errata and hints for problems
TRANSCRIPT
Errata, Hints, and Problem Solutions
�������������������
������������� ��������������� ����������������������� �������������
������������������������������������������������������ �����!""!
����������������������
#��������������$$�%�������&�����'��(�)�����*����"+,-./0!1.
�������������������#��������������(�����
���������
��2���(�����������������������������������3�������������3�#��������������(��������������4��0!++��������������������������������������������������������������*���������������2�����������������������������������������������5�2������������3���������������3������(��*��������������3�����������������������������2��������������������(�������������2���6��������������������4�������+�����*�.��4�������1�����*�++���������3��������������3�4������+!�������(����������2��������������������(��������������������4��/�����+"�����++�������������������������������������������������������
2�������������3�����������������������������������2��*�����3����2���������������/�����������3�����������������������3�������������(����������������3����������������������������'���*���������������������������������*���������2������������������������������������������33����������������������������������������������������7��������������������������������������7�����3���������(����������������������������������������*�����*�����������������(�����������������������3�������(����
)�����*���������������������������������3�����������������������*�������(��������/���3���������������8������������������������*�������������������(����������*��������3����������������(��������2��������������������������3��������������������(������*��������*����������������������������3����3�����������������������������������/������2���������������������3����������������������97�����:��������������������33�����������������������3��������(�����*����������������������*�����*���������������������/���������������������������������������������
2���������������������������(��������������;������������<�)��������������������������������������������������������������������������������������3�����������������������������3����3������������3����2�����������������������7��(�����������������������/���(������������������������ �������*���������(�����7��(�����������������������������(������*�������������������2��������������������������������������������������������3������������������������*��������������������33�������������������*��������������*���������(��������������������
�����������������2��������������3����2���������(���������������������3�������/����������������� ������ ��������������������������������������2��*��������9��������:�������������������������������������������������3����*��������������7����������*����3���3�������������������������������������*�����������������
��������=�������*����������
#������������(�������������������������������3��������������������������������' �3������2��3�������������������>���������������������������2�������������������������/������3���4�������!�����*�-�����������������������������������3���4�������.��1��+"��++���������3��������������3�4������+!�
��� � ������� �� �� ���
������� �������2�� ��������������3����2�������9������:������������������*��2�����������������3������3������������*������������������������������������������������*���2���������*��������������3���������*�����������*���������?������+!0@$-.,1"���������(������3������������*������(�����7�&#�����������������2��������������(������7��(�����������*��������������������(���������(����������������������7����������������������3���������3��������������������������9�����������������������������������:������������=�������*���/��������
����� �A ���+1��3���������*�����3���������!/!�������!�������������;�����������������3��������������(�����<
A ���+1��3���������*�����3���������!/!�������@�������������;���� ������������������(�����
�3�����3����� ��������(�����������<
A ���!1��3�������*��?��9!/0,:�������������;�������������(��(��*��������������������������<�A ���0!��3�������*��?��9!/@!:�����������;2���������<���3��������?��9!/@+:��������������?��9!/@!:�
�����
A ���$0�� �*��0/!�9�:������������ �
A ���$0�� �*��0/!�9�:������������ �
A ���.+����������0/.������������;��������*����������������������<�A ���.+����������0/$������������;%����������������� ���������������<�
����� !
A ���.1��0������3�������������;������������ �3����(��� �<A ���1+���?��9@/@,:������������ �
A ���1+���?��9@/@1:����������������������������������*������������� �A ���1-��%�������B�2��������������33��������3���������3������������*���(����������������������������3������*�����������������������%�������������������������������/3���������������������������������������������������3�����������������
A ���11�������@�9�����������@/+@:������������ �A ���+""��������$�����-������������ �
A ���+""�������+"������������ �
A ���+"!����������@/+.������?�������3���������������������������2�� ��������������
ζ i
ζ i{ }
2
3 2π--------------e x 4.5–( )2 4.5⁄–
1
4π----------e x 3.0–( )2 4⁄–
n N≤
x ζ( ) 0> ζ0 x 1< <
π 2⁄
20 x 40<≤b x a≤<
b x a< <G
Errata-1
��� ��������9�����������������3������� ������������:��#�������
������������
������9�������������?��9@/!.:����������#������������������������3���� ������������:�A ���+"-��2�����@/+��������������2������3���������3� �����������������2����������/������
��������������3����������������2������3�����������������������������������������3��������������������������������������;���������C�)D��<����������A ���+".��3�����������3�����?��9@/10:����������������� ���������������
A ���++1����������@/0������������;����*�2�����@/+����<���������������9�:��; ���� <�
A ���+!"����������@/,�����������; ���� <�A ���+!"����������@/+"������������; ���� <�
A ���+!"����������@/+!������������; ���� <�A ���+!"����������@/+@�������3�����������?��9@/0@:�����������������2����������?������������������������(������*���*������� ���������������?��9@/1":�������������?��(��������������������������
A ���+!"����������@/+$������������;�������� �3��� ���<�A ���+!+����������@/!-������������;�����������+"""�������������<A ���+!+����������@/!,����������;E<������������;F;������� ����A ���+!!����������@/0$�����������������������;�����������5� <�
����� "
A ���+00���?��������3�����?��9$/!@:������������������������ �
A ���+@$����������$/!!��������������������������������;�������� ��������<�A ���+$+���?�������3�������*��?��9$/,,:������������
A ���+$0����������$/!,�������������;����3���������3���� ��������(�����������<�A ���+$$�������������3�����?��9$/+++:�������*�������?��������������(����������������������������������3�����������
A ���+-@����������$/+������������� �
A ���+-$����������$/+.������������� �
A ���+--����������$/0,��9�:������������ ������9�:������������
�
A ���+-,����������$/$+�9�:������?���������������������� �
�
� x( ) 1
2π----------e
x2 2⁄–= G x( ) � ξ( ) ξd
∞–
x
∫=
erf x( )
erf x( ) 12---erf
x
2-------
12---Φ x
2-------
= =
x 0>
x N η σ2,( )x N 10 1,( )
x N 0 4,( )x N 1000 400,( )
F x( ) 1= x b≥
k1 k2 n k3,«,
U x( )E x η–( )2{ } σ 2=
P x η– ε≥{ } f x( ) xd∞–
η ε–
∫ …+=
N η σ2,( )
N 5 4,( )
y x=
Φx ω( ) 1 jωβ–( ) α–=
Φx ω( ) 1 j2ω–( ) n 2⁄–=
k min M n,( )≤
Errata-2
����� #
A ���+,!���?��9-/@0:��������������������3���������*��������������� �A ���!",���?��9-/+$.:��������������#����0������� ��������������3�����(������
A ���!+1����������-/0-�������$����������*���; <�
A ���!0-����������-/,�������������������?����������3������������������� �
A ���!0.����������-/!$��������������#����!������� ��������������3�����(������7���������/�����3����������;������������ �<������;�������*����������������� G<
A ���!0,����������-/0-����������������������� ��������������������������(��������A ���!01����������-/@0����;������<���3���������������������3���������������A ���!@+����������-/-.�����3�������������?�����������������
�
A ���!@!����������-/.-�������������;����� ��������<�
����� $A ���!@0���?��9./0:�������������(����������������������������3����3��������A ���!-"�������+.�������������;��������������./$�����<A ���!.-���������������3������������;��*������<���������3�����������+!/+�A ���!.1����������./+$�������������;���������������(��� �<A ���!,0���?��9./+0-:������������
����3�������
A ���!,0���?��9./+0,:������������
�������
A ���!1+����������./!+���������������������3����������9./+$:�������������9./+$-:�A ���0"!����������./0!����������*���;���������������������������������D������������<�
����� %A ���0.,����������1/$��������������(�����3���������(�������������2����*������������3�����?�������3�������*��?��91/+@:�����������������3� ������������������� ��
4��������� �
A ���0.1�C�0,"���?��������3�������*��?��91/+,:���������������3� ��7������� ������
��� H�����������?���������������������������� H��
A ���0,@���?��1/0.�������������
A ���01+��3�����������3�;����3<��������*��������������������;���I����9-/!@!:J<A ���01.����������1/+.����������������������������A ���01.���?��������3�����?��91/,0:��������(�� ����� ������ �
y ∞–=
φ s1 s2,( ) eA=
fz z( ) =
2 λ⁄ 1 λ⁄w
E z{ } pnE g xn y,( ) xn{ }n∑=
βy t( ) fy t y t>( )( )=
0 T,( )
x α fi x( ) xd∞–
∞
∫ K ∞< < i
E xi3{ } cσi
2≤ i
t1 t2 t= = 2λ t
C t t,( ) λ t=
t2 t1≤ t1 t2≤
t2 t1
E s ηs–2{ } …
a
b
∫=
g x( ) +c= x c> g x( ) c–=
Errata-3
���� �A ���011���?���91/1!:�����91/10:��������������3�����������������%���������������
���������������>�*����� ����� ��������������
A ���@""���?���������3������������1/+,������������;��� ���<�
A ���@"@���?��91/+++:���������*���; <�
A ���@+!��������������������������������;�����������3�91/1!:�����91/10:�<�#�������� �������������������������������������7���������������� ���� ������
A ���@+!���?��91/+$":������ ��������������*�������������� �������������������� ��3�
�������������������9������@+0:������������;����������������������������� �A ���@+0��������������3�����?��91/+$$:������������;����7���������������������/�����3������<A ���@+@���?��91/+$.:�����������
A ���@+$����������1/!,�������0�������������;�����?����� <�
A ���@+1���?��91/+.1:������������; <�
A ���@+!���?��91/+1@:�����������������*������ �A ���@!$����������1/0@����������� ����������������������������$�����������
A ���@0"����������1/-������������
A ���@00����������1/@+�������������
A ���@00����������1/$+�������������; <
A ���@00����������1/$!�������������; �<�9 �������������(�����������6�7������������������*������������:
����� &'
A ���@@.��������3�����?��9+"/$,:������������; �K�����L��*���/M<�A ���@$"��3����������������������;����������������<�
A ���@-+��3�����������3�����?��9+"/+"0:�������������;�������� �<
A ���@--���?��9+"/+@!:�9�����������:������������; <�
A ���@-1������������������������;�������� ���������3��������<�
x c–<
L2* h*
h α( )h* β( )any n( ) t( ) …+
H ω( )
H ω( ) h t( )e jωt– td∞–
∞
∫= h t( ) 12π------ H ω( )ejωt ωd
∞–
∞
∫=
ρ τ( )h t( ) q
Syy ω( ) jω 2nSxx ω( )= Ryy τ( ) 1–( )nRxx2n( ) τ( )=
1πt-----
E x t τ1+( ) x t( )– 2{ } 0=
m 1=
a
Ryy m[ ] q1 a2–--------------a m=
E w2 t( ){ } t τ–( )2q τ( ) τd0
t
∫=
Sy ω( ) 2πRx2 0( )δ ω( ) 1
π---Sx ω( )*Sx ω( )+=
R 0[ ] R 2[ ] 2R2 1[ ] R2 0[ ]–≥
x n[ ] Aejnω
= ω
k 1.37 10 23–×=
E n2 t( ){ } λ 2t2 λ t+=
Rxx τ–( ) Rxx τ( )–=
Szz ω( )
Errata-4
A ���@.0��������������3�����?��9+"/+.0:�������������;��4��������������������� ��������A ���@.@���?��9+"/+,":������������
<
A ���@.@���?��9+"/+,!:��������������2��3����������3���� �3��� ��
�������������������������������3��������3��� ��#��� �
A ���@.@��������?��������������(���������� ������ �
A ���@.$���?��9+"/+,0:������������
A ���@.$���?��������3�����?��9+"/+,0:�����������
A ���@.$���?��9+"/+,$:�����������
A ���@.-���?��9+"/+,1:�����������������?���������������?�����A ���@..���?��9+"/+1@:�����������������������������A ���@,"��3�(����������3�����?��9+"/!"0:�������������; ����<�
A ���@10���������3�����?��9+"�/+:������������;����3������ <�A ���@1@�������0������������������������������������������+"/!0�
A ���@1-����������+"/+0���?������������������; <
A ���@1.����������+"/!+�������������������������� �����������������3����� ������
�����������; <��7�������������������� �
A ���@1.����������+"/!$�������������; <�
����� &&A ���$"-�������������3�����?��9+!/0":�������������;�����������3� �*��++/@�������<�A ���$".��������3�����?��9++/0.:�������������; <��97���������������������
2����3�����������������������������3����������������:A ���$",���������3�����?��9++/@@:����������3��������������1/0!�
T
Sx ω( ) 1T---�c ejωT( ) H ω( ) 2=
w t( ) cnU t nT–( )n 0=
∞
∑= t 0≥
t 0< w 0-( ) 0=
Rc n r–[ ] Rc n r–( )
… Rc m[ ] δ t τ m r+( )T–+[ ]δ t rT–( )r ∞–=
∞
∑m ∞–=
∞
∑=
δ t τ m r+( )T–+[ ]δ t rT–( ) td0
T
∫r ∞–=
∞
∑ δ τ mT–( )=
Sz ω( ) 1T--- Rc m[ ] e jmωT–
m ∞–=
∞
∑ 1T---Sc ωT( )= =
T0 π σ⁄≤
c 0>
Sx ω( ) 2πT2------ …
0
T
∫=
x t( ) ti
Xc ω( ) 1λ--- x ti( )e jωti–
ti c<∑= E x t( ){ } 0=
y t( ) B ω0t ϕ+( )cos yn t( )+=
α i γi� 1 zi⁄( )=
Errata-5
A ���$+$���������3�����?��9++/.,:�������������; <�A ���$+$��������3�����?��9++/.1�:���������3�������?��9++/.":������9++/1:�A ���$!+����������++/.������������
A ���$!!����������++/+"�������������; <�
����� &�
A ���$!.��?��9+!/1:�������������; <�
B ω–( ) B– ω( )=
βn aλn
2-----+
1 2⁄–
= βn’ aλn’
2------+
1 2⁄–
=
E xnxk∗{ } …=
C τ( ) τd0
T
∫ ∞<
Errata-6
Gary Matchett Hints — 9/5/02
��()� �*��� ��+ �������
&� *�������������(�������������������������������������������������3�������>����(����2�����
A ��������������������������������������������������������������������
A �����������������33�������������
A �������33�������������
A �����3���������������*�����������������*������*�����������������������*����������������������������������������
A ���������������������*�����*��������3�����������������������������2��������������������3������������������������������������
����������� ���������
%�������2��������� �3��������������������������������� �
2�����������������3����������������������������3�����������3���������?��@/!.��3����2�������� �
2�� ��������������3����2�������������������������� �9������������������@/!,:�������������2����������������������������������3����������������������3���������2�� ��������������������������������������������3�������3���������������
�
2����������� ��������������������*�������3� ��2��2������������������� �
��� �������
+� ��2��2�������*���������������*���*�3�������2������������������ ��������������7�����2�����������������������������(����������������� ����������������(��/
����� ���������������� ����������������������������� �3���������
���������7����� ������������������33������������������ ����3������������������������������3���������������������������*����2��������������������������*�����������������������������3����������������������������������������������'���������������� ����������������������(�����������������������
∅{ } ∅
� x( )
� x( )
� x( ) 1
2π----------e
x2 2⁄–=
lnx x xlog
ησ N η σ;( ) N η σ,( )
N η σ2,( )
N 100 25,( )
H-1
Gary Matchett Hints — 9/5/02
��(��������3�!$�����3�$G�N�������������������2�����������������(������*������3����������������3����������������������3������������*��3�����33�����������������������
!� �?��@/0"�����,$����3����������������������3�����������������������(������������
���������� �����(���������3��� ��2�������������������������
���������(������3�����������3�����������(�������������3�9�3���� �����������3�������
���� �����������3�9+L����::��7����������������������������������������(������3� ���������������������������������������������(��������������������������������
�������3����� ����������������������������������������3����
����������%������������������������ ��������������������������(���������������������� ��������������������������3�����������������������������������������
������������� �������������3��������5�%������������������������ ��������� G�
9������������-/!$:��������������������� ����� ��(�������������������������(����������������������������
0� �?���@/@1�����@/$+���3���������(���������������3�����������������������������7��������������9��*����?��-/+$.:�����3���������������������� �� ���
3���������3�������������������������������������������������������� �9����2������$/!������������$/0":�
������� ��
2���������������������������������������������5����������3����������������������3�*����3�����������������������������3�����*���������������7������������������5
����O�����������������D�����7�����������*��������������� ������������������������ ���� ���#��������&�������3��������������������������������������$$��K����+1-@�9�����(�������������'�(������������:�
�)�O�7�����������������7����)D��������������� ���������������� ������������ ������������������������������+1-$�9��������������!"""�������(�������:�
�����������������3���*���������3�������������5
7�O�%������� ��������� �� ��������� ���������������������� ������� ������� ���P��/����7������������������%����C�������+1$.�92�������������+11"������������:�
λ fx x( ) λeλx–
U x( )=
xλ λ
fx x( ) 1 λ⁄( )e x λ⁄–U x( )=
xλ
x 2λx λ
B α β,( ) β m n,( )B n p,( )
H-2
Gary Matchett Hints — 9/5/02
�� ��,-��� � 9������������������������4������+:������&�*�������'����*��H���������?��!/$�
�����#������
����2�����3������������� ��������� ������ ��2���������?��!/+"�
����9�:������?��!/+"���9�:������?���!/+!�����!/+0�
����������?��!/+0������������
��������� �������3����������������������������3������������������������*���3��������?��������������������������3�������������������������������2���������������/��������������������3�&�����3������������������(�����������3� ��������(����
�����Q�����������������3� ��&�*�����*������������� �� �� ������ ��3����������/���������������������*������������������3����������������������������������&�����3�����������������������������2��������������������������*������������3������
#�����������3������&�����3�����������(�� ����������3������������*��� �
��������������3���������3��������������������������?��!/00�
�����#������
���������#������
�������������������������3�������
�����������������������������������������������������������3���������(����3������������*������������������������*��
����������� ��������������������������������� ��������������������33��/
���������3���������3� ������������� �
��������#������
��������������������������������������*� ��������3��������� �� �� ����� �
���������������������!/+-�����*�!/+1�����!/!+��������������������������������������2��������������������������7�����������*�������������������(����������!/!-�3�����������*�������������Q���������������3������������������������ /����������?�������3�
��������������������������3�����������+���� �� �����������������������������������9�:�#�����3����������������������������������������������������������*������� ��4��������������� ��2�������������������������3���������������(�� ����
C B A C+= AC ∅=
S
S ∅ S 1{ } 2 3,{ }
2n
n
P t t1≤{ } F t1( )=
t1 F 0( ) 0=
Bi Ai Ai S ∅
k
n
m Mm m
H-3
Gary Matchett Hints — 9/5/02
������*�������������� ���9�:�2����������3�������������������*����
��������������������?������� ���������������3���������������������������*������� �
���������%������������!/+-�3������2����33���������������������������������� /����������?��������3�����������������������������������������
���������%������������!/!-�3�����
���������#���������������������3����+���� ���������������������������3���� ����
��#����������������5����������������������������3� ����������������������*��������������������� ����������������������!/+-������������3���
������4��������������������3����������������������������������������������3����������������������������������(���������������3��������������������������������/������������������������������
����������9�:�2�������������������������*������������!/+-��*�����9�:�&���������������/��������������!/!-�
������ ����������������������������������������������������������3��������3� ����/�������)�����������3���������������������?��������������3����������������
���������&���H����������?��!/@@�
����������������������������?��!/@+�
������'���������*������������*������ �*��!/+!���#�����������������3�������*������������?��������������3�����?�������������������3����������������*����
������������ �����������������33��������?��������3� �������������������������3�����������3������������2����������������������33���������������3� �������������������������
3�����������3� �������������������
����������&���H����������?��!/@@�
� ��,-���
���� ���������������������������3�������������������D����������������
��������������������������3���������0/+��
��� ������������������������(�����������������������
���%�����������������������������������������3� ����� ����������
Nm Mm Mm 1––=
m
m
k
n n 1+
n m+ k
n 1+
n
k
n k
n
A
q p+( )nq p–( )n
H-4
Gary Matchett Hints — 9/5/02
������*�����
����'���������������������3������������� �������3���� �������������������������3� ��3���� ������������3��������������3� ��3���� �����������������������3������������3������������� �������3���� ����������������������3������������� �������
3���� �������
�����������������0/+�
���� ������3���������������9�������*���3:�������������������������������������������������������������������3��������������������������������3��(��*���������������2��������������?�������������$.��>�����3�������;������<������*�������������3�������������*����������������������3������������*�������������������������
����'�����������(��*� ������������������ �����������������*����������������� �����������������������*�����(��*� ����������������� ����������������������� �������������*��������������������� ��������
�������2������������������������������'�����������3����������������������������9�������:��3����3�����������������(������+0��������3������������G�)�����������������������������������������������������������������3���������3������������������(�������3��������
�����������%�����������;�(���*����������<��3�������*��������G�����������������������*��%���������������������������(������3������������������3�*������2�����������(����������������������������������������$/0��8�����*�������������������33�������������������3�������������(���������������3������������������������(�����������������'�3���� �����������������(��������������������������3�*����������������� �
��� ��������������������*����� �������������������� ��'���������������������������������3����������(�����������������������������9������������$/!.:
Q��� ��������(�������� ���������������������*�����2������������������������*�(���������������������(��*������33��������?��������3���������������������33�/������'�3������������������ ��3���������33��������?�������3������
������������������������� ������� �������������������������������
���������3�����������������9����������3������������ :�������(��3�������(���*��
����������������(���������������3�������� ����3���� �����������������
�(���*������������
�����������2�����������3�������������������������%�������������������������������� �
n N k
n K N
k K n k–
N K–
r n i
r 1– n 1– i
i
nk A
B A k
Nk E nk{ } E nk H{ } P H( ) E nk H{ } P H( )+= =
H A
∆Nk Nk Nk 1––=
∆N1 N1= N1
N1
Na b+ 0= N1
A
H-5
Gary Matchett Hints — 9/5/02
��������������� ������� ���������������� ��������� ������ ������������� ��%���
�������������������������������3�������������*�����7�� ��������������������
�������3�G�N������ ������������������������������������ ����3��������������������*������G�2��������������������������������3����������(����������������3�����������������������������33�����������������*��������2���������3����������5����� ��
������ ��2������*����� ��������������������������*������������
���������*�����������������������3���������;���������<���������������������������������������$/0�� ���������������������������������3����(��������������������������������������������������������
!� ��,-��� !
����������2��������������������������������������������������� ������(�������������������������3��������*�������������
�������4��������������������������������3�����������@/+�
������9�:������5������3�������������������2�����@/+��2�����������������������������3���������������������2�����@/+��3����2�����2����3����������92������!-�$�����!-�-:������*�����������������?��@/!-���9�:�������������������������#����+�
���2���������������������������3�����������@/0�
����#������
���������?��@/,�
�����������,,�3�����������*��������(��������
���� ��������������@/+$�
����#�������� �
��������������������#����+��2��������������������� ���9�:������?��!/00�
������������ �3��� ����������*�
��������������������#����+��2��������������������� ���9�:�������?��@/+���9�:������?��@/-.�
�����?�����������������������2�������������3����2����������(�����������(��������3������������������������������3���������3��������������������(���������2�����
α B β A β αA
A α
α 2=
β 3= a b+ 8= a b+ 9=
F x( )
ddx------U x c–( ) δ x c–( )=
x N 0 4,( )∼
t x t( ) x≤{ } t t G x( )≤{ }= G
x N 1000 400,( )∼
H-6
Gary Matchett Hints — 9/5/02
��������� ���3����� ��*�(��� �
�������2������������������2����3������������������?��@/0@������������*�����������7��
�����3���������������������(������������ ��2�����������������
3����9���:��?��@/1"����������?�������3��� �����������3���@/+0����(��3�������������������
�����#������
�����������������������������*�
���������2����������������������������3��������8���������?��-/!!@�������������������/�������3������������3��������������������������������������3��������3�����������*���(���������(�������� ��2����������)����*��������3�����?��@/@@�
����������?��!/@+�9����������������:����� ����� �
����������?���@/-.�����!/00�
�������������?��@/,"����� �
����������?��@/,"�������*����� �
�����'����������@/!+�3�����������?��@/,!��Q��(��������������������*����3����� ����������������(��������������������������
���������?��@/1-�
���������?��@/1-�
����������?��@/1-�� ������*�� �������������� �3������������@/!,�
����������� �����3���������5�2���������������(��+"""�����������������+""��#���������������?��@/+""���������������������?��@/,1������������*H��3���������?��@/+++��3���������������������
f x( )n
k p
kq
n k– δ x k–( )k 0=
n
∑=
F x( )n
k p
kq
n k–
k 0=
m
∑= m x m 1+<≤ m x
F x( ) � x np–
npq---------------
≈
f x( )
x
M ζ x ζ( ) x≤{ }= M
M A ζ x ζ( ) x0≤{ }∩=
pj
1 p–( )kpd
0
1
∫ j!k!j k 1+ +( )!
