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Escola Politécnica da Universidade de São PauloDepartamento de Engenharia de Estruturas e Fundações
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ES013Exemplo de um Projeto Completo de um
Edifício de Concreto Armado
Prof. Túlio Nogueira BittencourtProf. Ricardo Leopoldo e Silva França
Eng. Rui Nobhiro OyamadaEng. Luís Fernando Kaefer
Aula 4Lajes
ES0ES01313ExemploExemplo de umde um Projeto CompletoProjeto Completo de umde um
EdifEdifííciocio dede Concreto ArmadoConcreto Armado
Prof. Túlio Nogueira BittencourtProf. Túlio Nogueira BittencourtProf. Ricardo Leopoldo e Silva FrançaProf. Ricardo Leopoldo e Silva França
EngEng.. Rui Nobhiro OyamadaRui Nobhiro OyamadaEngEng. . LuísLuís FernandoFernando KaeferKaefer
Aula 4Lajes
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Programa daPrograma da AulaAula
� Introdução� Classificação das Lajes� Ações a serem Consideradas� Pré-dimensionamento das Lajes� Vãos Teóricos� Determinação das Condições de Apoio das Lajes� Cálculo das Solicitações (Cálculo Elástico)� Dimensionamento à Flexão� Cálculo das Reações de Apoio
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Programa daPrograma da AulaAula
� Verificação da Flecha (ELS)� Cisalhamento em Lajes (ELU)� Detalhamento
A apresentação da teoria e sua aplicação ao edifício exemplo serão feitas em paralelo.
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IntroduçãoIntrodução
� Definição� É um elemento de superfície (plano S, espessura h)� Cargas normais ao plano médio� Comportamento:
• Primário: Placa• Secundário: Chapa
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IntroduçãoIntrodução
� Comportamento de chapa das lajes
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IntroduçãoIntrodução
� Hipóteses Simplificadoras:� Manutenção da seção plana após a deformação, em
faixas suficientemente estreitas;� Representação dos elementos por seu plano médio;� Apoios irrecalcáveis (vigas);� Interação com as vigas pode ser desprezada (rigidez à
torção das vigas é muito pequena);
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ClassificaçãoClassificação
� Armadas em 1 Direção � Armadas em Cruz
2x
y ≤�
�
flecha a
C
lx
D
C
ly ≤ 2 lx
D
curvatura e momento fletor são proporcionaiscurvaturacurvatura ee momento fletor são proporcionaismomento fletor são proporcionais
2x
y >�
�
V2
V1P1 P2
P3 P4
lx B B
A
A
ly
flecha a
TabelasTabelas dede CzernyCzerny (TE)(TE)((VigaViga dede Largura UnitáriaLargura Unitária))
ExemploExemplo
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AçõesAções aa serem Consideradasserem Consideradas
� As principais cargas a se considerar são:� Peso próprio da laje;� Peso de eventual enchimento;� Revestimento;� Paredes sobre lajes;� Carregamento acidental.
� Lajes armadas em 2 direções � transformamos todas ascargas em uma carga distribuída
� Lajes armadas em 1 � direção faixas (Aula 2)
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AçõesAções aa serem Consideradasserem Consideradas
Peso PróprioRevestimento
TotalParedes sobre
LajeCargas
PermanentesCargas
Acidentais TotalLaje h(cm) (kN/m²) (kN/m²) (kN/m²) (kN/m²) (kN/m²) (kN/m²)
L1=L4=L8=L11 10 2,5 1,12 1,77 5,39 1,5 6,89L2=L3=L9=L10 10 2,5 1,12 2,07 5,69 1,5 7,19
L5=L6 7 1,75 1,12 2,18 5,05 1,5 6,55L7 10 2,5 1,12 1,07 4,69 3 7,69
((valores característicosvalores característicos))
ExemploExemplo
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Vãos TeóricosVãos Teóricos
� Para vigas de edifícios:
vãos teóricos das lajes = distância entre eixos de vigas
� Por convenção:
ExemploExemplo
==
maiorvãomenorvão
y
x
�
�
L1L1L2L2
L5L5L7L7
555
432
273
275
460
565365
350
66
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Determinação das CondiçõesDeterminação das Condições dede ApoioApoio
� Bordo livre
� Bordo apoiado
� Bordo engastado
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Determinação das CondiçõesDeterminação das Condições dede ApoioApoio
� Lajes Isoladas� Para lajes isoladas, admite-se que se utilize:
• Bordo engastado, quando tivermos vigas de apoio com grande rigidez;
• Bordo apoiado, quando tivermos vigas de apoio com rigidez normal;
• Bordo livre, quando não existirem vigas de apoio.
