esfuerzos laterales

7/22/2019 Esfuerzos Laterales

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Captulo 5. Esfuerzos laterales del terreno

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Captulo cinco

Esfuerzos laterales del terreno

Contenido

5 Esfuerzos laterales del terreno .........................................................................................................................................................3355.1 Introduccin .......................................................................................................................................................................................3375.2 Esfuerzo lateral del terreno en condicin de reposo ......................................................................................................341

Ejemplo 5.1 ............................................................................................................................................................345Ejemplo 5.2 ............................................................................................................................................................347

5.3 Esfuerzo lateral del terreno en condicin activa ..............................................................................................................3485.3.1 Teora de Rankine................................................................................................................................................................349

5.3.1.1 Esfuerzo activo horizontal para condiciones drenadas ..................................................... ................3495.3.1.1.1 Esfuerzo lateral activo para un muro de relleno horizontal de suelo granular ..350Ejemplo 5.3 ............................................................................................................................................................352Ejemplo 5.4 ............................................................................................................................................................3535.3.1.1.2 Esfuerzo lateral activo para un muro de relleno inclinado de suelo granular.....354Ejemplo 5.5 ............................................................................................................................................................3555.2.1.1.3 Esfuerzo lateral activo para un muro de relleno horizontal de suelo cohesivo ..356Ejemplo 5.6 ............................................................................................................................................................3595.2.1.1.4 Esfuerzo lateral activo para un muro de relleno inclinado de suelo cohesivo ....360Ejemplo 5.7 ............................................................................................................................................................361

5.3.1.2 Esfuerzo activo horizontal para condiciones no drenadas ........................................ .......................3635.2.1.2.1 Esfuerzo lateral activo para un muro de relleno horizontal ........................................363

5.2.1.2.1 Esfuerzo lateral activo para un muro de relleno inclinado ..........................................363

5.3.2 Teora de Coulomb ..............................................................................................................................................................3645.3.2.1 Esfuerzo activo para suelos granulares determinado a travs de la Teora de Coulomb

(condiciones drenadas) ....................................................................................................................................................3645.3.2.1.1 Solucin grfica para la teora de Coulomb en suelos granulares (Mtodo de

Culmann).................................................................................................................................................................371 Ejemplo 5.8 ............................................................................................................................................................373

5.3.2.2 Esfuerzo activo para suelos cohesivos determinado a travs de la Teora de Coulomb

(condiciones no drenadas) .............................................................................................................................................3755.4 Esfuerzo lateral del terreno en condicin pasiva .............................................................................................................377

5.4.1 Teora de Rankine................................................................................................................................................................3775.4.1.1 Esfuerzo lateral pasivo para condiciones drenadas ........................................ .....................................377

5.4.1.1.1 Esfuerzo lateral pasivo para un muro de relleno horizontal de suelo granular .379Ejemplo 5.9 ............................................................................................................................................................381Ejemplo 5.10 ..........................................................................................................................................................3825.4.1.1.2 Esfuerzo lateral pasivo para un muro de relleno inclinado de suelo granular ....383Ejemplo 5.11 ..........................................................................................................................................................384


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Mecnica de Suelos. L.M. Salinas, J.H. Yapari, A. Canelas & A. Aranibar

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5.4.1.1.3 Esfuerzo lateral pasivo para un muro de relleno horizontal de suelo cohesivo .385Ejemplo 5.12 ..........................................................................................................................................................387Ejemplo 5.13 ..........................................................................................................................................................3885.4.1.1.4 Esfuerzo lateral pasivo para un muro de relleno inclinado de suelo cohesivo ...390Ejemplo 5.14 ..........................................................................................................................................................391

5.4.1.2 Esfuerzo lateral pasivo para condiciones no drenadas ........................................ ..............................3925.2.1.2.1 Esfuerzo lateral pasivo para un muro de relleno horizontal .......................................3925.2.1.2.2 Esfuerzo lateral pasivo para un muro de relleno inclinado .........................................392

5.4.2 Teora de Coulomb ..............................................................................................................................................................3935.4.2.1 Esfuerzo pasivo para suelos granulares determinado a travs de la teora de Coulomb

(condiciones drenadas) ....................................................................................................................................................393Ejemplo 5.15 ..........................................................................................................................................................395

5.4.2.2 Esfuerzo pasivo para suelos cohesivos determinado a travs de la Teora de Coulomb

(condiciones no drenadas) .............................................................................................................................................3975.4.3 Determinacin de la presin pasiva del terreno considerando una superficie de falla circular

(Mtodo de Terzaghi & Peck) ....................................................................................................................................................3975.5 Cartas semi-empricas para la determinacin del esfuerzo lateral del terreno ...................................... ...........4025.6 Determinacin del esfuerzo lateral del terreno basada en la teora de elasticidad..........................................4045.7 Determinacin del esfuerzo lateral del terreno en cortes ................................... ....................................... ..................4065.8 Comentarios .......................................................................................................................................................................................409


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5.1 Introduccin

A menudo en la naturaleza nos encontramos con taludes verticales o casi verticales de suelo, o en la mayora

de obras civiles, es necesario alterar la superficie del perfil del terreno, originndose de tal manera,

superficies verticales o muy prximas a esta situacin, estos taludes verticales o casi verticales de suelo son

soportados por estructuras de retencin.Para el anlisis de estabilidad de estas estructuras, se requiere conocer tanto la naturaleza de la

estructura del muro, como la naturaleza del material que ser soportado; al igual que la manera en que el

muro podra moverse o ceder despus de la construccin.

El mtodo a utilizarse para la determinacin de las cargas ejercidas por el terreno sobre las estructuras

de retencin, depende de la rigidez de las estructuras.

Por ejemplo, los mtodos de Rankine y Coulomb desarrollados entre los aos 1700 a 1900, se basan en la

idealizacin de la estructura de retencin, como una estructura rgida y que se comporta como una unidad.

Sin embargo, a pesar de que esta suposicin ignora el efecto real que existe en la interaccin suelo-estructura

y el proceso de construccin del sistema, en la actualidad, estructuras ms complicadas han sido diseadas

aplicando modificaciones empricas a estos mtodos.Como algunos ejemplos comunes de estructuras de retencin, se tienen los observados en la figura 5.1.

La figura 5.1 (a) muestra una de las formas ms simples de estructuras de retencin, el muro de gravedad,

que por sus caractersticas, es una estructura suficientemente rgida en la que no se producen deformaciones

por flexin.

La figura 5.1 (b) presenta un tabique o muro flexible, en el que se presentan deformaciones por flexin.

Para este tipo de estructuras, las presiones del terreno deben ser determinadas mediante mtodos

desarrollados para sistemas flexibles.

(a) (b)

Figura 5.1. Tipos de estructuras de retencin (a) Muro de gravedad, (b) Tabique o muro flexible.

El proceso de construccin del sistema involucra primeramente la edificacin de la estructura de

retencin, procedindose a continuacin con el colocado del relleno que se encuentra situado entre el muro y

el talud excavado. El material de relleno ser seleccionado de los materiales disponibles in-situ. Si acaso en el

sitio de construccin se disponen solamente de arcillas expansivas, o de cualquier otro tipo de material no

adecuado para relleno, puede ser necesario transportar de otro sitio un material adecuado para el relleno.


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Day (2000) afirma que la recomendacin estndar para material de relleno es la de un suelo granular

limpio (sin limo ni arcilla). Existen varias razones para esta recomendacin. stas se enuncian a

continuacin:

Comportamiento predecible.- Un relleno granular tiene generalmente un comportamiento mspredecible en trminos de la presin del terreno ejercida sobre el muro. Por otra parte, al utilizarse

un relleno granular limpio, se asegura que no existirn ningn tipo de fuerza expansiva.

Sistema de drenaje.- Para prevenir el crecimiento de la presin hidrosttica de agua en el muro deretencin, es a menudo construido un sistema de drenaje en el pie del taln. El drenaje ser ms

efectivo si el suelo es altamente impermeable, de tal modo, el relleno compuesto de suelo granular

limpio es en todo caso el ms adecuado.

Accin congelante.- En climas fros, la accin congelante ha sido la causa del movimiento de muchosmuros, ocasionado que stos queden fuera de uso. Por tanto, si las temperaturas bajas prevalecen, el

relleno de suelo puede ser susceptible al congelamiento, producindose la formacin de lentes de

hielo paralelos al muro que causan movimiento horizontal. En estos casos, el relleno de suelo

granular limpio y un adecuado sistema de drenaje contribuyen a la proteccin del muro contra la

accin congelante.

Por otro lado el adecuado diseo de estas estructuras requiere la estimacin de los esfuerzos laterales del

terreno, que son una funcin de varios factores, tales como:

El tipo y la magnitud del movimiento de los muros. los parmetros de resistencia al cortante del suelo. El peso especfico del suelo. Las condiciones de drenaje en el relleno.En muros de retencin, pueden alcanzarse tres posibles situaciones:

Esfuerzo lateral del terreno en condicin de reposo.- Esta situacin es alcanzada cuando el muro esesttico, Fig. 5.2 (a); es decir, no existe movimiento ni a la derecha ni a la izquierda de su posicininicial. Para este caso la masa de suelo permanece en equilibrio esttico, es decir la deformacin

unitaria horizontal es cero.

