Calcolo differenziale e integraleEsame scritto 11.06.2009

1. Studiare i limiti delle successioni

a)n

nan 5710

= , dimostrare l'esistenza del limite usando la definizione di limite per

una successione.

Calcoliamo il limite

57

5

710

lim5

710

lim5

710lim =

=

=

+ + +

nn

nn

nn

nnn

DefinizioneData la successione numerica { } ,...3,2,1=nna si dice che essa ha per limite il numero l, per + n e si scrive

lann =+ lim

quando 0, 0, t.c. an l n

Sfruttando la definizione di limite per una successione, dimostriamo che la

successione di termine generale n

nan 5710

= ha per limite 75 .

A tale scopo, fissato un numero 0 arbitrario, dobbiamo considerare la disequazione:

cerchiamo, sfruttando le propriet delle potenze, di mettere in evidenza al denominatore e al numeratore la potenza maggiore:

( ) ( )

2714

7

51428

7

51428

751428

75214

75214

625

729

625

729

625

61

625

729625

625

729

625

61625

729625

72962561

729625

729461

729625

72946

=

+

+=

+

+

=

=

+

+=

+

+=

+

+=

+ n

n

nn

nn

nn

nnn

nn

nnn

nnnnn

nnnnn

nnnnna

Infatti 256=257

67=175

42174

42=296

76=29

7

2. Scrivere la definizione di derivata. Calcolare f ' x e determinare l'equazione della retta tangente al grafico di f nel punto x0, f x0 dove:

DefinizioneSia f : I e sia xoI , f si dice derivabile in xo se esiste ed finito il limite

limh0

f xoh f xoh

(limite del rapporto incrementale)

a) f x =3 x7cos x 2 x0=1

scriviamo l'equazione della retta tangente al grafico di f nel punto x0, f x0

y f x0= f ' x0xx0

Valutiamo la funzione nel punto x0=1

f 1=317cos =21=1

Calcoliamo la derivata della f x

D f x=D 3 x7cos x2=D x71 /3cos x2=.

.=D x71 /3D cos x2=13x7

1312 xsin x2=.

.=13x7

232 x sin x2= 1

3 3 x722 xsin x2

quindi :

f ' x= 13 3 x72

2 x sin x2

Valutiamo la derivata prima nel punto x0=1

f ' 1= 13 3172

2 sin= 13 382

= 112

retta tangente:y1= 1

12x1

b) f x =eln x2 x0=1

scriviamo l'equazione della retta tangente al grafico di f nel punto x0, f x0

y f x0= f ' x0xx0

Valutiamo la funzione nel punto x0=1

f 1=e0=1

Calcoliamo la derivata della f x

f una funzione composta del tipo e g x infatti:

D eg x=e g xg ' x

f x =eln x2

D f x=Deln x2

=eln x2 2 xx2 =2 e

ln x2

x

quindi :

f ' x=2 eln x2

x

Valutiamo la derivata prima nel punto x0=1

f ' 1=2 eln 1

1=2

retta tangente:y1=2 x1

3. Sia )(xf , Rx , pi2 periodica e pari definita da 4

)(x

xf = , ]0,[ pix .Disegnare il grafico di

)(xf ( in modo approssimativo). Trovare la serie di Fourier di f .

Per poter disegnare il grafico della funzione 4

)(x

xf = , dobbiamo sfruttare le seguenti

informazioni:

4)(

xxf = , ]0,[ pix ( in questo caso la funzione non definita in un intervallo di ampiezza pi2 ,

bisogna prolungare la funzione)

)(xf una funzione pi2 periodica e pari definita in ]0,[ pix :

)(xf una funzione pi2 periodica se: xxfxf =+ )()2( pi

)(xf una funzione pari se: )()( xfxf =

grafico della funzione nellintervallo ]0,[ pi

la serie di Fourier ( ) ( ){ }=

++1

0 sincos2 k

kk kxbkxaa

)(xf una funzione pari, allora il prodotto ( )kxxf cos)( una funzione pari, e il prodotto ( )kxxf sin)( una funzione dispari, pertanto:

( )( )

==

=

=

pi

pi

pi

pi

pi

pi

pi

0sin)(1

cos)(2

)(2

0

00

dxkxxfb

dxkxxfa

dxxfa

k

k

=

]0,[,4

[,0[,4

4 pi

pi

per

per

x

xx

Utilizzando le formule, bisogna integrare nellintervallo [ ]pi,0

= pipi 00 )(2 dxxfa = pipi 0 4

2 dxx = pipi 021

xdx =pi

pi 0

2

221

x

=422

1 2 pipipi

=

;

