전력시스템 해석 및 설계 -...

전력시스템 해석 및 설계

제 3 장 – Power Transformer -

성균관대학교 김 철 환

CENTER FOR POWER IT

Center for Power IT CENTER FOR POWER IT

전력IT인력양성센터

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CONTENTS

3.1 이상 변압기 (THE IDEAL TRANSFORMERS)

3.2 실제 변압기의 등가회로(EQUIVALENT CIRCUIT FOR PRACTICAL TRANSFORMERS)

3.3 단위 법(THE PER-UNIT SYSTEM)

3.4 3상 변압기 결선 및 위상 변위(THREE PHASE TRANSFORMER CONNECTION AND PHASE SHIFT)

3.5 평형 3상 2권선 변압기의 단위 법 등가회로(PER-UNIT EQUIVALENT CIRCUITS OF

BALANCED THREE-PHASE TWO-WINDING TRANSFORMERS)

3.6 3권선 변압기(THREE-WINDING TRANSFORMERS) 3.7 단권 변압기(AUTOTRANSFORMERS) 3.8 비 공칭 권선비를 갖는 변압기(TRANSFORMERS WITH OFF-NORMINAL TURNS

RATIOS)

3/106



[ 보 충 ]

4/106

taaNN

ZZ

II

EE

=====2

1

2

1

1

2

2

1



[ 보 충 ]

5/106

taaNN

ZZ

II

EE

=====2

1

2

1

1

2

2

1



[ 보 충 ]

6/106



[ 보 충 ]

7/106



3.1 이상 변압기(IDEAL TRANSFORMER)

그림 3.1 : 단상 2권선 변압기(single-phase two-winding transformer)

- 변압기 : 정현 정상 상태로 여기(sinusoidal-steady-state excitation)되어 운전 - , : 권선에 걸리는 페이저 전압 - : 권선 1로 흘러 들어오는 페이저 전류, 권선수(turns)를 가짐 - : 권선 2로 흘러 들어오는 페이저 전류, 권선수(turns)를 가짐

1E 2E1I2I

1N

2N

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이상 변압기에 대해, 다음을 가정

(1) 권선의 저항은 0, 권선에서의 손실(losses) 은 없다 (2) 철심의 투자율(core permeability) 는 무한대 철심의 자기 저항(core

reluctance) 이 0 (3) 누설 자속(leakage flux) 은 없다. 즉, 전체 자속 는 철심(core) 내에만 존재

하고, 양 권선과 쇄교(link) (4) 철심의 손실(core losses)은 없다

RI 2

cµ

cΦ

9/106

3.1 이상 변압기

)6.1.3(cc

cc A

lRµ

=



그림 3.2 : 2권선 변압기의 개략도(schematic representation) dot : 점이 있는 단자(the dotted terminals) 에 정극성(+ polarities)을 갖는 동상(in phase) 전류 , 표시. 만일, 에 대한 방향이 반대로 선택된다면, 은 와 위상차이(out of phase ) 가 남

1I 2I

1E °1802E2I

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이상 변압기 관계 유도 : Ampere’s and Faraday’s Law

암페어의 법칙 : 폐로(closed path)를 따라 적분한(선적분) 자계세기 벡터(magnetic field intensity vector)의 접선 성분(tangential component) == 경로에 둘러싸인 총 전류(net current)

- 그림 3.1의 철심의 중앙을 잇는 선(core center line)을 폐로로 선정하면, 그리고, 가

폐로를 따라 접선성분 일 분만 아니라 그 값도 일정(constant)하다면, 식 (3.1.1)은,

cH

)2.1.3(2211 ININlH cc −=

)1.1.3(tan∫ = enclosedIdlH

11/106




전류 은 번 쇄교, 전류 는 번 쇄교

암페어의 오른손 법칙에 의하면, 전류 은 시계방향의 자속(clockwise flux)을 만들고, 전류 는 반 시계 방향의 자속(counter clockwise flux )을 만든다 그러므로, 식 (3.1.2)에서 폐로의 총 전류(the net current enclosed) :

상수 값을 갖는 철심 투자율(constant core permeability) 에 대해, 철심내의 자속 밀도( ,

the magnetic flux density) 도 또한 상수이며, 다음과 같다.

그리고, 철심 자속(core flux) 는,

1I 1N 2I 2N

1I2I

2211 ININ −

cµcB

)3.1.3(/ 2mWbHB ccc µ=

cΦ

)4.1.3(WbAB ccc =Φ

12/106


)2.1.3(2211 ININlH cc −=



식 (3.1.3) 과 (3.1.4) 를 식 (3.1.2)에 대입하면,

철심의 자기저항(core reluctance) 는 다음 식과 같이 정의

따라서, 식 (3.1.5) 는,

cR

)5.1.3(/2211 ccc

cccc A

lBlININ Φ

==−

µµ

)6.1.3(cc

cc A

lRµ

=

)7.1.3(2211 ccRININ Φ=−

13/106


)3.1.3(/ 2mWbHB ccc µ=

)4.1.3(WbAB ccc =Φ

)2.1.3(2211 ININlH cc −=

자기회로의 옴의 법칙(“Ohm’s law” for the magnetic circuit)



식 (3.1.7) : 총 기자력(net magnetomotive force), mmf = = x

자기 저항 = 전기회로의 저항

이상 변압기에서는 는 무한대(infinite)로 가정하기 때문에, 식 (3.1.6)에서 는 0이 되고, 식 (3.1.7) 은,

실제, 전력용 변압기(power transformer)의 권선(winding)과 철심은 외함에 싸여져 있기 때문에, 권선의 감겨진 방향(the winding direction)은 볼 수 없음(not visible)

2211 ININ − cR cΦ

cR

cµ cR

)8.1.3(2211 ININ =

14/106


R

)6.1.3(cc

cc A

lRµ

=

)7.1.3(2211 ccRININ Φ=−



외함 내부를 보는 한가지 방법(= 권선의 정보) 점 표시법(a dot convention) : 전류가 권선의 점(dot)이 있는 곳으로 흘러 들어갈때, 동일한 방향으로 작용하는 기자력