Esfuerzo lateral del terreno en condicin activa.- El muro, Fig. 5.2 (b), se inclina respecto al sueloretenido hasta alcanzar la posicin; entonces la masa de suelo triangular que se encuentraadyacente al muro alcanza el equilibrio plstico y falla, es decir, el suelo se expande, deslizndose

descendentemente a travs del plano . Para este caso el esfuerzo lateral se reduce desde el valordel esfuerzo en condicin de reposo hasta el valor del esfuerzo lateral activo, que es el valor mnimo

del esfuerzo lateral.

El trmino equilibrio plstico, se refiere a la condicin en que cada punto en la masa de suelo est a

punto de fallar. Esta condicin, se desarrolla por lo general, al fallar cualquier muro de retencin.

Esfuerzo lateral del terreno en condicin pasiva.- El muro, Fig. 5.2 (c), es empujado hacia el sueloretenido hasta alcanzar la posicin; entonces la masa de suelo triangular que se encuentraadyacente al muro alcanza el equilibrio plstico y falla, es decir, el suelo se comprime deslizndose

ascendentemente a travs del plano . El esfuerzo lateral pasivo es el mximo valor que puedealcanzar el esfuerzo lateral.


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(a) (b)

(c)

Figura 5.2. Naturaleza de la presin lateral de tierra (a) Presin en reposo (b) Presin activa (c) Presin pasiva.

Cuando un muro es empujado hacia el suelo, caso pasivo, el esfuerzo lateral incrementa; mientras que

cuando un muro se inclina respecto al suelo, caso activo, el esfuerzo lateral decrece.


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Segn Clough y Duncan (1991), en las ltimas dcadas, se ha observado, que despus de producirse

grandes movimientos, las condiciones lmites de presin pasiva mxima y presin activa mnima son

alcanzadas.

Una vez que estas presiones son alcanzadas, los movimientos continan incrementndose mientras que

las presiones lmites permanecen constantes. La cantidad de movimiento requerida para alcanzar las

condiciones lmites, ha sido investigada experimentalmente. Un resumen de dichas investigaciones espresentado en la tabla 5.1.

Tabla 5.1. Magnitudes aproximadas de movimientos requeridos para alcanzar la condicin de presin activa mnima y

pasiva mxima (Clough y Duncan, 1991).

Material del relleno Valores de /H

Activa Pasiva

Arena densa

Arena media a densa

Arena suelta

Limo compactado

Arcilla magra compactada

Arcilla grasa compactada

0,001

0,002

0,004

0,002

0,01

0,01

0,01

0,02

0,04

0,02

0,05

0,05

Referencias de la tabla 5.1: Movimiento requerido de la parte superior del muro para alcanzar la presin mnima activa y mxima pasiva, porinclinacin o traslacin lateral. Altura del muro.

Los resultados de la tabla 5.1 muestran que:

El movimiento requerido para alcanzar la presin lmite de tierra es proporcional a la altura delmuro.

El movimiento requerido para alcanzar la presin mxima pasiva es aproximadamente diez vecesms grande que el requerido para alcanzar la presin mnima activa.

El movimiento requerido para alcanzar las presiones lmites, es mayor para suelos sueltos que parasuelos densos.

La figura 5.3 presenta la variacin de la presin lateral del terreno con la inclinacin del muro tomando

en cuenta los estados activo y pasivo para los diferentes tipos de suelo que se presentan en la tabla 5.1.

A continuacin se desarrollan tanto los mtodos como sus correspondientes ecuaciones, a partir de los

cuales se realiza la determinacin de los esfuerzos laterales en condicin de reposo, en condicin activa y

pasiva.

Histricamente, la solucin al problema de presin lateral de terreno fue una de las primeras aplicaciones

de los mtodos cientficos para el diseo de estructuras; siendo los dos pioneros en este campo: el francs

Charles Augustin Coulomb y el escoss W. J. M. Rankine.Coulomb present su teora en 1773 y la public tres aos despus (Coulomb, 1776), mientras que

Rankine desarroll su teora ms de 80 aos despus (Rankine, 1857). A pesar de esta cronologa, por

simplicidad, es ms fcil discutir conceptualmente primero la teora de Rankine.

Finalmente se presenta otro mtodo popular para la estimacin de la presin del terreno. Este es el

mtodo de la espiral logartmica que fue propuesto por Terzaghi en 1943.


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Figura 5.3. Variacin de la magnitud de la presin lateral del terreno con la inclinacin del muro.

Debe enfatizarse que, dependiendo del ngulo de inclinacin del terreno, el empuje activo y pasivo

calculado mediante distintos mtodos puede ser bastante diferente.

Con el paso del tiempo, trabajos experimentales fueron realizados por Terzaghi (1932), Schofield (1961),

Rowe y Peaker (1965), Mackey y Kirk (1967), Narain et al. (1969), James y Bransby (1970), Matteotti (1970),

Bros (1972), Sherif y Mackey (1977), Sherif et al (1982), Sherif et al (1984), Duncan y Seed (1986), Fang y

Ishibashi (1986), Duncan et al. (1991), Fang et al (1994) y otros investigadores; pero a pesar de la

contribucin de estos autores al conocimiento en el campo de presiones laterales, el trabajo de Rankine y

Coulomb fue fundamental y an hoy en da constituye la base para los clculos realizados en la

determinacin de la presin lateral del terreno. En nuestros das existen ms de 50 teoras disponibles,

teniendo todas ellas sus races en las teoras de Rankine y de Coulomb.

5.2 Esfuerzo lateral del terreno en condicin dereposo

Si el estado de esfuerzos de una masa de suelo se encuentra debajo de la envolvente de falla de Mohr-

Coulomb, el suelo est en equilibrio, Fig. 5.4. En depsitos de suelos formados naturalmente, se produce una

deformacin horizontal despreciable, y como consecuencia el suelo permanece en estado de reposo. Loscrculos a y d de la figura 5.4 corresponden a un suelo normalmente consolidado y a un suelo

sobreconsolidado, respectivamente; ambos en condicin de reposo.

Para ilustrar esta situacin se tiene la figura 5.2 (a) en la que la masa de suelo mostrada, se halla limitada

por el muro sin friccin. Esta masa se halla ubicada a una profundidad debajo de la superficie y el nivelfretico se encuentra a una distancia de la misma. Los esfuerzos efectivos, verticales y horizontales son y respectivamente.


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Figura 5.4. Presin lateral del terreno en reposo (Whitlow, 1997).

La relacin entre el esfuerzo efectivo horizontal y el vertical se llama coeficiente de esfuerzo lateral del

terreno en reposo y se denomina : (Ec. 5.1)Valores experimentales de fueron obtenidos a partir de la realizacin del ensayo del presurmetro

mediante el cual es posible realizar la medicin del esfuerzo horizontal total y el valor de la presin de poros

in situ. Los resultados obtenidos por Mair y Word (1987) son presentados en la tabla 5.2.

Tabla 5.2. Rango de valores tpicos de (Mair y Wood, 1987).Tipo de suelo Arena suelta

Arena densa

Arcilla normalmente consolidada

Arcilla sobreconsolidada

Arcilla compactada

0,45 0,6

0,3 0,5

0,5 0,7

1,2 4,0

0,7 2,0

La tabla 5.3 presenta un resumen de algunos de los criterios existentes para la determinacin de .Conocido el valor de

, se determina el valor de esfuerzo

, que acta sobre el muro, siendo ste igual a

.La figura 5.5 muestra la distribucin de los esfuerzos laterales para un muro en condicin de reposo, conlas mismas caractersticas que el observado en la figura 5.2 (a).En ambos casos y son el peso especficodel suelo por encima y por debajo del nivel fretico, respectivamente.


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Tabla 5.3. Criterios para la determinacin del coeficiente de esfuerzo lateral del terreno en reposo .Referencia Criterios Observaciones

Jaky (1944)

Jaky (1944)

Moroto y Muramadsu

(1987)

Sherif, Fang y Sherif

(1984)

Massarchs (1979)

Das (2001)

Mayne y Kulhawy (1982)

Tschebotarioff

Danish Geotechnical

Institute (1978)

Donde: Modulo de elasticidad horizontal. Modulo de elasticidad vertical. Donde:

Peso unitario seco compactado de la arena. Peso unitario seco de la arena en suestado ms suelto.

Donde: Inclinacin del relleno medido a partir de lahorizontal.

Suelos normalmente consolidados.

Ecuacin simplificada de Jaky parasuelos normalmente consolidados.

Arcilla sobreconsolidada

anisotrpica.

Arenas densas

Suelos finos normalmente

consolidados.

Arcillas preconsolidadas.

Suelos sobreconsolidados.

Ensayo de compresin

unidimensional.

Para rellenos inclinados

Luego, la fuerza por unidad de longitud ejercida sobre el muro, se obtiene sumando las reas de los

respectivos diagramas de presiones, Fig. 5.5. reaACE+ rea CEFB + rea EFG + reaJIK (Ec. 5.2)Nota.- El esfuerzo lateral total es una presin ejercida por el suelo sobre el muro, y se expresa en

unidades de presin kPa, Pa, etc. Por otro lado, la fuerza por unidad de longitud, tiene por unidades kN/m,N/m, etc.


