equations différentielles, dut mp, cm 4
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Les équations différentiellesLes équations linéaires du second ordre
Christophe Palermo
IUT de MontpellierDépartement Mesures Physiques
&Institut d’Electronique du Sud
Université Montpellier 2Web : http://palermo.wordpress.com
e-mail : [email protected]
Cours du 7 décembre 2010
MONTPELLIER
Plan
1 Méthode et définitionsSchéma de résolutionDéfinitionsLinéarité et conséquences
2 Outils de résolution au second ordreSolution générale d’une EDL2 homogèneRecherche d’une solution particulière
3 Exemples de problèmes
4 Conclusion
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 2
Méthode et définitions
Plan
1 Méthode et définitionsSchéma de résolutionDéfinitionsLinéarité et conséquences
2 Outils de résolution au second ordreSolution générale d’une EDL2 homogèneRecherche d’une solution particulière
3 Exemples de problèmes
4 Conclusion
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Méthode et définitions Schéma de résolution
À retenir : schéma de résolution d’un problème physique
1 Faire la mise en équation
2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielleSi elle est inhomogène (I) :
2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H)
2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H)
2.3 Trouver une solution particulière yP de (I)
2.3.1 exprimer yP “à quelque chose près” : quelques inconnues2.3.2 injecter yP dans l’équation inhomogène (I)2.3.3 fixer les inconnues
2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP
3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale :solution du problème
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Méthode et définitions Schéma de résolution
À retenir : schéma de résolution d’un problème physique
1 Faire la mise en équation
2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielleSi elle est inhomogène (I) :2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H)
2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H)
2.3 Trouver une solution particulière yP de (I)
2.3.1 exprimer yP “à quelque chose près” : quelques inconnues2.3.2 injecter yP dans l’équation inhomogène (I)2.3.3 fixer les inconnues
2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP
3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale :solution du problème
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Méthode et définitions Schéma de résolution
À retenir : schéma de résolution d’un problème physique
1 Faire la mise en équation
2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielleSi elle est inhomogène (I) :2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H)
2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H)
2.3 Trouver une solution particulière yP de (I)2.3.1 exprimer yP “à quelque chose près” : quelques inconnues2.3.2 injecter yP dans l’équation inhomogène (I)2.3.3 fixer les inconnues
2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP
3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale :solution du problème
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Méthode et définitions Schéma de résolution
Au premier et au second ordre !
Pourquoi retenir un tel schéma ?
Parce qu’il est toujours vraisi l’équation est linéairequel que soit l’ordre de l’équation
Parce qu’il structure la rechercheles bonnes choses au bon momentévite les erreurs
♥ Parce qu’il sera demandé de le reproduire en devoir !
Différences 1er et 2ème ordre ?Recherche de yHRecherche de yPUniquement des techniques
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Méthode et définitions Définitions
Équation différentielle du second ordre
Equation différentielle...Une équation différentielle de y en t du second ordre est de la forme :
F(t,y ,dydt ,
d2ydt2
)= F (t,y ,y ,y) = 0
y et y présentes : équation complèteSinon : équation incomplète
Solution généraleLa solution générale d’une équation différentielle du second ordre contient... constante(s) d’intégration
Vrai même si elle est non-linéaire
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Méthode et définitions Définitions
Équation différentielle du second ordre
Equation différentielle...Une équation différentielle de y en t du second ordre est de la forme :
F(t,y ,dydt ,
d2ydt2
)= F (t,y ,y ,y) = 0
y et y présentes : équation complèteSinon : équation incomplète
Solution généraleLa solution générale d’une équation différentielle du second ordre contient2 constantes d’intégration
Vrai même si elle est non-linéaire
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Méthode et définitions Définitions
Équation linéaire (EDL2)
Équation LinéaireUne équation différentielle de y en t du second ordre est linéaire si ellepeut s’écrire sous la forme :
a(t) · y + b(t) · y + c(t) · y = p(t)
où a, b et c sont des fonctions de t et où p(t) est un terme perturbateur
Même vocabulaire qu’au 1er ordre :∀t, p(t) = 0 =⇒ équation homogène ;a, b et c constantes =⇒ équation à coefficients constants ;b = 0 ou c = 0 =⇒ équation incomplète
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Méthode et définitions Définitions
Equation homogène associée
Soit une EDL2 inhomogène
a(t) · y + b(t) · y + c(t) · y = p(t) (I)
Équation homogène associéeOn associe à l’équation inhomogène (I) l’équation homogène suivante
a(t) · y + b(t) · y + c(t) · y = 0 (H)
appelée équation homogène associée à (I).
Comme au 1er ordreLa seule raison d’être de (H) est la recherche d’une solution particulière de(I)
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Méthode et définitions Définitions
Equation homogène associée
Soit une EDL2 inhomogène
a(t) · y + b(t) · y + c(t) · y = p(t) (I)
Équation homogène associéeOn associe à l’équation inhomogène (I) l’équation homogène suivante
a(t) · y + b(t) · y + c(t) · y = 0 (H)
appelée équation homogène associée à (I).
Comme au 1er ordreLa seule raison d’être de (H) est la recherche d’une solution particulière de(I)
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Méthode et définitions Linéarité et conséquences
2ème ordre : mêmes conséquences pour la linéaritéso
lutions de (I)
autr
es fonctions
solu
tio
ns de (H)
autre fonction
linéaire
infinité de fonctions ⊂ chaque bulle !
a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 = p(t)a(t) · yI + b(t) · yI + c(t) · yI = p(t)
avec yI solution générale de (I)
a(t) · y1 + b(t) · y1 + c(t) · y1 = 0a(t) · y2 + b(t) · y2 + c(t) · y2 = 0a(t) · y8 + b(t) · y8 + c(t) · y8 = 0...
......
...a(t) · yH + b(t) · yH + c(t) · yH = 0avec yH solution générale de (H)
a(t) · (y3 + yH) + b(t) · (y3 + yH) + c(t) · (y3 + yH) =
yI = yH + yP
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Méthode et définitions Linéarité et conséquences
2ème ordre : mêmes conséquences pour la linéaritéso
lutions de (I)
autr
es fonctions
solu
tio
ns de (H)
autre fonction
linéaire
infinité de fonctions ⊂ chaque bulle !
a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 = p(t)a(t) · yI + b(t) · yI + c(t) · yI = p(t)
avec yI solution générale de (I)
a(t) · y1 + b(t) · y1 + c(t) · y1 = 0a(t) · y2 + b(t) · y2 + c(t) · y2 = 0a(t) · y8 + b(t) · y8 + c(t) · y8 = 0...
......
...a(t) · yH + b(t) · yH + c(t) · yH = 0avec yH solution générale de (H)
a(t) · (y3 + yH) + b(t) · (y3 + yH) + c(t) · (y3 + yH) =
yI = yH + yP
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Méthode et définitions Linéarité et conséquences
2ème ordre : mêmes conséquences pour la linéaritéso
lutions de (I)
autr
es fonctions
solu
tio
ns de (H)
autre fonction
linéaire
infinité de fonctions ⊂ chaque bulle !
a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 = p(t)a(t) · yI + b(t) · yI + c(t) · yI = p(t)
avec yI solution générale de (I)
a(t) · y1 + b(t) · y1 + c(t) · y1 = 0a(t) · y2 + b(t) · y2 + c(t) · y2 = 0a(t) · y8 + b(t) · y8 + c(t) · y8 = 0...
......
