E s i s t e n z a , u n i c i t ~ e d i p e n d e n z a c o n t i n u a per u n a

c lasse di p r o b l e m i ai l imi t i n o n l inear i .

GIUSEPPE 1)ULVIRENTI - (~IUSEPPE SANTAGATI (Catania) (*)

Summary. - The /ollowing abstract boundary value problem is considered: L x ~ H x , ox~-O, where L, H~ ~ denote operators, L linear, mapping normed spaces into normed spaces. Existence and uniqueness criteria are given and the dependence of the solution on L~ H~

is studied.

INTRODUZIONE

Siano X, X~, X2 tre spazi l ineari dei quali il primo sia sottospazio di uno spazio di BANAC~ X (~). Gli elementi nulli e le trasformazioni identiche re la t iv i ad essi saranno denotati con O, 0~, 02 e Ix~ Ix~, ]x~ rispettivamente. Siano, poi, L, H, Q fro operatori:

L " X ~ XI , H" X ~ X~ , ~ " X---~ X2 ,

dei quali il primo l ineare e gli altri non necessar iamente lineari. I1 sistema :

(E) L x -- Hx

(C) Qx = O~

nel l ' incogni ta x e X , comprende, come ~ noto, numerosi problemi ai limiti (err., ad esempio, R. G o ~ I [7]).

Nel caso part icolare in cui la (E) ~ una equazione differenziale (cio~ L z = [d /d t - -A( t ) ]x , Hx = g(t, x)) e l 'operatore Q ~ quasi l ineare (cio~ ~ x - -" Qlx--}-~22~ con ~1 l ineare e Q2 non lineare) o, pifi in particolare, lineare, il sistema (E)(C} ~ stato studiato in pareechi lavori, con r i fer imento al pro- blema dell 'esistenza {cfr., a d e s . , R. CONTI [1], [2], [3], [4], G. PULVIRE~TI [1],

(*) Lavoro esegui to nel l ' ambi to de l t ' a t t iv i th dei @ruppi di r icerca matemat iea del C .~ .R. I humer i 1-5 sono dovut i a G. PUL¥IRENTI e i numer i 6-10 a G. SAb~TAGATI.

(t) L a norma in X sar~ denotata con I1" I!:~; ovv iamente , se x G X, si porra ]Ix]Ix = = !lx l[~. I n genera le , ogni qua lvo l ta nel seguito sartt considerato uno spazio normato E, la norma in esso v e r r a denota ta con ][. [[~.

134~ G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Esistenza, unicit~ e dipendenza, ecc.

[3]), de l l 'unic i th (cfr., ad es., P. SAN~ORO [1], G. S A ~ A G ~ I [1], [2], R. IN- ~A~I~O [1]} e della dipendenza continua della soluzione dai daft {cfr., ad es., W. M. WH¥]3URN [1], [2], G. SA~NTACxATI [1], [2], R. INFA~Tn, TO [1]}; recente- mente, il case in cui f~ non ~ l ineare n6 quasi l ineare b state considerate da C. AVRAMESCU [l].

Nel case in eui L~ H ed ~ sono generali operatori, con ~ sempre l ineare o quasi lineare, il sistema (E) (C} ~ state studiato in alcuni altri lavori con r i fer imento al problema dell' esistenza e della unieit/~ (cfr., ad es., H. EH~IA~N [1], R. CoNTI [5], [6], [7]} e della dipendenza continua della soluzione dai daft (cfr., ad es., G. SAN~AeA~I [3]}.

Nel presente lavoro, prendendo lo spunto dalla Nota di C. AVRA~fESCU [1], viene studiato il sistema {E} (C} nel case in eni L, [4, f] siano generali opcratori con ~ non soggetto ad alcuna ipotesi di quasi linearita. Precisa- mente, sotto alcune ipotesi sui daft, viene costruita (n. 1} una equazione fun. zionale (T) tale the ogni sua soluzione b anche soluzione del sistema (E} (C}; sotto altre ipotesi si prova poi (n. 2) che l 'equazione {T} ed il sistema (E} (C) sono equivalenti, ciob viene date un teorema di r iduz ione per il sistema in esame. Vengono, poi, stabiliti: un teorema di esistenza (n. 3), un teorema di unieit/~ {n. 5}, un teorema di esistenza ed unieit~ (n. 6 )e dei teoremi di dipen- denza continua della soluzione dai daft (nn. 7, 8, 9}. Nei numer i 4 e 10 yen- gone fatte delle osservazioni che permettono di acquisire dei teoremi pit~ concreti di esistenza e di dipendenza continua, r ispett ivamente.