( )= pipi 0 cos)(2 dxkxxfak = ( )pipi 0 cos4

2 dxkxx = ( )pipi 0 cos21 dxkxx =

= ( ) ( )

pipi

pi 00

sinsin21 dx

kkx

kkxx =

( ) pipi 0sin

21 dx

kkx

= ( ) pi

pi 02

cos21

kkx

=

= ( )[ ]pipi

02 cos21 kxk

= ( ) ( ){ }0coscos2

12 pipi

kk

= ( ){ }1cos2

12 pipi

kk

=

dispari per

pari per

kk

k

,1,0

2pi

Per avere un idea del comportamento dei coefficienti, possiamo procedere nel seguente modo:

k dispari, ad esempio k = 1 (ma anche per k = 3,5,).Sostituiamo k = 1 nel coseno (ma non nel denominatore)

( ){ }1cos2

12 pipi

kk

= { }112

12 k pi

= 21k pi

;

k pari, ad esempio k = 2 (ma anche per k=4,6,) Sostituiamo k = 2 nel coseno (ma non nel denominatore)

( ){ }1cos2

12 pipi

kk

= { }112

12 k pi

= 0 ;

k dispari vuol dire k = 2n-1 ( per n=1,2,3,)

Scriviamo la serie di Fourier:

( ) ( ){ }=

++1

0 sincos2 k

kk kxbkxaa

= ( )=

+1

0 cos2 k

k kxaa

= ( ) ( )( )

=

+1

2 12cos1221

8 kxk

kpipi

=

= ( )( )

( )

=

121212cos

21

8 k kxk

pi

pi.

4. Risolvere le seguenti equazioni differenziali ( scrivere le formule e ove necessario, calcolare gli integrali elementari) :

768)(2)( 2

2

+=xx

exyxyx

, 084 =++ yyy .

768)(2)( 2

2

+=xx

exyxyx

Equazione differenziale lineari del primo ordine La soluzione generale dellequazione )()( xbyxay += data da

+= cdxexbexy dxxadxxa )()( )()(sostituendo si ricava:

+

=

cdxexx eexy dxx

dx 2

2

22

768)( =

+

cdxexx ee xx

x 22

22

768

=

+

cdxxxe x 76822 = [ ]cxxe x +++ 7ln1ln2 ;

Risoluzione:

dxxx 7682

analizziamo il acb 42 = del polinomio 762 xx ,poich 0642836 >=+= , possiamo scomporre 762 xx ,

)7)(1(762 += xxxx , ( -1 e 7 sono le radici del polinomio)

Poniamo:

768

2 xx

= 1+x

A+

7xB

,

dove, A e B sono costanti da determinare.

768

2 xx

= )7)(1()1()7(

+

++

xxxBxA

= )7)(1(7

+

++

xxBBxAAx

= )7)(1(7)(+

++

xxBAxBA

768

2 xx

= )7)(1(7)(+

++

xxBAxBA

,

=

=

=

=

=+

=+

11

88870

BA

BBA

BABA

768

2 xx

= 1

1+

x+

71x

dxxx 7682 = ++ dxxx 7111 = ++ dxxdxx 7111 = 7ln1ln ++ xx

Equazione differenziale lineari del secondo ordine a coefficienti costanti (omogenea)

084 =++ yyy

equazione caratteristica

0842 =++

radici i22421

8422,1 ==

=

2 radici complesseIn questo caso la soluzione generale dellequazione omogenea data da

( ) ( )( )tCtCex t 22 sincos)( 212 += 5. Scrivere la definizione: derivata direzionale, derivata parziale ,differenziabilit . Sia

yyxyxxf 432)( 22 +++= .

i. Trovare le derivate parziali f x , f y e la derivata direzionale Dv f nel punto

1,1 dove

=

3sin,

3cos pipiv .Scrivere l'equazione del piano tangente al grafico nel

punto ( ))1,1(,1,1 fii. Trovare i massimi e i minimi locali di f. Esistono massimi e minimi assoluti?

