自己共振相殺制御をマイナーループに持つ p-pi 制 …...mec-18-003...
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MEC-18-003
自己共振相殺制御をマイナーループに持つP-PI制御系の
周波数応答を用いた設計法の一提案
大西亘∗（東京大学）
Frequency response data based P-PI feedback controller design method
using self resonance cancellation control
Wataru Ohnishi∗ (The University of Tokyo)
In motion control applications such as machine tools and high-precision positioning stages for semiconductor or
flat panel industry, more and more systems have sensors on not only their motor side (collocated side) but also load
side (non-collocated side). The load side information enables compensation of transmission dynamics, like friction
or backlash. However, due to the phase lag of the load side frequency characteristics, it is difficult to increase
the feedback bandwidth. To address this problem, this paper proposes a frequency response data based feedback
controller design method utilizing both collocated and non-collocated sensor information. Simulation results show
that the proposed method effectively suppresses the input disturbance.
キーワード：自己共振相殺制御，制御器自動設計，データベース設計，周波数応答(Self resonance cancellation control, feedback controller auto-tuning, data-baced design, frequency response)
1. はじめに
半導体や液晶製造装置，工作機械の位置制御系においては，駆動側のセンサだけでなく，負荷側にもセンサを持つ例が増えている (1) (2)。コロケートが取れている駆動側のみをフィードバック (FB)し，駆動側から負荷側の特性が開ループになるものをセミクローズドループ制御，コロケートが取れていない負荷側の情報を直接 FBする制御をフルクローズドループ制御という (3) (4)。位置決めしたい点 (Point
of interest) (5)の近くを FBするフルクローズドループ制御の方が，ねじれ剛性やバックラッシといった駆動側・負荷側間の伝達特性や摩擦を含めて FBするために，定常偏差など最終位置決め性能は高くなる。一方で，負荷側情報のFBは，駆動側の制御入力から負荷側の出力までの動特性に位相遅れがあるため，FB帯域を上げにくい課題がある (6)。駆動側・負荷側双方の情報を有効に利用し，高帯域化を
狙う手法として，自己共振相殺制御 (Self Resonance Can-
cellation: SRC) (7) が提案された。この手法は，剛体モードと主共振を４次のパラメトリックモデルとしてモデル化したうえで，駆動側・負荷側のセンサ情報を適切な比率で内分することにより重心点の座標を求め（共振を “相殺”），主共振のない仮想的な系に対し高帯域 FBをする手法である。この手法は，負荷側の位置を直接 FBしているわけではないため，負荷側の位置決め性能が保証されていないという欠点がある。この点を改良したものに周波数分離自己共振相殺制御 (Frequency Separation Self Resonance Can-
cellation: FS-SRC) (8) と，インナーループに SRC を用いた速度 PI(Proportional Integral)制御，アウターループにP(Proportional) 制御を用いる SRC-P-PI 制御 (9) がある。一連の手法は，主共振を含むパラメトリックモデルが必要
Table
Linear motor
Linear encoder
Air guide
Carriage
Linear encoder
図 1. 精密位置決めステージFig. 1. High-precision positioning stage.
な上，複数共振がある場合の設計論は陽に議論されていない。周波数応答によるフィードバック制御器設計法は，Ziegler-
Nichols調整法 (10)をはじめ数多く提案されている。また，最適化に基づく設計手法は，遺伝的アルゴリズム (11)，Nelder-
Mead法 (12)，粒子群最適化 (13) などが提案されている。凸最適化に基づく手法は，望みの開ループ特性との差を最小化する手法 (14)や，Concave-Convex Procedureによる逐次線形化による手法 (15) (16)が提案されている。いずれの場合も，コロケート・ノンコロケート情報の双方が得られる場合の制御器設計法は，制御器の構造も含めて十分に議論されているとは言えないため，本稿ではその一設計法を示す。本稿では，負荷側・駆動側ともにエンコーダがあり，高
次共振を持つ制御対象に対し，高い外乱抑圧性能を持つ制御器を周波数応答から自動設計する手法を提案する。本手法が設計に使用する情報は，1) 1入力 2出力の周波数応答データ (17)，2) 剛体モデル (ノミナルの質量と粘性係数)，
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Frequency [Hz]
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Phas
e [d
eg]
図 2. 制御対象の周波数応答。Pv1 は入力電流から駆動側速度，Pv2 は入力電流から負荷側速度，Pvn は 1 次ノミナ
ルモデルを表す。Fig. 2. Frequency response of the plant. Pv1, Pv2, and
Pvn denote the frequency responses from the input cur-
rent to the collocated side velocity, non-collocated side
velocity, and the first order nominal model, respectively.
