es25 - conceitos fundamentais de dimensionamento de ... · fyd = fyk / γs = valor de cálculo da...
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Universidade de São PauloUniversidade de São PauloEscola Politécnica Escola Politécnica -- Engenharia CivilEngenharia CivilPEF PEF -- Departamento de Engenharia de Estruturas Departamento de Engenharia de Estruturas
e Fundaçõese Fundações
ES25 - Conceitos Fundamentais de Dimensionamento de Estruturas de
Concreto: Vigas, Lajes e Pilares
Flexão Simples
Professores: Túlio N. Bittencourt Rui Oyamada
ES25ES25
Flexão SimplesDimensionamento e Verificação______________________________________________________________________
As
Mud Mud
A A’ B’ B
diagrama de ε
fissuras
εs
εcu
seçãotransversal trecho de viga
Tipos de ruptura na flexão
Em geral, tem-se os seguintes tipos de ruptura:
• se As = 0, ou muito pequena ⇒ ruptura frágil (brusca) por tração no concreto;• se As for muito grande (pequena deformação εs)⇒ ruptura frágil (brusca) por
esmagamento do concreto comprimido; e• se As for “adequada” ⇒ ruptura dútil (com aviso), com escoamento da armadura
e acompanhada de intensa fissuração da zona traciona
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Hipóteses básicas
1) manutenção da seção plana: por exemplo, as seções A e B passam para A’ e B’, quandofletidas, permanecendo planas;
2) aderência perfeita entre concreto e armadura: inexistência de escorregamento entre osmateriais (a deformação da armadura εs é admitida igual à deformação da fibra deconcreto εc , junto a esta armadura);
3) a tensão no concreto é nula na região da seção transversal sujeita a deformação dealongamento;
4) diagrama tensão-deformação (de cálculo) na armadura
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aço de dureza natural: este aço apresenta patamar de escoamento.σsd
fyk
fyd
εyd0,010
εsd
arctg Es
diagrama de cálculo
Es = 21.000 kN/cm2
fyk = valor característico da resistência da armadura correspondente ao patamar de escoamento (resistência característica no escoamento)
γs = 1,15 (coeficiente de ponderação da resistência da armadura)fyd = fyk / γs = valor de cálculo da resistência da armadura correspondente
ao patamar de escoamentoεyd = fyd / Es = deformação correspondente ao início do patamar de
escoamento
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aço de dureza natural: este aço apresenta patamar de escoamento.σsd
fyk
fyd
εyd0,010
εsd
arctg Es
diagrama de cálculo
Es = 21.000 kN/cm2
fyk = valor característico da resistência da armadura correspondente ao patamar de escoamento (resistência característica no escoamento)
γs = 1,15 (coeficiente de ponderação da resistência da armadura)fyd = fyk / γs = valor de cálculo da resistência da armadura correspondente
ao patamar de escoamentoεyd = fyd / Es = deformação correspondente ao início do patamar de
escoamento
Os aços desta categoria são os seguintes:
TIPO fyk (kN/cm2) fyd (kN/cm2) εydCA25 25 21,74 0,00104CA32 32 27,83 0,00132CA40A 40 34,78 0,00166CA50A 50 43,48 0,00207
Os aços são designados pela sigla CA (Concreto Armado), seguido da resistência característica no escoamento em kN/cm2.
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aço encruado (CA50B e CA60B)
σsd
fyk
fyd
εyd 0,010εsd
arctg Es
diagrama de cálculo
0,002
A
B
Até o ponto A (limite de proporcionalidade), tem-se diagrama linear; entreA e B, admite-se diagrama em parábola do 2o grau; e, além do ponto B,um patamar.Admite-se que o diagrama tensão-deformação na armadura seja o mesmo,na tração e na compressão.