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Esfuerzo lateral efectivo

Para

Para

(a)

Presin de poros Esfuerzo lateral total Para

Para Para

(b) (c)

Figura 5.5. Distribucin de la presin en reposo para un suelo parcialmente sumergido. (a) Esfuerzo lateral efectivo (b)Presin de poros (c) Esfuerzo lateral total.

Para el caso particular en que se tiene suelo seco, Fig. 5.6, de manera anloga al caso anterior; la fuerza

por unidad de longitud ejercida por el suelo seco sobre el muro es:

(Ec. 5.3)


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Para

(u=0)

Figura 5.6. Distribucin del esfuerzo lateral total en condicin de reposo para un suelo seco.

Ejemplo 5.1

Para el muro de retencin mostrado en la figura 5.7, determine la fuerza lateral de la tierra en reposo por

unidad de longitud. Determine tambin la posicin de la lnea de fuerza resultante.

Figura 5.7. Muro de retencin con relleno horizontal parcialmente saturado.

Solucin:

Paso 1. Clculo de .Para calcular se utiliza la ecuacin de Jaky (1944)

Paso 2. Calculo del esfuerzo lateral del terreno.

La presin lateral efectiva y la presin de poros tienen que calcularse por separado.

En Ahora, para el estrato inferior del suelo.


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En La presin de poros es cero de a En , Paso 3. Clculo de la fuerza total por longitud unitaria del muro.

El diagrama de presiones se grafica en la figura 5.8.


Paso 4. Calculo de la lnea de accin de la fuerza total.

La distancia de la lnea de accin de la fuerza resultante desde la base del muro se determina tomandomomentos respecto al fondo del muro (punto O en la figura 5.8)


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Ejemplo 5.2

Para un muro de retencin soportando un relleno inclinado de arena con peso especfico ,ngulo de friccin interna y cohesin , determine la fuerza lateral de la tierra en reposo porunidad del muro. Determine tambin la posicin de la fuerza resultante.

Solucin: Refirase a la figura 5.9.

Paso 1. Clculo de .Para calcular utilizaremos la ecuacin del Danish Geotechnical Institute (1978) Paso 2. Calculo del esfuerzo lateral del terreno.

Paso 3. Clculo de la fuerza total por longitud unitaria del muro.

Paso 4. Localizacin del centro de presin medido desde la base del muro. La presin lateral en reposo tiene una inclinacin con un ngulo igual a la del relleno inclinado, con

respecto de la horizontal.



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5.3 Esfuerzo lateral del terreno en condicin activa

En la figura 5.10 se observa que cuando el crculo de Mohr correspondiente al suelo no toca la envolvente de

falla, el suelo permanece en una condicin de reposo, es decir, el muro no cede. Por otro lado, si el muro

tiende a moverse alejndose del suelo, se produce un fenmeno de expansin lateral, y los esfuerzos laterales

del suelo decrecen, hasta alcanzarse el equilibrio plstico. Este equilibrio es alcanzado en el mnimo valorde que es igual a .Una vez que se ha alcanzado este valor, la resistencia total al cortante se moviliza, es decir, ocurre la falla.

El crculo b de la figura 5.10 representa el crculo de falla para la condicin activa.

(a) (b)

(c)

Figura 5.10. Presin activa de Rankine (a)Circulo de Mohr para el estado activo en un suelo granular (c=0) (b) Planos

de deslizamiento para el estado activo (c) Esquema del muro considerado para la determinacin de esfuerzos laterales en

la figura 5.11.


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5.3.1 Teora de Rankine

La teora de Rankine (1857) presenta una solucin basada en las siguientes hiptesis:

La cara posterior del muro es completamente lisa y vertical. La friccin entre el muro y el suelo no es considerada El relleno detrs del muro es una masa de suelo sin cohesin que se halla en un estado de equilibrio

lmite.

La magnitud de los esfuerzos laterales depende slo del esfuerzo efectivo vertical y la resistenciaal cortante del suelo, siendo el problema estticamente determinado.

Se asume que la cedencia de toda la estructura coincide con la cedencia del primer elemento,teniendo de esa manera una solucin de borde inferior.

Luego, si se considera un espacio semi-infinito en el que se encuentra una masa de suelo con un ngulo de

friccin ; se supone que esta masa es llevada a un estado de equilibrio plstico para un valor dado deesfuerzos verticales .

La condicin inicial de esfuerzos es representada por el crculo a de la figura 5.10 (a). Por otro lado, se

permite que el muro vaya alejndose gradualmente del suelo, es decir, se permite que los esfuerzos

horizontales principales vayan disminuyendo, hasta alcanzar el estado de equilibrio plstico, para el cual, el

suelo falla. Este ltimo estado es representado por el crculo b de la figura 5.10 (a) y se denomina estado

activo de Rankine. Para este estado el crculo de Mohr toca la envolvente de falla.

El crculo b de la figura 5.10 (a) representa el crculo de falla una vez que se ha alcanzado el equilibrio

lmite.

El esfuerzo activo horizontal, , es determinado para las siguientes condiciones: Esfuerzo activo horizontal para condiciones drenadas. Esfuerzo activo horizontal para condiciones no drenadas.

5.3.1.1 Esfuerzo activo horizontal para condiciones drenadas

El esfuerzo activo horizontal para condiciones drenadas, puede ser determinado para los siguientes casos:

Determinacin del esfuerzo activo horizontal para un relleno horizontal, , de suelo granular, . Determinacin del esfuerzo activo horizontal para un relleno inclinado, , de suelo

granular, . Determinacin del esfuerzo activo horizontal para un relleno horizontal, , de suelo cohesivo,

.

Determinacin del esfuerzo activo horizontal para un de relleno inclinado, , de suelocohesivo, .


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5.3.1.1.1 Esfuerzo lateral activo para un muro de relleno horizontal

de suelo granular

El procedimiento a seguir para la determinacin del esfuerzo activo horizontal para un muro de relleno

horizontal,

, de suelo granular,

, es el siguiente:

A partir de la figura 5.10(a) se puede observar que:

(Ec. 5.4)

Luego:

Agrupando trminos:

Posteriormente, el coeficiente de presin activa de Rankine, , se define como:

(Ec. 5.5)Reordenando la ecuacin (5.5), se tiene:

(Ec. 5.6)Finalmente, el esfuerzo activo horizontal es:

(Ec. 5.7)De la figura 5.10 (b), se observa que los planos de falla forman en el suelo ngulos de (45 + /2) con el

plano principal mayor, que es para este caso el plano horizontal. Las ecuaciones (5.6) y (5.7) corresponden al

coeficiente de presin lateral activa y esfuerzo lateral activo para un esquema de muro similar al presentadoen la figura 5.10(c).

A continuacin, la figura 5.11, presenta la determinacin del esfuerzo lateral activo, , para un muro decaractersticas similares al del esquema de la figura 5.10(c).


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Esfuerzo lateral efectivo Para

Para

Presin de poros Esfuerzo lateral total

Para

Para

Figura 5.11. Distribucin de la presin del terreno activa de Rankine, contra un muro de retencin con relleno de suelo

granular parcialmente sumergido que se halla soportando una sobrecarga.

Finalmente, la fuerza de empuje total por unidad de longitud que ejercen el relleno y el agua sobre la

altura total del muro H, es determinada hallando el rea del diagrama de presiones de esfuerzos totales.

(Ec. 5.8)


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Ejemplo 5.3

Para un muro de retencin de 7,5 metros de altura, soportando un relleno horizontal de arena con peso

especfico , ngulo de friccin interna y cohesin , determine la fuerza lateralactiva para el muro y la posicin de la fuerza resultante.


Paso 1. Clculo del coeficiente de presin lateral segn Rankine:

Paso 2. Clculo del esfuerzo lateral del terreno.

Paso 3. Calculo de la fuerza total por longitud unitaria del muro.

Figura 5.12. Distribucin del esfuerzo lateral total en condicin de activa soportando un relleno horizontal seco.

Paso4. Localizacin de la fuerza resultante medido desde el fondo del muro.


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Ejemplo 5.4

Un muro de retencin de 7 metros de altura debe soportar un suelo de relleno horizontal parcialmente

sumergido con una sobrecarga , con peso especfico del suelo , en el estratosuperior, para el estrato inferior, el ngulo de friccin para ambos estratos es ycohesin

. Determine la fuerza activa por unidad de longitud del terreno y determine tambin la lnea

de accin de la fuerza resultante.

Solucin: Refirase a la figura 5.13

Paso 1. Clculo de los esfuerzos laterales en el estrato superior.

Si la cohesin, c, es igual a cero

Para la capa superior del suelo , para lo cual

La presin lateral efectiva y la presin de poros tienen que calcularse por separado.

En En , Paso 2. Calculo de los esfuerzos laterales y presin de poros en el estrato inferior.

En , La presin de poros, es cero de

a

En , El diagrama de distribucin de presiones se grafica en la figura 5.13.

Paso 3. Fuerza total por longitud unitaria del muro.

Paso 4. Lnea de accin.La distancia de la lnea de accin de la fuerza resultante desde el fondo del muro se determina

tomando momentos respecto al fondo del muro (punto O en la figura 5.14)


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Figura 5.13. Distribucin del esfuerzo lateral total en condicin activa.

5.3.1.1.2 Esfuerzo lateral activo para un muro de relleno inclinado

de suelo granular

Pueden presentarse a menudo situaciones similares al esquema de muro mostrado en la figura 5.14, donde

se observa un relleno inclinado , de suelo granular .

