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ESERCIZI
CINEMATICA UNIDIMENSIONALE
Dott.ssa Silvia Rainò
1
CALCOLO DIMENSIONALE
Una grandezza G in fisica dimensionalmente si scrive
[G] = [MaLbTgKd…]
Ove a,b,g,d sono opportuni esponenti.
Ad esempio :
2
[Massa] = [M L0 T0 K0…] =[M] [Velocità] = [M0 L T-1 K0] = [LT-1] [Accelerazione] = [M0 L T-2 K0] = [LT-2]
Calcolo dimensionale – Esercizio 1
Determinare le dimensioni della densità di volume
(densità = massa/volume), superficiale e lineare
3
V
Mavolumetricdensità
3L
M 3 ML
S
Mdensità lesuperficia
2L
M 2 ML
L
Mdensità lineare 1 ML
Calcolo dimensionale – Esercizio 2 (1/2)
Verificare quale delle seguenti espressioni dell’
accelerazione centripeta è corretta
1. aC = V2 R
2. aC = V R2
3. aC = R2 / V
4. aC = V2 / R
5. aC = V2 R2
4
Equazione dimensionale per l’accelerazione è:
[Accelerazione] = [M0 L T-2 K0] = [LT-2]
1. aC = V2 R
2. aC = V R2
3. aC = R2 / V
4. aC = V2 / R
5. aC = V2 R2
5
Calcolo dimensionale – Esercizio 2 (2/2)
2321 TLLLTac
1321 TLLLTac
LTLT
Lac
1
2
222
LT
L
TLac
24222 TLLTLac
NO
NO
NO
SI!!!!
NO
Diagramma orario – esercizio 1 (1/2)
Una persona si allontana da casa camminando a velocità costante per circa mezz’ora lungo una strada rettilinea. Dopo aver percorso 2 km, si ferma per un’ora e quindi ritorna verso casa camminando più lentamente di prima. Disegnare il grafico che rappresenta la distanza da casa (in chilometri) in funzione del tempo (in ore)
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Diagramma orario – esercizio 1 (2/2)
Rappresentiamo il percorso effettuato dalla persona del nostro problema in funzione del tempo.
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d1=2km
t1=1h
Ferma per t2=1h
d2=2km
t1>1h
Richiamo
Moto uniforme : v(t) = v0 in ogni istante t; velocità
costante
v=v0 => a = 0
x = x0 + vt
Moto uniformemente accelerato : a costante
v = v0 + a t
x = x0 + v0t + ½ a t2
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Moto uniforme – Esercizio 1 (1/2)
Su una strada di montagna un’ autovettura viaggia per
un’ ora alla velocità media di 40Km/h e per 2 ore alla
velocità media di 60 Km/h. Determinare :
a)Lunghezza del percorso complessivamente compiuto
b)Velocità media
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Moto uniforme – Esercizio 1 (2/2) 10
Dati del problema:
t1=1h, v1 = 40 km/h
t2=2h, v2 = 60 km/h
Soluzione:
Percorso totale:
x1= v1 t1= 40 km/h 1 h = 40 km
x2= v2 t2= 60 km/h 2 h = 120 km
xtot= x1 + x2= 40 km + 120 km= 160 km
Velocità media sull’intero percorso:
vmedia = xtot/ttot = 160 km/ 3h = 53.3 km/h
Moto uniforme – Esercizio 2 (1/2)
Quanto impiega un aereo a reazione supersonico, che vola ad una velocità che è 2,4 volte quella del suono, per attraversare l’Atlantico, che è circa 5500 km? Si supponga che la velocità del suono sia pari a 350 m/s. Supponendo che si impieghino 2 h sia alla partenza che all’arrivo per consegnare o riprendere i bagagli, qual è la velocità media per il tragitto tra la località di partenza e quella di arrivo per l’aereo supersonico?
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tempo impiegato = 6548 s (1 ora, 49 minuti , 8 secondi);
velocità media = 263 m/s = 945 km/h
Moto uniforme – Esercizio 2 (2/2) 12
vsuono = 350 m/s
vaereo = 2.4*vsuono = 2.4*350 m/s = 840 m/s
d = 5500 km = 5.5103 km = 5.5103103 m= =5.5106 m
Ricordando che per il moto uniforme lo spazio percorso è
d=vt
tviaggio = d/vaereo =
tbagagli=2h2=4h=43600s=14400s
ttot=tbagagli+tviaggio=14400s + 6548 s= 20948 s
vmedia = d/ttot = 5.5106 m / 20948 s = 263 m/s
ssm
m6548
840
1055 6
/
.
Moto Uniformemente Accelerato – Es. 1 (1/2)
Un’automobile parte da ferma con un’accelerazione costante di 8 m/s2
(a) A che velocità viaggia dopo 10 secondi?
(b) Qual è la velocità media nell’intervallo di tempo tra t = 0 s e t = 10 s?
(c) Quanta strada percorre in quell’intervallo di tempo?