(mmf)을 발생시킨다고 정함.

dot convention 그림 3.2

The dots : 극성 표시(polarity marks)

식 (3.1.8) : 전류 이 점이 찍힌 단자로 흘러 들어가고, 전류 는 점이 찍힌 단자로 흘러 나오는 경우를 정 방향으로 하여 나타낸 것

이때, , 는 동상(in phase) 이라고 함

1I 2I

1I 2I

2121 )/( INNI =

15/106


)8.1.3(2211 ININ =



의 방향이 반대가 되면(양 전류가 점이 있는 단자로 흘러 들어가면), 은 와 의 위상차를 가짐(out of phase). Faraday’s law :

- 일정 주파수(constant frequency) 를 갖는 정현 정상상태 자속(sinusoidal-steady-state flux)을 가정하면, 페이저 와 로 , 를 표현하면, 식 (3.1.9)는,

2I

1I 2I °180

)9.1.3()()(dt

tdNte φ=

ω)(te )(tφE Φ

)10.1.3()( Φ= ωjNE

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15.1 Mutual Inductance [ 보충 ]

[ ]( )

자자 (flux): 자자 (turns: ,

1.15

Φ

Φ=

NwbN

여기서

λ

( )[ ]

H ,:L ,

2.15 인덕턴스인덕터의비례상수여기서

Li=λ

( ) (15.3) dtdiL

dtLid

dtdv ===

λ

· flux linkage · linear inductor에서 · linear inductor : 쇄교자속은 device를 통과하는 전류에 직접 비례한다. · Faraday's law : 코일 단자에 유기되는 전압은 쇄교자속의 시간적인 변화율과 같다.

그림5.9(p.185)



이 상 변압기 : 전체 자속이 양 권선과 쇄교 하며 철심에 한정 Faraday’s law 에 의해, 그림 3.1의 권선에 걸리는 유기 전압(induced voltage)은

- 식(3.1.12)로 식 (3.1.11)를 나누면,

or

- 권수비(권선비; turns ratio) 는,

)11.1.3()(11 cjNE Φ= ω

2

1

2

1

NN

EE

=

)12.1.3()(22 cjNE Φ= ω

)14.1.3(,)13.1.3(2

2

1

1

NE

NE

=

)15.1.3(2

1

NNat =

ta

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taaNN

ZZ

II

EE

=====2

1

2

1

1

2

2

1



- 이상 단상 2권선 변압기(ideal single-phase two-winding transformer)에 대한 관계식은,

- 그림 3.2의 권선 1로 들어가는 복소 전력(complex power), and - 이상 변압기는 유효전력 및 무효전력 손실이 없음. - 이상 변압기의 권선 2에 연결된 임피던스가 다음과 같다면, - 권선 1로 부터 측정했을 때, 이 임피던스는,

)16.1.3(222

11 EaE

NNE t=

=

)17.1.3(22

1

21

taII

NNI =

=

*111 IES = )19.1.3(,)18.1.3()( 2

*22

*

22

*111 SIE

aIEaIES

tt ==

==

2

22 I

EZ =

19/106

3.1 이상 변압기 taaNN

ZZ

II

EE

=====2

1

2

1

1

2

2

1



EX 3.1) A single-phase two-winding transformer is rated 20kVA, 480/120V, 60Hz. A source connected to the 120-V winding. The load absorbs 15kVA at 0.8 p.f. lagging when the load voltage is 118V. Assume that the transformer is ideal and calculate the following: a. The voltage across the 480-V winding b. The load impedance c. The load impedance referred to the 480-V winding d. The real and reactive power supplied to the 480-V winding

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Sol) a. The voltage across the 480-V winding The load voltage is

The turns ratio is

The voltage across winding 1:

[V] 01182 °∠=E

4120480

2

1

2

1 ====rated

ratedt E

ENNa

[V] 0472)0118(421 °∠=°∠== EaE t

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b. The load impedance The complex power is The load current is The load impedance is

[VA] 7.36000,15)8.0(cos000,15118 1*2

*222 °∠=∠=== −IIES

[A] 87.3612.1272 °−∠=I

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c. The load impedance referred to the 480-V winding The load impedance referred to the 480-V winding is d. The real and reactive power supplied to the 480-V winding thus, the real and reactive power supplied to the 480-V winding are

9000000,1287.36000,1521 jSS +=°∠==

kW 12000,12Re 11 === WSP

kvar 9var000,9Im 11 === SQ

][ 87.3685.14)87.369283.0()4( 22

22 Ω°∠=°∠==′ ZaZ t

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그림 3.4 : 단상 위상 변위(상 이동) 변압기(phase- shifting transformer) 의 개념도 - This transformer is not an idealization of an actual transformer since it is physically impossible to obtain a complex turns ratio

- complex turns ratio :

- some transformer relations

φφ

jj

t eea ==1

221 EeEaE jt

φ==

222

2*

2

1

12 1 ZZa

Ia

EaIEZ t

t

t ====′

2*22

*

*2

2*111 )( SIE

aIEaIES

tt ==

==

2*2

1 IeaII j

t

φ==

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3.2 실제 변압기의 등가회로(EQUIVALENT CIRCUIT FOR PRACTICAL TRANSFORMERS)

그림 3.5 : 실제적인 단상 2권선 변압기의

등가회로 이상 변압기와의 차이점: (1) 권선(winding)의 저항 존재 (2) 철심의 투자율(permeability ) 유한한 값

(3) 자속이 모두 철심 안에만 존재하는 것 아님 (4) 철심에는 유효전력 및 무효전력 손실 발생

cµ

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이상 변압기에 대해, 다음을 가정

(1) 권선의 저항은 0, 권선에서의 손실(losses) 은 없다 (2) 철심의 투자율(core permeability) 는 무한대 철심의 자기 저항(core

reluctance) 이 0 (3) 누설 자속(leakage flux) 은 없다. 즉, 전체 자속 는 철심(core) 내에만 존재

하고, 양 권선과 쇄교(link) (4) 철심의 손실(core losses)은 없다

RI 2

cµ

cΦ

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3.1 이상 변압기 [보 충

)6.1.3(cc

cc A

lRµ

=



3.2 실제 변압기의 등가회로

(1) 저항 은 권선 1과 직렬 연결 : (권선에서의 손실) (2) 리액턴스 은 권선 1의 누설 리액턴스(leakage reactance) : 권선 1과 직렬 연결 (권선에서의 누설 자속)