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Frequency [Hz]
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Phas
e [d
eg]
図 3. 時間応答のシミュレーションに用いた 8 次モデル。制御系設計には用いていない。
Fig. 3. Eight order plant model for the time domain sim-
ulation. This is not used by the controller design.
である。提案する制御器の形は自己共振相殺制御を用いた駆動側速度 PI制御+負荷側位置 P制御の P-PI制御系であり， Affine でない形の 4変数を持つ。各変数は，1) 極配置法，2) 逐次線形化，3) Nelder-Mead法を順に用いて最適化していく。本稿において比較する従来法は，1) 駆動側速度 PI制御+負荷側位置 P制御の P-PI制御 (18), 2) 負荷側位置 PID制御，である。この３手法について，ゲイン余裕6 dB，位相余裕 30度の条件でそれぞれ周波数応答を用いて設計し，詳細モデルを用いたシミュレーションによって有用性を示す。2. 制御対象と設計要件〈2・1〉 制御対象 今回，ベンチマークモデルとして用いる１軸の精密位置決めステージを Fig. 1に示す。入力はLinear motor からの電流，出力は Carriage 側と Table 側の位置である。図中，Table と Carriage の間に板バネがあ
Cpi Pv1+ −
Pv21s
v1
v2 p2
uCp
+ −r
non-collocated
collocatedd++
(a) P-PI control.
Cpid+ −
1s
v1
v2 p2
ur
non-collocated
collocated
Pv1
Pv2
+
+d
(b) PID control.
Cpi+ −
α
1− αvsrc+
+
1s
v1
v2
p2
uCp
+ −r
non-collocated
collocated
Pv1
Pv2
+
+d
(c) P-PI control with SRC.
図 4. 本稿において比較する３制御系のブロック図。Fig. 4. Block diagrams of the compared controller con-
figurations.
るため，Carriage 側が コロケート系であり，Table 側がノンコロケート系となっている。
Fig. 2に，Fig. 1のステージの入力電流から速度までの周波数特性を示す。コロケート側である Pv1 はまず 1次モードは反共振，次に共振を持っていることがわかる。一方で，Pv2 はノンコロケート系であるため，まず共振を持ち，次に反共振を持っている。剛体モードについて 1次近似したモデルを Pn とし，(1), (2)式で定義する。
Pn(s) =1
Mns+Bn· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1)
Mn = 0.412, Bn = 0.866 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (2)
〈2・2〉 設計要件 ゲイン余裕を 6 dB，位相余裕を 30度とする円条件を満たす FB制御器を，全手法共通で設計する。位相余裕・ゲイン余裕に対する制約は円条件 (19) として与える。位相余裕を Φm，ゲイン余裕を gmとすると，ナイキスト線図上のこの２点を通り，かつ臨界点を内部に含む円盤の中心 (−σ, j0)および半径 rm は
σ =g2m − 1
2gm(gm cosΦm − 1)
rm =(gm − 1)2 + 2gm(1− cosΦm)
2gm(gm cosΦm − 1)
· · · · · · · · (3)
で与えられる。3. 設計手法本章では，第 4–6章で使用する設計手法をまとめて取り
上げる。
2/6
〈3・1〉 剛体モデルへの極配置設計〈3・1・1〉 速度PI制御系 PI制御の伝達関数を (4)式に示す。
Cpi(s) = kvp +kvis
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (4)
電流指令値から速度までの伝達関数 (1)式に対し，PI制御によって速度閉ループ系の根を (s + ωv)
2 に極配置するゲインは，(1)式および (4)式から (20)
kvp = 2ωvMn −Bn, kvi = ω2vMn · · · · · · · · · · · · · · · (5)
で与えられる。〈3・1・2〉 位置 PID制御系 位置 PID制御器の伝達関数を (6)式に定義する。
Cpid(s) = kp +kis
+kds
τds+ 1· · · · · · · · · · · · · · · · · · · (6)
電流から位置までの伝達関数 Pn/sに対する位置閉ループ系の根を (s+ωp)
4に極配置するゲインは，(1)式および (6)
式から (20)
kp =Mn
2 ωp3 (15Mn ωp − 4Bn)
(Bn − 4Mn ωp)2
ki =Mn
2 ωp4
Bn − 4Mn ωp
kd =(3Mn ωp −Bn)
4
(4Mn ωp −Bn)3
τd =Mn
4Mn ωp −Bn
