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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

ANÁLISIS DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

RESUMEN NO. 1: DEFINICIONES FUNDAMENTALES

Semestre 2019-A Departamento de Formación Básica

1. FUNCIONES

Dados A y B dos conjuntos, f es una función de A en B si:

• f ⊆ A × B;

• para todo x ∈ A , existe y ∈ B tal que (x, y) ∈ f ;

• si (x, y) ∈ f y (x, z) ∈ f , entonces y = z.

Si f es una función de A en B, se escribirá f : A → B. Y, en lugar de (x, y) ∈ f , escribiremos

f (x) = y , ya que dado x, y es único.

DEFINICIÓN 1: FunciónDEFINICIÓN 1: Función

En otras palabras, una función f de A en B es una relación entre los elementos de A y B de modo

que a cada elemento de A, hay un único elemento en B que le corresponde a x en esta relación. A

ese elemento y se le llama imagen de x respecto de f y se le representa por f (x).

Dada una función f : A → B, el conjunto A se llama dominio de f y se le representa por dom f

.

DEFINICIÓN 2: DominioDEFINICIÓN 2: Dominio

Dada una función f : A → B, la imagen o el recorrido de f es el conjunto

f (x) : x ∈ A,

que se lo representa por img f o rec f .

DEFINICIÓN 3: Imagen o recorridoDEFINICIÓN 3: Imagen o recorrido

Se dice que una función de valor real f : I ⊆ R → R es continua por tramos en el intervalo

I = [a, b] si se verifican las siguientes condiciones:

• La función f está definida y es continua en todos, excepto un número finito de puntos

del intervalo [a, b].

• Los límites laterales:

f (x+0 ) = lımh→0+

f (x0 + h),

f (x−0 ) = lımh→0+

f (x0 − h),

DEFINICIÓN 4: Función continua por tramosDEFINICIÓN 4: Función continua por tramos

1

Departamento de Formación Básica Resumen No. 1: Definiciones Fundamentales

existen en cada punto x0 del intervalo [a, b].

La notación h → 0+ significa que h tiende a 0 sólo a través de valores positivos, y los límites

f (x+0 ) y f (x−0 ) son llamados límites por la derecha e izquierda, respectivamente. Cuando x0 es un

punto de continuidad de f , entonces

f (x+0 ) = f (x−0 ) = f (x0).

Un conjunto A ⊆ R es simétrico si para todo x ∈ A, se tiene que −x ∈ A.

DEFINICIÓN 5: Conjunto simétricoDEFINICIÓN 5: Conjunto simétrico

Una función f : A → R, con A un conjunto simétrico, es:

• par si para todo x ∈ A, f (x) = f (−x);

• impar si para todo x ∈ A, f (x) = − f (x).

DEFINICIÓN 6: Función par e imparDEFINICIÓN 6: Función par e impar

2. NÚMEROS COMPLEJOS

Si x y y son números reales, el par ordenado (x, y) (denotado por z = (x, y)) se llama númerocomplejo si la igualdad, adición y la multiplicación de pares están definidos de la siguiente

forma:

• Igualdad: Si (x, y) = (u, v) entonces x = u y y = v;

• Adición: (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v);

• Multiplicación: (x, y)(u, v) = (xu − yv, xv + yu);

para todo x, y, u, v ∈ R. Al conjunto de todos los números complejos se denota por C.

DEFINICIÓN 7: Número ComplejoDEFINICIÓN 7: Número Complejo

PROPOSICIÓN 1. Las operaciones de adición y multiplicación de números complejos satisfa-

cen las leyes conmutativa, asociativa y distributiva. Es decir:

• Ley conmutativa: z1 + z2 = z2 + z1, z1z2 = z2z1.

• Ley asociativa: z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3, z1(z2z3) = (z1z2)z3.

• Ley distributiva: z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3.

para todo z1, z2, z3 ∈ C. Además, los números complejos cuentan con neutro aditivo: (0, 0) y neu-

tro multiplicativo: (1, 0).

2 Dr. Esteban Guevara, PHD

Resumen No. 1: Definiciones Fundamentales Departamento de Formación Básica

El número complejo (0, 1) se llama unidad imaginaria y se denota por:

i = (0, 1).

La unidad imaginaria i tiene la propiedad i2 = −1.

DEFINICIÓN 8: Unidad imaginariaDEFINICIÓN 8: Unidad imaginaria

El número complejo z = (x, y) también se puede denotar por:

z = x + iy.

A x se le llama parte real y se denota Re z, mientras que a y se le llama parte imaginaria, y se

denota Im z.

El complejo conjugado de z = x + iy denotado por z se define como:

z = x − iy.

DEFINICIÓN 9: Complejo conjugadoDEFINICIÓN 9: Complejo conjugado

Es fácil demostrar que las partes real e imaginaria de z se pueden expresar como:

Re z =z + z

2, Im z =

z − z

2i.

Dado el número complejo z = (x, y), con (x, y) 6= (0, 0), sus componentes x y y pueden

expresarse en coordenadas polares como:

x = r cos θ, y = r sen θ.

El número positivo r se llama valor absoluto o módulo de z, (también denotado por |z|) y está

dado por:

r = |z| =√

x2 + y2.

θ es el argumento de z y se denota por arg z, es decir θ = arg z y se obtiene de tan θ = y/x. Por

tanto, z = x + iy toma la forma polar:

z = r(cos θ + i sen θ).

DEFINICIÓN 10: Forma polar de los números complejosDEFINICIÓN 10: Forma polar de los números complejos

Si z1 y z2 son dos números complejos, estos verifican la siguiente desigualdad llamada trian-gular:

|z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|.

En general, para n numeros complejos, z1, z2, ..., zn con n ∈ Z+ se verifica la desigualdad:

|z1 + z2 + ... + zn| ≤ |z1|+ |z2|+ ... + |zn|.

DEFINICIÓN 11: Desigualdad triangularDEFINICIÓN 11: Desigualdad triangular

Dr. Esteban Guevara, PHD 3


Si z = x + iy es un número complejo, la función exponencial compleja ez se define por:

ez : C −→ C

z 7−→ ez = ex(cos y + i sen y).

DEFINICIÓN 12: Función exponencial complejaDEFINICIÓN 12: Función exponencial compleja

PROPOSICIÓN 2 (Fórmula de Euler). Para todo número real θ se cumple la siguiente relación:

eiθ = cos θ + i sen θ.

PROPOSICIÓN 3 (Teorema de Moivre). Para todo número real θ y para todo entero positivo n

se cumple la siguiente relación:

(cos θ + i sen θ)n = cos(nθ) + i sen(nθ).

PROPOSICIÓN 4. Todo número complejo z 6= 0 puede expresarse de la siguiente manera:

z = |z|eiθ ,

donde θ = arg z + 2nπ, y n ∈ Z+.

Para todo numero complejo z, las funciones seno y coseno se definen de la siguiente manera:

cos : C −→ C

z 7−→ cos (z) =eiz + e−iz

2

,

sen : C −→ C

z 7−→ sen (z) =eiz − e−iz

2i

.

DEFINICIÓN 13: Funciones seno y coseno complejasDEFINICIÓN 13: Funciones seno y coseno complejas

Para todo numero complejo z, las funciones seno y coseno hiperbólicos se definen de la si-

guiente manera:

cosh : C −→ C

z 7−→ cosh (z) =ez + e−z

2

,

sinh : C −→ C

z 7−→ sinh (z) =ez − e−z

2

.

DEFINICIÓN 14: Funciones hiperbólicas complejasDEFINICIÓN 14: Funciones hiperbólicas complejas



3. SUCESIONES Y SERIES

Si a cada entero positivo n está asociado un número real o complejo xn, entonces se dice que

el conjunto ordenado

x1, x2, x3, ..., xn, ...,

define una sucesión infinita. Esta sucesión se denota indistintamente por:

xn, ó xn∞n=1

.