1. - C o s t r u z i o n e d e l l ' e q u a z i o n e f u n z i o n a l e (T}.

Denotata con S~ la sfera di X definita ponendo:

S ~ = l ~ : z E X , IlZtlx~k, k>O},

e indicate con 2¢ lo spazio nul[o di L, eio~ 1;insieme:

N = { x , : x e X , Lx = 01},

consideriamo le seguenti ipotesi:

iL) L'operatore L abbia u n

l ineare L+ :

inverse

tale che

destro, vie@ esista u n operatore

L+ : X~ ~ X ,

L L + -- Ix~.

G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Esistenza, unicith e dipendenza, ecc. 135

iiL, H,a) Esista k > 0 tale ehe, considerata la funzione

(1.1) F(x, y) = ~2(L+H~ + y)

in Sk X N (a valori in X2), l' equazione

(1.2) F(z, y) = O~

definisca (implicitamente) in Sz almeno una funzione g(x) (a valori in N), tale che

(1.3) F(z, g(z)) = 02 ~ z ~ s~ .

Cib posto, si ha il s eguen te t eo rema :

T]~OREMA 1.1. - Se sono verificate le ipotesi i/) e i i / ,H,n ) allora, comunque si assegni g(x), funzione implicitamente definita dalla equazione (1.2) in Sk, ogni soluzione dell' equazione :

(T) x -- g(x) --~ L+Hx

(in Sk), ~ soluzione det sistema (E) (C) in Sk.

DIMOSTRAZIONE. L ' a s s e r t o segue subito osservando che, se 2 s S k una soluzione de l l ' equaz ione (T), si ha

2 ---- g(~) + L+H2

e quindi

nonch6

L2 -~ Lg(~) -5 LL+H2 ~_ H~

P,2 = ~(g(2) + L+H2) -- F(2, g(2)) -- 0~.

2. - Teoroma di r iduzione per il s i s tema (E) (C).

Allo scopo di stabil ire, ora, un t eo rema di r iduzione per il s i s tema (E} (C), poniamo la seguen te ipotesi :

ii~, H, ab Sia valida l' ipolesi ilL, H, a) ed inollre la funzione g(x) sia unica (~-).

(2) Cio~ le soluzioni dell'equazione 0.2) in SkXNsono soltanto le COl)pie (x, g(x)), x~S k.

136 G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Esistenza, unicith e dipendenza, ecc.

Si ha, allora, il seguente teorema:

TEORE~'[A 2.1. - Se sono soddisfatte le ipotesi iD e iiZ,~, a) allora il s is lema tE} (C) ~ equivalente aU'equazione funz ionale (T), nel senso che ogni soluzione del s is tema (E) (C) in S~ ~ soluzione deU'equazione (T} (in S D e viceversa.

DIMOSTRAZI0~E. - In virtfi del Teorema 1.1 baster~ soltanto provare che ogni soluzione 2 e Sk del sistema (E} [C) ~ anche soluzione del l 'equazione (T).

A tale seopo cominciamo con l 'osservare che se 2 e S k ~ una soluzione di (E), esiste y ~ N tale ehe risulti

(2.1~ • = y~ + L+H~;

infatti, essendo

si ha

L(2~ - - L+It2) -- L2 - - H2 = 0~,

5: - - L+H2 E N.

Se, inoltre, 2 verif ica la (C), si ha

Q2 :- ~(y~ + 5+142) - - F(~, y~) -- O~ ;

quindi, in virtfi del l ' ipotesi ii~,H,a), r isulta

=

da eui, per la (2.1), • ~ soluzione del l 'equazione (T).

