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1

ES. Sforzo

Una barra di acciaio AISI 304 a sezione tonda, di diametro pari a 10 mm, deve sorreggere una massa di 2 t. Qual è lo sforzo a cui è soggetta la barra? Cosa accade se vengono aggiunti 1000 kg? E se vengono applicate 6 t?

Azioni interne (definizione di tensione o sforzo)

F1

F2

s

SF s

S

Fs

Unità di misura della tensione: [N/mm2]

1 [N/mm2] = 1 [MPa]

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2

Risoluzione

Ricavo il valore della sezione resistente dal diametro:

A = p*d2/4 = p*(10 mm)2/4 =

= 78.5 mm2

Per poter calcolare lo sforzo (s = F/A) devo prima calcolare la forza peso a partire dalla massa

F = m*g = 2 t * 9.81 m/s2 =

= 2000 kg * 9.81 m/s2 = 19620 kg*m/s2

= 19620 N

Risoluzione

Quindi lo sforzo è pari a

s = F/A = 19620 N/78.5 mm2 =

= 250 N/mm2 = 250 MPa

Devo confrontare il valore dello sforzo

applicato con la tensione di snervamento e quella di rottura del materiale

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Deformazione

elastica

Deformazione

plastica uniforme

Snervamento

Deformazione

plastica

localizzata

fy

ft ft

Definizione di tensione di snervamento

e

s

e

s

0.2% e

s

Rsn

Snervamento discontinuo Snervamento continuo

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

Rsn,max Rsn,0,2 Rsn,min

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4

Determinazione del carico di snervamento

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

1300

1400

1500

0 0.01 0.02 0.03

deformazione

sfo

rzo

MP

a

51CrMoV4

Ti 6Al4V

API 5L X100

AISI 304

S235JR

Al 5154 H34

Rs 0,2 =

300 MPa

Determinazione del carico di rottura

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

1300

1400

1500

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6

deformazione

sfo

rzo

MP

a

X100

inox 18-8

S 235JR

Al 5154 H34

Ti 6Al4V

51CrMoV4

51CrMoV4

Ti 6Al4V

API 5L X100

AISI 304

S235JR

Al 5154 H34

Rm =

660 MPa

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5

Risoluzione

Lo sforzo applicato è inferiore al carico di snervamento del materiale

s<Rs: 250 MPa < 300 MPa

Questo significa che la barra opera in campo elastico, ove le deformazioni sono reversibili: applicando il carico la barra si allungherà, ma rimuovendolo tornerà alle condizioni iniziali

Risoluzione

Se si aggiungono 1000 kg si ha che

s = F/A = (m*g)/A =

= ((2000+1000)kg*9.81 m/s2) /78.5 mm2 = 375 MPa

In questo caso lo sforzo applicato è superiore al carico di snervamento ma inferiore a quello di rottura

Rs < s < Rm

Questo significa che la barra opera in campo di deformazione plastica uniforme: il materiale ha superato il limite elastico e parte della deformazione che ha subito è irreversibile; rimuovendo il carico la lunghezza della barra non torna nelle condizioni iniziali

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Deformazione elastica e deformazione plastica

e

s

ep ee

Limite

elastico

e

s

ep ee

Limite

elastico

e

s

e

s

reversibile irreversibile

Risoluzione

Nel caso in cui si applicano 6 t si ha che

s = F/A = (m*g)/A =

= (6000 kg*9.81 m/s2) /78.5 mm2 = 750 MPa

In questo caso lo sforzo applicato è superiore al carico di rottura (660 MPa)

s > Rm

Il carico di rottura è il massimo sforzo sopportabile dal materiale: questo significa che applicando 6 t la barra si allungherà sino a rompersi

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ES. deformazione e legame elastico s-e

Una barra di acciaio AISI 304 a sezione rettangolare 2x6 mm e lunghezza iniziale di 5 m si allunga per effetto di un peso applicato sino a 5.002 m. Quanto vale la deformazione? Qual è il valore del peso applicato?

l/2

Definizione di deformazione

F

F

L L

Ln

e

l

lt

e

l

l

L/2

L/2

l/2

Le deformazioni sono grandezze adimensionali

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8

Risoluzione

Applicando la definizione di deformazione si ottiene che:

e = (l-l0)/l0 = (5002 – 5000) mm/ 5000 mm

= 0.0004

Per poter calcolare il peso applicato devo conoscere lo sforzo

Risoluzione

Posso ricavare il valore dello sforzo dalla deformazione utilizzando la legge di Hooke (s = E*e) ma…

ATTENZIONE: la legge di Hooke è valida solo in campo elastico!