DEFINICIÓN 15: Sucesión infinitaDEFINICIÓN 15: Sucesión infinita

Una sucesión infinita es una función definida por:

xn : Z+ −→ C

n 7−→ xn

.

DEFINICIÓN 16: Función sucesión infinitaDEFINICIÓN 16: Función sucesión infinita

Una sucesión xn converge hacia el límite L si para cada número ǫ positivo, existe otro número

positivo N, tal que:

|xn − L| < ǫ,

para todo n ≥ N y n ∈ Z+ y se denota lımn→∞ xn = L o xn → L. Una sucesión que no

converge se llama divergente.

DEFINICIÓN 17: Sucesión convergenteDEFINICIÓN 17: Sucesión convergente

PROPOSICIÓN 5 (Límite algebraico de sucesiones). Si el lımn→∞ xn = a y el lımn→∞ yn = b,

con a, b ∈ R entonces:

• lımn→∞ cxn = ca para todo número c ∈ R

• lımn→∞(xn ± yn) = a + b

• lımn→∞(xnyn) = ab

• lımn→∞(xn/yn) = a/b con b 6= 0

• lımn→∞(xn ± iyn = a + ib

Una sucesión xn, con xn ∈ R, es:

• creciente si xn ≤ xn+1, para todo n ≥ 1;

DEFINICIÓN 18: Sucesiones monótonas de números realesDEFINICIÓN 18: Sucesiones monótonas de números reales



• decreciente si xn ≥ xn+1, para todo n ≥ 1;

• monotona cuando es creciente o decreciente.

A una sucesión creciente se la denota por xn ր y una decreciente por xn ց.

Una sucesión xn, con xn ∈ R, es acotada si existe un número positivo M tal que |xn| ≤ M

para todo n ∈ Z+.

DEFINICIÓN 19: Sucesiones acotadasDEFINICIÓN 19: Sucesiones acotadas

PROPOSICIÓN 6. Una sucesión real y monótona converge si y solo si es acotada.

Una sucesión de sumas parciales denotada por sn se forma a partir de la sucesión xn, con

xn ∈ R, donde sn está definida por:

sn = x1 + x2 + x3 + ... + xn =n

∑k=1

xk.

para todo n ∈ Z+.

DEFINICIÓN 20: Sucesión de sumas parcialesDEFINICIÓN 20: Sucesión de sumas parciales

La sucesión de sumas parciales sn se llama serie infinita o simplemente serie, y se indica

por:∞

∑k=1

xk = x1 + x2 + x3 + ...

La serie ∑∞k=1 xk representa la sucesión sn.

DEFINICIÓN 21: Series infinitasDEFINICIÓN 21: Series infinitas

Se dice que la serie ∑∞k=1 xk converge si existe un número real S tal que:

lımn→∞

sn = S,

y en este caso se escribe:∞

∑k=1

xk = S.

Si la sucesión sn diverge, entonces la serie ∑∞k=1 xk diverge.

DEFINICIÓN 22: Series convergentesDEFINICIÓN 22: Series convergentes

! La suma S de une serie convergente no se obtiene a partir de la adición (ordinaria) de sus

términos, sino como el límite de una sucesión de sumas parciales.



PROPOSICIÓN 7 (Linealidad de las series convergentes). Si ∑ xn y ∑ yn son dos series infini-

tas convergentes de términos complejos y, α y β son constantes complejas, entonces la serie

∑(αxn + βyn) también converge, y su suma viene dada por:

∞

∑n=1

(αxn + βyn) = α∞

∑n=1

xn + β∞

∑n=1

yn

Sean xn y yn dos sucesiones de números complejos tales que satisfacen la propiedad te-

lescópica:

xn = yn − yn+1,

para todo número n ∈ Z+. Entonces, la serie ∑ xn converge si y solo si la sucesión yn con-

verge, en cuyo caso tenemos:∞

∑n=1

xn = y1 − L,

donde L = lımn→∞ yn.

TEOREMA 8: Propiedad telescópicaTEOREMA 8: Propiedad telescópica

Sea x un número real fijo, se define como una serie geométrica a aquella serie que es generada

a partir de adiciones sucesivas de los términos de una progresión geométrica, es decir, aquella

que tiene la forma:∞

∑n=1

xn = 1 + x + x2 + ... + xn + ...

donde el enésimo término xn es la potencia enésima del número x.

DEFINICIÓN 23: Serie geométricaDEFINICIÓN 23: Serie geométrica

Si x es un número complejo con |x| < 1, la serie geométrica ∑∞n=1 xn converge y tiene suma

1/(1-x), es decir:∞

∑n=1

xn = 1 + x + x2 + ... + xn + ... =1

1 − x.

Si x ≥ 1, la serie diverge.

TEOREMA 9: Convergencia de series geométricasTEOREMA 9: Convergencia de series geométricas

Si la serie ∑∞n=1 xn converge, el término enésimo tiende a O, es decir:

lımn→∞

xn = 0.

Si el término enésimo no tiende a O, la serie es divergente.

DEFINICIÓN 24: Condición necesaria de convergencia de seriesDEFINICIÓN 24: Condición necesaria de convergencia de series



Sean las series ∑∞n=1 xn y ∑

∞n=1 yn con xn ≥ 0 y yn ≥ 0. Si existe una constante positiva c tal

que:

xn ≤ cyn,

para todo n ∈ Z+, entonces la convergencia de la serie ∑∞n=1 yn garantiza la convergencia de

la serie ∑∞n=1 xn.

DEFINICIÓN 25: Criterio de comparaciónDEFINICIÓN 25: Criterio de comparación

Dos sucesiones xn y yn de números complejos son asintóticamente iguales si

lımn=∞

xn

yn= 1,

y se denota por:

xn ∼ yn,

para n → ∞.

DEFINICIÓN 26: Sucesiones asintóticamente igualesDEFINICIÓN 26: Sucesiones asintóticamente iguales

Si dos series ∑∞n=1 xn y ∑

∞n=1 yn cuyos elementos son positivos y asintótica ente iguales, o ambas

convergen o ambas divergen.

TEOREMA 10: Convergencia de series asintóticamente igualesTEOREMA 10: Convergencia de series asintóticamente iguales

Sea la función f : [1, ∞] → R+ decreciente. Para cada n ∈ Z+, sea:

sn =n

∑k=1

f (k)

y

tn =∫ n

1f (x)dx

entonces o ambas sucesiones sn y tn convergen o ambas divergen.

DEFINICIÓN 27: Criterio integral de convergenciaDEFINICIÓN 27: Criterio integral de convergencia

Dada una serie ∑∞n=1 xn de términos positivos tales que:

lımn→∞

xn+1

xn= L

• Si L < 1, la serie converge.

• Si L > 1, la serie diverge.

• Si L = 1, el criterio no decide.

DEFINICIÓN 28: Criterio del CocienteDEFINICIÓN 28: Criterio del Cociente



Dada una serie ∑∞n=1 xn de términos positivos tales que:

lımn→∞

x1/nn = R

• Si R < 1, la serie converge.

• Si R > 1, la serie diverge.

• Si R = 1, el criterio no decide.

DEFINICIÓN 29: Criterio de la RaízDEFINICIÓN 29: Criterio de la Raíz

Una serie de la forma:

∞

∑n=1

an(x − xo)n = a1(x − xo) + a2(x − xo)

2 + ...

donde los números x, x0 y los coeficientes an son complejos, se llama serie de potencias de

(x − x0). Cada serie de potencias está asociada a un círculo de convergencia de centro x0 y

radio |x − x0|, tal que la serie converge para todo x interior al mismo, y diverge para todo x

exterior.

DEFINICIÓN 30: Series de PotenciasDEFINICIÓN 30: Series de Potencias

Dada una función f : C → C, infinitamente derivable en un intervalo abierto alrededor del

punto x0, la serie de potencias:∞

∑k=0

f (k)(x0)

k!(x − x0)

k

se llama serie de Taylor generada por f en x0. El término k representa la k-ésima derivada de

la función f . Una serie de McLaurin es una serie de Taylor con centro x0 = 0.

