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1
Escola Secundária com 3º CEB de Lousada
Ficha de Trabalho de Matemática do 8º Ano – N.º27
Assunto: Correcção da Ficha de Preparação para o Teste Intermédio (Parte 2)
Abril 2011
1. (C) Um terno pitagórico é um terno de números naturais que verificam o Teorema de Pitágoras.
NOTA: A hipotenusa (h) tem de ser o maior lado.
⇔
⇔
⇔
2. (C) Em polígonos semelhantes, a razão entre os perímetros é igual à razão de semelhança (r).
3. → 3ª hipótese
4. Baricentro → 2ª hipótese
5. Em polígonos semelhantes, a razão entre as áreas é igual à razão de semelhança ao quadrado.
2
Logo e
É a 3ª hipótese: “A razão entre os perímetros dos triângulos A e B é .”
6.
No m.d.c escolhem-se apenas os
factores comuns e de menor expoente.
R: 3ªopção (4)
7. 4ª opção: nenhuma das anteriores
Um terno pitagórico obtém-se do terno original (3 , 4 , 5) multiplicando por um número natural. A 2ª opção é o
produto desse terno por ½ mas não é um número natural (apesar de verificarem o teorema de Pitágoras).
8. São triângulos rectângulos, logo podemos usar o Teorema de Pitágoras para determinar os seus lados.
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔ cm
9. m.m.c. (10, 25) =
No m.m.c escolhem-se os factores
comuns e não comuns de maior expoente.
12 2 16 2
6 2 8 2
3 3 4 2
1 2 2
1
10 2 25 5
5 5 5 5
1 1
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔ cm
3
10. Critério AA: Os triângulos são semelhantes porque têm de um para o outro dois ângulos geometricamente
iguais:
• 90° que fazem com o solo (a árvore e o bastão).
• Ângulos de incidência do sol.
Como os triângulos são semelhantes, então os comprimentos dos lados correspondentes são directamente
proporcionais:
⇔ cm (1 c.d.)
R: O pinheiro tem aproximadamente 6,2 m de altura.
11.
11.1 Os triângulos são semelhantes porque têm três lados correspondentes directamente proporcionais
(critério LLL)
A razão de semelhança é 2.
11.2 ⇔ ⇔
R: A área do triângulo B é 21,2 m2.
12. Dois processos possíveis:
1ª Processo:
4
A3
A2
A1
ou
A1
A3
A2
Com outros valores.
2º Processo:
13.
14.
14.1. São funções a f e a h porque cada elemento do conjunto A corresponde a um e um só elemento do
conjunto B.
14.2. Df = {Manuel, João , Pedro} D’f = {12 , 13 , 14} Conjunto de chegada = {12 , 13 , 14}
Dh = {Porto, Lisboa, Braga} D’f = {20 , 25} Conjunto de chegada = {17 , 20 , 25}
15. a) O João percorreu 360 km.
b) Esteve 1 hora parado (das 12 às 13 horas).
c) Depois de almoço percorreu 210 km (360 – 150).
d) Chegou a Lisboa às 15 horas.
Atrap.2
Atrap.1
A∆2
A∆1
5
e) A correspondência é uma função porque cada valor da variável independente corresponde a um e um só
valor da variável dependente.
f) A variável independente é “horas” e a dependente é “distância” (km).
g) O objecto cuja imagem por f é 360 é 15.
16.
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
17. O terno 10, 12 e 14 forma os lados de um triângulo rectângulo se verificar o Teorema de Pitágoras.
⇔
⇔
⇔ → Igualdade Falsa
Logo, este terno não forma um triângulo rectângulo.
18.
18.1.
O raio é determinado com recurso ao teorema de Pitágoras.
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
D = 35 + 40 = 75 cm
d = 30 ×2 = 60 cm
6
⇔
18.2.
19. 19.1. f(n) = n2 – 1 → f(5) = 52 – 1 = 24 f(6) = 62 – 1 = 36 – 1 = 35
f(n) = 2n2 → f(5) = 2 × 52 = 2 × 25 = 50 f(6) = 2 × 62 = 2 × 36 = 72
f(n) = n – 2 → f(5) = 5 – 2 = 3 f(6) = 6 – 2 = 4
f(n) = → f(5) = f(6) =
19.2. f(n) = 80
⇔ n2 – 1 = 80
⇔ n2 = 80 + 1
⇔ n2 = 81
⇔ n =
⇔ n = 9 R: É o 9º termo.
20. 20.1. Lei de formação: Adicionar 3 ao termo anterior.