Quindi devo ipotizzare che la barra lavori in campo elastico e verificare questa ipotesi controllando che

s < Rs

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Risoluzione

s = E*e = 196000 MPa*0.0004 = 78.4 MPa

Lo sforzo sulla barra è effettivamente inferiore al carico di snervamento (300 MPa), quindi l’ipotesi che questa operasse in campo elastico è valida

IN CASO CONTRARIO non è possibile determinare lo sforzo (quindi il peso applicato) utilizzando la legge di Hooke, ma è necessario ricorrere al grafico s-e, se disponibile

X100 steel AISI 18-8 (AISI304)

S 235JR Al 5154 H34 Ti 6Al4V 51CrMoV4

E GPa 210 196 210 72,4 117 210

0,33 0,28 0,33 0,31 0,31 0,33

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

1300

1400

1500

0 0.01 0.02 0.03

deformazione

sfo

rzo

MP

a

51CrMoV4

Ti 6Al4V

API 5L X100

AISI 304

S235JR

Al 5154 H34

s =

450 MPa

Esempio: e = 0.015 => s = 450 MPa

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Risoluzione

Noto lo sforzo, in base alla definizione dello sforzo stesso, si può ricavare che

s = F/A => F = s*A = s*(b*h) =

= 78.4 MPa*(2*6) mm2 =

= 940.8 N

corrispondente ad una massa di

m = F/g = 940.8 N/9.81 m/s2 = 96 kg

ES. Sistema di monitoraggio del campanile

Un sistema interno di monitoraggio dell’inclinazione di un campanile è realizzato mediante uno filo appeso alla sommità e teso con un peso di 10 kg. Il filo è in AISI 304 di 0,8 mm di diametro. Si pone il problema di aumentare il peso a 60 kg. Verificare l’accettabilità della modifica e, se minore, il massimo peso consentito. Calcolare per questo peso la lunghezza del filo in assenza di carico. Calcolate la massima portata per la rottura

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ES. Sistema di monitoraggio del campanile

Dati iniziali: Peso 10 kg Diametro filo 0.8 mm Materiale: AISI 304 È ammissibile un peso di 60 kg? Se non ammissibile qual è il

massimo peso consentito? Valutare lunghezza del filo senza

carico Calcolo della massima portata per

la rottura

70 m

10 kg

Risoluzione

Devo verificare che: s < Rs

Peso (massa) -> sollecitazione (sforzo)

Peso (massa) -> forza

F = m*g = 60 kg * 9.81 m/s2 =

= 588.6 kg*m/s2 = 588.6 N

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Risoluzione

Ricavo il valore della sezione resistente dal diametro:

A = p*d2/4 = p*(0.8 mm)2/4 =

= 0.503 mm2

s = F/A = 588.6 N / 0.503 mm2 =

= 1170 N/mm2 = 1170 MPa

Risoluzione

Verifica s = 1170 MPa < Rs

Dal grafico osservo che Rs per l’acciaio AISI 304 è pari a circa 300 MPa (tracciando retta parallela al tratto elastico passante per e = 0.2 % = 0.002)

Un peso di 60 kg non è ammissibile

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Risoluzione

Calcolo del massimo peso consentito:

F = s*A => Fmax = Rs*a =

= 300 MPa * 0.503 mm2

= 150.9 N

Pesomax = F/g = 150.9 N / 9.81 m/s2

= 15.4 kg

Risoluzione

Calcolo della lunghezza in assenza di carico:

Utilizzo la legge di Hooke per ricavare e

s 10 kg*9.81 m/s2/0.503 mm2 = 195 MPa

s = E*e => e = s/E = 195 MPa / 196 GPa = 195 / 196000 = 9.95*10-4

X100 steel AISI 18-8 (AISI304)

S 235JR Al 5154 H34 Ti 6Al4V 51CrMoV4

E GPa 210 196 210 72,4 117 210

0,33 0,28 0,33 0,31 0,31 0,33

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Risoluzione

Dalla definizione di deformazione:

e = (l-l0)/l0 => l0*e = l-l0 =>

l0 = l/(1+e) = 70 m / (1+ 9.95*10-4) =

= 69.93 m

Risoluzione

Massima portata per la rottura:

Devo considerare non più Rs ma Rm

Dal grafico individuo Rm = 660 MPa

F = s*A = 660 MPa * 0.503 mm2

= 332 N

=>Massa = F/g = 332 N /9.81 m/s2 = 33.8 kg

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Es. Barra di ancoraggio

In un cantiere, è richiesto il collaudo di una barra di ancoraggio in 51CrMoV4 di 10 m di lunghezza (L) e diametro () 1 cm. La verifica è effettuata in campo mediante l’applicazione di pesi crescenti ad una delle estremità della barra. L’altra estremità è appoggiata ad una trave rigida di grande sezione, inserita in un foro. Calcolare la massa in chilogrammi necessaria per raggiungere lo snervamento della barra e il corrispondente allungamento (espresso in millimetri). Calcolare la massa necessaria per la rottura della barra. Dopo la rottura, la parte superiore si sfila ed è proiettata verso l’alto. Stimare la massima altezza raggiunta nel caso in cui la rottura avvenga nel punto centrale della barra. (Suggerimento: al momento della rottura, la velocità delle due parti deve soddisfare i principi della conservazione della quantità di moto e dell’energia).

Es. Barra di ancoraggio

Materiale: 51CrMoV4

lunghezza L = 10 m

diametro = 1 cm

? Massa che determina lo snervamento e allungamento corrispondente

? Massa che determina la rottura

? Altezza raggiunta dalla metà della barra proiettata verso l’alto alla rottura

L

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Risoluzione

È innanzitutto necessario determinare il valore del

carico di snervamento del materiale utilizzato (51CrMoV4)

Si può ricavare il valore dell’area dal diametro

A = p*d2/4 = p * (10 mm)2/4 = 78.5 mm2

Dalla definizione di sforzo, si ricava che

s= F/A => F = s*A = 1200 MPa * 78.5 mm2 =

= 94200 N

Risoluzione

Noto il valore dello forza, si può ricavare quello della massa:

M = F/g = 94200 N / 9.81 m/s2 = 9602 kg

Per calcolare l’allungamento è prima necessario determinare il valore della deformazione in corrispondenza dello snervamento.

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Risoluzione

La deformazione può essere calcolata con la legge

di Hooke ed è pari a

s = E*e => e = s/E = 1200 MPa/210000 Mpa =

= 5.7*10-3

In base alla definizione di deformazione si può calcolare il valore dell’allungamento

e = l/l0 => l = e*l0 = 5.7*10-3*10000 mm =

= 57 mm

Risoluzione

La massa che determina la rottura della barra di ancoraggio è quella in grado di esercitare uno sforzo pari a quello massimo tollerabile dal materiale, ovvero il carico di rottura Rm

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18

Determinazione del carico di rottura

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

1300

1400

1500

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6

deformazione

sfo

rzo

MP

a

X100

inox 18-8

S 235JR

Al 5154 H34

Ti 6Al4V

51CrMoV4

51CrMoV4

Ti 6Al4V

API 5L X100

AISI 304

S235JR

Al 5154 H34

Rm =

1500 MPa

Risoluzione

In modo analogo a quanto visto precedentemente si può calcolare il valore della forza alla rottura

s = F/A => F = s*A = 1500 MPa*78.5 mm2 =

= 117750 N

Nota la forza, il valore della massa è dato da

F = m*g => m = F/g = 117750 N / 9.81 m/s2 =

= 12003 kg (circa 12 t)

