escuela profesional de matemÁticas
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES YFORMALES
ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICAS
DIFERENCIAS FINITAS Y MÉTODOS ESPECTRALESPARA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Y
PARCIALES
PRESENTADO POR EL BACHILLER:
FELIX ALVINO, MIGUEL
PARA OPTAR EL TITULO
PROFESIONAL EN MATEMÁTICAS
ASESOR:
Dr. ANGEL SANGIACOMO CARAZAS
AREQUIPA - PERÚ
2015
DIFERENCIAS FINITAS Y MÉTODOSESPECTRALES PARA ECUACIONESDIFERENCIALES ORDINARIAS Y
PARCIALES
Miguel Felix Alvino
Diciembre 2015
Resumen
En este trabajo hacemos una exposición de las generalidades de dos métodos numéri-cos mas utilizados para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales: paranuestro caso son el de Diferencias Finitas y los métodos espectrales con respecto aFourier y Chebyshev.Utilizamos los métodos espectrales de Fourier con sus matrices de diferenciación
y despues por motivo de uniformidad fue necesario usar los polinomios ortogonalesde Chebyshev que constituyen una alternativa adecuada a la base de Fourier.Además, hemos aplicado los capítulos anteriores para resolver el �ujo de Pouseuille,
como un caso particular de la ecuación de Navier-Stokes a través de la aplicación dela teoria espectral de Fourier y Chebyshev con el auxilio de diferencias �nitas.
Palabras Claves: Diferencias Finitas, Métodos Espectrales, EcuacionesDiferenciales Ordinarias y Parciales, Flujo de Pouseuille y Ecuación de Navier-Stokes.
Abstract
In this paper we show an overview of two most used numerical methods for solvingordinary and partial di¤erential equations for our case are the Finite Di¤erence andspectral methods with respect to Fourier and Chebyshev.Use Fourier spectral methods with their di¤erentiation and then arrays because
of uniformity required using Chebyshev orthogonal polynomials which are a suitableto alternative Fourier basis.In addition, we applied the previous chapters to solve the �ow Pouseuille, as a
particular case of the Navier-Stokes through the application of Fourier spectral andChebyshev theory with the aid of �nite di¤erences.
Keywords: Finite Di¤erence, Spectral Methods, Ordinary Di¤erential Equa-tions and Partial, Pouseuille Flow and Navier-Stokes equation.
Índice general
Agradecimiento 2
Introducción 3
1. APROXIMACIÓN POR DIFERENCIAS FINITAS 51.1. Diferencias Finitas para Ecuaciones Diferenciales Ordinarias . . . . . 51.2. Diferencias �nitas para Ecuaciones Diferenciales Parciales . . . . . . . 8
1.2.1. Ecuaciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2. Ecuaciones parabólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.3. Ecuaciones elípticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. MÉTODOS ESPECTRALES 152.1. Métodos espectrales de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1. Serie de Fourier Truncada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.2. Métodos de Colocación según Fourier . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2. Métodos espectrales de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.1. Polinomios de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.2. Métodos de Colocación según Chebyshev . . . . . . . . . . . . 22
2.3. Observaciones sobre la relación de diferencias �nitas con aproxima-ciones espectrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.1. Diferencias �nitas versus colocación espectral . . . . . . . . . 26
3. APLICACIONES 293.1. Formulación del Flujo de Pouseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.1. Diferentes condiciones del �ujo: Gradiente de presión con-stante o �ujo constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2. Implementación Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.1. Aproximación Numérica: elección del método. . . . . . . . . . 353.2.2. Evaluación de los términos lineales . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.3. Evaluación de los términos no lineales . . . . . . . . . . . . . . 403.2.4. Ecuaciones Reducidas. Evolución Temporal . . . . . . . . . . . 423.2.5. El Integrador Numérico del Flujo Constante . . . . . . . . . . 463.2.6. Comprobación del Integrador Numérico . . . . . . . . . . . . . 48
Bibliografía 54
1
AgradecimientoHay mucha gente que hizo y hace posible que yo esté acá, escribiendo mi tesis de
licenciatura. Mucha gente que me ayudó y acompaño todos estos años, de cerca o delejos, a nivel académico, familiar y brindándome su amistad. En particular, quieroagradecer:A la Universidad Nacional de San Agustin y en especial a la Escuela Profesional
de Matematicas por acogerme en sus aulas, y a sus docentes por darme la enseñanzanecesaria para poder triunfar en la vida.De manera muy especial quiero extender mis agradecimientos a toda mi familia,
por su apoyo y la con�anza que depositan en mí, son todos el pilar de mi vida, graciaspor estar conmigo en los momentos felices así como en los mas difíciles, gracias pordarme ánimos para salir adelante y gracias por ser tan amables, cariñosos, graciaspor ser mi familia, sepan todos que los amo, mis agradecimientos a mis padres Dora,Lino y mi hermano Alejandro por estar siempre conmigo, gracias por ello.A mi asesor Angel Sangiacomo Carazas que siempre tuvo la paciencia necesaria
para poder ayudarme en las cosas que no comprendia, dandome consejos einstrucciones necesarias para poder desarrollar mi tesis.
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INTRODUCCIÓN
El presente trabajo trata de comparar la e�ciencia en los cálculos del método dediferencia �nita con el de método espectral de Fourier o chebyshev para ecuacionesdiferenciales ordinarias y parciales.Además sabemos que estos dos métodos son los que nos dan mejor aproximación
a la solución deseada, a problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)o ecuaciones diferenciales parciales (EDP) difíciles de resolver de forma analítica,utilizando polinomios interpolantes que aproximen a la función original de los cualobtendremos una solución numérica.Para realizar este trabajo nosotros fórmulamos los siguientes objetivos:Objetivo del proyecto: evaluar el método de diferencias �nitas y métodos
espectrales de Fourier o Chebyshev en el campo de las ecuaciones diferenciales ordi-narias y parciales para dar una solución aproximada a la solución original, en nuestrocaso el problema de Pouseuille.Objetivos Especi�cos:Revisar y conocer los métodos de diferencias �nitas, espectrales y pseudoespec-
trales.Conocer los métodos de solución de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales
por los métodos aproximados referidos a diferencias �nitas y los metodos espectrales.Conocer los métodos de Fourier y Chebyshev referidos a los métodos espectrales.Aplicar los métodos espectrales a la solución de Ecuaciones Diferenciales Ordi-
narias y Parciales, y relacionarlos con los métodos de diferencias �nitas.Aplicación al �ujo de Pouseuille.Y además tenemos como Hipótesis que los métodos de diferencias �nitas y
métodos espectrales nos permiten dar solución a las Ecuaciones Diferenciales Ordi-narias y Parciales y además nos permiten examinar la gran potencia de los métodosespectrales en cuanto a precisión se re�ere con respecto a diferencias �nitas, espe-cialmente al problema particular del �ujo de Pouseuille.Organización. El presente trabajo está organizado de la siguiente manera.En el Capitulo 1 trataremos sobre la aproximación por diferencias �nitas para
EDO�s y EDP�s, donde los métodos de diferencias �nitas son obtenidos paraaproximar a una función u (x) por un polinomio interpolante local. Las derivadasde u (x) son entonces aproximados por diferenciación de estos polinomios locales. Yademás daremos a concocer los tres tipos de EDP�s mas comunes los cuales son:Ecuaciones de tipo hiperbolicoEcuaciones de tipo parabolicoEcuaciones de tipo eliptico
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Para cada uno de ellos construiremos su aproximación por diferencias �nitas,utilizando diferencias avanzada, atrasada o centrada.Posteriormente en el Capitulo 2 trataremos sobre los métodos espectrales de
Fourier y Chebyshev. Así comenzaremos primeramente de�niendo los métodos es-pectrales de Fourier que están representados por las series de Fourier o polinomiosde Fourier. Donde veremos que los métodos de Fourier son apropiados para proble-mas periódicos, además construiremos su matriz de diferenciación con respecto deFourier, pero debemos aclarar que estos métodos se trabajan con respecto a los pun-tos de colocación. Seguidamente de�niremos los métodos espectrales de Chebyshevque tienen como base los polinomios de Chebyshev, además a diferencia de Fouri-er este método trabaja para problemas no periódicos, así también construiremos sumatriz de diferenciación de Chebyshev. Por último, en este capítulo veremos algunasobservaciones que relacionan los métodos de diferencia �nita y métodos espectrales.Y terminaremos mostrando un ejemplo donde compararemos ambos métodos veri-�cando cuál de ellos es más preciso en los cálculos aproximados con respecto a lasolución analítica.En el Capítulo 3 veremos una aplicación donde ponemos en práctica los conceptos
tratados en los capítulos 1 y 2, esta aplicación está ligada al �ujo de Pouseuille cuyaecuación está gobernada por las ecuaciones de Navier-Stokes para �uidos incompren-sibles. En donde utilizando diferencias �nitas y métodos espectrales de colocacióndaremos una solución aproximada para el �ujo de Pouseuille. A comienzo daremosuna formulación del �ujo de Pouseuille, para luego dar una implementación numéricautilizando los conceptos ya mencionados.
Figura 1: Métodos de diferencia �nita.
Figura 2: metodos espectrales
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Capítulo 1
APROXIMACIÓN PORDIFERENCIAS FINITAS
El método de diferencias �nitas sirve para aproximar la solución de ecuacionesdiferenciales ordinarias y en derivadas parciales, las cuales van por lo general acom-pañadas de condiciones iniciales o de frontera.Mediante un proceso de discretización, el conjunto in�nito de números que
representan la función o funciones incógnitas en el continuo, es reemplazado porun número �nito de parámetros incógnita, y este proceso requiere alguna forma deaproximación.Si deseamos determinar la función f (x) que satisface una ecuación diferencial
en un dominio determinado, junto a condiciones iniciales del problema. Se tieneque empezar por diferenciar la variable independiente x, para después construir unagrilla o malla, con puntos discretos igualmente espaciados, sobre el dominio estable-cido. Después se debe reemplazar aquellos términos en la ecuación diferencial queinvolucren diferenciación por términos que contengan operaciones algebraicas. Esteproceso trae implícito una aproximación y puede efectuarse mediante la utilizaciónde aproximación en diferencias �nitas para las derivadas en una función.
1.1. Diferencias Finitas para Ecuaciones Diferen-ciales Ordinarias
Primeramente pasaremos a de�nir acerca de una ecuación diferencial ordinaria:Una ecuación diferencial ordinaria (EDO1) es una ecuación que solo posee una
variable independiente x,en su forma general es dada por
F�x; y; y0; : : : ; y(n)
�= 0 (1.1)
con F una función continua F : Rn+1 �! R, donde�y; y0; : : : ; y(n)
�son n derivadas
de una función y = y (x).La ecuación (1.1) puede ser transformado a un sistema de ecuaciones diferenciales
ordinarias de primer orden el cual tiene la forma
x0 = f(x; t)
1EDO: Ecuciones Diferenciales Ordinarias
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donde f 2 Rn+1 ; x 2 Rn y t 2 R:Problema de Valor Inicial (PVI): Para f una función en Rn+1, T > 0 y x0 2 Rn,
encontrar una función diferenciable x (t) de�nida para t 2 [0; T ] tal que�x0 (t) = f (x; t) , t 2 [0; T ]x (0) = x0
(1.2)
Se dice que una función f continua con respecto de t satisface la condición deLipschitz para la variable x 2 RN , si existe una constante L > 0 para t 2 [0; T ] conla propiedad de que
jf (x1; t)� f (x2; t)j � L jx1 � x2jEnseguida enunciaremos el teorema de existencia y unicidad para el problema
de valor inicial (1.2).
Teorema 1.1 (Existencia y Unicidad). Sea f una función continua y lipschitzianacon respecto x; t 2 [0; T ]. Entonces existe una única función diferencial que satisfaceel PVI �
x0 (t) = f (x; t) , t 2 [0; T ]x (0) = x0
La idea básica del método de diferencias �nitas es de aproximar la ecuacióndiferencial por cocientes de diferencia apropiados, así reducir una ecuación diferenciala un sistema algebraico. Existe una variedad de caminos hacia la aproximación.Sea f una función diferenciable en R. Sí x 2 R y h > 0. Entonces tenemos las
siguientes tres diferencias típicas de aproximación:Diferencia de avanzada:
f 0 (x) � f (x+ h)� f (x)h
Diferencia atrasada:
f 0 (x) � f (x)� f (x� h)h
Diferencia centrada
f 0 (x) � f (x+ h)� f (x� h)2h
Si f posee segunda derivada, en este caso se veri�ca que los errores de aproximaciónpara diferencias avanzada y atrasada es O (h). Si la tercera derivada de f existe,entonces el error de aproximación para la diferencia centrada es O (h2). Observamosque si la función es suave, diferencias centrada es mas exacto aproximando a laderivada.La segunda derivada de la función f es usualmente aproximado por diferencia
centrada de segundo orden:
f00(x) � f (x+ h)� 2f (x) + f (x� h)
h2
y podemos veri�car que f tiene cuarta derivada, el error de aproximación es O (h2) :
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Ilustraremos utilizando el problema de valor en la frontera de segundo orden parauna función y : [a; b] �! R
� y00 + q (x) y = g (x) (1.3)
y (a) = �; y (b) = �
suponiendo que q; g 2 C [a; b] (es decir q y g son funciones continuas en [a; b]) yq (x) � 0 para x 2 [a; b] ; esto puede probar que (1.3) tiene una unica solución y (x).Para discretizar (1.3), subdividamos [a; b] en n+ 1 subintervalos iguales,
a = x0 < x1 < � � � < xn < xn+1 = b; xj = a+ hj; h =b� an+ 1
;
y, abreviando yj = y (xj), reemplazamos el cociente diferencial y00i = y00 (xi) parai = 1; : : : ; n. por la diferencia de segundo orden
�2yi =yi+1 � 2yi + yi�1
h2
estimando el error � i (y) = y00 (xi)��2yi, y utilizando la expansión de Taylor hastael cuarto orden, tenemos que el error queda de la siguiente manera:
� i (y) = y00 (xi)��2yi = �
h2
12y(4) (xi + �ih) para algún j�ij < 1:
De (1.3), los valores yi = y (xi) satisface la ecuación
y0 = � (1.4)2yi � yi�1 � yi+1
h2+ q (xi) yi = g (xi) + � i (y) ; i = 1; : : : ; n;
yn+1 = �
abreviando qi = q (xi) ; gi = g (xi), los vectores
y =
26664y1y2...yn
37775 ; � (y) =26664� 1 (y)� 2 (y)...
