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DOSAGEM DE CONCRETOEQUAÇÕES DAS LEI FUNDAMENTAIS DOS CONCRETOS
Professora: Mayara Custódio
REGRESSÃO AOS MÍNIMOS QUADRADOS
Dado um conjunto de pontos conhecidos de coordenadas (x,y)
que descrevem uma tendência linear como da figura abaixo:
Como obter os coeficientes “a”
e “b” da equação da reta de
regressão representativa de um
fenômeno linear?
REGRESSÃO AOS MÍNIMOS QUADRADOS
Dado um conjunto de pontos conhecidos de coordenadas (x,y)
que descrevem uma tendência linear como da figura abaixo:
Como obter os coeficientes “a”
e “b” da equação da reta de
regressão representativa de um
fenômeno linear?
O Método de Regressão aos Mínimos Quadrados
é uma técnica de otimização matemática que
procura encontrar o melhor ajuste para um
conjunto de dados tentando minimizar a soma dos
quadrados das diferenças entre o valor estimado e
os dados observados. Assim, é possível determinar
um parâmetro desconhecido de uma equação.
REGRESSÃO AOS MÍNIMOS QUADRADOS
Y = aX + b
𝑋 = Média dos valores de “X”
𝑌 = Média dos valores de “Y”
𝒂 =𝑺𝒙𝒚
𝑺𝒙𝒙
𝒃 = 𝒀 − 𝒂 𝑿
RESÍDUOS
EXEMPLO
Uma empresa produtora de blocos de concreto celular localizada na cidade de São Paulo possui uma rede distribuidora por todo o interior do Estado. Realizou um estudo para determinar qual a função que liga o preço do produto ao consumidor e a distância do mercado consumidor da cidade de São Paulo.
Dados:
a) Estimar a reta de regressão para representar essa relação
b) Com base na equação da reta encontrada estime o preço ao consumidor numa nova “praça” situada a 420 Km de São Paulo.
c) Calcule e organize em uma tabela os erros de previsão de cada praça.
EXEMPLO
EXEMPLO
235,6 58,0
EXEMPLO
EXEMPLO
149021,9
EXEMPLO
EXEMPLO
17590,0
EXEMPLO
Y = aX + b
EXEMPLO
𝒂 =𝑺𝒙𝒚
𝑺𝒙𝒙
𝒃 = 𝒀 − 𝒂 𝑿
𝑎 =17.590,0
149.021,9= 0,12
𝑏 = 58,0 − 0,12 ∙ 235,6
= 30,19
P = 0,12d – 30,19
a)
b) Distância = 420 km
𝑃 = 0,12 ∙ 420 −30,19 = 𝑹$ 𝟕𝟗, 𝟕𝟔
EXEMPLO
c) Erros de previsão:
LEI DE ABRAMS
𝑓𝑐 =𝐾1
𝐾2𝑎/𝑐
O principal parâmetro a
provocar variações na
resistência a compressão do
concreto é a relação “a/c”.
A resistência varia segundo a expressão:
K1 e K2: Constantes que
dependem das características
particulares dos materiais
utilizados em uma
determinada mistura.
LEI DE ABRAMS
Estudo de dosagem experimental:
Diferentes misturas;
Diferentes resultados.
Formação de uma curva:
No mínimo 3 pontos.
Cálculo da equação representativa de três misturas:
Linearização
Otimização pelo Método dos Mínimos Quadrados
LEI DE ABRAMS
X
𝑓𝑐 =𝐾1
𝐾2𝑎/𝑐
Y +a b=
Linearização através de logaritmos:
LEI DE ABRAMS
𝑎 𝑐 =𝑙𝑜𝑔𝐾1 − 𝑙𝑜𝑔𝑓𝑐
𝑙𝑜𝑔𝐾2
𝑎 = −𝑙𝑜𝑔10𝐾2
𝑙𝑜𝑔𝐾2 = −𝑎
𝐾2 = 10−𝑎 =1
10𝑎
𝑏 = 𝑙𝑜𝑔10𝐾1
𝐾1 = 10𝑏
Método dos Mínimos Quadrados:
EXEMPLO
Em um estudo de dosagem do concreto, elaborou-
se, para um dado conjunto de materiais, concretos
com relações “a/c” de 0.41, 0.55 e 0.70. Foram
moldados corpos-de-prova para ensaio de
resistência a compressão aos 28 dias de idade, cujos
resultados obtidos foram, respectivamente, 38.0
MPa, 28.0 MPa e 20.0 MPa.
Obter a equação de Abrams desse concreto.