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Energia

L’area sottesa alla curva rappresenta il lavoro effettuato per rompere la

barra

dL

F

Lavoro effettuato per

allungare la barra da l a

l+dl

dL = F*dl

ma dl = l0*e ed F = s*A quindi

e il lavoro per unità di volume è pari a

eses dlAdlAdlFL 00

es dVol

L

L

Energia elastica e energia per la deformazione plastica

L’area sottesa alla curva di trazione rappresenta l’energia per unità di

volume necessaria rompere il provino

s

e

Energia elastica

Energia plastica

L’energia elastica (per

unità di volume) è pari a

EE

dEdVol

L

22

2

1

2

1

2

1 sese

eees

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20

Energia elastica

Il reticolo atomico assorbe energia deformandosi e la cede quando torna alla condizione iniziale di equilibrio

Risoluzione

Per il principio di conservazione della quantità di moto, nell’ipotesi che la barra si rompa in corrispondenza della metà, si ha che:

(mtot/2)*v1 + (mtot/2)*v2 = mtot *v

e poiché la barra prima di rompersi è ferma si ottiene che

v1 = -v2

Nell’istante della rottura l’energia elastica accumulata nella barra viene ceduta e si trasforma in energia cinetica, resta invariata l’energia potenziale.

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21

Risoluzione

quindi, per il principio di conservazione dell’energia (e tenendo conto di quanto ricavato per le velocità):

si ricava che

pari a circa 133 km/h

22

2

2

2

1

2

212

1

2

1

2

1

2

1

2

1

vmVolE

vmvmVolE

KKE

tot

tottotelastica

s

s

smmNmkg

mN

Ev rottura /9.36

/10210000/1087.7

/101500

2633

26

s

Risoluzione

sempre per il principio di conservazione dell’energia, è possibile scrivere che

poiché la velocità finale è nulla si ricava

h = vi2/2g =

= (36.9 m/s)2 / (2*9.81 m/s2 ) =

= 69.4 m

ftotftotitotitot hgmvmhgmvm

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1 22

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22

Esercizio

Il collaudo di una barra di ancoraggio in cantiere prevede l’applicazione di un carico di trazione di 70kN. La barra ha sezione tonda liscia di diametro nominale pari a 16mm e lunghezza iniziale 5m. Essa è realizzata con un acciaio laminato a caldo di tipo B450C avente quindi una tensione di snervamento, una tensione di rottura ed un modulo di elasticità longitudinale nominali rispettivamente pari a: fy = 450N/mm2, ft = 540N/mm2 ed E = 210000N/mm2. Calcolare la lunghezza della barra sollecitata. Qual è la lunghezza della barra se il carico viene rimosso? Perché?

Risoluzione

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23

Risoluzione

È necessario innanzitutto verificare che il materiale utilizzato sia compatibile con lo stato di sollecitazione imposto

Si deve ricorrere alla definizione dello sforzo, che è calcolabile con il rapporto tra la forza (carico) agente sulla sezione resistente e l’area di questa.

La sezione resistente è la minima sezione in direzione ortogonale alla direzione di applicazione della sollecitazione, può essere in questo caso ricavata a partire dal diametro nominale.

Risoluzione

Dal carico e dalla sezione è possibile calcolare la tensione

2

22

mm 2014

16

4

DA pp

2

2mm/N 348

mm 201

N 70000

A

Fs

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24

La tensione applicata è inferiore a quella di snervamento (450N/mm2) del materiale. È allora possibile ricavare il valore della deformazione dalla legge σ=E.ε, valida in campo elastico:

00166.0mm/N 210000

mm/N 348

E 2

2

s

e

Risoluzione

Dalla definizione di deformazione è possibile calcolare la lunghezza finale l si ricava che:

Dopo la rimozione del carico la barra torna alla lunghezza iniziale (5000mm), poiché è stata sollecitata in condizioni elastiche, ovvero in campo di deformazione reversibile.