�n (y)
37775 ; k =2666664g1 +
�h2
g2...
gn�1gn +
�h2
3777775y la matriz simetrico tridiagonal n� n
A =1
h2
26666642 + q1h
2 �1 0�1 2 + q2h
2 �1�1 . . . . . .
. . . . . . �10 �1 2 + qnh
2
3777775la ecuación (1.4) es equivalente a
Ay = k + � (y) (1.5)
El método de diferencia consiste en eliminar el término error � (y) en (1.5) y tomandola solución u = [u1; : : : ; un]
T del sistema resultante de la ecuación lineal,
Au = k
como una aproximación a y.
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1.2. Diferencias �nitas para Ecuaciones Diferen-ciales Parciales
¿Que es una EDP2? Es una ecuacion que envuelve dos o mas variables indepen-dientes, una función incógnita, sus derivadas parciales con respecto a esas variables,en general una EDP tiene la siguiente expresión
F (x; y; : : : ; u; ux; uy; : : : ; uxx; uyy; uxy; : : :) = 0
donde x; y; � � � 2 � Rn son las variables independientes y u : � R es la funciónincógnita de estas variables.Nosotros consideraremos una EDP de segundo orden dada por:
A@2u
@x2+B
@2u
@x@y+ C
@2u
@y2+D
@u
@x+ E
@u
@y+ Fu+G = 0
donde A;B;C;D;E; F y G son funciones de las variables independientes x e y, ytambién de la variable dependiente u.Estas ecuaciones diferenciales parciales se clasi�can en tres grupos:Elipticas: si B2 � 4AC < 0.Parabolicas: si B2 � 4AC = 0.Hiperbolica: si B2 � 4AC > 0.Enseguida tenemos estos tres tipos de ecuaciones:
1. Ecuaciones de tipo hiperbólico: La ecuacion de la onda
@2u
@t2= a2
@2u
@x2
2. Ecuaciones de tipo parabólico: La ecuacion del calor
@u
@t= a2
@2u
@x2
3. Ecuaciones de tipo elíptico: Las ecuaciones de Poisson y Laplace
�u =@2u
@x2+@2u
@y2= k, k es constante.
Estos tres tipos de EDP�s son asociados con estados de equilibrio, estados dedifusión y sistemas de oscilación, respectivamente. Estudiaremos algunos métodosnuméricos para resolver estas EDP�s. Donde las soluciones analíticas son usualmentedifíciles de encontrar.Por esta razón tenemos el método de diferencias �nitas que toma un h como
la longitud espacial y k longitud temporal, donde h y k son números positivos.Entonces la rejilla tienen los puntos (tn; xm) = (nk;mh) para n;m 2 Z.
2EDP: Ecuaciones Diferenciales Parciales.
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Sabiendo que una ecuación diferencial parcial de�nido por
Lu = g
donde L : U ! V es un operador diferencial, y U; V espacio de funciones en Rn,g 2 V . Y su expresión en diferencias �nitas
Lhuh = gh
con Lh : Uh ! Vh, gh 2 Vh, y espacios discretos Uh; Vh. Ahora veamos el conceptode estabilidad del método de discretización de diferencias �nitas:
De�nición 1.1 El método de discretización de diferencias �nitas es estable, si paraalgún constante S > 0 se tiene
kvh � whk � S kLhvh � Lhwhk ,para todo vh; wh 2 Uh (1.6)
La estabilidad garantiza que los errores de redondeo ocurridos en el problema notengan un efecto excesivo en el resultado �nal.
Observación 1.1 Si el operador Lh es lineal, entonces la estabilidad de la dis-cretización es equivalente a la existencia de una constante c > 0, independiente deh, tal que
L�1h � c.Cuando el operador Lh es no-lineal, es valido aplicar la desigualdad (1.6) en una
vecindad de la solución discreta uh.
1.2.1. Ecuaciones hiperbólicas
Como ejemplo de una EDP hiperbólica tenemos la ecuación de ondas.
utt (x; t) = a2uxx(x; t) 0 < x < L; 0 < t < T (1.7)
con las C.F.3
u(0; t) = 0; u(L; t) = 0; 0 � t � Ty los C.I.4
u(x; 0) = f(x); 0 � x � Lut(x; 0) = g(x); 0 < x < L
La ecuación de ondas modela el desplazamiento u(x; t) desde su posición de equilibriode una cuerda elástica vibrante cuyos extremos, de coordenadas x = 0; x = L estan�jos.La solución exacta de la ecuación de ondas podemos determinarla por medio de
las series de Fourier, aqui vamos a usar este problema como prototipo de la situaciónque se da en las EDP�s hiperbólicas a través de los métodos en diferencias.
3C:F: Condiciones de Frontera.4C.I: Condiciones Iniciales.
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Construcción de la ecuación en diferencias
Hagamos una partición del rectángulo
< =�(x; t) 2 R2 ; 0 � x � L; 0 � t � T
en una malla que consta de n� 1 por m� 1 rectángulos de lados �x = h; �t = k,como se muestra en la �gura 1.1
Figura 1.1: Esquema de diferencias �nitas
Empezamos por la �la de abajo donde t = t1 = 0, ya sabemos que la soluciónes f (xi) = u (xi; t1). Ahora vamos a usar una ecuación en diferencias para calcularlas �las sucesivas, las aproximaciones a la solución exacta, que en los puntos de lamalla son u (xi; tj). O sea, para j = 2; 3; ::: calcularemos
fui;j ' u (xi; tj) , i = 1; 2; :::g
Utilizaremos la fórmula de diferencias centradas para aproximar utt (x; t) y uxx(x; t)
utt(x; t) =u (x; t+ k)� 2u (x; t) + u (x; t� k)
k2+ o
�k2�
(1.8)
uxx(x; t) =u (x+ h; t)� 2u (x; t) + u (x� h; t)
h2+ o
�h2�
El espacio entre los puntos de la malla es uniforme en todas las �las xi+1 = xi +h; xi�1 = xi � h; y también es uniforme en todas las columnas tj+1 = tj + k ó(tj�1 = tj � k).
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Teniendo esto en cuenta , obtenemos la ecuación en diferencias eliminando tér-minos de orden o (k2) y o (h2) de las relaciones anteriores, usando la aproximaciónui;j en vez de u (xi; tj) en dichas relaciones y sustituyendo en (1.7) nos da
ui;j+1 � 2ui;j + ui;j�1k2
= a2ui+1;j � 2ui;j + ui�1;j
h2(1.9)
que es la ecuación en diferencias que usaremos como aproximación a la ecuacióndiferencial (1.7) . Si escribimos (1.9) asi
ui;j+1 � 2ui;j + ui;j�1 =a2k2
h2(ui+1;j � 2ui;j + ui�1;j)
y llamando r =ak
hse tiene
ui;j+1 � 2ui;j + ui;j�1 = r2 (ui+1;j � 2ui;j + ui�1;j) (1.10)
Reordenando los términos de (1.10), podemos determinar las aproximaciones a lasolución en los puntos de la �la (j+1)� �esima de la malla, supuesto que conocemoslas aproximaciones a la solución en los puntos de las �las anteriores j � �esima y(j � 1)� �esima.
ui;j+1 =�2� 2r2
�ui;j + r
2 (ui+1;j + ui�1;j)� ui;j�1, i = 2; 3; :::; n� 1, y j = 1; 2; :::(1.11)
Las condiciones de frontera son dadas así:
u(0; t) = u(L; t) = u0;j = un;j = 0; para cada j = 1; 2; ::: (1.12)
y la condición inicial implica lo siguiente:
u(x; 0) = f(x) = ui;0 = f (xi) ; para cada i = 1; 2; :::; n� 1 (1.13)
Las ecuaciones (1.11) y (1.12) implican que el (j + 1)��esimo paso de tiempo requirevalores de los j��esimo y (j � 1)��esimo. Esto produce un pequeño problema inicial,por que los valores de j = 0, estan dadas por la ecuación (1.13), pero los valores dej = 1, que se necesitan en la ecuación (1.11) para calcular ui;2, deba obtenerse de lacondición inicial de la velocidad:
ut(x; 0) = g(x); 0 < x < L
reemplazando @u=@t por una aproximación de diferencias progresivas tenemos:
ui;1 = ui;0 + kg (xi) ; para cada i = 1; :::; n� 1:
Observación 1.2 Hay que tener cuidado al utilizar la fórmula (1.11) si el errorcometido en una etapa de los cálculos no se ampli�ca en las etapas posteriores,entonces se dice que el método es estable. Para garantizar la estabilidad de la fórmula(1.11) es necesario que [2]
r =ak
h� 1.
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1.2.2. Ecuaciones parabólicas
Como ejemplo de una EDP parabólico consideramos la ecuación del calor.
ut (x; t) = a2uxx (x; t) , 0 � x � L, 0 < t < T: (1.14)
con C.I.u (x; 0) = f (x) ; t = 0; 0 � x � L:
y C.F.
u (0; t) = c1 = 0; x = 0; 0 � t � Tu (L; t) = c2 = 0; x = L; 0 � t � T
Como sabemos la ecuación del calor modela la distribución de temperaturas en unalambre aislado, cuyos extremos se mantienen a temperaturas constantes c1 y c2,a partir de una distribución inicial de temperaturas a lo largo del alambre f (x)[2]. Calcular la solución exacta es mediante series de Fourier. Pero, en este casoutilizaremos esta ecuacion para resolverlo numerícamente.
Construcción de la ecuación en diferencias
Dividamos el rectángulo
< = f(x; t) ; 0 � x � L; 0 � t � Tg
en n � 1 por m � 1 rectángulos de lados �x = h; �t = k. Empezamos por la�la de abajo donde t = t1 = 0, ya sabemos que la solución es f (xi) = u (xi; t1),desarrollaremos un método para calcular las aproximaciones a los valores exactosu (x; t) en los puntos de la malla fui;j ' u (xi; tj) , i = 1; 2; :::g para j = 2; 3; :::;m.Las fórmulas en diferencias que usamos para ut (x; t) y uxx(x; t) son, respectivamente
ut(x; t) =u (x; t+ k)� u (x; t)
k+ o (k) (1.15)
uxx(x; t) =u (x+ h; t)� 2u (x; t) + u (x� h; t)
h2+ o
�h2�
Teniendo en cuenta que el tamaño de los rectángulos de la malla es uniforme en cada�la, xi+1 = xi + h; y xi�1 = xi � h, y en cada columna tj+1 = tj + k despreciandolos términos o (k) y o (h2), usando la aproximación ui;j en vez de u (xi; tj) en lasecuaciones (1.15) y sustituyendo lo que se obtiene en la ecuación del calor (1.14)tendremos
ui;j+1 � ui;jk
= a2ui+1;j � 2ui;j + ui�1;j
h2(1.16)
que es una aproximación a la relación (1.14). Por comodidad llamaremos r = a2kh2en
(1.16) y reordenando tenemos
ui;j+1 = (1� 2r)ui;j + r (ui+1;j + ui�1;j) , i = 2; 3; :::; n� 1. (1.17)
La ecuación en diferencias (1.17) se emplea para calcular las aproximaciones en la�la (j + 1) � �esima de la malla a partir de las aproximaciones de la �la anterior;
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hagamos notar que esta fórmula proporciona explícitamente el valor ui;j+1 en funciónde ui�1;j; ui;j; ui+1;j.Dado la condición inicial u (x; 0) = f (x) ; t = 0; 0 � x � L: implica que
ui;0 = f (xi) ;para cada i = 1; 2; :::; n. Y las condiciones de frontera son dadas asíu(0; t) = u(L; t) = u0;j = un;j = 0; para cada j = 1; 2; :::.
Observación 1.3 La fórmula (1.17) es muy sencilla y nos invita a usarla rápi-damente, sin embargo es importante usar técnicas numéricas estables y la fórmula(1.17) no siempre lo es. La fórmula (1.17) es estable si, y solo si, 0 � r � 1
2. Esto
signi�ca que el tamaño de paso k debe cumplir k � h2
2a2. Si esto no se cumple, en-
tonces puede ocurrir que los errores introducidos en la �la fui;jg se ampli�quen enalguna �la posterior fui;pg para algún p > j [2].
1.2.3. Ecuaciones elípticas
Como ejemplos de ecuaciones en derivadas parciales elípticas, consideremos lasecuaciones de Laplace, Poisson y Helmholtz. Recordemos que la laplaciana de unafunción u(x; y) es
r2u(x; y) = uxx(x; y) + uyy(x; y)
Con esta notación, las ecuaciones de Laplace, Poisson y Helmholtz pueden expresarsede la siguiente manera
r2u(x; y) = 0 Ecuación de Laplace;
r2u(x; y) = g(x; y) Ecuacion de Poisson;
r2u(x; y) + f(x; y)u(x; y) = g(x; y) Ecuacion de Helmholtz
Si se conocen los valores que debe tomar la funcion u(x; y) (problema de Dirich-
let) o su derivada normal@u (x; y)
@�= 0 (problema de Neumann) en la frontera de
una región rectangular < del plano, entonces cada uno de estos problemas puederesolverse mediante la técnica numérica conocida como el método de las diferencias�nitas. Por razones obvias, sólo, estudiaremos con detalles la ecuación en diferenciaspara el laplaciano.