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a) velocità a t = 10 s: 80 m/s;
b) velocità media = 40 m/s; vMEDIA
= (v+v0)/2
c) strada percorsa = 400 m
Moto Uniformemente Accelerato – Es. 1 (2/2) 14
v0 = 0 m/s
a = 8 m/s2
Ricordando che per il moto uniformemente accelerato, la
velocità è v=v0 + at = at (poiché v0=0)
v(t=10s)= 8m/s2 10 s = 80 ms-2s=80 m/s
La velocità media è data da vMEDIA = (v+v0)/2:
vmedia= (80+0)/2 m/s=40 m/s
Lo spazio percorso è x=x0+v0t+1/2 at2= 1/2 at2
assumendo l’origine del nostro sistema di riferimento
coincidente con il punto di partenza dell’auto, x0=0
x= 1/2 at2 = 0.5 8ms-2 (10s)2 = 400 m
Altri problemi 15
Due automobili A e B percorrono lo stesso rettilineo nei due modi seguenti:
o A al tempo t = 0 h è nella posizione sA0= 2.4 km e si sta muovendo con una velocità costante vA= 40 km/h.
o B al tempo t=0.5h è nella posizione sB0 = 0 km e si sta muovendo con una velocità costante vB = 70 km/h
C’è un sorpasso? In caso affermativo, chi sorpassa chi? A quale tempo? In quale posizione avviene il sorpasso?
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Problema 1
Soluzione:
B sorpassa A ;
t= 1.25 h;
s = 52.4 km;
Soluzione (1/5)
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Leggi orarie del moto rettilineo uniforme delle auto A e B:
sA = s0A + vA (t t0A)
sB = s0B + vB (t t0B)
Condizioni iniziali:
t0A = 0 h s0A = 2.4 Km
t0B = 0.5 h s0B = 0. km
vA= 40 km/h
vB= 40 km/h
Soluzione (2/5) 18
B A
s 2.4Km
O t=t0A= 0
t=t0B= 0.5 h
B A
s O
vB
vA
vA
Soluzione (3/5) 19
Il sorpasso avviene quando le due auto si trovano
nella stessa posizione:
avendo indicato con t* l’istante in cui avviene il sorpasso
sA ( t*) = sB ( t*)
s0A + vA (t*-t0A) = s0B + vB (t* t0B)
t0A=0
s0B=0 s0A + vA t* = vB (t* t0B)
Soluzione (4/5) 20
Allora l’istante in cui avviene il sorpasso è:
La posizione in cui avviene il sorpasso può essere determinata calcolando sA(t*) o equivalentemente sB(t*):
sA ( t*) = s0A + vA t* =
= 2.4 km + 40 km/h1.25 h = 52.4 km
h
h
km
kmhh
km
vv
stvt
AB
ABB 251
4070
42507000 .
..
*
Soluzione (5/5) 21
Diagramma orario
O t (h)
s (km)
0.5 1
10
20
30
40
A B
1.5
50
t*
Problema 2
La luce viaggia nello spazio ad un velocità di 3 108 m/s;
la distanza percorsa dalla luce in un anno è detta anno
luce. Determinare:
1. Il tempo che che impiega la luce per giungere dalla Luna alla
Terra (distanza Terra-Luna = 3.84 105 Km)
2. Il tempo impiegato dalla luce per giungere dal Sole alla Terra
(distanza Terra-Sole = 1.5 108 Km)
3. Distanza in Km e metri della stella Alpha Centauri che dista
dalla terra 4.2 anni luce
22
Soluzione (1/3) 23
vluce = 3108 m/s
Distanza Terra-Luna: dT-L= 3.84 105 Km= 3.84 108m
Tempo impiegato dalla luce ad arrivare dalla Luna alla Terra:
x=x0+vlucet = vlucet = dT-L (x0=0)
t = dT-L /vluce=
OLuna x(m) Terra
3.84 108m
ssm
m281
103
108438
8
./
.
24
vluce = 3108 m/s
Distanza Sole-Terra: dS-T= 1.5 108 Km= 1.5 1011m
Tempo impiegato dalla luce ad arrivare dal Sole alla Terra:
x=x0+vlucet = vlucet = dS-T (x0=0)
t = dS-T /vluce=
OSole x(m) Terra
1.5 1011m
ssm
m500
103
10518
11
/
.
Soluzione (2/3)
25
Quanto vale la distanza (anno-luce) percorsa dalla
luce in un anno?
1 anno = 365 giorni=365 24 h= 365 24 3600s =
31536000 s = 3.15107s
danno-luce = vlucet =3108m/s 3.15 107s =
= 9.45 1015m
Distanza alpha-Centauri:
dalpha-Centauri = 4.2 danno-luce = 4.29.45 1015m =
=39.71015m = 39.71015 (10-3km) = 39.71012km
Soluzione (3/3)
Problema 2.2.13 dal libro di esercizi 26
Una pietra viene lanciata verticalmente verso l’alto
dal bordo della cima di un edificio con una velocità
iniziale di 25.0 m/s. L’edificio è alto 50m.
Determinare:
Il tempo impiegato dalla pietra per raggiungere la
massima altezza.
La massima altezza raggiunta.