EXEMPLO
EXEMPLO
𝑆𝑥𝑥 = 𝑖=1𝑛 (𝑋𝑖 − 𝑋)² = 0,042
𝑆𝑥𝑦 = 𝑖=1𝑛 (𝑋𝑖 − 𝑋) ∙ (𝑌𝑖 − 𝑌) = −0,40
𝒂 =𝑺𝒙𝒚
𝑺𝒙𝒙=−𝟎, 𝟒𝟎
𝟎, 𝟎𝟒𝟐= −𝟎, 𝟗𝟔𝟏𝟒
𝒃 = 𝒀 − 𝒂 𝑿 = 𝟏, 𝟒 − −𝟎, 𝟗𝟔𝟏𝟒 . 𝟎, 𝟔= 𝟏, 𝟗𝟕𝟒𝟔
𝑙𝑜𝑔𝑓𝑐 = −0,914 ∙ 𝑎 𝑐 + 1,9746
𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝐾1𝑎 = −𝑙𝑜𝑔𝐾2
𝐾1 = 10𝑏
= 101,9746 = 94,38
𝐾2 =1
10𝑎=
1
10−0,9614= 9,16
𝒇𝒄 =𝟗𝟒, 𝟑𝟖
𝟗, 𝟏𝟔𝒂/𝒄
LEI DE LYSE
A consistência do concreto é função da relação agregados secos
/ cimento (m) e da relação água/cimento (a/c), independendo do
traço seco (1:a:b) do concreto.
Para um certo conjunto particular de materiais, mantida a
consistência do concreto, o traço bruto "m" é diretamente
proporcional à relação a/c.
Lyse (1932): “Para concretos fabricados com os mesmos
materiais e com a mesma consistência, a quantidade total de água
por unidade de volume é constante, independente do traço”
LEI DE LYSE
A consistência do concreto é função da relação agregados secos
/ cimento (m) e da relação água/cimento (a/c), independendo do
traço seco (1:a:b) do concreto.
Para um certo conjunto particular de materiais, mantida a
consistência do concreto, o traço bruto "m" é diretamente
proporcional à relação a/c.
Lyse (1932): “Para concretos fabricados com os mesmos
materiais e com a mesma consistência, a quantidade total de água
por unidade de volume é constante, independente do traço”
O fator a/c relaciona-se com o consumo de agregados
de um determinado concreto de forma linear, de
acordo com a equação:
sendo: K3 e K4 coeficientes representativos de um
conjunto particular de materiais (cimento e agregados).
𝒎 = 𝑲𝟑 ∙ 𝒂 𝒄 +𝑲𝟒
LEI DE LYSE
Esquema de variação das propriedades reológicas do concreto de mesmo valor
de abatimento em função da variação do traço bruto 1:m
a/c
fc(-) pasta
(+) atrito
(-) coesão
(-) plasticidade
a/c
fc(+) pasta
(-) atrito
(+) coesão
(+) plasticidade
LEI DE LYSE
Denomina-se teor de água do concreto,
representado pela letra “H”, o valor da relação
“massa de água / massa de materiais secos”
presentes na mistura.
Alguns autores preferem expressar o “H” em
porcentagem da massa de materiais secos. Para isso
esse valor e multiplicado por 100%.
O “H” também e chamado por alguns autores de
umidade da mistura.
LEI DE LYSE
𝐻 =𝑀á𝑔𝑢𝑎
𝑀𝑐+𝑀𝑎+𝑀𝑏
𝑎 𝑐 =𝑀𝑎𝑔𝑢𝑎
𝑀𝑐, 𝑎 =
𝑀𝑎
𝑀𝑐, 𝑏 =
𝑀𝑏
𝑀𝑐, m = a + b
𝐻 =( 𝑎 𝑐)∙𝑀𝑐
(𝑀𝑐+𝑎∙𝑀𝑐+𝑏∙𝑀𝑐)=
𝑀𝑐∙( 𝑎 𝑐)
𝑀𝑐∙(1+𝑎+𝑏)=
𝑎 𝑐
1+𝑎+𝑏=
𝑎 𝑐
1+𝑚
𝑯 = 𝒂 𝒄
𝟏 +𝒎
LEI DE LYSE
Considerando “H” constante como afirma a Lei de
Lyse e fazendo “m” como função de “a/c”, temos:
1 +𝑚 = 𝑎 𝑐𝐻
𝑚 = 𝑎 𝑐𝐻
− 1𝑚 =1
𝐻 𝑎 𝑐 − 1
K3 K4
𝒎 = 𝑲𝟑 ∙ 𝒂 𝒄 + 𝑲𝟒
Assim, a partir de um conjunto de pontos de coordenadas (a/c, m) podemos, através do método dos mínimos quadrados, obter a equação que estabelece o valor do traço bruto em função da relação água cimento e, consequentemente, o valor de “H”.
a = K3 = 1/H b = - K4
y = (x) +
H = 1/a
LEI DE MOLINARI
Molinari obteve uma equação que correlaciona o consumo de
cimento por m³ de concreto “C” com o traço bruto “m”, desde que
as várias misturas de traços distintos possuam mesmo abatimento e
tenham sido dosados com os mesmos materiais.
A equação tem a seguinte forma:
𝐶 =1000
𝐾5 + 𝐾6 ∙ 𝑚
sendo: K5 e K6 coeficientes representativos de um
conjunto particular de materiais (cimento e agregados)
Rearranjando para o formato linear: 𝟏𝟎𝟎𝟎
𝑪= 𝑲𝟓 ∙ 𝒎 + 𝑲𝟔,
y a x b
RELAÇÃO ENTRE AS TRÊS EQUAÇÕES
m (Kg)
ABRAMS
LYSE
MOLINARI