이 누설 자속 : a. 권선 1과만 쇄교, 권선 2와는 쇄교하지 않음 b. 에 비례 c. 위상 만큼 앞서는 전압강하 발생 (3) 누설 리액턴스에 의해 무효전력 손실(reactive power loss) 발생 (4) 유사하게 저항 및 누설 리액턴스 는 권선 2와 직렬 연결

1R

2R

RI 2

1X

)( 11 jXI

1I°90

12

1 XI

2X

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)( 11 jXI




식 (3.1.7) : 유한한 철심의 투자율 , 전체 기자력(mmf) 0이 아님

식 (3.1.7) 을 로 나누고, 식(3.1.11)을 이용하면, 식 (3.2.1)의 우변의 항 : 자화 전류(magnetizing current)

(1) 은 보다 뒤짐 (2) 과 의 관계 : 서셉턴스(susceptance) mho 을 갖는 병렬 인덕터

실제, 추가적인 병렬 지로(shunt branch) 존재 : 병렬 저항기 : 컨덕턴스 [mho], 철손 전류(core loss current)

cµ

1N

)1.2.3(1211

1

112

1

21 E

NRj

NjE

NR

NRI

NNI cc

cc

−=

=Φ=

−

ωω

mI

mI 1E °90

= 2

1NRB c

m ω

cG cI

31/106

)8.1.3(2211 ININ =

)11.1.3()(11 cjNE Φ= ω

mI 1E

는 과 동상(in phase) 1EcI


전력IT인력양성센터 32

8.6 Impedance and Admittance (보충)


전력IT인력양성센터 33

8.6 Impedance and Admittance (보충)




철손 전류 가 포함될 때, 식 (3.2.1) 은,

그림 3.5의 등가회로(어드미턴스 ohm 의 병렬분기가 포함된) : 식 (3.2.2) 의 KCL 방정식 만족

권선 2를 개방한 상태 에서, 권선 1에 정현파 전압 을 인가하면, 식 (3.2.2) 의 전류 : : [W] 유효전력 손실(real power loss) : [Var] 무효전력 손실(real power loss) 여자 전류(exciting current) :

cI

)2.2.3()( 121

21 EjBGIII

NNI mcmc −=+=

−

)( mc jBG −

)0( 2 =I

1V

mIcI

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)1.2.3(1211

1

112

1

21 E

NRj

NjE

NR

NRI

NNI cc

cc

−=

=Φ=

−

ωω

mc III +=1

mce III +=



그림 3.6 : 3가지 alternative 등가회로 (실제적인 단상 2권선 변압기)

(1) 그림 3.6(a) : 권선 2의 저항 와 누설 리액턴스 를 식(3.1.21)에 의해 권선 1로 환산

(권선 1에서 본 임피던스)

(2) 그림 3.6(b) : 병렬 분기 제거(여자 전류 무시) 여자전류는 정격전류의 5% 이하(일반적인 전력계통 해석시 무시, 변압기 효율 및 여자전류 현상 해석시 고려함)

(3) 그림 3.6(c) : 권선 저항 무시 : 정격용량 500KVA 초과 대형 전력

용 변압기의 경우 저항은 누설 리액턴스에 비해 상

대적으로 작음

2R2X

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* 이상 변압기와 실제 변압기의 등가회로 비교

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그림 3.6 : 정현파 정상상태에서 운전되는 실제 변압기의 등가회로 (외부 분기 임피던스와 어드미턴스를 갖는) 외부 분기 임피던스와 어드미턴스의 값 단락 시험(short-circuit test) 개방 시험(open-circuit test) 예제 3.2

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EX 3.2) A single-phase two-winding transformer is rated 20kVA, 480/120V, 60Hz. During a short-circuit test, where rated current at rated frequency is applied to the 480-volt winding (denoted winding 1) , with the 120-volt winding (winding 2) shorted, the following readings are obtained: , During an open-circuit test, where rated voltage is applied to winding 2, with winding1 open, the following readings are obtained: , a. From the short-circuit test, determine the equivalent series impedance referred to winding 1. Neglect the shunt admittance b. From the open-circuit test, determine the shunt admittance referred to winding 1. Neglect the series impedance

VV 351 = WP 3001 =

WP 2002 =AI 122 =

111 eqeqeq jXRZ +=

mcm jBGY −=

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Sol) a. Determine the equivalent series impedance

[A] 667.41480

1020 3

11 =

×==

rated

ratedrated V

SI

][ 1728.0)667.41(

30022

1

11 Ω===

ratedeq I

PR

111 eqeqeq jXRZ +=

][ 8400.0)667.41(

35

1

11 Ω===

ratedeq I

VZ

][ 8220.021

211 Ω=−= eqeqeq RZX

][ 13.788400.08220.01728.0111 Ω°∠=+=+= jjXRZ eqeqeq

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b. Determine the shunt admittance

mcm jBGY −=

[V] 480)120(120480

22

1211 ===== ratedt V

NNEaEV

][ 000868.0)480(

20022

1

2 SVPGc ===

][ 00625.0480

)12(480120

1

21

2

SV

INN

Ym =

=

=

][ 00619.0)000868.0()00625.0( 2222 SGYB cmm =−=−=

][ 02.8200625.00300619000868.0 SjjBGY mcm °−∠=−=−=

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그림 3.5 의 변압기 등가회로에서 표현될 수 없는 것 (1) 포화(Saturation) 현상 (2) 돌입 전류(Inrush current) (3) 비 정현파 여자 전류(Non-sinusoidal exciting current) (4) 서지 현상(Surge phenomena)