Figura 5.14. Presin del terreno activa de Rankine, muro de retencin con relleno inclinado.

El coeficiente de presin lateral activa de Rankine en este tipo de situaciones es:

(Ec. 5.9)La tabla 5.4 presenta valores de para distintos valores de y .


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El procedimiento desarrollado en la figura 5.11 es vlido cuando el relleno de suelo es horizontal. Cuando

se presenta el caso de rellenos inclinados; el procedimiento a seguir es el mismo, con la nica diferencia de

que la fuerza total de empuje se halla inclinada en un ngulo con la horizontal.

Tabla 5.4. Valores de para distintos valores de y , considerando un muro soportando un relleno inclinado.(grados) (grados)28 30 32 34 36 38 400

5

10

15

20

25

0,361

0,366

0,380

0,409

0,461

0,573

0,333

0,337

0,350

0,373

0,414

0,494

0,307

0,311

0,321

0,341

0,374

0,434

0,283

0,286

0,294

0,311

0,338

0,385

0,260

0,262

0,270

0,283

0,306

0,343

0,238

0,240

0,246

0,258

0,277

0,307

0,217

0,219

0,225

0,235

0,250

0,275

Ejemplo 5.5

Un muro de retencin de 7,5 metros de altura debe soportar un suelo de relleno inclinado

, con peso

especfico , un ngulo de friccin y cohesin . Determine la fuerza activa porunidad de longitud del terreno y determine tambin la lnea de accin de la fuerza resultante.


Paso 1. Coeficiente de presin lateral segn Rankine:

Figura 5.15. Distribucin del esfuerzo lateral total en condicin activa para un suelo seco.

Paso 2. Esfuerzo lateral del terreno.


22/76


356


Paso 4. Localizacin del centro de presin medido desde el fondo del muro.


de suelo cohesivo

El procedimiento para la determinacin del esfuerzo activo horizontal de un muro soportando un relleno

horizontal , de suelo cohesivo en condiciones drenadas, , se basa en la figura 5.16

Figura 5.16. Presin del terreno activa de Rankine, muro de retencin con relleno inclinado.

A partir de la figura 5.16, se puede observar que el crculo b corresponde al estado de equilibrio plsticopara el cual el suelo falla, alcanzndose de este modo el estado activo de Rankine. Luego, el esfuerzo activo

horizontal, , es determinado de la siguiente manera: Pero CD es el radio del crculo de falla:

Reemplazando en la ecuacin 5.4 se tiene:


23/76


357

Reordenando:

Despejando : (Ec. 5.10)Donde:

Reemplazando en la ecuacin 5.10 tenemos:

(Ec. 5.11)Luego:

(Ec. 5.12)Luego, a manera de ilustracin, en la figura 5.17 se determina, el esfuerzo lateral total generado detrs de

un muro con relleno horizontal de suelo cohesivo. Para este caso en particular, se asume que el suelo del

relleno se encuentra seco, es decir, se asume que en la altura considerada no se ha detectado la posicin del

nivel fretico.

El caso observado en la figura 5.17 es el caso ms crtico que existe para rellenos de suelo cohesivo. Para

el esfuerzo lateral efectivo, se puede observar que cuando , el valor de es negativo, por tanto, segeneran en el suelo, esfuerzos de tensin. A continuacin el valor de va incrementndose hasta alcanzarel punto donde

es igual a cero. A partir de este punto el valor de

se hace positivo y se incrementa de

manera lineal en funcin a la profundidad.La profundidad existente entre la superficie y el punto donde se hace igual a cero, se denomina grieta

de tensin. Para este caso, el valor de la profundidad de la grieta de tensin es determinado igualando a cero

la ecuacin (5.12). Luego se tiene:

(Ec. 5.13)Cuando existe presencia del nivel fretico o cuando se aplica una sobrecarga en la superficie, el valor del

esfuerzo lateral total en la superficie puede no ser negativo dependiendo, en todo caso, tanto de la magnitud

de la sobrecarga como de la magnitud de la presin de poros. Si a pesar de la aplicacin de estas presiones, el

esfuerzo lateral total contina siendo negativo; el valor de la profundidad de la grieta de tensin puede ser

determinado de manera similar a la ecuacin (5.13).

El clculo de la fuerza total de empuje activa, es realizado a partir del diagrama de presiones del esfuerzo

lateral total, Fig. 5.17. Entonces, la fuerza de empuje total por unidad de longitud ejercida sobre el muro, es:

( ) () (Ec. 5.14)


24/76


358

Si se decide tomar en cuenta las grietas de tensin, que es muy comn en la prctica; la fuerza de empuje

total sobre el muro, es causada slo por la distribucin de presiones ubicada en , Fig. 5.17.Entonces, es:

(

)

(Ec. 5.15)

Para Para

Para Para

Figura 5.17. Distribucin de la presin del terreno activa de Rankine, contra un muro de retencin con relleno horizontal

de suelo cohesivo seco.


25/76


359

Para fines de clculo en algunos problemas de diseo de muros de retencin, un relleno de suelo cohesivo

se reemplaza por un suelo supuesto granular con un diagrama de presin activa triangular de Rankine,

donde, para y para . Entonces es:

(

)(Ec. 5.16)

Ejemplo 5.6

Un muro de retencin de 7,5 metros de altura debe soportar un relleno horizontal, con peso especfico , un ngulo de friccin interna y cohesin . Determine la fuerza activa porunidad de longitud del muro antes y despus de que ocurra la grieta de tensin y determine tambin la lnea

de accin de la fuerza resultante en ambos casos.


Paso 1. Coeficiente de presin lateral del terreno segn Rankine.

Paso 2. Clculo de los esfuerzos laterales.

En En

Paso 3. Clculo de la grieta de tensin.

Paso 3. Fuerza activa tomando en cuenta la grieta de tensin.

( ) La lnea de accin de la resultante estar localizada a una altura medida desde la base del muro.


26/76


360

Figura 5.18. Distribucin de la presin del terreno activa de Rankine, contra un muro de retencin con relleno horizontal

de suelo cohesivo seco.

Paso 4. Clculo de la presin activa para un suelo supuesto granular.

( ) (La lnea de accin est situada a un tercio de la altura del muro)


de suelo cohesivo

En el esquema de muro presentado en la figura 5.19, se observa un relleno inclinado , de suelocohesivo en condiciones drenadas .

Figura 5.19. Presin activa de Rankine, muro con relleno inclinado.


27/76


361

El clculo del esfuerzo lateral activo es realizado con siguiente ecuacin:

El coeficiente de presin activa de Rankine, , en este caso es determinado a partir de las ecuaciones

desarrolladas por Mazindrani & Ganjali (1997), y son las siguientes:

(Ec. 5.17)Donde:

{ } Algunos valores de se dan en la tabla 5.5.

Tabla 5.5. Valores de

(grados)

(grados)

0,025 0,05 0,1 0,5

15

20

25

30

0

5

10

15

0

5

10

15

0

5

10

150

5

10

15

0,550

0,566

0,621

0,776

0,455

0,465

0,497

0,567

0,374

0,381

0,402

0,4430,305

0,309

0,323

0,350

0,512

0,525

0,571

0,683

0,420

0,429

0,456

0,514

0,342

0,348

0,366

0,4010,246

0,280

0,292

0,315

0,435

0,445

0,477

0,546

0,350

0,357

0,377

0,417

0,278

0,283

0,296

0,3210,218

0,221

0,230

0,246

-0,179

-0,184

-0,186

-0,196

-0,210

-0,212

-0,218

-0,229

-0,231

-0,233

-0,239

-0,250-0,244

-0,246

-0,252

-0,263

En este caso la altura de la grieta de tensin se calcula a partir de la siguiente ecuacin:

(Ec. 5.18)Ejemplo 5.7

Para un muro de retencin de 7,5 metros de altura que soporta un relleno inclinado , con pesoespecfico , un ngulo de friccin y cohesin . Determine la fuerzaactiva por unidad de longitud y la localizacin de la lnea de accin de la fuerza resultante despus de que

ocurre la grieta de tensin.


Paso 1. Clculo de la altura de la grieta de tensin, medido desde la parte superior del muro.


28/76


362

Paso 2. Calculo del esfuerzo lateral.

En

Entrar en la tabla 5.5.

Entrar en la tabla 5.7.

Para , y ; el valor de es 0,246

Figura 5.20. Distribucin del esfuerzo lateral total en condicin activa para un suelo cohesivo seco.

Paso 3. Fuerza activa real despus de la ocurrencia de la grieta de tensin.

Paso 4. Clculo de la lnea de accin.

La lnea de accin de la resultante estar localizada a una altura medida desde el fondo del muro.


29/76


363

Paso 5. Clculo de fuerza activa a partir del diagrama supuesto de presin activa despus de la

ocurrencia de la grieta de tensin.