...a(t) · yH + b(t) · yH + c(t) · yH = 0avec yH solution générale de (H)
a(t) · (y3 + yH) + b(t) · (y3 + yH) + c(t) · (y3 + yH) =
yI = yH + yP
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Méthode et définitions Linéarité et conséquences
2ème ordre : mêmes conséquences pour la linéaritéso
lutions de (I)
autr
es fonctions
solu
tio
ns de (H)
autre fonction
linéaire
infinité de fonctions ⊂ chaque bulle !
a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 = p(t)a(t) · yI + b(t) · yI + c(t) · yI = p(t)
avec yI solution générale de (I)
a(t) · y1 + b(t) · y1 + c(t) · y1 = 0a(t) · y2 + b(t) · y2 + c(t) · y2 = 0a(t) · y8 + b(t) · y8 + c(t) · y8 = 0...
......
...a(t) · yH + b(t) · yH + c(t) · yH = 0avec yH solution générale de (H)
a(t) · (y3 + yH) + b(t) · (y3 + yH) + c(t) · (y3 + yH) =a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 + a(t) · yH + b(t) · yH + c(t) · yH =
yI = yH + yP
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Méthode et définitions Linéarité et conséquences
2ème ordre : mêmes conséquences pour la linéaritéso
lutions de (I)
autr
es fonctions
solu
tio
ns de (H)
autre fonction
linéaire
infinité de fonctions ⊂ chaque bulle !
a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 = p(t)a(t) · yI + b(t) · yI + c(t) · yI = p(t)
avec yI solution générale de (I)
a(t) · y1 + b(t) · y1 + c(t) · y1 = 0a(t) · y2 + b(t) · y2 + c(t) · y2 = 0a(t) · y8 + b(t) · y8 + c(t) · y8 = 0...
......
...a(t) · yH + b(t) · yH + c(t) · yH = 0avec yH solution générale de (H)
a(t) · (y3 + yH) + b(t) · (y3 + yH) + c(t) · (y3 + yH) =a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3︸ ︷︷ ︸
p(t)
+ a(t) · yH + b(t) · yH + c(t) · yH︸ ︷︷ ︸0
= p(t)
yI = yH + yP
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Méthode et définitions Linéarité et conséquences
2ème ordre : mêmes conséquences pour la linéaritéso
lutions de (I)
autr
es fonctions
solu
tio
ns de (H)
autre fonction
linéaire
infinité de fonctions ⊂ chaque bulle !
a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 = p(t)a(t) · yI + b(t) · yI + c(t) · yI = p(t)
avec yI solution générale de (I)
a(t) · y1 + b(t) · y1 + c(t) · y1 = 0a(t) · y2 + b(t) · y2 + c(t) · y2 = 0a(t) · y8 + b(t) · y8 + c(t) · y8 = 0...
......
...a(t) · yH + b(t) · yH + c(t) · yH = 0avec yH solution générale de (H)
a(t) · (y3 + yH) + b(t) · (y3 + yH) + c(t) · (y3 + yH) =a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3︸ ︷︷ ︸
p(t)
+ a(t) · yH + b(t) · yH + c(t) · yH︸ ︷︷ ︸0
= p(t)
yI = yH + yPIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 9
Méthode et définitions Linéarité et conséquences
Retour au schéma de résolution d’un problème physique
Surlignons ce qui va changer techniquement
1 Faire la mise en équation
2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielleSi elle est inhomogène (I) :2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H)
2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H)
2.3 Trouver une solution particulière yP de (I)2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP
3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale :solution du problème
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Méthode et définitions Linéarité et conséquences
Retour au schéma de résolution d’un problème physique
Surlignons ce qui va changer techniquement
1 Faire la mise en équation
2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielleSi elle est inhomogène (I) :2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H)
2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H)
2.3 Trouver une solution particulière yP de (I)2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP
3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale :solution du problème
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Méthode et définitions Linéarité et conséquences
Retour au schéma de résolution d’un problème physique
Surlignons ce qui va changer techniquement
1 Faire la mise en équation
2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielleSi elle est inhomogène (I) :2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H)
2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H)
2.3 Trouver une solution particulière yP de (I)
2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP
3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale :solution du problème
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Outils de résolution au second ordre
Plan
1 Méthode et définitionsSchéma de résolutionDéfinitionsLinéarité et conséquences
2 Outils de résolution au second ordreSolution générale d’une EDL2 homogèneRecherche d’une solution particulière
3 Exemples de problèmes
4 Conclusion
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solution générale d’une EDL2 homogène
Au 1er ordre :EDL1 homogènes à variables séparéesIl suffit de déterminer une primitiveexemple :dydt + 2y = 0
⇒ dydt = −2y ⇒ dy
y = −2 · dt ⇒ y(t) = Ke−2t , K ∈ R
Au 2ème ordre : plus compliquéexemple d’une équation complète simple :d2ydt2 +
dydt + y = 0
⇒ d2ydt2 +
dydt = −y ⇒ d
y
(dydt
)+
dyy = −dt /
Il existe un outil de résolution simple
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solution générale d’une EDL2 homogène
Au 1er ordre :EDL1 homogènes à variables séparéesIl suffit de déterminer une primitiveexemple :dydt + 2y = 0⇒ dy
dt = −2y
⇒ dyy = −2 · dt ⇒ y(t) = Ke−2t , K ∈ R
Au 2ème ordre : plus compliquéexemple d’une équation complète simple :d2ydt2 +
dydt + y = 0
⇒ d2ydt2 +
dydt = −y ⇒ d
y
(dydt
)+
dyy = −dt /
Il existe un outil de résolution simple
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solution générale d’une EDL2 homogène
Au 1er ordre :EDL1 homogènes à variables séparéesIl suffit de déterminer une primitiveexemple :dydt + 2y = 0⇒ dy
dt = −2y ⇒ dyy = −2 · dt
⇒ y(t) = Ke−2t , K ∈ R
Au 2ème ordre : plus compliquéexemple d’une équation complète simple :d2ydt2 +
dydt + y = 0
⇒ d2ydt2 +
dydt = −y ⇒ d
y
(dydt
)+
dyy = −dt /
Il existe un outil de résolution simple
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solution générale d’une EDL2 homogène
Au 1er ordre :EDL1 homogènes à variables séparéesIl suffit de déterminer une primitiveexemple :dydt + 2y = 0⇒ dy
dt = −2y ⇒ dyy = −2 · dt ⇒ y(t) = Ke−2t , K ∈ R
Au 2ème ordre : plus compliquéexemple d’une équation complète simple :d2ydt2 +
dydt + y = 0
⇒ d2ydt2 +
dydt = −y ⇒ d
y
(dydt
)+
dyy = −dt /
Il existe un outil de résolution simple
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solution générale d’une EDL2 homogène
Au 1er ordre :EDL1 homogènes à variables séparéesIl suffit de déterminer une primitiveexemple :dydt + 2y = 0⇒ dy
dt = −2y ⇒ dyy = −2 · dt ⇒ y(t) = Ke−2t , K ∈ R
Au 2ème ordre : plus compliquéexemple d’une équation complète simple :d2ydt2 +
dydt + y = 0⇒ d2y
dt2 +dydt = −y
⇒ dy
(dydt
)+
dyy = −dt /
Il existe un outil de résolution simple
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solution générale d’une EDL2 homogène
Au 1er ordre :EDL1 homogènes à variables séparéesIl suffit de déterminer une primitiveexemple :dydt + 2y = 0⇒ dy
dt = −2y ⇒ dyy = −2 · dt ⇒ y(t) = Ke−2t , K ∈ R
Au 2ème ordre : plus compliquéexemple d’une équation complète simple :d2ydt2 +
dydt + y = 0⇒ d2y
dt2 +dydt = −y ⇒ d
y
(dydt
)+
dyy = −dt
/
Il existe un outil de résolution simple
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solution générale d’une EDL2 homogène
Au 1er ordre :EDL1 homogènes à variables séparéesIl suffit de déterminer une primitiveexemple :dydt + 2y = 0⇒ dy
dt = −2y ⇒ dyy = −2 · dt ⇒ y(t) = Ke−2t , K ∈ R
Au 2ème ordre : plus compliquéexemple d’une équation complète simple :d2ydt2 +
dydt + y = 0⇒ d2y
dt2 +dydt = −y ⇒ d
y
(dydt
)+
dyy = −dt /
Il existe un outil de résolution simple
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solution générale d’une EDL2 homogène
Au 1er ordre :EDL1 homogènes à variables séparéesIl suffit de déterminer une primitiveexemple :dydt + 2y = 0⇒ dy
dt = −2y ⇒ dyy = −2 · dt ⇒ y(t) = Ke−2t , K ∈ R
Au 2ème ordre : plus compliquéexemple d’une équation complète simple :d2ydt2 +
dydt + y = 0⇒ d2y
dt2 +dydt = −y ⇒ d
y
(dydt
)+
dyy = −dt /
Il existe un outil de résolution simple
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Recherche d’une solution exponentielle
Technique qui fonctionne avec :les équations du second ordrelinéairesà coefficients constants
ay + by + cy = 0 (H)
PrincipeNous allons chercher la solution de (H) sous la forme d’uneexponentielle y(t) = ert
Nous allons regarder à quelles conditions cette fonction est solutionde (H)
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Mise en équation (caractéristique)
ay + by + cy = 0 (H)
y = ert ⇒ y = rert ⇒ y = r2ert
(H) se ré-écrit comme :
a · r2 · ert + b · r · ert + c · ert = 0
(a · r2 + b · r + c
)· ert = 0 (H ′)
Remarque : ert 6= 0 ∀t
Condition pour que y(t) soit solution ?
