UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOŠKA FAKULTETA

ERIK HRVATIN

VIZUALIZACIJA POLARNEGA RAZCEPALINEARNIH TRANSFORMACIJ

DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA, 2017

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOŠKA FAKULTETA

DVOPREDMETNI UCITELJ: FIZIKA – MATEMATIKA

ERIK HRVATIN

Mentor: doc. dr. Boštjan Kuzman

VIZUALIZACIJA POLARNEGA RAZCEPA LINEARNIH TRANSFORMACIJ

DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA, 2017

Zahvala

Iskreno se zahvaljujem mentorju doc. dr. Boštjanu Kuzmanu za vse usmeritve, nasvete in

pomoc pri pisanju diplomske naloge.

Zahvaljujem se tudi svoji družini in punci Tini, ki so me ves cas študija podpirali in mi stali

ob strani.

Povzetek

V diplomskem delu obravnavamo polarni razcep za realne kvadratne matrike. Gre za pro-

dukt pozitivno definitne in ortogonalne matrike, s katerimi se tudi nekoliko podrobneje

srecamo. V delu dokažemo, da polarni razcep vedno obstaja in je enolicno dolocen za

obrnljive matrike. Posebej izpeljemo ustrezne formule za ortogonalne in pozitivno defini-

tne matrike dimenzije 2×2, prav tako pa tudi eksplicitno formulo za polarni razcep matrik

dimenzije 2× 2, s pomocjo katere lahko ugotovimo, kdaj ima matrika polarni razcep nad

poljem racionalnih števil. Matrike si lahko predstavljamo tudi kot linearne transformacije

ravnine, kar ilustriramo s slikami in interaktivnimi apleti, ki smo jih izdelali v programu

GeoGebra.

Kljucne besede: Matrika, pozitivno definitna matrika, ortogonalna matrika, polarni raz-

cep, linearna transformacija, vizualizacija.

Abstract

The thesis aims at addressing the polar decomposition of a real square matrix. This is the

product of a positive-definite matrix and an orthogonal matrix that are discussed in more

detail as well. It is shown and proved in the thesis that the polar decomposition always

exists and it is unique for invertible matrices. The adequate formula for orthogonal and

positive-definite 2×2 matrices and the explicit formula for the polar decomposition of 2×2

matrices are derived. The latter can be used to help us determine when a polar decompo-

sition of a matrix has rational coefficients. Matrices can also be seen as linear transforma-

tions of the plane. They can be visually represented with images or interactive applets that

were developed using the GeoGebra program.

Key words: matrix, positive-definite matrix, orthogonal matrix, polar decomposition, li-

near transformation, visualisation.

Kazalo

1 Uvod 1

2 Osnove linearne algebre 2

2.1 Matrike in linearne transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Lastne vrednosti in diagonalizacija matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Polarni razcep matrik 12

3.1 Ortogonalne matrike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1.1 Ortogonalne matrike dimenzije 2×2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Pozitivno definitne matrike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.1 Pozitivno definitne matrike dimenzije 2×2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Polarni razcep kvadratne matrike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3.1 Eksplicitna formula za polarni razcep matrik dimenzije 2×2 . . . . . . . 25

4 Vizualizacija polarnega razcepa 32

4.1 Delovanje poljubne matrike kot linearne transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2 Delovanje ortogonalne matrike kot linearne transformacije . . . . . . . . . . . . . 34

4.3 Delovanje pozitivno definitne matrike kot linearne transformacije . . . . . . . . 36

4.4 Polarni razcep transformacije ravnine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.5 Spletna knjižica z apleti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Slike

1 Vrtež okrog izhodišca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Zrcaljenje cez x os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Zrcaljenje cez premico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Delovanje pozitivno definitne matrike na crko M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5 Delovanje poljubne matrike s pozitivno determinanto kot linearne transfor-

macije (aplet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6 Delovanje poljubne matrike z negativno determinanto kot linearne transfor-

macije (aplet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7 Delovanje ortogonalne matrike, ki predstavlja vrtež (aplet) . . . . . . . . . . . . . . 35

8 Delovanje ortogonalne matrike, ki predstavlja zrcaljenje (aplet) . . . . . . . . . . 35

9 Delovanje pozitivno definitne matrike (aplet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

10 Delovanje korena pozitivno definitne matrike (aplet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

11 Delovanje ortogonalne matrike (aplet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

12 Polarni razcep matrike (aplet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

13 Kazalo spletne knjižice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1 Uvod

Tema diplomskega dela sodi v podrocje linearne algebre, saj gre za obravnavo matrik. Z ma-

trikami se pred vstopom na fakulteto srecamo zelo malo ali pa celo nic, to je odvisno pred-

vsem od srednješolskih profesorjev matematike na gimnazijah. Nekateri svojim ucencem

namrec pokažejo, da je eden izmed nacinov reševanja sistemov linearnih enacb s pomocjo

matrik, drugi pa se tega nacina ne poslužujejo.

V diplomskem delu se bomo srecali z vizualizacijo polarnega razcepa matrik oziroma li-

nearnih transformacij. Že v prvem letniku smo pri predmetu Osnove linearne algebre po-

kazali, da lahko vsako realno simetricno matriko A ortogonalno diagonaliziramo, torej za-

pišemo kot produkt A = P D P T , kjer je P ortogonalna matrika in D diagonalna matrika.

Poleg omenjenega razcepa, obstaja še mnogo drugih, s katerimi se tekom študija še nismo

srecali. V delu se bomo osredotocili na polarni razcep, ki nas spomni na vsem dobro znani

polarni zapis kompleksnega števila. Pri polarnem razcepu namrec dano matriko A zapi-

šemo kot produkt neke pozitivno definitne matrike in neke ortogonalne matrike, A =RW .

Poleg tega pa ima polarni razcep matrike tudi geometrijsko ozadje, ki ga je mogoce vizu-

alno predstaviti v primeru kvadratnih matrik dimenzije 2×2 ali 3×3.

Na zacetku je predstavljenih nekaj preprostih linearnih transformacij v ravnini, s katerimi

smo se že srecali tekom študija, kot so razteg, strig, vrtež, zrcaljenje in podobno, ki jih po-

vežemo z razlicnimi lastnostmi matrik. Nato se seznanimo z osnovnimi orodji linearne

algebre, kot so matrike, diagonalizacija, posebne vrste matrik (ortogonalna, pozitivno de-

finitna) in podobno, ki jih potrebujemo v drugem delu naloge za obravnavo problema. V

nadaljevanju je definiran polarni razcep kvadratne matrike in zapisanih nekaj primerov

le-tega. Posebej je izpeljana eksplicitna formula za polarni razcep matrik dimenzije 2× 2.

Prišli smo tudi do ugotovitve, kdaj ima ta polarni razcep racionalne koeficiente. V zadnjem

delu polarni razcep vizualno predstavimo s pomocjo ustreznih racunalniških orodij (Geo-

Gebra).

1

2 Osnove linearne algebre

V tem razdelku bomo na kratko zbrali in ponovili nekatere standardne rezultate iz podrocja

linearne algebre, s katerimi se obicajno srecajo študentje v prvem letniku študija. Namen

tega razdelka je predvsem pojasniti definicije in oznake, ki jih bomo potrebovali v nadalje-

vanju. Ker nas v diplomskem delu zanimajo matrike predvsem kot linearne transformacije

ravnine oziroma prostoraRn , bomo ustrezne rezultate vecinoma navajali v poenostavljeni

obliki, v kateri linearne transformacije kar enacimo z matrikami (zapisanimi v standardni

bazi). Vkljucili bomo nekaj krajših dokazov osnovnih trditev, vecino daljših pa bomo v tem

razdelku izpustili in bralca samo usmerili na ustrezno literaturo, v kateri so ti dokazi v celoti

navedeni.

2.1 Matrike in linearne transformacije

V tem podrazdelku si bomo pogledali, kako na nek objekt delujejo nekatere matrike di-

menzije 2×2 in videli nekaj osnovnih transformacij, kot so raztegi, strigi, zrcaljenja, vrteži

in podobno. Osnovna ideja je, da tocke v ravnini (oziroma vektorje v prostoruRn ) identifi-

ciramo s stolpci vRn×1 in ustrezno preslikavo predstavimo kot produkt matrike in stolpca.

Trditev 2.1. Naj bo A = [ai j ] ∈ Rm×n matrika s koeficienti ai j . Potem matrika A doloca

preslikavo f : Rn →Rm s predpisom

f (v ) = Av =�

m∑

k=1

a1k vk , . . . ,m∑

k=1

ank vk

�

,

pri cemer vektor v = (v1, . . . , vm ) ∈ Rm identificiramo s stolpcem v =

v1

...

vn

∈ Rn×1 in presli-

kani vektor Av ∈Rm ustreza produktu Av ∈Rm×1. Ta preslikava je linearna, torej velja:

• f (v +u ) = f (v ) + f (u ), in

• f (λv ) =λ f (v ) za vse u , v ∈Rn in λ ∈R.

Dokaz: Linearnost je posledica lastnosti matricnega množenja: A(u + v ) = Au + Av in

A(λv ) =λAv . �

Primer 2.2. Matrika A =

�

1 2 0

0 −2 1

�

doloca linearno preslikavo f : R3→R2, ki vektor (x , y , z ) ∈

R3 preslika v vektor f (x , y , z ) = (x +2y ,−2y + z ) ∈R2.

2

Tudi naslednja trditev je preprosta posledica matricnega množenja.

Trditev 2.3. Naj bo A = [ai j ] ∈Rm×n matrika s koeficienti ai j in naj bodo ei = (0, . . . , 1, . . . , 0) ∈Rn vektorji standardne baze. Potem slike f (ei ) ∈Rm ustrezajo stolpcem matrike A.

Dokaz: Po prejšnji trditvi je f (ei ) = Aei = (a1i , . . . , ani ). �

Primer 2.4. Matrika iz prejšnjega primera preslika vektor e1 = (1, 0, 0) v vektor f (e1) = (1, 0),

vektor e2 = (0, 1, 0) v vektor f (e2) = (2,−2) in vektor e3 = (0, 0, 1) v vektor f (e3) = (0, 1).