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(1) 포화(Saturation) 현상 - 등가회로 유도 a. 철심 투자율 : 상수 값 b. 선형 관계 - 강자성 재료(ferromagnetic materials) 와 의 관계 : 비 선형(nonlinear)이며, 다중의 값(multivalued) - 그림 3.8 : 변압기에 사용되는 곡선

cµ

ccc HB µ=

HB

HB −

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- 히스테리시스(hysteresis) - 가 증가함에 따라, 철심 포화 가 1 이상으로 증가할 경우 곡선은 평평해 짐 - 만일 변압기에 인가되는 전압이 너무 높은

경우, 철심 포화되어, 대단히 큰 자화 전류가

흐르게 됨

HB 2/ mWb

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(2) 돌입 전류(Inrush current) a. 변압기 최초 가압시, 변압기의 정격전류 보다 큰 과도전류가 수 사이클 흐름 b. 비 정현파 이고 , 큰 직류(dc) 성분 보유 c. 구분 필요 (a) 정상 돌입전류(normal inrush currents) (b) 비 정상 단락고장 전류(abnormal short-circuit current) 변압기 보호 방식(transformer protection schemes) : 이러한 2가지 형태의 전류를 구분

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(3) 비 정현파 여자 전류(Non-sinusoidal exciting current)

- 여자전류 : 기본파 성분 + 홀수 고조파(odd harmonics)

- 여자전류의 비 정현파 특성은 고조파가 관심사 아닌 이상 무시 (정격전류의 5% 이하) (4) 서지 현상(Surge phenomena)

- 변압기가 뇌(lightning) 또는 개폐 서지(switching surges)에 기인한 과도 과전압을 경험할 경우,

변압기 권선간의 커패시턴스에 의해 변압기의 과도응답(transient response)에 중요한 영향 13장

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3.3 단위 법(THE PER-UNIT SYSTEM)

전력 시스템의 물리적인 량 : 전압, 전류, 전력, 임피이던스 보통 단위 법(per-unit) 또는 기준 값(base value)에 대한 percent로 표시

(예) 기준 전압 : 20kV 인 경우, 실제 전압 18kV의 전압은 (1) 단위 법 : (18/20) = 0.9 p.u. (2) 퍼센트 법 : 90%

단위 법(per-unit system)의 장점 : 적절하게 기준량(base quantities) 지정 시 (1) 변압기의 등가회로 간단화

A. 시스템 해석시 상당한 이점(수 백대의 변압기)

B. 심각한 계산상의 오차를 회피 가능

(2) 기기정격을 기준 값으로 사용시 단위 임피이던스를 비교 용이 (3) 제조업체 기기 명판(nameplate)에 단위 법 또는 퍼센트로 표기

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3.3 단위 법

단위 값(량)(Per-unit quantities) :

(1) 단위 값은 차원이 없는(dimensionless) 물리 량 (2) 기준 값은 항상 실수 값을 사용함 단위 법을 적용하는 방법 : 계통상의 특정한 점을 기준으로 2개의 독립된 기준 값

(기준 상 전압 과 기준 단상 복소 전력 ) 선정

)1.3.3()(

)( )( quantityofvaluebase

quantityactualquantityunitper량기준

량실제량단위 =−

)2.3.3(111 φφφ basebasebase SQP ==

)3.3.3(11

baseLN

basebase V

SI φ

φ =

)4.3.3(1

2

φbase

baseLN

base

baseLNbasebasebase S

VI

VXRZ ====

)5.3.3(1

basebasebasebase Z

BGY ===

47/106

φ1baseSbaseLNV


전력IT인력양성센터 48/106



3.3 단위 법

EX 3.3) - 단상 2권선 변압기의 정격: 20kVA, 480/120V, 60Hz - 120 V 측 권선(권선 2)에서 바라 본 변압기의 등가 누설 임피던스(equivalent

leakage impedance) : . - 변압기의 정격용량(transformer rating)을 기준값으로 하여, 권선 2와 1에서 각각

바라 본 단위 누설 임피던스(per-unit leakage impedance)를 구하라 Sol) 변압기의 정격으로부터, , 의 값은, 식(3.3.4)를 이용하여, 변압기의 권선 2(120 V 측)의 기준 임피던스(base impedance) 를 구하면,

][ 13.780525.02 Ω°∠=eqZ

1, basebase VS 2baseV

voltsVvoltsVkVAS basebasebase 120,480,20 21 ===

][72.0000,20

)120( 22

2

2 Ω===base

basebase S

VZ

49/106

)4.3.3(1

2

φbase

baseLN

base


VI

VXRZ ====



3.3 단위 법

(1) 식(3.3.1)을 이용하여, 권선 2에서 바라 본 단위 누설 임피던스(per-unit leakage

impedance)를 구하면, (2) 만일, 를 권선 1에서 바라 본 값으로 변환하면, 변압기의 480V 측(권선 1)의 기준 임피던스(base impedance)를 구하면,

unitperZZ

Zbase

equpeq °∠=

°∠== 13.780729.0

72.0 13.780525.0

2

2..2

2eqZ

][13.7884.0)13.780525.0(120480 2

2

2

2

12

21 Ω°∠=°∠

=

== eqeqteq Z

NNZaZ

][52.11000,20

)480( 221

1 Ω===base

basebase S

VZ

50/106

)1.3.3( 량기준

량실제량단위 =

)4.3.3(1

2

φbase

baseLN

base


VI

VXRZ ====



권선비의 환산 [보충]

1차측에서 본 등가회로로 변압기를 표시하기 위해, 변압기의 특성을 바꾸지 않고 2차권선의 권수를 1차권선의 권수와 같이 할 필요가 있음

이것을 2차측을 1차측으로 환산한다고 함 길이를, 2차 권선의 권수 즉 (1) 도체의 길이를 a배로 하고 (2) 그 단면적을 1/a배로 하면, 동량에는 변함 없이 2차권선의 권수가 1차권선의 권수와 같이 됨. 이 경우 양자의 기전력이 같으므로