--------------------------=
x � x( ) 11x---� x( )–≈
H-7
Gary Matchett Hints — 9/5/02
�����'����������������������(���������������� ��3������������ �����������
�(����������������3����� �3�����
��������#����������5��������������?�������3������������������������;��������<���*��������������;*����������<���*���#������
����� ���������������������� ������������������� ��������
���������?��@/+".��2����������*�����������������*�����33������������������������4��/���������������������������������������������������������(���*��������3�"�"!�����/����������������������������������������������������������������(���������(��0��������������+""�������
���������?��@/+"!�
����#������
������'�����������3����(����������������������3��������������������������������� ������������������������������*�����9��3�������3���������:���������������� ����������
������9�:��� �������������
����������7������������������������ ����� �
���������?��@/++$�����@/++-�
"� ��,-��� "
��������������������#����+��4�������������������2����������������������� �������?��$/+,�
����������?��$/+,�����������@/+!�����$/+��
����������������$/0�
���������?���$/!!�����@/+-�
����� ��������������$/@����3���� ��'�33�������������3���� ������*�����3���������/
�����������������������������������������3��������
������������;3������������������<��?��$/+-�
�����&�*��������?��@/-�����������?���@/++-�����@/++.�
����������?���$/+-��@/0"������@/@@�
n k 1–
n 1–
A n
Y
X
k1 k3« k2 k3«
x N 5 4,( )∼
Fy y( ) fy y( )
H-8
Gary Matchett Hints — 9/5/02
����������?��$/+-������������������� �����������������������7�������9�:�������
��������������������������� ��7�������9�:�����(����� �����������������������������*���3� �(������
������9�:��2��(����� �����������������������������*���3� �(������
�������������������������������������3����4����������O���(����� �����?��@/$!O���D�����2�������� �����3���������3�����������(������3����������(���������������4�����������(�������������������(�����
������#������
���������������3�������� ������� ����������������������*�� �
3������� �� ��������33����������?�������3��� ��������(�����
�����#������
������9�:�������������3�����������@/+0���9�:�������9����(�����:�(�������3� ����������������������������(������3� �
������2�������������������������3�����������1+��#���������������?��@/@,5���������� ����������+�
������ ����������������������7��������������� �������?���@/01�����$/+-�
�����������?���$/+-�����@/01�
�����������?���$/+-��@/0"������@/@0�
���������2�������������������5�������� ������������������ ������7������������.��
�����*��+0@�
���������������(���������������+""��3����2����
������#������
����������?��$/.-�
����������?��$/.0�
������� �����?��@/$-�3����������������������(���������9�:������?��$/@-�3�����������������������������������������������������3���������������������
Fx x( )
x 0= y 0=
x
y 0= x
µµ
y y x( )= y y x( )= x 1– 1,( )∈y 0≥ y x( )
yx
b
y x=
fx t( ) t 0=
H-9
Gary Matchett Hints — 9/5/02
��*����3�����������*��� ��������� ����� ��'�33�������������
��������?�������������������������(�������� ���������������������������������(��/��*���3���������$/0"���?��$/++.�������������������������?��$/++$�
������9�:��������4����(����?��������?��$/,,��9�:������������������������?��$/++$�
��������������?���@/.@��$/@@������$/@.�
������������������(����?��������?��$/,1�
������#������
�����#������
�����#������
��������9�:������� �
9�:�'������������ �3������ �
�������%������� ��2��������������
������������*��������������������*�������������������������������������� �
�����������������������?������ �
�����#������
������������Q�����(����?����������+$!�
��������9�:������������������ �����?��@/$!���3����*����4�������������������/�����������������*�����33��������������������������������������4���H�����������������3���������������*����������3�������(������3��������*�����N���>����������*�����������3�����*���������������3��������)�
�����2���������������������������9�:�����#����������5�2����������������3��������
����������� ��9����2�����$/!�:��9�:�������������$/!$���9�:�����2��
p q+( )n n
k p
kq
n k–
k 0=
n
∑= n p q
p
x m–a x–( ) m a–( )+
x a–( ) m a–( )–
= x m≤x m≥
x a–( )f x( ) xda
m
∫ 0≥ a
E x{ } 1
σ 2π-------------- xe
x η–( )2 2σ2( )⁄–
0
∞
∫ xex η–( )2 2σ2( )⁄–
∞–
0
∫–
=
z x η–( ) σ⁄=
� η σ⁄( )
ln z z 1–≤
µ 0=
Φ ω( ) 1 jβω–( ) α–=
H-10
Gary Matchett Hints — 9/5/02
����������������*���(������������������(��������������3����*��2�����33������������/�����������������������N�������������������?��@/-!����@/-0������������������������������?��@/-@��2�����������������3��������2�����$/!��4�������*����2���������������������������������������������������������������������?��@/-@���������������������%��������������������������?�������������������������(�����3���� ���������������������������������������������������������*�����
����������?���$/++0�����$/++-�
�����#��������� �������������������3��������
���������������33��������
��������7�����������3�����������������������������������*������*���(��������������/����(���������3��?��@/-0��2����?������(�������3�����������@/0$������������3�������
�����#�������� �
�����������������*��������������������2���������������������*�����������
����������������(���������3�������*��?��$/+++�����*�������(���(���
�����#������
�����#������
�����������4���������3��������� �� ������������*����3�������� �
�����2��������������� ���������������� �����������(��������������������/
���������������*�������������3� ����� �����������������3�������*�����
�����9�:�����)�*���������������3� ������3���������3����� ����� ����������
��7���*���������������������������(��������������9�:����������
9�:����� �
���������������3�������������������3� ��������������
���������2���������������3���������������������3����*��%������������*���3�������G�2�������������������������3�����������*�������������������������������������������������������������*�3�������*����3�����������*�������������� ������!��#��������������������3����3�����������������3�������G
E x{ }
1 y–( ) n– n–
k y–( )k
k 0=
∞
∑n k 1–+
k y
k
k 0=
∞
∑= =
es x η–( ) s
k x η–( )k
k!------------------------
k 0=
∞
∑=
ε E g x η– ε–( ){ } f η x ε+ +( )ε η x+
g x( ) f η x+( )
x x v
∂2f x v,( )∂x
2--------------------- 2
∂f x v,( )∂v
------------------=
g x( ) xn
=
x 1=
H-11
Gary Matchett Hints — 9/5/02
������ �����������������������������������������������������������3����(����������������G������33������������������������������������������������������������� ��*���������(����9�:���� ���2������������5�����?�������������������������� ������������� ������2�����$/!�3�������������������2����������������������
(������3� ��������������P����������H�����������������
2���������������3� �����(����������33�����6�����3�������������(�����
9�:�#�������������� ������ ����3�������
������9�:�2��*������ H������������������ H������������������� ����������������
������������3����� ��������������������������������������� H�������
9�:�����4�������������������3������3��������*��������������� ����������������3��������������3�(�����������������������������
9�:� ��������������3�������������������9�:��������������������������������������������$/$+��
#� ��,-��� #������������������������������������(��������������������������������9�:������?��-/
@$��9�:������?��-/$@��9�:�� 2��2�������������������������������� ��8����(��������������5�+:�%�����������������*���������������*���������-/+"�������������3������������!:�%�����������������3���������(���������(�������������������������/���3�������������0:���������������?��-/+@,��N�������*�������������������������������������3�������������������������*������33����������(��������Q��(�������������������*����3�����9�:������?��-/-"��9�:������?��-/,!��93:������?��-/.1��9*:������?��-/,@�
����9�:������?��-/-"��9�:�N����������������������������������� �����
�3� ������ �������������3�����?��-/-"������ ��9�:�
4��������*���������9�����3���������3� :������ ������������?����� ��������� /������� �*����-/+0�������������*�������
����&�*������������*�����3������*�����3�����*������O���*����������������
min M n,( )min M N,( )x
n m+
k n
j m
k j–
j 0=
k
∑=
Var x( )
M N ∞→, M N⁄ p=M!
M k–( )!-------------------- N k–( )!
N!------------------- M
N-----
k→ p
k=
r k r 1–
k 1– k
z xy=
z z≤{ } xy--- 1 z–
z-----------≥
=
w xy---= Fw w( ) Fz z( ) 1 Fw
1 z–z
----------- –=
z x y– z≤ 0 x a≤ ≤0 y a≤ ≤ xy
H-12
Gary Matchett Hints — 9/5/02
����%������������������������G������9�:������������-/+$6������9�:������������-/+@6����������9�:������(�����3�������������������3�>�������������������!"!�
�����������������-/+�������9�:�����*��������������?��-/+@,�
����������?��-/+@,�
�����9�:�������*������������������9�:������?��-/+@,���9�:�������?��-/-"���9�:�&���������*����������������
�����������*����������������
�����9�:��?��-/-"������������������������������������������*������������������9�:������?��-/+@,�
������2��*�������������������������&����������*�������������������*��������� /�������7���������������
������2��������������������*��*���������������������������9�����:�����������������-/!.��2����������������������������������*����������������3� ����� ������������?�������������������2�������������������������9�:��������������4��(��������2��/����������!+-�����*����������������������3��������3�����*������������(��������3����2�����$/!��9�:��������������������������������-/!.��9�:� ������������-/