3. - Teorema di es i s tenza per i l s i s t ema (E} (C).

Allo scopo di stabilire un teorema di esistenza per il sistema (E} (C), denotata con Sk la sfera di X definita da:

k > 0 } ,

consideriamo le seguenti altre ipotesi:

iiiL,~/} Esis ta r ~ 0 tale che l 'operatore H sia prolungabile in S~ ed

inoltre l' operatore L+H da S,. in X sia continuo.

iVL, H) L ' i n s i eme L+H(Sr) r isul t i relat ivamente eompatto ed esista una

costante ~, o ~ r, tale che :

G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Esistenza, unicith e dipendenza, ecc. 137

vr.,n,u) Considerata in S~ X N la funz ione F(x , y) (a valori in X~) def ini ta da l la (1.1), l 'equaz~one (I.2) definisca impl ic i tamente in S~ almeno u n a funz ione g(x) con t inua (a valori i n IV} tale che l' ins ieme g{S~) r i su l t i relativa- mente compatto ed inoltre si abbia :

(3.2) II g(x) llx ~ r - - c ~ e ~¥.

Cib posto, d imos t r i amo il seguen te t e o r e ma di es i s tenza r e l a t i ve al si- s terna (E) (C):

TEOnEM~ 3 . 1 . - Se sono verificate le ipotesi iL), iiiL, R), iVL,H) e VL, H,~), a l lora il s i s tema {E} (C) ammet te almeno u n a soluzione in S~ (~}.

DIMOSTRAZIONE. - In virtfl del T e o r e m a 1.1, basra p ro v a re l ' e s i s t e n z a di a lmeno u n a soluzione ~ c ~ X N S,----S~ per l ' e q u a z i o n e (T). A tale scope ci s e rv i r emo del t e o r e m a di J. SC~AUDEa 14).

Cominc iamo con l ' o s s e r v a r e c h e l a s fe ra Sr ~ un ins ieme non vuoto, eh iuso e convesso del lo spazio di BA~AC~ X.

L ' o p e r a t o r e z - - T g ( x ) def in i t e in S, ponendo

Tg(x) - - g(x) + L + H x , o¢ e S~,

c o n t i n u e in S~ per la con t inu i th dell ' ope r a to r e L+H.

Si ha ino l t re

de l la funz ione g(~c) e pe r la eontinuiti~

T (L) c L

poiehi~, pe r le ~3.1) e (3.2), r i su l ta

I] g(x) --k L + H x IIx ~ r xe£.

]n f ine , T~(S~)~ r e l a t i v a m e n t e eompa t to in quan to tal l sono gli ins iemi

Le ipotes i del t eo r ema di J. SCtIAUDER sono, CO$i, ve r i f i ca t e e il T e o r e m a 3.1 ~ d imos t ra to .

(a) Si verifica facilmente the, nel case partieolare in cui X----6°(5, R n) (spazio degli n-vettori a componenti funzioni (reali) continue nell'intervallo A della retta numerica), X--~

AC(5, R n) (spazio degli n-vettori a componenti funzioni (reali) assolutamonte continue in h)~ X l ~ L i ( 5 , Rn) (spazio degli n-vettori a componenti funzioni (reali) sommabili in h)~ X2 ~ tg~, Lx -~ [d/dt-- A(t)]x~ Hx ~ J~t~ x), con A(t) matrice reale di ripe n X n dofinita in 4, B(t, x) n-vettore reale definite in ~ X R ~ il Teorema 3.1 ridh il teorema esistenziale di C. AVRAMESCU [1].

(4) Cfr. J. SC~AUDER [1].

Annali di Matematica 18

138 G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Esistenza, unicitdt e dipendenza, ecc.

4. - 0sservazioni relat ive al teorema di esistenza.

4.1. - Notiamo the la compattczza relativa delFins ieme L+H(S~) posta nel- l ' ipotesi iVL,//) i~, in particolare, garanti~a se l 'operatore L+H b completa- mente continue.