변경한 후의 도체의 저항은 변경하기 전의 배가 됨

자기 인덕턴스는 권수의 제곱에 비례되므로, 변경한 후의 누설 리액턴스는 변경하기 전의 경우의 배가 됨

21'

2 aEEE ==

2a 22'

2 RaR =

2a2

2'2 XaX =

taaNN

ZZ

II

EE

=====2

1

2

1

1

2

2

1



변압기의 등가회로 [보충]

2차 1차로 변환

2'

2'2'2

2'

2'

222'

222 /

aEERRaXXa

aIIRRaXXa

===

===

< 2차를 1차로 변환한 등가회로 >



3.3 단위 법

권선 1에서 바라 본 단위 누설 임피던스(per-unit leakage reactance)를 구하면, * 단위 누설 임피던스는 권선 1과 권선 2 어느 쪽에서 계산하여도 그 값에는 불변 그 이유는, 다음과 같이 기준전압의 비를 변압기 정격전압의 비로 사용했기

때문에 얻어진 결과임

..21

1..1 13.780729.0

52.11 13.7884.0

upeqbase

equpeq Zunitper

ZZ

Z =°∠=°∠

==

==

120480

2

1

2

1

rated

rated

base

base

VV

VV

53/106

)1.3.3( 량기준

량실제량단위 =



Per Unit Calculations [보충]

A key problem in analyzing power systems is the large number of transformers.

– It would be very difficult to continually have to refer impedances to the different sides of the transformers

This problem is avoided by a normalization of all variables.

This normalization is known as per unit analysis.

actual quantityquantity in per unit base value of quantity

=



A. Per Unit Conversion Procedure, 1φ

1. Pick a 1φ VA base for the entire system, SB

2. Pick a voltage base for each different voltage level, VB. Voltage bases

are related by transformer turns ratios. Voltages are line to neutral.

3. Calculate the impedance base, ZB= (VB)2/SB

4. Calculate the current base, IB = VB/ZB

5. Convert actual values to per unit

Note, per unit conversion on affects magnitudes, not the angles. Also, per unit quantities no longer have units (i.e., a voltage is 1.0 p.u., not 1 p.u. volts)



Per Unit Solution Procedure

1. Convert to per unit (p.u.) (many problems are already in per unit)

2. Solve

3. Convert back to actual as necessary

)4.3.3(1

2

φbase

baseLNbase S

VZ =

)4.3.3(1

2

φbase

baseLN

base


VI

VXRZ ====



Per Unit Example

Solve for the current, load voltage and load power in the circuit shown below using per unit analysis with an SB of 100 MVA, and voltage bases of 8 kV, 80 kV and 16 kV.

Original Circuit



Per Unit Example, cont’d

per unit 값을 갖는 동일 회로 )3.3.3(11

baseLN

basebase V

SI φ

φ =

)4.3.3(1

2

φbase

baseLNbase S

VZ =




L

2*

1.0 0 0.22 30.8 p.u. (not amps)3.91 2.327

V 1.0 0 0.22 30.8p.u.

0.189 p.u.

1.0 0 0.22 30.8 30.8 p.u.

LL L L

G

Ij

VS V IZ

S

∠ °= = ∠ − °

+= ∠ ° − ∠ − °× 2.327∠90°= 0.859∠ − 30.8°

= = =

= ∠ °× ∠ ° = 0.22∠ °

)4.3.3(1

2

φbase

baseLN

base


VI

VXRZ ====




실제 값(actual value) 으로 역 변환 하려면, 단지 실제 값 = per unit 값 X 그들의 per unit base

LActual

ActualLActualG

MiddleB

ActualMiddle

0.859 30.8 16 kV 13.7 30.8 kV

0.189 0 100 MVA 18.9 0 MVA

0.22 30.8 100 MVA 22.0 30.8 MVA100 MVAI 1250 Amps

80 kVI 0.22 30.8 Amps 275 30.8

V

S

S

= ∠ − °× = ∠ − °

= ∠ °× = ∠ °

= ∠ °× = ∠ °

= =

= ∠ − °×1250 = ∠ − ° Α



B. Three Phase Per Unit, 3φ [보충]

1. Pick a 3φ VA base for the entire system, 2. Pick a voltage base for each different * 단상 voltage level, VB. Voltages are line to line.

3. Calculate the impedance base

(1) 3φ VA base 사용, (2) 선간 전압(line to line voltage bases) 사용, 이외는 단상(1φ)과 매우 유사,

3BS φ

2 2 2, , ,3 1 1

( 3 )3

B LL B LN B LNB

B B B

V V VZ

S S Sφ φ φ= = =

Exactly the same impedance bases as with single phase!

1. 1φ VA base, SB 2. VB, Voltages are line to neutral. 3. impedance base, ZB= (VB)2/SB

4. current base, IB = VB/ZB 5. Convert actual values to per unit



Three Phase Per Unit, cont'd

4. Calculate the current base, IB

5. Convert actual values to per unit

3 1 13 1B B

, , ,

3I I3 3 3

B B B

B LL B LN B LN

S S SV V V

φ φ φφ φ= = = =

Exactly the same current bases as with single phase!

1. 1φ VA base, SB 2. VB, Voltages are line to neutral. 3. impedance base, ZB= (VB)2/SB

4. current base, IB = VB/ZB 5. Convert actual values to per unit

B. Three Phase Per Unit, 3φ [보충] - 계속

)3.3.3(11

baseLN

basebase V

SI φ

φ =



Three Phase Per Unit Example

1. 3상 Solve for the current, load voltage and load power in the previous circuit, assuming

a 3φ power base of 300 MVA, and line to line voltage bases of 13.8 kV, 138 kV and 27.6 kV (square root of 3 larger than the 1φ example voltages). Also assume the generator is Y-connected so its line to line voltage is 13.8 kV.

Convert to per unit as before. Note the system is exactly the same!

2. 단상 Solve for the current, load voltage and load power in the circuit shown below using per unit analysis with an SB of 100 MVA, and voltage bases of 8 kV, 80 kV and 16 kV.