Ecuación en diferencias para el laplaciano
El primer paso consiste en obtener una versión discretizada del operador deLaplace que nos permita usarlo numéricamente. La fórmula para f 00 (x) es
f 00 (x) =f (x+ h)� 2f (x) + f (x� h)
h2+ o
�h2�
(1.18)
así que, al aplicar esta fórmula a la función u(x; y) para aproximar uxx(x; y) yuyy(x; y) y sumar los resultados obtenemos
r2u =u (x+ h; y) + u (x� h; y) + u (x; y + h) + u (x; y � h)� 4u (x; y)
h2+ o
�h2�
(1.19)
13
Ahora dividamos el rectángulo < = f(x; y) ; 0 � x � a; 0 � y � bg en n� 1�m� 1cuadrados de lado h (o sea a = nh y b = mh), como se muestra en la �gura 1.1,donde en vez de t sea y. Para resolver la ecuación de Laplace, imponemos laaproximación
u (x+ h; y) + u (x� h; y) + u (x; y + h) + u (x; y � h)� 4u (x; y)h2
+ o�h2�= 0
(1.20)que tiene una precisión de orden o (h2) en los puntos interiores de la malla(x; y) = (xi; yj) para i = 2; 3; :::; n � 1 y j = 2; 3; :::;m � 1. Como los puntos de lamalla están espaciados uniformemente
xi+1 = xi+ h; xi�1 = xi� h; yi+1 = yi+ h e yi�1 = yi� h;
denotando por ui;j la aproximación al valor u(xi; yj), la ecuación (1.20) queda
r2ui;j 'ui+1;j + ui�1;j + ui;j+1 + ui;j�1 � 4ui;j
h2= 0 (1.21)
expresión que se conoce como la fórmula de diferencias con cinco puntos para ellaplaciano, ([5]). Esta fórmula relaciona el valor de la función ui;j con sus cuatrovalores adyacentes ui+1;j; ui�1;j; ui;j+1 y ui;j�1. Eliminando de la expresión (1.21) eldenominador h2 obtenemos la fórmula de aproximación para la ecuación de Laplace
ui+1;j + ui�1;j + ui;j+1 + ui;j�1 � 4ui;j = 0
14
Capítulo 2
MÉTODOS ESPECTRALES
Los métodos espectrales involucran la búsqueda de soluciones de una ecuacióndiferencial o de un sistema de ecuaciones diferenciales, en términos de funcionessuaves. Estos métodos se empezaron a utilizar ampliamente desde hace unos 30años, y son actualmente, una alternativa al método de diferencias �nitas.El método espectral más familiar es el método de Fourier en que las funciones
de base son funciones trigonométricas. Tales bases están adaptadas a problemasperiódicos. Así comenzaremos este segundo capitulo de�niendo primeramente losmétodos espectrales de Fourier.Como los métodos de Fourier son apropiados para problemas periódicos, pero no
están adaptados para problemas no-periódicos por la existencia de los fenómenos deGibbs en las fronteras o limites. Para este tipo de problemas es necesario utilizar lospolinomios ortogonales, como son los polinomios de Chebyshev del cual se conocelos métodos espectrales de Chebyshev, que constituyen una alternativa adecuada ala base de Fourier [4]. El desarrollo en serie de Chebyshev puede ser visto como unaserie de Fourier de cosenos. Así estos son los dos métodos que pasaremos a de�nir acontinuación:
2.1. Métodos espectrales de Fourier
2.1.1. Serie de Fourier Truncada
Sea u (x) una función que es aproximada por la siguiente serie truncada
uK (x) =KX
k=�K
ukeikx (2.1)
donde i2 = �1. Esta expansión contiene 2K+1 coe�cientes complejos que tienen queser determinados. La función u (x) asume ser real si los dos coe�cientes de Fourier,con valores contrarios de k, son complejos conjugados, es decir
u�k = uk (2.2)
el coe�ciente u0 es obviamente real. Por lo tanto, con (2.2), la expansión (2.1) tam-bién contiene 2K + 1 incognitas reales. Generalmente, los coe�cientes complejos uk
15
son calculados para k = 0; : : : ; K y entonces los coe�cientes restantes son dadas por(2.2). La forma compleja de la expansión (2.1) es utilizado para aplicar la transfor-mada rápida de Fourier.El producto escalar (u; v)w =
R ��uvwdx esta de�nido en L2 (0; 2�), es valido para
w = 1, la cual es
(u; v) =
Z 2�
0
uvdx
así que la propiedad de ortogonalidad en la función exponencial compleja esZ 2�
0
eikxe�inxdx =
�2� , si k = n0 , si k 6= n
donde eikx es ortogonal en L2 [0; 2�]
2.1.2. Métodos de Colocación según Fourier
Los puntos de colocación asociados con la serie de Fourier son de�nidos por
xj =2�j
N; j = 0; : : : ; N;
tal que x0 = 0 y xN = 2�. Sea u (x) una función periódica, que satisface u (x0) =u (xN) y similar igualdad para sus derivadas. La función u (x) es aproximada por laexpansión (2.1) es decir,
uK (x) =KX
k=�K
ukeikx
donde los coe�cientes uk; k = �K; : : : ;K, son de�nidos al imponer el residualRK (x) = u (x)� uK (x) ; que son nulos en los puntos de colocación, o sea:
RK (xj) = u (xj)� uK (xj) = 0; j = 1; : : : ; N
oKX
k=�K
ukeikxj = u (xj) ; j = 1; : : : ; N: (2.3)
Como se mencionó anteriormente, el sistema contiene 2K + 1 incógnitas complejasde uk, por lo tanto es necesario que
N = 2K + 1:
Si u (xj) es real, y por la igualdad u�k = uk se tiene un sistema que contiene 2K+1incógnitas reales.Ahora, los coe�cientes uk son determinados explicitamente por aplicación de la
relación discreta de ortogonalidad
NXj=1
ei(k�n)2�jN =
�N; si k � n = mN; m = 0;�1;�2; : : :0; en otros casos
(2.4)
16
Por lo tanto, multiplicando en ambos lados de la ecuación (2.3) por e�inx y sumandode j = 1 hasta j = N . Entonces, debido a (2.4), obtenemos
uk =1
N
NXj=1
u (xj) e�ikxj ; k = �K; : : : ;K (2.5)
Matrices de Diferenciación de Fourier
En esta parte haremos la construcción de las matrices de diferenciación para lap� esima derivada de u(p)N :
u(p)N (xj) =
NXj=0
d(p)j;l uN (xj)
dondehd(p)j;l
i= D es la matriz de diferenciación con j; l = 1; :::; N .
Tenemos como objetivo construir la matriz de diferenciación para los métodosespectrales de Fourier. Comenzaremos considerando la expresión siguiente
uK (x) =Xk2IK
ukeikx (2.6)
donde IK = f�K; :::;Kg para colocaciones impares y IK = f�K + 1; :::; Kg paracolocaciones pares. Derivando la ecuación (2.6) p� veces tenemos
u(p)K (xj) =
Xk2IK
(ik)p ukeikxj (2.7)
donde xj = 2j�=N; j = 1; :::; N; con N = 2K + 1 para colocaciones impares yN = 2K para colocaciones pares.Ahora, teniendo uk dada por (2.5) con k 2 IK y reemplazando en(2.7) y evalu-
ando en xj obtenemos lo siguiente
u(p)K (xj) =
Xk2IK
(ik)p 1
N
NXl=1
u (xj) e�ikxl
!eikxj
=
NXl=1
1
N
Xk2IK
(ik)p eik(xj�xl)u (xj)
=
NXl=1
d(p)j;l uK (xj) ; j = 1; :::; N:
donde
d(p)j;l =
1
N
Xk2IK
(ik)p eik(xj�xl) (2.8)
=1
N
Xk2IK
dp
d�p�eik��
=1
N
dp
d�pXk2IK
eik�
17
por la de�nición del nucleo de Dirichlet1,con � = xj � xl, tenemos que
d(p)j;l =
1
N
�dp
d�p
�sen (N 0�=2)
sen (�=2)
���=xj�xl
; j 6= l;
donde N 0 = N = 2K + 1 para colocaciones impares y N 0 = N � 1 = 2K � 1 paracolocaciones pares.Si j = l, tenemos de (2.8) que eik� = 1, así:
d(p)j;l =
1
N
Xk2IK
(ik)p
d(p)j;l =
8<:0 ; para p impar
(�1)p=2 2N
(N 0�1)=2Pk=0
kp ; para p par
en particular, las expresiones para las dos primeras derivadas en el caso de coloca-ciones impares son:Derivada de primer orden:
d(1)j;l =
((�1)l+j
2 sen(hl;j); si l 6= j
0 ; si l = j
con hj;l = (xj � xl) =2.Derivada de segundo orden:
d(2)j;l =
8<: (�1)l+j+1 cos(hl;j)2 sen2(hl;j)
; si l 6= j�N2�1
12; si l = j
Donde N es el número de particiones. En el caso de colocaciones pares, las expre-siones son:Derivada de primer orden:
d(1)j;l =
�12(�1)l+j cot (hl;j) ; si l 6= j
0 ; si l = j
D(1)N =
26666666664
0 12cot h
2�12cot 2h
2�12cot h
2. . .
12cot 2h
2�12cot h
20 1
2cot h
2�12cot 2h
2. . .
12cot h
212cot 2h
2�12cot h
20
377777777751Nucleo de Dirichlet
DN (x) =NP
k=�Neikx =
sen(N� 12 )x
sen x2
18
Derivada de segundo orden:
d(2)l;j =
(14(�1)l+j (�1)l+j+1
2 sen2(hl;j); si l 6= j
� (N�1)(N�2)12
; si l = j
Estos procesos pueden ser fórmulados como una multiplicación de matrices
U (p) = D(p)U; p � 0;
donde
D(p) = d(p)l;j ; l; j = 0; :::; N:
U = (uN (x0) ; :::; uN (xN))T ; U (p) =
�u(p)N (x0) ; :::; u
(p)N (xN)
�T;
enseguida daremos un ejemplo con respecto a la matriz de diferenciación de Fourierde primera y segunda derivada, pero con respecto a colocaciones pares, para N = 4:
D(1)N =
26640 0;5000 0;0000 �0;5000
�0;5000 0 0;5000 0;00000;0000 �0;5000 0 0;50000;5000 0;0000 �0;5000 0
3775
D(2)N =
2664�0;5000 0;0000 0;5000 0;00000;0000 �0;5000 0;0000 0;50000;5000 0;0000 �0;5000 0;00000;0000 0;5000 0;0000 �0;5000
3775Observación 2.1 Una de las propiedades principales de la serie de Fourier es surápida tasa de convergencia, al ser funciones exponenciales in�nitamente diferen-ciables. Esto constituye una ventaja evidente sobre diferencias �nitas. Por otro lado,la desventaja del método de Fourier es su incapacidad para manejar problemas noperiódicas, debido a la presencia de las oscilaciones de Gibbs por la convergencia nouniforme de la serie de Fourier en los extremos del dominio de de�nición [4].
2.2. Métodos espectrales de Chebyshev
El método espectral de Chebyshev constituye una alternativa adecuada a la basede Fourier. Además tenemos que el desarrollo en serie de Chebyshev puede ser vistocomo una serie de cosenos de Fourier, por lo que posee valiosas propiedades de estoúltimo se re�ere, en particular, a su convergencia. Además la facilidad de manejoque tiene gracias a los polinomios de Chebyshev [4].
2.2.1. Polinomios de Chebyshev
El polinomio de Chebyshev del primer tipo Tk (x) es un polinomio de grado kde�nido para x 2 [�1; 1] por
Tk (x) = cos (k arc cos x) ; k = 0; 1; 2; : : : (2.9)
19
por tanto, �1 � Tk � 1. Como x = cos z, tenemos
Tk = cos kz; (2.10)
del cual se deduce las expresiones para los primeros polinomios de Chebyshev
T0 = 1; T1 = cos z = x; T2 = cos 2z = 2 cos2 z � 1 = 2x2 � 1;
generalizamos de la fórmula de Moivre, obteniendo
cos kz = Ren(cos z + i sen z)k
oy entonces, aplicando la fórmula binomial, también expresamos el polinomio Tk como
Tk =k
2
[k=2]Xm=0
(�1)m (k �m� 1)!m! (k � 2m)! (2x)
k�2m ; (2.11)
donde [�] denota la parte entera de �[4].De la identidad trigonométrica
cos (k + 1) z + cos (k � 1) z = 2 cos z cos kz
deducimos la relación de recurrencia
Tk+1 � 2xTk + Tk�1 = 0; k � 1: (2.12)
el cual nos permite, en particular, deducir la expresión de los polinomios Tk, k � 2,conociendo a T0 y T1. El grá�co de los primeros polinomios se muestra en la �gura2.1.
Figura 2.1: Los cinco polinomios de Chebyshev. Fuente: [3]
La expresión (2.11) también es usado en algunas circunstancias especiales, perola representación (2.10) es generalmente usado en la computación como también enel estudio teórico.
20
Ahora veremos algunas propiedades útiles para el entendimiento y aplicaciónde polinomios de Chebyshev a la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias yparciales.Los valores Tk y su primer derivada T 0k en x = �1 son dadas por
Tk (�1) = (�1)k , T 0k (�1) = (�1)k+1 k2 (2.13)
El conocimiento de estos valores puede ser de interes cuando se escriban las condi-ciones de frontera. Es importante notar que
Tk (�x) = (�1)k Tk (x) (2.14)
que es la paridad del polinomio que es igual a su grado k:El polinomio Tk se anulan en los puntos xj de�nidos por
xj = cos
�j +
1
2
��
k; j = 0; : : : ; k � 1: (2.15)
y alcanza sus valores extremos �1 en los puntos xj de�nidos por
xj = cos�j
k; j = 0; : : : ; k (2.16)
Note que tales puntos de (2.16) son los ceros del polinomio (1� x2)T 0k (x) :Una relación de recurrencia en la derivada Tk pueden obtenerse fácilmente,
Primero, la diferenciación de Tk nos da
T 0k =d
dz(cos kz)
dz
dx= k
sen kz
sen z;
donde usamos la representación (2.10). Entonces, aplicando fórmulas trigonométri-cas, obtenemos la relación
T 0k+1k + 1
�T 0k�1k � 1 = 2Tk (2.17)
valido para k > 1. Una fórmula similar para la p � �esima derivada es obtenidaderivando sucesivamente a (2.17)Los polinomios de Chebyshev son ortogonales en [�1; 1] con función de peso
w =�1� x2
��1=2(2.18)
y con el producto escalar de�nido por
(u; v)w =
Z 1
�1uvwdx (2.19)
y por la propiedad de ortogonalidad
(Tk; Tl)w =
Z 1
�1TkTlwdx =
�
2ck�k;l (2.20)
21
donde �k;l es el delta de Kronecker y ck está de�nido por
ck =
�2 si k = 01 si k � 1 (2.21)
La aproximación de Chebyshev es costoso al usar la fórmula cuadratura de Gauss.Para los puntos de Gauss-Lobato xj = cos �j=N; j = 0; : : : ; N , generalmente usadosen métodos de colocación, la fórmula cuadratura aplicado a cualquier función p (x)da Z 1
�1pwdx =
NXj=0
p (xj)wj '�
N
NXj=0
p (xj)
cj(2.22)
con wj =�
cjN; j = 0; : : : ; N; y
ck =
�2; si k = 0 o k = N1; si 1 � k � N � 1
La relación (2.22) es exacto si p (x) es un polinimio de grado 2N � 1 a más. De(2.22) también se obtiene la relación discreta de ortogonalidad basado en los puntosde Gauss-Lobato xj; j = 0; : : : ; N . para k 6= N o l 6= N , el uso de (2.22) da unaaproximación exacta a la integral en (2.20) donde Tk; Tl son polinomios de grado2N � 1:
�
2ck�k;l =
Z 1
�1TkTlwdx =
�
N
NXj=0
1
cjTk (xj)Tl (xj)
Para k = l = N; esta última fórmula continua exacto siempre que ck sea reemplazadoen el lado derecho por cN (= 2). Por tanto, la relación discreta de ortogonalidad es
NXj=0
1
cjTk (xj)Tl (xj) =
ck2N�k;l (2.23)
es valido para 0 � k; l � N .
