4.5 인덕턴스 동일한 상 간격(equal phase spacing)을 갖는 단상...

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4.5 인덕턴스: 동일한 상 간격(EQUAL PHASE SPACING)을 갖는 단상 2선식 선로 와 3상 3선식 선로

A. 단상 2선식 선로의 인덕턴스

- 그림 4.9(a) : 단상 2선식 선로(single-phase two-wire line; 도체 x , y) - 도체 x : 반경 , 페이저 전류 Ix = I 도체 y : 반경 , 페이저 전류 Iy = -I where

xryr

)1ln1ln(102 7

xyy

xxxx D

ID

I +×= −λ

)1ln1ln(102 '7

DI

rI

x

−×= −

mtWbrDI

x

/'

ln102 7 −×= −

xxx rrer 7788.0' 4/1 == −

1/92



도체 x 의 인덕턴스 per conductor

mHrD

IIL

x

x

x

xx /

'ln102 7−×===

λλ

2/92




마찬가지로, y 도체의 전체 쇄교자속 per conductor

)1ln1ln(102 7

yyy

yxxy D

ID

I +×= −λ

y

y

rDI

rI

DI

'ln102

)'1ln1ln(102

7

7

−

−

×−=

−×=

mHrD

IIL

y

y

y

yy /

'ln102

7−

×=−

==λλ

3/92




단상선로의 총 인덕턴스(loop inductance) per circuit 전체 회로의 인덕턴스( ) per circuit

)'

ln'

(ln102 7

yxyx r

DrDLLL +×=+= −

mHrr

Drr

D

yx

yx

/''

ln104

''ln102

7

27

−

−

×=

×=

mHrDL /

'ln104 7−×=

4/92




B. 3상 3선식 선로의 인덕턴스 - 그림 4.10(a) : 3상 3선식 선로 - 도체 a, b, c , 반경 : r, - 임의의 두 도체 사이의 간격 : 등 간격(equal phase spacing) D

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a 상 도체에 쇄교하는 총 쇄교자속 를 이용하면, Wb-t/m a 상 도체의 인덕턴스 per phase

)1ln1ln'

1ln(102 7

DI

DI

rI cbaa ++×= −λ

[ ]D

IIr

I cba1ln)(

'1ln102 7 ++×= −

acb III −=+ )(

)1ln'

1ln(102 7

DI

rI aaa −×= −λ

'ln102 7

rDIa

−×=

mHrD

IL

a

aa /

'ln102 7−×==

λ

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대칭성(symmetry)에 의해, 동일한 결과가 얻어짐 for and for 이 선로의 평형 3상 운전에 대해서는 단지 1상만 고려할 필요 각 상의 쇄교자속은 (1) 동일한 크기 (2) 120 도 위상차 를 가지기 때문 그림 4.10(b)

bbb IL /λ=

ccc IL /λ=

°

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4.6 인덕턴스: 다 도체, 동일하지 않은 상 간격, 복 도체

다 도체 선로의 인덕턴스 (그림 4.11, 예 : 연선) - 다 도체 x : 반경 를 갖는 N개의 종속도체로 구성되며, I/N의 전류 - 다 도체 y : 반경 를 갖는 M개의 종속도체로 구성되며, I/M의 전류 - 모든 전류의 합은 zero 다도체 x 의 종속도체 k 에 쇄교되는 총 자속 I/N 의 전류가 흐르는 종속도체 k에 쇄교되는 총 쇄교자속

∑∑==

−

−×=Φ

M

m kmkm

N

mk DM

IDN

I'11

7 1ln1ln102

kΦ

]kλ

8/92

−×=

Φ= ∑∑

==

−

km

M

mkm

N

m

kk DNMDN

IN

1ln11ln1102'11

27λ



4.6 INDUCTANCE:COMPOSITE CONDUCTORS, UNEQUAL PHASE SPACING, BUNDLED CONDUCTORS

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다도체 x 에 쇄교되는 총 쇄교자속




ln = α ln A 그리고 를 이용하면, per conductor Where

αA ∑ Π= kk AA lnln

∏∏

∏=

=

=−×=N

kNN

mkm

NMM

mkm

x

D

DI

1/1

1

/1

'172

)(

)(ln102λ

mHDD

Lxx

xyx /ln102 7−×=

MNM

mkm

N

kxy DD ∏∏

==

='11

2

11

NN

mkm

N

kxx DD ∏∏

==

=

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유사하게 다 도체 y 에 대해서도, per conductor 여기서, : 도체(conductor) y 의 기하학적 평균 반경(GMR) 다도체 y의 내부 종속도체(subconductor)들 사이에 존재하는 개 거리를 곱한 것의 제곱근(root) 값이다 단상 2선식 선로의 전체 인덕턴스(total inductance) L 은,