DefinizioneSia A un aperto di R2 e sia RAf : . Si definisce derivata direzionale di f, nel punto

AyxP ),( 00 e nella direzione , con 1= il limite:

( )h

yxfhyhxfyxfDh

),(),(lim, 002010000

++=

se esiste ed finito.Otteniamo le derivate parziali f x per )0,1( e f y per )1,0(

DefinizioneSia A un aperto di R2 e sia RAf : . Si dice che f differenziabile nel punto AyxP ),( 00 se f derivabile in AyxP ),( 00 ( meglio se esiste il gradiente ( ) ( )( ) ,,, 0000 yxfyxfgradf yx= ) e se vale la seguente relazione:

),()(),()(),(),(),(

lim00

00000000

0),( 00 yyxxyyyxfxxyxfxxfyxf yx

yyxx

o in modo equivalente se:

)),(()(),()(),(),(),( 0000000000 yyxxoyyyxfxxyxfyxfyxf yx +++=Per calcolare la derivata direzionale fDv sfruttiamo il seguente teorema:

TeoremaSe f una funzione differenziabile di due variabili, la derivata direzionale nella direzione di un qualsiasi versore ( )21, vvv nel punto ( )00 ,P yx data da:

( ) 21 vfvfvgradffD yxv P +== , 1 =vprodotto scalare tra gradf e v .

i. yyxyxxf 432)( 22 +++=

derivate parziali prime :yxf x 22 += , 462 ++= yxf y

Per calcolare la derivata direzionale fDv sfruttiamo il seguente teorema:

TeoremaSe f una funzione differenziabile di due variabili, la derivata direzionale nella direzione di un qualsiasi versore ( )21, vvv nel punto ( )00 ,P yx data da:

( ) 21 vfvfvgradffD yxv P +== , 1 =v prodotto scalare tra gradf e v .

=

23,

21v

( ) ( ) ( ) ( )4622322

21

23,

21462,22, ++++=

+++= yxyxyxyxfD yxv

( ) ( ) ( ) 3624622322

21

1,1 +=++++= fDv

Equazione del piano tangente:

( ) ( )00000000 ),(),(),( yyyxfxxyxfyxfz yx ++= dove 1,1 00 == yxsostituendo si ricava:

( ) ( )1)1,1(1)1,1()1,1( +++= yfxffz yx

0462)1,1(022)1,1(

24321)1,1(

=+=

==

=+=

y

x

fff

2=z

ii. massimi e minimi locali

yxf x 22 += , 462 ++= yxf y

I max e i min sono quei punti che mi annullano le derivate parziali prime:

=

=

=+

=

=++

=+

=++

=+

11

0230230

0462022

xy

xxxy

yxyx

yxyx

Per determinare i massimi e i minimi locali bisogna studiare l' hessiano della funzione:

2=xxf ; 6=yyf ; 2=xyf ;

04126222

),( >==yxH e 02 >=xxf , nel punto ( )1,1 P la funzione ha un minimo locale.

Riscriviamo la funzione in modo opportuno ( come somma di due quadrati)

2)1()(2)12(2)(

42)(432432)(2222

22222222

+++=++++=

=+++=++++=+++=

yyxyyyxyyyxyyyyxyxyyxyxxf

quindi ( )1,1 P un punto di minimo assoluto. Infatti la funzione la somma di due quadrati e -2, assume sempre valori maggiori o uguali a -2 ( uguali a -2 per x = 1 e y = -1 nel punto di minimo).

6. Scrivere la definizione dell'integrale curvilineo di 2 specie

.

Sia ( ) .1

1ln 2222 dy

yyedxye xx

+++=

essendo un parametro reale

i. Trovare tutti le funzioni tali che sia esatta in R2

ii. Trovare una funzione potenziale ),( yxU per tale e calcolare

, essendo una curva

regolare qualsiasi che congiunge i punti )3,3ln( e )0,2009( .

Definizione dell'integrale curvilineo di 2 specie

.

Sia dyyxbdxyxa ),(),( + una forma differenziale in R2 e sia [ ] 2Rba,: una curva

=

=

)()(

:tyytxx

, allora

( ) ( ){ } +=

dttytytxbtxtytxa )()(),()()(),(

i. esatta in R2 se

( ){ }

+

=+

2222

11ln

yye

xye

yxx

( ){ } 2222 121ln

yyeye

yxx

+=+

22

22

12

1 yye

yye

xxx

+=

+

22

22

12

12

yye

yye xx

+=

+

22 = e quindi 1=

( ) .1

1ln 2222 dy

yyedxye xx

++=

ii. ),( yxU tale che :

( )

+=

+=

dyy

yeyU

yexU

x

x

22

22

1

1ln

integrando la prima relazione si ricava che:

( ) ( ) )(1ln21)(1ln 2222 ygyeygdxyeU xx ++=++=

e derivando U rispetto alla y otteniamo la seguente uguaglianza:

)(1 2

2 ygy

yeyU x

++

=

= 22

1 yye x

+

da cui si ricava che cyg =)(

( ) cyeyxU x ++= 22 1ln21),(

2ln912ln

181)4ln(

21)1ln(

21)3,3(ln)0,2009( 23ln220092 ==+== eeUU

7. Sia V il solido di rotazione in R3 ottenuto girando il grafico di zy 2= , ]1,3[ z rispetto all'asse Oz.

a. Disegnare il solido V (in modo approssimativo)b. Calcolare il volume di V.c. Verificare che il bordo laterale V una superficie regolare e calcolare l'area di V . Potete rappresentare V come il grafico di una funzione?

Per poter disegnare il solido conviene rappresentare graficamente la funzione zy 2= , ]1,3[ z

poich ]1,3[ z si ha che ]6,2[y2yz =

possiamo fare il seguente grafico:

poich un solido di rotazione, possiamo rappresentare V come grafico della funzione

( ) 222 2zyx =+ , svolgendo i calcoli 4

222 yxz += (tronco di cono)

questo per il semplice motivo che se tagliamo il volume con un piano parallelo al piano Oxy otteniamo dei dischi di raggio z2 e centro nell'asse Oz.

Volume: ( )= ba

dzzfVvol 2)()( pi

( ) [ ] ( ) pipipipipi3

329134

3442)(

1

3

1

3

13

222=====

zdzzdzzVvol

Per verificare che il bordo una superficie regolare conviene utilizzare la seguente parametrizzazione:

=

=

=

=

vzuvyuvx

vur sin2cos2

),( ]1,3[);2,0[ vu pi

da cui determiniamo i vettori:

( )0,cos2,sin2 uvuvru e ( )1,sin2,cos2 uurv ottenuti derivando rispetto alla u e alla v le componenti della parametrizzazione

Il bordo laterale una superficie regolare sse vu rr sempre diverso dal vettore nullo, ossia se 0 vu rr

vkujvuivuuuvuv

kjirr yx 4sin2cos2

1sin2cos20cos2sin2 =

=

052164 22 >=+= vvvrr vu da cui si ricava che il bordo laterale una superficie regolare.

Il bordo superiore un disco determinato dalla relazione 422

( ) ( ) ( ) 251

411

41

44 2222

22

2

22

2

=+=++

+=+

++

+=

yxyx

yxy

yxxrr yx

L'area del bordo laterale data dall'integrale dxdyrrD

yx { }364:),( 22

ESERCIZI

Data la serie di potenze ( )=

+

+

1 2120082

n

nn

xn

. Trovare:

i) Il suo raggio di convergenza.

ii) Linsieme di tutte le x tali che la serie converge.

La serie ( )=

+

+

1 2120082

n

nn

xn

una serie di potenze, per poter determinare il suo raggio

di convergenza si possono applicare i seguenti criteri:

Criterio del rapporto

Sia = 1n

nnxa una serie di potenze, se esiste il la

a

n

n

x=

+

lim 1 , allora il raggio di convergenza

della serie l1

= .

Criterio della radice

Sia = 1n

nnxa una serie di potenze, se esiste il lan nx = lim , allora il raggio di convergenza

della serie l1

= .

Applichiamo il criterio del rapporto:

lim 1n

n

x aa +

=

( )( ) 20082

120082

lim

1

n

nn

n

x ++

+ +

=

( )( ) 200821

20082 lim1

+

+

+ +

n

n

x

nn

=

( )( ) 120082

20082 lim1

+

+

+ +

nn

n

n

x =

( ) ( )( ) ( )

1

2200812

2200812

lim1

1

+

+

+ ++

nn

nn

nn

x =

( ) ( )

( )

12

20081

2200812

lim1

+

+

+ +

nn

n

n

x = 2;

21

=

i) Linsieme di tutte le x tali che la serie converge.

Sicuramente la serie converge per 21

21

Criterio del rapporto

Sia = 1n

na una serie a termini positivi

se esiste il laa

n

nx

=+

1lim , allora :

=

>

==yxH e 02 >=xxf , nel punto ( )1,3P la funzione ha un minimo locale.Riscriviamo la funzione in modo opportuno ( come somma di due quadrati)

1)1()3(

112)3(2962106)(22

2222222

++=

=+++=+++=++=

yyxyyyxyyyxyxyyxyxxf

quindi ( )1,3P un punto di minimo assoluto. Infatti la funzione la somma di due quadrati e -1 e, assume sempre valori maggiori o uguali a -1 ( uguali a -1 per x = -3 e y = 1 nel punto di minimo).