Risoluzione

0

0

l

ll -e mm5008mm00166.0150001ll 0 e

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25

Risoluzione

Esercizio

Si devono collaudare in cantiere tre barre di ancoraggio realizzate con un acciaio laminato a caldo di tipo B450C, caratterizzato da un valore di tensione di snervamento fy di 450N/mm2, della tensione di rottura ft di 540N/mm2, e da un modulo di rigidità E pari a 210000N/mm2. Le barre non presentano nervature, hanno sezione tonda di diametro pari a 8mm e sono lunghe 2m. Si decide di effettuare il collaudo applicando pesi crescenti alla base delle barre, opportunamente vincolate all’estremità opposta.

Supponendo che alla prima barra si applichino 2000kg, alla seconda 2500kg ed alla terza 3000kg, descrivere cosa accade alle barre, calcolandone se possibile la lunghezza finale sotto carico.

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Risoluzione

Risoluzione

Le tre barre, del tutto identiche, presentano la medesima sezione resistente, ma per effetto di differenti carichi applicati sono soggette a stati di sollecitazione differenti.

222

mm 3.504

8

4

DA pp

y2

2

211

1 fmm/N 3.390mm 3.50

s/m 81.9kg 2000

A

gm

A

Ps

s

ty2

2

222

2 ffmm/N 9.487mm 3.50

s/m 81.9kg 2500

A

gm

A

Ps

s

t2

2

233

3 fmm/N 5.585mm 3.50

s/m 81.9kg 3000

A

gm

A

Ps

s

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Risoluzione

Nel primo caso il valore della tensione applicata è inferiore alla tensione di snervamento. La barra opera quindi in campo elastico

001849.0mm/N 210000

mm/N 3.390

E 2

2

s

e

mm7.2003mm001849.0120001ll 0 e

Risoluzione

Nel secondo caso la tensione assume un valore compreso tra la tensione di snervamento e quella di rottura, si trova dunque in campo plastico. La barra subisce un allungamento non calcolabile con la legge di Hooke (valida solo in campo elastico).

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28

Risoluzione

Nel terzo caso la tensione risulta maggiore della tensione di rottura. La barra si allungherà sino a rompersi, manifestando il fenomeno della strizione.

Risoluzione

Nel terzo caso la tensione risulta maggiore della tensione di rottura. La barra si allungherà sino a rompersi, manifestando il fenomeno della strizione.

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29

Risoluzione

Esercizio

Si debbano eseguire delle prove di trazione su barre d’armatura pervenute in cantiere. Il laboratorio prove materiali provvede al riconoscimento del produttore ed al rilevo dei dati relativi alla pesatura ed alla lunghezza del campione. I risultati ottenuti sono (densità dell’acciaio = 7.85kg/dm3):

lunghezza del campione: 600mm

massa del campione: 2.5kg

Il laboratorio procede infine all’esecuzione della prova di trazione ed alla stesura del certificato di prova. Ipotizzando che le barre siano di acciaio tipo B450C, con fy = 450N/mm2 e ft = 540N/mm2

calcolare la forza da applicare alla barra per portarla allo snervamento ed alla rottura. Quale ulteriore prova deve eseguire il laboratorio prove materiali per dichiarare la conformità del materiale?

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30

Risoluzione

L’esercizio richiede essenzialmente il calcolo della forza da applicare per portare allo snervamento la barra

Per passare dallo sforzo assegnato (fy = 450N/mm2 e ft = 540N/mm2) alla forza da applicare è necessario conoscere il diametro nominale della barra

Risoluzione

Definizione di barra equipesante:

densità = massa/volume

Diametro nominale pari a 26mm

dm 64Dkg 5.2dmkg 85.7 23 p

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31

Risoluzione

Calcolo ora la forza allo snervamento

…e alla rottura

kN 9.238mm 93.530/mmN 450F 22osnervament

kN 7.286mm 93.530/mmN 540F 22rottura

Risoluzione

Il laboratorio prove esegue inoltre la prova di piegatura a 90° e successivo

raddrizzamento. La prova di piegatura a 90° si esegue a temperatura ambiente (circa 20°C) piegando la barra d’armatura a 90°.

