Transformada de Laplace
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Transformação Linear
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Transformamos através do operador L funções f(t), na variável t, em funções F(s), na variável s.
Sabe-se que uma integral definida em um intervalo ilimitado é chamada de integral imprópria e é definida como um limite de integrais definidas em intervalos finitos; Assim:
a
A
aAdttfdttf )(lim)(
Onde A é um real positivo. Se a integral de a até A existe para todo A > a e se o limite quando A existir, então dizemos que a integral imprópria converge para aquele valor limite. Caso contrário, diverge.
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Exemplo 1: Seja f(t) = 1/t , t 1, então
1)/1( dtt
Converge?
Adttdttdttf
A
AAlnlim)/1(lim)/1()(
11 1
Logo, a integral imprópria diverge.
2?)( divergedttf
Exemplo 2: Seja f(t) = 1/t 2, t 2, então a integral
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Temos que:
2/1)/1(lim)/1(lim)/1( |22
2
2
2
A
A
A
Atdttdtt
Logo a integral dada converge para o valor 1/2.
Teorema: Se f é seccionalmente contínua em t a, se |f(t)| g(t) quando t M para alguma constante positiva M e se
aMdttfentãoconvergedttg )(,)(
também converge. Por outro lado, se f(t) g(t) 0 para t M e se
aMdttfentãodivergedttg )(,)(
também diverge.
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Teorema: (Existência da transformada de Laplace).
Suponha que:
1) f seja seccionalmente contínua no intervalo 0 t A para qualquer A positivo;
2) |f(t)| Keat quando t M, onde K, a e M são constantes reais com K e M necessariamente positivas. Então, a transformada de Laplace L [f(t)] = F(s), definida pela equação
L [f(t)] = F(s) = ,)(0
dttfe st
Existe para s > a.
Exemplo 3: Seja f(t) = 1, t 0. Então
01
1100
ss
dtedteLA
st
A
st .lim)(
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Exemplo 4: Seja f(t) = sen(at), t 0. Então
00
sdtatsenesFatsenL st ,)()())((
Temos integrando por partes
])cos()cos(
[lim)(00
| dtatea
s
a
atesF
A stAst
A
Finalmente, F(s) = a / (s 2 + a 2), s > 0
Exemplo 5: Seja f(t) = eat, t 0, então
dtedteesFeL tasatstat
0
)(
0)()(
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L
F(s)
aF(s) + bF(s)
sF(s) – f(0)
s 2F(s) - sf(0) - f’(0)
f(t)
af(t) + bf(t)
f ’(t)
f ”(t)
Transformada de Laplace
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Teorema: Suponha que f seja contínua e que f’ seja seccionalmente contínua em qualquer intervalo 0 t A.
Suponha, além disso, que existam constantes k, a e M tais que |f(t)| ke at para t M. Então L[f’(t)] existe para s > a e, além disso, L[f’(t)] = sL[f(t)] = sL[f(t)] – f(0).
Corolário: Suponha que as funções f, f’, f”, ..., f(n-1) sejam contínuas e que f(n) seja seccionalmente contínua em qualquer intervalo 0 t A. Suponha, além disso, que existam constantes k, a e M tais que |f(t)| ke at , |f’(t)| ke at ...|f(n-1)(t)| ke at para t M. Então L[f(n)(t)] existe para s > a e é dado por
L[f(n)(t)] = snL[[f(t)] – sn-1f(0) - ... - sf(n-2)(0) – f(n-1)(0).
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Exemplo 6: Determine F(s) se f(x) = 3 + 2x2.
Por definição e tabela de transformada, temos:
F(s) = L(3 + 2x2) = 3L(1) + 2L(x2) = 3(1/s) + 2(2/s3) = 3/s + 4/s 3.
Exemplo 7: Resolva a equação diferencial y”– y’– 2y = 0 com y(0) = 1, y’(0) = 0.
Facilmente pode-se encontrar a solução y = 2/3e-t + 1/3e2t usando equação característica.
Usando transformada de Laplace, temos:
L[y”] – L[y’] – 2L[y] = 0,
s2L[y] – sy(0) – y’(0) – [sL[y] – y(0)] – 2L(y) = 0
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ou (s2 – s – 2)Y(s) + (1 - s)y(0) – y’(0) = 0
Y(s) = (s – 1) / (s2 – s – 2) = (s – 1) / [(s – 2) (s + 1)]
que acaba chegando à mesma solução.
