Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale

Analisi e Geometria I. Ing. Mecc. Bovisa Matricola

Cognome e nome: Docente:

c© I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essinon possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso saraperseguito a termini di legge dal titolare del diritto.

• Le risposte alle domande devono essere scritte su questi fogli, nello spazio sottoil testo e, solo in caso di necessita, sul retro.

• Ogni risposta deve essere giustificata.

1. Determinare, nel campo complesso, le soluzioni z ∈ C dell’equazione

• zz + |z| − iz3 = 0 .

Svolgimento. Poiche’ zz = |z|2, riscrivendo l’equazione nella forma

iz3 = |z|2 + |z| ,

si deduce che il modulo |z| deve soddisfare l’equazione

|z|3 = |z|2 + |z||z|(|z|2 − |z| − 1) = 0 .

Oltre alla soluzione z = 0, le eventuali altre dovranno soddisfare

|z|2 − |z| − 1 = 0

e quindi si trova che |z| = 1+√

52 . Poiche’ allora |z|2 + |z| = 2 +

√5, non resta che

risolvereiz3 = 2 +

√5

e quindi calcolare le 3 radici complesse z0 , z1 , z2 del numero complesso

−(2 +√

5)i = (2 +√

5)(

cos(−π2

) + i sin(−π2

)).

Il loro modulo e’ pari a |zk| = (2 +√

5)1/3, mentre i loro argomenti sono

θ0 = −π6, θ0 = +

π

2, θ0 = +

76π .

2. Per quali valori dei parametri a, b ∈ R la funzione

f(x) =

a2x2 + bx x < +1,

bx2 + ax− 2 x ≥ +1

risulta i) continua in ogni punto di R, ii) derivabile in ogni punto di R?

Svolgimento. Per ogni a, b ∈ R la funzione f risulta essere un polinomio, sia in(−∞ ,+1) che in (+1 ,+∞). Abbiamo allora che f e’ senz’altro continua e derivable inR \ {+1} per ogni a, b ∈ R.

Si avra’ continuita’ in x = +1 se

limx→(+1)−

f(x) = limx→(+1)+

f(x) ,

cioe se a2 + b = b + a + 2. Cio’ accade per ogni b ∈ R e per a soluzione di a2 − a − 2,cioe’ per a = −1,+2.

Per a = −1,+2, affinche’ la funzione sia derivabile anche in x = +1 si dovra’ avere

limx→(+1)−

f(x)− 1x− 1

= limx→(+1)+

f(x)− 1x− 1

,

cioe’2a2 + b = 2b+ a .

Per a = −1 cio’ accade per b = +3, mentre per a = +2 cio’ accade per b = +6. Sihanno cosi’ solo due coppie di valori ammissibili (a, b) = (−1, ,+3) e (a, b) = (+2, ,+6).

3. Studiare la funzione:f(x) = e−x(x2 − 1)1/3.

Non e richiesto lo studio della derivata seconda. Si completino i riquadri seguenti, ripor-tando i passaggi principali dello studio di f(x) sul retro del foglio. Sul foglio successivosi tracci il grafico di f . Dati riassuntivi.

Dominio: D(f) = R;Continuita’: f e’ continua in ogni punto di R: f ∈ C(R)

Segno e zeri di f : f(x) > 0⇔ x ∈ (−∞,−1) ∪ (+1,+∞), f(x) = 0⇔ x = ±1

Limiti di f agli estremi del suo dominio: limx→+∞ f(x) = 0

limx→−∞ f(x) = +∞

Esiste asintoto orizzontale per x→ +∞.