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32

Risoluzione

Diametro del mandrino per prove di

piegamento a 90° e successivo

raddrizzamento senza cricche

φ <12 mm 4 φ

12≤ φ ≤16 mm 5 φ

per 16< φ ≤25 mm 8 φ

per 25< φ ≤50 mm 10 φ

TEMA D’ESAME 07 FEBBRAIO 2011

Nel laboratorio della Facoltà di Ingegneria

di Bergamo si devono eseguire prove di trazione su provini di due diversi materiali: una lega di alluminio 6061 T4 e un acciaio da costruzione tipo S235JR. I provini, estratti da profilati, hanno spessore di 5 mm, larghezza pari a 40 mm e sono lunghi 500 mm. I risultati delle prove di trazione sono riportati in tabella.

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33

TEMA D’ESAME 07 FEBBRAIO 2011

Calcolare le grandezze utili per tracciare i diagrammi di trazione dei due materiali. Tracciare sul medesimo grafico entrambe le curve di trazione e indicare le principali differenze riscontrate, nell’ipotesi che la deformazione alla tensione di rottura sia pari al 12%.

RISOLUZIONE

L’esercizio richiede semplicemente il calcolo delle grandezze caratteristiche utili per tracciare la curva di trazione del materiale. Per il calcolo delle grandezze è possibile ricorrere alle ben note formule, ricordando che:

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34

Tabella

Alluminio S235JR

E 70000 MPa 210000 MPa

Fsnervamento 29 kN 47 kN

fy 145 MPa 235 MPa

Frottura 48.2 kN 72 kN

ft 241 MPa 360 MPa

εsnervamento 0.21 % 0.11 %

εrottura 22 % 25 %

liniziale 500 mm 500 mm

lfinale 610 mm 625 mm

Diagrammi di trazione

Per quanto riguarda i diagrammi di trazione:

I due materiali hanno moduli di elasticità diversi, quindi la pendenza della curva di trazione dell’alluminio 6061 T4 sarà, nel tratto iniziale, minore rispetto all’acciaio S235JR

La tensione di snervamento e di rottura dell’acciaio S235JR sono maggiori di quelle dell’alluminio 6061 T4

La deformazione a rottura dell’acciaio S235JR è maggiore di quella dell’alluminio 6061 T4

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APPELLO DI ESAME 01 SETTEMBRE 2010

Due laboratori prove materiali (A e B) ricevono ciascuno tre spezzoni di barra in acciaio B450C (fy = 450 N/mm2, ft 540 N/mm2 ed E = 210000 N/mm2) provenienti dallo stesso lotto di produzione aventi diametro nominale rispettivamente pari a 22 mm e 16 mm. Le barre consegnate, di lunghezza pari ad 1.5m, vengono tagliate fino ad ottenere spezzoni lunghi 60 cm. I provini sono collocati all’interno delle ganasce della macchina di trazione e si avvia la prova. I due laboratori concordano di arrestare la prova, lasciando il provino all’interno della macchina con forza applicata pari a 100 kN.

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APPELLO DI ESAME 01 SETTEMBRE 2010

Si confrontino le condizioni nell’istante di arresto della macchina di trazione delle barre provate nei due laboratori, compilando opportunamente la tabella riportata. Motivare opportunamente le risposte indicando le formule utilizzate e tracciando sullo stesso diagramma le curve caratteristiche forza/spostamento per i casi A e B.

Risoluzione

Ovviamente i valori di deformazione, allungamento e lunghezza finale non possono essere calcolati per la barra da 16 mm, poiché opera in campo plastico e quindi non è più valida la Legge di Hooke. Per calcolare la deformazione e, di conseguenza, l’allungamento e la lunghezza finale della barra sarebbe necessario avere il diagramma sforzo/deformazione del materiale.