· · · · · · · · · · (7)
で与えられる †。〈3・2〉 周波数特性を用いた制約を満たす制御器設計 本節では，周波数特性を用いた制約を満たす制御器設計法を示す。本稿では，PI制御器，PID制御器 ††を対象にする。制御器の基底 ϕ(jωk)と定義する。ただし，ωk は測定した周波数点の周波数であり，添字の k はデータ番号を示す。次に，ゲインを ρ と定義する。よって，制御器の周波数特性は s = jωk について C(jωk) = ρ⊤ϕ(jωk) と表される。プラントの周波数特性を P (jωk)とすると開ループはL(jωk,ρ) = P (jωk)C(jωk)と定義される。定式化する最適化問題を (8)–(11)式に示す。
maximizeρ
Ωgc · · (8)
subject to rm − |L(jωk,ρ) + σ| ≤ 0, ∀k · · (9)∣∣∣Ωgc
jωk
∣∣∣m − |1 + L(jωk,ρ)| ≤ 0, ∀k · (10)
0 ≤ ρ · (11)
(8) 式は，(10) 式に示す感度関数への制約を表す。Ωgc は
† 周波数特性より，電流から位置までの制御対象にバネ性を含めていないが，バネ性がある場合でもゲイン４自由度に対して極が４個であるためノミナルモデルへの任意の極配置可能である。†† 本稿では，制御器を Affine にするために疑似微分の時定数 τd
は固定とする。
Table 1. Design results (Case 1, P-PI control).
kvp kvi ωv ,Ωgc [rad/s] kpp Note
Case 1-1 9.31 62.8 ωv = 12.3 15.8 PP*
Case 1-2 6.99 228 Ωgc = 12.8 7.03 CCCP
PP: Pole-placement, 極配置設計
Table 2. Design results (Case 2, PID control).
kp ki kd τd ωp,Ωgc [rad/s] Note
Case 2-1 119 531 8.69 0.0155 ωp = 16.6 PP
Case 2-2 241 4420 20.7 0.0155 Ωgc = 14.7 CCCP
Table 3. Design results (Case 3, SRC-P-PI control).
α kvp kvi ωv ,Ωgc [rad/s] kpp Note
Case 3-1 0.484 17.3 194 ωv = 21.3 50.4 PP
Case 3-2 0.484 15.1 1710 Ωgc = 35.2 16.6 CCCP
Case 3-3 0.571 18.8 2160 Ωgc = 39.5 20.3 NM*
NM: Nelder-Mead 法
感度制約の 0 dBクロスオーバ周波数であり，これを最大化することで感度関数全体を可能な限り右に抑え込む役割がある。(9) 式はゲイン余裕・位相余裕を満たす円条件である。(9)式および (10)式は凸関数の差 (difference of con-
vex: DC)であるため，テーラー展開により線形計画問題に落とし込み，繰り返し計算で局所最適解を求めることができる (15) (16) (21)。(11)式は安定な制御器となる制約である。
Ωgc 自体は２分法により最大化され，feasibility problem
を YALMIP (22) とMOSEK (23) により解いた。4. P-PI制御器設計 (Case 1)
本節では，周波数応答に基づく P-PI 制御の設計法について述べる。ブロック図を Fig. 4(a)に示す。〈4・1〉 設計手法 本手法は以下のステップからなる。
Step 1. 極配置設計による Cpi 初期ゲイン設定インナーループの PI 速度制御器を１次モデルに対する
極配置により設計する。(3) 式の円条件を満たさなくなる最大の ωv を (5)式を用いて２分法で探索し，Cpi の初期ゲインを決定する。次に Step 2. を経ずに Step. 3を適用したものを Case 1-1と定義する。
Step 2. 逐次凸化による Cpi のゲイン決定Step 1. は極配置設計を用いた１パラメタチューニングで
あったが，このステップでは Step 1. で得られた Cpi を初期コントローラとし，第〈3・2〉節に示した Concave-convex
procedure (CCCP) (15) (16) (24)による逐次凸化を用いてゲインを決定する。PI制御であるため，ϕ(jωk) = [1, 1
jωk]⊤，
ρ = [kvp, kvi]⊤ と定義する。CCCP により得られた速度
制御器に対し，Step 3.を適用したものを Case 1-2と定義する。
Step 3. ２分法による Cp の最大化アウターループの Cp = kpp は１パラメータであるため，
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Real axis
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-1
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0
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Case 1-1
Case 1-2
(a) Nyquist plot.