!9�:�����������������3� ������ ������ �
�����������?��-/++1���������*�������������������3�������������������������D����������/������
����������?���@/@@�����-/-"�
����������?��-/@0�
�����������?��-/@0�
������'������������������������3�������� 6�����������������
������9�:������ �����?��-/@0������������*����������������3���������3����������������/�����������(�������������D�����������9�:������?��-/-!�
�����������������������?��-/+@,�������(���������������3� ����� �
�����������?��-/$1��2����(����������3��������������������������3���D���/��������/�����������(��������������+@,������������3�������(�������*��������*����
������9�:������?���$/+,�����-/@0��9�:������?��-/$@��9�:������?��-/-"��9�:���������?��/
xy
x y+ x y⁄
u x x y+( )⁄= w y x⁄= Fu u( ) 1 Fw1 u–
u------------
–=
zw
g1–
.( )
x y
H-13
Gary Matchett Hints — 9/5/02
�����3�������*��?��-/.,��9�:�����9������3:���������-/+,�
�������� ��������(�����*����������������3�3�����*������������3� �
������9�:��������4�������������������-/+.��9�:������ �����?��-/@0� 2������*������������(������������4���H�����������������
����������?���@/01��$/+,��$/-"������@/0$�
�����2��������������������-/!+����(����������*�����
���������������������#����!��2����������3�����������?��(��������������*���������������2���������������������3��������������*����������������3������������������������������������3�������������� �9���������3� :�����������������������������������3�������3�����������������(��������3����3������������� �9���������3� :�
������9�:�#�������� ��������������-/!�����������9�:�#�������� �
������9�:�#�������� ��3� ����� ��3� ������������������������������������������������������� ��9�:�������������������������������3��������9�:�
�����������������3�����������-/++�����������-/+����������������3���
������������������-/+,����3���� ��#�������� ��������������*�������������
-/!���3���� ��2��������?��-/++$����3���� �� �������������?��-/!"�
�����9�:�'�3���� �������?��-/@$��4�����������������5� ����� ��7�����3��������������������3���������3���������3����������?��@/@1�����������3������������7������������������������3��������������������������������(�������������������/*����3�����9�:�������3������������-/!+��9�:� �������>�������������3� ����� �3�����?��-/++$��2����3�������>�������������3����������*�������������������������������>���������������������������3�������*���������������
�������������������������9�:�����������3����������-/!.�����-/+!����������-/++��������������9�:������?��-/++$����3�������>������������������������������������������3�������*���������������3���������9�:��9�:�����2������-/+�
�����9�:�Q��� ��������*���������������������(���������������������*����������/�����3��� ����������������-/+"��'�33������������������������*�������������������
����������� ����*��������*�������*���������������3��� �������������������������������
�������(���������*�����)������������������3��� ��9�:������?��-/@0��������
���� �� ������������-/+@��������� ������������������������������ ��2��������?��-/++$����3�������>����������������������3�������������������3�������/*���������������
z x y–=
2 λ⁄ 2λ1 λ⁄ λ
r x y–= s x y+=
z y x⁄= y x< z 1= y x≥z 1=
fz z( ) w x y–=
fw w( ) fzw z w,( )
u x y+= 0 u β< < β u 2β< <
v w
z x y⁄=
Fz z( )
z fz z( )
w x y⁄=
u N 0 2,( )∼ v 1 2⁄
H-14
Gary Matchett Hints — 9/5/02
���������?��-/+!+�
����9�:�C�9�:�����2����3����3�������� ����� ������*���������
-/!!��2��������3����3���� ����� ���� ����� ����3�������>���������3���9�:��������������������(������������������3� ����� �
������?��-/+$.���3�������� ��������������9������������#����0:��������������$/+"��9�:������?��$/+-����3�����������3���3� ����������������������������?��@/@,�
�������������?��-/++$����3�������>�������������3� ����� �����������?��-/+"����3����������*�������������3� �������������(�������� ������������3���������������������������3����������*�������������3� ���������������������
����������?��-/++$����3�������>�������������3� ����� ������3����������*���������������3�������>������������
����������?���$/00�����-/+@,�
����� ��������� 6���������?���$/00�����-/@0�
�����#������
����������?���-/@0�����-/+@,�
�����9�:��������������������������-/@"��9�:�Q��� ��������(����� ��
2�������������� ����� �����������
����2�������������������������3������2��*�(�����3���������������������������������������������������?������� ��7������������������������������������������/����������������������������?���6����������������������������������������?����
�
����%��+5����������������������*���������-/@!����������������
�����%��!5���������������*��������*�3����������3��?��$/
++.�
�����9�:�'�3���� ����� �� �������>���������3���3� ����� ������3��������������*���������3���3�������>���������3������������������>���������3�����������������3�������*���������3����9�:�)��������������������3������9�:�3��� ����� �
r x2 y2+= θ tan
1– y x⁄( )=
r θ u vu v
w mz mz n+( )⁄=
z wz z
w
z w
v a ycos=
w x y–= P w n={ }n 0< n 0≥
1 k 1+( )⁄
1 k 1+( )⁄
n
j m
k j–
j 0=
k
∑n m+
k =
z min x y,( )= u x y–= z u
z w
H-15
Gary Matchett Hints — 9/5/02
��������������������������������������������?���@/$.�����@/$-������*�����������������3���������-/@"�
��������������������-/0"����������� ����� ���� �� ������ �
�����%����������������������3���� ������� ��������������������������������
����������������������33�������7��������>����3���������������?����������3���� /
����������� ������*���(����������������������������3� ����� �������������������������������
�����Q��� �����������?��$/.@�
�����������?��-/+$1�
�������� �����3��������������������9�:�2��������������D����?������3����������������/�����������2����3���������������������*�������������������������������������������
��������3��������� ������������ �����������
��������������������� ����3�����9�:�2��������������*������?�������#��������
������� ���������������������������
���������������9�:�
������������8������������������ �3������������(������������3����������/������3����������������������8�����������������������3����������3�������������������������������������������?��$/,1����������(����?������
�����2����������3�������3������������-/$!�
��������2������������������������������������������������������������� ������
����������������*������� �� �������������������������
��*���������*�������������3���������$/0.����3���� ����������3���� ���
����*��?��-/!@!�
������#�������� ������3���������3� ��������� ��������������������3���������3� �������
�����������?���$/+""��$/11������-/+1@�
������4�������������3������������(���������������������������%����33�������������������������������������������������
�������������������33�
µ12 µ21 σ1 σ2 r
fz z( ) z xy=
xy
z x y
w x y–=
E xy*{ } E x 2{ } E y 2{ }≤ E ax y–2{ } 0≥
a
E xy*{ } E x*y{ }+ 2ℜ E xy*{ }( )= ℜ
ℜ E xy*{ }( ) E xy*{ }≤
y ax b+=
fn n( ) eλ– λk
k!-----δ n k–( )
k 0=
∞
∑=
Φx ω( ) Φz ω( )
y x z x
H-16
Gary Matchett Hints — 9/5/02
�����������?���$/+""��$/++1��-/+10������-/+1@�
�����������?��-/+$1���������
������9�:�2��������������-/@�������������������(�����������5������?��-/$$��9�:������?��-/!"$��9�:������?��-/@@�
������7����������������������� ��������������*��3��?�������5�@/01��$/!"��@/!$��-/!"$��-/+"������@/$!�
��������9�:�������?���-/+.1�����-/+--���9�:����������������������������������3���������-/$+������������������
�����������������-/@+�
���������)�����(��������������������@�������00.��3����2����� ������������������������
��������?������������������� �������?��-/!@+������������3���������(������
�����������?��-/+,"�
���������2�������������������5� ��'�3���� ������
�������� ������*���������������
������9�:������?���-/!++��-/!-��$/$$������@/!1��9�:������?���-/!0,�����-/!@0�
���������Q��� ��������������H���������9�?���-/!""�����-/!"+:��������
���� �����������?��-/-@����3������������������������3���� �
�����������2������� �
������������������-/@+�
�������������������������?�������>�������(����������@/@$�
������4�������� ������ ������(�������������3���������
�����2��������3�����������������3����K���������3���������3���������3���� ����
����������� ��������� ����������������
���������&���H����������?��!/@@�
Γ 1 2⁄( ) π=
Var E x y{ }{ } E E x y{ }( )2{ } E E x y{ }{ }( )2–=
E z{ } Σ nE g xn y,( ) xn{ } pn= f y xn( ) fn y( )=
f x y,( ) Σnpnfn y( )δ x xn–( )=
I µ( ) E xy{ }=
∂I µ( )∂µ
------------- E sgnx sgny{ }= I 0( )
I µ( ) I 0( ) ∂I µ( )∂µ
------------- µd0
µ
∫+=
z x y+= w x=
x y,
z w, ∂z∂y----- 0=
∂w∂x-------
H-17
Gary Matchett Hints — 9/5/02
��������������������?��-/+$!�����������?��$/$$��2����������������������������������������������*�������*�����������3���������3���������3����������?��@/@1�������?��@/$+�����������������*�����3��������������?��@/0-�����(����������*�����3����������#�������������������������(�������3���������3��� �
������#����������5��������������� ������������ ���������
������������?�����������������?��-/!!$�
������������������(����?��������?��$/,1�
�����������?��-/+$1�
�����������?��-/!!.����������-/0,�������?���-/!!,�����-/!"$�
$� ��,-��� $
�����)��������������������� �����������3� �
�����2�����3��������;D���/�����������(�������<���������(���3������� ���������������������3��������������������������������@/,��������������!/+$���������������D���/�����������(��������������������������3����������3�����(������������������/�������������������������
�������������������*������������2��������������������?���./$.�����./$,�������������������D�������������3���� �
����������������������������������������������
�����9�:�������������*������������*�����?��-/0+���������������������9�:����������������3���*��!$16����������������?��$/.,�
�����������4��������������(��������������6����������(���������*���(��������������
��������M�����*��������3�����������(���������������������'�3������������3��������5��� �� ������
���� ����������������
�����������(��3��� ����� �����������3������������������3� �� ������ ��Q���
���������(��3��� �����������3������������������3� ������ ��Q���
���������(��3��� ������������3� ����� ������������������
��(��(��*� ����� ��2������� �
��������� ��������������-/$+����������� ��2��3��������
n 2>
βy t y t>( ) βy t( ) fy t y t>( )=
P x1 x x2< < y1 y y2< < z1 z z2< <, ,{ } F x y z, ,( )
f x y z, ,( )
g x3( ) E x1x2 x3{ }= h x2 x3,( ) E x1x2 x2 x3,{ }= p x3( ) E h x2 x3,( ) x3{ }=
g x3( ) p x3( )=
a1 a2 x1 x2 y
E y x1{ } bx1= b x1 y
E a1x1 a2x2+ x1{ } cx1= c a1 a2
x1 x2 b c=
E s2{ } E E s2 n{ }{ }= E xixj{ }( )2
H-18
Gary Matchett Hints — 9/5/02
���������������
���������Q����(���� �������������3������������������� H��������*��#��������
�����������������������������������������3���� ��#��������������
���������������*�������������(���� �����������3�����������������3�
������3��������� ������������ �� ����������� �
���������� ����3���������������������3���������3� �9����*��������������2���:��4��������������������������������������3���������3�����������������������������3�����?��$/++1�
�����������������/���������(��������3��?��-/!+0�9������ :���������������./
+������?��./$�9*�������D��:����3���� �
�����#������
�����������������./!�
������#������������(���� ���������3�����(����� �
���� ����������������������(����� ����� �
��������������������(���� �������� �������
������2���3���������������3�����?��$/1-�������������������
����������������� �����>��������������������� �����������������
�������� �� ������ �����������������3����*����� ������ ����
�������������3� �
�����������?��./,.�������������� �� ������ �������?��./,0����������������� �����
���� ���3�������3�*��������>���������������������?��./1"�
������'������ ��#��� ��
������ ��2���������������������������� ������3�������3����
�������*�����������������
���������������������./!�3��� ��������������./+@�3��� ��������������-/!+����
������� �
������������#���������������33�������������������������������������������� ����������������
xi 0≥
An n
A1 A2 …, ,[ ] E x1{ }
E xm xm 1–{ } Bn
xm 1– xm 1– n+( ) E xm{ } E E xm xm 1–{ }{ }=
Φ ω( ) E ejωm{ } E E e
jωm n{ }{ }= = m
f s( ) Σnf s n( )pn=
f s n( )
z z z dz+≤< w w w dw+≤<,{ } x w≤{ }x z dz+>{ } w x w dw+≤<{ } z x z dz+≤<{ }
w dw+ x z≤<{ } n 2–( )
x x1 x– … xn x–, , ,( ) x
xi x– x x1 x– … xn x–, ,( ) x
s2
α0 α1 α2 α1
α2 E s ηs x1– η1 x2 η2–,–{ }
y E y x1 x2,{ } a1x1 a2x2+= = E E y x1 x2,{ } x1{ } E y x1{ } ax1= =
E y x1{ } bx1= a b=
Fx x( ) Fy y( )
Fxy x y,( )
H-19
Gary Matchett Hints — 9/5/02
���������*����3�����������3���� ������(����������������������������� ���(��
D���������������������3��������3�������������
���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ��
����
������� �����������3�������(���������(���#�������� �
������������������-/@1�
��������#��������3���9����������������?����:���������� ����� ������������������ �����?���������� ������� ��������������������3��������� ������������
�������� �� �������������������������������� ������� �
���� ���������*����������������������(�����*��������������'�3���� ��
������������ �
��������2������������������������(���������6��������3������������������ �������������
������������?������ ����������������������������������������������*������
���*������������������� ���� ������������������������������?��
$/0$�
���������73������������������������������������������������73�����������������������3�/�����������������������(������������������������; <�����������3���8������������
�����*�(������ ����������������� ��������� �3������� ��������
���������������*�(������ ����������������� ��������� �3�������
�������� ���������������*�(������ ����������������� �����
���� �3������� ��������������*������?���������������-/$+������
�������������������������������������
����������������(�����������3�����������3� ������������� ����(��*��������������
�?������2�����(��������������������
�������������4����������������?��./++.��'�3���� ���������� ����/
(��*����������������3��������������� ����(��*���������������?�����������
σv2
xi xi
E xi{ } E xixj{ } E xi2xj
2{ } E xxi{ } E x2{ } E xkxi2xj{ } E xxi
2xj{ } E x2xixj{ }
E x3xi{ } E x4{ }
E v2{ } σv
2E v
2{ } σ 4–=
A B AB
tr AB( ) tr BA( )= tr( )
x tr x( ) x= R ADAt
= At
A1–
=
D Y XAD1 2⁄–
At
=
E YYt{ } E XR1– Xt{ } tr E YtY{ }( )= =
xi
xi{ }
σ12 … σn
2+ + ∞→ n ∞→
ε N,
ε 0> N E xn a–2{ } ε< n N≥
an a→ ε1 N1 an a– ε1<
n N1≥ E xn an–2{ } 0→ ε2 N2
E xn an–2{ } ε 2< n N2≥
E xnxm{ } xn
αn σk2
k 1=
n
∑= αn{ }
yn{ }
H-20
Gary Matchett Hints — 9/5/02
������Q��� ���������������3� �������?��-/@0����������� ���� �
������� �����(��3������3�����3����������������������������������*��������9�?��@/
0.:�����*��������*���������������2������3�������*��������������������������
������������������./!,�����������������������������
�����#������
�����������������-/!!���������������������3�4�����������(������������4����������(�����������*��������
�����#�������� ����� ���������������������������������������H�����������?��./-!���(������*� ����� �������������
.� ��,-��� .4������,����������������
%� ��,-��� %
�����9�:� �����?���@/.@��$/@@������$/@.��������������3� ���������������������
��9�:������� ������������(������93���
���3����� :������ ������(�������������33������(���������������*�D������������
����� ���� �������33�������������*��� �
����������������1/$��7�������9�:�����������������(��������� �������
������������(���� ��������������������/�(����������������������������3�������������������������������������������������������(��������*������(�����2�������������������������
����9�:��������5����������������������������� �������� ������� ������� ���������� �����+1-!�����������7���?��7/!1�
����������?��-/-0�
��������������8������������������� ��3��� ������������������3���
����������������#������������2�������������������� �
�����9�:��������?������$/,1��9�:�Q��� �� �� ���������*���� ��3����
fn y( ) yn yn 1– xn+= fn ( ) fn 1– ( )
fx ( )
x yx y
A1 … An, ,[ ]
E x{ } E x A1{ } P A1( ) … E x An{ } P An( )+ += x t( )
t P x t( ) x≤{ }
F x t,( ) f x t,( )
x 2( ) 2= x 4( ) 4=,{ }x 4( ) x 2( )– 2= x 2( ) 2=,{ }
w t( ) t s–( )v s( ) sd0
t
∫= t 0≥
E w2t( ){ } t s–( )2
q s( ) sd0
t
∫=
x1 x t τ+( )= x2 x t( )= Dx
H-21
Gary Matchett Hints — 9/5/02
/����������� ����������*��������������/��������������(��� �
�����#������
�����'������3��*�����������������>�*��������?��1/0"�
�����������?��./-+�
���������������2��2�������������3����������������������(���������������7�����������/������3�����������������/���33����������33����������?�����������*�����*������*��@"@�����2�������������������?�������������������?�������(�������������������������/�������2��������������?������������������������������������������������9�?��1/,-:���������3��������2�������������������������������������������;D���<�����������������������
��2��������������������������������������33����������?���������������
�����3��� ������������������������ ��������%����&��������������������3������������������?�����������������3����������������� ���������%����
2�����������������������*�������*������������������������������������������������������������������ �����������������������33����������?������������3���
��#���������� ��2��������������������������������>����(�������(�����
���������33����������?������������9���?��:�����������������������������������������33�����3�������������������������� ������������������������3����� �������������D����
��� ��
2�����������3������������33����������?���������2����33����������?������
�����������3����������3��������������������������?����������
�������������������*���(�������������9��������������3����3��3���� /�����:��%���������������������3�������Q�������(��������3����������3����������
2�� �������(��������3����������3�����������*�(������ ��������������������������3���������3��������������������������(����� ������������3�����3����������3�����������
x1x2 x1 x2– a≥ Dx
t 0=
t 0≥ y t( )y t( )
t t0=
t t0≥ t0 ∞–→
t0 t
t0 ∞–→
anyn( )
t( ) an 1– yn 1–( )
t( ) … a1y’ t( ) a0y t( )+ + + + x t( )=
s
ansn
an 1– sn 1– … a1s a0+ + + + 0=
s
� s( ) 1
ansn
an 1– sn 1– … a1s a0+ + + +
--------------------------------------------------------------------------------=
H ω( ) � jω( )=
H-22
Gary Matchett Hints — 9/5/02
������
���������������������������� ��2����������*�����������*���������3�������D���/������������� ��������*���������������
������K������������� �
��������73� ��������������*����3� ����������� �
������������� �������������?������������2���������������D����?�������
�?��1/+.-��������������� ����� �
������#������
�������������� ����������������� ������������� ������
���� ������������� ��2������� ������
�
������9�:�����2���������������*���3�������������2�������������������� �����������!