3φ Per Unit Example, cont'd

L

2*

1.0 0 0.22 30.8 p.u. (not amps)3.91 2.327

V 1.0 0 0.22 30.8p.u.

0.189 p.u.

1.0 0 0.22 30.8 30.8 p.u.

LL L L

G

Ij

VS V IZ

S

∠ °= = ∠ − °

+= ∠ ° − ∠ − °× 2.327∠90°= 0.859∠ − 30.8°

= = =

= ∠ °× ∠ ° = 0.22∠ °

Again, analysis is exactly the same!



3φ Per Unit Example, cont'd

LActual

ActualLActualG

MiddleB

ActualMiddle

0.859 30.8 27.6 kV 23.8 30.8 kV

0.189 0 300 MVA 56.7 0 MVA

0.22 30.8 300 MVA 66.0 30.8 MVA300 MVAI 125 (same cur0 Amps

3138 kV

I 0.22 30.

rent!)

8

V

S

S

= ∠ − °× = ∠ − °

= ∠ °× = ∠ °

= ∠ °× = ∠ °

= =

= ∠ − °× Amps 275 30.81250 = ∠ − ° Α

Differences appear when we convert back to actual values

LActual

ActualLActualG

MiddleB

ActualMiddle

0.859 30.8 16 kV 13.7 30.8 kV

0.189 0 100 MVA 18.9 0 MVA

0.22 30.8 100 MVA 22.0 30.8 MVA100 MVAI 1250 Amps

80 kVI 0.22 30.8 Amps 275 30.8

V

S

S

= ∠ − °× = ∠ − °

= ∠ °× = ∠ °

= ∠ °× = ∠ °

= =

= ∠ − °×1250 = ∠ − ° Α



3φ Per Unit Example 2[과제, 예제 3.3 ~ 3.5] 포함]

Assume a 3φ load of 100+j50 MVA with VLL of 69 kV is connected to a source through the below network:

What is the supply current and complex power? Answer: I = 467 amps, S = 103.3 + j76.0 MVA



Per Unit Change of MVA Base

Parameters for equipment : often given using power rating of equipment as the MVA base

To analyze a system, all per unit data must be on a common power base

2 2

Hence Z /

Z

base base

OriginalBase NewBasepu actual pu

OriginalBase NewBasepu puOriginalBase NewBase

BaseBaseNewBase

OriginalBase NewBaseBasepu puOriginalBase

Base

Z Z Z

V VZ

SS

S ZS

→ →

× =

× =



Per Unit Change of Base Example

A 54 MVA transformer, leakage reactance or 3.69%. What is the reactance on a 100 MVA base?

1000.0369 0.0683 p.u.54eX = × =

Transformer reactance : often specified as a percentage, say 10%. This is a per unit value (divide by 100) on the power base of the transformer.

Example: A 350 MVA, 230/20 kV transformer : leakage reactance of 10%. What is p.u. value on 100 MVA base? What is value in ohms (230 kV)?

2

1000.10 0.0286 p.u.350

2300.0286 15.1100

eX = × =

× = Ω



3.3 단위 법

그림 3.9 : 단상 2권선 변압기(single-phase two-winding tr.) 3개의 단위 법 등가 회로( three per-unit circuit)

3.9(a) : 이상 변압기: 유도 : 식(3.1.16)을 로 나누면,

를 이용하면,

1

2

2

1

1

1..1

basebaseup V

ENN

VEE ×==

..2..1..2..1 , upupupup IIEE ==

,/// 212121 NNVVVV ratedratedbasebase ==

..22

2

22

1

2

2

1..1 up

basebase

up EV

E

VNN

ENNE ==

=

69/106

1baseV



3.3 단위 법

유사하게 식(3.1.7)을 으로 나누면, 를 이용하면,

1

2

1

2

1

1..1

basebaseup I

INN

III ×==

,)/(])/(/[/

212

22111

base

basebasebasebasebase

INNVNNSVSI

===

..22

2

21

2

2

1

2..1 up

basebase

up II

I

INN

INNI ==

=

70/106

1baseI

..2..1..2..1 , upupupup IIEE ==



71/106



* 이상 변압기와 실제 변압기의 등가회로 비교 [보충]

72/106



3.3 단위 법

* 이전 기준 값(“old” base value) 에서 계산된 단위 임피던스 새로운 기준 값(“new” base value )에 의한 단위 임피던스(per-unit impedance) 로의 변환

또는 식(3.3.4)로 부터,

basenew

baseoldoldup

basenew

actualnewup Z

ZZZZZ ..

.. ==

=

baseold

basenew

basenew

baseoldoldupnewup S

SVVZZ

2

....

73/106

)4.3.3(1

2

φbase

baseLN

base


VI

VXRZ ====



3.3 단위 법

EX 3.4) Three zones of a single-phase circuit are identified in Figure 3.10(a). The zones are connected by transformers and , whose ratings are also shown. Using base values of and in zone 1, draw the per-unit circuit and determine the per-unit impedances and the per-unit source voltage. Then calculate the load both in per-unit and in amperes. Transformer winding resistances and shunt admittance branches are neglected.