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diagrama tensão-deformação (de cálculo) no concreto
diagrama parábola-retângulo
σcd
0,85fcd
0,002 0,0035
εc (encurtamento)
parábola do 2o grau
patamar
γc = 1,4 (coeficiente de ponderação da resistência do concreto)fcd = fck / γc0,85 : coeficiente para considerar a queda de resistência do concreto
para cargas de longa duração (efeito Rusch)
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diagrama retangular simplificado
As
Mud
x
k fcd
0,8x
deformação deestado limiteúltimo (εu)
x = altura da zona comprimida, medida a partir da borda comprimidak = 0,85 , quando a largura da zona comprimida não diminui em
direção à borda comprimida (seção retangular)0,80 , em caso contrário
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estado limite último convencional na flexãoO estado limíte último é atingido quando ocorre uma das duas situações seguintes:
1) a deformação de encurtamento no concreto (εcu) atinge 0,0035; denomina-se, estadolimite último por esmagamento do concreto;
As
εcu = 0,0035
εs
Mud
2) a deformação de alongamento na armadura mais tracionada (εsu) atinge 0,010; denomina-se, estado limite último por alongamento plástico excessivo da armadura;
As
εc
εsu = 0,010
Mud
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domínios de deformação
Conforme foi visto no ítem anterior, o estado limite último convencional ocorre quando odiagrama de deformação passa por um dos dois pontos, A ou B
h
d
As
0,0035
εyd
0,010
A
B
x34
x23
D4
D3
D2
4
3
2
Mud
d = altura útil da seção = distância do CG da armadura à borda comprimidax = altura da zona comprimida (medida a partir da borda comprimida)
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Diz-se que o diagrama de deformação do tipo 2 está no domínio de deformação 2(D2); passa pelo ponto B (ELUlt. por alongamento plástico excessivo da armadura) eo encurtamento do concreto na borda comprimida está compreendido entre 0 e0,0035. O concreto é pouco solicitado e a armadura está em escoamento. A ruptura édo tipo dútil (com “aviso”). A altura da zona comprimida obedece à condição:
x ≤ x23 = 0,0035 d / (0,0035 + 0,010) = 0,259 d
que pode ser obtida por semelhança de triângulos
Diz-se que o diagrama do tipo 3 está no domínio 3 (D3); passa pelo ponto A (ELUlt.por esmagamento do concreto) e o alongamento da armadura está compreendido entreεyd e 0,010. O concreto está adequadamente solicitado e a armadura está emescoamento. A ruptura é do tipo dútil (com “aviso”). A altura da zona comprimidaobedece à condição:
x23 ≤ x ≤ x34 = 0,0035 d / (0,0035 + εyd)
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Diz-se que o diagrama de deformação 4 está no domínio 4 (D4); passa pelo ponto A(ELUlt. por esmagamento do concreto) e o alongamento da armadura estácompreendido entre 0 e εyd. O concreto está muito solicitado e a armadura é poucosolicitada. A ruptura é do tipo frágil (praticamente, sem “aviso”). A altura da zonacomprimida obedece à condição:
x34 ≤ x ≤ d.
A seção que atinge o ELUlt. nos domínios D2 e D3 é dita subarmada ou normalmentearmada.
Quando o ELUlt. é atingido no D4, a seção é dita superarmada. Trata-se de situaçãoantieconômica, pois a armadura não é explorada na sua plenitude. Procura-se evitar odimensionamento neste domínio.