Zadnja trditev pove, da lahko linearno preslikavo f : Rn → Rm z željenimi geometrij-

skimi lastnostmi natanko opišemo tako, da dolocimo slike vektorjev standardne baze, ki

torej dolocajo stolpce ustrezne matrike A. To je v bistvu poenostavljena verzija splošnej-

šega Izreka o linearni razširitvi za poljubne linearne preslikave, glej npr. [3, Poglavje 4].

Osredotocimo se sedaj na nekaj konkretnih primerov, pri katerih želimo dolociti ma-

triko, ki ustreza preslikavi R2→R2.

Primer 2.5. Matrika, ki ustreza preslikavi f (1, 0) = (2, 3) in f (0, 1) = (1, 5), je seveda

A =

�

2 1

3 5

�

.

Primer 2.6. Denimo, da želimo dolociti matriko, ki ustreza vrtežu okrog izhodišca za dani

kotφ v pozitivni smeri (nasprotna smer urinega kazalca). S pomocjo Slike 1 bomo razbrali,

kam se pri tem vrtežu preslikata vektorja e1 = (1, 0) in e2 = (0, 1). S premislekom ugotovimo,

da je f (e1) = (cosφ, sinφ), kar predstavlja prvi stolpec iskane matrike. Podobno dobimo, da

je f (e2) = (−sinφ, cosφ). Tako dobimo matriko

A =

�

cosφ −sinφ

sinφ cosφ

�

.

Za poljubni vektor v = (x , y ) velja torej f (v ) = (x cosφ− y sinφ, x sinφ+ y cosφ).

3

Slika 1: Vrtež okrog izhodišca

Primer 2.7. Dolocimo sedaj matriko, ki ustreza zrcaljenju preko osi x. S pomocjo Slike 2

razberemo kam se pri zrcaljenju preko osi x preslikata vektorja e1 = (1, 0) in e2 = (0, 1). Hitro

lahko ugotovimo, da je f (e1) = (1, 0) in f (e2) = (0,−1). Dobimo torej matriko

A =

�

1 0

0 −1

�

.

Za poljubni vektor v = (x , y ) velja torej f (v ) = (x ,−y ).

Slika 2: Zrcaljenje cez x os

Primer 2.8. Ucinek linearne transfomacije ravnine lahko prikažemo tudi s sliko nekega lika

v ravnini. V Tabeli 1 so prikazane razlicne osnovne linearne transformacije in njihov ucinek

na lik v obliki crke N. V tabeli lahko za vsak primer vidimo matriko, s katero smo delovali

na crko N, vrednost njene determinante, sliko crke in vrsto linearne tranformacije. Z rdeco

barvo je narisana crka N v zacetnem položaju, z modro pa je narisana crka N, ko nanjo

delujemo z izbrano matriko.

4

matrika det. slika linearna transformacija�

1 00 1

�

1 identiteta

�

a 00 1

�

, a 6= {0, 1} a razteg v smeri osi x

�

1 c0 1

�

, c 6= 0 1 strig v smeri osi x

�

1 0d 1

�

, d 6= 0 1 strig v smeri osi y

�

1 00 −1

�

-1 zrcaljenje cez os x

�

−1 00 1

�

-1 zrcaljenje cez os y

�

cosφ −sinφsinφ cosφ

�

1 vrtež okrog koordinatnegaizhodišca za kotφ

�

1 00 0

�

0 projekcija na os x

�

0 00 1

�

0 projekcija na os y

Tabela 1: Osnovni zgledi linearnih transformacij ravnine

5

Opomba 2.9. V Tabeli 1 smo zapisali tudi vrednost determinante posamezne matrike, saj

se moramo zavedati, da ima determinanta tudi geometrijski pomen. Absolutna vrednost

determinante doloca plošcino lika (v našem primeru crke N), predznak pa njegovo (njeno)

orientacijo.

Primer 2.10. Pri dolocanju matrike preslikave si pogosto pomagamo z uporabo prehodnih

matrik. Matriko, ki ustreza preslikavi, ki vektor v = (1, 2) preslika v vektor f (v ) = 2v in

vektor u = (1,−1) preslika v vektor f (u ) =−u, lahko denimo dolocimo kot produkt ustreznih

diagonalne in prehodne matrike

A = P D P −1 =

�

1 1

2 −1

��

2 0

0 −1

��

1 1

2 −1

�−1

=

�

0 1

2 1

�

.

Postopek je natancneje opisan v [3, poglavje 5].

6

2.2 Lastne vrednosti in diagonalizacija matrik

V skladu s prejšnjim razdelkom vsaka kvadratna matrika predstavlja linearno transforma-

cijo prostora Rn vase. Preko pojma lastnih vrednosti lahko proucujemo povezavo med al-

gebrskimi lastnostmi matrik in geometrijskimi lastnostmi linearnih transformacij.

Definicija 2.11. Naj bo dana matrika A ∈ Rn×n . Skalarju λ ∈ R recemo lastna vrednost

matrike A, ce obstaja tak neniceln vektor v ∈ Rn×1, da je Av = λv . Vektor v imenujemo

lastni vektor matrike A pri lastni vrednosti λ.

Primer 2.12. Denimo, da matrika A doloca neko zrcaljenje ravnine cez premico skozi izho-

dišce. Potem sta lastni vrednostiλ1 = 1 inλ2 =−1. Pripadajoci lastni vektorji so vsi nenicelni

vektorji na premici oziroma vsi nenicelni vektorji, ki so nanjo pravokotni.

Kadar poznamo koeficiente matrike A ∈Rn×n in je n razmeroma majhen, njene lastne

vrednosti in lastne vektorje obicajno izracunamo kot nicle pripadajocega karakteristicnega

polinoma in rešitve ustreznega sistema linearnih enacb. Natancnejši opis tega postopka

lahko bralec najde v knjigi [2].

Primer 2.13. Izracunajmo lastni vrednosti in lastna vektorja matrike A =

�

0 1

−2 −3

�

.

Zapišemo karakteristicni polinom in ga enacimo z 0:

∆A(λ) = det(A−λI ) =

�

�

�

�

�

0−λ 1

−2 −3−λ

�

�

�

�

�

= (λ+2)(λ+1) = 0.

Lastni vrednosti sta torej λ1 = −1 in λ2 = −2. Izracunajmo še lastna vektorja oziroma bazo

ustreznih lastnih podprostorov Ker(A−λI ):

• λ1 =−1:

�

1 1

−2 −2

��

x

y

�

=

�

0

0

�

, sledi y =−x , torej v1 =

�

1

−1

�

.

• λ2 =−2:

�

2 1

−2 −1

��

x

y

�

=

�

0

0

�

, sledi y =−2x , torej v2 =

�

1

−2

�

.

Spomnimo se še nekaterih posebnih kvadratnih matrik. O ortogonalnih in pozitivno

definitnih bomo sicer vec povedali v naslednjem razdelku.

Definicija 2.14. Naj bo A ∈Rn×n realna kvadratna matrika. Tedaj je A:

• diagonalna, ce je ai , j = 0, za vsak i 6= j , kjer i , j ∈ {1, 2, . . . , n},

• simetricna, ce je ai , j = a j ,i za vsak i , j ∈ {1, 2, . . . , n},

7

• antisimetricna, ce je ai , j =−a j ,i za vsak i , j ∈ {1, 2, . . . , n},

• ortogonalna, ce je AAT = AT A = I ,

• pozitivno definitna, ce je simetricna in so vse njene lastne vrednosti pozitivne.

Za lažjo predstavo si sedaj poglejmo po en primer za vsako od zgoraj naštetih matrik.

Primer 2.15. Naslednje matrike so zaporedoma: diagonalna, simetricna, antisimetricna,

ortgonalna in pozitivno definitna.

A =

�

−11 0

0 −5

�

, B =

�

4 −1

−1 −2

�

, C =

�

5 3

−3 −2

�

, D =

�

1p2− 1p

21p2

1p2

�

, E =

�

4 2

2 4

�

.

Za matrike A, B in C je ocitno, da so zaporedoma diagonalna, simetricna in antisime-

tricna. Preverili pa bomo, da sta matriki D in E res ortogonalna oziroma pozitivno de-

finitna. Poglejmo najprej za matriko D . Izracunamo D T =

�

1p2

1p2

− 1p2

1p2

�

. Torej je D D T =

�

1p2− 1p

21p2

1p2

��

1p2

1p2

− 1p2

1p2

�

=

�

1 0

0 1

�

= I . Podobno bi preveril še, da velja D T D = I , torej je ma-

trika D res ortogonalna. Sedaj pokažimo še, da je matrika E pozitivno definitna. Da je sime-

tricna je ocitno, pokazati moramo še, da so njene lastne vrednosti pozitivne. Zapišemo ka-

rakteristicni polinom∆A(λ) =

�

�

�

�

�

4−λ 2

2 4−λ

�

�

�

�

�

= (4−λ)(4−λ)−4=λ2−8λ+12= (λ−6)(λ−2) = 0.

Sledi λ1 = 6 in λ2 = 2. Vidimo, da sta obe lastni vrednosti pozitivni, torej je matrika E res

pozitivno definitna.

Izrek 2.16. Lastni vektorji, ki pripadajo razlicnim lastnim vrednostim matrike A, so line-

arno neodvisni. Ce je matrika A simetricna, so tudi paroma pravokotni.

Dokaz: Najprej pokažimo, da so lastni vektorji, ki pripadajo razlicnim lastnim vrednostim

matrike A, linearno neodvisni. Naredili bomo dokaz z indukcijo:

• n = 1: Imamo le en lastni vektor v , torej je v linearno neodvisen.

• n → n +1: Denimo, da so lastni vektorji v1, v2, . . . , vn , katerim pripadajo razlicne vre-

dnosti λ1,λ2, . . . ,λn linearno neodvisni. Pokazati želimo, da je tudi lastni vektor vn+1,

kateremu pripada lastna vrednost λn+1 linearno neodvisen. Sedaj izberemo takšne

parametre α1, . . . ,αn+1, da velja α1v1 + . . .+αn+1vn+1 = 0. Želimo α1 = . . . = αn+1 = 0.