1T 2T

kVA30 volts240

74/106



3.3 단위 법

Sol)

The base impedances in zone 2 and 3 are

The base current in zone 3 is

[V] 480)240(240480

2 =

=baseV

[V] 120)480(460115

3 =

=baseV

][ 68.7000,30

480222

2 Ω===base

basebase S

VZ

][ 48.0000,30

120223

3 Ω===base

basebase S

VZ

][ 250120

000,30

33 A

VSI

base

basebase ===

75/106



3.3 단위 법

Alternatively, using

The line, which is located in zone 2, has a per-unit reactance

unitper 1378.0000,20000,30

480460)10.0(

2

..2

=

=upTX

unitper 2604.068.72

2.. ===

base

lineulinep Z

XX

][ 1203 VVbase =

unitper 1378.0000,20000,30

120115)10.0(

2

..2 =

=upTX

76/106



3.3 단위 법

and the load, which is located in zone 3, has a per-unit impedance

....2....1

...... )( uloadpupTulinepupT

uspuspuloadp ZXXXj

VII

+++==

unitper 4167.0875.148.0

2.09.0

3.. jj

ZZZ

base

loaduloadp +=

+==

)4167.0875.1()1378.02604.010.0(09167.0

jj ++++°∠

=

°∠°∠

=+

°∠=

01.26068.209167.0

9149.0875.109167.0

j

unitper 26.01-.43950 °∠=

77/106



3.3 단위 법

The actual load current is

3.. )( baseuloadpload III =

)250)(01.264395.0( °−∠=

[A] 01.269.109 °−∠=

78/106



3.3 단위 법

EX 3.5) As in Example 2.5, a balanced-Y-connected voltage source with is applied to a balanced- load with The line impedance between the source and load is for each phase. Calculate the per-unit and actual current in phase a of the line using and Sol) First, convert to an equivalent

The base impedance is

voltsEab °∠= 0480∆ .4030 Ω°∠=∆Z

Ω°∠= 851LZkVASbase 103 =φ .480voltsVbaseLL =

∆Z YZ

][ 04.23000,10

)480( 2

3

2

Ω===φbase

baseLLbase S

VZ

80/106



3.3 단위 법

The per-unit line and impedances are and Also, and

unitper 8504340.004.23

851.. °∠=

°∠==

base

LuLp Z

ZZ

unitper 404340.004.234010

.. °∠=°∠

==base

YuYp Z

ZZ

volts2773

4803

=== baseLLbaseLN

VV

unitper 300.1277

30277.. °−∠=

°−∠==

baseLN

anuanp V

EE

81/106



3.3 단위 법

The per-unit equivalent circuit is shown in Figure 3.11 The per-unit line current in phase a is

unitper 78.73147.2 °−∠=

°∠+°∠°−∠

==404340.08504340.0

300.1

..

....

uLp

uanpuap Z

EI

)2790.03325.0()04323.000378.0(300.1

jj +++°−∠

=

°∠°−∠

=+

°−∠=

78.434657.0300.1

3222.03362.0300.1

j

82/106



3.3 단위 법

The base current is and the actual phase line current is

)03.12()78.73147.2( °−∠=aI

[A] 09.12)480(3

000,103

3 === φbasebase

SI

[A] 78.7383.25 °−∠=

83/106



3.4 3상 변압기 결선과 위상변위(THREE-PHASE TRANSFORMER CONNECTION AND PHASE SHIFT)

동일한 단상 2권선 변압기 3대 결선 : 하나의 3상 변압기(a three-phase bank)

3상 변압기의 4가지 결선 방식 :

및 변압기는 저압고압 권선의 대응하는 양 사이에 위상 이동(no phase shift; 위상 변위)이 없음

및 변압기는 항상 위상 이동(always a phase shift) 발생

- 또는 변압기 : 고압 측의 정상순 량 들은, 저압 측의 이에 대응하는 양들에 대해 앞선다.

미국 기술 표준(American standard) - 3상 변압기 상 표시(marks) : 고압 측 (H1, H2, H3), 저압 측 (X1, X2, X3) - 극성 점이 표시되어 있는 단자에 표기 이 책에서는, 고압 측(ABC), 저압 측(abc) 로 상 구분

,-YY,-Y ∆ .-Y,- ∆∆∆

Y-Y ∆∆ -

∆-Y Y-∆

∆-Y Y-∆°30

84/106



Three Phase Transformers

Y-Y ∆-∆

보통 3상 변압기는 모든 권선이 공통 철심(common core)을 공유하도록 제작됨



3φ Transformer Interconnections

∆-Y Y-∆



3.4 3상 변압기 결선과 위상 이동(위상변위)

87/106



3.4 3상 변압기 결선과 위상 이동(위상변위)

88/106



3.4 3상 변압기 결선과 위상변위

그림 3.13(b)에 나타낸 정상성분의 페이져 도(positive-sequence phasor diagram)는 다음과 같

은 5단계를 거쳐서 만들 수 있다:

STEP 1. Assume that balanced positive-sequence voltages are applied to the winding. Draw the positive-sequence phasor diagram for these voltages

STEP 2. Move the phasor next to the terminals in Figure 3.13(a). Identify the ends of this line in the same manner as in the phasor diagram. Similarly, move phasor and next to terminals and in Figure 3.13(a)

STEP 3. For each single-phase transformer, the voltage across the low-voltage winding must be in phase with the voltage across the high-voltage winding, assuming an ideal transformer. Therefore, draw a line next to each low-voltage winding parallel to the corresponding line already drawn next to the high-voltage winding

NB −

Y

NA −

NC − NB − NC −

NA −

89/106




STEP 4. Label the end of the lines drawn in Step 3 by inspecting the polarity marks. For example, phase is connected to dotted terminal , and appears on the right side of line . Therefore, Phase , which is connected to dotted terminal , must be on the right side, and on the left side of line . Similarly, phase is connected to dotted terminal , and is down on line . Therefore, phase , connected to dotted terminal , must be down on line . Similarly, is up on line . STEP 5. Bring the three lines labeled in Step 4 together to complete the phasor diagram for the low-voltage winding. Note that leads by in accordance with the American standard.