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-50-40-30-20-10
010
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]
(b) Sensitivity function.
図 5. 速度制御系の設計結果 (Case 1, P-PI 制御)
Fig. 5. Design results of the veocity loop (Case 1, P-PI
control).
0 0.2 0.4 0.6
Time [s]
0
1
2
3
4
510
-3
Case 1-1
Case 1-2
(a) Time renponse.
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Case 1-1
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Frequency [Hz]
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Ph
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]
(b) Frequency response.
図 6. 入力端外乱抑圧特性 (Case 1, P-PI 制御)
Fig. 6. Disturbance suppression performance (Case 1, P-
PI control).
２分法を用いて円条件を満たす最大の kpp を導出する。〈4・2〉 設計結果 設計結果を Tab. 1および Fig. 5–6に示す。Case 1-2は速度制御系の kvp が抑えられる代わりにkviが高い値を取っている。Fig. 6より，低域における入力端外乱抑圧特性は 3.8 dBの向上が見られる。5. PID制御器設計 (Case 2)
本節では，周波数応答に基づく負荷側位置の PID制御の設計法について述べる。ブロック図を Fig. 4(b)に示す。〈5・1〉 設計手法 本手法は以下のステップからなる。Step 1. 極配置設計による Cpid 初期ゲイン設定
PID位置制御器を 2次モデルに対する極配置により設計する。(3)式の円条件を満たさなくなる最大の ωp を２分法で探索し，Cpid の初期ゲインを決定する。これを Case 2-1
と定義する。Step 2. 逐次凸化による Cpid ゲインの最適化第 4 章と同様に CCCP により kp, ki, kd を最適化する
(15) (16)。PID制御であるため，ϕ(jωk) = [1, 1jωk
, jωkτdjωk+1
]⊤，ρ = [kp, ki, kd]
⊤と定義する。ここで，τdは極配置設計で求めたもののまま固定していることに注意されたい。感度関数の重み mは位置制御であるため m = 3とおいた。これを Case 2-2と定義する。〈5・2〉 設計結果 設計結果の比較を Fig. 7–8と Tab. 2
に示す。ゲインが上げられており，Fig. 8(b)から低域の外乱抑圧特性が 17.7 dB向上していることがわかる。
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Real axis
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-1
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Imag
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Case 2-1
Case 2-2
(a) Nyquist plot.
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]
(b) Sensitivity function.
図 7. 位置制御系の設計結果 (Case 2, PID 制御)
Fig. 7. Design results of the position loop (Case 2, PID
control).
0 0.2 0.4 0.6
Time [s]
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0
2
4
6
810
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Case 2-1
Case 2-2
(a) Time renponse.
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Case 2-1
Case 2-2
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]
(b) Frequency response.
図 8. 入力端外乱抑圧特性 (Case 2, PID 制御)
Fig. 8. Disturbance suppression performance (Case 2,
PID control).
6. SRC-P-PI制御器設計 (Case 3, 提案法)
本節では，周波数応答に基づく SRC-P-PI制御の設計法について述べる。ブロック図を Fig. 4(c)に示す。〈6・1〉 設計手法 SRCを用いた際の制御対象の伝達関数は
Pvsrc(s, α) = (1− α)Pv1(s) + αPv2(s)· · · · · · · · · (12)
で与えられる。よって，速度制御系の開ループ特性は
Lvsrc(s,ρ, α) = [(1− α) α]
Pv1(s)
Pv2(s)
[kvp kvi]
1
1s
(13)となる。これはゲインρとαに関してAffineでないため，凸最適化は適用できない。そのため，まず αを固定し，制御器を設計した後に非線形最適化法の一つである Nelder-Mead
法 (25) (26) を適用する。Step 1. 周波数応答を用いた SRCの αの初期値決定主共振のある周波数 ωkmin から ωkmax までの間で，SRC
を適用した後のゲインを最小化する α を以下の最適化問題を解くことにより求める。ここで，ωkmin = 22.4 × 2π
[rad/s]，ωkmin = 32.6× 2π [rad/s]と設定した。
minimizeα
||jωk(1− α)Pv1(jωk) + jωkαPv2(jωk)||∞(14)
k ∈ [kmin, kmax] (15)
subject to 0 ≤ α ≤ 1 (16)
以上より，一次共振のゲインを最小化する意味での SRCの4/6
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Frequency [Hz]
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Ph
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[deg
]
図 9. SRC の α の初期値 αsrc の決定Fig. 9. Initial value of α for SRC.