2.2.2. Métodos de Colocación según Chebyshev
Consideremos la aproximación de Chebyshev de la función u (x) de�nida parax 2 [�1; 1]
uN (x) =NXk=0
ukTk (x) : (2.24)
calcularemos los coe�cientes uk por medio de la técnica de colocación (o interpo-lación). La técnica consiste en encontrar el cero al residual RN = u � uN en lospuntos de colocación xj = cos
�jN; j = 0; : : : ; N; sea
u (xj) = uN (xj) =NXk=0
ukTk (xj) ; j = 0; : : : ; N (2.25)
22
por notación uj = u (xj) = uN (xj) y usando la de�nicion (2.9), la ecuación anteriorda
uj =NXk=0
uk cosk�j
N; j = 0; : : : ; N (2.26)
La ecuación (2.25)o [(2.26)] da un sistema algebraico de 2N+1 ecuaciones para deter-minar los 2N+1 coe�cientes de uk. La expresión para los coe�cientes uk (es decir, lasolución del sistema (2.25)) es obtenido directamente por medio la relación discretade ortogonalidad (2.23). Pero multiplicando cada lado de (2.25) por Tl (xj) =cj, ysumando de j = 0 hasta j = N , y usando la relación (2.23), obtenemos
uk =2
ckN
NXk=0
1
cjujTk (xj) ; k = 0; : : : ; N (2.27)
o
uk =2
ckN
NXk=0
1
cjuj cos
k�j
N; k = 0; : : : ; N
Las relaciones (2.26) y (2.27) demuestran que los valores de la rejilla uj, tambiéncomo los coe�cientes de uk, son relacionados por la serie de Fourier discreta decosenos.Por lo tanto, es posible usar el algoritmo de la transformada rápida de Fourier
(en su versión de cosenos) para conectar el espacio �sico (espacio de valores de larejilla) con el espacio espectral (espacio de coe�cientes).
Matrices de Diferenciación de Chebyshev
En el contexto de los métodos de colocación los valores de la rejilla son desconoci-dos, es necesario expresar las derivadas en cualquier punto de colocación en términosde los valores de la función en la rejilla, que son, para la p� �esima derivada de u(p)N :
u(p)N (xi) =
NXj=0
d(p)i;j uN (xj) ; i = 0; :::; N . (2.28)
Los coe�cientes d(p)i;j pueden ser calculados de acuerdo a cualesquiera de los siguientescasos:(i) Eliminando uk de la derivada
u(p)N (xi) =
NXj=0
ukT(p)k (xi)
usando la siguiente expresión
uk =2
�ckN
NXi=0
1
�ciuiTk (xi) ; k = 0; :::; N .
Entonces, expresar Tk (xi) y la p� �esima derivada T (p)k (xi) en términos de funcionestrigonométricas de acuerdo a Tk = cos kz.
23
Finalmente, aplicando las identidades trigonométricas evaluamos las sumas.(ii) Derivando p� veces el polinomio de interpolación
uN (x) =NXj=0
hju (xj)
obtenemos
u(p)N (x) =
NXj=0
h(p)j (xi)uN (xj)
Por lo tanto, d(p)i;j = h(p)j (xi), donde hj (xi) es el polinomio de grado N , de�nido por
hj (x) =(�1)j+1 (1� x2)T 0N (x)
�cjN2 (x� xj)
Así, tenemos las expresiones de los coe�cientes d(p)i;j para las dos primeras derivadaslas cuales son:Derivadas de primer orden:
d(1)0;0 =
2N2 + 1
6, d
(1)N;N = �
2N2 + 1
6,
d(1)i;i =
�xj2�1� x2j
� , i = 1; :::; N � 1,
d(1)i;j =
�ci�cj
(�1)i+j
(xi � xj), i 6= j, i; j = 0; :::; N ,
donde xi = cos (�i=N) y además
�ci =
�2; i = 0 o N .1; para 1 � j � N � 1.
Derivadas de segundo orden:
d(2)i;j =
(�1)i+j
�cj
x2i + xixj � 2(1� x2i ) (xi � xj)
2 ; 1 � i � N � 1; 0 � j � N; i 6= j
d(2)i;i = �(N
2 � 1) (1� x2i ) + 3(1� xi)2
; 1 � i � N � 1
d(2)0;j =
2
3
(�1)j
�cj
(2N2 + 1) (1� xj)� 6(1� xj)2
; 1 � j � N
d(2)N;j =
2
3
(�1)j+N
�cj
(2N2 + 1) (1 + xj)� 6(1 + xj)
2 ; 0 � j � N � 1
d(2)0;0 = d
(2)N;N =
N4 � 115
;
Y también es útil recordar que
d(2)i;j =
NXk=0
d(1)i;kd
(1)k;i
24
En forma vectorial, las derivadas se pueden expresar como:
U (1) = DU; U (2) = D(2)U
donde
U = (uN (x0) ; :::; uN (xN))T ; U (p) =
�u(p)N (x0) ; :::; u
(p)N (xN)
�T;
con p = 1; 2. La matriz de diferenciación D está de�nidá por
D =hd(1)i;j
i; i; j = 0; :::; N .
enseguida daremos algunos ejemplos de la matriz de diferenciación de primera ysegunda derivada:Para N = 4
D(1)4 =
2666645;5000 �6;8284 2;0000 �1;1716 0;50001;7071 �0;7071 �1;4142 0;7071 �0;2929�0;5000 1;41;42 0;0000 �1;4142 0;50000;2929 �0;7071 1;4142 0;7071 �1;70710;5000 1;1716 �2;0000 6;8284 �5;5000
377775
D(2)4 =
26666417; 0000 28;4853 �18;0000 11;5147 �5;00009;2426 �14; 0000 6;0000 �2;0000 0;7574�1;0000 4;0000 �6;0000 4;0000 �1;00000;7574 �2;0000 6;0000 �14;0000 9;2426�5;0000 11;5147 �18;0000 28;4853 17;0000
3777752.3. Observaciones sobre la relación de diferencias
�nitas con aproximaciones espectrales.
La expresión (2.28) hace clara la relación entre diferencia �nita y aproximacionesde colocación de chebyshev. En el método de diferencia �nita, la aproximación de laderivada en una vecindad de los puntos de la rejilla envuelve sólo muy pocos valoresde la función, mientras que la aproximación de Chebyshev envuelve todos los valoresde la rejilla [4]. La fórmula de diferencia �nita que aproxima a una derivada puedeser obtenido por representación de la función bajo consideraciones del polinomio deinterpolación local de Lagrange de menor grado, así el polinomio cambia de un puntode discretización a otro. En el método de Chebyshev, la interpolación polinomial esla misma en todo el dominio, es decir envuelve los valores de la función en todoslos puntos de colocación y, consecuentemente, la fórmula expresa la derivada, como(2.28), también envuelve todos los valores de la rejilla.Además, las aproximaciones del método de diferencias �nitas, son de naturaleza
local, por el contrario la aproximación de Chebyshev y Fourier son de naturalezaglobal. Así, la característica global de los métodos espectrales es bene�ciosa en laexactitud con respecto a diferencias �nitas.
25
Además, las matrices asociadas con la aproximación de Chebyshev del problemadiferencial son no dispersas (llenas), al contrario de las aproximaciones locales queforman matrices dispersas. Estas matrices no son simétricas ni poseen inclinaciónsimétrica, y por lo general son mal condicionada.A pesar de los aparentes inconvenientes (aparente porque existen remedios para
remediarlos), el uso del método espectral es recomendado para soluciones suavesque requieran una alta precisión. El error asociado a la aproximación de Cheby-shev (así como Fourier) es O(1=Nm) donde N es el truncamiento y m es la seriede derivadas continuas de la función en cuestión. En particular, para funciones in-�nitamente diferenciables m es mayor que cualquier número entero y, entonces seobtiene la precisión exponencial. Tal comportamiento tiene que ser comparado conel O(1=NP ) error de aproximación local, como el método de diferencia �nita, donde1=N es el tamaño de la malla y p, que depende del método, es esencialmente �nitoy generalmente pequeño [4].Otra ventaja de la aproximación espectral es que está de�nida por todas partes
del dominio computacional. Por lo tanto, es fácil obtener un valor preciso de lafunción bajo consideración en cualquier punto del dominio, al lado de los puntosde colocación. Esta propiedad es utilizada en muchas ocasiones, en particular paraobtener una representación grá�ca signi�cativa de la solución, haciendo evidente lasposibles oscilaciones debido a la mala aproximación de la derivada.Por último, una propiedad adicional de los métodos espectrales es la facilidad con
que se estima la exactitud de la solución calculada. Esto se hace controlando la dis-minución de los coe�cientes espectrales. No necesitamos realizar varios cálculos paramodi�car la solución, como se suele hacer en diferencias �nitas y métodos similarespara estimar la red de convergencia.
2.3.1. Diferencias �nitas versus colocación espectral
En este caso daremos un ejemplo que ilustra la diferencia principal entre diferencia�nita y métodos espectrales, compararemos la diferenciación numérica de una fun-ción periódica u usando método de diferencias �nitas de cuarto orden y métodoespectral de colocación de Fourier.
Dado h =2�
Ny una rejilla uniforme fx0; :::; xNg con xj = jh, y un conjunto de
valores físicos fu0; :::; uNg con uj = u (xj), una aproximación a u0 (xj) por diferencias�nitas centradas de cuarto orden es
wj =uj�2 � 8uj�1 + 8uj+1 � uj+2
12h(2.29)
para una explicación de la periodicidad tenemos u�2 = uN�1; u�1 = uN ; u0 =uN+1; u1 = uN+2
26
Entonces, el proceso de diferenciación de (2.29) se expresa como266666666666664
w0w1............
wN�1wN
377777777777775=
1
12h
266666666666664
. . . 1 �8
. . . �1 1
. . . 8. . .
. . . 0. . .
. . . �8 . . .
�1 . . . 1. . .
8 �1 . . .
377777777777775
266666666666664
u0u1............
uN�1uN
377777777777775(2.30)
note que los coe�cientes forman una matriz con valores dispersos, lo cual re�eja lanaturaleza local de los métodos de diferencia �nita.En el otro caso, la aproximación a la función u por el método espectral de colo-
cación es
� (x) =N�1Xk=0
dk (x)uk (2.31)
ademas, aproximemos u0 (xj) por
wj = �0 (xj) =
N�1Xk=0
d0k (xj)uk; j = 0; :::; N; (2.32)
donde la fórmula explicita es:
d(1)k (xj) =
(12(�1)l+j cot
�(j�k)�N
�; si k 6= j
0 ; si k = j
Así, la matriz tiene la siguiente forma266666666666664
w0w1............
wN�2wN�1
377777777777775=1
2
266666666666664
. . ....
. . . � cot�2h2
�. . . cot
�h2
�0
. . .
� cot�h2
� . . .
cot�2h2
� . . ....
377777777777775
266666666666664
u0u1............
uN�2uN�1
377777777777775(2.33)
note que los coe�cientes de la matriz estan llenos, re�ejando la naturaleza global delos métodos espectrales de colocación.Luego, tomando u (x) = ln (2 + sen x), con periodo 2�, y comparemos la deriva-
da exacta u0 (x) = cos x= (2 + senx) con la derivada numérica fwjg obtenida pordiferencia �nita (2.30), y método de colocación (2.33) en la misma rejilla.
27
Figura 2.2: Convergencia del método de diferencia �nita y de colocación. Fuente: [7]p.18.
Figura 2.3: Proceso de diferenciación de la convergencia del método de colocación.Fuente: [7] p.18.
En la Fig 2.2, determinamos el error m�ax0�j�N�1
ju0 (xj)� wjj para N . Observe-mos una convergencia de cuarto orden O (h4) (o O (N�4)) de diferencia �nita (2.30).También observemos que los métodos de colocación convergen mucho más rápidoque los métodos de diferencia �nita. Tenemos una clara imagen de la convergenciade los métodos de colocación (2.33), determinados en la Fig 2.3. los errores conescala semi � log, el cual indica una razón de convergencia exponencial O
�e�cN
�para cualquier c > 0.En general el principio fundamental del métodos de colocación es de dar datos dis-
cretos en una rejilla, interpolando los datos globalmente, entonces evalua la derivadade interpolación en las rejillas. Para problemas periódicos, normalmente se usa inter-polaciones trigonométricas en puntos equidistantes, y para problemas no-periódicos,se usa polinomios interpolantes en puntos no-equidistantes.
28
Capítulo 3
APLICACIONES
Aqui trataremos de aplicar los capítulos anteriores para resolver el �ujo dePouseuille, como un caso particular de la ecuación de Navier-Stokes a través dela aplicación de la teoria espectral de Fourier y Chebyshev con el auxilio local dediferencias �nitas.
3.1. Formulación del Flujo de Pouseuille
Figura 3.1: Gra�ca del �ujo de Pouseuille. El �uido se mueve entre las placas verti-cales u = �h y está considerado periódico en x de periodo L.
El problema de Pouseuille describe el �ujo de un �uido viscoso incomprensible,en un canal entre dos placas paralelas in�nitas. En este trabajo consideraremos elproblema en dos dimensiones, como se muestra en la �gura 3.1. Donde el �uido estágobernado por las ecuaciones de Navier-Stokes, junto con la condición de incom-prensibilidad.