DEFINICIÓN 31: Series de Taylor y McLaurinDEFINICIÓN 31: Series de Taylor y McLaurin

CRÉDITOS

La presente hoja de resúmenes constituye una segunda versión revisada de la realizada durante

el periodo 2018-B por los miembros de la cátedra de Análisis de Fourier: Mat. Carlos Ajila, Mat.

Leonardo Montoya, Fis. Marcelo Arias, Fis. Anibal Cruz, Ing. Byron Montenegro y mi persona.




RESUMEN NO. 2: SERIES DE FOURIER


1. INTRODUCCIÓN

Una función f : I ⊆ R → R se dice periódica con periodo p > 0 si,

f (x + p) = f (x),

para todo x ∈ I.

DEFINICIÓN 1: Función periódicaDEFINICIÓN 1: Función periódica

Si p es el periodo de f , también lo es cualquier múltiplo entero de p, es decir:

f (x + np) = f (x),

para todo n ∈ Z+. El periodo más pequeño, es decir para n = 1, se llama fundamental.

Sean f y g dos funciones periódicas de periodo p > 0, el producto de estas funciones f g o

cualquier combinación lineal de ellas c1 f + c2g, donde c1, c2 ∈ R, es también una función

periódica de periodo p.

DEFINICIÓN 2: Producto de funciones periódicasDEFINICIÓN 2: Producto de funciones periódicas

Dadas dos funciones f y g de I ⊆ R en R, su producto interno se denota por ( f , g), y se define

como:

( f , g) =∫ b

af (x)g(x)dx,

para todo x ∈ I = [a, b].

DEFINICIÓN 3: Producto interno de funcionesDEFINICIÓN 3: Producto interno de funciones

Dos funciones f y g de I ⊆ R en R se dicen ortogonales en el intervalo I, si el producto interno

de f y g es cero, es decir si:

( f , g) =∫ b

af (x)g(x)dx = 0,

para todo x ∈ I = [a, b].

DEFINICIÓN 4: Funciones ortogonalesDEFINICIÓN 4: Funciones ortogonales

1

Departamento de Formación Básica Resumen No. 2: Series de Fourier

A un conjunto de funciones se le denomina mutuamente ortogonal, si cada diferente par de

funciones de ese conjunto son ortogonales entre sí.

DEFINICIÓN 5: Funciones mutuamente ortogonalesDEFINICIÓN 5: Funciones mutuamente ortogonales

Las funciones sen(mπx/L) y cos(mπx/L) constituyen una familia de funciones mutuamente

ortogonales sobre el intervalo [−L, L]. De hecho, estas satisfacen las siguientes relaciones de

ortogonalidad:

∫ L

−Lcos

(mπx

L

)

cos(nπx

L

)

dx =

L si m = n,

0 si m 6= n;∫ L

−Lcos

(mπx

L

)

sen(nπx

L

)

dx = 0 para todo m, n;

∫ L

−Lsen

(mπx

L

)

sen(nπx

L

)

dx =

L si m = n,

0 si m 6= n.

DEFINICIÓN 6: Ortogonalidad de las funciones seno y cosenoDEFINICIÓN 6: Ortogonalidad de las funciones seno y coseno

2. SERIES DE FOURIER

Supongamos que la serie de Fourier

a0

2+

∞

∑n=1

(

an cos(nπx

L

)

+ bn sen(nπx

L

))

converge y tiene suma f (x) para cada x en el intervalo [−L, L], es decir,

f (x) =a0

2+

∞

∑n=1

(

an cos(nπx

L

)

+ bn sen(nπx

L

))

, −L ≤ x ≤ L.

Entonces los coeficientes de Fourier an y bn están relacionados con la función f mediante las

siguientes fórmulas de Euler-Fourier:

an =1

L

∫ L

−Lf (x) cos

(nπx

L

)

dx, n = 0, 1, . . . ;

bn =1

L

∫ L

−Lf (x) sen

(nπx

L

)

dx, n = 1, 2, . . . .

DEFINICIÓN 7: Fórmulas de Euler - FourierDEFINICIÓN 7: Fórmulas de Euler - Fourier

Obviamente esto no es válido para toda función si no para las que cumplan las características del

siguiente teorema.


Resumen No. 2: Series de Fourier Departamento de Formación Básica

Sea f : [−L, L] → R una función continua y periódica con periodo p = 2L. La expansión enseries de Fourier de f (x) está dada por:

f (x) =a0

2+

∞

∑m=1

(

am cos(mπx

L

)

+ bm sen(mπx

L

))

, −L ≤ x ≤ L,

donde m = 1, 2, ... y los coeficientes de Fourier a0, am y bm están dados por:

a0 =1

L

∫ L

−Lf (x) dx, am =

1

L

∫ L

−Lf (x) cos

(mπx

L

)

dx, bm =1

L

∫ L

−Lf (x) sen

(mπx

L

)

dx.

TEOREMA 1: Series de Fourier 1TEOREMA 1: Series de Fourier 1

Sea f una función continua por tramos definida en el intervalo [−L, L], tal que f ′ es también

continua por tramos en el mismo intervalo y f está definida fuera del intervalo de tal manera

que sea periódica con periodo 2L, entonces la expansión en serie de Fourier:

a0

2+

∞

∑m=1

(am cos(nπx

L

)

+ bm sen(nπx

L

)

)

converge a f (x) para todo x donde f es continua y converge a:

f (x+) + f (x−)

2

en todo x donde f no es continua.

TEOREMA 2: Convergencia de Series de FourierTEOREMA 2: Convergencia de Series de Fourier

3. CAMBIO DE INTERVALO

Sea f : [a, b] → R una función continua y periódica con periodo p = 2L = b − a. La expansiónen series de Fourier de f (x) está dada por:

f (x) =a0

2+

∞

∑m=1

(

am cos

(

2mπx

b − a

)

+ bm sen

(

2mπx

b − a

))

, a ≤ x ≤ b,

donde m = 1, 2, ... y los coeficientes de Fourier a0, am y bm están dados por:

a0 =2

b − a

∫ b

af (x) dx,

am =2

b − a

∫ b

af (x) cos

(

2mπx

b − a

)

dx,

bm =2

b − a

∫ b

af (x) sen

(

2mπx

b − a

)

dx.

TEOREMA 3: Series de Fourier 2TEOREMA 3: Series de Fourier 2



4. SIMPLIFICACIONES: FUNCIONES PARES E IMPARES

Si f : [−L, L] → R es una función par, ( esto es, f (−x) = f (x) para todo x ∈ [−L, L]) su serie

de Fourier se reduce a una serie de cosenos, es decir:

f (x) =a0

2+

∞

∑m=1

am cos(mπx

L

)

, −L ≤ x ≤ L,

donde

am =2

L

∫ L

0f (x) cos

(mπx

L

)

dx, m = 0, 1, . . . .

TEOREMA 4: Serie de Fourier de cosenosTEOREMA 4: Serie de Fourier de cosenos

Si f : [−L, L] → R es una función impar, ( esto es, f (−x) = − f (x) para todo x ∈ [−L, L]) la

serie de Fourier se reduce a una serie de senos, es decir:

f (x) =∞

∑m=1

bm sen(mπx

L

)

, −L ≤ x ≤ L,

donde

bm =2

L

∫ L

0f (x) sen

(mπx

L

)

dx, m = 1, 2, . . . .

TEOREMA 5: Serie de Fourier de senosTEOREMA 5: Serie de Fourier de senos

5. EXPANSIÓN DE MEDIO RANGO

A partir de una función f : [0, L] → R (como se muestra en la figura)

es posible construir la extensión par de la función f es decir, fpar : [−L, L] → R que estaría definida

por:

fpar(x) =

f (x) si − L < x < 0

f (x) si 0 < x < L,



Gráficamente esto se hace reflejando a la función con respecto del eje y.

Del mismo modo es posible construir la extensión impar de la función f es decir, fimpar : [−L, L] →

R definida por:

fimpar(x) =

f (x) si − L < x < 0

− f (x) si 0 < x < L,

Gráficamente esto se logra reflejando la función respecto al eje x y luego respecto al eje y.