20.2. 1º 2º 3º
4 7 10 ….. Termo geral: f(n) = 3n + 1
20.3. f(40) = 3 × 40 + 1 = 121 fósforos
20.4. f(n) = 100 ⇔ 3n + 1 = 100 ⇔ 3n = 100 – 1 ⇔ n = ⇔ n = 33 quadrados
21. 9 = 3 × 3=32 2=2 6 = 2 × 3
m.m.c.( 2 , 6 , 9 ) = 32 × 2 = 18
R: Voltarão a encontrar-se todos passados 18 dias, numa quarta-feira.
+3
+3
7
22.
m.d.c. ( 360 , 504) = 23 × 32= 72
bolinhos de bacalhau
rissóis
360 = 23 × 32 × 5 504= 23 × 32× 7
R: O António pode fazer 72 pratinhos, levando cada um deles 5 bolinhos de bacalhau e 7 rissóis.
23. O produto de dois números é igual ao produto dos seus mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum.
a × b = M × D → M = m.m.c (a , b) e D = m.d.c. (a , b)
⇔ ⇔ → m.d.c. (10 , 18) = 2
24.
24.1.
24.2.
24.3.
24.4
24.5
24.6
24.7
24.8
360 2 504 2
180 2 252 2
90 2 126 2
45 3 63 3
15 3 21 3
5 5 7 7
1 1
8
25.
25.1.
25.2.
25.3.
25.4.
25.5.
25.6.
26. 26.1. 26.1.1. As funções g e i.
26.1.2. A função f.
26.1.3. As funções f , g , h e i (são todas funções afins porque são rectas)
26.2. A ordenada na origem de h(x) é -4. (valor onde intersecta o eixo dos yy)
26.3. Um ponto de g(x) é por exemplo (1 , 3) logo
Um ponto de i(x) é por exemplo (1 , -1) logo
26.4. g(x) = 3x h(x) = 3x – 4 (como estas duas rectas são paralelas, têm o mesmo declive.
Logo K é o mesmo)
i(x)= - x f(x) = 2
CONTEÚDOS DO 7º ANO
27. (B) 2 é par e é primo.
9
28.
28.1. 2 e 17 28.2. 2 , 36 e 120 28.3. 1 , 2 e 120 28.4. 36 , 45 e 120
28.5. 1 e 36 28.6. 1 28.7. 120
29.
29.1. Verdadeira. 2 é par e é primo.
29.2. Falsa
29.3. Verdadeira
29.4. Falsa porque
29.5. Falsa 9 . Se o resultado fosse 3, ficaria
30.
30.1.
Existe proporcionalidade directa entre o preço da assinatura e o tempo da sua duração porque o
quociente entre as grandezas correspondentes é constante.
30.2. A constante de proporcionalidade directa é 3 e representa o custo mensal da assinatura (valor unitário).
30.3.
30.4. ⇔ meses
R: Corresponde a 6 meses.
30.5. €
R: Pagaria 36€.
31.
31.1. 31.2.
31.3.
10
32. 0,54 ∈ Q -3,(6) ∉ Q+ -9 ∉ IN
∈ IN ∉ Z ∉ Q+0
14 ∈ Q ∈ Q 0 ∈ Q
33. 33.1. 31.1.1. 4 , +6
31.1.2. -2,5 ; -1/2 ; 5/2
33.2.
-5 5 x-1 3210-2,5 -2 -1/2 5/2 +4 6
33.3. +6 > 4 > 5/2 > 0 > -1/2 > -2 > -2,5
34. 100% + 21% = 121% = 1,21
150 € × 1,21 = 181,5 €
R: O Manuel pagará 181,5 € pela bicicleta.
35. 35.1. … 35.2. … 35.3. … 35.4. …. Q
35.5. … é um número natural 35.6. 35.7. …. maior…
36.
36.1.
36.2.
(×5) (×7)
36.3.
36.4.
(×2) (×7)
11
36.5.
36.6.
36.7.
36.8.
36.9.
(×2) (×1)
37. Positiva → 100% - 40% = 60% = 0,6
30 alunos × 0,6 = 18 alunos
R: 18 alunos tiraram positiva.
38. 5b – 2a → 5 × 4 – 2 × 2 = 20 – 4 = 16
39. O perímetro é o comprimento da linha que limita a figura, ou seja, os dois semi-círculos exteriores e dois
lados do quadrado exteriores.