�
�@u
@t+ (u�r)u
�= �rp+ ��u; r � u = 0
29
o también expresada en coordenadas
�
�@u
@t+ u
@u
@x+ v
@u
@y
�= �@p
@x+ �
�@2u
@x2+@2u
@y2
�(3.1a)
�
�@v
@t+ u
@v
@x+ v
@v
@y
�= �@p
@y+ �
�@2v
@x2+@2v
@y2
�(3.1b)
@u
@x+@v
@y= 0: (3.1c)
donde u = u (x; y; t) = (u; v) (x; y; t), son las componentes de la velocidad, p =p (x; y; t) la presión y �, � constantes de densidad y viscosidad respectivamente. Concondiciones de frontera no deslizable en las paredes del canal y = �h y, fronterasarti�ciales en la dirección de la corriente x, con periodo �jo L, es decir
u (x;�h; t) = v (x;�h; t) = 0(u; v; p0) (x+ L; y; t) = (u; v; p0) (x; y; t)
�x 2 R; y 2 [�h; h] ; t � 0 (3.2)
sea p0 = p + Gx, para G = G (t) el gradiente de presión media en el canal delongitud L, en dirección de la corriente. En términos de la variación de presión,�p = p (L; y)� p (0; y), siendo uniforme en y, se obtiene G como
� �pL
= � 1
2hL
hZ�h
�pdy =1
2hL
hZ�h
LZ0
��@p@x
�dxdy (3.3)
=1
2hL
hZ�h
LZ0
�G� @p
0
@x
�dxdy = G
La última igualdad cumple con las condiciones de frontera de (3.2) en p0.Solución Laminar. Para el sistema (3.1) existen soluciones independientes del
tiempo conocidas como el �ujo base o laminar. La deducimos aplicando u =(ub (x; y) ; 0)para una solución de (3.1). Por (3.1c) tenemos
@u
@x= 0) ub = ub (y)
y de (3.1b)
0 = �@p@y) p = p (x)
Por último de (3.1a) obtenemos
0 = �p0 (x) + �u00b (y)) p0 (x) = �u00b (y) = �G;
donde G es el mismo que en (3.3) y es constante, debido a una función de x puedecoincidir con una función de y, solo si las dos funciones son constantes. Resolvien-do esta última ecuación para ub (y) y aplicando las condiciones de frontera nodeslizables, resulta un per�l parabólico de velocidades (Figura 3.1), es decir,
ub (y) = Uc
�1�
�yh
�2�; vb = 0; rpb = (�G; 0) ; (3.4)
30
donde Uc = Gh2= (2�) es la velocidad central.Las ecuaciones adimensionales. Para valores de viscosidad �, densidad �, el
canal de longitud medio h y la velocidad central del �ujo base Uc, con longitudesx = x=h; y = y=h, con velocidad u = u=Uc, con tiempo t = Uct=h y la p = p= (�U2c ).Aplicando estos cambios de variable en (3.1) se obtiene
@u
@t+ u
@u
@x+ v
@u
@y= �@p
@x+1
Re
�@2u
@x2+@2u
@y2
�; (3.5)
@v
@t+ u
@v
@x+ v
@v
@y= �@p
@y+1
Re
�@2v
@x2+@2v
@y2
�;
@u
@x+@v
@y= 0:
donde Re = hUc=�, es el número de Reynolds para � = �=�, la viscosidad cinemática.Las condiciones de frontera son similares a (3.2)
u (x;�1; t) = v (x;�1; t) = 0(u; v; p0) (x+ L; y; t) = (u; v; p0) (x; y; t)
�x 2 R; y 2 [�1; 1] ; t � 0 (3.6)
y el �ujo base en forma adimensional se escribe como
ub (y) = 1� y2; vb = 0; rpb =�� 2
Re; 0
�:
Movimientos del Observador. Justi�caremos después que las condicionesperiódicas en las fronteras arti�ciales en dirección de la corriente x, producen unagran simpli�cación en la estructura del �ujo: si el observador se mueve a una adecua-da velocidad c en dirección de la corriente. Por lo tanto el sistema (3.5) haciendo uncambio de variable ex = x� ct, y de esta manera se de�ne la velocidad transformada([6]) eu (ex; y; t) def= u (ex+ ct; y; t)se obtiene las siguientes relaciones entre las derivadas.
@eu@t(ex; y; t) = c
@u
@x(ex+ ct; y; t) + @u
@t(ex+ ct; y; t) ;
@keu@exk (ex; y; t) =
@ku
@xk(ex+ ct; y; t) ; @keu
@yk(ex; y; t) = @ku
@yk(ex+ ct; y; t) ; k = 1; 2:
Fórmulas análogas tenemos para ev y ep. Sustituyendo estas derivadas en (3.5) seconvierte en 8>>>>>><>>>>>>:
@eu@t+ (eu� c) @eu
@ex + ev@eu@y = �@ep@x + 1
Re
�@2eu@ex2 + @2eu@y2
�;
@ev@t+ (eu� c) @v
@ex + ev@ev@y = �@ep@y + 1
Re
�@2ev@ex2 + @2ev@y2
�;
@eu@ex + @ev@y = 0:
(3.7)
junto con las condiciones de frontera de (3.6) en términos de la nueva variable ex. Seretorna a (3.5) simplemente poniendo c = 0 en (3.7).
31
3.1.1. Diferentes condiciones del �ujo: Gradiente de presiónconstante o �ujo constante.
Como hemos visto en (3.4), para determinado �; � y L, al variar Uc, tenemosuna familia de �ujos laminares, soluciones de (3.1a) - (3.2), donde G = 2�Uc=h
2.Evitamos esta falta de unicidad en el �ujo base mediante la �jación de cantidadeshabituales del �uido, tal como el �ujo total Q o el gradiente de presión media Ga través del canal. Para cada elección probaremos que existe solo un valor Uc quede�ne el �ujo base.Dado el per�l de velocidades u = (u; v) para el �ujo de Pouseuille, el �ujo Q a
través del canal, se obtiene por
Q =
hZ�h
u (x; y) dy
Debido a la condición de incomprensibilidad (3.1c), Q no depende de x, para
@Q
@x=
hZ�h
@u
@x(x; y) dy = �
hZ�h
@v
@y(x; y) dy = v (x;�h)� v (x; h)
El último paso es consecuencia de las condiciones de frontera no deslizables (3.2).De este modo, para � = 2�
Lexpandimos u (x; y) como
u (x; y) =Xk2Z
buk (y) eik�x ) Q =
hZ�h
bu0 (y) dy (3.8)
Por otro lado podemos calcular el gradiente de presión media G sobre el canal por:
G =1
2hL
LZ0
hZ�h
��@p@x
�dydx
1=
1
2hL
LZ0
hZ�h
��
�@u
@t+ u
@u
@x+ v
@u
@y
�� �
�@2u
@x2+@2u
@y2
��dydx
=1
2hL
8<:�LZ0
hZ�h
@u
@tdydx+ �
LZ0
hZ�h
u@u
@xdydx+ �
LZ0
hZ�h
v@u
@ydydx
� �LZ0
hZ�h
@2u
@x2dydx� �
LZ0
hZ�h
@2u
@y2dydx
9=;
32
2=
1
2hL
8<:� @@tLZ0
hZ�h
udydx+ �
hZ�h
�u2
2
�L0
dy + �
LZ0
hZ�h
u@v
@ydydx (3.9)
� �hZ�h
�@y
@x
�L0
dy � �LZ0
�@u
@y
�h�hdx
9=;3=
1
2hL
8<:� @@tLZ0
Qdx+ �
LZ0
hZ�h
u@u
@xdydx� u
LZ0
�@u
@y
�h�hdx
9=;4=�
2h
hZ�h
@u0@tdy � �
2h
�@u0@y
�h�h:
Paso 1: Por sustitución de acuerdo con la ecuación de momento (3.1a).Paso 2: Derivando bajo el signo de la integral, la integración, integrando por
partes en cada término, teniendo en cuenta las condiciones de frontera (3.2).Paso 3: Debido a las condiciones de incomprensibilidad (3.1c).Paso 4: Usando la expansión de Fourier en x, para u.Supongamos ahora que el �ujo constante Q0 se aplica a través del canal para el
�ujo laminar ub, el �ujo total es:
Q =
hZ�h
ub (y) dy =
hZ�h
Uc
�1�
�yh
�2�dy =
4
3hUc:
con el �n de obtener el �ujo Q0 �jamos Uc =3Q04h. De acuerdo con (3.9) se deriva el
gradiente de presión media G para el �ujo base como:
G = � �2h[u0b]
h�h =
3
2
�Q0h3:
Finalmente calculamos ReQ, el número de Reynolds.
ReQ = hUc=� =3Q04�:
Análogamente si aplicamos el gradiente de presión media constante G0, encontramosla velocidad central para el �ujo base Uc = G0h2= (2�) y el �ujo Q = 2h3G0= (3�).Ahora, para el número de Reynolds Rep tenemos
Rep =hUc�=G0h
3�
2�2:
Para el �ujo laminar dado, es decir, si �jamos Uc, entonces ambas de�niciones delnúmero de Reynolds coincide con Re = hUc=�. Ese no es el caso para �ujossecundarios, de�nidos como aquellos para los que el �ujo y el gradiente de presiónmedia a través del canal se mantienen constantes. Consideraremos el caso del �ujoconstante Q y el �ujo laminar asociado a uQb = UQ (1� y2=h2) con UQ = 3Q= (4h).
33
Supongamos que uQ es �ujo secundario dada por (dejemos de lado por el momentola dependencia del tiempo)
uQ (x; y) =Xk2Z
buQk (y) eik�xque tiene un �ujo constante Q y un gradiente de presión media
GQ = ��
2h
"@buQ0@y
#h�h
:
En vista de (3.9). Tomando el �ujo laminar que alcanza GQ como su gradiente depresión media, la velocidad central Up tiene la expresión
Up =GQh
2
2�= �h
4
"@buQ0@y
#h�h
:
Escribir esta última expresión en forma adimensional, se tiene
RepReQ
=UpUQ
= � h
4UQ
"@buQ0@y
#h�h
= �14
"@buQ0@y
#1�1
;
siendo buQ0 , una magnitud adimensional, por lo que la relación entre los dos númerosde Reynolds se puede establecer como:
Rep = �ReQ4d; d =
"@buQ0@y
#1�1
: (3.10)
Observemos que si tenemos buQ0 = 1 � y2 en (3.10) obtenemos Rep = ReQ y por lotanto ambas de�niciones del número de Reynolds coinciden para �ujos laminarescomo se menciono anteriormente.Por el contrario si up es un �ujo secundario que �ja G sobre el canal, vamos a
considerar el �ujo constante
Qp =
hZ�h
up (x; y) dy:
El �ujo laminar asociado a este �uido alcanza una velocidad central UQ = 3Qp= (4h),y similarmente deja a Up que sea la velocidad central para el �ujo laminar quepreserva G, la relacion entre UQ y Up da la razón de los números de Reynolds como
RepReQ
=UQUp
=3Qp4hUp
=3
4
hZ�h
up (x; y)
Up
dy
h=3
4
1Z�1
up (x; y) dy (3.11)
34
En la última integral se a cambiado el integrando en su forma adimensional. De estamanera (3.11) establece la relación entre Rep y ReQ como proporcional al �ujo del�uido adimensional up (x; y) :Debido a que las velocidades centrales Up y UQ para �ujos bases asociados a los
�ujos secundarios son diferentes, cada uno de ellos da lugar a un aumento del mismo�ujo. En términos de las variables dimensionales un �ujo secundario es igualmenteexpresado desde ambos puntos de vista. En efecto, si el mismo �ujo u (x; y) =up (x; y) = uQ (x; y) es adimensional usando dos velocidades centrales diferentes UQ;Up, entonces tenemos.
up (x; y)
Up=UQu
Q (x; y)
UpUQ() up (x; y) =
ReQRep
uQ (x; y) (3.12)
siendo uQ (x; y) ; up (x; y) las velocidades adimensionales de UQ y Up respectivamente.Por lo tanto, si uQ (x; y) representa un �ujo secundario adimensional para ReQ,
entonces up (x; y) = ReQ=RepuQ (x; y) es también un �ujo secundario para Rep y larelación entre ReQ y Rep está dada en (3.10) o (3.11). Las diferentes posibilidadespara Q y G en ambos casos son representados en la tabla 1. Siguiendo el mismo pro-cedimiento encontramos la relación entre las presiones p (x; y) = pp (x; y) = pQ (x; y)en coordenadas dimensionales, y queda así
pp (x; y)
�U2p=U2Qp
Q (x; y)
U2p�U2Q
() pp (x; y) =Re2Q
Re2ppQ (x; y) (3.13)
Aplicar Q G
�ujo 43
�d2ReQ
presión �163d
�8dReQ
Tabla1:Expresiones de Q y G para �ujos secundarios adimensionales en los casosen que el �ujo total o la gradiente de presión media se mantiene constante. En estáfórmula d y la relación entre ReQ y Rep está dada en(3.10).
3.2. Implementación Numérica
3.2.1. Aproximación Numérica: elección del método.
Siguiendo las ideas de [6] pasaremos a de�nir la aproximación numérica conrespecto al �ujo de Pouseuille.La elección del método numérico es siempre una tarea difícil. En nuestro caso, la
parte principal del trabajo esta fuertemente apoyado por la aproximación numéri-ca del sistema (3.7) y las condiciones de frontera (3.6): esto nos da una idea desuma importancia. Para la discretización espacial del canal utilizaremos métodosespectrales y para la discretización temporal utilizamos diferencias �nitas.Los métodos espectrales hacen uso de una representación global de funciones,
en lo general por polinomios de orden superior o series de Fourier, en contraste condiferencias �nitas en el que su representación es local. Con un método espectralbien diseñado, si la solución aproximada es in�nitamente diferenciable, los errores
35
tienden a cero más rápido que cualquier potencia negativa del número de términosretenidos. En su lugar, las diferencias �nitas sólo producen tasas de convergenciade orden �nito y así la solución espacial debe incrementarse a �n de obtener unaprecisión comparable a métodos espectrales. Además, los métodos espectrales poseenuna gran solución en la capa límite cerca de las paredes del canal en nuestra situación.Una de las principales di�cultades de los métodos espectrales son dominios
irregulares, pero no es el caso para el canal del �ujo, la posibilidad de usar la transfor-mada rápida de Fourier han hecho métodos espectrales adecuados para problemasde �uidos donde la alta precisión es importante para simular soluciones compli-cadas. Discretizaciones tipicas emplean series de Fourier para condiciones de fron-tera periódicas, como en la dirección del �uido en nuestro modelo, y polinomios deChebyshev para condiciones de frontera rígidas, como en las paredes del canal ennuestro caso. Para ambas aproximaciones la posibilidad de aplicar la transformadarápida de Fourier supone una gran mejora en los cálculos [4].Enseguida vamos a escribir el procedimiento númerico. Siguiendo la evolución
temporal del �ujo inicial sometido a la condición de incomprensibilidad, ru = 0,y las condiciones de frontera (3.6). Para ello usaremos métodos espectrales para lasvelocidades aproximadas u; v y la desviación de presión p0, que apartir de ahoraconsideraremos magnitudes adimensionales. Recordemos de (3.3) que p = p0�Gx yde (3.9) y la tabla 1.