6. PROBLEMA DE STURM-LIOUVILLE

Dadas las funciones y1, y2, · · · de I ⊆ R en R se dice que estas funciones son ortogonales en

el intervalo I con respecto a la función peso r > 0, si para todo m, n ∈ N con m 6= n se tiene:

(ym, yn) =∫ b

ar(x)ym(x)yn(x)dx = 0, m 6= n

DEFINICIÓN 8DEFINICIÓN 8



para todo x ∈ I = [a, b]. La norma de la función ym se denota por ||ym||, y se define como:

||ym|| =√

(ym, ym) =

√

∫ b

ar(x)y2

m(x)dx.

Las funciones y1, y2, · · · de I ⊆ R en R se llaman ortonormales (con respecto a la función peso

r) si son ortogonales en I y si todas ellas tienen norma 1. Esto se puede representar a través de

la delta de Kronecker δm,n de la siguiente manera:

(ym, yn) =∫ b

ar(x)ym(x)yn(x)dx = δm,n =

1 if m = n

0 if m 6= n

para todo x ∈ I = [a, b]. Para el caso particular donde r(x) = 1 tenemos:

(ym, yn) =∫ b

aym(x)yn(x)dx = 0 m 6= n, ||ym|| =

√

(ym, yn) =

√

∫ b

ay2

m(x)dx.

DEFINICIÓN 9DEFINICIÓN 9

Ejemplo: Las funciones ym = sen(mx), m = 1, 2, · · · forman un conjunto ortogonal en el intervalo

−π ≤ x ≤ π, porque para m 6= n obtenemos por integración:

(ym, yn) =∫ π

−πsen(mx) sen(nx)dx =

1

2

∫ π

−π[cos((m − n)x)− cos((m + n)x)] dx

(ym, yn) =1

2

[

sen((m − n)x)

m − n−

sen((m + n)x)

m + n

]π

−π

= 0, m 6= n.

En la última expresión vemos claramente que los enteros m − n y m + n, permiten que las dos

integrales se anulen. Para la norma tenemos:

||ym||2 = (ym, yn) =

∫ π

−πsen2(mx)dx =

1

2

∫ π

−π(1 − cos(2mx))dx =

1

2

[

x −sen(mx)

2m

]π

−π

= π,

para todo m = 1, 2, · · · . En consecuencia, el conjunto ortonormal correspondiente, se obtiene de la

división de cada función para su respectiva norma:

sen(x)√

π,

sen(2x)√

π,

sen(3x)√

π, · · ·

El siguiente teorema demuestra que para cualquier problema de Sturm - Liouville, las funciones

propias asociadas son ortogonales. Es decir, en la práctica, si es posible formular un problema

tipo Sturm - Liouville, entonces este teorema nos garantiza la ortogonalidad de dichas funciones

propias.



7. ORTOGONALIDAD DE LAS FUNCIONES PROPIAS PARA PROBLEMAS DE STURM -LIOUVILLE

Dadas las funciones p, r positivas y la función q real, la ecuación diferencial lineal de segundo

orden de la forma:

[p(x)y′]′ + [q(x) + λr(x)]y = 0

para todo x ∈ [a, b] con las condiciones:

k1y + k2y′ = 0 en x = a

l1y + l2y′ = 0 en x = b

con λ, k1, k2, l1, l2 ∈ R, se conoce como problema de Sturm - Liouville.

DEFINICIÓN 10: Ecuación de Sturm - LiouvilleDEFINICIÓN 10: Ecuación de Sturm - Liouville

Supongamos que las funciones p, q, r (con r(x) > 0) y p′ en la ecuación de Sturm - Liouville

son contínuas y de valores reales en el intervalo I ⊆ R para todo x ∈ I = [a, b]. Además, sean

ym(x) y yn(x) funciones propias del problema de Sturm - Liouville asociadas a los valores

propios λm y λn, respectivamente. Entonces ym(x) y yn(x) son ortogonales en ese intervalo

con respecto a la función peso r, esto es,

(ym, yn) =∫ b

ar(x)ym(x)yn(x)dx = 0 m 6= n.

TEOREMA 6TEOREMA 6

8. SERIES ORTOGONALES DE POLINOMIOS: SERIES DE FOURIER GENERALIZADAS

Sean y0, y1, y2, · · · funciones ortogonales con respecto a la función peso r(x) en un intervalo

a ≤ x ≤ b, y sea f (x) una función que puede representarse por medio de la serie convergente,

f (x) =∞

∑m=0

amym(x) = a0y0(x) + a1y1(x) + · · · (1)

a esta se le llama serie ortogonal, expansión ortogonal, o serie de Fourier generalizada. Si las

funciones ym son funciones propias del problema de Sturm - Liouville, entonces llamamos a

esta serie expansión en funciones propias.

DEFINICIÓN 11: Serie de Fourier generalizadaDEFINICIÓN 11: Serie de Fourier generalizada

Dada la función f (x), para determinar los coeficientes de Fourier am de f (x) con respecto a y0,

y1, · · · , multiplicamos ambos lados de la ecuación anterior por r(x)yn(x) para un n fijo, y luego



integramos ambos lados con respecto a x ∈ [a, b], es decir:

( f , yn) =∫ b

ar f yndx =

∫ b

ar

(

∞

∑m=0

amym

)

yndx =∞

∑m=0

am

∫ b

arymyndx =

∞

∑m=0

am(ym, yn)

Debido a la ortogonalidad de las funciones, todas las integrales de la derecha son cero, excepto

para m = n. Entonces tenemos,

( f , yn) = an(yn, yn) = an||yn||2.

Si asumimos que todas las funciones ym tienen normas no nulas, entonces los coeficientes de Fou-

rier toman la forma:

am =( f , ym)

||ym||2=

1

||ym||2

∫ b

ar(x) f (x)ym(x)dx ∀m ∈ Z

+

CRÉDITOS







RESUMEN NO. 3: INTEGRALES DE FOURIER


1. INTEGRAL DE FOURIER

Una función f : R → R se dice absolutamente integrable si la integral de Riemann impropia

∫ ∞

−∞| f (x)| dx

es convergente.

DEFINICIÓN 1: Función absolutamente integrableDEFINICIÓN 1: Función absolutamente integrable

Sea f : R → R una función absolutamente integrable. Para cada w ≥ 0 se define:

A(w) =1

π

∫ ∞

−∞f (v) cos(wv) dv y B(w) =

1

π

∫ ∞

−∞f (v) sen(wv) dv.

A la expresión

f (x) =∫ ∞

0[A(w) cos(wx) + B(w) sen(wx)] dw

se la llama la representación de f (x) por una integral de Fourier, y a la integral que aparece

en esta expresión se la llama integral de Fourier.

DEFINICIÓN 2: Integral de FourierDEFINICIÓN 2: Integral de Fourier

!

La expresión

f (x) =∫ ∞


en la definición anterior no debe entenderse como una igualdad. Se trata de un abuso de

lenguaje para indicar que

∫ ∞


es la representación de f (x) por una integral de Fourier.

Sea f : R → R una función no necesariamente periódica y absolutamente integrable. La

representación en integral de Fourier de f (x) está dada por:

f (x) =∫ ∞

0[A(w) cos(wx) + B(w) sen(wx)] dw,

TEOREMA 1: Integral de FourierTEOREMA 1: Integral de Fourier

1

Departamento de Formación Básica Resumen No. 3: Integrales de Fourier

para cada w ≥ 0. Donde A(w) y B(w) están dados por:

A(w) =1

π

∫ ∞

−∞f (v) cos(wv) dv y B(w) =

1

π

∫ ∞

−∞f (v) sen(wv) dv.