A 1H ANA − a

1X b ba −

B 2H BNB − b 2X

cb − c ac −

∆ ANV anV °30

90/106




EX 3.6) Assume that balanced negative-sequence voltages are applied to the high-voltage windings

of the transformer shown in Figure 3.13. Determine the negative-sequence phase shift of this transformer

∆−Y

91/106




92/106




Sol)

The negative-sequence diagram, shown in Figure 3.14, is constructed from the following five step, as outlined transformer

STEP 1. Draw the phasor diagram of balanced negative-sequence voltages, which are applied to the winding

STEP 2. Move the phasor and next to the high-voltage winding

STEP 3. For each single-phase transformer, draw a line next to the low-voltage winding that is parallel to the line drawn in Step 2 next to the high-voltage winding

STEP 4. Label the line drawn Step 3. For example, phase B, which is connected to dotted terminal H2, is shown up on-line therefore phase b, which is connected to dotted terminal X2, must be up on line b-c

STEP 5. Bring the lines drawn in Step 4 together to form the negative-sequence phasor diagram for the low-voltage winding

∆

;NB −

Y

,, NBNA −− NC −

93/106




As shown in Figure 3.14, the high-voltages phasors lag the low- voltage phasors by Thus the negative-sequence phase shift is the reverse of the positive-sequence phase shift

.30°

94/106




- The transformer is commonly used as a generator step-up transformer, where the winding is connected to the generator terminals and the winding is connected to a transmission line

- One advantage of a high-voltage winding is that a neutral point N is provided for grounding on the high-voltage side

- One advantage the winding is that the undesirable third harmonic magnetizing current, caused by the non-linear core characteristic, remains trapped inside the winding

- The transformer is seldom used because of difficulties with third harmonic exciting current

- The transformer has the advantage that one phase can be removed for repair or maintenance while the remaining phases continue to operate as a three-phase bank. open- 결선 ; 원래 bank의 58%로 감소된 kVA 정격을 갖는 평형 3상 운전 허용

YY−∆

∆

Y

∆HB −

∆

YY −

∆−∆

95/106

∆



96/106



3.5 PER-UNIT EQUIVALENT CIRCUITS OF BALANCED THREE-PHASE TWO-WINDING TRANSFORMERS

그림 3.16(a) : 변압기

그림 3.16(b) : per-unit 등가회로 이상 변압기의 per-unit 등가회로 (그림 그림 3.16(b) ) = 단상 2권선변압기의

per-unit 등가회로(그림 3.9(a))

YY −

YY −

97/106




그림 3.17(a) : 실제 변압기의 per-unit 등가회로 이상 변압기의 등가회로에 external impedance 추가한 것

그림 3.17(b) : 실제 변압기의 per-unit 등가회로 - a phase shift 포함. - 변압기의 고압 측의 정상분 전압, 전류는 저압 측의 대응하는 량에 앞섬

그림 3.17(c) : 실제 변압기의 per-unit 등가회로 - 변압기의 등가회로와 동일 - no phase shift 로 가정 - per-unit impedance do not depend on the winding connection, but the base voltage

Y-Y

∆-Y

∆∆ -

∆-Y

°30

Y-Y

99/106




100/106



3.5 PER-UNIT EQUIVALENT CIRCUITS OF

BALANCED THREE-PHASE TWO-WINDING TRANSFORMERS

EX 3.7) Three single-phase two-winding transformers, each rated with leakage reactance are connected to form a three-phase bank. Winding resistances and exciting current are neglected. The high-voltage winding are connected in A three-phase load operating under balanced positive- sequence condition on the high-voltage side absorbs at p.f. lagging, with Determine the voltage at the low-voltage windings are connected (a) in , (b) in

,2.199/8.13,400 kVMVA,unitper 0.10eq =X

.YMVA1000 90.0

.02.199 kVVAV °∠= anV∆Y

101/106




Sol)

The per-unit network is shown in Figure 3.18. Using the transformer bank ratings as base quantities,

The per-unit load voltage and load current are then

kV 345baseHLL =V

kA 2.008)31200/(345baseH ==I

unitper 00.1 °∠=ANV

9.0cos008.2

)3345/(1000 1−−∠=ANI

unitper 84.258333.0 °−∠=

MVA 1200base3 =φS

kV 345baseHLL =VkA 2.008)31200/(345baseH ==I

102/106




a. For the transformer, Figure 3.18(a)

Since for the low-voltage winding,

YY −

kV 8.13baseXLN =V

unitper 84.258333.0 °−∠== Aa II

unitper 139.4039.1 °∠=

AeqANan IjXVV )(+=

)84.258333.0)(10.0(00.1 °−∠+°∠= j

0750.00363.116.6408333.00.1 j==°∠+=

kV 34.14)8.13(039.1 ==anV

kvVan °∠= 139.434.14

103/106




b. For the transformer, Figure 3.18(b)

Since for the low-voltage winding,

∆−∆

kV 7.9673/8.13baseXLN ==V

unitper 300.130 °−∠== °−AN

jan VeE

unitper 861.25039.1 °−∠=anV

kV 278.8)967.7(039.1 ==anV

kvVan °−∠= 861.25278.8

°−°−∠== °− 3084.258333.030A

ja IeI

unitper 84.558333.0 °−∠=

AeqANan IjXEV )(+=

)84.558333.0()10.0(300.1 °−∠+°−∠= j

104/106



3.5 PER-UNIT EQUIVALENT CIRCUITS OF

BALANCED THREE-PHASE TWO-WINDING TRANSFORMERS

EX 3.8) A Y substation transformer has an 8% leakage reactance. The transformer acts as a connecting link between transmission and distribution. Transformer winding resistances and exciting current are neglected. The high-voltage bus connected to the transformer is assumed to be an ideal positive sequence source with negligible source impedance. Using the transformer ratings as base values, determine:

a. The per-unit magnitudes of transformer voltage drop and voltage at the low- voltage terminals when rated transformer current at 0.8 p.f. lagging enters the high-voltage terminals b. The per-unit magnitudes of fault current when a three-phase-to-ground bolted short circuit occurs at the low-voltage terminals

kVMVA −− 5.34,200kV−345

kV−5.34

kV−345

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Sol) a. As a shown in Figure 3.18(b) b. As a shown in Figure 3.19(b)

ratedeqANan IjXVV )(−=

)08.0()0.1(== eqrateddrop XIV

unitper 85.3954.0 °−∠=

unitper 08.0=

)87.360.1()08.0(00.1 °−∠−°∠= j

064.0952.0)6.08.0()08.0(0.1 jjj −=−−=

unitper 5.1208.00.1

===eq

ANSC X

VI

106/106



Questions

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전력시스템 해석 및 설계 -...

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