G = � 1
2ReQ
�@bu0@y
�1�1o G =
2
Rep;
respectivamente, para el �ujo constante o casos de presión, por lo que en el primercaso el gradiente de presión varia con el tiempo y es constante para la segunda. Laaproximación elegida para la variable periódica x se basa en los métodos de Galerkiny series de FourierMétodo de Galerkin: Dado que u; v; p0 son periódicos en x, reemplazamos por
su serie de Fourier truncada para N 2 Z+:
(u; v; p0) (x; y; t) =
NXk=�N
(buk; bvk; bpk) (y; t) eik�x (3.14)
para x 2 R; y y 2 [�1; 1] y t � 0: Esta serie �nita sustituido en el sistema (3.7)elimina derivadas de x y da lugar a un sistema de EDP en variables de y y t paralos coe�cientes de Fourier buk; bvk; bpk,
@buk@t
+\�
(u� c) @u@x+ v
@u
@y
�k
= �ik�bpk + 1
Re
��k2�2buk + @2buk
@y2
�+ �k0G
@bvk@t
+\�
(u� c) @v@x+ v
@v
@y
�k
= �@bpk@y
+1
Re
��k2�2bvk + @2bvk
@y2
�(3.15)
0 = ik�buk + @bvk@y
donde �N � k � N; b[�]k representa el coe�ciente de Fourier de m� �esimo orden de[�] ; �00 = 1 y �k0 = 0, para k 6= 0: Esto constituye el método espectral de Galerkin-Fourier, un proceso que es visto como la proyección ortogonal por medio del producto
36
escalar en L2 [0; L], sobre el espacio generado por exp (ik�x) para k = �N; :::; N .El objetivo del proyecto consiste en obtener el residual en la sustitución de la serietruncada de�nida previamente en el sistema (3.7).Como u es una función real, se deduce que buk = bu�k y similar para v y p0. Por lo
tanto, podemos escribir (3.15) para términos negativos k = �N; :::;�1, y en cuantoa los términos no negativos k = 0; :::; N , y sus conjugados. Es su�ciente entoncesconsiderar los modos en buk; bvk; bpk y ecuaciones en (3.15) para k = 0; ::; N . Para lascondiciones de frontera no deslizables en (3.6) resulta [6]
0 = u (x;�1; t) =NX
k=�N
buk (�1; t) eik�x; 8x 2 R;y aplicando lo mismo a v, obtenemos
(buk; bvk) (�1; t) = 0; t � 0; k = 0; :::; N: (3.16)
Métodos de Colocación: Para eliminar las derivadas de la variable transversaly, empleamos el método de colocación, en el cada ecuación se aplica en puntosseleccionados (colocación): elegimos las abscisas de Chebyshev debido a las buenaspropiedades de convergencia y la posibilidad de utilizar la transformada rápida deFourier como se menciono anteriormente.Expresemos los coe�cientes de Fourier buk; bvk; bpk,para k = 0; :::; N , como una
serie truncada de Chebyshev
buk (y; t) = MPj=0
eukj (t)Tj (y) ; bvk (y; t) = MPj=0
evkj (t)Tj (y) ; bpk (y; t) = M�1Pj=0
epkj (t)Tj (y) ;siendo Tj (y) = cos (j arc cos (y)) para j = 0; :::;M , los polinomios de Chebyshev,M 2 Z+: En contraste con el método de Galerkin, en este caso interpolamos la serietruncada en puntos de colocación seleccionados. En nuestro caso necesitamos dosconjuntos diferentes de puntos de colocación.
ym = cos (�m=M) ;m = 0; :::;M; (3.17)
ym = cos (� (m+ 1=2) =M) ; m = 0; :::;M � 1
y de�nimos las incógnitas discretas del sistema, como
bukm (t) = buk (ym; t) ; bvkm (t) = bvk (ym; t) ; m = 0; ::;M (3.18)bpkm (t) = bpk (ym; t) ; m = 0; :::;M � 1
Para obtener un sistema ecuaciones diferenciales ordinarias en t, ecuaciones demomento en (3.15) se aplica en la primera rejilla, ym, mientras que en el segundo,ym, se da por la ecuación de continuidad. Si usamos los mismos puntos de colocaciónpara la presión, pk y la ecuación de continuidad para la velocidad, buk; bvk y ecuacionesde momento, entonces podemos obtener un sistema lineal indeterminado para lasvariables dependientes discretas bukm; bvkm; bpkm. La razón de esto es que el términodel gradiente de presión ep0M (t)TM (y) se anula en los puntos ym; m = 1; :::;M � 1
37
y así ep0M no tiene ningún efecto sobre la velocidad en las ecuaciones del momento.En efecto
@
@x(ep0M (t)TM (y)) = 0; @
@y(ep0M (t)TM (y)) = ep0M (t)T 0M (y)
pero apartir de TM (y) = cos (M arc cos (y)) obtenemos
T 0M (y) =M sen (M arc cos (y))p
1� y2) T 0M (ym) = 0; para m = 1; :::;M � 1
también existe otro término falso, ep00 (t)T0 (y), que esta relacionado con el valormedio de la presión y el que será revisado en la subsección 3.3.4. Las condiciones defrontera (3.16) se aplica con facilidad, como para k = 0; :::; N
(buk; bvk) (�1; t) = 0() (buk; bvk) (y0; t) = (buk; bvk) (yM ; t) = 0 (3.19)
() buk0 (t) = bukM (t) = bvk0 (t) = bvkM (t) = 0;y así en la primera rejilla ym, solo consideramos m = 1; :::;M � 1 en (3.15) paraecuaciones de momento e incógnitas bukm; bvkm. La evolución de (3.15) en las respec-tivas rejillas ym; ym da lugar a un sistema de ecuaciones diferenciales algebraicas ent con (2N + 1) (3M � 2) ecuaciones reales e incógnitas.
3.2.2. Evaluación de los términos lineales
Analizamos la evaluación de los términos lineales en (3.15) por medio de latransformada de cosenos que se describe a continuación.En concreto nos referimos a los siguientes términos.
@2buk@y2
(ym) ;@2bvk@y2
(ym) ; bpk (ym) ; @bpk@y
(ym) ; en la primera rejilla
buk (ym) ; @bvk@y
(ym) ; en la segunda rejilla.
Supongamos que los valores de las incógnitas discretas de�nidas en (3.18), son dadas.El esquema del proceso consiste en la construcción de los polinomios de interpolaciónde Chebyshev en los valores dados de las incógnitas sobre su propia red, el cálculo delas derivadas analíticas para este polinomio es necesario, y �nalmente la evolucióndel polinomio resultante en la rejilla apropiada. Vamos a detallar estos pasos.
Interpolación en la primera rejilla: Dado los valores w0; :::; wM en los puntosy0; :::; yM en la primera rejilla, entonces el polinomio de interpolacion de Chebyshevw (y) tal que w (ym) = wm, para m = 0; :::;M es calculado por:
w (y) =
MXj=0
ewjTj (y) ; ewj = 2
Mcj
MXm=0
wmcmcos
�jm
M;
38
y c0 = cM = 2; cj = 1 si j 6= 0;M . Por otro lado, de ew0; :::; ewM tenemos quewm = w (ym) ;
wm =MXj=0
ewjTj (y) = MXj=0
ewj cos �jmM
:
Así estas dos transformaciones lineales se pueden abreviar como
ew = C1w; (C1)jm =2
Mcjcmcos
�jm
M; (3.20)
w = C�11 ew; �C�11
�jm= cos
�jm
M;
siendo w = (w0; : : : ; wM)t y ew = ( ew0; : : : ; ewM)t. En realidad solo necesitamos con-
siderar w = (w1; : : : ; wM�1)t debido a (3.19). Por lo tanto C1 y C�11 son considerados
matrices de dimensiones (M + 1)� (M � 1) y (M � 1)� (M + 1) respectivamente.
Interpolación en la segunda rejilla: Similarmente, interpolandow0; : : : ; wM�1en los puntos y0; : : : ; yM�1 de la segunda rejilla, la interpolación de los polinomiosde Chebyshev w (y) tal que w (ym) = wm para m = 0; : : : ;M � 1 satisface
w (y) =M�1Xj=0
ewjTj (y) ; ewj = 2
Mcj
M�1Xm=0
wm cos�j (2m+ 1)
2M;
y c0 = 2; cj = 1 si j 6= 0. Para la transformada inversa obtenemos:
wm =M�1Xj=0
ewjTj (y) = M�1Xj=0
ewj cos �j (2m+ 1)2M
:
abreviando las transformadas lineales tenemos
ew = C2w; (C2)jm =2
Mcjcos
�j (2m+ 1)
2M; (3.21)
w = C�12 ew; �C�12
�jm= cos
�j (2m+ 1)
2M;
siendo w = (w0; : : : ; wM�1)t y ew = ( ew0; : : : ; ewM�1)
t. Las dimensiones de las matricesC2 y C�12 es M �M .Derivada de los polinomios de Chebyshev: El último paso en el cálculo de
los términos lineales implica la evaluación de las derivadas.
Proposición 3.1 Supongamos que w (y) ; w0 (y) ; w00 (y) son expandidos en series deChebyshev.
w (y) =1Xj=0
ewjTj (y) ; w0 (y) =1Xj=0
ew0jTj (y) ; w00 (y) =1Xj=0
ew00jTj (y) ;Entonces, para j � 0, las relaciones entre los coe�cientes están dadas por larecurrencia
cj ew0j = ew0j+2 + 2 (j + 1) ew0j+1; (3.22)
cj ew00j = ew00j+2 + 2 (j + 1) ew00j+1;39
y también para las fórmulas:
cj ew0j = 1Xm=j+1
m+j impar
2m ewm; cj ew00j = 1Xm=j+2
m+j par
m�m2 � j2
� ewmDe la proposición, w (y) se representa como una serie �nita, y de sus primeras y
segundas derivadas obtenemos la matriz de diferenciación
ew0 = Dy ew; (Dy)jm =
�2m; si m > j y m+ j impar0; si m � j o m+ j par (3.23)
ew00 = D2y ew; �
D2y
�jm=
�m (m2 � j2) ; si m > j + 1 y m+ j par0; si m � j + 1 o m+ j par
siendo ew = ( ew0; : : : ; ewM)t ; ew0 = � ew00; : : : ; ew0M�1; 0�ty ew00 = � ew000 ; : : : ; ew00M�2; 0; 0
�t.
Así Dy y D2y son matrices de dimensión (M + 1)� (M + 1).
Juntando las operaciones matriciales (3.20), (3.21) y (3.23) y colocandoba c[�]k;buk; bvk; bpk por conveniencia, para k = 0; :::; N podemos escribir el sistema (3.15)como
�uk = �
�(u� c) @u
@x+ v
@u
@y
�k
�DxkC�11 C2pk +
1
Re
�D2xk + C
�11 D
2yC1�uk (3.24a)
+�k0G
�vk = �
�(u� c) @v
@x+ v
@v
@y
�k
� C�11 DyC2pk +1
Re
�D2xk + C
�11 D
2yC1�vk (3.24b)
0 = DxkC�12 C1uk + C
�12 DyC1vk; (3.24c)
para uk = (uk1; : : : ; ukM�1) ; vk = (vk1; : : : ; vkM�1) ; pk = (pk0; : : : ; pkM�1). La matrizDxk está de�nido como Dxkwk = ik�wk. La dimensión de las matrices se ajustade acuerdo a cada caso en particular. Por ejemplo, en el término DxkC
�12 C1uk, las
matricesDxk; C�12 y C1 tienen dimensionesM�M;M�(M + 1) y (M + 1)�(M � 1)
respectivamente. Observemos que no utilizamos la transformada rápida de Fourierpara términos lineales, debido a que las matrices correspondientes son constantes encada intervalo de tiempo como veremos a continuación.
3.2.3. Evaluación de los términos no lineales
Una de las principales di�cultades en aplicar el método espectral de Galerkines la evaluación de los términos no lineales. En este punto nos muestran algunascomplejidades actuales en la aplicación del método. Elegimos el método de Galerkin-Fourier en x y colocación de Chebyshev en y, la diferencia entre Galerkin-Fourier yChebyshev es debido a que los términos no-lineales son más incomodos y caros paraevaluar en este último caso. (vease [6])Vamos a describir como evaluar sumas de convolución. Consideremos dos series
de Fourier truncadas
u (x) =
NXm=�N
bumeim�x; v (x) =
NXn=�N
bvnein�x; (3.25)
40
que se extiende hasta el orden P > N por de�nición buk = bvk = 0, para N < jkj � P ,y queremos calcular w (x) = u (x) v (x), el producto de series truncadas de orden N
w (x) =NX
k=�N
bwkeik�x; bwk = Xm+n=k
jmj;jnj�P
bumbvn; (3.26)
donde bwk se obtiene del producto de series en (3.25) y términos de agrupación.Este método directo para evaluar las sumas de convolución requiere O (N2) deoperaciones. Consideremos el polinomio de interpolación trigonométrico w (x) enlos puntos xj = jL= (2P + 1) ; para j = 0; : : : ; 2P , para aproximar bwk por ewk, comopara jkj � N ,
ewk =1
2P + 1
2PXj=0
wje�ik�xj =
1
2P + 1
2PXj=0
ujvje�ik�xj (3.27)
=1
2P + 1
2PXj=0
PX
m=�Pbumeim�xj PX
n=�Pbvmeim�xj! e�ik�xj
=1
2P + 1
PXm=�P
PXn=�P
bumbvn 2PXj=0
ei(m+n�k)�xj
=X
m+n=k
jmj;jnj�P
bumbvn + Xm+n=k�(2P+1)
jmj;jnj�P
bumbvnEs claro que las fórmulas del segundo método, para calcular sumas de convolución noes exacto. El término de discrepancia de bwk en (3.26) es llamado el error de Aliasing.Aqui nuestro objetivo es encontrar una condición para P , con el �n de anular el errorde Aliasing. Usando la propiedad bum = bvn = 0, para N < jmj ; jnj � P , elegir P talque, para k � N
m+ n = k � (2P + 1)) jmj > N o jnj > N ) bumbvn = 0y de esta manera garantizado que se anula el error de Aliasing. Para jmj ; jnj � Nimplica que jm+ nj � 2N , y la condición para P es
k � (2P + 1) > 2N o k � (2P + 1) < �2N; para jkj � N
así los casos para k son
�N � (2P + 1) > 2N o N � (2P + 1) < �2N
ambas posibilidades llevan a elegir P tal que
2P + 1 > 3N , P � 3
2N
para P = 3N=2, con la ayuda de la transformada rápida de Fourier, la operaciónconsidera este procedimiento para evaluar sumas de convolución de O (N log2N),sustancialmente mejor que O (N2) para (3.26).