Si f : R → R es una función absolutamente integrable continua por tramos en todo inter-

valo acotado y si f admite derivadas por izquierda y derecha en todo punto, entonces f (x)

admite una representación por una integral de Fourier para todo x ∈ R. La integral de Fourier

converge a f (x) en los puntos x ∈ R donde f es continua y hacia:

f (x+) + f (x−)

2

en los puntos x ∈ R donde f es discontinua.

TEOREMA 2: Existencia (y convergencia) de la integral de FourierTEOREMA 2: Existencia (y convergencia) de la integral de Fourier

2. INTEGRALES FOURIER DE SENO Y COSENO

Cuando f : R → R es una función par que admite una representación por una integral de

Fourier, se tiene, para w ≥ 0, que

B(w) =1

π

∫ ∞

−∞f (v) sen(wv) dv = 0

y

A(w) =1

π

∫ ∞

−∞f (v) cos(wv) dv =

2

π

∫ ∞

0f (v) cos(wv) dv,

gracias a la imparidad y paridad, respectivamente, de los integrandos.

Si f : R → R es una función par absolutamente integrable y si para cada w ≥ 0,

A(w) =2

π

∫ ∞

0f (v) cos(wv) dv,

a la expresión

f (x) =∫ ∞

0A(w) cos(wx) dx

se la llama la representación de f (x) por una integral de Fourier de coseno y a la integral en

dicha expresión se la denomina integral de Fourier de coseno.

DEFINICIÓN 3: Integral de Fourier de CosenoDEFINICIÓN 3: Integral de Fourier de Coseno

Análogamente, si f : R → R es impar, para w ≥ 0 se tiene que

A(w) = 0 y B(w) =2

π

∫ ∞

0f (v) sen(vw) dv.


Resumen No. 3: Integrales de Fourier Departamento de Formación Básica

Si f : R → R es una función impar absolutamente integrable y si para cada w ≥ 0,

B(w) =2

π

∫ ∞

0f (v) sen(wv) dv,

a la expresión

f (x) =∫ ∞

0B(w) sen(wx) dx

se la llama la representación de f (x) por una integral de Fourier de seno y a la integral en

dicha expresión se la denomina integral de Fourier de seno.

DEFINICIÓN 4: Integral de Fourier de SenoDEFINICIÓN 4: Integral de Fourier de Seno

CRÉDITOS







RESUMEN NO. 4: TRANSFORMADA DE FOURIER


1. TRANSFORMADA DE FOURIER COSENO Y SENO

Dada la función f : I ⊆ R → R par, la transformada de Fourier coseno de f (x) se define por:

fc(w) =

√

2

π

∫ ∞

0f (x) cos(wx)dx

para todo x ∈ I ⊆ R y w ≥ 0. Por otro lado, la transformada de Fourier coseno inversa de

fc(w) se define por:

f (x) =

√

2

π

∫ ∞

0fc(w) cos(wx)dw

para todo x ∈ I ⊆ R y w ≥ 0.

DEFINICIÓN 1: Transformada de Fourier CosenoDEFINICIÓN 1: Transformada de Fourier Coseno

Dada la función f : I ⊆ R → R impar, la transformada de Fourier seno de f (x) se define por:

fs(w) =

√

2

π

∫ ∞

0f (x) sen(wx)dx

para todo x ∈ I ⊆ R y w ≥ 0. Por otro lado, la transformada de Fourier seno inversa de fs(w)

se define por:

f (x) =

√

2

π

∫ ∞

0fs(w) sen(wx)dw

para todo x ∈ I ⊆ R y w ≥ 0.

DEFINICIÓN 2: Transformada de Fourier SenoDEFINICIÓN 2: Transformada de Fourier Seno

Otras notaciones para las transformadas de seno y coseno son:

Fc( f ) = fc, Fs( f ) = fs,

y para sus inversas: F−1c y F−1

s .

Si f : I ⊆ R → R es una función absolutamente integrable sobre I y continua por partes sobre

cada intervalo acotado, entonces la transformada de Fourier de cosenos y senos de f existe.

TEOREMA 1: Existencia de la Transformada de Fourier de Cosenos y SenosTEOREMA 1: Existencia de la Transformada de Fourier de Cosenos y Senos

1

Departamento de Formación Básica Resumen No. 4: Transformada de Fourier

Si existe la transformada de Fourier de cosenos o senos para las funciones f : I ⊆ R → R y

g : I ⊆ R → R, también existe la transformada para cualquier combinación lineal de estas

funciones, es decir:

Fc(a f ± bg) = aFc( f )± bFc(g) y Fs(a f ± bg) = aFs( f )± bFs(g).

donde a, b ∈ R.

TEOREMA 2: LinealidadTEOREMA 2: Linealidad

En efecto, basta notar que:

Fc(a f ± bg)(w) =

√

2

π

∫ ∞

0[a f (x)± bg(x)] cos(wx) dx

= a

√

2

π

∫ ∞

0f (x) cos(wx) dx ± b

√

2

π

∫ ∞

0g(x) cos(wx) dx

= aFc( f )(w)± bFc( f )(w),

y de manera similar se prueba para la transformada de seno.

Sea f una función continua y absolutamente integrable tal que f ′ es continua por partes sobre

cualquier intervalo finito y tal que f (x) → 0 cuando x → ∞. Entonces:

a) Fc f ′(x) = wFs f (x) −

√

2

πf (0).

b) Fs f ′(x) = −wFc f (x).

c) Fc f ′′(x) = −w2Fc f (x) −

√

2

πf ′(0).

d) Fs f ′′(x) = −w2Fs f (x)+

√

2

πw f (0).

TEOREMA 3: Transformada de la Derivada de una FunciónTEOREMA 3: Transformada de la Derivada de una Función

Los literales c) y d) pueden demostrarse fácilmente a partir de Fc f ′′ una vez mostrado que f ′ y

f ′′ satisfacen los literales a) y b):

Fc f ′′(x) = wFs f ′(x) −

√

2

πf ′(0).


Resumen No. 4: Transformada de Fourier Departamento de Formación Básica

2. TRANSFORMADA DE FOURIER

La representación en integral de Fourier de una función f : I ⊆ R → R puede expresarse

también por:

f (x) =1

2π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞f (v)eiw(x−v) dv dw,

que es llamada la forma compleja de la integral de Fourier.

DEFINICIÓN 3: Forma Compleja de la Integral de FourierDEFINICIÓN 3: Forma Compleja de la Integral de Fourier

De hecho, si consideramos la integral de Fourier de f , está dada por:

f (x) =∫ ∞

0[A(w) cos(wx) + B(w) sen(wx)] dw,

donde:

A(w) =1

π

∫ ∞

−∞f (v) cos(wv) dv, B(w) =

1

π

∫ ∞

−∞f (v) cos(wv) dv.

Si substituimos los valores de A(w) y B(w) tenemos:

f (x) =1

π

∫ ∞

0

∫ ∞

−∞f (v)[cos(wv) cos(wx) + sen(wv) sen(wx)] dv dw

que puede escribirse como:

f (x) =1

π

∫ ∞

0

[

∫ ∞

−∞f (v) cos(wx − wu) dv

]

dw.

Notemos además que:

cos(wx − wu) = cos(wu − wx),

y que la integral entre corchetes es una función par de w por lo que tenemos:

f (x) =1

2π

∫ ∞

−∞

[

∫ ∞

−∞f (v) cos(wx − wu) dv

]

dw.

Por otro lado, como el sen(wx − wv) es una función impar de w tenemos que:

∫ ∞

−∞f (v) sen(wx − wu) dv

lo que implica que1

2π

∫ ∞

−∞

[

∫ ∞

−∞f (v) sen(wx − wu) dv

]

dw = 0.

Así, podemos expresar a f (x) como

f (x) =1

2π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞[ f (v) cos(wx − wu) + i f (v) sen(wx − wu)] dv dw.

Finalmente, haciendo uso de la fórmula de Euler tenemos:

f (x) =1

2π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞f (v)eiw(x−v) dv dw



que es llamada la forma compleja de la integral de Fourier. Esta última expresión puede escribirse

como:

f (x) =1

√2π

∫ ∞

−∞

[

1√

2π

∫ ∞

−∞f (v)e−iwv dv

]

eiwx dw.

donde la expresión entre corchetes es una función de w que notaremos por f (w) y es llamada la

Transformada de Fourier de f .