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Determinação das CondiçõesDeterminação das Condições dede ApoioApoio
� Painéis de Lajes
� Situação Normal
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Determinação das CondiçõesDeterminação das Condições dede ApoioApoio
� Casos Particulares
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Determinação das CondiçõesDeterminação das Condições dede ApoioApoio
→<
→≥
maiormenor
maiormenor
32
32
��
��
Após o cálculo das lajes de maneira isolada deve Após o cálculo das lajes de maneira isolada deve ser feita a compatibilização dos esforços de engastamento. ser feita a compatibilização dos esforços de engastamento.
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Determinação das CondiçõesDeterminação das Condições dede ApoioApoio
ExemploExemplo
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Cálculo das SolicitaçõesCálculo das Solicitações ((Cálculo ElásticoCálculo Elástico))
� Para o cálculo dos esforços atuantes nas lajes, admitimos as seguintes hipóteses:
� Separação virtual entre lajes e vigas, permitindo seu cálculo separadamente;
� Consideração das vigas como sendo apoiosindeslocáveis;
� Consideração das reações das lajes sobre as vigas, uniformemente distribuída.
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Cálculo das SolicitaçõesCálculo das Solicitações ((Cálculo ElásticoCálculo Elástico))
� Lajes Armadas em 1 Direção� Lajes Isoladas
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Cálculo das SolicitaçõesCálculo das Solicitações ((Cálculo ElásticoCálculo Elástico))
� Lajes Armadas em 1 Direção� Lajes Contínuas
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Cálculo das SolicitaçõesCálculo das Solicitações ((Cálculo ElásticoCálculo Elástico))
� Lajes Armadas em 2 Direções
mmxx = momento= momento fletorfletor por unidade de largura com plano de atuapor unidade de largura com plano de atuaçãção paralelo ao paralelo a llxx;;mmyy = momento= momento fletorfletor por unidade de largura com plano de atuapor unidade de largura com plano de atuaçãção paralelo ao paralelo a llyy..
B
A
C
α
lx ≤ ly
ly A
B
C
α
lx
ly
ao
ao ao
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Cálculo das SolicitaçõesCálculo das Solicitações ((Cálculo ElásticoCálculo Elástico))
� Procedimento:• Cálculo das lajes isoladas
TABELA 2 - TIPO 2ALaje com 3 bordas livremente apoiadas e
uma borda menor engastada (carga uniforme)