Il faut que a · r2 + b · r + c = 0
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Mise en équation (caractéristique)
ay + by + cy = 0 (H)
y = ert ⇒ y = rert ⇒ y = r2ert
(H) se ré-écrit comme :
a · r2 · ert + b · r · ert + c · ert = 0(a · r2 + b · r + c
)· ert = 0 (H ′)
Remarque : ert 6= 0 ∀t
Condition pour que y(t) soit solution ?
Il faut que a · r2 + b · r + c = 0
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Mise en équation (caractéristique)
ay + by + cy = 0 (H)
y = ert ⇒ y = rert ⇒ y = r2ert
(H) se ré-écrit comme :
a · r2 · ert + b · r · ert + c · ert = 0(a · r2 + b · r + c
)· ert = 0 (H ′)
Remarque : ert 6= 0 ∀t
Condition pour que y(t) soit solution ?
Il faut que a · r2 + b · r + c = 0
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Mise en équation (caractéristique)
ay + by + cy = 0 (H)
y = ert ⇒ y = rert ⇒ y = r2ert
(H) se ré-écrit comme :
a · r2 · ert + b · r · ert + c · ert = 0(a · r2 + b · r + c
)· ert = 0 (H ′)
Remarque : ert 6= 0 ∀t
Condition pour que y(t) soit solution ?
Il faut que a · r2 + b · r + c = 0
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
L’équation caractéristique
DéfinitionOn associe à l’équation homogène ay + by + cy = 0 (H) l’équationpolynôme du second degré
a · r2 + b · r + c = 0 (C)
(C) est appelée équation caractéristique de (H).C(r) = ar2 + br + c est le polynôme caractéristique de (H).
Recherche de la solution générale de (H)⇔ trinôme du second degré
Pour (H) 7→ (C), on remplace :les y par des rles ordres par des degrés
⇒ y 7→ r0 = 1, y 7→ r1 = r , y 7→ r2
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Exemples
y + 5y = y
→ r2 + 5r − 1 = 0
3y + 2y + 5y = 7
→ 3r2 + 2r + 5 = 0 puisque (H) 7→ (C)
y + 2y = y + cos(t)
→ r2 + 2r − 1 = 0 puisque (H) 7→ (C)
y2 + 2y + y = 0
ne s’applique pas car non-linéaire !
y + 2y + y cos(t) = 0
ne s’applique pas car coefficients variables !
y + 5y = 0
→ r2 + 5r = 0
y + y = 0
→ r2 + 1 = 0
y = 2
→ r2 = 0 mais pas très utile
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Exemples
y + 5y = y → r2 + 5r − 1 = 0
3y + 2y + 5y = 7
→ 3r2 + 2r + 5 = 0 puisque (H) 7→ (C)
y + 2y = y + cos(t)
→ r2 + 2r − 1 = 0 puisque (H) 7→ (C)
y2 + 2y + y = 0
ne s’applique pas car non-linéaire !
y + 2y + y cos(t) = 0
ne s’applique pas car coefficients variables !
y + 5y = 0
→ r2 + 5r = 0
y + y = 0
→ r2 + 1 = 0
y = 2
→ r2 = 0 mais pas très utile
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 16
Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Exemples
y + 5y = y → r2 + 5r − 1 = 0
3y + 2y + 5y = 7 → 3r2 + 2r + 5 = 0 puisque (H) 7→ (C)
y + 2y = y + cos(t)
→ r2 + 2r − 1 = 0 puisque (H) 7→ (C)
y2 + 2y + y = 0
ne s’applique pas car non-linéaire !
y + 2y + y cos(t) = 0
ne s’applique pas car coefficients variables !
y + 5y = 0
→ r2 + 5r = 0
y + y = 0
→ r2 + 1 = 0
y = 2
→ r2 = 0 mais pas très utile
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Exemples
y + 5y = y → r2 + 5r − 1 = 0
3y + 2y + 5y = 7 → 3r2 + 2r + 5 = 0 puisque (H) 7→ (C)
y + 2y = y + cos(t) → r2 + 2r − 1 = 0 puisque (H) 7→ (C)
y2 + 2y + y = 0
ne s’applique pas car non-linéaire !
y + 2y + y cos(t) = 0
ne s’applique pas car coefficients variables !
y + 5y = 0
→ r2 + 5r = 0
y + y = 0
→ r2 + 1 = 0
y = 2
→ r2 = 0 mais pas très utile
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Exemples
y + 5y = y → r2 + 5r − 1 = 0
3y + 2y + 5y = 7 → 3r2 + 2r + 5 = 0 puisque (H) 7→ (C)
y + 2y = y + cos(t) → r2 + 2r − 1 = 0 puisque (H) 7→ (C)
y2 + 2y + y = 0 ne s’applique pas car non-linéaire !
y + 2y + y cos(t) = 0
ne s’applique pas car coefficients variables !
y + 5y = 0
→ r2 + 5r = 0
y + y = 0
→ r2 + 1 = 0
y = 2
→ r2 = 0 mais pas très utile
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Exemples
y + 5y = y → r2 + 5r − 1 = 0
3y + 2y + 5y = 7 → 3r2 + 2r + 5 = 0 puisque (H) 7→ (C)
y + 2y = y + cos(t) → r2 + 2r − 1 = 0 puisque (H) 7→ (C)
y2 + 2y + y = 0 ne s’applique pas car non-linéaire !
y + 2y + y cos(t) = 0 ne s’applique pas car coefficients variables !