O quadrado tem de lado 1,3 m de lado. Logo, o raio de cada semi-círculo é metade do lado do quadrado, ou
seja, 1,3 ÷ 2 = 0,65 m
Perímetro = 2 × Psemi-círculo + 2 × ladoquadrado = 2 × 2,041 + 2 × 1,3 = 6,682 m
Psemi-círculo = m
Área = Aquadrado + 2 × Asemi-círculo = Aquadrado + Acírculo = 1,69 + 1,32665 ≅ 3 m2
Aquadrado = l2 = 1,32 = 1,69 m2
Acírculo = πr2 ≅ 3,14 × 0,652 = 1, 32665 m2
÷5
÷5
12
40. Na desigualdade triangular, a soma dos dois lados menores tem de ser superior ao lado maior para ser
possível construir um triângulo.
4,2 + 2,8 = 7 e não é superior a 7. Logo não é possível construir um triângulo com estas medidas.
41. 41.1. Regra: A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º
g = 180º - (47º + 43º) = 180º - 90º = 90º
41.2. Regra: A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é 360º.
x = 360º - (115º + 94º + 110º) = 360º - 319º = 41º
42.
42.1.
42.2.
capacidade do cone = 0,423 l
Capacidade da pirâmide = 0,378 l
Logo, quem tem mais capacidade é o cone.
43. 43.1. a) b e a (por exemplo) → pertencem ao mesmo plano
b) c e j (por exemplo) → não pertencem ao mesmo plano
c) i e j (por exemplo) → que se intersectam
13
d) c e b (por exemplo) → fazem um ângulo de 90º
e) c e a → não se intersectam
43.2. Os planos α e β são concorrentes.
44. Existem 3 critérios de igualdade de triângulos: LLL; LAL e ALA
44.1. Critério ALA: dois triângulos são geometricamente iguais se têm um lado geometricamente igual e os
ângulos adjacentes a esse lado geometricamente iguais.
Têm um lado igual (5) e os ângulos adjacentes a esse lado são respectivamente iguais (30°= 30° e 50°=50°).
Logo, os triângulos são geometricamente iguais.
44.2. Critério LLL.: Dois triângulos são geometricamente os três lados de um são geometricamente iguais aos
três lados do outro.
É falso porque só têm 2 lados respectivamente iguais (8=8 e 8=8 mas 7≠9).
Logo, os triângulos não são geometricamente iguais.
44.3. Critério LAL.: Dois triângulos são geometricamente iguais se tiverem dois lados e o ângulos por eles
formado geometricamente igual.
Têm dois lados iguais (3,2 = 3,2 e 2,5 = 2,5) e o ângulo por eles formado também é igual (são ângulos
verticalmente opostos).
Logo, os triângulos são geometricamente iguais.
45.
45.1. x = 65° → são ângulos de lados paralelos
y = 180° - 65° = 115° → são ângulos de lados paralelos suplementares
45.2. x = 180° - 60° = 120° → são ângulos suplementares (o ângulo externo é suplementar
14
ao interno)
y = 180° - 85° = 95° → são ângulos suplementares (o ângulo externo é suplementar
ao interno)
z = 85° + 60° = 145° → o ângulo externo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes
45.3. → como o triângulo é equilátero, os lados são todos iguais.
A lados iguais opõem-se ângulos iguais.
x = 90° - 60° = 30° → são ângulos complementares
46.
4
2
-2
-4
y
-5 5 x
RT
V
W
U
S
47. 47.1. Não é uma equação porque não tem igualdade.
47.2. É uma equação porque é uma igualdade e tem pelo menos uma letra.
47.3. Não é uma equação porque não tem pelo menos uma letra.
47.4. É uma equação porque é uma igualdade e tem pelo menos uma letra.
47.5. Não é uma equação porque não é uma igualdade.
15
48. 48.1. 12 – 2x + 3 – 1 – x = - 3x +14 48.2. -2r + 3 – y+ 5 – r – 3y = -4y – 3r + 8
49.
→ Igualdade falsa
R: -3 não é solução da equação
50.
⇔
⇔
CS = {4}
51.
59.1 3x = -27 x = - 9 S = {-9}
59.2 2x = -10 x = - 5 S = {-5}
59.3 = -4 x = - 8 S = {-8}
59.4 -3x = 8 x = S =
52.
52.1.
⇔
⇔
⇔
⇔
S =
⇔
⇔
R: As equações são
equivalentes porque têm o
mesmo conjunto solução.
16
52.2.
⇔
⇔
⇔
⇔
S =
52.3.
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
S =
52.4.
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
S =