5.3.1.2 Esfuerzo activo horizontal para condiciones no drenadas


Para el clculo del esfuerzo lateral activo para un muro de relleno horizontal de suelo cohesivo en

condiciones no drenadas reemplazar y en la ecuacin (5.11), entonces se tiene: (Ec. 5.19)Como el coeficiente de presin lateral del terreno est en funcin de , entonces reemplazando setiene , para suelos cohesivos en condiciones no drenadas.Para el clculo del empuje activo pueden ser reemplazados los valores de y en la

ecuacin (5.14). Luego reordenando la misma ecuacin, se tiene:

(Ec. 5.20)De la misma manera, si se decide tomar en cuenta las grietas de tensin, la fuerza de empuje total sobre el

muro, es causada slo por la distribucin de presiones ubicada en , Entonces, es:

(Ec. 5.21)


Para muros de retencin con relleno inclinado de suelo cohesivo en condiciones no drenadas se toma las

ecuaciones desarrolladas por Mazindrani & Ganjali (1997), reemplazando y , entonces setienen las siguientes ecuaciones:

Donde para condiciones no drenadas es: { }


30/76


364

5.3.2 Teora de Coulomb

La teora de Rankine (1857) es un mtodo de anlisis que proporciona clculos simples. Sin embargo debido

a las hiptesis que considera tiene sus limitaciones, y por lo general, los resultados obtenidos haciendo uso

de sta son de cierto modo pesimistas, al ser esta teora considerada como una solucin de borde inferior.

En contraparte, la teora de Coulomb (1776) salva en cierto modo estas limitaciones. Esta se basa en lassiguientes hiptesis:

Se considera una cua de suelo, movindose activamente hacia el muro. La cua se desliza hacia abajo presentando una superficie de falla plana. La cara posterior del muro al igual que el relleno pueden ser inclinados. Se considera la friccin del muro. La condicin lmite es la cedencia de toda la cua: solucin de borde superior.

5.3.2.1 Esfuerzo activo para suelos granulares determinado a travs

de la Teora de Coulomb (condiciones drenadas)Anotadas las hiptesis asumidas por Coulomb, considerar la cua de suelo mostrada en la figura 5.21. Al

inclinarse el suelo hacia el muro, para un cierto valor de esfuerzos, ste alcanza el estado activo lmite,

deslizndose la cua a travs de la superficie de falla . El equilibrio lmite es mantenido por tres fuerzasactuantes en la cua, Fig. 5.21 (b). Dichas fuerzas son:

Es la fuerza activa por unidad de longitud del muro y se halla inclinada, formando un ngulo con lanormal dibujada a la cara posterior del muro, siendo el ngulo de friccin entre el muro y el suelo. Es el peso de la cua de suelo. Es la fuerza resultante de las fuerzas normales y cortantes en el plano de deslizamiento, y forma unngulo de

con la normal trazada al plano de deslizamiento.

La geometra de la cua depende de la altura del muro , de los ngulos y que son conocidos, yfinalmente del ngulo de la superficie de falla que es desconocido. Del polgono de la figura 5.21 (b), y son desconocidas, por tanto, el problema es estticamente indeterminado, pudiendo ser resuelto a travs de

un mtodo analtico o mediante iteraciones.

A partir de la figura 5.21 (b), por ley de senos se tiene:

Ordenando para y reemplazando el valor de :

(Ec. 5.22)En la ecuacin (5.22), es la nica variable. Luego, para hallar el valor crtico de se hace mxima,

entonces:


31/76


365

(a)

(b)

Figura 5.21. Presin activa de Coulomb (a) Cua de falla de prueba (b) Polgono de fuerzas.

Luego, la presin activa de Coulomb es:

(Ec. 5.23)Donde:

(Ec. 5.24)

El ngulo de friccin del muro , depende del ngulo de friccin del suelo y de la rugosidad del muro. Parala condicin activa Das (2001) recomienda usar un valor de de aproximadamente , siendo el valormximo recomendable de 20.

El valor de puede tambin ser determinado en funcin al tipo de material de relleno y al tipo deestructura. La tabla 5.6 presenta diferentes valores de que varan de acuerdo al tipo de estructura.


32/76


366

Para el caso particular de un relleno horizontal de suelo granular , situado detrs de unmuro cuya cara posterior es vertical , la tabla 5.7 presenta los valores de para distintos valores de. Las tablas 5.8 y 5.9 presentan los valores de que fueron obtenidos a partir de la ecuacin (5.24) para y respectivamente.Tabla 5.6. Valores de ngulo de friccin y adhesin para distintos materiales segn California Trenching and ShoringManual.Interface de materiales Angulo de friccin, ()

Cortina de pilotes de acero, contra los siguientes suelos:

Grava limpia, mezcla de arena y grava, terrapln de roca bien gradada con escamas.

Arena limpia, mezcla de arena limosa y grava, terrapln de roca dura de un solo tamao.

Arena limosa, grava o arena mezclada con limo y arcilla.

Limo arenoso fino, limo no plstico.

Concreto formado, cortina de pilotes de concreto contra los siguientes suelos:

Grava limpia, mezcla de arena y grava, terrapln de roca bien gradada con escamas.

Arena limpia, mezcla de arena limosa y grava, terrapln de roca dura de un solo tamao.

Arena limosa, grava o arena mezclada con limo y arcilla.

Limo arenoso fino, limo no plstico.

Masa de concreto en los siguientes materiales:

Roca limpia.

Grava limpia, mezcla de arena y grava, arena cuarzosa.

Arena limpia fina a media, arena limosa media a cuarzosa, grava limosa o arcillosa.

Arena limpia fina, arena fina limosa o arcillosa de fina a media, limo arenoso fino, limo

no plstico.

Arcilla muy rgida o preconsolidada.

Varios materiales estructurales:

Mampostera en roca, rocas gneas o metamrficas:

Roca revestida dbil sobre roca revestida dbil.

Roca revestida dura sobre roca revestida dbil.

Roca revestida dura sobre roca revestida dura.

Mampostera en madera.

Acero en acero en una cortina de pilotes interbloqueados.

22

17

14

11

22 26

17 22

17

14

35

29 31

24 29

19 24

17 19

35

33

29

26

17

Interface de materiales Adhesin Suelos cohesivos muy blandos (0 250 psf)

Suelos cohesivos blandos (250 500 psf)

Suelos cohesivos medianamente rgidos (500 1000 psf)

Suelos cohesivos rgidos (1000 2000 psf)

Suelos cohesivos muy rgidos (2000 4000 psf)

0 250

250 500

500 1000

1000 2000

2000 4000

Tabla 5.7. Valores de para distintos valores de ; para y (grados)

(grados)

0 5 10 15 20 25

28

30

32

34

36

38

40

42

0,3610

0,3333

0,3073

0,2827

0,2596

0,2379

0,2174

0,1982

0,3448

0,3189

0,2945

0,2714

0,2497

0,2292

0,2089

0,1916

0,3330

0,3085

0,2853

0,2633

0,2426

0,2230

0,2045

0,1870

0,3251

0,3014

0,2791

0,2579

0,2379

0,2190

0,2011

0,1841

0,3203

0,2973

0,2755

0,2549

0,2354

0,2169

0,1994

0,1828

0,3186

0,2956

0,2745

0,2542

0,2350

0,2167

0,1995

0,1831


33/76


367

Tabla 5.8.Variacin de - ecuacin (5.24), para (grados) (grados) (grados)0 5 10 15 20 250

