escola secundÁria com 3º ciclo d....

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA – A

TESTE TIPO EXAME Nº 3

Professora: Rosa Canelas 2008-2009 1

Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével azul ou preta, excepto nas respostas que

impliquem a elaboração de construções, desenhos ou outras representações, que podem ser

primeiramente elaboradas a lápis, sendo, a seguir, passadas a tinta.

Utilize a régua, o compasso, o esquadro, o transferidor e a calculadora gráfica sempre que

necessário.

Não é permitido o uso de corrector. Em caso de engano, deve riscar, de forma inequívoca, aquilo

que pretende que não seja classificado.

Escreva de forma legível a numeração dos grupos e/ou dos itens, bem como as respectivas

respostas.

Para cada item, apresente apenas uma resposta. Se escrever mais do que uma resposta a um

mesmo item, apenas é classificada a resposta apresentada em primeiro lugar.

Para responder aos itens de escolha múltipla, escreva, na folha de respostas,

• o número do item;

• a letra identificativa da alternativa correcta.

Não apresente cálculos, nem justificações.

Nos itens de resposta aberta com cotação igual ou superior a 15 pontos e que impliquem a

produção de um texto, o domínio da comunicação escrita em língua portuguesa representa cerca

de 10% da cotação.

O formulário está na página 2 e as cotações na página 7




GRUPO I • Os oito itens deste grupo são de escolha múltipla.

• Em cada um deles, são indicadas quatro alternativas de resposta, das quais só uma está

correcta.

• Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classificada com zero pontos, o

mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.

1. Sendo A e B acontecimentos quaisquer de um espaço S e P(A/B) a probabilidade de ocorrer A

sabendo que ocorreu B, podemos afirmar que P(A∩ B) é igual a:

(A) ( ) ( )P A P B+ (B) 1 (C) P(A) P(B)× (D) P(A /B) P(B)×

2. Considere as duas curvas de distribuição normal, N1 e N2.

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) N1 e N2 têm a mesma média.

(B) N1 e N2 têm o mesmo desvio padrão.

(C) O desvio padrão de N1 é maior do que o de N2.

(D) A média de N2 é maior do que a de N1.

3. Os quatro primeiros números de certa linha do Triângulo de Pascal são 1, 11, 55 e 165; então

os três últimos números da linha seguinte são:

(A) 36, 24 e 12 (B) 66, 12 e 1 (C) 220, 66 e 12 (D) 24, 12 e 1

4. Observe a figura a recta r é tangente ao gráfico da função f, no ponto ( )A 3,4 e intersecta o

eixo das abcissas no ponto de abcissa 1. O valor de

( ) ( )x 3

f x f 3lim

x 3→

−−

é:

(A) 2 (B) 43

(C) 34

(D) 1

N1 N2




5. Considere a equação ( )23y log x x 0= >

Qual das seguintes condições é equivalente a esta equação?

(A) yx 8= (B) 2x 3y= (C) xy 9= (D) 2xy

3 =

6. Seja f uma função real de variável real, que satisfaz as seguintes condições:

• ( )f a 7=

• ( ) ( )x a

f x f alim 2

x a→

−= −

−

Pode concluir-se que o ( )x alim f x→

é igual a:

(A) +∞ (B) 2− (C) 7 (D) 5

7. Considere os números complexos Az 2cis4π

= e

Bz 2 3 i= − + , que têm como representações

geométricas, no plano complexo, os pontos A e B

pertencentes a circunferências de centro no ponto O

(origem).

A área da região colorida é:

(A) 3π (B) 4π

(C) 5π (D) 21π

8. Em , conjunto dos números complexos, considere w 3cis8π = θ −

. Para qual dos valores

de θ é que z i w= é um número real negativo?

(A) 58π

(B) 138π (C)

8π (D) 9

8π

GRUPO II

Na resposta a itens deste grupo, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exacto.




1. Observe a figura onde se encontram representados os

afixos dos complexos 1z 2 2i= + e 2z 2 4i= − + e duas

circunferências centradas na imagem geométrica de

3z 2 4i= + . A recta r é a mediatriz de [ ]AB .

1.1. Verifique se a representação geométrica do

complexo ( )25i 1 4i

w1 i+

=+

pertence à zona

sombreada.

1.2. Defina, através de uma condição em , a região

sombreada.