Enacbo na levi strani pomnožimo z A in dobimo

α1Av1+ . . .+αn Avn +αn+1Avn+1 = 0,

8

sledi

α1λ1v1+ . . .+αnλn vn +αn+1λn+1vn+1 = 0.

Sedaj pa zacetno enacbo na levi strani pomnožimo z λn+1 in sledi

α1λn+1v1+ . . .+αnλn+1vn +αn+1λn+1vn+1 = 0.

Od prve enacbe odštejemo drugo, torej

α1(λ1−λn+1)v1+ . . .+αn (λn −λn+1)vn = 0.

Ker so v1, . . . , vn linearno neodvisni, so skalarni cleni enaki 0, torej

α1(λ1−λn+1) = 0,

...

αn (λn −λn+1) = 0.

Ker vemo, da so lastne vrednosti λ1, . . . ,λn+1 razlicne, torej sledi α1 = . . . = αn = 0.

Sedaj se vrnemo k prvotni enacbi, torejα1v1+. . .+αn+1vn+1 = 0. Ker jeα1 = . . .=αn = 0,

je αn+1vn+1 = 0. Ker je vn+1 6= 0, sledi αn+1 = 0, kar pomeni, da so vektorji v1, . . . , vn+1

linearno neodvisni.

Denimo sedaj, da je A simetricna matrika in pokažimo, da so lastni vektorji paroma pravo-

kotni. Ker je A simetricna matrika, torej velja A = AT . Naj bosta λ1 in λ2 razlicni lastni vre-

dnosti, ki pripadata lastnima vektorjema v1 in v2. Torej velja Av1 =λ1v1 in Av2 =λ2v2. Vze-

mimo prvo enacbo in jo pomnožimo z v T2 na levi strani. Dobimo v T

2 Av1 = v T2 λ1v1 =λ1v T

2 v1.

Transponiramo in dobimo v T1 Av2 = λ1v T

1 v2. Sedaj vzamemo drugo enacbo in jo na levi

strani pomnožimo z v T1 . Dobimo v T

1 Av2 = v T1 λ2v2 = λ2v T

1 v2. Od tu sledi λ1v T1 v2 = λ2v T

1 v2.

Ker je λ1 6= λ2, to velja le v primeru, ko je v T1 v2 = 0, torej sta lastna vektorja res pravokotna.

�

Znano je, da lahko nekatere realne matrike A ∈ Rn×n diagonaliziramo, to je zapišemo

v obliki A = P D P −1, kjer je D diagonalna matrika, ki ima na diagonali lastne vrednosti

matrike A, in P neka obrnljiva matrika, ki ima za stolpce pripadajoce (linearno neodvisne)

lastne vektorje. V primeru simetricnih matrik pa je diagonalizacija vselej možna in ustrezno

prehodno matriko lahko izberemo tako, da je celo ortogonalna.

Izrek 2.17 (Ortogonalna diagonalizacija simetricnih matrik). Vsako realno simetricno ma-

9

triko A ∈ Rn×n lahko zapišemo kot A = P D P T , kjer je P realna ortogonalna matrika in D

realna diagonalna matrika.

Dokaz: Glej npr. [3, Poglavje 9] �

Posledica 2.18. Ce realno matriko A lahko zapišemo kot A = P D P T , potem je A simetricna.

Dokaz: Imamo diagonalno matriko D , ortogonalno matriko P in vemo, da velja A = P D P T .

Poglejmo kaj dobimo, ko matriko A transponiramo:

AT = (P D P T )T = (P T )T D T P T = P D P T = A.

�

Primer 2.19. Matriko A =

�

6 2

2 3

�

zapišimo kot A = P D P T , kjer je P ortogonalna matrika in

D diagonalna matrika.

Najprej izracunamo lastni vrednosti matrike in dobimo λ1 = 7 in λ2 = 2. Od tu sledi

D =

�

7 0

0 2

�

. Izracunamo pripadajoca lastna vektorja in dobimo v ′1 =

�

112

�

in v ′2 =

�

1

−2

�

. Ker

je A simetricna matrika in sta lastni vrednosti matrike razlicni, sta po Izreku 2.16 vektorja

v ′1 in v ′2 pravokotna, torej ju moramo samo normirati in dobimo v1 =

�

2p5

1p5

�

ter v2 =

�

1p5

− 2p5

�

.

Vektorja vstavimo v matriko in dobimo P =

�

2p5

1p5

1p5− 2p

5

�

. Sledi P T =

�

2p5

1p5

1p5− 2p

5

�

. Torej lahko

zapišemo

A =

�

2p5

1p5

1p5− 2p

5

��

7 0

0 2

��

2p5

1p5

1p5− 2p

5

�

.

Na koncu tega razdelka se spomnimo še kriterijev za obrnljivost kvadratne matrike, ki

jih bomo prav tako potrebovali v nadaljevanju.

Izrek 2.20. Naj bo A ∈Rn×n kvadratna matrika. Potem so naslednje trditve ekvivalentne:

• Matrika A je obrnljiva,

• det(A) 6= 0,

• rang(A) = n,

• 0 ni lastna vrednost matrike A.

10

Dokaze posameznih ekvivalenc lahko bralec najde v razlicnih standardnih virih, ki obrav-

navajo reševanju sistemov linearnih enacb, racunanje determinant in sorodne teme line-

arne algebre.

Trditev 2.21. Naj bosta A ∈ Rn×n in B ∈ Rn×n obrnljivi matriki. Potem so obrnljive tudi

matrike AB , B A in AAT .

Dokaz: Iz Trditve 2.21 sledi, da je kvadratna matrika obrnljiva natanko takrat, ko je njena

determinanta razlicna od 0. Torej je det(A) 6= 0 in det(B ) 6= 0. Vemo pa tudi, da je det(AB ) =

det(A)det(B ). Torej je vrednost determinante matrike AB produkt dveh nenicelnih števil

in je zagotovo razlicen od 0. Torej je matrika AB res obrnljiva. Podobno bi pokazali še za

matriko B A. Sledi, da je produkt dveh obrnljivih matrik torej tudi obrnljiv.

Ker je det(A) = det(AT ) in je A obrnljiva, je det(AT ) 6= 0, torej je tudi matrika AT obrnljiva. Iz

prvega dela dokaza sledi, da je produkt dveh obrnljivih matrik tudi obrnljiv. �

11

3 Polarni razcep matrik

V tem razdelku si bomo najprej pogledali nekatere glavne lastnosti ortogonalnih in pozi-

tivno definitnih matrik in jih tudi dokazali. Posebej si bomo pogledali tudi matrike dimen-

zije 2× 2. V nadaljevanju razdelka se bomo osredotocili na polarni razcep in njegovo eks-

plicitno formulo za matrike dimenzije 2×2.

3.1 Ortogonalne matrike

Definicija 3.1. Naj bo W ∈ Rn×n realna kvadratna matrika. Tedaj je W ortogonalna ma-

trika, ce je W W T =W T W = I oziroma, ce je W −1 =W T . Množico vseh ortogonalnih matrik

reda n, ki jo oznacimo z O(n) = {W ∈ Rn×n |W W T =W T W = I }, imenujemo ortogonalna

grupa reda n.

Spomnimo se, da oznaka GL(n )pomeni splošno linearno grupo reda n , torej grupo vseh

obrnljivih realnih matrik dimenzije n ×n za množenje. Naslednja trditev pove, da je tudi

množica O(n) grupa.

Trditev 3.2. Ortogonalna grupa O(n) je podgrupa v GL(n ).

Dokaz: Pokazati moramo, da je množica O(n) zaprta za produkt in za inverz svojih elemen-

tov.

• O(n) je zaprta za produkt:

Vzemimo poljubni ortogonalni matriki W1, W2 ∈ O (n ). Pokazati moramo, da je tudi

W1W2 ∈O (n ), kar hitro sledi iz enakosti

W1W2(W1W2)T =W1W2W T

2 W T1 =W1W T

1 = I

in

(W1W2)T W1W2 = I .

• O(n) zaprta za inverz svojih elementov:

Vzemimo poljubno ortogonalno matriko W ∈O (n ). Ker je W −1 =W T , takoj sledi

W −1(W −1)T =W T (W T )T =W T W = I

in podobno tudi (W −1)T W −1 = I .

�

12

Trditev 3.3. Za poljubno kvadratno matriko W ∈Rn×n so ekvivalentne naslednje trditve:

1. W je ortogonalna.

2. W ohranja skalarni produkt ⟨W u , W v ⟩= ⟨u , v ⟩, pri cemer je skalarni produkt defini-

ran s predpisom ⟨u , v ⟩= u T v , za poljubna stolpca u , v ∈Rn×1.

3. Matrika W ohranja dolžino vektorja: ||W v ||= ||v || za vsak stolpec v ∈Rn×1, pri cemer

je norma oziroma dolžina vektorja definirana s predpisom ||v ||=p

⟨v, v ⟩=p

v T v .

4. Stolpci oziroma vrstice matrike W ∈Rn×n so ortonormirana baza ustreznega prostora

glede na prej definirani skalarni produkt.

Dokaz:

• 1→ 2: Iz ortogonalnosti W in definicije skalarnega produkta sledi

⟨W u , W v ⟩= (W u )T W v = u T W T W v = u T v = ⟨u , v ⟩.

• 2 → 3: Ker je norma definirana preko skalarnega produkta, ki ga W ohranja, takoj

sledi ||W v ||=p

⟨W v, W v ⟩=p

⟨v, v ⟩= ||v ||.

• 3→ 4: Pišimo W =�

w1 w2 . . . wn

�

, kjer so wi ∈Rn×1 stolpci. Oznacimo i-ti stolpec

matrike W z wi , potem je wi =W ei , kjer je ei = [0, . . . , 1, . . . , 0]T i-ti stolpec standar-

dne baze. Po 3. sledi ||wi ||= ||W ei ||= ||ei ||= 1, torej so stolpci matrike W normirani.

Podobno dobimo, da sta poljubna razlicna stolpca wi in w j ortogonalna, saj je

⟨wi , w j ⟩=w Ti w j = (W ei )

T W e j = e Ti W T W e j = e T

i e j = 0.

Isto trditev za vrstice pokažemo na podoben nacin.