y + 5y = 0
→ r2 + 5r = 0
y + y = 0
→ r2 + 1 = 0
y = 2
→ r2 = 0 mais pas très utile
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Exemples
y + 5y = y → r2 + 5r − 1 = 0
3y + 2y + 5y = 7 → 3r2 + 2r + 5 = 0 puisque (H) 7→ (C)
y + 2y = y + cos(t) → r2 + 2r − 1 = 0 puisque (H) 7→ (C)
y2 + 2y + y = 0 ne s’applique pas car non-linéaire !
y + 2y + y cos(t) = 0 ne s’applique pas car coefficients variables !
y + 5y = 0 → r2 + 5r = 0
y + y = 0
→ r2 + 1 = 0
y = 2
→ r2 = 0 mais pas très utile
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Exemples
y + 5y = y → r2 + 5r − 1 = 0
3y + 2y + 5y = 7 → 3r2 + 2r + 5 = 0 puisque (H) 7→ (C)
y + 2y = y + cos(t) → r2 + 2r − 1 = 0 puisque (H) 7→ (C)
y2 + 2y + y = 0 ne s’applique pas car non-linéaire !
y + 2y + y cos(t) = 0 ne s’applique pas car coefficients variables !
y + 5y = 0 → r2 + 5r = 0
y + y = 0 → r2 + 1 = 0
y = 2
→ r2 = 0 mais pas très utile
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Exemples
y + 5y = y → r2 + 5r − 1 = 0
3y + 2y + 5y = 7 → 3r2 + 2r + 5 = 0 puisque (H) 7→ (C)
y + 2y = y + cos(t) → r2 + 2r − 1 = 0 puisque (H) 7→ (C)
y2 + 2y + y = 0 ne s’applique pas car non-linéaire !
y + 2y + y cos(t) = 0 ne s’applique pas car coefficients variables !
y + 5y = 0 → r2 + 5r = 0
y + y = 0 → r2 + 1 = 0
y = 2 → r2 = 0 mais pas très utile
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solutions réelles de l’équation caractéristiqueSi le discriminant ∆ = b2 − 4ac > 0
2 solutions réelles pour (C) : r1 =−b −
√∆
2a et r2 =−b +
√∆
2a
y(t) peut alors prendre la forme :y(t) = er1t
y(t) = er2t
ou toute combinaison des deux
Preuve : pour deux nombres K1 et K2 / y(t) = K1er1t +K2er2t alors :y(t) = K1 · r1 · er1t + K2 · r2 · er2t
y(t) = K1 · r21 · er1t + K2 · r22 · er2t
=⇒ ay + by + cy = K1 · (ar21 + br1 + c)︸ ︷︷ ︸0(r1 solution de (C))
+K2 · (ar22 + br2 + c)︸ ︷︷ ︸0(r2 solution de (C))
·er2t = 0
y(t) est solution de (H) et contient deux paramètres ( !)
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solutions réelles de l’équation caractéristiqueSi le discriminant ∆ = b2 − 4ac > 0
2 solutions réelles pour (C) : r1 =−b −
√∆
2a et r2 =−b +
√∆
2ay(t) peut alors prendre la forme :
y(t) = er1t
y(t) = er2t
ou toute combinaison des deux
Preuve : pour deux nombres K1 et K2 / y(t) = K1er1t +K2er2t alors :y(t) = K1 · r1 · er1t + K2 · r2 · er2t
y(t) = K1 · r21 · er1t + K2 · r22 · er2t
=⇒ ay + by + cy = K1 · (ar21 + br1 + c)︸ ︷︷ ︸0(r1 solution de (C))
+K2 · (ar22 + br2 + c)︸ ︷︷ ︸0(r2 solution de (C))
·er2t = 0
y(t) est solution de (H) et contient deux paramètres ( !)
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solutions réelles de l’équation caractéristiqueSi le discriminant ∆ = b2 − 4ac > 0
2 solutions réelles pour (C) : r1 =−b −
√∆
2a et r2 =−b +
√∆
2ay(t) peut alors prendre la forme :
y(t) = er1t
y(t) = er2t
ou toute combinaison des deux
Preuve : pour deux nombres K1 et K2 / y(t) = K1er1t +K2er2t alors :y(t) = K1 · r1 · er1t + K2 · r2 · er2t
y(t) = K1 · r21 · er1t + K2 · r22 · er2t
=⇒ ay + by + cy = K1 · (ar21 + br1 + c)︸ ︷︷ ︸0(r1 solution de (C))
+K2 · (ar22 + br2 + c)︸ ︷︷ ︸0(r2 solution de (C))
·er2t = 0
y(t) est solution de (H) et contient deux paramètres ( !)
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solutions réelles de l’équation caractéristiqueSi le discriminant ∆ = b2 − 4ac > 0
2 solutions réelles pour (C) : r1 =−b −
√∆
2a et r2 =−b +
√∆
2ay(t) peut alors prendre la forme :
y(t) = er1t
y(t) = er2t
ou toute combinaison des deux
Preuve : pour deux nombres K1 et K2 / y(t) = K1er1t +K2er2t alors :y(t) = K1 · r1 · er1t + K2 · r2 · er2t
y(t) = K1 · r21 · er1t + K2 · r22 · er2t
=⇒ ay + by + cy = K1 · (ar21 + br1 + c)︸ ︷︷ ︸0(r1 solution de (C))
+K2 · (ar22 + br2 + c)︸ ︷︷ ︸0(r2 solution de (C))
·er2t = 0
y(t) est solution de (H) et contient deux paramètres ( !)
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solutions réelles de l’équation caractéristiqueSi le discriminant ∆ = b2 − 4ac > 0
2 solutions réelles pour (C) : r1 =−b −
√∆
2a et r2 =−b +
√∆
2ay(t) peut alors prendre la forme :
y(t) = er1t
y(t) = er2t
ou toute combinaison des deux
Preuve : pour deux nombres K1 et K2 / y(t) = K1er1t +K2er2t alors :y(t) = K1 · r1 · er1t + K2 · r2 · er2t
y(t) = K1 · r21 · er1t + K2 · r22 · er2t
=⇒ ay + by + cy = K1 · (ar21 + br1 + c)︸ ︷︷ ︸0(r1 solution de (C))
+K2 · (ar22 + br2 + c)︸ ︷︷ ︸0(r2 solution de (C))
·er2t = 0
y(t) est solution de (H) et contient deux paramètres ( !)
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solutions réelles de l’équation caractéristiqueSi le discriminant ∆ = b2 − 4ac > 0
2 solutions réelles pour (C) : r1 =−b −
√∆
2a et r2 =−b +
√∆
2ay(t) peut alors prendre la forme :
y(t) = er1t
y(t) = er2t
ou toute combinaison des deux
Preuve : pour deux nombres K1 et K2 / y(t) = K1er1t +K2er2t alors :y(t) = K1 · r1 · er1t + K2 · r2 · er2t
y(t) = K1 · r21 · er1t + K2 · r22 · er2t
=⇒ ay + by + cy = K1 · (ar21 + br1 + c)︸ ︷︷ ︸0(r1 solution de (C))
+K2 · (ar22 + br2 + c)︸ ︷︷ ︸0(r2 solution de (C))
·er2t = 0
y(t) est solution de (H) et contient deux paramètres ( !)