2. Na figura estão representadas partes dos gráficos das funções f e g de domínio IR+ definidas

por: ( )f x ln x= e ( ) 1g x ln 2x

= +

. I é o ponto de intersecção dos dois gráficos

2.1. Determine as coordenadas do ponto I.

2.2. Seja 1g− a função inversa de g. Mostre que ( )1 2 xg x e− −= e caracterize a função ( )1f g−− .

2.3. Mostre que a função ( )1f g−− tem pelo menos um zero no

intervalo [1,3].

2.4. Resolva a condição ( )1 xg x e− > .

2.5. Calcule 1

x 2

g (x) 1limx 2

−

→

−−

.

3. Admita que, num certo dia de Verão, na praia de Santa Cruz, a temperatura do ar e a

temperatura do mar, às t horas desse dia, são dadas em graus Celsius (ºC) respectivamente

por: ( ) ( )t 8,3A t 20 8sen

12π −

= + e ( ) ( )t 17,6M t 10 2cos

12π −

= +

3.1. Indique em que altura do dia, horas e minutos, a temperatura do ar atingiu o valor máximo.

3.2. Determine durante quanto tempo a água do mar esteve, nesse dia, a uma temperatura

superior a 11º C.

3.3. Recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, determine o instante em que foi

máxima a diferença entre a temperatura do ar e a temperatura da água, nesse dia, na

O

I f

x

y g




praia de Santa Cruz. Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às

unidades).

Explique como procedeu. Na sua explicação deve incluir o gráfico, ou os gráficos, obtidos

na calculadora e assinalar as coordenadas de algum, ou alguns, pontos relevantes

(apresente essas coordenadas arredondadas às centésimas)

4. “Anagrama duma palavra é outra palavra com as mesmas letras por ordem diferente”.

4.1. Quantos anagramas podemos construir a partir da palavra RITA?

4.2. “Quantos são os anagramas de LISBOA que conservam a ordem das vogais (embora

possam mudar de lugar)?”

A solução para este problema pode ser dada por: 63 3C P× ou por 6

3A .

Numa curta composição explique o raciocínio que justifica cada uma das soluções.

5. Um saco contém bolas do mesmo tamanho e do mesmo material, mas de três cores diferentes

(brancas, pretas e vermelhas).

Sabe-se que:

• Existe, pelo menos, uma bola de cada cor;

• O número de bolas brancas é 5;

• O número de bolas pretas é par

• Extraindo ao acaso uma bola do saco, a probabilidade de ela ser branca é 13

Prove que, no saco, há, pelo menos, duas bolas vermelhas.

FIM




COTAÇÕES GRUPO I .................................................... (8 × 5 pontos)................................................ 40 pontos GRUPO II ........................................................................................................................ 160 pontos

1. …………………………………………………………………………………… 30 pontos

1.1. ……………………………………………………………………….15 pontos 1.2. ……………………………………………………………………….15 pontos

2. …………………………………………………………………………………… 50 pontos

2.1. ……………………………………………………………………….10 pontos 2.2. ……………………………………………………………………….10 pontos 2.3. ……………………………………………………………………….10 pontos 2.4. ……………………………………………………………………….10 pontos 2.5. ……………………………………………………………………….10 pontos

3. …………………………………………………………………………………35 pontos 3.1. ………………………………………………………………………. 5 pontos 3.2. ……………………………………………………………………….15 pontos 3.3. ……………………………………………………………………….15 pontos

4. …………………………………………………………………………………… 30 pontos 4.1. ……………………………………………………………………….10 pontos 4.2. ……………………………………………………………………….20 pontos

5. …………………………………………………………………………………… 15 pontos

TOTAL .......................................................................................................................... 200 pontos




GRUPO I

1. (D) Sendo A e B acontecimentos quaisquer de um espaço S e P(A/B) a probabilidade de

ocorrer A sabendo que ocorreu B, podemos afirmar que P(A∩B) é igual a P(A /B) P(B)× pois

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

P A BP A /B P A B P A /B P B

P B∩

= ⇔ ∩ = ×

2. (B) Consideremos as duas curvas de distribuição normal, N1 e N2

Das seguintes afirmações a que é verdadeira é " N1 e N2 têm o

mesmo desvio padrão".

3. (B) Os quatro primeiros números de certa linha do Triângulo de Pascal são 1, 11, 55 e 165;

então os três últimos números da linha seguinte são: 66, 12 e 1

1 11 55 165

1 12 66

Dado que as linhas do triângulo de Pascal são simétricas os 3 últimos números são os 3

primeiros por ordem diversa.