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Exemplo 8: Usando a transformada de Laplace, resolva a equação y” – y’ - 6 = 0, y(0) = 1, y’(0) = -1.
Solução: L[y”] – L[y’] – 6L[y] = 0
s2L[y] – sy(0) – y’(0) – {sL[y] – y(0)} – 6L[y] = 0.
Como L[y] = Y(s), temos:
s2Y(s) – sy(0) – y’(0) – sY(s) + y(0) – 6Y(s) = 0
Y(s)(s2 – s – 6) + 1 – s + 1 = 0
Y(s) = (s –2) / (s2 – s – 6) = (s –2) / (s – 3)(s –+2)
Separando em frações, temos: Y(s) = (1/5)/(s - 3) + (4/5)/(s + 2)
Consultando a tabela de Laplace, temos
Y(s) = (1/5)e3t + (4/5)e-2t = (1/5)(e3t + 4e -2t)
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Exemplo 9: Resolva por Laplace a equação: y’ + y = senx, y(0) = 1.
Solução: sY(s) – y(0) + Y(s) = 1 / (s2 +1)
sY(s) – 1 + Y(s) = 1 / (s2 + 1), Y(s)(s + 1) = 1 + 1 / (s2 + 1)
Y(s) = 1/(s + 1) + 1 / (s + 1)(s2 + 1)
Separando em frações, temos:
1/(s + 1)(s2 + 1) = A/(s + 1) + (Bs + C) / (s2 + 1)
Donde A = ½, B = - ½ e C = ½. Então
Y(s) = 1/(s + 1) + (1/2)/(s + 1) – (½)[s/(s2 + 1)] + ½ [1/(s2 + 1)]
Logo:
y = (3/2)e–x – (1/2)cos(x) + (1/2)sen(x) = ½ (3e–x – cos(x) + sen(x))
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Função Degrau: A função Degrau unitário, denotado por c, é definida por
ct
ctc
,
,
0
1
A função de Laplace de c é determinada por
0,)()({0
ss
edtedttetL
cs
c
stc
stc
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y
t
1
c
y = 1 - c
t
y
c
1
y = c (t)
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Teorema: Se F(s) = L[f(t)] existe para s > a 0 e se c é uma constante positiva, então
L[µc(t) f(t - c)] = e – cs L[f(t)] = e – cs F(s), s > a
Reciprocamente, se f(t) = L –1[F(s)], então
µc(t) f(t - c) = L –1[e – cs F(s)]
Teorema: Se F(s) = L[f(t)] existe para s > a 0 e se c é uma constante positiva, então L[ectf(t)] = F(s - c), s > a + c
Reciprocamente, se f(t) = L –1 {f(t)}, então ect = L –1 {f(s-c)}.
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Exemplo 10: Usando a função atseoaatsec
,0
,,1
Reescreva a função atseatseattf
,0,),sen()(
Assim podemos escrever f(t) = a(t) sen(t - a)
ou
atseatseatga atgttf
,0,),()()()(
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Teorema: Se f é de ordem exponencial e é de período p, então
sp
p st
e
dttfetfL
10
)()]([
Exemplo 11: Ache a transformada de Laplace da função cujo gráfico é
1
1 2 3 4t
f(t)
Neste caso, f é periódica com período 2, donde
)(
)(
)()]([
s
ss
st
s
st
es
ese
e
dte
e
dttfetfL
11
11
11 2
1
2
1
02
2
0
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Exemplo 12: Encontre a transformada de Laplace da função f(t) = t, 0 t < 1, f(t +1) = f(t).
s
st
e
tdtetfL
1
1
0)]([
Integrando por partes, temos
[1 – (1 + s)e –s] / [s2 (1 – e-s)]
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Definição de convolução: Sejam f(x) e g(x) E.
A convolução de f(x) e g(x) é dada por
.)()()().(0 x
dttxgtfxgxf
Exemplo: Se f(x) = e 3x e g(x) = e 2x, então f(t) = e 3t e g(t) = e 2(x - t) e
xxx txtxx t eedteedteexgxf 23
0
2)(2
0
3)().(
Teorema: Se L[f(x)] = F(s) e L[g(x)] = G(s), então
L[f(x) . g(x)] = L[f(x)] . L[g(x)] = F(s) . G(s) podem ser escrita na forma L –1[F(s) . G(s)] = f(x) . g(x)
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