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solutions réelles de l’équation caractéristiqueSi le discriminant ∆ = b2 − 4ac > 0
2 solutions réelles pour (C) : r1 =−b −
√∆
2a et r2 =−b +
√∆
2ay(t) peut alors prendre la forme :
y(t) = er1t
y(t) = er2t
ou toute combinaison des deux
Preuve : pour deux nombres K1 et K2 / y(t) = K1er1t +K2er2t alors :y(t) = K1 · r1 · er1t + K2 · r2 · er2t
y(t) = K1 · r21 · er1t + K2 · r22 · er2t
=⇒ ay + by + cy = K1 · (ar21 + br1 + c)︸ ︷︷ ︸0(r1 solution de (C))
+K2 · (ar22 + br2 + c)︸ ︷︷ ︸0(r2 solution de (C))
·er2t = 0
y(t) est solution de (H) et contient deux paramètres ( !)IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 17
Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solution générale quand ∆ > 0
Solution généraleSi ∆ > 0 alors la solution générale de (H) est
y(t) = K1er1t + K2er2t
avec K1 et K2 ∈ C
r1 et r2 sont les solutions réelles de (C)
Remarque : 2ème ordre, deux paramètres libres (constantesd’intégration)
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solutions complexes de l’équation caractéristiqueSi le discriminant ∆ = b2 − 4ac < 0
r racines complexes d’un polynôme de degré 2 à coefficients réels
⇒ 2 solutions complexes conjuguées pour (C) :
r1 =−b − j
√−∆
2a et r2 =−b + j
√−∆
2aou bien r1 = α + jω et r2 = α− jω (avec α = − b
2a et ω =√−∆2a )
y(t) peut alors prendre la forme :y(t) = eα+jω
y(t) = eα−jω
ou toute combinaison des deux (comme pour le cas précédent)
Finalement : y(t) = K1eα+jω + K2eα−jω
y(t) est solution de (H) et contient deux paramètres ( !)
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solutions complexes de l’équation caractéristiqueSi le discriminant ∆ = b2 − 4ac < 0
r racines complexes d’un polynôme de degré 2 à coefficients réels
⇒ 2 solutions complexes conjuguées pour (C) :
r1 =−b − j
√−∆
2a et r2 =−b + j
√−∆
2aou bien r1 = α + jω et r2 = α− jω (avec α = − b
2a et ω =√−∆2a )
y(t) peut alors prendre la forme :y(t) = eα+jω
y(t) = eα−jω
ou toute combinaison des deux (comme pour le cas précédent)
Finalement : y(t) = K1eα+jω + K2eα−jω
y(t) est solution de (H) et contient deux paramètres ( !)
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 19
Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solutions complexes de l’équation caractéristiqueSi le discriminant ∆ = b2 − 4ac < 0
r racines complexes d’un polynôme de degré 2 à coefficients réels
⇒ 2 solutions complexes conjuguées pour (C) :
r1 =−b − j
√−∆
2a et r2 =−b + j
√−∆
2aou bien r1 = α + jω et r2 = α− jω (avec α = − b
2a et ω =√−∆2a )
y(t) peut alors prendre la forme :y(t) = eα+jω
y(t) = eα−jω
ou toute combinaison des deux (comme pour le cas précédent)
Finalement : y(t) = K1eα+jω + K2eα−jω
y(t) est solution de (H) et contient deux paramètres ( !)
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 19
Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solutions complexes de l’équation caractéristiqueSi le discriminant ∆ = b2 − 4ac < 0
r racines complexes d’un polynôme de degré 2 à coefficients réels
⇒ 2 solutions complexes conjuguées pour (C) :
r1 =−b − j
√−∆
2a et r2 =−b + j
√−∆
2aou bien r1 = α + jω et r2 = α− jω (avec α = − b
2a et ω =√−∆2a )
y(t) peut alors prendre la forme :y(t) = eα+jω
y(t) = eα−jω
ou toute combinaison des deux (comme pour le cas précédent)
Finalement : y(t) = K1eα+jω + K2eα−jω
y(t) est solution de (H) et contient deux paramètres ( !)IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 19
Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solution générale quand ∆ < 0
On peut factoriser par eα
Solution généraleSi ∆ < 0 alors la solution générale de (H) est
y(t) = eαt ·(K1 · e jωt + K2 · e−jωt
)avec K1 et K2 ∈ C
Remarques :α > 0 =⇒ amplification de y dans le temps (cas le plus rare)α < 0 =⇒ amortissement de y dans le temps (cas le plus courant)eαt : terme d’amortissment
K1e jωt +K2e−jωr2t est un terme d’oscillation (conditions aux limites)si K1 = K2 =⇒ cos(ωt)si K1 = −K2 =⇒ sin(ωt)
Physiquement : solutions les plus intéressantesIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 20
Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solution double de l’équation caractéristique
Si le discriminant ∆ = b2 − 4ac = 0
1 racine double pour C(r) : r = r1 = r2 =−b2a
y(t) peut alors prendre la forme :y(t) = ert
mais il en manque une !
r est aussi racine de C ′(r) = 2ar + b : on va essayer y = tert
y = rtert + ert = (rt + 1)ert
y = rert + r(rt + 1)ert = (r2 + 2r)ert
Injection dans l’application y 7→ ay + by + cyay + by + cy = ert [a(r2t + 2r) + b(rt + 1) + ct]
y(t) peut aussi prendre la forme y(t) = t · ert
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 21
Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solution double de l’équation caractéristique
Si le discriminant ∆ = b2 − 4ac = 0
1 racine double pour C(r) : r = r1 = r2 =−b2a
y(t) peut alors prendre la forme :y(t) = ert
mais il en manque une !
r est aussi racine de C ′(r) = 2ar + b : on va essayer y = tert
y = rtert + ert = (rt + 1)ert
y = rert + r(rt + 1)ert = (r2 + 2r)ert
Injection dans l’application y 7→ ay + by + cyay + by + cy = ert [a(r2t + 2r) + b(rt + 1) + ct]
y(t) peut aussi prendre la forme y(t) = t · ert
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 21
Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solution double de l’équation caractéristique
Si le discriminant ∆ = b2 − 4ac = 0
1 racine double pour C(r) : r = r1 = r2 =−b2a
y(t) peut alors prendre la forme :y(t) = ert
mais il en manque une !
r est aussi racine de C ′(r) = 2ar + b : on va essayer y = tert
y = rtert + ert = (rt + 1)ert
y = rert + r(rt + 1)ert = (r2 + 2r)ert
Injection dans l’application y 7→ ay + by + cyay + by + cy = ert [a(r2t + 2r) + b(rt + 1) + ct]
y(t) peut aussi prendre la forme y(t) = t · ert
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 21
Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solution double de l’équation caractéristique
Si le discriminant ∆ = b2 − 4ac = 0
1 racine double pour C(r) : r = r1 = r2 =−b2a
y(t) peut alors prendre la forme :y(t) = ert
mais il en manque une !
r est aussi racine de C ′(r) = 2ar + b : on va essayer y = tert
y = rtert + ert = (rt + 1)ert
y = rert + r(rt + 1)ert = (r2 + 2r)ert
Injection dans l’application y 7→ ay + by + cyay + by + cy = ert [a(r2t + 2r) + b(rt + 1) + ct]
y(t) peut aussi prendre la forme y(t) = t · ert
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 21
Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solution double de l’équation caractéristiqueSi le discriminant ∆ = b2 − 4ac = 0
1 racine double pour C(r) : r = r1 = r2 =−b2a
y(t) peut alors prendre la forme :y(t) = ert
mais il en manque une !