4. (A)Observe a figura a recta r é tangente ao gráfico da

função f, no ponto ( )A 3,4 e intersecta o eixo das

abcissas no ponto de abcissa 1.

Então ( ) ( ) ( ) rx 3

f x f 3 4lim f 3 m 2x 3 2→

−′= = = =

−

5. (A)Consideremos a equação ( )23y log x x 0= >

Vamos provar que ( ) y23y log x x 0 x 8= > ⇔ =

( ) ( )y3y 3 y23y log x x 0 x 2 x 2 x 8= > ⇔ = ⇔ = ⇔ =

6. (C) Seja f uma função real de variável real, que satisfaz as seguintes condições:

• ( )f a 7=

• ( ) ( )x a

f x f alim 2

x a→

−= −

−

N1 N2




Pode concluir-se que o ( )x alim f x 7→

= porque se uma função tem derivada finita num ponto é

continua nesse ponto o que significa que ( ) ( )x alim f x f a→

=

7. (A) Considere os números complexos Az 2cis4π

= e

Bz 2 3 i= − + , que têm como representações

geométricas, no plano complexo, os pontos A e B

pertencentes a circunferências de centro no ponto O

(origem).

Cálculo do módulo dos complexos:

Az 2= e Bz 4 3 7= + =

A área da região colorida é ( )2 27 2 3π× − π× = π

8. (A) Em , conjunto dos números complexos, considere w 3cis8π = θ −

. Determinemos os

valores de θ para os quais z i w= é um número real negativo.

Ora 3z i w 3cis 3cis8 2 8π π π = = θ − + = θ +

, z é real negativo quando 5

8π

θ = pois fica

( )z 3cis 3= π = −

GRUPO II

1. Observe a figura onde se encontram representados os

afixos dos complexos 1z 2 2i= + e 2z 2 4i= − + e duas

circunferências centradas na imagem geométrica de

3z 2 4i= + . A recta r é a mediatriz de [ ]AB .

1.1. Verifiquemos se a representação geométrica do

complexo ( )25i 1 4i

w1 i+

=+

pertence à zona

sombreada.

Calculemos ( ) ( ) ( ) ( )25i 1 4i i 1 4i 4 i 1 i 4 4i i 1 3 5w i1 i 1 i 1 1 2 2 2+ + − + − − + + +

= = = = = − ++ + +

3 5 7 3 49 9 54i 2 4i i 3,72 2 2 2 4 4 4

− + − − = − − = + =




Considerando que o ponto está na coroa circular e atendendo aos valores da parte real

e do coeficiente da parte imaginária podemos dizer que o ponto que representa w

pertence à zona sombreada

1.2. Definamos, através de uma condição em , a região sombreada.

2 z 2 4i 4 z 2 2i z 2 4i≤ − − ≤ ∧ − − ≥ + −

2. Na figura estão representadas partes dos gráficos das funções f e g de domínio IR+ definidas

por: ( )f x ln x= e ( ) 1g x ln 2x

= +

. I é o ponto de intersecção dos dois gráficos

2.1. Determinemos as coordenadas do ponto I, resolvendo a equação:

( ) ( ) 1f x g x ln x ln 2 ln x ln1 ln x 2 2ln x 2 ln x 1 x ex

= ⇔ = + ⇔ = − + ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Como ( )f e lne 1= = . As coordenadas de I são ( )e,1

2.2. Seja 1g− a função inversa de g. Mostremos que ( )1 2 xg x e− −=

y 2 y 2y 2

1 1 1 1y ln 2 y 2 ln e x x ex x x e

− − +−

= + ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Daqui concluímos ser ( )1 2 xg x e− −=

Caracterizemos a função ( )1f g−− .

( ) ( )1 2 xf g x ln x e− −− = − e 1f gD −+

− =

2.3. Mostremos que a função ( )1f g−− tem pelo menos um zero no intervalo [1,3], aplicando o

Teorema de Bolzano.

( )1f g−− é contínua em + por ser a diferença de duas funções contínuas.

( ) ( )1 1f g 1 ln1 e e−− = − = − e ( ) ( )1 2f g 3 ln3 e 0,73−− = −

Então porque ( )1f g−− é continua em [1,3] e ( ) ( ) ( ) ( )1 1f g 1 f g 3 0− −− × − < podemos concluir

de acordo com o Teorema de Bolzano que ( )1f g−− tem pelo menos uma zero em [1,3].

2.4. Resolvamos a condição ( )1 x 2 x xg x e e e 2 x x 2x 2 x 1− −> ⇔ > ⇔ − > ⇔ − > − ⇔ < .

A solução é ] [,1−∞ .