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seção retangular com armadura simples
A seção retangular com armadura simples é caracterizada da seguinte forma:• a zona comprimida da seção sujeita a flexão tem forma retangular;a barras que constituem a armadura está agrupada junto à borda tracionada e pode serimaginada concentrada no seu centro de gravidade
h
d
b
x0,8x
0,85fcd
Rcd
Rsd
0,4x
d - 0,4x
Mud
As
εu
σsd
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Resultantes das tensões:
no concreto: Rcd = 0,85⋅fcd⋅b⋅0,8⋅x = 0,68⋅b⋅x⋅fcd
na armadura: Rsd = As⋅σsd
Equações de equilíbrio:
de força: Rcd = Rsd ou 0,68⋅b⋅x⋅fcd = As⋅σsd (1)
de momento: Mud = Rcd⋅(d - 0,4⋅x)ou
Mud = Rsd⋅(d - 0,4⋅x)
Substituindo o valor das resultantes de tensão, vem:
Mud = 0,68⋅b⋅x⋅fcd⋅(d - 0,4⋅x) (2)ou
Mud = As⋅σsd⋅(d - 0,4⋅x) (3)
h
d
b
x0,8x
0,85fcd
Rcd
Rsd
0,4x
d - 0,4x
Mud
As
εu
σsd
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Caso de dimensionamento
Nos casos usuais de dimensionamento, tem-se b, fcd e faz-se Mud = Md (momento fletorsolicitante em valor de cálculo). Normalmente, pode-se adotar d ≅ 0,9 h. Dessa forma, aequação (2) nos fornece o valor de x:
0 40 68
02,,
x d xM
bfd
cd
− ⋅ + =
x d xMbf
d
cd
2 2 52 5
0 680− + =( , )
,,
x dM
bd fd
cd
= − −
1 25 1 1
0 425 2,,
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Com o valor de x, tem-se o domínio de deformação correspondente, podendo ocorrer asseguintes situações:
I) domínio 2, onde x≤ x23 = 0,259 d; e σsd = fyd
II) domínio 3, onde x23 ≤ x ≤x34 = 0,0035 d / (0,0035 + εyd); e σsd = fyd
III) domínio 4, se x ≥ x34; neste caso, convém alterar a seção para se evitar a peça superarmada; esta alteração pode ser obtida da seguinte forma:⇒ aumentando-se h (normalmente, b é fixo pois depende da espessura da
parede onde a viga é embutida);⇒ adotando-se armadura dupla.
Obs.: o aumento da resistência do concreto (fck), também permitiria fugir do domínio 4.
Para a situação adequada de peça subarmada tem-se, σsd = fyd . Assim, a equação (3) nosfornece
AMd x
Mf d xs
d
sd
d
yd
=−
=−σ ( , ) ( , )0 4 0 4
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Caso de verificação
Algumas vezes, procura-se o momento resistente da seção inteiramente definida. Nas duasequações de equílíbrio, as variáveis desconhecidas são: x, Mud e σsd. Contudo, esta última éconhecida ou é função de x; de fato, nos domínios 2 e 3 tem-se σsd = fyd e, no domínio 4, elaé dada pela expressão:
σ εsd s sd sE E d xx
= = ⋅−
⋅0 0035, .
Dessa forma, tem-se duas equações a duas incógnitas e, portanto, o Mud procurado.
Não se sabe, a priori, qual o domínio de deformação correspondente ao ELUlt. Assim, asolução pode ser obtida por tentativas:
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Caso de verificação
admite-se, por exemplo, que o ELUlt. corresponda ao domínio 2 ou 3 (armadura emescoamento); da equação de equilíbrio de força tem-se
0,68 b x fcd = As σsd = As fyd
e, portanto
x = (As fyd) / (0,68 b fcd)
que permitirá verificar a validade da hipótese inicialmente admitida. Caso positivo, é sódeterminar o momento resistente
Mud = 0,68 b x fcd (d - 0,4 x)
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Caso de verificação
Se a hipótese inicial não for válida, isto é, se o ELUlt. corresponder ao domínio 4, a tensãona armadura será função de x e o seu novo valor pode ser obtido da equação de equilíbrio(reescrita):
0 68 0 0035, ,⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅−
⋅b x f A A E d xxcd s sd s sσ .
e o momento procurado é obtido, substituindo esse valor de x na expressão já vista
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A p l i c a ç ã o à s v i g a s u s u a i s d e e d i f í c i o s
bw
bw
b2
bf
bf
L1hf =
b1
l
V1
V2
M’M As
bf
b1 bw
hf0,8x
εu
0,85fcd0,85fcd
Mud
Seção T
bh h para laje em balanco
ab
f f
1
2
8 610
2≤
( )/
/
aem viga isostatica
em vao extremo de viga continuaem vao erno de viga continua
=
0 750 6
,, int
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Seção T
bf
bw
Rsd
d
hf
Mud
1 12
x 0,8x
0,85fcd Rcfd
Rcwd
εu
As
Rcfd = 0,85 fcd (bf - bw) hf
Rcwd = 0,85 fcd bw (0,8 x)
Mcwd = Md - Rcfd (d - hf / 2)
Rsd = As fyd = Rcfd + Rcwd
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s e ç ã o r e t a n g u l a r c o m a r m a d u r a d u p l a
hd
d’
A’s
As
b
xε’s
εc
0,4xd’
RcdR’sd
Rsd
Md
Equilíbrio de força: Rsd = Rcd + R’sd
As σsd = 0,68 b x fcd + A’sd σ’sd (a)
Equilíbrio de momento:Md = Rcd (d - 0,4 x) + R’sd (d - d’)Md = 0,68 b x fcd (d - 0,4 x) + A’sd σ’sd (d - d’) (b)
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Tem-se duas equacões, (a) e (b) e três incógnitas: x, As e A’s (pois, as tensões nasarmaduras dependem de x). Costuma-se adotar um valor de x (naturalmente, menor ouigual a x34), por exemplo, x = d/2. Dessa forma, podem ser determinadas as armaduras As eA’s como se indica a seguir. As equações (a) e (b) sugerem a decomposição mostrada nafigura seguinte.