mHDD

Lyy

xyy /ln102 7−×=

2

'1'1

MM

mkm

M

kyy DD ∏∏

==

=

yyD2M

2M

circuitpermHLLL yx /+=

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예제 4.2. GMR, GMD and inductance: single-phase two-conductor line Expand(4.6.6),(4.6.7) , and (4.6.9) for N=3 and M=2. Then evaluate , , and L in H/m for the

single-phase two-conductor line shown in Figure 4.12 xL yL

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SOLUTION For N=3 and M=2’, (4.6.6) becomes

6'2

'1

3

1∏∏==

=m

kmk

xy DD

6 '2'1

3

1kk

kDD∏

=

=

6'32'31'22'21'12'11 ))()(( DDDDDD=

93

1

3

1∏∏==

=m

kmk

xx DD

9 321

3

1kkk

kDDD∏

=

=

9333231232221131211 ))()(( DDDDDDDDD=

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And (4.6.9) becomes Evaluating for the single-phase two-conductor line shown in Figure 4.12,

4'2

'1

'2

'1∏∏==

=m

kmk

yy DD

4 '2'1

'2

'1kk

kDD∏

=

=

4'2'2'1'2'2'1'1'1 ))(( DDDD=

yyxxxy DDD ,,

mDDmDDmDD

mrerDDD

mD

mDmDmDmDmDmD

xx

xy

0.25.15.0

02336.0)03.0)(7788.0('

189.3)3.2)(2)(8.3)(5.3)(3.4)(4(

3.228.35.33.44

1331

3223

1221

4/1332211

6

'32'31'22

'21'12'11

======

======

==

======

−

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Then, from (4.6.5), (4.6.8) , and (4.6.10): per conductor per conductor => If the distances between conductors are large compared to the distances between subconductors

of each conductor, then the GMD between conductors is approximately equal to the distance between conductor centers.

mD

mDDmrerDD

mD

yy

yy

xx

09667.0)3.0()03115.0(

3.0

03115.0)04.0)(7788.0('

3128.0)0.2()5.1()5.0()02336.0(

4 22

'1'2'2'1

4/1'2'2'1'1

9 2223

==

==

=====

==−

mHL

mHL

y

x

/10992.6)09667.0189.3ln(102

/10644.4)3128.0189.3ln(102

77

77

−−

−−

×=×=

×=×=

circuitpermHLLL yx /10164.1 6−×=+=

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에제 4.3 : Inductance and inductive reactance : single-phase line A single-phase line operating at 60 Hz consists of two 4/0 12-strand copper conductors with 5 ft

spacing between conductor centers. The line length is 20 miles. Determine the total inductance in H and total inductive reactance in Ω.

SOLUTION The GMD between conductor centers is ft. Also, from Table A.3 the GMR of a

4/0 12-strand copper conductor is =0.03639 H per conductor The total inductance is H per circuit And the total inductive reactance is Ω per circuit

5=xyD01750.0== yyxx DD

mimim

mHLL yx 201609)

01750.05ln(102 7 ×××== −

07279.003639.02 =×=+= yx LLL

44.27)07279.0)(60)(2(2 === ππfLX L

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4.6 인덕턴스 : 동일하지 않는 상 간격을 갖는(UNEQUAL PHASE SPACING) 선로의 인덕턴스 연가(Transposition)