Anaiogamente, la compattezza relativa dell' insieme g(S~} posta nell ' ipo- tesi VL,~,a) ~ assicurata se la funzione g(x) ~ completamente continua e, in particolare, se lo spazio 2/ 6 di dimensione finita (5). Queste osservazioni sono suggerite da quanto accade nel case in cui il sistema (E) (C) si r iduee ad un problema ai limiti relative ad una equazione differenziale ordinaria in ipotesi classiehe o di CARA~]~ODORY.

4.~. - L' esistenza della funzione continua g(x) definita implici tamente dalla (1.2) in S~ e tale da verif icare la relazione (1.3), posta per ipotesi nella VL, H,n), pub essere assicurata ponendo sulFoperatore ~ e sugli spazi X, N e X2 opportune ipotesi atte a permet tere l 'applicazione di noti teoremi sulle funzioni implicite. Ad esempio, un recente risultato, in proposito~ dovuto a G. PrSLWnE~TI (~}, ~ utile ai nostri scopi in quanto permette di formulare le ipotesi su f~ in mode da assicurare l 'esistenza della funzione impl ic i ta g(x su tutta la sfer~ S~; altri r isultati in merito si trovano~ ad esempio, nei lavori r iportati nella bibliografia della suddetta Nora di G. PULVIREN~L

Supposto, allora, the siano verificate le ipotesi iL), iiiL, R) e iVL, H) e ehe N e X2 siano spazi di BA~CAC~, poniamo la seguente ~ltra ipotesi:

c¢~, ft, ~) La restrizione dell ~ operatore ~ all' insieme L+H(S,r) + (N N Sr-¢) sia continua ed inoltre esistano un operatore ML, H,n tineare continue e inver- tibile da X2 in N e d una costanle i~i,H,a, O < ~L,H,a < I, tali che:

(4 .1)

(4.2)

II U(~)tlx~ <-- (1 - - ~r,, H, ~)(r - - c) ~ z e L+H{£) (7),

IlY'-- Y" --}- ML, H,a[~2(Z + y') - ~2(Z -}- Y")] llX ~ ~L,H, alIY' - - Y"IiX

V(~, y'), (~, y") e L+H(£) X tN n s,_o).

Sotto l ' ipotesi gL, H, fl), definita in S~ X Z¥ la funzione F(x, y) mediante la ~1.1} e posto

-- £ x (N n s~_o),

(5) Cfr. , ad es., E. ~ I L L E - R. S. PHILLIPS []-], p. 18.

(6) Cfr . G. PULVIRENTI [2]. (~) Se £ i~ u n o p e r a t o r e l i n e a r e e c o n t i n u e da uno spaz io l i n e a r e e n o r m a l e Y a d uno

spaz io l i n e a r e e n o r m a l e Z, d e n o t e r e m o , c o m e di consue to , con f la i l la n o r m a di ~, c io~:

]]£t[---suplll£yllz:lly:ly<-- 11.

G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Esistenza, unicitd e dipendenza, ecc. 139

F(x, y) r i su l ta con t inua in R ed inol tre , per le (4.1) e (4.2), si ha

nonehb

II F(,% 0)Itx~ < (1 - - ~tL,~,a)(r - - c) - I I M ~ , - , ~ I I

II y' - y" + ~ , . , ~ [ F ( ~ , y ' ) - F(~, y")] tl~_< ~L,.,~ I! y ' - y" it~ (x, y'), (x, y") e R;

al lora (s) esis te una ed una sola funzione g(x} def in i ta impl i c i t amen te dal la (1.21 in S, , ivi cont inua , a valor i in N e tale da ver i f ica re la (3.2).

Se supponiamo, poi, che:

~L,H,a) L ' ins ieme g(S~) risult i relalivamente compatto, l ' u n i o n e del le ipotes i aL, H,a} e ~L,H,a) ass i eu ra la VL, H,a).

Per t an to , se N e X2 sono spazi di BA~AcR e sono val ide le ipotes i iL), iiiL,~), ivL, H), aL, H,a) e ~L,~,at, si ha, r e l a t i vamen te al s i s tema (E) (C), un t eo r ema di es i s tenza di na tura pifi eonc re t a del T e o r e m a 3.1.