• 4→ 1: Ce so stolpci ortonormirani, potem je desna stran v racunu

W T W =

w T1

w T2...

w Tn

�

w1 w2 . . . wn

�

=

w T1 w1 w T

1 w2 . . . w T1 wn

w T2 w1 w T

2 w2 . . . w T2 wn

......

...

w Tn w1 w T

n w2 . . . w Tn wn

enaka I . Podobno iz ortonormiranosti vrstic sledi še W W T = I .

�

Trditev 3.4. Naj bo W ∈R realna ortogonalna matrika. Potem velja:

13

1. det W =±1.

2. Ce je λ lastna vrednost za W , je λ=±1.

3. Ce sta u in v lastna vektorja za W pri razlicnih lastnih vrednostih, potem sta ortogo-

nalna.

Dokaz:

1. 1= det I = det(W W T ) = det W det W T = det W 2.

2. Ce je W v =λv za neniceln v , potem je

v T v = v T W T W v = (W v )T W v =λv Tλv =λ2v T v.

Sledi λ2 = 1.

3. Ce je W v =λv in W u =µu , potem

u T v = u T W T W v = (W u )T W v =µu Tλv =λµu T v.

Ker λµ ne more biti 1, sledi u T v = ⟨u , v ⟩= 0.

�

3.1.1 Ortogonalne matrike dimenzije 2×2

V tem podrazdelku bomo ugotovili, da lahko ortogonalne matrike dimenzije 2×2 opišemo

precej bolj natancno, kot pa ortogonalne matrike poljubnih dimenzij.

Trditev 3.5. Vsaka ortogonalna matrika W ∈R2×2 je oblike

W =

�

a −p

1−a 2

p1−a 2 a

�

ali pa W =

�

ap

1−a 2

p1−a 2 −a

�

, kjer je a ∈ [−1, 1].

Opomba 3.6. Zgornji matriki lahko zapišemo tudi v obliki W =

�

cosφ −sinφ

sinφ cosφ

�

in W =

�

cosφ sinφ

sinφ −cosφ

�

, kjer jeφ ∈ [−π,π].

14

Dokaz: Denimo, da je W =

�

a b

c d

�

neka ortogonalna matrika. Potem je

W T =

�

a c

b d

�

. Izracunamo W W T in W T W in iz definicije sledi

�

a 2+ b 2 a c + b d

a c + b d c 2+d 2

�

=

�

a 2+ c 2 a b + c d

a b + c d b 2+d 2

�

=

�

1 0

0 1

�

.

Od tu dobimo sistem enacb

a 2+ b 2 = 1, c 2+d 2 = 1, a 2+ c 2 = 1, b 2+d 2 = 1, a c + b d = 0, a b + c d = 0.

Hitro lahko opazimo, da mora veljati b 2 = c 2 in a 2 = d 2, torej c = ±b in d = ±a . Vemo pa

tudi, da velja b =±p

1−a 2, torej mora biti a ∈ [−1, 1], ker je b ∈R.

Prišli smo do matrike oblike

W =

�

a ±p

1−a 2

±p

1−a 2 ±a

�

.

Ce na zgornje enakosti pogledamo z vidika trigonometricnih funkcij lahko hitro opazimo

podobnost z enacbo cos2φ + sin2φ = 1. Odlocimo se, da bomo pisali a = cosφ, kjer je

φ ∈ [−π,π] in prilagodimo še ostale parametre. Tako dobimo matriko oblike

W =

�

cosφ ±sinφ

±sinφ ±cosφ

�

,φ ∈ [−π,π].

Iz pogojev a c + b d = 0 in a b + c d = 0 sledi, da od osmih možnosti štiri odpadejo in so

možne le še naslednje: W =

�

cosφ sinφ

−sinφ cosφ

�

, W =

�

cosφ sinφ

sinφ −cosφ

�

,

W =

�

cosφ −sinφ

sinφ cosφ

�

in W =

�

cosφ −sinφ

−sinφ −cosφ

�

, v vseh primerih ponovno veljaφ ∈ [−π,π].

Iz sodosti oziroma lihosti funkcije sledi, da sta razlicni le dve možnosti:

W =

�

cosφ −sinφ

sinφ cosφ

�

inW =

�

cosφ sinφ

sinφ −cosφ

�

.

�

15

Opomba 3.7. Matrika

�

cosφ −sinφ

sinφ cosφ

�

predstavlja vrtež okrog izhodišca za kotφ v naspro-

tni smeri vrtenja urinega kazalca, matrika

�

cosφ sinφ

sinφ −cosφ

�

pa predstavlja zrcaljenje cez

premico, ki gre skozi izhodišce in z abscisno osjo oklepa kot φ2 .

Za prvo matriko smo se že v prejšnjem razdelku prepricali, da res predstavlja vrtež. Poglejmo

sedaj, da druga matrika res predstavlja zrcaljenje.

Slika 3: Zrcaljenje cez premico

Na zgornji sliki lahko vidimo kaj se zgodi, ko vektorja u =

�

1

0

�

in v =

�

0

1

�

pomnožimo z

matriko W =

�

cosφ sinφ

sinφ −cosφ

�

. Matrika preslika vektor u =

�

1

0

�

v vektor W u =

�

cosφ

sinφ

�

in

vektor v =

�

0

1

�

v vektor W v =

�

sinφ

−cosφ

�

. S pomocjo poznavanja osnovnih pravil trigonome-

tricnih funkcij torej opazimo, da matrika res predstavlja zrcaljenje cez premico, ki poteka

skozi izhodišce in z abscisno osjo oklepa kot φ2 .

16

3.2 Pozitivno definitne matrike

Definicija 3.8. Naj bo R ∈Rn×n realna kvadratna matrika. Tedaj recemo, da je R pozitivno

definitna matrika, ce je simetricna in so vse njene lastne vrednosti pozitivne.

Izrek 3.9. Naj bo R ∈ Rn×n poljubna simetricna matrika. Potem je R pozitivno definitna

matrika natanko tedaj, ko za vsak neniceln stolpec v ∈Rn×1 velja v T R v > 0.

Dokaz:

• Denimo, da je matrika R pozitivno definitna. Pokazati moramo, da za vsak nenicelen

stolpec v ∈Rn×1 velja v T R v > 0.

Po Trditvi 2.17 lahko matriko R zapišemo kot R = P D P T , kjer je D diagonalna ma-

trika, ki ima na diagonali lastne vrednosti matrike R in P ortogonalna matrika. Torej

moramo dokazati, da je v T P D P T v > 0 za∀v ∈Rn×1. Sedaj oznacimo u = P T v . Od tu

sledi, da je u T = v T P . Torej moramo pokazati u T D u > 0. Ker so na diagonali matrike

D lastne vrednosti matrike R vemo, da je u T D u =λ1u 21+λ2u 2

2+ . . .+λn u 2n . Vrednosti

u 21 , u 2

2 , . . . , u 2n so zagotovo nenegativne, saj so kvadrati, vsaj ena od njih pa je razlicna

od 0, saj je v neniceln. Tudi vrednosti λ1,λ2, . . . ,λn so pozitivne, saj imamo pozitivno

definitno matriko. Torej smo pokazali, da je res u T D u > 0 in posledicno v T R v > 0.

• Denimo, da za vsak nenicelen stolpec v ∈Rn×1 velja v T R v > 0. Pokazati moramo, da

je matrika R pozitivno definitna.

Ker mora v T R v > 0 veljati za vsak neniceln stolpec v ∈ Rn×1, lahko vzamemo kar

enega izmed lastnih vektorjev matrike R . Torej lahko namesto v T R v > 0 pišemo

v Tλv > 0, kjer je λ pripadajoca lastna vrednost. Ker je v Tλv = λv T v in je v T v =

v 21 + v 2

2 + . . .+ v 2n > 0, mora veljati tudi λ > 0. Podobno bi vzeli še preostale lastne

vektorje in tako za vse lastne vrednosti λ1,λ2, . . . ,λn pokažemo, da so pozitivne. Po

Definiciji 3.8 sledi, da je matrika R pozitivno definitna.

�

Trditev 3.10. Naj bosta matriki A in B pozitivno definitni. Potem sta tudi matriki αA+βB ,

za vsak α,β > 0 in A−1 pozitivno definitni.

Dokaz: Najprej dokažimo, da je vsota A + B pozitivno definitna. Po Izreku 3.9 vemo, da

velja v T Av > 0 za vsak stolpec v ∈Rn×1 in v T B v > 0 za vsak stolpec v ∈Rn×1. Ce vzamemo

vsoto obeh matrik torej dobimo

v T (A+B )v = v T Av + v T B v.

17

Ker je v T Av > 0 in v T B v > 0, dobimo vsoto dveh pozitivnih števil, kar je zagotovo pozitivno

število, torej je res v T (A+B )v > 0 in je matrika A+B pozitivno definitna.

Sedaj moramo pokazati še, da je matrikaαA pozitivno definitna. Ker je matrika A pozitivno

definitna, velja v T Av > 0 za vsak stolpec v ∈ Rn×1. Za matriko αA dobimo v T (αA)v =

α(v T Av ). Tako α, kot tudi v T Av sta pozitivna, torej bo tudi produkt pozitiven in bo res

v T (αA)v > 0. Matriki αA in βB sta torej pozitivno definitni, kar pomeni, da je tudi njuna

vsota pozitivno definitna.

Pokažimo še, da je tudi matrika A−1 pozitivno definitna. Matrika A je pozitivno definitna,

torej je simetricna. To pomeni, da jo lahko po Izreku 2.17 zapišemo kot A = P D P T , kjer je

P ortogonalna matrika in D diagonalna, ki ima na diagonali pozitivne vrednosti λ1, λ2, . . .,

λn . Matriko A−1 pa lahko zapišemo kot A−1 = P D ′P T , kjer je D ′ diagonalna matrika, ki ima

na digonali vrednosti λ−11 , λ−1

2 , . . ., λ−1n . Preverimo, da velja AA−1 = I :

AA−1 = P D P T P D ′P T = P D D ′P T = P I P T = P P T = I . Ker so vrednosti

λ1,λ2, . . .,λn pozitivne, so tudi vrednostiλ−11 ,λ−1

2 , . . .,λ−1n pozitivne. Torej so lastne vrednosti

matrike A−1 pozitivne, preveriti moramo še, da je simetricna, torej A−1 = (A−1)T . Dobimo

(A−1)T = (P T )T D ′T P T = P D ′P T = A−1. �

Opomba 3.11. Vemo, da imamo za pozitivno definitno matriko R ∈ Rn×n z lastnimi vre-

dnostmi λi > 0, kjer je λ ∈ {1, . . . , n}, n lastnih vektorjev, ki so paroma pravokotni. Geome-

trijsko gledano nam ta preslikava torej poda razteg za pozitivne faktorje v n pravokotnih

smereh.