mp
xx
x
=�
2
α
m p
yx
y
=�
2
α
′ = −mp
yx
y
�2
β
wp
Ehmaxx=
�4
32α
ν = 0 2,
Beton-Kalender (1976)
� �y x/ α x α y βx βyα 2
1,00 32,4 26,5 11,9 31,21,05 29,2 25,0 11,3 27,61,10 26,1 24,4 10,9 24,71,15 23,7 23,9 10,4 22,31,20 22,0 23,8 10,1 20,31,25 20,2 23,6 9,8 18,71,30 19,0 23,7 9,6 17,31,35 17,8 23,7 9,3 16,11,40 16,8 23,8 9,2 15,11,45 15,8 23,9 9,0 14,21,50 15,1 24,0 8,9 13,51,55 14,3 24,0 8,8 12,81,60 13,8 24,0 8,7 12,21,65 13,2 24,0 8,6 11,71,70 12,8 24,0 8,5 11,21,75 12,3 24,0 8,45 10,81,80 12,0 24,0 8,4 10,51,85 11,5 24,0 8,35 10,11,90 11,3 24,0 8,3 9,91,95 10,9 24,0 8,25 9,62,00 10,8 24,0 8,2 9,4>2 8,0 24,0 8,0 6,7
m x my �y
�x
m’y
x
2x
xpmα
= �
y
2x
ypmα
= �
x
2x
bxpmβ
= �
y
2x
bypmβ
= �
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Cálculo das SolicitaçõesCálculo das Solicitações ((Cálculo ElásticoCálculo Elástico))
� Lajes adjacentes
⋅⋅
+
≥
2b
1b
2b1b
12b
m8,0m8,02
mm
m
( )12bbiifinal,i12bbi mm5,0mmmmse −+=→<
ExemploExemplo
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Cálculo das SolicitaçõesCálculo das Solicitações ((Cálculo ElásticoCálculo Elástico))TABELA 2 - T IPO 2A
Laje com 3 bordas livremente apoiadas e uma borda menor engastada
(carga uniforme)
mp
xx
x
=�
2
α
m p
yx
y
= �2
α
′ = −mp
yx
y
�2
β
wp
Ehmaxx=
�4
32α
ν = 0 2,
Beton-Kalender (1976)
� �y x/ α x α y
β x βy
α 2
1,00 32,4 26,5 11,9 31,2 1,05 29,2 25,0 11,3 27,6 1,10 26,1 24,4 10,9 24,7 1,15 23,7 23,9 10,4 22,3 1,20 22,0 23,8 10,1 20,3 1,25 20,2 23,6 9,8 18,7 1,30 19,0 23,7 9,6 17,3 1,35 17,8 23,7 9,3 16,1 1,40 16,8 23,8 9,2 15,1 1,45 15,8 23,9 9,0 14,2 1,50 15,1 24,0 8,9 13,5 1,55 14,3 24,0 8,8 12,8 1,60 13,8 24,0 8,7 12,2 1,65 13,2 24,0 8,6 11,7 1,70 12,8 24,0 8,5 11,2 1,75 12,3 24,0 8,45 10,8 1,80 12,0 24,0 8,4 10,5 1,85 11,5 24,0 8,35 10,1 1,90 11,3 24,0 8,3 9,9 1,95 10,9 24,0 8,25 9,6 2,00 10,8 24,0 8,2 9,4 >2 8,0 24,0 8,0 6,7
m x
my
� y
�x
m’y
T ABELA 4 - TIPO 3Laje com 2 bordas adjacentes engastadas e
as outras duas livremente apoiadas (carga uniforme)
m
px
x
x
=�
2
α
m p
yx
y
= �2
α
′ = −m px
x
x
�2
β
′ = −mp
yx
y
�2
β
w pEhmax
x= �4
32α
ν = 0 2,
Beton-Kalender (1976)
� �y x/ α xα y βx βy
α 2