La transformada de Fourier de la función f : I ⊆ R → R se define por:

f (w) =1

√2π

∫ ∞

−∞f (x)e−iwx dx.

y su inversa está dada por:

f (x) =1

√2π

∫ ∞

−∞f (w)eiwx dw.

DEFINICIÓN 4: Transformada de Fourier y Transformada de Fourier InversaDEFINICIÓN 4: Transformada de Fourier y Transformada de Fourier Inversa

Si f : I ⊆ R → R es absolutamente integrable y contínua a trozos en cada intervalo finito,

entonces la transformada de Fourier f (w) de f (x) existe.

TEOREMA 4: Existencia de la Transformada de FourierTEOREMA 4: Existencia de la Transformada de Fourier

Ejemplo 1.- Calcular la transformada de Fourier de la función definida por:

f (x) =

1 si |x| < 1

0 de otro modo

Solución: A partir de la definición de la transformada de Fourier tenemos para f (x) tenemos:

f (w) =1

√2π

∫ 1

−1e−iwxdx =

1√

2π

e−iwx

−iw

∣

∣

∣

∣

1

−1

=e−iw − eiw

−iw√

2π.

Teniendo en cuenta que eiw − e−iw = 2i sen w podemos reescribir la última ecuación como:

f (w) =−2i sen w

−iw√

2π=

√

2

π

sen w

w.

Ejemplo 2.- Calcular la transformada de Fourier de la función definida por:

f (x) =

e−ax si x > 0, a > 0

0 si x < 0

Solución: A partir de la definición de la transformada de Fourier tenemos para f (x) tenemos:

f (w) =1

√2π

∫ 1

−1e−axe−iwxdx =

1√

2π

∫ 1

−1e−(a+iw)xdx =

e−(a+iw)x

√2π(a + iw)x

∣

∣

∣

∣

∣

∞

0

=1

√2π(a + iw)x

.



2. INTERPRETACIÓN FÍSICA: ESPECTRO

Como sabemos, la inversa de la transformada de Fourier de f (x) está dada por:

f (x) = F−1 f (w)(x) =1

√2π

∫ ∞

−∞f (x)eiwxdx (1)

La naturaleza esta ecuación queda aclarada si la entendemos como una superposición de oscilacio-

nes sinusoidales de todas las posibles frecuencias, llamada representación espectral. Este nombre

proviene de la óptica en donde la luz es una superposición de diferentes colores o frecuencias. En

esta ecuación, f (w) mide la intensidad de f (x) en el intervalo de frecuencias entre comprendido

entre w y w + dw. Visto como un sistema de osciladores de diferentes frecuencias w, en los que

mw2 A2 representa la energía total del sistema proveniente de la frecuencia w, entonces la integral

∫ b

a| f (w)|2dw,

viene a representar justamente la energía total del sistema físico en el intervalo de las frecuencias

comprendidas desde a hasta b.

La transformada de Fourier es una transformación lineal, es decir para toda función f : I ⊆

R → R y g : I ⊆ R → R :

Fa f (x) + bg(x) = aF f (x)+ bFg(x),

con a, b ∈ R y para todo x ∈ I.

TEOREMA 5: Linealidad de la Transformada de FourierTEOREMA 5: Linealidad de la Transformada de Fourier

Demostración: A partir de la definición de transformada de Fourier tenemos:

Fa f (x) + bg(x) =1

√2π

∫ ∞

−∞[a f (x) + bg(x)] e−iwxdx,

de donde,

Fa f (x) + bg(x) = a

[

1√

2π

∫ ∞

−∞f (x)e−iwxdx

]

+ b

[

1√

2π

∫ ∞


]

Fa f (x) + bg(x) = aF [ f (x)] + bFg(x)

Si f : I ⊆ R → R es una función contínua y tal que, lım|x|→∞ f (x) = 0 y además, f ′(x) es

absolutamente integrable, entonces, para todo x ∈ R, y w ≥ 0:

F f ′(x) = iwF f (x),

F f ′′(x) = −w2F f (x),

F f (n)(x)(w) = (iw)(n)F f (x)(w).

TEOREMA 6: Transformada de Fourier de DerivadasTEOREMA 6: Transformada de Fourier de Derivadas



Demostración: A partir de la definición de transformada de Fourier, tenemos:

F f ′(x)(w) =1

√2π

∫ ∞

−∞f ′(x)e−iwxdx.

Integrando por partes:

F f ′(x)(w) =1

√2π

[

f (x)e−iwx∣

∣

∣

∞

−∞− (−iw)

∫ ∞


]

.

de donde el primer término es nulo, y por tanto:

F f ′(x)(w) = iwF f (x)(w).

Además, aplicando nuevamente el teorema, tenemos:

F f ′′(x)(w) = iwF f ′(x)(w) = (iw)2F f (x)(w) = −w2F f (x)(w).

Tras la aplicación sucesiva del teorema se puede obtener:

F f (n)(x)(w) = (iw)(n)F f (x)(w).

La convolución de dos funciones f : I ⊆ R → R y g : I ⊆ R → R se define por:

( f ∗ g)(x) =∫ ∞

−∞f (p)g(x − p)dp,

o alternativamente, como:

( f ∗ g)(x) =∫ ∞

−∞f (x − p)g(p)dp,

para todo x ∈ R.

DEFINICIÓN 5: ConvoluciónDEFINICIÓN 5: Convolución

Ejemplo.- Dadas las funciones f : R → R y g : R → R con f (x) = e−x y g(x) = sen x,

respectivamente, calcular su convolución en el intervalo I = [0, t] y donde t ∈ R.

Solución: A partir de la definición de convolución para f y g tenemos:

( f ∗ g)(x) =∫ ∞

−∞f (p)g(x − p)dp =

∫ t

0f (p)g(x − p)dp =

∫ t

0e−p sen(x − p)dp.

Resolviendo la última integral por partes tenemos,

I =∫

e−p sen(x − p)dp = e−p cos(x − p) +∫

e−p cos(x − p)dp

I = e−p cos(x − p) +

(

−e−p sen(x − p)−∫

e−p sen(x − p)dp

)

.

de donde tenemos que,

I =e−p

2[cos(x − p)− sen(x − p)].



Evaluando en los límites del intervalo obtenemos,

( f ∗ g)(x) =∫ t

0e−p sen(x − p)dp =

1

2

[

e−t(cos(x − t)− sen(x − t)) + sen x − cos x)]

.

Si las funciones f : I ⊆ R → R y g : I ⊆ R → R son contínuas a trozos, acotadas, y absoluta-

mente integrables, entonces:

F( f ∗ g)(x) =√

2πF f · Fg =√

2π f (w) · g(w).

para todo x ∈ R.

TEOREMA 7: Teorema de ConvoluciónTEOREMA 7: Teorema de Convolución

!

Aplicando la transformada de Fourier inversa en ambos lados de la ecuación obtenemos un

resultado muy importante,

( f ∗ g)(x) =∫ ∞

−∞f (w)g(w)eiwxdw,

que será usado mas adelante en la resolución de ecuaciones diferenciales en derivadas par-

ciales.

CRÉDITOS







RESUMEN NO. 5: ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES


1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Sea I ⊆ R un intervalo abierto y k ∈ N∗. Una ecuación diferencial ordinaria de orden k es un

expresión de la forma:

F(u(k)(x), u(k−1)(x), . . . , u′(x), u(x), x) = 0, x ∈ I,

donde

F : Rk+1 × I → R

es una función conocida y u : I → R es una función a ser determinada.