x
εc
0,4x d’
Rcd
R’sd
Rsd1
Mwd
d
b
d
d’
A’s
As2
Rsd2
xε’s
∆Md
εc
As1
d-0,4xd-d’
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x
εc
0,4x d’
Rcd
R’sd
Rsd1
Mwd
d
b
d
d’
A’s
As2
Rsd2
xε’s
∆Md
εc
As1
d-0,4xd-d’
Conforme se indica na figura acima, pode ser determinada a primeira parcela do momentoresistente, designada por Mwd:
Mwd = 0,68 b x fcd (d - 0,4 x)e
Rsd1 = Mwd / (d - 0,4 x).
Como σsd = fyd (peça subarmada), tem-se
As1 = Rsd1 / fyd.
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x
εc
0,4x d’
RcdR’sd
Rsd1
Mwd
d
b
d
d’
A’s
As2
Rsd2
xε’s
∆Md
εc
As1
d-0,4xd-d’
Assim, fica conhecida a parcela restante do momento resistente∆Md = Md - Mwd.
Também,∆Md = R’sd (d - d’) = A’sd σ’sd (d - d’)
e∆Md = Rsd2 (d - d’) = As2 σsd (d - d’)
que permitem determinar as áreas restantes de armadura, As2 e A’s.
De fato,R’sd = Rsd2 = ∆Md / (d - d’)
eAs2 = Rsd2 / fyd
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x
εc
0,4x d’
RcdR’sd
Rsd1
Mwd
d
b
d
d’
A’s
As2
Rsd2
xε’s
∆Md
εc
As1
d-0,4xd-d’
O cálculo de A’s, requer a determinação da tensão σ’sd. Com x = x, tem-se, no domínio 3εc = 0,0035 e, no domínio 2:
εc = 0,010 x / (d - x) (por semelhança de triângulos).Logo
ε’s = εc (x - d’) / xque permite obter σ’sd (no diagrama σ x ε da armadura).
FinalmenteA’s = R’sd / σ’sd e As = As1 + As2
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Classe de agressividade
Micro-clima
Macro-clima Ambientes internos Ambientes externos e obras em geral
Seco1)
UR ≤ 65%Úmido ou ciclos2) de
molhagem e secagemSeco3)
UR ≤ 65%Úmido ou ciclos4) de
molhagem e secagem
Rural I I I II
Urbana I II I II
Marinha II III ----- III
Industrial II III II III
Especial 5) II III ou IV III III ou IV
Respingos de maré ----- ----- ----- IV
Submersa ≥ 3m ----- ----- ----- I
Solo ----- ----- não agressivo I
úmido e agressivo II, III ou IV
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Cobrimento
Tipo de estrutura Componente ou elemento
Classe de agressividade ambiental (tabela 1)
I II III IV3)
Cobrimento nominalmm
Concreto armado Laje2) 20 25 35 45
Viga/Pilar 25 30 40 50
Concreto protendido1)
Todos 30 35 45 55
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Armadura mínima de flexão
Forma da seção
Valores de ρmin*%
fck 20 25 30 35 40 45 50
ωmín
Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288
T (mesa
comprimida)
0,024 0,150 0,150 0,150 0,150 0,158 0,177 0,197
T (mesa
tracionada)
0,031 0,150 0,150 0,153 0,178 0,204 0.229 0,255
Circular 0,070 0,230 0,288 0,345 0,403 0,460 0,518 0,575