41
Algoritmo para calcular términos no lineales: Apartir del método descritoanteriormente para calcular sumas de convolución, vamos a precisar los pasos paraevaluar en términos no lineales (3.15), es decir,
\�(u� c) @u
@x+ v
@u
@y
�k
;\�
(u� c) @v@x+ v
@v
@y
�k
(3.28)
Partimos de los valores armónicos de Fourier buk y bvk en ym de�nido en (3.17)-(3.18).1. Evaluar @u
@xy @v
@xpor medio de las transformaciones lineales Dxkbuk = ik�buk;
Dxkbvk = ik�bvk para k = 0; : : : ; N .2. Evaluar @u
@yy @v
@y. Tomamos la transformada C1 en (3.20) por medio de la
transformada rápida de coseno, entonces el algoritmo (3.22) para evaluar y-derivadas y �nalmente otra transformada rápida de cosenos para ejecutar C�11 .
3. Llenando con ceros los armónicos de u; v; @u=@x; @u=@y; @v=@x y @v=@y deorden N + 1 hasta P � 3N=2, en cada ym para m = 1; : : : ;M � 1.
4. Usando la transformada inversa rápida de Fourier para transformar buk; bvk;@buk=@x; @buk=@y; @bvk=@x y @bvk=@y de vuelta al espacio físico, a �n de obteneru; v; @u=@x; @u=@y; @v=@x y @v=@y en (xj; ym) para j = 0; : : : ; 2P; m =1; : : : ;M � 1.
5. En los puntos (xj; ym) para j = 0; : : : ; 2P; m = 1; : : : ;M � 1, calcular
(u� c) @u@x+ v
@u
@y; (u� c) @v
@x+ v
@v
@y
6. Tomemos las transformadas rápidas de Fourier de los valores del último pasoen cada ym para m = 1; : : : ;M � 1, para volver al espacio de Fourier y asíobtener �nalmente k = 0; : : : ; N los armónicos deseados (3.28).
Observemos que todas las transformadas de Fourier son empleadas en este algo-ritmo, incluso para evaluar transformadas de coseno, son de tipo complejo a realeso viceversa, costo que aproximadamente es una media de un complejo para trans-formadas de Fourier compleja.
3.2.4. Ecuaciones Reducidas. Evolución Temporal
Hasta ahora para el sistema (3.7), hemos discretizado derivadas espaciales paraobtener el sistema (3.24), en el que sólo permanecen derivadas temporales en (3.24a)y (3.24b), junto con la ecuación algebraica (3.24c) correspondiente a la condición dedivergencia. Por lo tanto (3.24) es un sistema de ecuaciones diferenciales algebraicas.Para simpli�car el estudio de las dinámicas de (3.24), la convertimos en sistema deecuaciones diferenciales ordinarias a través de varias manipulaciones algebraicas.De aquí, la estabilidad de las soluciones de equilibrio será determinados por losautovalores de la parte lineal del sistema. De paso reducirá la dimensión del sistema
42
(3.24) de (2N + 1) (3M � 2) a (2N + 1) (M � 2)+1 en las ecuaciones �nales, es de-cir, más o menos un tercio de la dimensión original. En está subsección estudiaremoseste hecho para el caso del gradiente de presión constante. En la subsección 3.3.5 seabordara el caso del �ujo constante. (vease [6])
Ecuaciones Reducidas: Nuestro objetivo es eliminar v y p en (3.24). Iniciamoscon vectores de valor complejo uk = (uk1; : : : ; ukM�1)
t ; vk = (vk1; : : : ; vkM�1)t y
pk = (pk0; : : : ; pkM�1)t para k = 0; : : : ; N , correspondiente a los coe�cientes de
Fourier de u; v y p0 tal como se de�ne en (3.18). En particular u0; v0 y p0 sonvectores reales y el resto complejos. Asímismo de�nimos uk = (uk1; : : : ; ukM�2)
t
y vk = (ukM�1; vk1; : : : ; vkM�1)t para k = 1; : : : ; N . Con esta división de variables,
de (3.24c) vk puede resolverse de uk y así podemos obtener una matriz Tk que lleveuna transformación vk = Tkuk. La dimensión de Tk es M � (M � 2), las entradasde la primera �la son reales y el resto imaginarios puros, como puede veri�carsedirectamente para k = 0, (3.24c) se escribe como @v0=@y = 0 que junto con (3.19),v0 (�1) = 0, da v0 (y) = 0 y por lo que v01 = � � � = v0M�1 = 0. Como consecuencia,donde (3.24a) no existe términos de presión para k = 0, esta es la única ecuaciónque necesitamos considerar y este solo depende de u, una vez que la sustituciónvk = Tkuk sea aplicado.Para k = 1; : : : ; N , introducimos la notación
Uk = ��(u� c) @u
@x+ v
@u
@y
�k
+1
Re
�D2xk + C
�11 D
2yC1�uk + �k0G
Vk = ��(u� c) @v
@x+ v
@v
@y
�k
+1
Re
�D2xk + C
�11 D
2yC1�vk;
Uk = (Uk)f1;:::;M�2g ; Qk =�DxkC
�11 C2
�f1;:::;M�2g ;
V k =
�(Uk)fM�1g
Vk
�; Qk =
� �DxkC
�11 C2
�fM�1g
C�11 DyC2
�;
donde Afi1;:::;ing denota las �las i1; : : : ; in de la matriz A. Las ecuaciones (3.24a) y(3.24b) son ahora expresados como( �
uk = Uk �Qkpk�vk = V k �Qkpk
La matriz Qk es una matriz invertible de M �M , así de la segunda ecuaciónobtenemos pk = Q�1k
�V k �
�vk
�, el cual sustituyendo en el primer caso se tiene
�uk = Uk �QkQ�1k
�V k �
�vk
�= Uk �QkQ�1k
�V k � Tk
�uk
�;
y �nalmente sea Pk = QkQ�1k , es también posible invertir I�PkTk, y asi obtenemos
soluciones para ( �u0 = U0�uk = (I � PkTk)�1
�Uk � PkV k
�; k = 1; : : : ; N;
(3.29)
43
donde I es la matriz identidad de dimensión M � 2, tenemos extendido la de�ni-ción de Uk para k = 0. Teniendo en cuenta la sustitución vk = Tkuk, observe-mos que el sistema (3.29) no depende de vk y pk : solo depende de u0 y uk parak = 1; : : : ; N . Como se comento al inicio de esta subsección, la dimensión real de(3.29) es (2N + 1) (M � 2) + 1. Además, debido a la eliminación de la presión en(3.29), evitamos la indeterminación causada por la constante aditiva, la cual no tieneefecto en el gradiente de presión [6].
Evolución Temporal: una vez eliminado v y p de (3.24), en (3.29) queda paradiscretizar derivadas temporales. Elegimos el método de diferencias �nitas semi-implícita, atendiendo a varios factores como el costo computacional, la estabilidad,la presión y los requisitos de almacenamiento. El esquema adoptado es típico paralas ecuaciones de Navier- Stokes y emplea el método implícito de Crank-Nicholson(vease [1], [2] y [5])
wn+1 = wn +�t
2
�F�wn+1
�+ F (wn)
�; (3.30)
para la difusión (términos lineales: presión y viscosidad), el método de Adams-Bashfort explicita
wn+1 = wn +�t
2
�3F (wn)� F
�wn�1
��(3.31)
para la advección (términos no-lineales) siendo wn = w (tn) para tn = n�t, y�w = F (w) se aproxima a la EDO. Aplicar diferentes métodos en cada término deF , suponemos que F (w) = L (w) + N (w) y así escribimos
�w = F (w) en forma
integral como
w (tn+1) = w (tn) +
tn+1Ztn
L (w (t)) dt+tn+1Ztn
N (w (t)) dt
� wn +�t
2
�L�wn+1
�+ L (wn)
�+�t
2
�3N (wn)�N
�wn�1
��;
donde la aproximación de las integrales se basa en los métodos (3.30) y (3.31)respectivamente. Seleccionando términos, tenemos un paso del método a resolver
wn+1 � �t2L�wn+1
�= wn +
�t
2
�L (wn) + 3N (wn)�N
�wn�1
��: (3.32)
La recurrencia de (3.32) es un método de dos pasos, este necesita la solución de dosvalores consecutivos tn�1; tn, con el �n de encontrar un tn+1. Cuando (3.32) inicia,w0 viene de las condiciones iniciales y para generar w1 se construye el método de unsolo paso. En este caso los términos lineales y no lineales se discretizan mediante elmétodo de Euler implícito y explicito respectivamente
wn+1 = wn +�t
2F�wn+1
�; wn+1 = wn +
�t
2F (wn)
44
que, en cada longitud de tiempo �t=2, obtenemos el método semi-implícito
wn+1 � �t2L�wn+1
�= wn +
�t
2N (wn) : (3.33)
El error incurrido en (3.30) y (3.31) con respecto a la solución exacta es O�(�t)2
�,
como es fácil de comprobar. El método de Crank-Nicolson es absolutamente estableen todo el semiplano izquierdo, es decir, si Re (��t) � 0 entonces la soluciónaproximada wn del problema escalar
�w = �w esta acotado cuando n �! 1. En
cambio para el método de Adams-Bashforth la región de estabilidad es una área delplano complejo contenido en [�1; 0]� [�1; 1]. La estabilidad en este caso depende delos autovalores � de la parte lineal de la discretización espacial en (3.24) y �t deberestringirse de acuerdo a Re (��t) � 0 con el �n de conseguir la estabilidad. Comoveremos en la subsección 3.3.6, para el tipo de soluciones consideramos en nuestroestudio, el intervalo de tiempo �t que se emplea en la región de estabilidad, dondelos errores estimados se mantienen pequeños.Vamos a ver como se aborda la implementación actual. Podemos expresar (3.29)
como�uk = Lk (uk) +Nk (u0; : : : ; uN) ; k = 0; : : : ; N; (3.34)
donde u0 = u0 y Lk;Nk corresponden a los términos lineales y no-lineales enu0; : : : ; uN en el lado derecho de (3.29). En este punto consideramos sólo el casocuando el gradiente de presión constante G se mantiene constante y pone a Repcomo su número de Reynolds. Las ecuaciones de �ujo constante son estudiadas enla subsección 3.3.5. Para enfatizar la dependencia en cada una de las variables en(3.34), que precisa sus fórmulas:
RepL0 (u0) = C�11 D2yC1u0;
Rep (I � PkTk)Lk (uk) =�D2xk + C
�11 D
2yC1�f1;:::;M�2g
�I
(Tk)f1g
��Pk
� �D2xk + C
�11 D
2yC1�
00 D2
xk + C�11 D
2yC1
��ITk
�uk;
N0 (u0; : : : ; uN) = ��(u� c) @u
@x+ v
@u
@y
�0
+G; (3.35)
(I � PkTk)Nk (u0; : : : ; uN) = ���(u� c) @u
@x+ v
@u
@y
�k
�f1;:::;M�2g
+Pk
0@�h(u� c) @u
@x+ v @u
@y
ik
�fM�1gh
(u� c) @v@x+ v @v
@y
ik
1A ;para k = 1; : : : ; N . Es fácil comprobar que Pk = QkQ
�1k tiene su primera columna
real y el resto imaginarios puros. Entonces PkTk es una matriz real y la matrizLk para k = 0; : : : ; N es también real. La sustitución de (3.34) en (3.32) da parak = 0; : : : ; N
un+1k � �t2L�un+1k
�= unk +
�t
2
�L (unk) + 3N n
k �N n�1k
�;
45
el cual se abrevia comoAku
n+1k = bn+1k ; (3.36)
donde
Ak = I ��t
2Lk; bn+1k = unk +
�t
2
�L (unk) + 3N n
k �N n�1k
�;
y N jk = Nk
�uj0; : : : ; u
jN
�. Para k = 0 la matriz identidad tiene dimensión (M � 1).
Observemos que Ak es una matriz real de tamaño M � 1 para k = 0 y M � 2 parak = 1; : : : ; N y que sólo depende de M y �t, que se mantiene constante en cadasimulación de �ujo. Por lo tanto tenemos que calcular la descomposicion LU de Ak.La recurrencia de (3.36) necesita u0; : : : ; uN en dos instantes de tiempo. El primerose toma de la condición inicial y para el segundo, adaptando (3.33) a nuestro caso,tenemos
un+1k � �t2L�un+1k
�= unk +
�t
2N nk (3.37)
el cual puede ser aplicado dos veces con el �n de obtener la solución de u1k en t = �t.No es coincidencia que Ak sea también la matriz del sistema a resolverse en (3.37).En este caso podemos aprovechar de la descomposición LU y su correspondientealmacenamiento.Esquema de avance en el Tiempo. Partimos de los valores �jos de �t; M;
N; K = (2N + 1) (M � 2) + 1 y (u00; : : : ; u0N) 2 RK en el instante de tiempo t = 0.En el siguiente algoritmo para la evolución del tiempo, todos los pasos referidos ak = 0; : : : ; N . Se basan (3.36) y (3.37) :
1. Calcular la matriz Ak junto con su descomposición LU.
2. Evaluar b1=2k = u0k +�t2N 0k y resolver Aku
1=2k = b
1=2k para u1=2k .
3. Evaluar b1k = u1=2k + �t
2N 1=2k y resolver Aku1k = b
1k para u
1k.
4. Para n = 1; 2; 3; : : : obtenemos bn+1k = 2unk � bnk + �t2
�3N n
k �N n�1k
�y resolver
Akun+1k = bn+1k para un+1k .
En resumen, en cada intervalo de tiempo el coste computacional consiste en laevolución deN n
k , resolviendo el sistema lineal de tamañoM�1 y 2N sistemas linealesde tamañoM�2, cuya descomposición LU sera calculado. Los principales requisitosde almacenamiento es la descomposición LU de la matriz Ak, es decir, (M � 1)2 +2N (M � 2)2 coe�cientes reales. Esto a sido una razón importante para elegir ladiscretización numérica, como Galerkin-Fourier en x y colocación de Chebyshev eny (vea la subsección 3.3.1) en vez de Chebyshev-Galerkin en y y colocación de Fourieren x. Con este último enfoque los términos lineales están acoplados en una matriz,en contraste con un bloque de tamaño M � 1 y 2N de tamaño M � 2 en el métodoimplementado como se ve en (3.36) [6].