5. - T e o r e m a di unic i t~ per il s i s t ema ( E ) ~ C ) .

Dimos t r i amo, ora, il seguen te t eo rema di unic i th per il s i s tema (E} {C):

TEOREMA 5.1. - Siano verificale le ipolesi iL), i i ~ , R , a ) e inoltre la seguenle:

¥iL, H,~) Esista una costante )~L,H,~, O ~ ~L,H~a ~1, tale che si abbia:

I[g(x~)--g(x~}-{- L+Hx~-- L+Hx2t lX~kL, H, al[x~ -- x~lIx ~ x ~ , x ~ Sk.

Allora il problema (E) (C) ammetle al piit una soluzione in S~.

DIMOS~RAZ[O~E. - In virtfi del T e o r e m a 2.1 bas te r~ p rova re ehe l ' equa - zione (T) ammet t e al pifi una soluzione in Sk. A tale scopo, suppon iamo che x~, x.~ ~ S~ siano due soluzioni del la sudde t t a equaz ione ; si avrebbe, a l lora :

II ~ - - ~c2 IIx - - il g(x,) - - g(a~2) -~ L+Hxl - - L+Hx2 IIz

da cui, pe r l ' i po tes i ViL,~,a), s egu i r ebbe

il che ~ assurdo. II t eo rema b, cosi, d imostra to .

(s) Cfr. @. PULVJa~N~rI [2].

140 G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Esistenza, unicit5 e dipendenza, ecc.

6. - Teorema di esistenza ed unicitk per il s istema (E) (C).

Allo scopo di dare un teorema di esistenza ed unieiti L utile per lo studio della dipendenza cont inua della soluzione del sistema tE) (C) dai dati, di cut ci occuperemo net numeri suceessivi, introduciamo le seguenti ipotesi:

v~,mn) Sia val ida l'ipotesi VL,~,~) ed inoltre la restrizione di g(x) ad S~ sia l' unica funzione a valori in N tale ehe

F(x, g(x)) = 0 , V x s & .

vi~,,H,n) Sia valida l 'ipotesi viL, i~,n) con k - - r .

Cib posto, poich~ dalla V'L,H.~) segue la ii~,~,n ) si ha, ovviamente, seguente teorema :

il

TEOREMA 6 . 1 . - Se sono verificate le ipotesi iL), iiiL, H), iVL, l~), V~,~,~) e vi~,H,n) , allora il sistema (E) (C) ammette una ed una sola soluzione in S~.

7. - Dipendenza continua della soluzione del s istema (E) (C)dal l 'ope- ratore L.

Stabiliamo, ora, il seguente teorema relativo alla dipendenza continua della soluzione del sistema (E) (C) dal l 'operatore L:

TEOI~EMA 7.1. Lo spazio X , sia normato, 1;operatore L+ sia continuo ed inoltre siano soddisfatte le ipotesi del teorema 6.1 unite alle seguenti:

viiH) Esista una costante posit iva l~ tale che :

viiiLm,~) Per ogni operalore L' lineare da X in X1, soddisfacente le ipotesi iL,), iiiL,m), iVL,,~), v~,m,n), Vi'L,,H,~I tale the L'+ sia continuo ed inoltre ]l L+ - - L'+ II ~" al, a~ costante positiva, risult i:

II g(x) - - g'(x)Itx ~ AL, H, ~ !t L+ - - L'+ il

AL,//,n essendo una costante positiva. Allora, l 'unica soluzione del sistema (E) (C) dipende con continuit~ dal.

l 'operatore L, net senso che per ogni numero reals 6 > 0 esiste un numero reale ~ > 0 tale che, per ogni operatore L' tineare da X in X1 soddisfacente le ipotesi iL,), iiiv,~l, iVL,,H), V~'.H,n), vi~,z,~), tale che L'+ sia conlinuo, per

G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Esistenza, unicit~ e d ipendenza , ecc. 141

cu i I[ L + - L '+ I! < ~, de t te "2 e YY, r i s p e t t i v a m e n t e , le s o l u z i o n i de l s i s t e m a (E) (C) i n c o r r i s p o n d e n z a d i L e d L ' , r i s u l t a :

41 - 'IIx< (9).