5

10

15

28

29

30

3132

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

4142

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

3940

41

42

28

29

30

31

32

0,3213

0,3091

0,2973

0,28600,2750

0,2645

0,2543

0,2444

0,2349

0,2257

0,2168

0,2082

0,1998

0,1918

0,1840

0,3431

0,3295

0,3165

0,3039

0,2919

0,2803

0,2691

0,2583

0,2479

0,2379

0,2282

0,2188

0,2098

0,20110,1927

0,3702

0,3548

0,3400

0,3259

0,3123

0,2993

0,2868

0,2748

0,2633

0,2522

0,2415

0,23130,2214

0,2119

0,2027

0,4065

0,3881

0,3707

0,3541

0,3384

0,3588

0,3647

0,3349

0,32350,3125

0,3019

0,2916

0,2816

0,2719

0,2626

0,2535

0,2447

0,2361

0,2278

0,2197

0,3845

0,3709

0,3578

0,3451

0,3329

0,3211

0,3097

0,2987

0,2881

0,2778

0,2679

0,2582

0,2489

0,23980,2311

0,4164

0,4007

0,3857

0,3713

0,3575

0,3442

0,3314

0,3190

0,3072

0,2957

0,2846

0,27400,2636

0,2537

0,2441

0,4585

0,4397

0,4219

0,4049

0,3887

0,4007

0,3886

0,3769

0,36550,3545

0,3439

0,3335

0,3235

0,3137

0,3042

0,2950

0,2861

0,2774

0,2689

0,2606

0,4311

0,4175

0,4043

0,3916

0,3792

0,3673

0,3558

0,3446

0,3338

0,3233

0,3131

0,3033

0,2937

0,28440,2753

0,4686

0,4528

0,4376

0,4230

0,4089

0,3953

0,3822

0,3696

0,3574

0,3456

0,3342

0,32310,3125

0,3021

0,2921

0,5179

0,4987

0,4804

0,4629

0,4462

0,4481

0,4362

0,4245

0,41330,4023

0,3917

0,3813

0,3713

0,3615

0,3520

0,3427

0,3370

0,3249

0,3164

0,3080

0,4843

0,4707

0,4575

0,4447

0,4324

0,4204

0,4088

0,3975

0,3866

0,3759

0,3656

0,3556

0,3458

0,33630,3261

0,5287

0,5128

0,4974

0,4826

0,4683

0,4545

0,4412

0,4283

0,4158

0,4037

0,3920

0,38070,3697

0,3590

0,3487

0,5868

0,5672

0,5484

0,5305

0,5133

0,5026

0,4908

0,4794

0,46820,4574

0,4469

0,4367

0,4267

0,4170

0,4075

0,3983

0,3894

0,3806

0,3721

0,3637

0,5461

0,5325

0,5194

0,5067

0,4943

0,4823

0,4707

0,4594

0,4484

0,4377

0,4273

0,4172

0,4074

0,39780,3884

0,5992

0,5831

0,5676

0,5526

0,5382

0,5242

0,5107

0,4976

0,4849

0,4726

0,4607

0,44910,4379

0,4270

0,4164

0,6685

0,6483

0,6291

0,6106

0,5930

0,5662

0,5547

0,5435

0,53260,5220

0,5117

0,5017

0,4919

0,4824

0,4732

0,4641

0,4553

0,4468

0,4384

0,4303

0,6190

0,6056

0,5926

0,5800

0,5677

0,5558

0,5443

0,5330

0,5221

0,5115

0,5012

0,4911

0,4813

0,47180,4625

0,6834

0,6672

0,6516

0,6365

0,6219

0,6078

0,5942

0,5810

0,5682

0,5558

0,5437

0,53210,5207

0,5097

0,4990

0,7670

0,7463

0,7265

0,7076

0,6895


34/76


368

Tabla 5.8 (continuacin).Variacin de - ecuacin (5.24), para (grados) (grados) (grados)

0 5 10 15 20 25

20

33

34

35

3637

38

39

40

41

42

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

0,3234

0,3091

0,2954

0,28230,2698

0,2578

0,2463

0,2353

0,2247

0,2146

0,4602

0,4364

0,4142

0,3935

0,3742

0,3559

0,3388

0,3225

0,3071

0,2925

0,2787

0,2654

0,2529

0,2408

0,2294

0,3732

0,3583

0,3442

0,33060,3175

0,3050

0,2929

0,2813

0,2702

0,2594

0,5205

0,4958

0,4728

0,4513

0,4311

0,4121

0,3941

0,3771

0,3609

0,3455

0,3308

0,3168

0,3034

0,2906

0,2784

0,4303

0,4150

0,4003

0,38620,3726

0,3595

0,3470

0,3348

0,3231

0,3118

0,5900

0,5642

0,5403

0,5179

0,4968

0,4769

0,4581

0,4402

0,4233

0,4071

0,3916

0,3768

0,3626

0,3490

0,3360

0,4969

0,4811

0,4659

0,45130,4373

0,4237

0,4106

0,3980

0,3858

0,3740

0,6714

0,6445

0,6195

0,5961

0,5741

0,5532

0,5335

0,5148

0,4969

0,4799

0,4636

0,4480

0,4331

0,4187

0,4049

0,5761

0,5598

0,5442

0,52910,5146

0,5006

0,4871

0,4740

0,4613

0,4491

0,7689

0,7406

0,7144

0,6898

0,6666

0,6448

0,6241

0,6044

0,5856

0,5677

0,5506

0,5342

0,5185

0,5033

0,4888

0,6721

0,6554

0,6393

0,62380,6089

0,5945

0,2805

0,5671

0,5541

0,5415

0,8880

0,8581

0,8303

0,8043

0,7799

0,7569

0,7351

0,7144

0,6947

0,6759

0,6579

0,6407

0,6242

0,6083

0,5930

Tabla 5.9. Variacin de - ecuacin (5.24), para

(grados) (grados) (grados)

0 5 10 15 20 25

0

5

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

28

29

30

31

32

0,3264

0,3137

0,3014

0,2896

0,2782

0,2671

0,2564

0,2461

0,2362

0,2265

0,2172

0,2081

0,1994

0,1909

0,1828

0,3477

0,3370

0,3202

0,3072

0,2946

0,3629

0,3502

0,3379

0,3260

0,3145

0,3033

0,2925

0,2820

0,2718

0,2620

0,2524

0,2431

0,2341

0,2253

0,2168

0,3879

0,3737

0,3601

0,3470

0,3342

0,4034

0,3907

0,3784

0,3665

0,3549

0,3436

0,3327

0,3221

0,3118

0,3017

0,2920

0,2825

0,2732

0,2642

0,2554

0,4327

0,4180

0,4048

0,3915

0,3787

0,4490

0,4363

0,4241

0,4121

0,4005

0,3892

0,3782

0,3675

0,3571

0,3469

0,3370

0,3273

0,3179

0,3087

0,2997

0,4837

0,4694

0,4556

0,4422

0,4292

0,5011

0,4886

0,4764

0,4645

0,4529

0,4415

0,4305

0,4197

0,4092

0,3990

0,3890

0,3792

0,3696

0,3602

0,3511

0,5425

0,5282

0,5144

0,5009

0,4878

0,5616

0,5492

0,5371

0,5253

0,5137

0,5025

0,4915

0,4807

0,4702

0,4599

0,4498

0,4400

0,4304

0,4209

0,4117

0,6115

0,5972

0,5833

0,5698

0,5566


35/76


369

Tabla 5.9 (continuacin). Variacin de - ecuacin (5.24), para (grados) (grados) (grados)0 5 10 15 20 25

10

15

20

33

34

35

3637

38

39

40

41

42

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

28

29

30

3132

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

28

2930

31

32

33

34

35

36

37

0,2825

0,2709

0,2596

0,24880,2383

0,2282

0,2185

0,2090

0,1999

0,1911

0,3743

0,3584

0,3432

0,3286

0,3145

0,3011

0,2881

0,2757

0,2637

0,2522

0,2412

0,2305

0,2202

0,2103

0,2007

0,4095

0,3908

0,3730

0,35600,3398

0,3244

0,3097

0,2956

0,2821

0,2692

0,2569

0,2450

0,2336

0,2227

0,2122

0,4614

0,43740,4150

0,3941

0,3744

0,3559

0,3384

0,3218

0,3061

0,2911

0,3219

0,3101

0,2986

0,28740,2767

0,2662

0,2561

0,2463

0,2368

0,2276

0,4187

0,4026

0,3872

0,3723

0,3580

0,3442

0,3309

0,3181

0,3058

0,2938

0,2823

0,2712

0,2604

0,2500

0,2400

0,4594

0,4402

0,4220

0,40460,3880

0,3721

0,3568

0,3422

0,3282

0,3147

0,3017

0,2893

0,2773

0,2657

0,2546

0,5188

0,49400,4708

0,4491

0,4286

0,4093

0,3910

0,3736

0,3571

0,3413

0,3662

0,3541

0,3424

0,33100,3199

0,3092

0,2988

0,2887

0,2788

0,2693

0,4688

0,4525

0,4368

0,4217

0,4071

0,3930

0,3793

0,3662

0,3534

0,3411

0,3292

0,3176

0,3064

0,2956

0,2850

0,5159

0,5964

0,4770

0,45980,4427

0,4262

0,4105

0,3953

0,3807

0,3667

0,3531

0,3401

0,3275

0,3153

0,3035

0,5844

0,55860,5345

0,5119

0,4906

0,4704

0,4513

0,4331

0,4157

0,3991

0,4166

0,4043

0,3924

0,38080,3695

0,3585

0,3478

0,3374

0,3273

0,3174

0,5261

0,5096

0,4936

0,4782

0,4633

0,4489

0,4350

0,4215

0,4084

0,3957

0,3833

0,3714

0,3597

0,3484

0,3375

0,5812

0,5611

0,5419

0,52350,5059

0,4889

0,4726

0,4569

0,4417

0,4271

0,4130

0,3993

0,3861

0,3733

0,3609

0,6608

0,63390,6087

0,5851

0,5628

0,5417

0,5216

0,5025

0,4842

0,4668

0,4750

0,4626

0,4505

0,43870,4272

0,4160

0,4050

0,3944

0,3840

0,3738

0,5928

0,5761

0,5599

0,5442

0,5290

0,5143

0,5000

0,4862

0,4727

0,4597

0,4470

0,4346

0,4226

0,4109

0,3995

0,6579

0,6373

0,6175

0,59850,5803

0,5627

0,5458

0,5295

0,5138

0,4985

0,4838

0,4695

0,4557

0,4423

0,4293

0,7514

0,72320,6968

0,6720

0,6486

0,6264

0,6052

0,5851

0,5658

0,5474

0,5437

0,5312

0,5190

0,50700,4954

0,4840

0,4729

0,4620

0,4514

0,4410

0,6719

0,6549

0,6385

0,6225

0,6071

0,5920

0,5775

0,5633

0,5495

0,5361

0,5230

0,5103

0,4979

0,4858

0,4740

0,7498

0,7284

0,7080

0,68840,6695

0,6513

0,6338

0,6168

0,6004

0,5846

0,5692

0,5543

0,5399

0,5258

0,5122

0,8613

0,83130,8034

0,7772

0,7524

0,7419

0,7066

0,6853

0,6649

0,6453


36/76


370

Tabla 5.9 (continuacin). Variacin de - ecuacin (5.24), para (grados) (grados) (grados)0 5 10 15 20 25

38

39

40

4142

0,2769

0,2633

0,2504

0,23810,2263

0,3263

0,3120

0,2982

0,28510,2725

0,3833

0,3681

0,3535

0,33950,3261

0,4500

0,4340

0,4185

0,40370,3894

0,5297

0,5127

0,4963

0,48050,4653

0,6266

0,6085

0,5912

0,57440,5582

Por otra parte, si el relleno de suelo que se encuentra detrs del muro no es homogneo, Fig. 5.22, es

decir, presenta diferentes tipos de suelo y si se considera el caso en el que el nivel fretico se encuentra

ubicado a cualquier profundidad comprendida entre la superficie y la altura del muro, consideraciones

adicionales, que incluyen tambin el caso de sobrecarga en la superficie, deben realizarse.