最適な αは αsrc = 0.484と求まった。Bode線図を Fig. 9
に示す。Step 2. 極配置設計による Cpi 初期ゲイン設定Case 1と同様に 1次モデルに対する極配置により，2分
法で ωv を最大化する。この後に Step. 5 を適用したコントローラを Case 3-1とする。α = αsrc とする。Step 3. 逐次凸化による Cpi のゲイン更新CCCPを用いて Case 1と同様に Cpi のゲインを最適化し，Ωgc を最大化する。この後に Step. 5を適用したコントローラを Case 3-2とする。α = αsrc とする。
Step 4. Nelder-Mead法による Cpiおよび αの最適化このステップでは，非線形最適化手法の一つであるNelder-
Mead法を適用する。初期値には Step. 3で用いた αsrc とCpi を用いる。これにより得られた αを αopt と定義する。この後に Step. 5 を適用したコントローラを Case 3-3 とする。
Step 5. ２分法による Cp の最大化アウターループの Cp = kpp は１パラメータであるため，２分法を用いて円条件を満たす最大の Cp を導出する。〈6・2〉 設計結果 設計結果を Tab. 3および Fig. 10–11
に示す。また，SRCの適用結果を Fig. 12に示す。Fig. 12
から，α = αopt ではあえて一次共振を不完全に相殺していることがわかる。またFig. 10(a)から，結果としてCase 3-3
においてはナイキスト線図の１次共振・２次共振がほぼ同じ大きさの円を描いて円条件の制約に近づいていることがわかる。Fig. 11から，低域の入力端外乱抑圧特性は，Case
3-2は Case 3-1に比べ 8.74 dBの向上し，さらに Case 3-3
は Case 3-2に比べ 3.63 dBの向上していることがわかる。３手法の最終的な設計結果の比較をFig. 13に示す。SRC-
P-PI 制御を用いた Case 3-3 は，PID 制御を用いた Case
2-2や P-PI制御を用いた Case 1-2に比べ飛躍的に向上している。7. ま と め本稿では，自己共振相殺制御をマイナーループに持つ P-
PI 制御系の周波数応答を用いた自動設計法を提案し，P-PI制御および PID 制御の周波数特性を用いた設計法と比較し，外乱抑圧特性が飛躍的に向上することを示した。駆動
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Real axis
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Case 3-1
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(a) Nyquist plot.
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(b) Sensitivity function.
図 10. 速度制御系の設計結果 (Case 3, SRC-P-PI 制御)
Fig. 10. Design results of the veocity loop (Case 3, SRC-
P-PI control).
0 0.2 0.4 0.6
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(a) Time renponse.
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(b) Frequency response.
図 11. 入力端外乱抑圧特性 (Case 3, SRC-P-PI 制御)
Fig. 11. Disturbance suppression performance (Case 3,
SRC-P-PI control).
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図 12. SRC を用いたプラントの周波数特性Fig. 12. Frequency response of the plant with SRC.
側のみならず，負荷側にもエンコーダを持つ例が増えているなかで，双方の情報を有効利用する FB制御系を提案した。今後は，実験検証と，より複雑な構造の制御器の自動設計に取り組みたい。最後に，貴重なご助言と実験装置の周波数特性をいただ
いた，東京大学藤本博志准教授に深く感謝します。
参考文献（1） 二見茂, “精密位置サーボ系,” 計測と制御, vol. 39, no. 10,
pp. 659–662, 2000.
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5/6
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Time [s]
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
410
-3
Case 1-2 (P-PI)
Case 2-2 (PID)
Case 3-3 (SRC-P-PI)
(a) Step disturbance renponse.
10-1
100
101
102
103
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
Mag
nit
ude
[dB
]
Case 1-2 (P-PI)
Case 2-2 (PID)
Case 3-3 (SRC-P-PI)
10-1
100
101
102
103
Frequency [Hz]
-180
-90
0
90
180
Phas
e [d
eg]
(b) Frequency response of d to y.
図 13. 入力端外乱抑圧特性の比較Fig. 13. Disturbance suppression performance compari-
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