DEFINICIÓN 1: Ecuación Diferencial OrdinariaDEFINICIÓN 1: Ecuación Diferencial Ordinaria

Con las mismas notaciones de la definición anterior, una función u0 : I → R se dice que es

una solución de la ecuación diferencial

F(u(k)(x), u(k−1)(x), . . . , u′(x), u(x), x) = 0, x ∈ I,

si u0 es k veces derivable en I y si la igualdad

F(u(k)0 (x), u

(k−1)0 (x), . . . , u′

0(x), u0(x), x) = 0

se verifica para todo x ∈ I.

DEFINICIÓN 2: Solución de una EDODEFINICIÓN 2: Solución de una EDO

2. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

Si u : Ω → R es una función k veces diferenciable en el abierto Ω ⊆ Rn, se denotará su

diferencial de k-ésimo orden por Dku : Ω → Rnk.

Sean k ∈ N∗, n ∈ N con n ≥ 2, y Ω ⊆ Rn un conjunto abierto. Una ecuación en derivadas

parciales de orden k es un expresión de la forma

F(Dku(x), Dk−1u(x), . . . , Du(x), u(x), x) = 0, x ∈ Ω

donde

F : Rnk× R

nk−1× · · · × Rn × R × Ω → R

DEFINICIÓN 3: Ecuación en Derivadas ParcialesDEFINICIÓN 3: Ecuación en Derivadas Parciales

1

Departamento de Formación Básica Resumen No. 5: Ecuaciones Diferenciales Parciales

es un campo escalar conocido y u : Ω → R es un campo escalar a ser determinado.

Un campo escalar u0 : Ω → R se dice que es una solución de la ecuación diferencial

F(Dku(x), Dk−1u(x), . . . , Du(x), u(x), x) = 0, x ∈ Ω,

si u0 es k veces diferenciable en Ω y si la igualdad

F(Dku0(x), Dk−1u0(x), . . . , Du0(x), u0(x), x) = 0

se verifica para todo x ∈ Ω.

DEFINICIÓN 4: Solución de una EDPDEFINICIÓN 4: Solución de una EDP

Sean k ∈ N∗, n, m ∈ N con n, m ≥ 2, y Ω ⊆ Rn un conjunto abierto. Una sistema de ecuaciones

en derivadas parciales de orden k es un expresión de la forma:


donde

F : Rmnk

× Rmnk−1

× · · · × Rmn × Rm × Ω → R

es un campo vectorial conocido y u : Ω → R es un campo vectorial a ser determinado.

DEFINICIÓN 5: Sistema de EDP’sDEFINICIÓN 5: Sistema de EDP’s

Un campo vectorial u0 : Ω → R se dice que es una solución del sistema de ecuaciones dife-

renciales


si u0 es k veces diferenciable en Ω y si la igualdad

F(Dku0(x), Dk−1u0(x), . . . , Du0(x), u0(x), x) = 0

se verifica para todo x ∈ Ω.

DEFINICIÓN 6: Solución de un Sistema de EDP’sDEFINICIÓN 6: Solución de un Sistema de EDP’s

!

Recordemos que si u : Ω → Rm es un campo vectorial (escalar si m = 1) diferenciable en el

punto x0 ∈ Ω, el diferencial de u en el punto x0 es una aplicación lineal Du(x0) : Rn → Rm,

de donde Du(x0) ∈ L(Rn, Rm). En particular, si u es diferenciable en cada punto de Ω,

esto nos permite definir una aplicación D : Ω → L(Rn, Rm). Ahora, dado que los espacios

vectoriales L(Rn, Rm) y Rmn son isomorfos, podemos considerar que Du : Ω → Rmn.

De manera análoga, se tiene que Dku : Ω → Rmnkcuando u es un campo vectorial k veces

diferenciable. Este razonamiento justifica la elección del dominio para los campos F y F en

las dos definiciones precedentes.


Resumen No. 5: Ecuaciones Diferenciales Parciales Departamento de Formación Básica

Una ecuación en derivadas parciales se llama lineal, si esta es lineal respecto a la función

buscada y todas sus derivadas que forman parte de la ecuación. En caso contrario se llama no

lineal. La ecuación más general en derivadas parciales de segundo orden lineal tiene la forma:

n

∑j,k=1

ajk(x)∂2u

∂xj∂xk+

n

∑j=1

bj∂u

∂xj+ c(x)u(x) + d(x) = 0

donde al menos uno de los coeficientes ajk(x) es diferente de cero.

DEFINICIÓN 7: EDP LinealDEFINICIÓN 7: EDP Lineal

Una ecuación no lineal con la parte principal lineal se la conoce como semilineal. La ecuación

general en derivadas parciales de segundo orden semilineal tiene la forma:

n

∑j,k=1

ajk(x)∂2u

∂xj∂xk= f

(

x, u,∂u

∂x1, ...,+

∂u

∂xn

)

DEFINICIÓN 8: EDP Semi-LinealDEFINICIÓN 8: EDP Semi-Lineal

Cuando cada término de la ecuación diferencial contiene la función o sus derivadas esta ecua-

ción se dice homogénea:

n

∑j,k=1

ajk(x)∂2u

∂xj∂xk+

n

∑j=1

bj∂u

∂xj+ c(x)u(x) = 0,

es decir d(x) = 0, mientras que la ecuación:

n

∑j,k=1

ajk(x)∂2u

∂xj∂xk+

n

∑j=1

bj∂u

∂xj+ c(x)u(x) + d(x) = 0

es no homogénea.

DEFINICIÓN 9: EDP HomogéneaDEFINICIÓN 9: EDP Homogénea

La ecuación diferencial:

A∂2u

∂x2+ B

∂2u

∂x∂y+ C

∂2u

∂y2+ D

∂u

∂x+ E

∂u

∂y+ Fu = f (x, y)

donde A, B, C, D, E y F son constantes reales se dice:

• Hiperbólica si B2 − 4AC > 0;

• Parabólica si B2 − 4AC = 0;

• Elíptica si B2 − 4AC < 0.

DEFINICIÓN 10: Clasificación de EDP’s Lineales de Segundo OrdenDEFINICIÓN 10: Clasificación de EDP’s Lineales de Segundo Orden

Por ejemplo:



1. La ecuación de la onda unidimensional:

∂2u

∂t2= c2 ∂2u

∂x2

es una ecuación hiperbólica.

2. La ecuación del calor unidimensional:

∂u

∂t= c2 ∂2u

∂x2

es una ecuación parabólica.

3. La ecuación de Laplace en dos dimensiones:

∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2= 0

es una ecuación elíptica.

Si u1 y u2, dos funciones de Ω ⊆ Rn en R, son soluciones de una EDP lineal y homogénea en

Ω, entonces la combinación lineal de ellas u, con:

u(x) = c1u1(x) + c2u2(x),

c1, c2 ∈ R, y x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Ω ⊆ Rn también es solución (de esa EDP en Ω).

TEOREMA 1: Teorema Fundamental de SuperposiciónTEOREMA 1: Teorema Fundamental de Superposición

Dada una función u : Ω → R, con Ω ⊆ Rn, se define el operador Laplaciano como:

∆ =n

∑j=1

∂2

∂x2j

.

DEFINICIÓN 11: Operador LaplacianoDEFINICIÓN 11: Operador Laplaciano

Si consideramos una función u(x, t), donde x = (x1, x2, . . . , xn) representa a la variable espacial y

t ∈ [0,+∞[ la variable temporal, consideraremos ∆u como la aplicación del operador laplaciano a

la variable espacial, es decir:

∆u =n

∑j=1

∂2u

∂x2j

=n

∑j=1

uxjxj,

Así, para una función u(x, t) con x ∈ Ω ⊆ R2

∆u =∂2u

∂x21

+∂2u

∂x22

y NO

∆u =∂2u

∂x21

+∂2u

∂x22

+∂2u

∂t2.



Dada una función u : Ω → R, con Ω ⊆ Rn+1, u = u(x, t), x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn se define el

operador D’Alambert como:

= ∂tt −n

∑k=1

∂2

∂x2k

.

es decir:

= ∂tt − ∆.