Figura 5.22. Determinacin de la fuerza activa segn el mtodo de Coulomb.

En tal caso se hace necesaria la modificacin del valor del peso especfico , a utilizarse en la ecuacin(5.23), por un valor correspondiente al de un peso especfico equivalente que toma en cuenta la influencia

tanto de estratos superiores como de cualquier posible sobrecarga. El valor de es determinado a partir dela ecuacin (5.25).

(Ec. 5.25)Donde:

Peso especfico del estrato en consideracin. Sobrecarga que existe en la superficie del estrato en consideracin. Esta sobrecarga puede ser elresultado de la presencia del estrato superior, y por tanto ser igual al esfuerzo total causado por ste

en ese punto. ngulo que forma la cara posterior del muro con la vertical. Inclinacin del relleno que se encuentra detrs del muro. Espesor del estrato o porcin de estrato en consideracin.


37/76


371

Notar que cuando el estrato en consideracin o alguno superior se encuentran saturados, la ecuacin

(5.25) debe considerar tal efecto, por tanto, dicha ecuacin se convierte en:

Siendo los pesos especficos efectivos igual al peso especfico del suelo menos el peso especfico del agua.

La sobrecarga debe tambin ser hallada, tomando en cuenta la posible presencia del nivel fretico.

Luego, una vez determinado , este valor es introducido en la ecuacin (5.23). La posicin de la fuerzaactiva determinada es la misma que la explicada al inicio de este apartado.

Finalmente, la fuerza causada por la presencia de agua sobre el muro, Fig. 5.22, es determinada por medio

de la ecuacin (5.26). La fuerza Ues normal a la cara posterior del muro, y por tanto, forma un ngulo conla horizontal.

(Ec. 5.26)Donde: Presin del agua al final del estrato. Hipotenusa del tringulo del diagrama de presin del agua

5.3.2.1.1 Solucin grfica para la teora de Coulomb en suelos

granulares (Mtodo de Culmann)

Culmann(1875) desarroll un mtodo grfico para determinar la presin del terreno de acuerdo a la teora

de Coulomb. Esta solucin se ha constituido a travs del tiempo en una herramienta muy til para

determinar la presin lateral del terreno.

La solucin de Culmann realiza las siguientes consideraciones:

Se considera la friccin del muro, sin tener en cuenta las irregularidades tanto del relleno como de lasobrecarga.

Se considera un relleno de suelo granular .Los pasos a seguir para la solucin de Culmann son los siguientes, Fig. 5.23:

1. Dibujar la geometra del muro y el relleno a una escala conveniente.2. Determinar el valor de ().

Donde: ngulo que forma la cara posterior del muro con la vertical. ngulo de friccin del muro.

3. Dibujar una lnea BD que forme un ngulo con la horizontal.4. Dibujar una lnea BEque forme un ngulo con la lnea BD.5. A partir de B dibujar un nmero de lneas convenientes que corresponden a las

posibles cuas de falla.


38/76


372

(a) (b)

Figura 5.23. Solucin de Culmann para presin activa del terreno.

6. Determinar las reas de las posibles cuas de falla. .7. Determinar el peso por unidad de longitud de cada una de las posibles cuas de falla.

. 8. Sea BD, el eje donde los pesos son dibujados a una escala conveniente de la siguiente manera: 9. Dibujar que es una lnea paralela a BEque une con BC1 (BC1 es la lnea que determina la

posible superficie de falla para la cua). De la misma manera dibujar .10. Dibujar la lnea de Culmann. Esta lnea es la curva que une los puntos .11. Dibujar BDque es tangente a la lnea de Culmann. BDdebe ser paralela a la lnea BD. El punto de

tangencia se denomina .12. Dibujar la lnea

, sta lnea debe ser paralela a BE.

13. La fuerza activa por unidad de longitud del muro es: 14. Dibujar la lnea que es la cua de falla buscada.El mtodo de Culmann slo proporciona el valor de la fuerza activa por unidad de longitud y no as el

punto de aplicacin de esta fuerza. Sin embargo, para determinar ste puede ser realizada otra construccin

grfica basada en los siguientes pasos:


39/76


373

1. Una vez determinada la superficie de falla BCa travs del mtodo de Culmann, determinar el centrode gravedad de la cua de falla, O, Fig.5.24.

2. Trazar una lnea paralela a la superficie de deslizamiento BCque pase por el punto O.3. El punto de interseccin de la lnea dibujada en el paso 2 con la cara posterior del muro, O,

constituye el punto de aplicacin de la fuerza.

Figura 5.24. Mtodo aproximado para encontrar el punto de aplicacin de la resultante de la fuerza activa.

Debido a que el mtodo de Culmann no es ms que la solucin grfica al mtodo de Coulomb, es necesario

realizar entonces las mismas consideraciones anteriores para el caso de relleno no homogneo con presencia

de agua y la probabilidad de sobrecarga en la superficie. Entonces, el valor de a utilizarse en ladeterminacin del peso de las posibles cuas de falla debe ser del mismo modo que en Coulomb el

correspondiente a determinado a partir de la ecuacin (5.25).Ejemplo 5.8Para el muro mostrado en la figura 5.25, se pide calcular el empuje activo mediante el mtodo de Coulomb.

Figura 5.25. Muro de gravedad con relleno inclinado y sobrecarga.


40/76


374

Solucin:

Paso 1. Clculo de y .

Paso 2. Clculo de los coeficientes de presin activa segn Coulomb.

Paso 3. Clculo del peso especfico equivalente para el estrato 1.

Paso 4. Clculo del empuje activo para el estrato 1.

Paso 5. Clculo del peso especfico equivalente para el estrato 2.

( ) ( ) Paso 6. Clculo del empuje activo para el estrato 2.

Paso 7. Clculo del empuje de la presin de poros.

, donde:


41/76


375

Figura 5.26. Presin activa calculada por el mtodo de Coulomb.

5.3.2.2 Esfuerzo activo para suelos cohesivos determinado a travs

de la Teora de Coulomb (condiciones no drenadas)

Una condicin no drenada se presenta cuando el muro se encuentra soportando un relleno de arcilla

saturada y cuando el periodo de construccin es lo suficientemente corto como para evitar la disipacin del

exceso de presin de poros generado.

Para la determinacin de la presin activa en un muro similar al de la figura 5.27, se considera adems delas condiciones anteriores, que el valor de la cohesin es mayor a 0, , que a cara posterior del muro esvertical rugosa y que el relleno de arcilla saturada tiene una superficie horizontal.

Luego, siguiendo la teora de Coulomb, se considera que la superficie de falla plana ( BT para nuestro

caso) se extiende hasta el final de la grieta de tensin .En el estado activo lmite el equilibrio de la cuaABTCes mantenido por las siguientes fuerzas:

Peso de la cuaABTC. Fuerza activa por unidad de longitud del muro. Fuerza normal en el plano de falla.

Fuerza de resistencia al cortante a lo largo del plano de falla BT

.

Fuerza de resistencia al cortante a lo largo de la cara del muro ( ). Empuje horizontal debido al agua en la grieta de tensin . Resistencia al corte no drenado del suelo. Adhesin no drenada suelo-muro, respectivamente. La magnitud de la adhesin suelo-muro vara entre 0,3 para arcillas duras a para arcillas blandas.


42/76


376

Figura 5.27. Teora de Coulomb para condiciones no drenadas.

Del polgono de fuerzas mostrado en la figura 5.27 (b) se tiene:

Luego:

De la sumatoria de fuerzas horizontales:

Sustituyendo , y en funcin de , Hy , se tiene:

(Ec. 5.27)

En la ecuacin (5.27) es la nica variable. Para hallar el valor crtico de , hacer mxima, entonces: Luego la fuerza activa ejercida sobre el muro por unidad de longitud es:


43/76


377

(Ec. 5.28)Donde:

(Ec. 5.29)El esfuerzo lateral para una profundidad dada es:

(Ec. 5.30)Luego la profundidad de la grieta de tensin, es decir, la profundidad a la cual , es:

(Ec. 5.31)

5.4 Esfuerzo lateral del terreno en condicin pasiva

La condicin pasiva en un suelo se produce cuando el muro tiende a moverse hacia el suelo, producindose

un fenmeno de compresin, para el que los esfuerzos laterales del suelo , se incrementan hasta alcanzarel equilibrio plstico. Este equilibrio es alcanzado para el mximo valor de .

Del mismo modo que en la condicin activa, una vez que el mximo valor de es alcanzado, ocurre lafalla. El circulo c de la figura 5.4 representa el crculo de falla para la condicin pasiva.

5.4.1 Teora de Rankine

La teora de Rankine (1857) para la condicin pasiva, considera las mismas hiptesis expuestas ya, para la

condicin activa.