DIMOSTRAZIO~E. - Detta '2 l ' u n i ea soluzione del s is tema (E) (C), e quindi de l l ' equazione funzionale (T), in corr ispondenza a l l 'opera tore assegnato L , ed 2' quel la relat iva all ' operatore L' , si ha

"2 - - '2' - - g('~) - - g'(~') .-]- L + H ' 2 - - L '+H,2' ,

da cui segue

I[ "2 - - 2' llx <-- I[ g('2) - - g('2') + L + H ' 2 - - L + H ~ ' IIx -}- I[ g('2') - g'(2') IIx "{"

• {- II L+H'2 ' - - L '+H'2 ' IIx.

In virtfi de l l ' ipotes i vi~,B,a) e della l inear i th e eontinuit i t de l l 'opera tore L + - - L'+ segue

(1 - - kL , , , a } t l ' 2 - - ~'lIx<--IIg("2') - - g ' ( ' 2 ' ) t l z + H L+ - - L'+ll I} H'2'}}x,.

Se, poi, L' ~ tale ehe

I] L + - - L ' + I] < a , ,

in virtfi delle ipotesi viiH) e viiir~,H,a), ne viene:

II z - - "2' I l x ~ 1K A- Ar~,H,a ilL+ _ L'+ ]]. 1 - - ),r,,H,a

Pe r ogni numero reale ~ > 0, posto, allora

( 1--~r. ,~r ,a ) ~ - - m i n a~, l~_[_A-~,R,n~ ,

se L' ~ tale che I L L + - - L ' + H < $, ne segue

llz-'2'll <

I1 teorema b, cost, dimostrato.

(9) /gel case r e l a t ive ai p roblemi ai l imit i per una equazione differenzialo ordinaria , la d ipendenza cont inua del la soluzione del s is tema (E) (C) da l l 'opera tore L ~ stata studiat% nel sense sopra preeisato, in G. SANTAGATI [1] e [2]~ Teoremi V e I V risloett ivamente.

142 G. PULVIRENTI - G. SANTAGATt: Esistenza, unicith e dipendenza, ecc.

8. - Dipendenza con t inua delia soluzione del s is tema (E) (C) dall 'ope- ra to re H.

Dimostr iamo, in proposito, il seguente teorema:

TEOREMA 8 . 1 . - Lo spazio X~ sin normato, l 'operatore L+ sin continuo ed inoltre Siano soddis fat te le ipotesi del teorema 6ol uni te alla seguente:

iXL, H,a) Per ogni operatore H' da X in X~ soddisfacente le ipotesi JilL, H,),

iv r.,//,), v' L,B',a), vi~:,~,,~) e tale che [ I H x - - t f x [ [ x ~ < a : per ogni x e S ~ , a: costante posi t iva, r i su l t i :

II g(x) - - g'(xA ]lx ~ Br . , . ,~ I1Hx - - t t ' x t[x,

BL, H, ~ essendo u n a costante posi t iva. Allora, l ' un i ca soluzione del s i s tema (E) (C) dipende con continuit& dal-

l 'operatore H, net senso the per ogni numero reale ~ > 0 esiste u n numero reale ~ > 0 tale the, per ogni operatore H' da X in X~ soddisfaeente le ipotesi iiir.,H,), iVL, H,), V' " L,H',a), VlL.H,,a), per cui

II B . - H ' x < xeS,,

dette • e 2', r ispet t ivamente, le soluzioni del s i s tema (E} (C) in corr ispondenza

di H ed H', r i su l ta :

DIMOSTRAZIONE. - C o n procedimento analogo a quello seguito nel teorema precedente , si ha:

I[ ~ - - ~' IPx ~ t[ g(2} - - g(2') -~ L + H 2 - - L + H g IPx -~ tIg(2'} - - g'(2'} tix -~

-~ [I L+H2' - - L+H'2 ' [Ix.