Opomba 3.12. Podobno kot pozitivno definitne realne matrike definiramo tudi pozitivno

semidefinitne matrike. Tudi te so simetricne, njene lastne vrednosti pa niso nujno pozitivne,

ampak je dovolj že, da so nenegativne. Zanje velja podoben izrek kot za pozitivno definitne:

realna simetricna matrika A je pozitivno definitna natanko tedaj, ko za vsak stolpec v ∈Rn×1

velja v T Av ≥ 0.

Trditev 3.13. Ce je realna kvadratna matrika A ∈ Rn×n pozitivno definitna, potem obstaja

takšna enolicno dolocena, pozitivno definitna matrika B ∈Rn×n , da je B 2 = A.

Dokaz: Ker je matrika A ∈ Rn×n realna pozitivno definitna, je po Definiciji 2.14 realna si-

metricna. Vsako realno simetricno matrko lahko po Izreku 2.17 zapišemo kot A = P D P T ,

kjer je P ortogonalna matrika in D diagonalna matrika. Ker je A pozitivno definitna, so vse

njene lastne vrednosti po Definiciji 2.14 pozitivne. Ker so na diagonali matrike D ravno la-

stne vrednosti matrike A, ima matrika D na diagonali same pozitivne vrednosti. Sedaj defi-

niramo diagonalno matriko C , za katero velja, da ima na diagonali pozitivne kvadratne ko-

rene istoležnih vrednosti kot matrika D . Torej velja C 2 =D in lahko zapišemo A = P C 2P T .

18

Sedaj matriko B definiramo kot B = P C P T . Izracunamo

B 2 = P C P T P C P T = P C 2P T = A.

Ocitno je B tudi simetricna, saj je B T = (P C P T )T = P C P T = B , torej je pozitivno definitna.

Razmislimo še, da je res enolicno dolocena. Denimo, da je tudi B ′ takšna matrika. Ce je

a > 0 njena lastna vrednost in v pripadajoci lastni vektor, potem je Av = (B ′)2v = B ′(a v ) =

a 2v , torej je a pozitivni kvadratni koren neke lastne vrednosti za A. Zato imata B in B ′ iste

lastne vrednosti, pripadajoci lastni vektorji obeh pa se ujemajo z lastnimi vektorji za A. Ker

lastni vektorji v1, . . . , vn za A predstavljajo tudi bazo prostora, lahko poljuben u izrazimo

kot u = a1v1 + . . .+ an vn . Potem pa je B u = B ′u , torej B in B ′ na vseh vektorjih delujeta

enako, zato sta enaki. �

Primer 3.14. Dana je matrika A =

�

2 2

2 5

�

. Poišcimo matriko B , za katero velja B 2 = A.

Najprej poišcimo lastni vrednosti matrike A.

(2−λ)(5−λ)−4= 0

λ2−7λ+6= 0

(λ−1)(λ−6) = 0

λ1 = 6,λ2 = 1

Torej imamo matriko

D =

�

6 0

0 1

�

.

Poišcimo sedaj pripradajoca lastna vektorja. Dobimo

v ′1 =

�

1

2

�

, v ′2 =

�

1

− 12

�

.

Ker je A simetricna, sta po Izreku 2.16 lastna vektorja pravokotna, torej ju moramo samo

normirati. Dobimo

v1 =

�

1p5

2p5

�

, v2 =

�

2p5

− 1p5

�

.

19

Sledi

P =1p

5

�

1 2

2 −1

�

= P T .

Torej lahko matriko B zapišemo kot

B =

�

1p5

2p5

2p5− 1p

5

��p6 0

0 1

��

1p5

2p5

2p5− 1p

5

�

=

�

4+p

65

−2+2p

65

−2+2p

65

1+4p

65

�

.

Bralec lahko sam preveri, da velja B 2 = A.

3.2.1 Pozitivno definitne matrike dimenzije 2×2

V tem podrazdelku si bomo posebej pogledali še pozitivno definitne matrike dimenzije 2×2.

Trditev 3.15. Vsaka pozitivno definitna matrika R ∈ R2×2 je oblike R =

�

a b

b c

�

, pri cemer

velja a > 0, c > 0 in a c > b 2.

Dokaz: Ker vemo, da je vsaka pozitivno definitna matrika simetricna, zacnemo z matriko

R =

�

a b

b c

�

. Njen karakteristicni polinom je (a −λ)(c −λ)− b 2 = 0. Njegovi nicli sta lastni

vrednosti, torej

λ1,2 =a + c ±

p

(a − c )2+ (2b )2

2.

Ker vemo, da sta obe lastni vrednosti pozitivni, mora zagotovo veljati

a + c >p

(a − c )2+ (2b )2.

Ker imamo pod korenom vsoto dveh pozitivnih števil, bo celotna vrednost zagotovo pozi-

tivna, torej mora veljati tudi

a + c > 0.

Ker sta torej obe vrednosti pozitivni, lahko neenacbo kvadriramo in neenacaj se ne bo obr-

nil. Tako dobimo

a 2+2a c + c 2 > a 2−2a c + c 2+4b 2.

Od tu sledi

a c > b 2.

20

Ker je b 2 nenegativno število, je zagotovo a c > 0. To lahko dobimo na dva nacina: ko je

a < 0 in c < 0 ali ko je a > 0 in c > 0. Tu se vrnemo nazaj in vidimo, da mora veljati tudi

a + c > 0, torej ne moreta biti a in c oba negativna in sledi

a > 0, c > 0.

�

Opomba 3.16. Lastni vrednosti poljubne simetricne matrike R =

�

a b

b c

�

sta torej

λ1,2 =a + c ±

p

(a − c )2+4b 2

2,

pripadajoca lastna vektorja pa sta

v1,2 =

1c−a±p(a−c )2+4b 2

2b

.

Primer 3.17. Matrika A =

�

5 2

2 2

�

je pozitivno definitna, saj je simetricna, in velja a = 5> 0,

c = 2> 0 in 10= a c > b 2 = 4. Pripadajoca lastna para sta:

• λ1 = 1, v1 =

�

1

−2

�

,

• λ2 = 6, v2 =

�

112

�

.

Ustrezna linearna preslikava torej fiksira premico y = −2x , vektorje na premici y = x2 pa

raztegne za faktor 6 (Slika 4).

Pozitivno definitne matrike dimenzije 2 × 2 nam torej podajo razteg v dveh razlicnih

smereh. Ti dve smeri nam podata lastna vektorja matrike.

21

Slika 4: Delovanje pozitivno definitne matrike na crko M

3.3 Polarni razcep kvadratne matrike

Spomnimo se, da lahko vsako kompleksno število z ∈C zapišemo v kartezicnem zapisu kot

z = x + i y , kjer realni števili x in y predstavljata njegov realni in imaginarni del. Po drugi

strani pa lahko vsako nenicelno število z ∈ C enolicno zapišemo tudi v polarnem zapisu

kot

z = r e iφ = r (cosφ+ i sinφ),

kjer je r > 0 realno število, ki ga imenujemo polarni radij, in φ ∈ [0, 2π) realno število, ki

ga imenujemo polarni kot oziroma argument. Z drugimi besedami, z = r w , kjer je r ne-

negativno realno število in w kompleksno število z lastnostjo |w | = 1, torej leži na enotski

krožnici.

Videli bomo, da lahko na dva razlicna nacina predstavimo tudi realne kvadratne ma-

trike.

Trditev 3.18. Vsako kvadratno matriko A ∈ Rn×n lahko zapišemo kot vsoto simetricne in

antisimetricne matrike.

Dokaz: Definirajmo matriko S ∈Rn×n kot S = A+AT

2 in matriko K ∈Rn×n kot A−AT

2 . Ce matriki

S in K seštejemo, dobimo ravno A = S +K . Poglejmo sedaj kakšni sta matriki S in K . Ker

velja

S T =

�

A+AT

2

�T

=AT + (AT )T

2=

AT +A

2= S ,

22

je matrika S simetricna. Podobno za matriko K velja

K T =

�

A−AT

2

�T

=AT − (AT )T

2=

AT −A

2=−

A−AT

2=−K ,

torej je K antisimetricna. �

Ce to primerjamo s kartezicnim zapisom kompleksnih števil, nas to spomni na enakosti

x = z+z2 in i y = z−z

2 . Iz analogije s polarnim zapisom kompleksnih števil z = r w bomo

izpeljali tudi polarni razcep matrik, pri katerem vlogo polarnega radija prevzame pozitivno

definitna matrika, vlogo kompleksnega števila w z lastnostjo w w = |w |2 = 1 pa prevzame

ortogonalna matrika.

Trditev 3.19. Naj bo A ∈ Rn×n obrnljiva kvadratna matrika. Potem je matrika AAT pozi-

tivno definitna.

Dokaz: Pokazati želimo, da so vse lastne vrednosti matrike AAT pozitivne. Ker je matrika A

obrnljiva, je po Trditvi 2.21 obrnljiva tudi matrika AAT . Torej so vse njene lastne vrednosti

nenicelne. Denimo, da je λ lastna vrednost matrike AAT in v pripadajoci lastni vektor.

Torej lahko zapišemo (AAT )v = λv . Pomnožimo z v T na levi strani in dobimo v T AAT v =

v Tλv . Sedaj na desni strani enacbe skalar premaknemo na zacetek in dobimo v T AAT v =

λv T v . Oznacimo sedaj u = AT v , potem je u T = (AT v )T = v T A. Torej lahko zgornjo enacbo

zapišemo kot u T u = λv T v . Ker vemo, da sta u in v stolpca, sta torej u T in v T vrstici.

