ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI

ESP.MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CONTRERAS

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DEFINICIÓN

Es una ecuación diferencial de primer orden no lineal de la forma

𝑑𝑦𝑑𝑥

+𝑃 (𝑥 )𝑦=𝑄 (𝑥)𝑦𝑛

Donde , ya que si se tiene la ecuación lineal, y si se tiene la ecuación lineal homogénea

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La solución se obtiene, llevando la ecuación diferencial a una de la forma lineal. Para ello multiplicamos la ecuación diferencial por

𝑦 −𝑛𝑑𝑦𝑑𝑥

+𝑃 (𝑥 ) 𝑦−𝑛 𝑦=𝑄 (𝑥)𝑦−𝑛 𝑦𝑛

𝑦 −𝑛𝑑𝑦𝑑𝑥

+𝑃 (𝑥 ) 𝑦1−𝑛=𝑄 (𝑥 )𝑦𝑛−𝑛

𝑦 −𝑛𝑑𝑦𝑑𝑥

+𝑃 (𝑥 ) 𝑦1−𝑛=𝑄 (𝑥 )

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La ecuación diferencial sigue siendo no lineal por el termino

Para volverla lineal hacemos el siguiente cambio de variable

con lo que

Multiplicando la ecuación diferencial

por , se tiene

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Reemplazando los cambios de variable, se llega

La cual corresponde a una ecuación diferencial lineal de primer orden en las variables U , x . Siendo la ecuación diferencial que resolvemos

𝑑𝑈𝑑𝑥

+(1−𝑛)𝑃 (𝑥 )𝑈=(1−𝑛)𝑄 (𝑥)

(1−𝑛) 𝑦−𝑛 𝑑𝑦𝑑𝑥

+(1−𝑛) 𝑃 (𝑥 ) 𝑦1−𝑛= (1−𝑛 )𝑄 (𝑥)

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EJEMPLOResolver la ecuación diferencial

𝒅𝒚𝒅𝒙

+𝒚=𝒙 𝒚𝟑

Comparándole con la ecuación diferencial de Bernoulli

𝒅𝒚𝒅𝒙

+𝑷 (𝒙)𝒚=𝑸(𝒙)𝒚𝒏

Con el cambio de variable , se tiene la ecuación lineal

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𝑑𝑈𝑑𝑥

−2 𝑦=−2 𝑥

La cual es una ecuación diferencial lineal de primer orden

𝑃 (𝑥 )=−2 ,𝑄 (𝑥 )=−2 𝑥

∫𝑃 (𝑥 ) 𝑑𝑥=∫−2𝑑𝑥=−2𝑥

𝑒∫ 𝑃 (𝑥 )𝑑𝑥=𝑒−2𝑥 𝑒−∫ 𝑃 (𝑥 )𝑑𝑥=𝑒2𝑥

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𝑈=𝑒−∫ 𝑃 (𝑥 )𝑑𝑥 (𝐶+∫𝑄 (𝑥 )𝑒∫ 𝑃 (𝑥 )𝑑𝑥𝑑𝑥 )

𝑦 −2=𝑒− 2𝑥 (𝐶−2∫ 𝑥𝑒2𝑥𝑑𝑥 )Con lo que

𝑦 −2=𝑒− 2𝑥(𝐶−2( 𝑥𝑒2𝑥2 −𝑒2𝑥

4 ))𝑦 −2=𝐶𝑒−2 𝑥−𝑥+

12 𝑦=√ 2

𝐶𝑒− 2𝑥−2𝑥+1

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EJEMPLOResolver la ecuación diferencial

𝑑𝑦𝑑𝑥

+𝑦2𝑥

=𝑥𝑦 3;𝑦 (1 )=2

Rescribiéndola

𝑑𝑦𝑑𝑥

+12𝑥

𝑦=𝑥 𝑦−3

Cambio de variable , se tiene la ecuación lineal

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𝑑𝑈𝑑𝑥

+42𝑥

𝑈=4 𝑥 𝑑𝑈𝑑𝑥

+2𝑥𝑈=4 𝑥

𝑃 (𝑥 )= 2𝑥;𝑄 (𝑥 )=4 𝑥

∫𝑃 (𝑥 ) 𝑑𝑥=2∫ 𝑑𝑥𝑥

=2𝐿𝑛 (𝑥 )=𝐿𝑛𝑥2

𝑒∫ 𝑃 (𝑥 )𝑑𝑥=𝑒𝐿𝑛𝑥2=𝑥2

𝑒−∫ 𝑃 (𝑥 )𝑑𝑥=𝑒−𝐿𝑛𝑥2

=𝑥−2

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𝑈=𝑒∫𝑃 (𝑥 )𝑑𝑥 (𝐶+∫𝑄 (𝑥 )𝑒∫ 𝑃 (𝑥 )𝑑𝑥𝑑𝑥 )U=𝑥− 2(𝐶+∫ 4 𝑥 (𝑥2 )𝑑𝑥 )𝑦 4=𝑥− 2(𝐶+𝑥4)

De las condiciones iniciales , se tiene

24=1− 2(𝐶+14) 𝒚𝟒=𝒙−𝟐(𝟏𝟓+𝒙𝟒)

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Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales

𝒙𝒅𝒚𝒅𝒙

+𝒚=(𝒙𝒚 )𝟑𝟐 ;𝒚 (𝟏 )=𝟒

𝒙𝒅𝒚𝒅𝒙

+𝒚=𝟏𝒚𝟐

𝟒 (𝟏+𝒙𝟐 ) 𝒅𝒚𝒅𝒙

=𝟐𝒙𝒚 (𝒚 𝟒−𝟏 ) ;𝒚 (𝟏 )=𝟐

𝒙𝟐 𝒅𝒚𝒅𝒙

−𝟐 𝒙𝒚=𝟑 𝒚𝟐 ;𝒚 (𝟏 )=𝟏𝟐

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