5. (4 pt) Scrivere la definizione dell'integrale curvilineo di 2 specie

. Sia

.)(1

2 332 dyexdxex

x yy ++

=

i. Trovare tutte le funzioni )(1 RC con 0)0( = tali che sia esatta in R2

ii. Trovare una funzione potenziale ),( yxU per tale e calcolare

, essendo una curva

regolare qualsiasi che congiunge i punti )2ln,1( e )10,0(

i. esatta in R2 se

{ }yy exx

exx

y33

2 )(12

=

+

yyy exxe

xxe

xx

y3

23

23

2 16

123

12

+=

+=

+

{ } yy exexx

33 )()( =

yy exexx 33

2 )(16

=

+

)(1

62 xx

x =+

integrando ambo i membri si ricava

cxdxxxx ++=

+= )1ln(31 6)( 22

ma poich 0)0( = si ha che c = 0, quindi )1ln(3)( 2xx += .

.)1ln(31

2 3232 dyexdxex

x yy ++

=

ii. ),( yxU tale che :

+=

+

=

y

y

exyU

exx

xU

32

32

)1ln(3

12

integrando la prima relazione si ricava che:

)()1ln(1

2 3232 ygexdxex

xU yy ++=+

=

e derivando U rispetto alla y otteniamo la seguente uguaglianza:

)()1ln(3 32 ygexyU y

++=

= yex 32 )1ln(3 + da cui si ricava che cyg =)(

cexyxU y ++= 32 )1ln(),(2ln8)2ln()1ln()2ln,1()10,0( 2ln330 === eeUU

6. (3 pt ) Sia 2R definita da 164 22 , xy 3 .Disegnare ( in modo approssimativo ) e calcolare larea di .

Per risolvere disequazioni del tipo 0),( >yxf (dove ),( yxf una funzione ) occorre tracciare nel piano la curva di equazione 0),( =yxf .In seguito si tiene presente che tale curva pu dividere il piano in due o pi regioni.Per determinare il segno della ),( yxf basta calcolare la funzione in un qualsiasi punto della regione considerata.Una volta noto il segno della ),( yxf in tale punto, si pu stabilire se la regione considerata verifica o meno la disequazione .Nel nostro caso dobbiamo risolvere un sistema di disequazioni:

>

+

3 164 22

xyxy

yx

Per determinare la soluzione del sistema conviene considerare lintersezione tra le regioni di piano i cui punti verificano le singole disequazioni del sistema.Per determinare necessario rappresentare graficamente le disequazioni:

164 22 + yx , xy > , xy 3 .1. 164 22 + yx

1622 =+ yx rappresenta una circonferenza con centro nellorigine e raggio r = 4,

422 =+ yx rappresenta una circonferenza con centro nellorigine e raggio r = 2,

Le due circonferenze suddividono il piano in tre regioni

Per determinare la regione del piano che soddisfa alla disequazione 164 22 + yx , possiamo procedere nel seguente modo:Consideriamo un punto 3P , ad esempio )0,0(O e verifichiamo se O soddisfa alla disequazione

164 22 + yx

16004 + 1604 FALSO

Questo sufficiente per dire che i punti della regione 3 non soddisfano la disequazione.Consideriamo un punto 1P , ad esempio )5,0(P e verifichiamo se P soddisfa alla disequazione

169 22 + yx

162504 + 16254 FALSO

Questo sufficiente per dire che i punti della regione 1 non soddisfano la disequazione.Possiamo concludere che la disequazione soddisfatta da tutti i punti della regione 2 .Infatti se prendiamo in considerazione un punto 2P , ad esempio ( )3,0P si ricava che 1694 .2. xy > , xy = rappresenta una retta,

come si pu notare ogni retta divide il piano in due semipiani,

Poich per il punto ( )0,1P vale xy > , linsieme che verifica la disequazione il semipiano tratteggiato.3. xy 3 ,

xy 3= rappresenta una retta, la quale divide il piano in due semipiani

Il semipiano che soddisfa la disequazione quello tratteggiato, infatti il punto ( )0,1P verifica xy 3 .