In virtfi delle ipotesi vi~,H,~), ixL,~r,~) e per la l ineari t~t 'e eont inui th dell ' operatore L +, se II H x - - H ' x IIx, < a2 per ogni x e S~, ne viene

I1 - BL,~,n -{- [f L+II [I H~' - - H'~' Itxl- 1 - - kr.,H,a

Pe r ogni numero reale s > 0, posto, allora

( l - - ) . r . , . , a ) - - - m i n a2, BL, H,n-'~ IlL+lie ,

(t0) P e r il caso dei p roblemi ai [ imiti r e la t iv i alle equazioni d i f fe renz ia l i ordinar ie , cfr. G. SANTAGATI [1] e [2], Teoremi V I I e V I r i spe t t ivamente .

G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Esistenza, unicitgz e dipendenza, ecc. 143

se H ' ~ tale che

si ha, in par t ico lare , I[H~'--H'~'l ix~<~, e quindi

L ' a s s e r t o ~, cosl, provato.

~xeS~,

9. - Dipendenza continua della soluzione del sistema (E) (C) dall'operatore ~2.

Stabi l iamo, infine, il s eguen te :

TEORElVIA 9.1. - Lo spazio ){2 sia normato ed inoltre siano soddisfatte le ipotesi del teorema 6.1 unite alla seguente:

XL,~,a) Esislano due costanti positive a8 e CL, R,a tall che, detto ~ un numero reale positive non superiore ad aB, per ogni operatore ~' da X in X~ soddisfacenle le ipotesi v~,~,a,), vi~,~,a,) e tale ehe I t~x - -~ '~Cl[ z~ ~ per ogni x e S~, risult i :

II g(x) - - if(x)IIx ~ ~CL,.,~ ~ e S~ ( %

Allora, l 'unica soluzione del sistema (E) (C) dipende con continuit~ dal- l' operatore g~ nel sense che per ogni numero reale ~ > 0 esiste un numero reale

> 0 tale ehe per ogni operatore ~' da X in X~ soddisfacente le ipotesi vl , H, a'), vi~,~,a,) per eui

]1 - - ' llxo<

dette • e x', rispettivamente, le soluzioni del sistema (E) (C) in corrispondenza di ~2 e ~Q', r isul ta :

~i~} Ovviamente, l ' ipotesi xL, H,n) ~ soddisfatta nel case part icolare in cui b ~¢erifieata la seguente :

x~,H,n) Per ogni operatore £' da X in Xg~ soddis facente le ipotesi V'L,H,n,), VlL, H , n ' ) " e tale che [I £ x - - £ ' x Hx~ ~ a~ per ogni x e Sr , a s essendo u n a costante pos i t i va , r i su l t i :

[1 g ( ~ ) - g' (x) I Ix <-- eL, H, ~ II £x - - £ 'x Irx~ Vx e S~,

CL, H,a essendo u n a costante pos i t i va .

Notiam% poi, the, nello stesso stile del l ' ipotesi XL,H,n) , possono essere generalizzate anche la vi i iL, H,n) e la iXL, H,n) dei Teoremi 7.1 e 8.1, r ispett ivamente. A_bbiamo preferito, perb, lasciare dette ipotesi nella formulazione pifl par t icelare poichb essa ci sembra pii~ espressiva e perch, , a differenza del case in esame, la generalizzazione non ci sarebbe utile nei casi part icolar i ehe trat teremo nel numero successive.

144 G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Esistenza, unicit~ e dipendenza, ecc.

DIMOSTEAZmNE. - Col proeedimento abituale si ha:

Pe r ogni e > 0, posto, allora

-- min

se Q' ~ tale che

II g(~') - g ' (~' ) ]Ix .

1 -- ),r.,R, n as, 2Cz, zz, n

si ha, in virtfi del l ' ipotesi XZ, H.~},

eL, H, ~z i[ 2 - - ~' l x - - < 1 - - Z L , . , ~

da cui segue

It ~ - ~' 1t~ < ~;

l ' asser to ~, eosi, provato.

y x e S~,

10. - 0sservazioni re la t ive al teorema di esistenza ed nnicith ed ai teoremi di dipendenza continua.