Denimo, da je v =�

v1 v2 . . . vn

�T. Torej je

v T v =n∑

k=1

v 2i > 0,

saj je vektor v neniceln. Podobno bi pokazali še u T u > 0, saj je AT obrnljiva in zato u = AT v

neniceln vektor. Sledi

λ=u T u

v T v> 0.

Ker je bila λ poljubna lastna vrednost, je torej matrika AAT pozitivno definitna. �

Izrek 3.20 (Polarni razcep realne matrike). Vsako obrnljivo realno kvadratno matriko A ∈Rn×n lahko zapišemo kot A =RW , kjer je R ∈Rn×n pozitivno definitna matrika in W ∈Rn×n

ortogonalna matrika. Pri tem sta ustrezni matriki R in W enolicno doloceni.

Dokaz: Naj bo torej A dana obrnljiva kvadratna matrika. Ocitno je (AAT )T = AAT , torej

je matrika simetricna. Ker je matrika AAT ∈ Rn×n po Trditvi 3.19 pozitivno definitna, po

23

Trditvi 3.13 obstaja takšna matrika R , da velja R 2 = AAT . Ta matrika je oblike R = P D P T ,

kjer je P ortogonalna, matrika D pa ima na diagonali pozitivne korene lastnih vrednosti za

AAT , torej je matrika R pozitivno definitna in obrnljiva.

Definirajmo matriko W =R−1A. Hitro lahko opazimo, da tedaj velja

A =RW .

Pokazati moramo še, da je matrika W ortogonalna, torej

W W T =W T W = I .

Izracunamo

W W T =R−1A(R−1A)T =

=R−1AAT (R−1)T =

=R−1R 2(R T )−1 =

= I ,

kjer smo uporabili, da je R 2 = AAT in (R−1)T = (R T )−1. Torej je W W T = R−1R 2(R T )−1. Po-

dobno dobimo W T W = I . Matrika W je torej res ortogonalna. Dokažimo še enolicnost.

Denimo, da obstajata še pozitivno definitna matrika R1 in ortogonalna matrika W1 z la-

stnostjo A = R1W1. Iz enakosti RW = R1W1 sledi R R−11 =W1W T . Na levi imamo pozitivno

definitno matriko, na desni pa ortogonalno. Iz primerjav lastnih vrednosti sledi, da so vse

1, torej je to kar I , zato R =R1 in W =W1. �

Primer 3.21. Zapišimo matriko A =

�

2p

5 08p

55 − 6

p5

5

�

v obliki A = RW s pomocjo polarnega

razcepa. Najprej izracunamo AAT in dobimo AAT =

�

20 16

16 20

�

. Izracunamo lastni vredno-

sti matrike AAT in dobimo λ1 = 36 ter λ2 = 4. Od tu sledi D =

�

36 0

0 4

�

. Po znanem po-

stopku lahko izracunamo pripadajoca lastna vektorja in dobimo v1 =

�

1

1

�

ter v2 =

�

1

−1

�

, ki

sta že ortogonalna, saj pripadata razlicnim lastnim vrednostim simetricne matrike. Zato ju

24

le normiramo in vstavimo v ustrezno matriko kot stolpca, pa je dobljena matrika

V =1p

2

�

1 1

1 −1

�

ortogonalna in velja še V −1 = V T = 1p2

�

1 1

1 −1

�

. Matriko D že poznamo, zato z izracunom

matrike B ne bo nobenih težav. Nenicelne elemente matrike D korenimo, vzamemo pozi-

tivno vrednost, in dobimo B =

�

6 0

0 2

�

. Sedaj lahko izracunamo R =V BV −1 in dobimo

R =

�

4 2

2 4

�

.

Nato izracunamo še

W =R−1A =

�

13 − 1

6

− 16

13

��

2p

5 08p

55 − 6

p5

5

�

=1p

5

�

2 1

1 −2

�

.

Bralec lahko sam preveri, da dobljeni matriki ustrezata vsem zahtevam iz definicije po-

larnega razcepa.

3.3.1 Eksplicitna formula za polarni razcep matrik dimenzije 2×2

V naslednjem podrazdelku bomo izpeljali eksplicitno formulo za polarni razcep kvadratnih

matrik dimenzije 2×2, ki jo je odkril Uhlig [5]. Rezultat le-te bomo uporabili za prikaz v pro-

gramu Geogebra. Poleg tega bomo tudi ugotovili, v katerih primerih ima matrika dimenzije

2×2 s celimi koeficienti polarni razcep nad poljem racionalnih števil.

Izrek 3.22 (Eksplicitni polarni razcep). Naj bo A ∈R2×2 obrnljiva matrika. Potem ima ma-

trika A polarni razcep A =RW , kjer je

W =1

β(A+ |det A|(AT )−1)

ortogonalna matrika in

R =1

β(AAT + |det A|I )

25

pozitivno definitna matrika. Pri tem je

β = |det(A+ |det A|(AT )−1)|12

pozitivni skalar.

Dokaz: Pišimo A =

�

a b

c d

�

. Pokazati moramo, da je R pozitivno definitna matrika, W or-

togonalna matrika, in da velja enakost A =RW . Najprej bomo razpisali matriki R in W ter

faktor β . Za matriko W dobimo

W =1

β(A+ |det A|(AT )−1) =

=1

β

�

�

a b

c d

�

+ |a d − b c |

�

a c

b d

�−1�

=

=1

β

�

�

a b

c d

�

+ |a d − b c |1

a d − b c

�

d −c

−b a

�

�

=

=1

β

�

a ±d b ∓ c

c ∓ b d ±a

�

.

Podobno razpišemo še matriko R in dobimo

R =1

β(AAT + |det A|I ) =

=1

β

�

�

a b

c d

��

a c

b d

�

+ |a d − b c |

�

1 0

0 1

�

�

=

=1

β

�

�

a 2+ b 2 a c + b d

a c + b d c 2+d 2

�

+

�

|a d − b c | 0

0 |a d − b c |

�

�

=

=1

β

�

a 2+ b 2±a d ∓ b c a c + b d

a c + b d c 2+d 2±a d ∓ b c

�

.

26

Seveda moramo razpisati tudi faktor β , ki se pojavlja v obeh enacbah. Za β dobimo

β = |det(A+ |det A|(AT )−1)|12 =

=

�

�

�

�

det

�

�

a b

c d

�

+ |a d − b c |

�

a c

b d

�−1��

�

�

�

12

=

=

�

�

�

�

det

�

�

a b

c d

�

+ |a d − b c |1

a d − b c

�

d −c

−b a

�

��

�

�

�

12

=

=

�

�

�

�

det

�

a ±d b ∓ c

c ∓ b d ±a

��

�

�

�

12

.

Predznaki so v vseh treh primerih odvisni od vrednosti det A. Ce je det A > 0, velja zgornji

znak, ce je det A < 0, pa velja spodnji znak.

Pokažimo, da je R res pozitivno definitna matrika. Gre za vsoto dveh matrik, ki je pomno-

žena z nekim pozitivnim faktorjem. Torej moramo pokazati, da je (AAT +|det A|I )pozitivno

definitna. Iz Trditve 3.19 sledi, da je AAT pozitivno definitna. Tudi matrika |det A|I je pozi-

tivno definitna, saj je to diagonalna matrika, ki ima na diagonali same pozitivne vrednosti

|det A|. Te vrednosti pa nam predstavljajo ravno lastne vrednosti matrike, ki so torej pozi-

tivne. Po Trditvi 3.10 je tudi matrika (AAT + |det A|I ) pozitivno definitna, saj gre za vsoto

dveh pozitivno definitnih matrik.

Pokažimo sedaj, da je matrika W ortogonalna. Pokazati moramo, da velja

W W T =W T W = I . Najprej zapišimo matriko W T v podobni obliki kot W . Ker je

W =1

β(A+ |det A|(AT )−1),

sledi

W T =� 1

β(A+ |det A|(AT )−1)

�T=

=1

β

�

AT + |det A|A−1�

.

27

Torej je

W W T =1

β

�

A+ |det A|(AT )−1� 1

β

�

AT + |det A|A−1�

=

=1

β 2

�

AAT +2|det A|I + (det A2)(AAT )−1�

.

Posebej izracunamo AAT =

�

a b

c d

��

a c

b d

�

=

�

a 2+ b 2 a c + b d

a c + b d c 2+d 2

�

in

(AAT )−1 =1

det A2

�

c 2+d 2 −a c − b d

−a c − b d a 2+ b 2

�

.

Dobljeno vstavimo v zgornjo enacbo in dobimo

W W T =1

β 2

�

�

a 2+ b 2 a c + b d

a c + b d c 2+d 2

�

+

�

c 2+d 2 −a c − b d

−a c − b d a 2+ b 2

�

+2|det A|I�

=

=1

β 2

�

a 2+ b 2+ c 2+d 2+2|det A| 0

0 a 2+ b 2+ c 2+d 2+2|det A|

�

.

Na tem mestu dokaz razbijemo na dva dela, glede na predznak determinante:

• Ce je det A > 0, potem je

β =�

�

�det

�

a +d b − c

c − b d +a

�

�

�

�

12

=p

a 2+2a d +d 2+ b 2+ c 2−2b c

in

W W T =

�

1 0

0 1

�

= I .

• Ce je det A < 0, potem je

β =�

�

�det

�

a −d b + c

c + b d −a

�

�

�

�

12

=

=p

| −a 2+2a d −d 2− b 2− c 2−2b c |=

=p

a 2+ b 2+ c 2+d 2−2a d +2b c

28

in

W W T =

�

1 0

0 1

�

= I .

Pri tem smo upoštevali, da je rezultat znotraj absolutne vrednosti negativen, saj je

2(a d − b c ) negativno število, ker je det A < 0.

Pokazali smo torej, da je res W W T = I . Podobno bi pokazali še W T W = I , torej je ma-

trika W res ortogonalna.