3.2.5. El Integrador Numérico del Flujo Constante
Tenemos que hacer pequeños cambios en las ecuaciones de la subseccion 3.3.4para implementar un integrador numérico que mantenga el �ujo Q constante en el
46
tiempo. Según la tabla 1, tenemos que imponer Q = 4=3 y de (3.9) aplicado al casoadimensional resulta
G =1
2
1Z�1
@bu0@tdy � 1
2ReQ
�@bu0@y
�1�1=1
2
@
@t
1Z�1
bu0dy � 1
2ReQ
�@bu0@y
�1�1
(3.38)
=1
2
@Q
@t� 1
2ReQ
�@bu0@y
�1�1= � 1
2ReQ
�@bu0@y
�1�1;
para bu0 como se de�nió en (3.14). Por lo tanto, de la última expresión, la restricciónen G tiene implícito al �ujo constante, como hemos utilizado @Q
@t= 0 en este caso. Sin
embargo, numéricamente (3.38) no es su�ciente para mantener constante al �ujo, yaque, debido a errores de redondeo, el �ujo va variando ligeramente en cada espacio detiempo, produciendo errores sustanciales en la integración del tiempo (vease [6]). Porlo tanto, además de aplicar (3.38) como el gradiente de presión media, restringimostambién la solución de Q = 4=3 en cada instante de tiempo. Ambas restriccionesafectan principalmente a la ecuación u0 = (u01; : : : ; u0M�1) en (3.29), porque Q y Gdependen sólo de bu0 y la dependencia es lineal. Incorporamos a L0 (u0) de (3.35).Cálculo de G. Por medio de las transformaciones C1 y Dy de�nidos en (3.20) y
(3.23) respectivamente, la operación lineal u00 =�u000; : : : ; u
00M�1
�= DyC1u0 calcula
los coe�cientes del polinomio de Chebyshev @bu0@y=
M�1Pm=0
u00mTm (y). De ello se obtiene
G =�12ReQ
�@bu0@y
�1�1=
�12ReQ
M�1Xm=0
u00m (Tm (1)� Tm (�1))
=�12ReQ
M�1Xm=0
u00m (cosm0� cosm�) =�12ReQ
M�1Xm=0
u00m (1� (�1)m)
=�1ReQ
M�1Xm=0
m impar
u00m;
y así modi�cando los términos lineales, agregamos G
ReQL0 (u0) = C�11 D2yC1u0 +G =
�C�11 D
2yC1 �ODyC1
�u0;
donde O = (oij) es una matriz de (M � 1)�M con oij = 1 si j es impar y oij = 0en otros casos.Cálculo de Q. Siendo eu0 = C1u0 y como observamos en (3.8)Q =
1Z�1
bu0 (y) dy = 1Z�1
MXm=0
eu0mTm (y) dy = MXm=0
eu0m 1Z�1
cos (m arc cos (y)) dy (3.39)
=
MXm=0
eu0m �Z0
cos (m�) sen �d� =
MXm=0m par
2eu0m1�m2
= qtu0
47
donde q = (q1; : : : ; qM�1)t = (q00; : : : ; q
0M)C1, para q
0m = 2= (1�m2) si m es par y
q0m = 0 en otros casos. Ahora la condición Q = 4=3 es transformado a qtu0 = 4=3,
para M par podemos resolver u0M=2 por
u0M=2 =1
qM=2
�4
3� qtu0
�; (3.40)
donde q y u0 representan los vectores q y u0 sin la M=2 � �esima componente.Teniendo a (L0)fM=2g como la M=2 � �esima columna de L0, y eL0 como L0 sin el(L0)fM=2g, entonces podemos eliminar u0M=2 de L0 desde
L0 (u0) = eL0 (u0) + (L0)fM=2g u0M=2=
� eL0 � 1
qM=2(L0)fM=2g qt
�(u0) +
4
3qM=2(L0)fM=2g ;
Por último L0 = eL0� 1qM=2
(L0)fM=2g qt , que es laM=2� �esima �la, la ecuación parau0 es
�u0 = L0 (u0) +N0 (u0; : : : ; uN) ;
donde
N0 (u0; : : : ; uN) = ��(u� c) @u
@x+ v
@u
@y
�0
+4
3qM=2(L0)fM=2g :
La dimensión del sistema será reducido en uno con respecto a (3.29). La ecuaciónpara u1; : : : ; uN tiene términos lineales como en (3.29). En la evaluación de lostérminos convectivos u0M=2 será sustituido de (3.40). La evolución temporal seráimplementado como en (3.36).
3.2.6. Comprobación del Integrador Numérico
Ahora veri�caremos que los errores locales originados en (3.36) de la discretizacióntemporal, seran razonables para el tipo de soluciones que consideraremos en este tra-bajo y los valores moderados de Re. A tal �n, aproximaremos derivadas temporalespara diferencias �nitas centrales y luego extrapolamos esas aproximaciones.
Método de Extrapolación. Consideremos la expansión de potencias de h,evaluadas en h y �h
T (h) = � 0 + � 1hr +O
�hr+1
�; T (�h) = � 0 + � 1�
rhr +O�hr+1
�:
Combinamos ambas expansiones hasta anular los términos de orden r para
�r
1� �r�T (�h)
�r� T (h)
�= � 0 +O
�hr+1
�(3.41)
aproximamos derivadas usando la fórmula de diferencia central
D (h) =f (t+ h)� f (t� h)
2h(3.42)
48
que de la expansión de Taylor sabemos que
D (h) = a0 + a1h2 + : : :+ amh
2m + h2m+2�m+1 (h) ;
donde a2k+1 = f 2k+1 (t) = (2k + 1)! para k = 0; 1; : : : ;m + 1 y �m+1 (h) �! am+1cuando h �! 0. Poniendo � = 1=2 y r = 2, el método de extrapolación aplicado aD (h) se escribe así
D (h=2) +D (h=2)�D (h)
3= f 0 (t) +O
�h4�: (3.43)
Fórmula Efectiva para el Error del Tiempo. Denotemos un = u (n�t) paran = 0; 1; : : : y u = (u0; : : : ; uN) en su forma discreta como se de�ne en la subsección3.3.4. El procedimiento adoptado para estimar los errores cometidos en la evolucióntemporal se considera cinco instantes consecutivos de u, es decir un�2; un�1; un; un+1
y un+2[6]. Usando (3.42) para h = 2�t y h = �t, aproximamos�unpor
un+2 � un�24�t
=�un+O
�(�t)2
�;
un+1 � un�12�t
=�un+O
�(�t)2
�;
el cual combinado con (3.43) se obtiene
un+1 � un�12�t
+1
3
�un+1 � un�1
2�t� u
n+2 � un�24�t
��un+O
�(�t)4
�: (3.44)
Abreviando (3.34) como�u = L (u) + N (u), haciendo L = (L0; : : : ;LN) y N =
(N0; : : : ;NN). Por otro lado, (3.36) puede transformarse a
L (un) = 2
�t(un � bn)
donde b = (b0; : : : ; bN). Debido a (3.30) y (3.31) se producen O�(�t)2
�errores, esto
es también para (3.36). En consecuencia de la evolución del tiempo usado en (3.36)nos lleva a
�un= L (un) + N (un) + O
�(�t)2
�, el cual sustituido en (3.44) da una
expresión �nal para el error
1
12�t
�un�2 � 8un�1 + 24bn � 24un � 12�tN n + 8un+1 � un+2
�= O
�(�t)2
�(3.45)
Norma de un Flujo. para medir el tamaño de un �ujo, y en particular la expresión(3.45), necesitamos una norma. Dado un per�l de velocidades (u; v) (x; y), sobre labase de la norma L2, de�nimos su norma k(u; v)k como
k(u; v)k2 def= 1
L
LZ0
1Z�1
�u (x; y)2 + v (x; y)2
�dydx: (3.46)
Con el �n de evaluar (3.46) para un �ujo de datos discretos (u; v) como en (3.14) y(3.18), si ponemos w (x; y) = u (x; y)2 + v (x; y)2, expresados como series de Fourier
49
w (x; y) =Pk2Zwk (y) e
ik�x, entonces
k(u; v)k2 =1
L
LZ0
1Z�1
w (x; y) dxdy =
LZ0
Xk2Z
wk (y)
L
1Z�1
eik�xdxdy (3.47)
=
1Z�1
w0 (y) dy = qtw0:
El último paso es una consecuencia directa de (3.39), donde w0 = (w01; : : : ; w0M�1),correspondiente a la notación (3.18). Por otro lado, para la serie truncada w (x; y),de la de�nición de sumas de convolución en (3.26), obtenemos param = 1; : : : ;M�1
w0m =NX
k=�N
(ukmu�km + vkmv�km) = u20m + 2
NXk=1
�jukmj2 + jvkmj2
�;
que �nalmente nos permite evaluar (3.47).Con el �n de evaluar el error de la fórmula (3.45), primero necesitamos aplicar
la transformada Tk de�nido en la subsección 3.3.4 para calcular los componentes deu y v no presentes en (u0; : : : ; un), y luego podemos aplicar (3.47). En la tabla 2se presentan errores, de acuerdo con (3.45), para diferentes �ujos. Observemos quepara �jar valores de Re y N �M , depende de los errores en (�t)2, cuando �t sereduce a la mitad, que se dividen más o menos por cuatro. Esto está en acuerdo con(3.45). Los errores se aumentaron con Re y ligeramente con N �M . Los datos de latabla 2 da solo una referencia de la precisión de los integradores numéricos, porquelos errores dependen en gran medida del tipo de solución que se integra.En las �guras 3.2 y 3.3 gra�camos los vectores (u; v) (xj; ym) para xj = jL=M ,
j = 0; 1; : : : ;M � 1 y ym como se de�nió en (3.17). De (3.14) y (3.18), como u; v sonfunciones reales, obtenemos (xj; ym) que se lleva acabo por
u (xj; ym) = u0m + 2
NXk=1
Re�ukme
ik�xj�
= u0m + 2NXk=1
�urkm cos (k�xj)� uikm sen (k�xj)
�v (xj; ym) = 2
NXk=1
Re�vkme
ik�xj�= 2
NXk=1
�vrkm cos (k�xj)� vikm sen (k�xj)
�;
donde Re z = zr es la parte real de z, y Im z = zi la parte imaginaria. De nuevo eneste caso empleamos la transformada Tk.
50
Figura 3.2: Campo de velocidades de (u; v) para un instante de tiempo de acuerdo ala Tabla 2. El esquema representado corresponde a [0; L]� [�1; 1]. Fuente: [6] p.32.
Figura 3.3: Similar a la �gura 3.2. Fuente: [6] p.33
51
Flujo constante Gradiente de presión constanteN �M ReQ �t Error N �M Rep �t Error4� 24 5737.26 0.020 8.50�10�9 4� 24 7638.23 0.020 2.38�10�94� 24 5737.26 0.010 2.12�10�9 4� 24 7638.23 0.010 5.95�10�104� 24 5737.26 0.005 5.30�10�10 4� 24 7638.23 0.005 1.49�10�104� 24 6000.00 0.020 1.62�10�8 4� 24 8500.40 0.020 4.68�10�94� 24 6000.00 0.010 4.04�10�9 4� 24 8500.40 0.010 1.17�10�94� 24 6000.00 0.005 1.01�10�9 4� 24 8500.40 0.005 2.93�10�104� 24 7401.06 0.020 9.46�10�6 4� 24 9504.20 0.020 2.64�10�74� 24 7401.06 0.010 2.37�10�6 4� 24 9504.20 0.010 6.62�10�84� 24 7401.06 0.005 5.88�10�7 4� 24 9504.20 0.005 1.66�10�87� 40 5269.03 0.020 6.81�10�8 7� 40 6699.62 0.020 3.11�10�87� 40 5269.03 0.010 1.70�10�8 7� 40 6699.62 0.010 7.82�10�97� 40 5269.03 0.005 4.26�10�9 7� 40 6699.62 0.005 1.96�10�97� 40 5835.42 0.020 8.06�10�7 7� 40 7589.07 0.020 2.12�10�77� 40 5835.42 0.010 2.02�10�7 7� 40 7589.07 0.010 5.31�10�87� 40 5835.42 0.005 5.04�10�8 7� 40 7589.07 0.005 1.33�10�87� 40 6658.21 0.020 3.38�10�6 7� 40 8260.39 0.020 3.86�10�77� 40 6658.21 0.010 8.46�10�7 7� 40 8260.39 0.010 9.65�10�87� 40 6658.21 0.005 2.12�10�7 7� 40 8260.39 0.005 2.41�10�87� 40 7539.27 0.020 8.03�10�6 7� 40 9051.24 0.020 6.26�10�77� 40 7539.27 0.010 2.01�10�6 7� 40 9051.24 0.010 1.57�10�77� 40 7539.27 0.005 5.03�10�7 7� 40 9051.24 0.005 3.91�10�8Tabla 2: Errores, de acuerdo a (3.45)-(3.47), cometidos durante la integraciónde diferentes �ujos para los valores especi�cados de ReQ;Rep; N �M;�t y para�jado � = 1;02056. El error se calcula como un promedio de varias medicionesde 3.45. Para valores �jos de Re y N �M el mismo �ujo es integrado paravalores de �t = 0;02; 0;01; 0;005. Fuente: [6] p.35.
52
Conclusiones
1. Las Ecuaciones en Derivadas Parciales constituyen uno de los principales cam-pos de estudio en matemáticas, debido a su creciente aplicación en física, in-geniería y otras ciencias. Se ha visto que por lo general la solución de unaEDP no es expresable en términos de funciones elementales, lo que di�culta elcálculo de las soluciones analiticas. Por lo tanto es recomendable emplear méto-dos numéricos para resolver EDP cuando, para �nes prácticos, basta generarsoluciones aproximadas, pero de manera e�ciente. El Método de DiferenciasFinitas es una herramienta útil para calcular aproximaciones a las solucionesde algunas EDP, como hemos tratado en el primer capítulo.
2. Una de las aplicaciones de los polinomios de Fourier y Chebyshev es el ahorrode cálculos, pues logra disminuir el grado de un polinomio de aproximación,con una perdida mínima de exactitud. Como estos polinomios tiene un valorabsoluto mínimo que se distribuye uniformemente en el intervalo, puede tam-bién ser usados para reducir el grado de un polinomio de aproximación, sinque se rebase la tolerancia del error, como lo presentamos en el capítulo II.
3. Se explica técnicas con que se obtienen las aproximaciones de polinomios queresulta ser e�ciente desde el punto de vista de los cálculos a realizar; una vezque se conoce Pn(x) es fácil determinar Pn+1(x), por ejemplo los polinomiosde Chebyshev sólo requiere la fórmula de recurrencia para generar el Tn+1(x),esto lo hemos tratado en la segunda parte del capítulo II.
4. Por último vemos que los capitulos 1 y 2 son de suma importancia en laimplementación numérica para resolver la ecuación generado por el �ujo dePouseuille, la cual sabemos que está gobernado por la ecuación de Navier-Stokes para �uidos incomprensibles. Donde combinando los métodos dediferencias �nitas y métodos espectrales se dio la solución numérica para laecuación del �ujo de Pouseuille, vista en el capítulo III de nuestro trabajo.
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