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Risoluzione

Risoluzione

Laboratorio A

Laboratorio B

Forza (kN) 100 100 Area (mm2) 380.1 201.1 Tensione (N/mm2) 263.1 497.4 Deformazione (%) 0.13 - Allungamento (mm) 0.75 - L finale della barra (mm) 600.75 - Modulo di elasticità (MPa) 210000 210000

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Curva di trazione

Esercizio

Una barra d'acciaio (E = 210000MPa) e una di alluminio (E = 70000MPa) vengono sollecitate a trazione. Entrambe le barre hanno diametro pari a 24mm e lunghezza iniziale di 80cm. In un certo istante, durante la prova, la lunghezza misurata risulta essere pari a 80.15cm. L'acciaio in questione è del tipo B450C, con fy = 450N/mm2 e ft = 540N/mm2, mentre l’alluminio è del tipo 6061-T6, con fy = 276N/mm2 e ft = 310N/mm2.

Calcolare il valore del carico cui sono sottoposte le barre e la lunghezza della barra dopo la rimozione dello stesso. Motivare opportunamente la risposta tracciando sullo stesso diagramma le caratteristiche sforzo/deformazione dei due materiali e commentare.

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Risoluzione

L’esercizio richiede semplicemente il calcolo della forza resistente misurata nel momento in cui le due barre sono lunghe 80,15cm.

3acciaio0iominallu 10875.1cm 80cm 8015.80LL --ee

MPa 393.75MPa 21000010875.1 3acciaio s -

MPa 25.311MPa 7000010875.1 3iominallu s -

Risoluzione

Essendo i valori di sforzo calcolati per ogni materiale minori delle rispettive tensioni di snervamento, è possibile affermare che le due barre operano in campo elastico.

A = 452.39 mm2

kN1.178452.39mmMPa75.393F 2acc

kN 3.59mm 452.39MPa 25.131F 2all

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Risoluzione

Le barre operano in campo elastico, quindi, alla rimozione del carico, entrambe ritornano alla lunghezza iniziale di 80cm.

Esercizio Una barra d’armatura in acciaio tipo B450C (diametro nominale pari

a 16mm) viene sottoposta in laboratorio alla prova di trazione. Il tecnico, prima di collocare la barra all’interno delle ganasce della macchina di trazione, traccia su di essa una serie di tacche equidistanziate di 1cm, al fine di poter stimare l’allungamento della stessa. Al termine dell’operazione di tracciatura, posiziona la barra nella macchina per dare inizio alla prova di trazione. In un certo istante, durante l’esecuzione della prova, l’operatore decide di misurare l’allungamento della barra e prende la misura di 11 tacche tracciate inizialmente.

Determinare gli allungamenti misurati dall’operatore negli istanti in cui la macchina di trazione misura una forza pari a 30, 60 e 90kN.

Considerando che la misurazione viene effettuata con un calibro sensibile al decimo di millimetro, commentare le misure ottenute. È possibile stimare la lunghezza misurata dall’operatore quando la macchina registra una forza pari a 100kN? Perchè?

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Risoluzione

L’esercizio richiede in sostanza, il calcolo dell’allungamento istantaneo di una barra d’armatura sottoposta a 3 livelli di sollecitazione diversi.

la valutazione della deformazione a partire dalla sollecitazione, è possibile solamente qualora si operi in campo elastico utilizzando la legge di Hooke

Risoluzione

Per verificare l’applicabilità della formula, calcoliamo le sollecitazioni relative alle forze misurate progressivamente dalla macchina di trazione (30, 60 e 90kN):

22

1 N/mm 2.149mm 16N 300004 ps

222 N/mm 4.298mm 16N 600004 ps

223 N/mm 6.447mm 16N 900004 ps

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Risoluzione

Le tre forze considerate producono sollecitazioni inferiori alla tensione di snervamento nominale, pari a 450N/mm2, per l’acciaio B450C.