r est aussi racine de C ′(r) = 2ar + b : on va essayer y = tert
y = rtert + ert = (rt + 1)ert
y = rert + r(rt + 1)ert = (r2 + 2r)ert
Injection dans l’application y 7→ ay + by + cyay + by + cy = ert [a(r2t + 2r) + b(rt + 1) + ct]= ert [t · (ar2 + br + c) + (2ar + b)]
y(t) peut aussi prendre la forme y(t) = t · ert
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 21
Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solution double de l’équation caractéristiqueSi le discriminant ∆ = b2 − 4ac = 0
1 racine double pour C(r) : r = r1 = r2 =−b2a
y(t) peut alors prendre la forme :y(t) = ert
mais il en manque une !
r est aussi racine de C ′(r) = 2ar + b : on va essayer y = tert
y = rtert + ert = (rt + 1)ert
y = rert + r(rt + 1)ert = (r2 + 2r)ert
Injection dans l’application y 7→ ay + by + cyay + by + cy = ert [a(r2t + 2r) + b(rt + 1) + ct]= ert [t · (ar2 + br + c︸ ︷︷ ︸
r racine
) + (2ar + b)︸ ︷︷ ︸r racine double
]= 0
y(t) peut aussi prendre la forme y(t) = t · ert
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 21
Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solution double de l’équation caractéristiqueSi le discriminant ∆ = b2 − 4ac = 0
1 racine double pour C(r) : r = r1 = r2 =−b2a
y(t) peut alors prendre la forme :y(t) = ert
mais il en manque une !
r est aussi racine de C ′(r) = 2ar + b : on va essayer y = tert
y = rtert + ert = (rt + 1)ert
y = rert + r(rt + 1)ert = (r2 + 2r)ert
Injection dans l’application y 7→ ay + by + cyay + by + cy = ert [a(r2t + 2r) + b(rt + 1) + ct]= ert [t · (ar2 + br + c︸ ︷︷ ︸
r racine
) + (2ar + b)︸ ︷︷ ︸r racine double
]= 0
y(t) peut aussi prendre la forme y(t) = t · ert
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 21
Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solution générale pour ∆ = 0
Les combinaisons de ces deux solutions sont aussi solutions (linéarité)
Solution généraleSi ∆ = 0 alors la solution générale de (H) est y(t) = (K1 · t + K2) · ert
avec K1 et K2 ∈ C
Second ordre : deux paramètres
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 22
Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
À retenir : Récapitulatif
Pour le polynôme caractéristique C(r) = ar2 + br + cde l’équation homogène ay + by + cy = 0 (H)
Discriminant Racines Solution générale∆ = b2 − 4ac de C de (H)
> 0 réelles simples yH(t) = K1 · er1t + K2 · er2t
r = − b2a ±
√∆2a
< 0 complexes conjuguées yH(t) =simples r = α± jω eαt ·
(K1 · e−jωt + K2 · e jωt)
α = − b2a et ω =
√−∆2a
= 0 réelle double yH(t) = (K1 · t + K2) · ert
r = − b2a
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
À retenir : schéma de résolution d’un problème physique
Surlignons ce que nous savons faire
1 Faire la mise en équation → depuis le premier cours
2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielleSi elle est inhomogène (I) :2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H) → depuis le troisième cours
2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H)
2.3 Trouver une solution particulière yP de (I)2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP
3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale :solution du problème
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 24
Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Exemple de physique (homogène)
x
m k
0
1 : Pendule élastique sansfrottements
x +kmx = 0 (H)
Wanted : Solution générale de (H)
, Équation homogène !
C(r) : r2 +km = 0 (C)
∆ = −4 km < 0 ou bien(
x − j√
km
)(x + j
√km
)= 0
racines : r1 = j√
km ou r2 = −j
√km ∈ C
Solution générale :
x(t) = K1 · e−j√
km t + K2 · e j
√km t
Deux constantes K1 ∈ C et K2 ∈ C⇒ 2 : X
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Exemple de physique (homogène)
x
m k
0
1 : Pendule élastique sansfrottements
x +kmx = 0 (H)
Wanted : Solution générale de (H)
, Équation homogène !
C(r) : r2 +km = 0 (C)
∆ = −4 km < 0 ou bien(
x − j√
km
)(x + j
√km
)= 0
racines : r1 = j√
km ou r2 = −j
√km ∈ C
Solution générale :
x(t) = K1 · e−j√
km t + K2 · e j
√km t
Deux constantes K1 ∈ C et K2 ∈ C⇒ 2 : X
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Exemple de physique (homogène)
x
m k
0
1 : Pendule élastique sansfrottements
x +kmx = 0 (H)
Wanted : Solution générale de (H)
, Équation homogène !
C(r) : r2 +km = 0 (C)
∆ = −4 km < 0 ou bien(
x − j√
km
)(x + j
√km
)= 0
racines : r1 = j√
km ou r2 = −j
√km ∈ C
Solution générale :
x(t) = K1 · e−j√
km t + K2 · e j
√km t
Deux constantes K1 ∈ C et K2 ∈ C⇒ 2 : X
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Exemple de physique (homogène)
x
m k
0
1 : Pendule élastique sansfrottements
x +kmx = 0 (H)
Wanted : Solution générale de (H)
, Équation homogène !
C(r) : r2 +km = 0 (C)
∆ = −4 km < 0 ou bien(
x − j√
km
)(x + j
√km
)= 0
racines : r1 = j√
km ou r2 = −j
√km ∈ C
Solution générale :
x(t) = K1 · e−j√
km t + K2 · e j
√km t
Deux constantes K1 ∈ C et K2 ∈ C⇒ 2 : X
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Exemple de physique (inhomogène)
x
m
k
0x0
1 : Pendule élastique sansfrottements
x +kmx = −g (I)
Wanted : Solution générale de (I)
2 : / Équation inhomogène !
2.1 : x +kmx = 0 (H)
2.2 : xH déjà fait précédemment
Solution générale de (H) :
xH(t) = K1 · e−j√
km t + K2 · e j
√km t
Que faut-il faire maintenant ?
→ Rechercher une solution particulière xP ...→ ...pour arriver à la solution générale xI de (I) !
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Exemple de physique (inhomogène)
x
m
k
0x0
1 : Pendule élastique sansfrottements
x +kmx = −g (I)
Wanted : Solution générale de (I)2 : / Équation inhomogène !
2.1 : x +kmx = 0 (H)
2.2 : xH déjà fait précédemment
Solution générale de (H) :
xH(t) = K1 · e−j√
km t + K2 · e j
√km t
Que faut-il faire maintenant ?
→ Rechercher une solution particulière xP ...→ ...pour arriver à la solution générale xI de (I) !
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Exemple de physique (inhomogène)
x
m
k
0x0
1 : Pendule élastique sansfrottements
x +kmx = −g (I)
Wanted : Solution générale de (I)2 : / Équation inhomogène !
2.1 : x +kmx = 0 (H)
2.2 : xH déjà fait précédemment
Solution générale de (H) :
xH(t) = K1 · e−j√
km t + K2 · e j
√km t
Que faut-il faire maintenant ?
→ Rechercher une solution particulière xP ...→ ...pour arriver à la solution générale xI de (I) !
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Exemple de physique (inhomogène)
x
m
k
0x0
1 : Pendule élastique sansfrottements
x +kmx = −g (I)
Wanted : Solution générale de (I)2 : / Équation inhomogène !
2.1 : x +kmx = 0 (H)
2.2 : xH déjà fait précédemment
Solution générale de (H) :
xH(t) = K1 · e−j√
km t + K2 · e j
√km t
Que faut-il faire maintenant ?
→ Rechercher une solution particulière xP ...→ ...pour arriver à la solution générale xI de (I) !
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Exemple de physique (inhomogène)
x
m
k
0x0
1 : Pendule élastique sansfrottements
x +kmx = −g (I)
Wanted : Solution générale de (I)2 : / Équation inhomogène !