Se considera un espacio semi-infinito en el que se encuentra una masa de suelo que tiene un ngulo de

friccin . Se asume que para un valor dado de esfuerzos verticales , esta masa alcanza el estado deequilibrio plstico

La figura 5.28 presenta el crculo de falla b, una vez que se ha alcanzado el equilibrio lmite.

El esfuerzo pasivo horizontal, , es determinado para los siguientes condiciones: Esfuerzo lateral pasivo para condiciones drenadas. Esfuerzo lateral pasivo para condiciones no drenadas.

5.4.1.1 Esfuerzo lateral pasivo para condiciones drenadas

El esfuerzo lateral pasivo para un relleno de suelo en condiciones drenadas puede ser determinado para los

siguientes casos:


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378

Determinacin del esfuerzo lateral pasivo horizontal para un relleno horizontal, , de suelogranular, .

Determinacin del esfuerzo lateral pasivo horizontal para un relleno inclinado, , de suelogranular, .

Determinacin del esfuerzo lateral pasivo horizontal para un relleno horizontal,

, de suelo

cohesivo, . Determinacin del esfuerzo lateral pasivo horizontal para un de relleno inclinado, , de suelocohesivo, .

(a) (b)

(c)

Figura 5.28. Presin pasiva de Rankine (a) Crculo de Mohr para el estado pasivo en un suelo granular (c = 0) (b) Planos

de deslizamiento para el estado pasivo (c) Esquema del muro para la determinacin de esfuerzos.


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379

5.4.1.1.1 Esfuerzo lateral pasivo para un muro de relleno horizontal

de suelo granular

El procedimiento a continuacin es solo para la determinacin del esfuerzo pasivo horizontal para un relleno

horizontal

, de suelo granular

.

A partir de la figura 5.28(a) se puede observar que:

( )( )

(Ec. 5.32)

Luego:

Agrupando trminos:

Posteriormente, el coeficiente de presin activa de Rankine, , se define como:

(Ec. 5.33)Reordenando la ecuacin (5.33), se tiene:

(Ec. 5.34)Finalmente, el esfuerzo pasivo horizontal es:

(Ec. 5.35)De la figura 5.28 (b), se observa que los planos de falla forman en el suelo ngulos de con

el plano principal menor, que es para este caso el plano horizontal. Las ecuaciones (5.34) y (5.35)

corresponden al coeficiente de presin lateral pasiva y esfuerzo lateral pasivo para un esquema de muro

similar al presentado en la figura 5.28(c).A continuacin, la figura 5.29, presenta la determinacin del esfuerzo lateral total pasivo, , para un

muro de caractersticas similares al del esquema de la figura 5.28(c); En tal caso la fuerza de empuje total por

unidad de longitud que ejercen el relleno y el agua sobre la altura total del muro H, es determinada hallando

el rea del diagrama de presiones de esfuerzos totales.

( ) (Ec. 5.36)


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380

Esfuerzo lateral efectivo

Para

Para

Presin de poros Esfuerzo lateral total

Para

Para

Figura 5.29. Distribucin de la presin del terreno pasiva de Rankine, contra un muro de retencin con relleno de suelo

granular parcialmente sumergido que se halla soportando una sobrecarga.


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381

Ejemplo 5.9

Para un muro de retencin de 7,5 metros de altura soportando un relleno horizontal de arena, con peso

especifico , cohesion y con ngulo de friccin interna , determine la fuerzalateral de la tierra pasiva y la posicin de la fuerza resultante.

Solucin: refirase a la figura 5.30.


Paso 2. Clculo del esfuerzo lateral en la base del muro.

Figura 5.30. Diagrama del esfuerzo lateral total en condicin de reposo para un suelo seco.


Paso 4. Localizacin de la lnea de presin medida desde la base del muro.


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382

Ejemplo 5.10

Un muro de retencin de 7 metros de altura debe soportar un suelo de relleno horizontal parcialmente

saturado, que se halla soportando una sobrecarga , con peso especfico del suelo en el estrato superior, para el estrato inferior, un ngulo de friccin ycohesin

. Determine la fuerza pasiva por unidad de longitud del terreno y determine tambin la lnea

de accin de la fuerza resultante.



Paso 2. Calculo del esfuerzo lateral en funcin de la profundidad.

La presin lateral efectiva y la presin de poros tienen que calcularse por separado, entonces:

En

En , En , La presin de poros, es cero de a En ; El diagrama de distribucin de presiones se grafica en la figura 5.31.

Figura 5.31. Distribucin del esfuerzo lateral total en condicin pasiva para un suelo seco.

Paso 3. Clculo de la fuerza total por longitud unitaria del muro.


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383

Paso 4. Calculo de la lnea de accin de la fuerza resultante.La distancia de la lnea de accin de la fuerza resultante desde el fondo del muro se determina

tomando momentos respecto al fondo del muro.

5.4.1.1.2 Esfuerzo lateral pasivo para un muro de relleno inclinado

de suelo granular

Pueden presentarse a menudo situaciones similares al esquema de muro presentado en la figura 5.32, donde

se observa un relleno inclinado , de suelo granular . El clculo del esfuerzo lateral pasivo ydel coeficiente de presin lateral pasiva en este tipo de situaciones es realizado con ayuda de las siguientesecuaciones:

(Ec. 5.37)

Figura 5.32. Presin pasiva de Rankine, muro con relleno inclinado.

Nota. El procedimiento desarrollado en la figura 5.29 es vlido cuando el relleno de suelo es horizontal.

Cuando se presenta el caso de rellenos inclinados; el procedimiento a seguir es el mismo, con la nica

diferencia de que la fuerza total de empuje se halla inclinada en un ngulo con la horizontal y esdeterminado a partir de la ecuacin (5.37).

La tabla 5.10 presenta valores de para distintos valores de y .


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384

Tabla 5.10. Valores de para distintos valores de y , considerando un muro soportando un relleno inclinado. (grados) (grados)28 30 32 34 36 38 400

5

10

1520

25

2,770

2,715

2,551

2,2841,918

1,413

3,000

2,943

2,775

2,5022,132

1,664

3,255

3,196

3,022

2,7402,362

1,894

3,537

3,476

3,295

3,0032,612

2,135

3,852

3,788

3,598

3,2932,886

2,394

4,204

4,136

3,937

3,6153,189

2,676

4,599

4,527

4,316

3,9773,526

2,987

Ejemplo 5.11

Un muro de retencin de 7,5 metros de altura debe soportar un suelo de relleno inclinado , con pesoespecfico , un ngulo de friccin y cohesin . Determine la fuerza pasiva porunidad de longitud del terreno y determine tambin la lnea de accin de la fuerza resultante.



Figura 5.33. Distribucin del esfuerzo lateral total en condicin pasiva para un suelo seco.

Paso 2. Clculo del esfuerzo lateral en la base del muro.



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385

Paso 4. Localizacin del centro de presin medido desde el fondo del muro.

5.4.1.1.3 Esfuerzo lateral pasivo para un muro de relleno horizontal

de suelo cohesivo

La determinacin del esfuerzo pasivo horizontal, , para un relleno horizontal, , de suelo cohesivo, , a travs de la teora de Rankine es realizada a partir de la figura 5.34, de la misma manera que parala condicin activa.

Figura 5.34. Crculo de Mohr para el estado pasivo en un suelo cohesivo.

Luego, el esfuerzo pasivo horizontal es:

(Ec. 5.38)Luego:

(Ec. 5.39)Cuando se trabaja con relleno de suelo cohesivo en condiciones no drenadas reemplazar y

en la ecuacin (5.38)

Luego, a manera de ilustracin, en la figura 5.35 determina, el esfuerzo lateral total generado detrs de un

muro con relleno horizontal de suelo cohesivo. Para este caso en particular, se asume que el suelo del rellenose encuentra seco, es decir, se asume que en la altura considerada no se ha detectado la posicin del nivel

fretico.

Finalmente, la fuerza de empuje total por unidad de longitud que ejercen el relleno y el agua sobre la

altura total del muro H, es determinada de manera similar a la hallada para suelos granulares, es decir,

sumando las reas de los diagramas de presiones del esfuerzo lateral efectivo y de la presin de poros, o

tambin, determinando el rea del diagrama de presiones de esfuerzos totales, Fig. 5.35.


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Esfuerzo lateral efectivo, Para

Para

Esfuerzo lateral efectivo Presin de poros

Para

Para Para

Esfuerzo lateral total

Para

Para

Figura 5.35. Distribucin de la presin del terreno pasiva de Rankine, contra un muro de retencin con relleno de suelo

cohesivo parcialmente sumergido que se halla soportando una sobrecarga.


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Nota.-El caso observado en la figura 5.35 es un caso general para rellenos de suelo cohesivo. Cuando se

analiza el estado pasivo, a diferencia del estado activo, se observa que el esfuerzo lateral efectivo, ecuacin

(5.39), siempre es positivo, por tanto no se generan esfuerzos de tensin. Al no producirse esfuerzos de

tensin, se concluye que para el caso pasivo no se forman las grietas de tensin.

Ejemplo 5.12Un muro de retencin de 7,5 metros de altura debe soportar un suelo de relleno horizontal, con peso

especfico , un ngulo de friccin y

esfuerzos laterales

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