그림 4.13 : 완전 연가된 3상선로(completely transposed three-phase line) 의 배치 구조 각 선로는 선로 전체 길이의 1/3에 대해 각 상의 위치를 바꾸는 2장소에서의 연가가 있었음 를 만족하는 평형 정상분 전류 가 흐른다고 가정 위치 1에 있는 a 상 도체와 쇄교하는 총 자속(total flux) 은(다시, 식(4.4.30)은 유효), Wb-t/m Wb-t/m Wb-t/m

cba III ,,0=++ cba III

++×= −

3112

71

1ln1ln1ln102D

ID

ID

I cbs

aaλ

++×= −

1223

72

1ln1ln1ln102D

ID

ID

I cbs

aaλ

++×= −

2331

73

1ln1ln1ln102D

ID

ID

I cbs

aaλ

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4.6 INDUCTANCE: UNEQUAL PHASE SPACING, BUNDLED CONDUCTORS

상기 쇄교 자속(flux linkage)의 평균 (a상 도체의 평균 쇄교자속) 은, 식(4.6.14)에 를 이용하면, Wb-t/m a상 도체의 평균 인덕턴스는, H/m per phase b, c 상 도체의 인덕턴스 : , 대칭성에 의해 동일한 결과 완전 연가된 3상선로의 평형 3상 운전에 대해서는 단지 1상만 고려할 필요가 있음 연가를 고려한 등가거리를 다음과 같이 정의하면,

3

)3

()3

()3

(321

321aaa

aaa

a l

lllλλλλλλ

λ ++=

++=

++

×=

−

312312312312

7 1ln1ln1ln33102

DDDI

DDDI

DI cb

sa

acb III −=+ )(

−

×=

−

312312

7 1ln1ln33102

DDDI

DI a

Saaλ

Sa D

DDDI

33123127 ln102 −×=

Sa

aa D

DDDI

L3

3123127 ln102 −×==λ

bbb IL /λ= ccc IL /λ=

3312312 DDDDeq =

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연가된 3상 선로의 인덕턴스 H/m 예제 4.4 : Inductance and inductive reactance : three-phase line A completely transposed 60-Hz three-phase line has flat horizontal phase spacing with 10m

between adjacent conductors. The conductors are 1,590,000 cmil ACSR with 54/3 stranding. Line length is 200km. Determine the inductance in H and the inductive reactance in Ω.

SOLUTION From Table A.4 the GMR of a 1,590,000 cmil 54/3 ACSR conductor is

s

eqa D

DL ln102 7−×=

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Also, from (4.6.17) and (4.6.18), =0.267H The inductive reactance of phase a is

mft

mftDS 0159.028.310520.0 ==

kmkm

mmHL

mD

a

eq

2001000)0159.0

6.12ln(102

6.12)20)(10)(10(

7

3

×××=

==

−

Ω=== 101)267.0)(60(22 ππ aa fLX

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4.6 인덕턴스 : 복 도체 선로(BUNDLED CONDUCTORS)

초고압(EHV line) 송전선로 : 복도체 사용이 일반적 임 (1) 복도체(bundled conductor) : 상당 도체 2개 이상으로 구성되는 도체 bundling (2) 복도체 사용하는 이유 : a. 도체 표면의 전계의 세기 감소 코로나 발생 억제(제거), 불 필요한 전력손실, 통신 장해, 가청 잡음 등 감소 b. GMR 증가에 의한 선로의 선로의 직렬 리액턴스 감소 그림 4.14 : EHV 복도체 구성의 예(2,3,4 도체) 2 복도체 (Two-conductor bundle): 3 복도체 : 4 복도체 : 복도체의 인덕턴스 : H/m

dDdDD SSSL =×= 4 2)(

3 29 3)( dDddDD SSSL =××=

4 316 4 091.1)2( dDdddDD sSSL =×××=

SL

eqa D

DL ln102 7−×=

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예제 4.5 : Inductive reactance : three-phase line with bundled conductors Each of the 1,590,000 cmil conductors in Example 4.4 is replaced by two 795,000 cmil ACSR

26/2 conductors, as shown in Figure 4.15 . Bundle spacing is 0.40m.Flat horizontal spacing is retained, with 10 m between adjacent bundle centers. Calculate the inductive reactance of the line and compare it with that of Example4.4.

SOLUTION From Table A.4, the GMR of a 795,000 cmil 26/2 ACSR conductor is From(4.6.19), the two-conductor bundle GMR is Since is the same as in Example 4.4, H

mft

ftDS 0114.028.310375.0 =×=

mDSL 0676.0)40.0)(0114.0( ==

mDeq 6.12=

209.0)200)(1000)(0676.0

6.12ln(102 7 =×= −aL Ω=== 8.78)209.0)(60)(2(2 1 ππfLX a

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