V zadnjem delu moramo pokazati še, da res velja enakost A = RW . Ponovno moramo do-

kaz razdeliti na dva dela, enkrat, ko je det A > 0 in enkrat, ko je det A < 0. Pogledali bomo

dokaz le za det A > 0, za det A < 0 pa bi bil dokaz analogen.

Ko je det A > 0, je

R =1

β

�

a 2+ b 2+a d − b c a c + b d

a c + b d c 2+d 2+a d − b c

�

in

W =1

β

�

a +d b − c

c − b d +a

�

.

Torej je

RW =1

β 2

�

a (a 2+ b 2+ c 2+d 2+2a d −2b c ) b (a 2+ b 2+ c 2+d 2+2a d −2b c )

c (a 2+ b 2+ c 2+d 2+2a d −2b c ) d (a 2+ b 2+ c 2+d 2+2a d −2b c )

�

=

=1

β 2

�

aβ 2 bβ 2

cβ 2 dβ 2

�

=

�

a b

c d

�

= A.

�

Opomba 3.23. Ce bi želeli polarni razcep zapisati v obliki A =W R , kjer je W ortogonalna

matrika in R pozitivno definitna matrika, bi za R vzeli

R =1

β(AT A+ |det A|I )

namesto R = 1β (AAT + |det A|I ).

Primer 3.24. Naj bo A =

�

−2 3

2 −1

�

. Po zgornji formuli izracunajmo matriki R in W . Naj-

29

prej izracunamo det A =−4. Sledi β =

�

�

�

�

det

�

−1 5

5 1

��

�

�

�

12

=p

26.

Tako dobimo R = 1p26

�

17 −7

−7 9

�

in W = 1p26

�

−1 5

5 1

�

. Bralec lahko sam preveri, da je R pozi-

tivno definitna, W ortogonalna, in da velja A =RW .

V nadaljevanju podrazdelka si bomo pogledali, kdaj ima matrika A ∈Z2×2 polarni razcep

nad poljemQ.

Definicija 3.25. Celi števili x in y tvorita pitagorejski par, ko obstaja celo število z , za kate-

rega velja z 2 = x 2+ y 2.

Primer 3.26. Števili x = 3 in y = 4 tvorita pitagorejski par, saj je 32+42 = 52, števili x = 6 in

y =−2 pa ne, saj je x 2+ y 2 = 40,p

40 pa ni celo število.

Iz izreka o eksplicitnem polarnem razcepu za 2× 2 matrike zdaj sledi preprosta posle-

dica, ki poda kriterij za obstoj racionalnega polarnega razcepa.

Posledica 3.27 (Racionalni polarni razcep). Obrnljiva matrika A =

�

a b

c d

�

∈ Z2×2 ima po-

larni razcep nad poljemQ natanko tedaj, ko velja:

• det A < 0: števili a −d in b + c tvorita celoštevilski pitagorejski par,

• det A > 0: števili a +d in b − c tvorita celoštevilski pitagorejski par.

Dokaz: Poglejmo si dokaz za primer, ko je det A > 0. Za det A < 0 bi bil dokaz analogen. Ker

je det A > 0, je torej

β =

�

�

�

�

det

�

a +d b − c

c − b d +a

��

�

�

�

12

=

=p

(a +d )2− (b − c )(c − b ) =

=p

(a +d )2+ (b − c )2.

β je torej celo število natanko tedaj, ko a + d in b − c tvorita pitagorejski par, sicer pa je

iracionalno. Sedaj imamo

R =1

β

�

a 2+ b 2+a d − b c a c + b d

a c + b d c 2+d 2+a d − b c

�

30

in

W =1

β

�

a +d b + c

c + b d +a

�

.

Vemo, da je produkt celih števil celo število, prav tako je vsota celih števil celo število. V obeh

primerih imamo torej matriko s celoštevilskimi koeficienti, ki je pomnožena s številom 1β .

Ce je β celo število, imata torej R in W racionalne koeficiente. V nasprotnem primeru pa

je β iracionalen, zato to velja tudi za koeficiente R in W . �

Primer 3.28. Naj bo A =

�

−4 3

−1 2

�

. Ali ima A polarni razcep nad poljemQ?

Najprej izracunamo det A =−5. Sledi a −d =−6 in b + c = 2. Izracunamo

(a −d )2+ (b + c )2 = 40.

Ker vemo, dap

40 ni celo število, to pomeni, da matrika A nima polarnega razcepa nadQ.

Primer 3.29. Naj bo A =

�

3 2

−1 1

�

. Ali ima A polarni razcep nad poljemQ?

Najprej izracunamo det A = 5. Sledi a +d = 4 in b − c = 3. Izracunamo

(a +d )2+ (b − c )2 = 25.

Ker jep

25=±5 celo število, ima matrika A polarni razcep nadQ. Ustrezni matriki sta

R =

�

185 − 1

5

− 15

75

�

in W =

�

45

35

− 35

45

�

.

31

4 Vizualizacija polarnega razcepa

V zadnjem razdelku se bomo posvetili vizualizaciji matricnih transformacij in njihovega

polarnega razcepa. V ta namen bomo uporabili program GeoGebra. GeoGebra je program,

v katerem gre za preplet algebre in geometrije. Na eni strani vkljucuje dinamicno geome-

trijo, saj lahko v programu konstruiramo tocke, daljice, premice in podobno in jih nato tudi

poljubno premikamo, na drugi strani pa nam omogoca tudi vnos enacb in racunanje s po-

sameznimi objekti. Napisal ga je Markus Hohewarter leta 2001, z namenom podpore pri

pouku matematike. Do programa lahko brezplacno dostopajo vsi uporabniki, prenesti pa

ga je mogoce iz spletne strani geogebra.org. GeoGebra se je zelo hitro razširila, težko bi

namrec našli državo v kateri se ne uporablja, poleg tega pa je danes prevedena v številne

jezike, med drugim tudi v slovenšcino.

V okviru diplomskega dela smo z GeoGebro izdelali štiri razlicne aplete, ki si sledijo od

najpreprostejšega, ki prikazuje kako na neki poligonski lik (v našem primeru crko N) deluje

poljubna kvadratna matrika dimenzije 2×2, pa vse do zadnjega, ki prikazuje polarni razcep

kvadratne matrike dimenzije 2× 2. V naslednjih razdelikih so na kratko opisani izdelani

apleti in glavni konstrukcijski koraki pri njihovi izdelavi.

4.1 Delovanje poljubne matrike kot linearne transformacije

Prvi aplet prikazuje delovanje poljubne 2× 2 matrike na poligonski lik (crko N). Z rdeco

barvo je narisan zacetni položaj crke N, z modro pa njen položaj, ko nanjo delujemo z ma-

triko A (Sliki 5 in 6). Uporabnik lahko kontrolira 4 drsnike, ki predstavljajo koeficiente ma-

trike

A =

�

a b

c d

�

.

Glede na razlicne vrednosti koeficientov dobimo preslikave z razlicnimi geometrijskimi la-

stnostmi, npr. vrtež, zrcaljenje, strig, . . ., ki jih uporabnik opazuje hkrati s spreminjanjem

koeficientov. Obenem lahko primerja tudi plošcino in orientacijo preslikanega lika z deter-

minantno matrike A, ki se prav tako sproti prikazuje v okencu. Ce je determinanta nega-

tivna ali nicelna, nas aplet na to opozori z obvestilom o spremembi orientacije oziroma o

izrojenosti ustrezne matrike. V nadaljevanju so na kratko opisani konstrukcijski koraki.

32

Slika 5: Delovanje poljubne matrike s pozitivno determinanto kot linearne transformacije(aplet)

Slika 6: Delovanje poljubne matrike z negativno determinanto kot linearne transformacije(aplet)

Opis konstrukcijskih korakov

1. Zacetni poligonski lik (crko N) opišemo s seznamom tock

N={(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(3,0),(3,3),(2,3),(2,2),(1,3),(0,3)}. Nato z

33

ukazom Mnogokotnik(N), izrišemo želeni lik. Koordinate oglišc crke N bi lahko si-

cer vnesli tudi kot matriko

N =

�

0 1 1 2 3 3 2 2 1 0

0 1 1 0 0 3 3 2 3 3

�

z ukazom {{0,1,1,2,3,3,2,2,1,0},{0,1,1,0,0,3,3,2,3,3}}.

2. Z orodjem za vstavljanje drsnikov na risalno površino postavimo 4 drsnike, a , b , c

in d z vrednostmi med −5 in 5, ki bodo predstavljali koeficiente matrike A =

�

a b

c d

�

.

Nato definiramo matriko A={{a,b},{c,d}}.

3. V naslednjem koraku bomo crko N preslikali z matriko A. GeoGebra množenje ma-

trike 2×2 z urejenim parom samodejno interpretira kot množenje matrike s stolpcem.

Zato lahko uporabimo ukaz Zaporedje za konstrukcijo seznama preslikanih oglišc

na naslednji nacin:

AN=Zaporedje((A Element(N,i)),i,1,Dolºina(N)).

Dobljeno zaporedje ustreza produktu matrike A z matriko N :

AN =

�

a b

c d

��

0 1 1 2 3 3 2 2 1 0

0 1 1 0 0 3 3 2 3 3

�

.

4. Preslikani mnogokotnik narišemo z ukazom Mnogokotnik(AN).

5. Dodamo izracun determinante D = a d − b c in dodatno besedilo, ki se izpiše le v

primeru, ko je determinanta negativna ali nicelna. To v GeoGebri naredimo tako, da

v lastnostih besedila nastavimo prikaz objekta ob primernem pogoju.

4.2 Delovanje ortogonalne matrike kot linearne transformacije

Drugi aplet prikazuje delovanje ortogonalne 2×2 matrike na poligonski lik (crko N). Z rdeco

barvo je narisan zacetni položaj crke N, z modro pa njen položaj, ko nanjo delujemo z ma-

triko W1 oziroma W2 (Sliki 7 in 8). Uporabnik lahko kontrolira drsnik, od katerega so odvisni

koeficienti matrike

W1 =

�

cosφ −sinφ

sinφ cosφ

�

oziroma

W2 =

�

cosφ sinφ

sinφ −cosφ

�

.