10.1. - Per quanto osservato in 4.2, se /V e X2 sono due spazi di BA~ACH e se sono verif icate le ipotesi iD, iiiz,~), iVL,~), aL, R,n), ~L,H,n) ed inoltre:

7L,~,n) la restrizione di g(x) ad S,, sia l' unica funzione a valori in IV tale che :

F(~, g(~)) = e~, ~ x e S~,

nonchb la vi~,~,~), si ottiene, re la t ivamente al sistema (E) (C), un teorema di esistenza ed unieiti~ easo part icolare del Teorema 6.1.

10.2. Osserviamo, infine, che helle ipotesi del n. 10.1, si ha anche la dipendenza cont inua della soluzione del sistema (E) (C} da ~ ; se, poi, sup- poste sempre valide le ipotesi del n. 10.l, lo spazio X1 ~ normato, l 'opera tore L+ ~ eontinuo ed esiste una eostante positiva vn tale ehe:

G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Esistenza, unicit~ e dipendenza, ecc. 145

si ha anche la d ipendenza cont inua della soluzione del s istema (E) (C) da H, e, se inoltre ~ validu l ' ipotes i viin), da L.

Pe r la d ipendenza cont inua della soluzione del s is tema (E)(C)da 12 basta, invero, osservare che, se 12' ~ un operatore da X in X~ soddisfaeente le ipotesi ~r.,H,a'), ~Z,H.n'), 7r.,H,n') e vi~,H,a,), r isul tando, per ogni x~S, . :

g(z) - - g'(~c) = g(z) - - g '(z) + -NIL, n, n[S2(L+Hx + g(x) ) - f~(L + t t x + if(z))] +

[+ Mz, n,n[f~(L+Hw + g'(w)) - 12'(L+Hx~ + if(w))],

si ha

I [ ~ . - , . I ] l i n ( L + H ~ + g ' ( z ) ) - - ' + f~(L Hw+g(z))llz~ ll g(w) - - g'(~c) Hx<-- I - - ~z,~z, . ~xeS~;

pertanto, assegnato il numero reale a, 0 < ~ 1, se l 'opera tore 12' ~ tale, inoltre, t he

risulta, essendo L+Hx, + g'(w,) e S~.:

}l g (x ) - - g ' ( z ) ] Ix < 1 " t ~ z , . , n

e quindi ~ ass icurata l ' ipotes i XZ, H,n). Pe r la d ipendenza cont inua della solu~,ione del s is tema (E) (C) da H

basra osservare ch% se H' ~ un operatore da X in X~ soddisfacente le ipotesi iiiLm.), iVr.,.,), ar.,H.,~), ~L,.',n), 7L,~r',n) e vij~,..,n) , r isul tando, per ogni x ~ S r :

g(x) - - g'(x) = g(x) - - if(x) + Mr,,H, df~(L+H~ + g(x)) - - ~(L+H~ + if(x))]" +

+ ML,., n[n(L+Hz + if(z)) - - n(L+H'x + if{x))], si ha

)la(x) - a'(x)llx-< v. EI~-~,-,~M- II H L+ It II H z - - n ' z fr~,

ed ~ quindi verif icata l ' ipotes i ixz, H,a). Inf ine, per la d ipendenza cont inua della soluzione del s is tema (E) {C}

da L basra osservare che. so L' i~ un operatore l ineare da X in Xx soddisfa- cente le ipotesi iL,), iiiL,,/~), ivr/m) , :¢r/,H,n), ~L',H,n), YL',~,n), vi~',H,n) e tale che L'+ sia cont inue, con procedimento analogo ai precedent i , r i sul ta :

'x VJHII~L'"~ Illl L+-- L'+II I Ig(x) - -g( ) ] t z ~ 1 - - t~z,n,n

e quindi ~ garant i ta F ipotesi viiiL,~,,n).

Annali di Matematica 19

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