2.1 : x +kmx = 0 (H)
2.2 : xH déjà fait précédemment
Solution générale de (H) :
xH(t) = K1 · e−j√
km t + K2 · e j
√km t
Que faut-il faire maintenant ?→ Rechercher une solution particulière xP ...→ ...pour arriver à la solution générale xI de (I) !
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Exemple de physique (inhomogène, forcé)
x
m
k
0
x0
1 : Pendule élastique sansfrottements
x +kmx =
−g +Am cos(ωt + ϕ) (I)
Wanted : Solution générale de (I)
2 : / Équation inhomogène !
2.1 : x +kmx = 0 (H)
2.2 : xH déjà faitprécédemment
Solution générale de (H) :
xH(t) = K1 · e−j√
km t + K2 · e j
√km t
Que faut-il faire maintenant ?
→ Rechercher une solution particulière xP ...→ ...pour arriver à la solution générale xI de (I) !
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Exemple de physique (inhomogène, forcé)
x
m
k
0
x0
1 : Pendule élastique sansfrottements
x +kmx =
−g +Am cos(ωt + ϕ) (I)
Wanted : Solution générale de (I)2 : / Équation inhomogène !
2.1 : x +kmx = 0 (H)
2.2 : xH déjà faitprécédemment
Solution générale de (H) :
xH(t) = K1 · e−j√
km t + K2 · e j
√km t
Que faut-il faire maintenant ?
→ Rechercher une solution particulière xP ...→ ...pour arriver à la solution générale xI de (I) !
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Exemple de physique (inhomogène, forcé)
x
m
k
0
x0
1 : Pendule élastique sansfrottements
x +kmx =
−g +Am cos(ωt + ϕ) (I)
Wanted : Solution générale de (I)2 : / Équation inhomogène !
2.1 : x +kmx = 0 (H)
2.2 : xH déjà faitprécédemment
Solution générale de (H) :
xH(t) = K1 · e−j√
km t + K2 · e j
√km t
Que faut-il faire maintenant ?
→ Rechercher une solution particulière xP ...→ ...pour arriver à la solution générale xI de (I) !
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Exemple de physique (inhomogène, forcé)
x
m
k
0
x0
1 : Pendule élastique sansfrottements
x +kmx =
−g +Am cos(ωt + ϕ) (I)
Wanted : Solution générale de (I)2 : / Équation inhomogène !
2.1 : x +kmx = 0 (H)
2.2 : xH déjà faitprécédemment
Solution générale de (H) :
xH(t) = K1 · e−j√
km t + K2 · e j
√km t
Que faut-il faire maintenant ?
→ Rechercher une solution particulière xP ...→ ...pour arriver à la solution générale xI de (I) !
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Exemple de physique (inhomogène, forcé)
x
m
k
0
x0
1 : Pendule élastique sansfrottements
x +kmx =
−g +Am cos(ωt + ϕ) (I)
Wanted : Solution générale de (I)2 : / Équation inhomogène !
2.1 : x +kmx = 0 (H)
2.2 : xH déjà faitprécédemment
Solution générale de (H) :
xH(t) = K1 · e−j√
km t + K2 · e j
√km t
Que faut-il faire maintenant ?→ Rechercher une solution particulière xP ...→ ...pour arriver à la solution générale xI de (I) !
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Retour au schéma de résolution d’un problème physique
Surlignons en jaune ce qu’il reste à faire et en vert ce que l’on a traité
1 Faire la mise en équation
2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielleSi elle est inhomogène (I) :2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H)
2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H)
2.3 Trouver une solution particulière yP de (I)
2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP
3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale :solution du problème
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Outils de résolution au second ordre Recherche d’une solution particulière
Recherche d’une solution particulière de (I)
Au premier ordre :Méthode du tableauMéthode de Lagrange (variation de la constante)
Au deuxième ordreThéoriquement : les mêmes méthodesMéthode de Lagrange : difficile à résoudre (outils mathématiques)Nous utiliserons le tableau
Tableau :assez simplemais solutions dépendent des constantes a, b et cmais solutions dépendent des racines de C r1, et r2
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Outils de résolution au second ordre Recherche d’une solution particulière
Le tableauForme de p(t) Forme yP
recommandéeRemarques
k ∈ R K ∈ Rpolynôme P(t) polynôme Q(t) • deg(Q) = deg(P) si c 6= 0
• deg(Q) = 1+deg(P)si c = 0 et b 6= 0• deg(Q) = 2+deg(P)si c = b = 0
ekt · P(t) ekt · Q(t) • deg(Q) = deg(P)si k 6= r1 et k 6= r2• deg(Q) = 1+deg(P)si k = r1 et k 6= r2• deg(Q) = 2+deg(P)si k = r1 = r2
k1 cos(mt) tn · [K1 cos(mt) • n = 0, 1, 2 selon relations+k2 sin(mt) +K2 sin(mt)] entre m, r1 et r2
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Exemples de problèmes
Plan
1 Méthode et définitionsSchéma de résolutionDéfinitionsLinéarité et conséquences
2 Outils de résolution au second ordreSolution générale d’une EDL2 homogèneRecherche d’une solution particulière
3 Exemples de problèmes
4 Conclusion
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Exemples de problèmes
Exemple du pendule élastique pesant # 1
x
m
k
0x0
Pendule élastique sansfrottements
1 : x +kmx = −g (I)
x(0) = 0 et x(0) = 0
Wanted : Solution du problème
2 : ! Équation inhomogène !
2.1 : x +kmx = 0 (H)
2.2 : xH(t) = K1 · e−j√
km t + K2 · e j
√km t déjà fait précédemment
2.3 : xP(t) = K avec K ∈ C d’après le tableauOn injecte dans (I) : k
mK = −g =⇒ K = − gmk
xP = − gmk
2.4 : Solution générale de (I) : xI(t) = K1 · e−j√
km t + K2 · e j
√km t − gm
k
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Exemples de problèmes
Exemple du pendule élastique pesant # 1
x
m
k
0x0
Pendule élastique sansfrottements
1 : x +kmx = −g (I)
x(0) = 0 et x(0) = 0
Wanted : Solution du problème2 : ! Équation inhomogène !
2.1 : x +kmx = 0 (H)
2.2 : xH(t) = K1 · e−j√
km t + K2 · e j
√km t déjà fait précédemment
2.3 : xP(t) = K avec K ∈ C d’après le tableauOn injecte dans (I) : k
mK = −g =⇒ K = − gmk
xP = − gmk
2.4 : Solution générale de (I) : xI(t) = K1 · e−j√
km t + K2 · e j
√km t − gm
k
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Exemples de problèmes
Exemple du pendule élastique pesant # 1
x
m
k
0x0
Pendule élastique sansfrottements
1 : x +kmx = −g (I)
x(0) = 0 et x(0) = 0
Wanted : Solution du problème2 : ! Équation inhomogène !
2.1 : x +kmx = 0 (H)
2.2 : xH(t) = K1 · e−j√
km t + K2 · e j
√km t déjà fait précédemment
2.3 : xP(t) = K avec K ∈ C d’après le tableauOn injecte dans (I) : k
mK = −g =⇒ K = − gmk
xP = − gmk
2.4 : Solution générale de (I) : xI(t) = K1 · e−j√
km t + K2 · e j
√km t − gm
k
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Exemples de problèmes
Exemple du pendule élastique pesant # 1
x
m
k
0x0
Pendule élastique sansfrottements
1 : x +kmx = −g (I)
x(0) = 0 et x(0) = 0
Wanted : Solution du problème2 : ! Équation inhomogène !
