■ 担当教員の体調不良などもあり，中間試験の採点がまだ終わっていません…．もう一週間待ってください．

■ 配布物：ノート 3枚 (p.61～72)，解答用紙 2+1枚

■ 宿題を提出してください．

第11回：運動量と力積

工業力学 補足・復習スライドIndustrial Mechanics

おさらい

回転体のつりあい

固定軸につけられた物体が回転すると遠心力が発生する．この遠心力がうまくつりあわないと振動，騒音，摩耗の原因となり，製品にとってよろしくない．

これを防ぐには，物体各部に作用する遠心力がつりあっている必要がある．

考慮しなくてはならないつりあいは 2つある：

◼ 静的つりあい：

→ 遠心力自体がつりあう

◼ 動的つりあい：

→ 遠心力がつくりだすモーメントがつりあう

静的つりあい

物体上の各部位に作用する遠心力のつりあい

物体上の微小部位の水平位置を (𝑥, 𝑦)T，その軸との距離を

𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2，微小質量を 𝑑𝑚とするとき，角速度を 𝜔とすると，遠心力の大きさは 𝐹 = 𝑑𝑚 𝑟𝜔2．ベクトルでは，

𝑭 = 𝑑𝑚 𝑟𝜔2 cos 𝜃sin 𝜃

= 𝑑𝑚 𝜔2𝑥𝑦 = 𝜔2 𝑥 𝑑𝑚

𝑦 𝑑𝑚．

よって遠心力の合力は

𝑹 = 𝜔2 𝑥 𝑑𝑚

𝑥 𝑑𝑚= 𝜔2 𝑀𝑥G

𝑀𝑦G

= 𝜔2𝑀𝒙G.

静的つりあい

𝑹 = 𝜔2 𝑥 𝑑𝑚

𝑥 𝑑𝑚= 𝜔2𝑀

𝑥G𝑦G

= 𝜔2𝑀𝒙G.

板の全質量が重心に集中した場合の遠心力の式

遠心力の合力 𝑹をゼロにするには，全体の重心 𝒙Gを原点つまり軸上に持ってくればよい．

軸上にこういう板が複数ついている場合は，それら全体の重心を軸上に持ってくればよい．

つまり，軸の付属物全体の重心を軸に持ってくる設計が必要．

動的つりあい

右図のように，軸受けで固定された回転軸に質量が 2つとりつけられているとする．

軸受け

軸受けとは (Wikipedia)

軸受（じくうけ）とは機械要素のひとつで、回転や往復運動する相手部品に接して荷重を受け、軸などを支持する部品である。

http://gamette.blog4.fc2.com/blog-entry-6.html

動的つりあい

右図のように，軸受けで固定された回転軸に質量が 2つとりつけられているとする．

2つの質量の重心は軸上なので，静的つりあいは OK．だが…

回転させたときに発生する遠心力はこの軸を，軸と直交する方向に回転させるモーメントを発生させる．

これが軸受けを押し，製品全体を振動させる．

このモーメントもゼロにしたい

→ 動的つりあい

軸受け

動的つりあい

各力のモーメントアームを右図のように設定する．

基準点 (右図では下の軸受け) の位置は，静的つりあいが成り立っている場合はどこにおいてもよい

この場合，モーメントのつりあいは

𝐹1𝑎1 − 𝐹2𝑎2 = 0

と表される．

(つまり右図では成り立たない)

この図の奥行き方向についても，同様にモーメントのつりあいをとる．

𝑭1

𝑭2

𝑎1

𝑎2

回転体のつりあい

総合的に考えると，図のようになる．

静的つりあい：

動的つりあい：

σ𝑚𝑖𝑥𝑖 = 0,σ𝑚𝑖𝑦𝑖 = 0.

σ𝑎𝑖𝑚𝑖𝑥𝑖 = 0,σ𝑎𝑖𝑚𝑖𝑦𝑖 = 0.

𝑭𝑖 = 𝜔2𝑚𝑖

𝑥𝑖𝑦𝑖

𝑁𝑖𝑥 = 𝑎𝑖𝜔2𝑚𝑖𝑦𝑖

𝑁𝑖𝑦 = −𝑎𝑖𝜔2𝑚𝑖𝑥𝑖

運動量 (momentum)

物体の運動の勢い (はげしさ) を表す量として，運動量(momentum) を導入する．

◼ 運動量は同じ速度なら質量が大きいほど大きい．

◼ 運動量は同じ質量ならスピードが大きいほど大きい．

◼ 右向きと左向きの運動は正負逆の量と見なすべき．

したがって，以下のように定義する．

(運動量) = (質量)・(速度ベクトル)

v

m

質量 m=20 [kg]，速度 v=(-1, 2)T [m/s]

(運動量) = (-20, 40)T [kgm/s]

運動量変化の法則性

物体が力を受けると，運動は変わる → 運動量が変わる

質量 m，速度 v の物体が力 f を受けた時どうなるか？

→ 運動量 mvの時間変化率は，受けている力 f に等しい．

では，一定時間に渡って力 f(t)を受けた場合はどうか？

上の式を積分して，

→ 受けた力の時間積分が運動量の総変化量となる．

力の時間積分：力積 (impulse)

( )d mdm m

dt dt

vvf a

0( ) (0)

t

dt m m t mf v v v

力積の例題

地面の上を滑らかに滑る 10 [kg]の物体を左向き 5 [N]の力で 3[s]の時間押したとき，この間の運動量の変化はどれほどか？ただし右向きを正とする．

受けている力は右を正として-5．一定力なので，力積は

である．

運動量変化は力積に等しいので，-15 [kgm/s]．

※ 1 [Ns] = 1 [kg m/s2]・[s] = 1 [kg m/s]．

3

05 ( 5) 3 15 [Ns]dt