Dominio di f ′: D(f ′) = R \ {±1}Continuita’ di f ′ : f ′ e’ continua sul suo dominio: f ′ ∈ C(R \ {±1})

f ′(x) = e−x

3(x2−1)2/3 (−3x2 + 2x− 3)

Segno di f ′: f ′(x) < 0⇔ x ∈ (−∞ , x−) ∪ (x+ ,+∞),f ′(x) > 0⇔ x ∈ (x− , x+) x± = +1±

√10

Punti di massimo o di minimo:minimo globale: x = x−massimo locale: x = x+

Limiti di f ′ agli estremi del suo dominio: limx→−∞ f(x) = −∞limx→+∞ f(x) = 0limx→(−1)± f(x) = −∞⇒ ∃ flesso verticale in x = −1limx→(+1)± f(x) = +∞⇒ ∃ flesso verticale in x = +1

Svolgimento La formula f(x) = e−x(x2− 1)1/3 definisce una funzione per ogni x ∈ R.Poiche’ composta di funzioni continue (esponenziale radice, polinomio), f e’ continuasul suo dominio.

Essendo il fattore e−x sempre strettamente positivo e la radice di ordine dispari, il segnoe gli zeri di f corrispondono al segno e agli zeri dell’argomento della radice: x2 − 1.

Il limite di f a −∞ non presenta indeterminazione. Il limite a +∞ presenta unaindeterminazione del tipo 0 · ∞, facilmente risolvibile in quanto il fattore esponenzialeconverge a 0 piu’ velocemente di quanto ogni potenza diverga all’infinito. Esiste diconseguenza l’asintoto orizzontale y = 0 per x→ +∞.

La funzione radice terza non e’ derivabile nell’origine, ma al di questo punto e’ unafunzione derivabile con derivata continua. Di conseguenza, al di fuori dei punti cor-rispondenti all’annullarsi dell’argomento della radice e cioe’ per x 6= ±1, la funzione fe’ composta di funzioni derivabili con derivata continua. Applicando un noto teorema,deduciamo che f e’ derivabile con derivata continua in D(f ′) = R \ {±1}.Nell’intorno di x = ±1 non possiamo applicare il teorema. Possiamo inoltre dedurreche f non e’ derivabile in quei punti. Se per assurdo lo fosse, la funzione exf(x)risulterebbe derivabile in x = ±1. Ma poiche’ exf(x) = (x2 − 1)1/3, cio’ e’ assurdo perle considerazioni fatte sulla derivabilita’ della radice terza.

La formula della derivata prima si deduce applicando il teorema sulla derivata dellafunzione composta e raccogliendo un fattore esponenziale e una radice terza.

Essendo il fattore esponeziale e il denominatore di f ′ sempre strettamente positivi,abbiamo che il segno e gli zeri di f ′, e quindi la monotonia e i punti stazionari dif (Teorema di fermat e Test di Monotonia) corrispondono al segno e agli zeri x± =+1±

√10 del polinomio quadratico −3x2 + 2x− 3.

I punti di flesso orizzontale corrispondono esattamente ai punti in cui si annulla laradice terza nell’espressione di f .

Si tracci il grafico di f .

4. Si calcoli il limite seguente

L := limx→+∞

xe−1/x − x+ 1√x2 + 1− x

Svolgimento

L : = limx→+∞

√x2 + 1 + x

x2 + 1− x2· (xe−1/x − x+ 1)

= limx→+∞

(√x2 + 1 + x) · (xe−1/x − x+ 1)

= limx→+∞

√x2 + 1 + x

x· x(xe−1/x − x+ 1)

= limx→+∞

√x2 + 1 + x

x· lim

x→+∞x(xe−1/x − x+ 1)

= 2 limx→+∞

x(xe−1/x − x+ 1) .

Con il cambio di variabile y = 1/x abbiamo

L = 2 limy→0+

e−y/y − 1/y + 1y

= 2 limy→0+

e−y − 1 + y

y2.

Applicando il Teorema di de l’Hopital

L = limy→0+

e−y − 1 + y

y2

= 2 limy→0+

−e−y + 12y

= 2 · 12

= +1 .

5. Esercizio Facoltativo Si enunci e dimostri il Teorema di Weierstrass sulle’esistenzadi estremi assoluti per funzioni continue.