2.1 : x +kmx = 0 (H)
2.2 : xH(t) = K1 · e−j√
km t + K2 · e j
√km t déjà fait précédemment
2.3 : xP(t) = K avec K ∈ C d’après le tableauOn injecte dans (I) : k
mK = −g =⇒ K = − gmk
xP = − gmk
2.4 : Solution générale de (I) : xI(t) = K1 · e−j√
km t + K2 · e j
√km t − gm
k
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Exemples de problèmes
Exemple du pendule élastique pesant # 1
x
m
k
0x0
Pendule élastique sansfrottements
1 : x +kmx = −g (I)
x(0) = 0 et x(0) = 0
Wanted : Solution du problème2 : ! Équation inhomogène !
2.1 : x +kmx = 0 (H)
2.2 : xH(t) = K1 · e−j√
km t + K2 · e j
√km t déjà fait précédemment
2.3 : xP(t) = K avec K ∈ C d’après le tableauOn injecte dans (I) : k
mK = −g =⇒ K = − gmk
xP = − gmk
2.4 : Solution générale de (I) : xI(t) = K1 · e−j√
km t + K2 · e j
√km t − gm
k
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Exemples de problèmes
Exemple du pendule élastique pesant # 1
x
m
k
0x0
Pendule élastique sansfrottements
1 : x +kmx = −g (I)
x(0) = 0 et x(0) = 0
Wanted : Solution du problème2 : ! Équation inhomogène !
2.1 : x +kmx = 0 (H)
2.2 : xH(t) = K1 · e−j√
km t + K2 · e j
√km t déjà fait précédemment
2.3 : xP(t) = K avec K ∈ C d’après le tableauOn injecte dans (I) : k
mK = −g =⇒ K = − gmk
xP = − gmk
2.4 : Solution générale de (I) : xI(t) = K1 · e−j√
km t + K2 · e j
√km t − gm
k
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Exemples de problèmes
Exemple du pendule élastique pesant # 2
Conditions initiales :x(0) = 0 =⇒ K1 + K2 =
gmk
x(0) = 0 =⇒ j√
km · (K2 − K1) = 0 =⇒ K1 = K2
On trouve : K1 = K2 = gm2k
Solution du problème :
x(t) =gmk ·
e−j√
km t + e j
√km t
2
− gmk
x(t) =gmk ·
cos√ k
mt
− 1
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Exemples de problèmes
Exemple du pendule élastique pesant # 3
x(t) =gmk ·
cos√ k
mt
− 1
Analyse de la solutionPas d’amortissementPulsation propre ω =
√km
x(t) =gω2 · [cos (ωt)− 1]
2 g/ 2
1 g/ 2
0 g/ 2
0/ 3/ 6/Po
sitio
nTemps
Questions intéressantes :Rajouter l’amortissement ⇒ x +
fm x + x = −g
Trouver xI quand p(t) = −g + Am cos(ωt)
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Exemples de problèmes
Exemple plus compliqué
1 Résoudre l’équation différentielle y + 2y + y = e−t (I)avec y(0) = 1 et y(0) = 0
2 yI ?2.1 y + 2y + y = 0 (H)
2.2 r2 + 2r + 1 = 0 (C) =⇒ ∆ =
0 donc r1 = r2 = −1yH(t) = (K1 · t + K2) · e−t
2.3 yP ?a, b, et c non-nulsmais k = −1 = r1 = r2 =⇒ deg(Q) = 2 + deg(P)yP(t) = e−t · (αt2 + βt + γ)
En injectant dans (I) : yP =t2
2 e−t
2.4 yI(t) = ( t22 + K1 · t + K2) · e−t
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Exemples de problèmes
Exemple plus compliqué
1 Résoudre l’équation différentielle y + 2y + y = e−t (I)avec y(0) = 1 et y(0) = 0
2 yI ?2.1 y + 2y + y = 0 (H)
2.2 r2 + 2r + 1 = 0 (C) =⇒ ∆ = 0 donc r1 = r2 = −1
yH(t) = (K1 · t + K2) · e−t
2.3 yP ?a, b, et c non-nulsmais k = −1 = r1 = r2 =⇒ deg(Q) = 2 + deg(P)yP(t) = e−t · (αt2 + βt + γ)
En injectant dans (I) : yP =t2
2 e−t
2.4 yI(t) = ( t22 + K1 · t + K2) · e−t
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Exemples de problèmes
Exemple plus compliqué
1 Résoudre l’équation différentielle y + 2y + y = e−t (I)avec y(0) = 1 et y(0) = 0
2 yI ?2.1 y + 2y + y = 0 (H)
2.2 r2 + 2r + 1 = 0 (C) =⇒ ∆ = 0 donc r1 = r2 = −1yH(t) = (K1 · t + K2) · e−t
2.3 yP ?
a, b, et c non-nulsmais k = −1 = r1 = r2 =⇒ deg(Q) = 2 + deg(P)yP(t) = e−t · (αt2 + βt + γ)
En injectant dans (I) : yP =t2
2 e−t
2.4 yI(t) = ( t22 + K1 · t + K2) · e−t
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Exemples de problèmes
Exemple plus compliqué
1 Résoudre l’équation différentielle y + 2y + y = e−t (I)avec y(0) = 1 et y(0) = 0
2 yI ?2.1 y + 2y + y = 0 (H)
2.2 r2 + 2r + 1 = 0 (C) =⇒ ∆ = 0 donc r1 = r2 = −1yH(t) = (K1 · t + K2) · e−t
2.3 yP ?a, b, et c non-nulsmais k = −1 = r1 = r2 =⇒ deg(Q) = 2 + deg(P)yP(t) = e−t · (αt2 + βt + γ)
En injectant dans (I) : yP =t2
2 e−t
2.4 yI(t) = ( t22 + K1 · t + K2) · e−t
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Exemples de problèmes
Exemple plus compliqué
1 Résoudre l’équation différentielle y + 2y + y = e−t (I)avec y(0) = 1 et y(0) = 0
2 yI ?2.1 y + 2y + y = 0 (H)
2.2 r2 + 2r + 1 = 0 (C) =⇒ ∆ = 0 donc r1 = r2 = −1yH(t) = (K1 · t + K2) · e−t
2.3 yP ?a, b, et c non-nulsmais k = −1 = r1 = r2 =⇒ deg(Q) = 2 + deg(P)yP(t) = e−t · (αt2 + βt + γ)
En injectant dans (I) : yP =t2
2 e−t
2.4 yI(t) = ( t22 + K1 · t + K2) · e−t
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Exemples de problèmes
Exemple plus compliqué # 2
Conditions initialesy(0) = 1 =⇒ K2 = 1y(0) = 0 =⇒ K1 = 0
Solution du problème
y(t) =
(t22 + 1
)e−t
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Conclusion
Plan
1 Méthode et définitionsSchéma de résolutionDéfinitionsLinéarité et conséquences
2 Outils de résolution au second ordreSolution générale d’une EDL2 homogèneRecherche d’une solution particulière
3 Exemples de problèmes
4 Conclusion
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Conclusion
Conclusion
Méthode qui fonctionne toujours !équations linéairesà coefficients constants
Schéma à appliquerle même au premier ordre et au deuxième ordreà connaître par ♥
Mais des calculs nécessairesExemple d’une perturbation continueEncore plus de calculs pour une perturbation variable ( !)
Prochain cours :Equations incomplètesPeuvent toutes être résoudre avec cette méthodeMais certaines peuvent être résolues plus simplement“Exceptions”
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