DEFINICIÓN 12: Operador D’AlambertDEFINICIÓN 12: Operador D’Alambert

Las ecuaciones en derivadas parciales clásicas, son aquellas que debido a su importancia dentro

de la matemática y en otros campos han sido (y siguen siendo) estudiadas por generaciones de

matemáticos y otros científicos, a continuación se presentan unas cuantas de ellas, aquí u(x, t) se

considera una función con x ∈ Ω ⊆ Rn denotando la variable espacial y t ≥ 0 la variable temporal

3. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES CLÁSICAS

3.1 Ecuación de Poisson

Está dada por:

∆u = h(x),

donde u = u(x), u = u(x), x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn, y h(x) es una función real no nula. Si h(x) = 0,

entonces la EDP se llama:

∆u = 0,

se llama Ecuación de Laplace.

3.2 Ecuación de la Onda

Está dada por:

utt − c2∆u = 0,

donde c ∈ R, u = u(x, t), y x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn

3.3 Ecuación del Calor

Está dada por:

ut − c2∆u = 0,

donde c ∈ R, y u = u(x, t), x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn

3.4 Ecuación de Schrodinger

Está dada por:

iut = −h

2m∆u + vu,

donde m > 0 es la masa del electrón, u = u(x, y, z, t), v es una función potencial y h es la constante

de Planck.



Se refiere al valor que tiene la función u. Por ejemplo para una cuerda esta firmemente sujetada

en sus extremos (es decir, en x = 0 y x = L) se concluye que, para todo t ≥ 0 las oscilaciones

de la cuerda deben ser nulas en los extremos, es decir:

u(x, t)|x=0 = u(x = 0, t) = 0, t ≥ 0

u(x, t)|x=L = u(x = L, t) = 0, t ≥ 0

Si u está definida en Ω ⊆ R2, la frontera de Ω se suele denotar por: ∂Ω y si f (u) el valor que

toma u en la frontera de Ω, se suele denotar por:

u|∂Ω = f (u)

DEFINICIÓN 13: Condiciones de FronteraDEFINICIÓN 13: Condiciones de Frontera

Las condiciones iniciales se refieren al valor que toma la función o su derivada al tiempo t = 0.

Por ejemplo, para una cuerda se refiere a su forma o posición inicial y su velocidad inicial, es

decir:

u(x, t)|t=0 = u(x, t = 0) = f (x), x ∈ [0.L]

∂u(x, t)

∂x

∣

∣

∣

∣

t=0

= ut(x, t = 0) = g(x), x ∈ [0.L]

DEFINICIÓN 14: Condiciones InicialesDEFINICIÓN 14: Condiciones Iniciales

3. MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES

Ejemplo: El siguiente problema describe las vibraciones transversales u(x, t) de una cuerda

elástica de longitud L = π fija en ambos extremos, la cual ha sido desplazada de su posición de

equilibrio levantándola en su centro y luego soltada al tiempo t = 0 (su velocidad inicial es cero):

utt = 9uxx t > 0, 0 < x < π

u(0, t) = 0, u(π, t) = 0 t ≥ 0,

u(x, 0) = f (x) ut(x, 0) = 0 0 ≤ x ≤ π.

donde

f (x) =

x, 0 ≤ x ≤ π/2.

π − x, π/2 ≤ x ≤ π

Vamos a utilice el método de separación de variables para encontrar una expresión que describa

las vibraciones transversales u(x, t) en todo punto x ∈ [0, π] de la cuerda y para todo tiempo t.

Para esto buscamos una solución de la forma:

u(x, t) = X(x)T(t) (1)

la cual al derivar

utt = X(x)T′′(t)

uxx = X′′(x)T(t)



y reemplazar utt y uxx en nuestra EDP: utt = 9uxx, tenemos:

X(x)T′′(t) = 9X′′(x)T(t)

que se puede reescribir como:T′′(t)

9T(t)=

X′′(x)

X(x).

El lhs de la ecuación depende solamente de t y el rhs solamente de x, esto es posible si ambos son

igual a una constante k (arbitraria), es decir:

T′′(t)

9T(t)=

X′′(x)

X(x)= k.

de donde podemos obtener las EDO’s:

X′′(x)− kX(x) = 0 (2)

T′′(t)− 9kT(t) = 0. (3)

con las condiciones de frontera:

u(0, t) = X(0)T(t) = 0, X(0) = 0

u(π, t) = X(π)T(t) = 0, X(π) = 0

Como k es una constante arbitraria, esta puede ser positiva, negativa o incluso cero, y por

tanto esto las soluciones de las ecuaciones (2) y (3) serán diferentes. Se puede demostrar que para

valores de k > 0 o k = 0 las soluciones de las ecuaciones (2) y (3) corresponden a la solución trivial

u(x, t) = 0.

Para k < 0 y tomando k = −γ2 tenemos la ecuación:

X′′(x) + γ2X(x) = 0 (4)

con las condiciones de frontera que obtuvimos previamente:

X(0) = 0, X(π) = 0

Para resolverla, buscamos una solución de la forma:

X(x) = emx, (5)

que derivando y reemplazando X′(x) y X′′(x) en (4) tenemos:

m2emx + γ2emx = 0

emx(m2 + γ2) = 0

de donde:

m = ±iγ.



Reemplazando m en (5),

X(x) = e±iγx. (6)

Se puede verificar que la solución general de (4) está dada por:

X(x) = A cos(γx) + B sen(γx). (7)

Las constantes A y B se determinan a partir de las condiciones X(0) = 0 y X(π) = 0.

X(0) = A cos(γ0) + B sen(γ0) = 0, A = 0. (8)

X(π) = B sen(γπ) = 0. (9)

El sen(γπ) es 0 si el argumento γπ es igual a nπ para todo n = 0, 1, 2, 3, ... es decir:

γπ = nπ

y por tanto,

γn = n, n = 0, 1, 2, 3, ...

Como X(x) = B sen(γx) y existen un infinito número de valores de γ, existen también un infinito

número de soluciones para la ecuación (4) (denotadas por el subíndice n), es decir:

Xn(x) = Bn sen(γnx)

reemplazando γn = n y tomando Bn = 1, tenemos:

Xn(x) = Bn sen(nx). (10)

Como habíamos considerado k = −γ2, la ecuación (3) se convierte en:

T′′(t) + 9n2T(t) = 0. (11)

cuya resolucón es similar a la ecuación (4). Se puede verificar que la solución a (11) está dada por:

Tn(t) = Cn cos(3nt) + Dn cos(3nt) (12)

para n = 1, 2, 3, .... Reemplazando las ecuaciones (10) y (12) en (1), tenemos:

un(x, t) = Bn sen(nx) [Cn cos(3nt) + Dn cos(3nt)] (13)

Por el teorema fundamental de superposición, la solución general está dada por:

u(x, t) =∞

∑n=1

cnun(x, t) =∞

∑n=1

cn

[

Bn sen(nx) [Cn cos(3nt) + Dn cos(3nt)]]

(14)

o simplemente por:

u(x, t) =∞

∑n=1

sen(nx) [A∗n cos(3nt) + B∗

n cos(3nt)] (15)

donde, para determinar los coeficientes A∗n y B∗

n utilizamos las condiciones iniciales: u(x, 0) = f (x)



y ut(x, 0) = 0, y se puede demostrar que estas están dadas por:

A∗n =

2

π

∫ π

0f (x) sen(nx)dx =

2

π

∫ π/2

0x sen(nx)dx +

2

π

∫ π

π/2(π − x) sen(nx)dx =

4

πn2sen(

nπ

2)

B∗n =

2

nπ

∫ π

0ut(x, 0) sen(nx)dx = 0

por tanto:

u(x, t) =∞

∑n=1,3,5,...

4

πn2sen(

nπ

2) sen(nx) cos(3nt)

o

u(x, t) =4

π

∞

∑k=1

(−1)2k−1

(2k − 1)2sen

(

(2k − 1)π

2

)

sen((2k − 1)x) cos(3(2k − 1)t).

CRÉDITOS





escuela politÉcnica nacional anÁlisis de fourier y ... · departamento de formación básica...

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