1,00 34,5 34,5 14,3 14,3 41,31,05 32,1 33,7 13,3 13,8 37,11,10 30,1 33,9 12,7 13,6 34,51,15 28,0 33,9 12,0 13,3 31,71,20 26,4 34,0 11,5 13,1 29,91,25 24,9 34,4 11,1 12,9 28,21,30 23,8 35,0 10,7 12,8 26,81,35 23,0 36,6 10,3 12,7 25,51,40 22,2 37,8 10,0 12,6 24,51,45 21,4 39,1 9,8 12,5 23,51,50 20,7 40,2 9,6 12,4 22,71,55 20,2 40,2 9,4 12,3 22,11,60 19,7 40,2 9,2 12,3 21,51,65 19,2 40,2 9,1 12,2 21,01,70 18,8 40,2 8,9 12,2 20,51,75 18,4 40,2 8,8 12,2 20,11,80 18,1 40,2 8,7 12,2 19,71,85 17,8 40,2 8,6 12,2 19,41,90 17,5 40,2 8,5 12,2 19,01,95 17,2 40,2 8,4 12,2 18,82,00 17,1 40,2 8,4 12,2 18,5>2 14,2 40,2 8,0 12,0 16,7
mx
my
y
x
m’x
m’y
TABELA 8 - TIPO 5BLaje com 2 bordas maiores engastadas, uma borda menor engastada e
outra livremente apoiada (carga uniforme)
m
px
x
x
=�
2
α
m py
x
y
=�
2
α
′ = −mp
xx
x
�2
β
′ = −m py
x
y
�2
β
w
pEhmax
x= �4
32α
ν = 0 2,
Beton-Kalender (1976)
� �y x/ α x α y βx βyα 2
1,00 38,1 44,6 16,2 18,3 55,41,05 35,5 44,8 15,3 17,9 51,61,10 33,7 45,7 14,8 17,7 48,71,15 32,0 47,1 14,2 17,6 46,11,20 30,7 47,6 13,9 17,5 44,11,25 29,5 47,7 13,5 17,5 42,51,30 28,4 47,7 13,2 17,5 41,21,35 27,6 47,9 12,9 17,5 39,91,40 26,8 48,1 12,7 17,5 38,91,45 26,2 48,3 12,6 17,5 38,01,50 25,7 48,7 12,5 17,5 37,21,55 25,2 49,0 12,4 17,5 36,51,60 24,8 49,4 12,3 17,5 36,01,65 24,5 49,8 12,2 17,5 35,41,70 24,2 50,2 12,2 17,5 35,01,75 24,0 50,7 12,1 17,5 34,61,80 24,0 51,3 12,1 17,5 34,41,85 24,0 52,0 12,0 17,5 34,21,90 24,0 52,6 12,0 17,5 33,91,95 24,0 53,4 12,0 17,5 33,82,00 24,0 54,1 12,0 17,5 33,7>2 24,0 54,0 12,0 17,5 32,0
mx
my
m’x m’x
m’y
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DimensionamentoDimensionamento àà FlexãoFlexão
O dimensionamento é feito para uma seção retangular de largura unitária (normalmente, b = 1 m = 100 cm) e altura igual àespessura total da laje, h.
φy φx c
h dy
dx
dydx
100 cm
Asy
Asx
Altura ÚtilAltura Útil
ExemploExemplo
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DimensionamentoDimensionamento àà FlexãoFlexão
md = γf mk = 1,4 mk
100 cm
h d 0,8x
md
0,85fcd
Rcd
Rsd
−−=
cd2
d
fbd425,0m
11d25,1x (x<x34)
)x4,0d(fm
Ayd
ds −
= ExemploExemplo
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DimensionamentoDimensionamento àà FlexãoFlexão
md = γf mk = 1,4 mk
100 cm
h d 0,8x
md
0,85fcd
Rcd
Rsd
−−=
cd2
d
fbd425,0m
11d25,1x (x<x34)
)x4,0d(fm
Ayd
ds −
= ExemploExemplo
1414
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Cálculo das ReaçõesCálculo das Reações dede ApoioApoio
� Charneiras Plásticas
� Método aproximado:� 45o entre dois apoios de mesmo tipo;� 60o a partir do apoio considerado engastado, se
o outro for considerado simplesmente apoiado;� 90o a partir do apoio, quando a borda vizinha
for livre (NBR6118).