34

Kot smo ugotovili že v prejšnjem razdelku, nam prva matrika predstavlja vrtež okrog koor-

dinatnega izhodišca za kotφ v pozitivni smeri, druga pa zrcaljenje preko premice, ki poteka

skozi koordinatno izhodišce in z abscisno osjo oklepa kot φ2 .

Slika 7: Delovanje ortogonalne matrike, ki predstavlja vrtež (aplet)

Slika 8: Delovanje ortogonalne matrike, ki predstavlja zrcaljenje (aplet)

35

Opis konstrukcijskih korakov

1. Enako kot prej izrišemo crko N.

2. Podobno kot prej izdelamo drsnik φ, ki v tem primeru predstavlja kot, in ne število.

Dolocimo, da se njegova vrednost lahko spreminja od 0◦ do 360◦. Nato definiramo

matriki W_1={{cos(φ), -sin(φ)},{sin(φ),cos(φ)}} in

W_2={{cos(φ), sin(φ)},{sin(φ),-cos(φ)}}.

3. Podobno kot v prejšnjem primeru enkrat na crko N delujemo z matriko W1 in enkrat

z matriko W2 in izrišemo dobljena lika.

4. Z ukazom kot z dano velikostjo izdelamo kot, ki ima vrh v koordinatnem izhodišcu in

z abscisno osjo oklepa kot φ2 . Na ekranu se pojavi tocka A′, ki leži na enem kraku tega

kota.

5. Narišemo premico, ki poteka skozi koordinatno izhodišce in tocko A′. To je premica,

preko katere se prezrcali crka N, ko nanjo delujemo z matriko W2.

6. Dodamo kontrolna okvircka, s pomocjo katerih lahko izberemo, kaj želimo imeti pri-

kazano na ekranu. Ko ustvarjamo okvircek, iz spustnega seznama izberemo kateri

objekti naj bodo vidni, ko okvircek aktiviramo. Z enim okvirckom vkljucimo prikaz

vrteža, z drugim pa prikaz zrcaljenja.

4.3 Delovanje pozitivno definitne matrike kot linearne transformacije

Tretji aplet prikazuje delovanje pozitivno definitne 2×2 matrike na poligonski lik (crko N).

Z rdeco barvo je narisan zacetni položaj crke N, z modro njen položaj, ko nanjo delujemo

z matriko R (Slika 9) in z zeleno, ko na crko N delujemo s korenom matrike R (Slika 10).

Uporabnik lahko lahko spreminja vrednosti treh drsnikov, ki dolocajo koeficiente matrike

R =

�

a b

b c

�

.

Pri tem moramo biti pozorni, da velja a > 0, c > 0, a c > b 2.

36

Slika 9: Delovanje pozitivno definitne matrike (aplet)

Slika 10: Delovanje korena pozitivno definitne matrike (aplet)

Opis konstrukcijskih korakov

1. Kot v prvih dveh primerih izrišemo crko N.

2. Ustvarimo tri drsnike, a , b , c , pri cemer je vrednost drsnika b med −5 in 5, drsnikov

37

a in c pa med 0 in 5. Definiramo matriko R={{a,b},{b,c}}.

3. Dodamo napis, ki nam pove, ali je matrika R pozitivno definitna. V lastnostih bese-

dila nastavimo, da se nam napis prikaže, ko veljajo pogoji a > 0, c > 0, a c > b 2.

4. S pomocjo formule iz prejšnjega razdelka bomo definirali lastna vektorja matrike R ,

še pred tem pa zaradi vecje preglednosti in krajših ukazov v nadaljevanju definiramo

vrednosti v'=(c - a + sqrt((a - c)^2 + 4b^2)) / (2b) in

v''=(c - a - sqrt((a - c)^2 + 4b^2)) / (2b). Sedaj lastna vektorja ma-

trike R definiramo z ukazoma v_1=Vektor((0, 0), (1, v')) in

v_2=Vektor((0, 0), (1, v'')).

5. Podobno kot v prejšnjih primerih z matriko delujemo na crko N in izrišemo dobljeni

lik.

6. S pomocjo formule iz prejšnjega razdelka definiramo lastni vrednosti matrike R z

ukazoma λ_1=((a+c)+sqrt((a-c)^2+4b^2))/2 in

λ_2=((a+c)-sqrt((a-c)^2+4b^2))/2. Nato definiramo matriko D z ukazom

D={{λ_1,0},{0,λ_2}}.

7. Prej izracunana lastna vektorja normiramo z ukazoma

v_1'=(1 / sqrt(v'^2 + 1), v' / sqrt(v'^2 + 1)) in

v_2'=(1 / sqrt(v''^2 + 1), v'' / sqrt(v''^2 + 1)).

8. Sedaj moramo definirati matriko P , katere stolpca sta normirana lastna vektorja ma-

trike R , torej v ′1 in v ′2. Matriko P definiramo z ukazom

P={{1/sqrt(v'^2+1),1/sqrt(v''^2+1)},{v'/sqrt(v'^2+1),v''/sqrt(v''^2+1)}}.

Definiramo še matriko P T z ukazom

P'={{1/sqrt(v'^2+1),v'/sqrt(v'^2+1)},{1/sqrt(v''^2+1),v''/sqrt(v''^2+1)}}.

9. Sedaj potrebujemo še matriko D ′, ki ima na diagonali pozitivne kvadratne korene lastnih vre-

dnosti matrike R . Definiramo jo z ukazom D'={{sqrt(λ_1), 0}, {0, sqrt(λ_2)}}.

10. Nato definiramo matriko B , za katero velja B 2 =R z ukazom B=P*D'*P'.

11. Z matriko B delujemo na crko N in izrišemo dobljeni lik.

12. Dodamo kontrolne okvircke, s pomocjo katerih si lahko izberemo, kaj želimo videtina za-

slonu. Z enim vkljucimo zacetno stanje, z drugim delovanje pozitivno definitne matrike in s

tretjim delovanje korena pozitivno definitne matrike.

38

4.4 Polarni razcep transformacije ravnine

Zadnji aplet prikazuje polarni razcep transformacije ravnine. Gre za delovanje ortogonalne

2× 2 matrike in pozitivno definitne 2× 2 matrike na poligonski lik (crko N). Z rdeco barvo

je narisan zacetni položaj crke N, z modro njen položaj, ko nanjo delujemo z ortogonalno

matriko (Slika 11) in z zeleno položaj, ko nanjo delujemo z ortogonalno in pozitivno defi-

nitno matriko (Slika 12). Uporabnik lahko kontrolira 4 drsnike, ki predstavljajo koeficiente

matrike

A =

�

a b

c d

�

.

Od zacetne matrike A sta seveda odvisni matriki R in W .

Slika 11: Delovanje ortogonalne matrike (aplet)

39

Slika 12: Polarni razcep matrike (aplet)

Opis konstrukcijskih korakov

1. Po znanem postopku izrišemo crko N.

2. Ustvarimo 4 drsnike a , b , c , d , katerih vrednosti so med −5 in 5. Sedaj definiramo

matriko A s koeficienti a , b , c , d z ukazom A={{a,b},{c,d}}. Matrika A mora biti

obrnljiva, zato dodamo izracun determinante z ukazom D=a*d-b*c. Dodamo tudi

tekst, ki nas opozori, ce je determinanta enaka nic, saj matrika v tem primeru ni obrn-

ljiva.

3. Definiramo matriko AT , saj jo bomo potrebovali za izracun parametra β , s pomocjo

katerega bomo v nadaljevanju dolocili ortogonalno matriko W in pozitivno definitno

matriko R . AT definiramo z ukazom A'={{a,c},{b,d}}.

4. S pomocjo formule iz prejšnjega razdelka definiramo vrednost parametraβ z ukazom

β=abs(Determinanta(A + abs(Determinanta(A)) A'^(-1)))^(1 / 2).

5. Na tem mestu definiramo še identicno matriko z ukazom I={{1,0},{0,1}}.

6. Ko imamo definiran β lahko ponovno s pomocjo formule iz prejšnjega razdelka de-

finiramo matriki R in W . Pozitivno definitno matriko R definiramo z ukazom

R=(A A' + abs(Determinanta(A)) I) /β , ortogonalno matriko W pa z uka-

zom W=(A + abs(Determinanta(A)) A'^(-1)) /β .

40

7. Po znanem postopku na crko N delujemo z ortogonalno matriko, nato pa na dobljeni

lik še z pozitivno definitno matriko.

8. Dodamo kontrolne okvircke, s pomocjo katerih si lahko izberemo, kaj želimo imeti

prikazano. Z enim vkljucimo zacetno stanje, z drugim delovanje ortogonalne matrike

in s tretjim polarni razcep.

4.5 Spletna knjižica z apleti

Program GeoGebra nam omogoca tudi to, da svoje izdelke izvozimo na svetovni splet. Na

svojem racunalniku lahko posameznik naredi kakšen zanimiv prikaz ali animacijo in jo

nato objavi na spletni strani, da lahko do te datoteke dostopajo vsi uporabniki spleta. Na

spletni strani moramo najprej opraviti registracijo, nato pa lahko izdelamo knjigo. Napi-

šemo kratek opis knjige in zacnemo z dodajanjem datotek iz svojega racunalnika, ki jih

lahko razporedimo v razlicna poglavja.

Slika 13: Kazalo spletne knjižice

Na spletni strani sem izdelal knjigo, v kateri lahko bralec najde vse 4 aplete, ki so bili opisani

v prejšnjem razdelku. Bralec lahko do datotek dostopa na naslednjem naslovu:

https://www.geogebra.org/book/title/id/EWyYkgcA

41

Literatura

[1] D. Austin, We Recommend a Singular Value Decomposition, AMS

Feature Column, avgust 2009 (dostopno na svetovnem spletu:

www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-svd).

[2] D. C. Lay, Linear Algebra and Its Applications, Pearson, 1994.

[3] A. Malnic, Osnove linearne algebre, rokopis, 2013.

[4] C. Mulcahy, J. Rossi, A Fresh Approach to the Singular Value Decomposition, The College

Mathematics Journal, 29(3), 199–207, 1998.

[5] F. Uhlig, Explicit Polar Decomposition and a Near-Characteristic Polynomial: The 2× 2

case, Linear Algebra Applications, 38, 239–249, 1981.

42