L’operatore decide di utilizzare come lunghezza iniziale 11 tacche equidistanziate di 1cm, quindi:

cm 1010cm 1l0

Risoluzione

La deformazione misurata nei tre casi, considerando il modulo di elasticità dell’acciaio pari a 200GPa, sarà:

422

11 1046.7mmN 200000mmN 2.149E -se

32222 1049.1mmN 200000mmN 4.298E -se

32233 1024.2mmN 200000mmN 6.447E -se

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Risoluzione

Dalle deformazioni è possibile calcolare agevolmente gli allungamenti, mediante la formula che deriva dal concetto di deformazione:

mm 0.1mm 1046.7107.46mm 100LL 2-4101 e -

mm 0.1mm 1049.11049.1mm 100LL 1-3202 e -

mm 0.2mm 1024.21024.2mm 100LL 1-3303 e -

Risoluzione

Visti i risultati approssimati al decimo di millimetro, è possibile affermare che l’operatore non avrà difficoltà a stimare gli allungamenti. La sensibilità dello strumento non gli consentirà di distinguere la differenza tra le prime due misure.

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Risoluzione

Se la forza misurata dalla macchina fosse pari a 100kN, saremmo sicuramente in campo plastico (considerando che per la forza di 90kN era stata calcolata una sollecitazione pari a 447.6N/mm2, molto prossima al valore nominale di snervamento) e di conseguenza non è possibile determinare la deformazione istantanea, se non a partire dal grafico di trazione.

Esercizio

Due barre d’acciaio tonde (fy = 450N/mm2, ft = 540N/mm2, E = 210000N/mm2), vengono sottoposte a trazione in due diversi laboratori. Al laboratorio 1 viene inviata una barra lunga 1.5m per permettere il riconoscimento del marchio del produttore (codice di laminazione). La barra viene successivamente tagliata e la sua lunghezza risulta pari a 60cm. L’operatore provvede alla pesatura della barra e rileva un peso pari a 3.79kg. Il laboratorio 2 esegue le stesse operazioni effettuate nel laboratorio 1 e rileva un peso pari a 1.2kg. Supponendo che i laboratori 1 e 2 abbiano a disposizione una macchina di trazione da 600kN, quale sarà la forza registrata al 50% della tensione di snervamento per le due barre e quale la deformazione istantanea? Descrivere graficamente le 2 situazioni tracciando delle curve indicative sforzo-deformazione e forza-spostamento.

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Risoluzione

Per entrambi i laboratori

Per risalire al valore del diametro della barra, si fa riferimento al calcolo della barra liscia equipesante:

V

m

dm

kg85.7

3acciaio

l4

DV

2

p

l

m4d

p

Risoluzione

Laboratorio n.1

Il diametro nominale risulta pari a 32mm, la sezione:

22 mm 67.8044mm 32 p

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Risoluzione

Calcolando la forza di trazione necessaria a raggiungere la metà dello snervamento nominale si ottiene:

La deformazione istantanea, quindi in campo elastico è semplicemente calcolabile sfruttando la legge di Hooke:

kN 181mm 67.804N/mm 2450A2tensioneFAF 22nom snerv, s

322 101.1mmN 210000mmN 2450 -

Risoluzione

Laboratorio n.2

Il diametro nominale risulta pari a 18mm

La sezione resistente sarà, quindi, pari a 254.77 mm2

Calcolando la forza di trazione necessaria a raggiungere la metà dello snervamento nominale si ottiene:

kN 57mm 77.254N/mm 2450A2tensioneFAF 22

nom snerv, s

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Risoluzione

La deformazione istantanea, quindi in campo elastico è semplicemente calcolabile sfruttando la legge di Hooke

Il valore della deformazione istantanea, ovviamente, non cambia per le 2 barre in quanto operano entrambe in campo elastico e la deformazione dipende esclusivamente dalla tensione e dal modulo di elasticità

322 101.1mmN 210000mmN 2450 -

Risoluzione

Laboratori 1 e 2. Curve sforzo-deformazione per entrambe le barre (coincidono, sono lo stesso materiale!)

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Risoluzione

Laboratori 1 e 2. Curve forza-spostamento (grafici indicativi)