���� ����� ����3��3��� �� ������*�����
��3�������������������� �� ������ ��9�:�����8�������������������
�������������������������������������������������������� ��������������
���������9�:����3���� ������3���������3� �
������#������
������������������$/+@�
���������#�������� ����������
�
�����������?���1/+"+�����1/+"-�
������9�:�#�������� ��#�������� ����� �����>�������������������?��1/@-����
3������������������������33�������
��������8����������������������� ����%���9�����?��(������������ ���������/
h t( ) H ω( )↔ h t( ) 12π------ H ω( )ejωt ωd
∞–
∞
∫=
E v t( ){ } 0=
z t( ) y t( ) 2–=
f t1( )g t2( )δ t1 t2–( ) f t1( )g t1( )δ t1 t2–( ) f t2( )g t2( )δ t1 t2–( )= =
ϕ τ( ) Rxy τ( ) E x t τ+( ) ejϕ τ( )
y t( )±2
{ }
x t( ) y t( )=
Rxx τ( ) Rxy τ( )= Ryy τ( ) Rxy τ( )=
ϕ Φ 1( ) 0= E ϕcos{ } E ϕsin{ } 0= =
Φ 2( ) 0= E 2ϕcos{ } E 2ϕsin{ } 0= = η t( ) 0=
R t1 t2,( ) 12--- ω t1 t2–( )[ ]cos=
x t( )ta tb tc td≤ ≤ ≤ E x td( ) x tc( )–[ ] x tb( ) x ta( )–[ ]{ } 0=
td t2= tc tb t1= = ta 0=
ηy t( ) ηx t( )
Ryy t1 t2,( ) t1 t2–
fy y1 … yn t1 … tn, ,;, ,( ) fy ε y1 … yn t1 … tn ε, ,;, ,( )fε ε( ) εd∞–
∞
∫=
fy ε y1 … yn t1 … tn ε, ,;, ,( ) fx y1 … yn t1 ε– … tn ε–, ,;, ,( )=
fx x t,( ) fx x( )= z w
x t( ) x t( )
H-23
Gary Matchett Hints — 9/5/02
����������:��2�������������3�������*��?��1/,.������������� �������������?��1/
+"-�������������3���� �
����������������������������������������5������?��1/,"������������������ �������
���������� �
����������������������������������������������� ����%����2����������������������������N�����������������������*������������������*��2��������������������������������������2����������������������������������������������
����������(�����������������3��?���1/.�����1/,��2��3����/�����������/���������/����3���������������������3�������3�������� ������������2������*������������33�/������������������2������������������������������������������������������������������������������(�������������3����/�����������/��������������������3����������3�
����������3������(�������3������������������������?���$/+""�����-/+1$��7��
������������������������������ ������ �
������9�:������������ ���� ��9����>���� ������������������������/
����:�
������%����� �����������������*����������������������(������
������9�:�%����� �����������������*����������������������(��������9�:�������� �������*��������3�������������������������33����������?�������9����?����������������������/��(������:��2����������������������9�:�
������9�:�%�������3���������������3��� ����3������������������������3�������� ��2��������?��1/11�
�����#������
������������������� ����%���������������������*���������������������(������?��1/$1�
�����9�:����������������������������1/!1��������������3������������������������3���/
x’ t( )
σx’2
sin 1– z1n--- J0 nπ( ) 1–( )n
–[ ] sin nπz
n 1=
∞
∑=
x t( )
E g x t( )( ){ } g x( )f x t,( ) xd∞–
∞
∫=
E g x t1( ) x t2( ),( ){ } g∞–
∞
∫ x1 x2,( )f x1 x2 t1 t2,;,( ) x1 x2dd∞–
∞
∫=
x t( )
x t( )
σ2t( ) Rx 0( )= r t τ+ t,( ) r τ( ) Rx τ( ) Rx 0( )⁄= =
τRx τ( ) 0→ τ 0→ Rx τ( ) 0→
y t1( )y t2( )
y2t( )
y t( ) h t( )
x t( )
H-24
Gary Matchett Hints — 9/5/02
�����������?���1/10�����1/1$���9�:�������������1/+,�
����9�:�����������������$/!,�
9�:����� �����������9�:�
����������� ���������
����������������������� ������ �
����#������
������������ �������?��./-+�3������������./1����3���� ����������2�����1/+����
3���� �
����������� ��������� �
�����9�:�������4���H��������������������3���� �(���������������*�������������������������������������$/0.���9�:�������������������������2���������������3�������
�����������������������*�(����� ������� ������������
���� �����������*�����
������ �� ��������������3���������3���������(�������� �� ��������������3��������
�3������������(�������� ��2���������������������>�*�����3� ������������>�*�����������3�������� ��������(�������� ��2���������������������������3�����������3�����������������������3�����������
� ������
��������2�����(������������������������������������*����������(����������������2������������(������������������������������������3� ������������3����5� ��
������ �
7:�73� ������
77:�73� ������
#���������3�������3���������������������(��������3��������������������������3��/
ω0τ ωτcoscos ω0 ω–( )τcos ω0 ω+( )τcos+[ ] 2⁄=
x t( )
ej2aω
ej– 2aω
+ 2 2aωcos= 1 2aωcos– 2sin22aω=
ηy I= Ry
Sy
S ω( ) 0≥ A1
2π------ S ω( ) Σiaie
jωτi2
ωd∞–
∞
∫ 0≥=
R τ( )
rd
dω------- ω ωp–( )2
h ω( )[ ]ω ωp=
= ωp
h ω( )
H ω( ) ω � s( )s � s( )
�( ) s
� s( ) �* s*–( ) h* t( )esttd
∞–
∞
∫= = � z( ) �* 1 z*⁄( ) Σnh* n[ ] zn
= =
f τ( ) F ω( )↔g τ( ) G ω( )↔ h τ( ) H ω( )↔
H ω( ) F ω( )G ω( )= h τ( ) f τ( ) * g τ( )=
h τ( ) f τ( )g τ( )= H ω( ) 12π------F ω( ) * G ω( )=
H-25
Gary Matchett Hints — 9/5/02
����������*�������������������*��3�������������������*������������2�����������������
��� �
��������������������������������Q��9��������:�����&��9���������:��������������2�������������������������������������������������������*����������D���3�������2������������������������
����������?��1/+"-����3���� ����� ��#�������� ������������������������
���*����������*������ ��������� ������2�����1/+�������(����3���� ����
�
����9�:�������������1/!.����9�:������?��1/++$�
����#�������� �����������������������*���(�������������������������
��3���������������*��� ��'�3���� �
�����9�:�����2��������������������� ������������������ �����������3�
�����3��?��1/+-"�����������*�������� ������3�����
�9�:������������� �9��������3����������������/�������������7�����:����������
�3� ����� �(������������������(��������������� �����3�����������
���������(���(����������������������(��(������ ������������3�����3�������3����������������������*���������
����� ��������� ��������� ��2���3�������� �����/
��D��� ������������������(������������*��3� ���������3��?��������
������������?������1/+,+������������ �3��� ��'����������
Sy ω( ) 2πRx2
0( )δ ω( ) 1π---Sx ω( ) * Sx ω( )+=
ω ω
ω2ω1ω– 1ω– 2ωcω– c
1 1
Sx ω( )Sx ω( )
Q������� &��������
Rxx’ τ( ) Rx’x’ τ( ) Rxx’ τ( )
δ τ( ) Rx’x’ τ( ) Ryy τ( )
Syy ω( )
R 0( )
R τ1( ) R 0( )ejϕ= ϕ ω ϕ τ1⁄=
x t( ) E x t( )x t( ){ }Sxx ω( ) Rxx τ( )
x t( )
x t( ) h t( ) H2 ω( ) 1–=
ρ t( ) δ t( )–=
x t( )
G ω( ) Syy ω( ) Sxx ω( )G ω( )= ω ω0±=
G ω( ) Sxx ω( )
Sxy ω( ) 0= ω ω0≠
H-26
Gary Matchett Hints — 9/5/02
�
�����9�:��������(������������*��������������#���� ����������3� �
������������������(�����33�������������������(�����3����3��?�����������������3���/������ �� ������ �������������������������������?��1/+,+�
������������������ ���������������������������?��������?��-/+-1�
����������������������������1/$"��#����������5����*������/������*�������������*������/���/��/�?������*��
�������������� �����������3� ��4������������?��1/+10�
�����9�:�������� ��������������������������*���������33����������?���������������(����������3���������������������3�������������������������/���*���������33��/
��������?��������%����� �����������������*����������������������(������
9�:����������������������������������(��3��������33��������?�������
�����9�:����� �������*������������������������33��������?�������
9�:���������3������(����������3������9�:�
&'� ��,-��� &'������9�:������?��1/+0���9�:������?��+"/$!�������������$/!,�
�����������?��+"/$!�3��� ����� ��2��������?��-/."�3��� �
�������� ���������33����������?��������������*� ����� ������Q������������3��������
3���� �������������(��3��� �������?��+"/.@����3���� ��������������������
������3�������������������
�����#�������� ��������3� ������ �
������������������./+!������?��1/+"-�
���������������������%��������������� ������������������������������������D����
�����������?��-/+11����3���� �������������-/-1����3���� �
����������4�������H�����������?��+"/+"!��#�������� ��������D���������3������������
Sxy ω( ) 2πBδ ω ω0–( )=
Ryx Rxy
Sxy ω( ) Sxx ω( ) Syy ω( )
x t( )
R m[ ] f ω( )
y2
t( )
fx x t,( ) fy y t,( ) fz z t,( )
v t( ) ne t( )
� s( ) H ω( ) 2Sv ω( )
e2α t–
U t( ) 1jω 2α+( )
------------------------↔ h t( ) H ω( )↔ h’ t( ) jωH ω( )↔
w t( )Ry Rz
s 7( )
H-27
Gary Matchett Hints — 9/5/02
�����������(�������������(������������ ����� ��������D����
�������������� �������������*������2��������?���1/+@.�����1/+@1�������3����
�
�����������������3�����������������������������������������*��������������*�
����������������2�����������������������������3���*��@-$��*�(���>���� ������������������*���������������(�������8���������������)���H����������������������������
�����?��+"/+0!���� �
�������'�33��������������������������3��?��1/+0@����3���� �������?���+"/+@,�����+"/
+$"�
����������8������������������� ����� �����������>������%����������������������
�������*�(��������������� �
��������� ������������������2�������������������
�
&�*����������*�������������������������� ������4���2������� ����
��������������?��+"/+..�3��� �� ���� ���������3�����?��1/+00���������������
�����3���������������*����������������(������������(���������3����*�� �� ������������?��+"�/!����*���������������������
����������������?��+"/+1.�������3���
������
#�������� �
�������������� �������������������������3���������������3���*��@..�
������������?��+"/+1-���?��+"/+1,����� ������2�����1/+�
���������������+"/+-����(��
t0 7= h 7 t–( )
Sxy ω( )
H ω( )
x t( )
y t( ) x t( )
Rxx’’ 0( )
x t( ) y t( )ω
Sxx ω( ) 2πT
2------ f t( )e jωt–
td0
T
∫2
δ ω 2πmT
-----------–
m ∞–=
∞
∑=
y t( ) f t( )= x t( )Rxx τ( ) Sxx ω( )
T
yN t( ) x t τ+( ) x t nT+( ) σ τ nT–( )sinσ τ nT–( )
--------------------------------
n N–=
N
∑–= T π σ⁄=
εN t( ) yN 0( )=
x t( )
ω 0=
H-28
Gary Matchett Hints — 9/5/02
�������#�����������������*�� ����� ������ �������������������
����������������������&Q����������
����������2�������������*�3��������������������3����;����������������*����������<����2������*��@,"��������33�������������������(��(������������������������������ ��������
�������������� �� ������
�� �������?��+"/
!"-����� �������*����� �� �
���������������������3��?��+"/!+!������ �����������������*����
�������3���� ���� �������?��(������3����������������3�������*��?��+"/!+@�
���������� ���������������������2��������������� ��#��������
���������������� �����������������3������������ ��2������*����
�����3�����3��?��1/$1��(�����3������3�������� �������������3���
�������#������
������4�������� �
������9�:�����2�������������3��������������������������2���������������3�����(���*�(�������3��������������������������������������3�����������������3�������������������/����������������������������
9�:�����#�������� ���������������������������������2��������D�� ��
���������������D���������������������������*��������������������������������������3�Q�*���*��������������
���������� ������������������������3�������� �9������������+"/!:�� ������������/���������������� ��3����������������������������������3����
����������� ���� �� ������ �� �����������������3����������
τ π2σ------< ω σ≤ ωτcos στcos≥
x t( )
P1 ω τ,( ) 1ωσ---- e
jστ1–( )–= P2 ω τ,( ) 1
jσ----- e
jστ1–( )=
p1 τ( ) 1σ--- 1
ωσ---- e
jστ1–( )– e
jωτ ωdσ–
0
∫= p2 τ( ) 1
jσ2-------- e
jστ1–( ) e
jωτ ωdσ–
0
∫=
t0 0= y1 nT( ) y1 n∆( ) x n∆( )= = y2 nT( ) y2 n∆( ) x’ n∆( )= =
f t( ) ω0t ωtcoscos=
a– a
Xc ω( ) 1λ--- x ti( )e
jωti–
iti a<
∑=
x t( ) z t( ) δ t ti–( )i∑=
C τ( )
I aibj* ajbi
*–2
j 1=
n
∑i 1=
n
∑ 0≥=
v n[ ] ryf
20[ ]
E yv2
n[ ]{ }-----------------------=
h t( )f t( ) A ω0tcos=
yf t( ) B ω0t ϕ+( )cos= B A α ω0
H-29
Gary Matchett Hints — 9/5/02
������������3��������3������������������������3����������������������*�2�����1/+�������?��1/+$!����3��������(���*���������3�����������������
����������9�:��7������������3�������(�������������������5� ��
������ ��
����� ��2��������
������ ��������D�� ���������D��*�
����>����������������������3���*�(���(������3� �������������3�Q�*���*�����/
���������
9�:�2����������(������3� ���� �
�������2���3���������������3�����?��+"/!@0�����*�9���������:������������
�
������������(�����3������������3��������73� ������
���������������������(��������� ��
������ ����������D��������������������������������������
����������������������(��������*������(����� �������������������3����������������
(��������������*��+@1��3����2��������3����������� �� ��������*��������
����������������������������������������������������
�������
������� �������������������������������
&&� ��,-��� &&��������� �����*�����������*�3�������������������������3�������������
aT
a0 a1 … am, , ,( )=
fT
f0 f1 … fm, , ,( ) f t0( ) f t0 T–( ) … f t0 mT–( ), ,,( )= = R
R00 R01 … R0m
R10 R11 … R1m
… … …Rm0 Rm1 … Rmm
=
Rij Rv iT jT–( ) E v t0 iT–( )v t0 jT–( ){ }= =
yf yf t0( ) aifi
i 0=
m
∑ aTf= = = E E yv
2t0( ){ } a
TRa= = r
E yf 0>
r fTR
1–f yf k⁄=
ejωτ– τd
∞–
∞
∫ 2πδ ω( )=
t1 t2 t3< <
x t3( ) x t1( ) x t2( ) x t1( )–[ ] x t3( ) x t2( )–[ ]+ += x t1( )
x t2( ) x t1( )– x t3( ) x t2( )–
E x3t1( ){ } λ t1=
min t1 t2 t3, ,( ) min t1 min t2 t3,( ),( )=∂min ta tb,( )
∂ta----------------------------- U tb ta–( )=
U min t2 t3,( ) t1–( ) U t2 t1–( )U t3 t1–( )=
H-30
Gary Matchett Hints — 9/5/02
�� �����*����������������������?������ �������O���
������������������*�(������������������������
������ ������ ���������� �
���������������(�����������5� �
�����9�:�����#�������� ������
9�:��������������������������3�������*��?��++/!$��#��������
����3���� �3��� ��#�������� ������
����3���� ������������ �3��� �
���������� ����� ��'����������
������� ������������������ ����� ��4������������
���������������������������������������� ���������� �
������'�3���� ��������*���� ���������������3��������������������
������ �� ������������������������3������������������3������������������?��1/+$!�
�������������������� ����%�������������*����3�����������������������3�������������������(��� ���������������������������������������������(��� ����������������������������������D���������*�����?�������++/$,��'�33�����������������*�����?��/�������������������������33����������?�������� �������*�������������������������33����/������?������������������������������������*�����?����������������������������������������������D�������?���������?��++/$-�������������� �3����������#�����������
������������������5� ����� �����������������*�(���
������2����
������%����� �����������������*�����2����3������������*�������*�����������?��1/$1��'�33������������������������� �
2ωcos z2
z2–
+( ) 2⁄= Rxx m[ ]
� s( ) N s( )N s–( )D s( )D s–( )---------------------------= � s( ) N s( )
D s( )-----------=
s n[ ] ls k[ ] i n k–[ ]k 0=
∞
∑=
Ryx’ τ( ) E y’ t τ+( )x* t( ){ }=
�yx+
s( ) �yx s( ) q D s( )⁄= = Ryx τ( ) τ 0> �yy-
s( ) �yy+
s–( )=
�yy s( ) qD s( )D s–( )---------------------------= �yy
+s( ) Ryy τ( ) τ 0>
Rxx m[ ] Rss m[ ] Rvv m[ ]+= Rvv m[ ] qδ m[ ]=
�ss z( ) 1D z( )D 1 z⁄( )-------------------------------= D z( ) zi zi 1<
�xx z( ) �ss z( ) �xx z( ) �xx 1 z⁄( )=
s t( ) 1n--- x t kT+( )
k 1=
n
∑= s t( )
x t( )
x t( )0 T,( ) a a,–( )
ϕ t( )
βn aλn
2-----+
1 2⁄–
= βn’ aλn’
2------+
1 2⁄–
=
E X ω( ) 2{ }T
H-31
Gary Matchett Hints — 9/5/02
������#������
�������#������
���������������?��++/$+���9�:����
�
7�������������������9�:�����������3��������������9�:���9�:������������ ������� �
�����������
������������������������������������������ ��������� ������3���/
������3� �
������'�����������3� ����� ������3��?���++/.1�������������������������� �
���������#�������� ������
�������3��?��������(��������������5��3� ������
�����
�
�����?��++/,!��#�������� �
&�� ��,-��� &�������#������
������������#�������� ����%���������?��+!/0$��������������� ����
�� ���������������3���������������������������������������������?������
E x t( )x* t( ){ } E x t( )x* t( ){ } E x t( )x* t( ){ } E x t( )x* t( ){ } R 0( )= = = =
s t α–= βn α( )
E x t( ){ } 0= E x t( )x* s( ){ }t s–
A BE A u( )A v( ){ } E B u( )B v( ){ } Q u( )δ u v–( )= = E A u( )B v( ){ } 0=
f t( )e jωt–td
T–
T
∫ f t( )pT t( )e jωt–td
∞–
∞
∫=
pT t( ) U t T–( ) U T t–( )–1
0
= =T t T< <–
otherwise
F1 ω( ) f1 t( )e jωt–td
∞–
∞
∫=
F2 ω( ) f2 t( )e jωt–td
∞–
∞
∫=
F12 ω( ) f1 t( )f2 t( )e jωt–td
∞–
∞
∫ 12π------ F1 y( )F2 ω y–( ) yd
∞–
∞
∫= =
sin2αT
α2----------------- αd
0
∞
∫ Tπ2
------=
x t( ) f x x τ;,( ) f2
x( )→
τ ∞→
H-32
Gary Matchett Hints — 9/5/02
�������?��+!/+"�
����������?��+!/!.�
������������� �������������������� ����������?��+!/$����������������3����
���������)���������� ��3����������3����� ������ �
��������������2�������������������������������������5� ����
�����3�������� ����������������������� �3�������� ��������� ��
7*������������������2�����'�3��������(���*���������� ����������
���������������������������� �����?��(�/
�������������(������������������(���'����������+0/.�3�������������������������������������
����������B������������� �3�������� ��������� �������?��1/0.����*���
��4��*��(������������ �� ��&�����������
����*���������� /������������������������� ����� ������3�����������
����������������
r τ( ) 0→
Czz τ( ) τ
RTT ∞→lim Rxy λ( )= E RT{ } Rxy λ( )= σRT
20→
R t τ+ t,( ) η t τ+( )η t( )→
τ ∞→ t C t t,( ) σ2< σ t
η 1T--- η t( ) td
0
T
∫=
12c------
c ∞→lim η t( ) td
c–
c
∫ η= E ηc η–( )2{ }c ∞→lim 0=
C t t,( ) σ2< σ t
σT2 1
4T2
--------- C t1 t2,( ) t1d t2dT–
T
∫T–
T
∫= t t2= τ t1 t2–=
tτ τ T2≥ τ T2<
H-33
Gary Matchett Hints — 9/5/02
H-34