Prendendo in considerazione le soluzioni comuni delle tre disequazioni ( facendo lintersezione) si ricava :

Per determinare larea di , bisogna calcolare

dxdy

= dxdyArea )(

Conviene esprimere in coordinate polari:

=

=

sincos

yx

dddxdy =

Dalla 164 22 + yx si ricava che ( ) ( ) 16sincos4 22 + e quindi 164 2 ossia 42

Dalle disequazioni xy 3 , xy > e dal grafico si ricava che 4

33

pipi

La retta xy 3= , ha coefficiente angolare 3 e quindi forma con lasse delle x un angolo la cui

3=tg 3pi = .

La retta xy = , ha coefficiente angolare -1 e quindi forma con lasse delle x un angolo la cui

1=tg 4

3pi = .

= dxdyArea )( =

43

3

4

2

pi

pi

dd =

43

3

4

2

2

2

pi

pi

d = 4

3

3

24

216

pi

pi

d = 43

3

6

pi

pi

d =

3436 pipi =

12

496 pipi = pi25

;

7. (5 pt) Sia V il solido di rotazione in R3 ottenuto girando il grafico di zy = 3 , ]1,9[ z rispetto all'asse Oz.a. Disegnare il solido V (in modo approssimativo)b. Calcolare il volume di V.c. Verificare che il bordo laterale V una superficie regolare e calcolare l'area di V . Potete rappresentare V come grafico di una funzione?

Per poter disegnare il solido conviene rappresentare graficamente la funzione zy = 3 ]1,9[ z

poich ]1,9[ z si ha che ]9,3[y

Riscrivendo z in funzione della y ( )zy = 92 9

2yz = , possiamo fare il seguente grafico:

grafico del solido:

poich un solido di rotazione, possiamo rappresentare V come grafico della funzione

( )222 3 zyx =+ , svolgendo i calcoli 9

22 yxz += (paraboloide di rotazione)

questo per il semplice motivo che se tagliamo il volume con un piano parallelo al piano Oxy otteniamo dei dischi di raggio z3 e centro nell'asse Oz.

Volume: ( )= ba

dzzfVvol 2)()( pi

( ) ( ) pipipipipi 360281

219

2993)(

1

9

1

9

21

9

2=

=

===

zdzzdzzVvolPer verificare che il bordo una superficie regolare conviene utilizzare la seguente parametrizzazione:

+=

=

=

=

9

),(22 yxz

yyxx

yxr

da cui determiniamo i vettori:

92,0,1 xrx e

92,1,0 yry ottenuti derivando rispetto alla x e alla y le componenti della

parametrizzazione

1. per ottenere

+

9,,

22 yxxx

yxxrx =

92,0,1 xrx .

2. per ottenere

+

9,,

22 yxyy

yyxry =

92,1,0 yry

Il bordo laterale una superficie regolare sse yx rr sempre diverso dal vettore nullo, ossia se 0 yx rr

kjyixkjy

x

iy

x

y

xkji

rr yx ++=+

=

=9

292

1001

920921

921920

92109201

0194

94 22 >++= yxrr yx da cui si ricava che il bordo laterale una superficie regolare.

Il bordo superiore un disco determinato dalla relazione 922

(proiezione della superficie nel piano Oxy)

dxdyyxdxdyrrAreaDD

yxlaterale ++== 1)(94 22per risolvere questo integrale conviene passare alle coordinare polari

=

=

cossin

yx

da cui si ricava che pi

dddxdy =

2093

( ) ( )

=

=

+=

+

=

+

+

=

=

+

+=

+=

+=

=

+=

++=

=++==

+

pipipipi

pipipi

pipi

2

0

23

232

0

9

3

23

22

0

9

3

23

22

0

9

3

121

2

2

0

9

3

22/1

22

0

9

3

2/12

2

0

9

3

2/12

2

0

9

3

22

0

9

3

2222

22

537431

94

32

89

23

194

89

121

194

89

1941

94

891

94

98

891

94

1941)sincos(

94

1)(94

dddd

dddddd

dddd

dxdyyxdxdyrrAreaDD

yxlaterale

( ) ( )

= 23

23

5372

3pi

Area = Area(disco superiore) +Area(disco inferiore)+ Area(laterale).

Appunti 04-Giu-2009

Funzione potenziale

Solido di rotazione con calcolo del volume, verifica della regolarit della superficie e calcolo della superficie.

Area di una porzione di piano compresa tra due circonferenze concentriche e due rette

Funzione s(t), ascissa curvilinea di una curva

soluz esercizi serie potenza e fourier.pdfsoluz esercizi serie potenza e fourier.pdfCriterio del rapportoCriterio della radiceCriterio del rapportoCriterio della radiceCriterio del rapportoCriterio della radice

giugno2008.pdfConvergenza uniforme