2.5. Calculemos 1

x 2

g (x) 1limx 2

−

→

−−

. Comecemos por calcular ( )1 2 2g 2 e 1− −= = então o que

O

I f

x

y g




pretendemos calcular ( ) ( )1

1

x 2

g (x) 1lim g 2x 2

−−

→

− ′=−

.

( ) ( )1 2 xg x e− −′ = − logo ( ) ( )1 0g 2 e 1− ′ = − = − e 1

x 2

g (x) 1lim 1x 2

−

→

−= −

−.

3. Admita que, num certo dia de Verão, na praia de Santa Cruz, a temperatura do ar e a

temperatura do mar, às t horas desse dia, são dadas em graus Celsius (ºC) respectivamente

por: ( ) ( )t 8,3A t 20 8sen

12π −

= + e ( ) ( )t 17,6M t 10 2cos

12π −

= +

3.1. Indiquemos em que altura do dia, horas e minutos, a temperatura do ar atingiu o valor

máximo.

A temperatura do ar é máxima às 14 horas e 18 minutos.

3.2. Determine durante quanto tempo a água do mar esteve, nesse dia, a uma temperatura

superior a 11º C.

Nesse dia a temperatura do mar foi superior a 11º C durante 8 horas. ( )21,6 13,6−

3.3. Recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, determinemos o instante em que

foi máxima a diferença entre a temperatura do ar e a temperatura da água, nesse dia, na

praia de Santa Cruz. Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às

unidades).




Depois de representar as duas funções inserimos a função diferença e calculámos o seu

máximo no intervalo [0,24]. Concluímos ser às 13 horas e 27 minutos que a diferença entre as

temperaturas foi máxima e nessa altura a diferença foi de 16,9 º C.

4. “Anagrama duma palavra é outra palavra com as mesmas letras por ordem diferente”.

4.1. O número de anagramas podemos construir a partir da palavra RITA é 4! 24=

4.2. “Quantos são os anagramas de LISBOA que conservam a ordem das vogais (embora

possam mudar de lugar)?”

A solução para este problema pode ser dada por: 63 3C P× ou por 6

3A .

Para pensarmos este problema temos de ter em conta que dispomos de 6 lugares onde

colocar 3 vogais pela ordem em que figura na palavra original e 3 consoantes dispostas

aleatoriamente. Isto significa que para as vogais não interessa a ordem e para as consoantes

interessa a ordem

A solução 63 3C P× resulta de pensarmos em primeiro escolher 3 dos 6 lugares para colocar as

vogais sem interessar a ordem (porque é fixa) e essa escolha é feita de 63C 20= maneiras e

depois podemos permutar as consoantes nos restantes 3 lugares de 3P 3! 6= = maneiras

diferentes. Assim 63 3C P× é o número de maneiras de colocarmos as 6 letras de maneira a

manter a ordem das vogais.

A solução 63A resulta de pensarmos em primeiro lugar em colocar as 3 consoante em 3 dos 6

lugares (interessando a ordem) o que pode ser feito de 63A 120= maneiras diferentes. Depois

ficam livres 3 lugares onde se colocam as 3 variáveis respeitando a ordem em que aprecem

na palavra LISBOA e isso só pode ser feito de uma maneira. Assim 63A 1 120× = é o número

de maneiras de colocarmos as 6 letras de maneira a manter a ordem das vogais.

5. Um saco contém bolas do mesmo tamanho e do mesmo material, mas de três cores diferentes

(brancas, pretas e vermelhas).

Sabe-se que:

• Existe, pelo menos, uma bola de cada cor;

• O número de bolas brancas é 5;

• O número de bolas pretas é par

• Extraindo ao acaso uma bola do saco, a probabilidade de ela ser branca é 13

Provemos que, no saco, há, pelo menos, duas bolas vermelhas.




Comecemos por admitir existir apenas uma bola vermelha e consideremos p o número de

bolas pretas. Assim se ao extrairmos uma bola do saco a probabilidade de a bola ser branca é 13

significa que 1 5 6 p 15 p 93 5 1 p= ⇔ + = ⇔ =

+ + o que é impossível por o número de bolas pretas

ter de ser par. Assim por aplicação do Método de Redução ao Absurdo provámos que não pode

haver apenas uma bola vermelha pelo que há pelo menos duas bolas vermelhas.

FIM

escola secundÁria com 3º ciclo d....

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