� sempre a 45o (Prof. Lauro)
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Verificação da FlechaVerificação da Flecha (ELS)(ELS)
� Desta forma, as expressões para o cálculo das flechas (elásticas ⇔ Estádio I) são:� Para as lajes armadas em uma direção: as mesmas
equações para o cálculo de deformações elásticas na viga de largura unitária;
� Para as lajes armadas em cruz: valores tabelados nas tabelas de Czerny .
ckcs f560085,0E ⋅=
23
cs
4x
hEpa
α= �
1515
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Verificação da FlechaVerificação da Flecha (ELS)(ELS)
� As flechas devem ser verificadas para ações decurta e longa duração:
Curta duração:
→≤
balançospara250
500ax
x
1�
�
Longa duração:
→≤
balançospara150
300ax
x
2�
�
q7,0g4,2p* +=
q7,0p* =
ExemploExemplo
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CisalhamentoCisalhamento emem LajesLajes
� Verificação do concreto:
� Verificação da dispensa da armadura transversal
wuwd τ≤τbd
vbdv kfd
wd⋅γ==τ
MPa5,4f25,0 cdwu ≤⋅β=τ com β = 0,5
1wuwd τ≤τ ck41wu fψ=τ4
14 60,0 ρ=ψ
(considerando lajes e peças lineares com bw > 5h, sem toda a armadura transversal inclinada a 45o)
para cm15h ≤(em MPa)
Onde Onde ρρ11 éé a taxa de armadura longitudinal a 2h do apoio.a taxa de armadura longitudinal a 2h do apoio.
ExemploExemplo
1616
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DetalhamentoDetalhamento� Escolha da bitola e espaçamento
10h
)(mm3,6mm4
≤φ
−
bhde%15,0A mín,s =
para lajes armadas em 2 direções Armadura Positiva:
=bhde%15,0bhde%10,0
A mín,s para lajes armadas em 1 direção
Armadura NegativaTaxas MínimasTaxas Mínimas dede ArmaduraArmadura
O valor mínimo da armadura principal positiva em lajes armadas numa só direção é:As,mín = 0,9 cm2/m, para não chocar com a exigência d). Seria estranho que a armadura“principal” fosse menor que a de distribuição.
A armadura negativa mínima é 1,5 cm2/m (item 6.3.1.2 da NB-1/78), a menos quehajam estribos com ramos horizontais prolongados nas mesas das vigas T.
Escolha da BitolaEscolha da Bitola ��
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DetalhamentoDetalhamento
Espaçamento entreEspaçamento entre asas barrasbarras
22 direçõesdireções: s : s ≤≤ 20cm20cm11 direçãodireção: s : s ≤≤ 20cm, 2h20cm, 2h
s s ≥≥ 8cm (8cm (concretagemconcretagem
ArmaduraArmadura dede distribuiçãodistribuição
≥≥ 20% da 20% da áárea da armadura principal (1rea da armadura principal (1 diredireçãçãoo););≥≥ 0,9 cm0,9 cm22/m;/m;s s ≤≤ 33cm; e33cm; edeve respeitar as taxas de armadura mdeve respeitar as taxas de armadura míínimanima
1717
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DetalhamentoDetalhamento
ExemploExemplo Bitolas comerciais
φ = diâmetro nominal da barra em mm As1 = área da seção transversal de uma barra em cm2 m1 = massa de uma barra por metro linear em kg/m
φ(mm) As1(cm2) m1(kg/m) 4 0,125 0,1 5 0,2 0,16
6,3 0,315 0,25 8 0,5 0,4 10 0,8 0,63
12,5 1,25 1,0
100 cm
h
s s
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DetalhamentoDetalhamentoEspaç. Bitola
cm 3,2 4 5 6,3 8 10 12,5 16 7 1,14 1,79 2,86 4,50 7,14 11,43 17,86 28,57 8 1,00 1,56 2,50 3,94 6,25 10,00 15,63 25,00 9 0,89 1,39 2,22 3,50 5,56 8,89 13,89 22,22
10 0,80 1,25 2,00 3,15 5,00 8,00 12,50 20,00 11 0,73 1,14 1,82 2,86 4,55 7,27 11,36 18,18 12 0,67 1,04 1,67 2,63 4,17 6,67 10,42 16,67 13 0,62 0,96 1,54 2,42 3,85 6,15 9,62 15,38 14 0,57 0,89 1,43 2,25 3,57 5,71 8,93 14,29 15 0,53 0,83 1,33 2,10 3,33 5,33 8,33 13,33 16 0,50 0,78 1,25 1,97 3,13 5,00 7,81 12,50 17 0,47 0,74 1,18 1,85 2,94 4,71 7,35 11,76 18 0,44 0,69 1,11 1,75 2,78 4,44 6,94 11,11 19 0,42 0,66 1,05 1,66 2,63 4,21 6,58 10,53 20 0,40 0,63 1,00 1,58 2,50 4,00 6,25 10,00
1818
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DetalhamentoDetalhamento
� Determinação do comprimento das barras:� Armadura Positiva
É estendida, a favor da segurança até os apoios, penetrando no mínimo 10φou 6cm no apoio. Para garantir o comportamento de chapa, deve ser ancorada nas vigas.
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DetalhamentoDetalhamento
� Determinação do comprimento das barras:� Armadura Negativa
Deve cobrir o diagrama de momento fletornegativo. Em geral, utiliza-se uma extensão �x/4 para cada lado do apoio (para vãos diferentes,adota-se �x = �>vão).
Para as lajes em balanço, é usual prolongar a armadura do balanço, sobre a laje adjacente, com extensãode �balanço.
1919
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DetalhamentoDetalhamento
� Barras alternadas ExemploExemplo
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V9(19-12/55)P13(19/65) V1
5(12
/55)
L5h=7cm
V7(12/55)
P14(20/160)
L9
V11(12/55)
L7h=10cm
V4(19-12/55)
V14(
19/5
5)
(19/65)P7
(19/65)P1
V1(19/55)
h=10cm
(20/285)P8
L1
(110/19)P2
(20/140)h=10cmL2 P9
V5(12/55) V18(
10/4
0)
V3(12/55)
(20/40)P3
P15(20/160)
V8(12/55)
(20/140)P10
P4(20/40)
30 N1 - 0 8,0 c/ 18 - c= 569
30 N
1 - 0
8,0
c/ 1
8 - c
= 56
9
2020
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V4(19-12/55)
V9(19-12/55)
P7
P13(19/65)
(19/65)
V14(
19/5
5)
P1(19/65) V1(19/55)
V18
(10/
40)
V15
(12/
55) h=7cm
L5V7(12/55)
P8(20/285)
(20/160)P14
L9
V11(12/55)
h=10cmL7
V5(12/55)
L1h=10cm
P2(110/19)
(20/140)h=10cmL2 P9 V3(12/55)
P3(20/40)
(20/160)P15
(20/140)P10
P4(20/40)
108
108
115115
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DetalhamentoDetalhamento
� Tabela de Ferros
� Tabela Resumo
Comprimento (m) No. φ (mm) Quant. Unitário Total
... ... ... ... ...
φ (mm) C. Total (m)
Peso (kg)
... ... ...
2121
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PlantaPlanta dede FormasFormas
P17 P18
P13
P7P8
P1 P2
P19 P20
P9 P10
P14 P15
P3 P4V1(19/55) V2
V3(12/55)
V6(12/55)
V4(19-12/55)
V7(12/55) V8(12/55
V9(19-12/55)
V11(12/55)
V12(19/55)
V15(
19/5
5)V1
6(19
/55)
V17
(12/
55)
V18(
12/5
5)
V19
(12/
55)
V20
(10/
40)
V21(
12/5
5)
(19/65) (110/19) (20/40) (20/40)
(20/140)(20/140)
(20/160) (20/160)
(20/90) (20/90)(110/19)(19/65)
(19/65)
(19/65)
(20/285)
L1h=10cm
L2h=10cm
L5h=7cm L7
h=10cm
L8h=10cm
L9h=10cm
LE
432
555
275
273
460
565
365
206
144
161 350
204
VE(19/55) V