espacio estado 1
DESCRIPTION
espacio,estadoTRANSCRIPT
Espacio Estado –Modelamiento 1
Sistemas Dinámicos:
- Control
- Automatización
- Robótico
- Biomédico
- Economía
- Estadística
Objetivo: Representar los Sistemas Dinámicos por un descriptor denominado Espacio-Estado
Espacio de Estados – Conjunto de Ecuaciones Diferenciales de primer orden.
Ventajas:
- Información sobre el comportamiento Dinámico.
- Técnicas computacionales para solución de las ecuaciones.
- Diseño de Controladores.
- Tratamiento de Sistemas No Lineales.
-
Figura 1 Representación de Espacio de Estados
1
De acuerdo a la Física: el estado de un sistema dinámico es un conjunto de cantidades físicas cuyas especificaciones (en ausencia de excitaciones externas) determinan completamente la evolución del sistema.
Observando la Figura 1, tenemos:
1) Parte sin memoria (Memoryless)
+ = “funciones instantáneas”
2) Parte con memoria: Conjunto de Componentes que “guardan” las variables internas
Los dos tipos de memoria consideradas son:
- Sistemas Continuos:
- Sistemas Discretos :
Sistemas Continuos:
Sistemas Discretos:
Note que:
2
Ejemplo 1
Tenemos:
- Flujo de entrada u(t)
- Flujo de salida y(t)
- x volumen acumulado, luego y=h(x) - flujo de salida en función de x y de las características del líquido y del recipiente.
- La variación de volumen es :
Ejemplo 2 Masa – Resorte
Sabemos que: Ley de Newton
Objetivo: Ecuaciones diferenciales de 1er orden. Para eso, consideraremos la velocidad y la posición como variables de estado:
Luego:
3
Figura 2 Tanque
Tenemos, entonces, una representación en espacio estados con x1 y x2 como las variables de estado.
Figura 3 Diagrama de bloques del Sistema masa-resorte
Ejemplo 3 Motor Eléctrico con carga inercial
4
Figura 4 Motor Eléctrico con carga inercial
Motor: Condiciones ideales
- Torque proporcional de corriente ( )
- La fuerza electromotriz inducida y proporcional a la velocidad angular (f.e.m-V=k2w)
- La Potencia de entrada al motor es:
- La
Considerando 100% de eficiencia
Sabemos además que:
Finalmente
5
Este modelo es adecuado para controlar la velocidad. En el caso que se desee controlar la posición, debemos considerar el ángulo .
El diagrama de bloques toma la siguiente forma:
Figura 5 Diagrama de Simulación de la representación de Espacio de Estados del Motor
Ejemplo 4 Temperatura
Figura 6 Temperatura de 02 masas
Objetivo: Controlar T1 de la masa 1 y la T2 de la masa 2 por medio de la temperatura T 0
del recipiente. Metálico.
Consideraciones: La temperatura T0 es constante en toda la superficie metálica
Utilizando el circuito eléctrico mostrado en la siguiente figura:
6
Figura 7 Analogía Eléctrica del Sistema de Temperaturas
Y la siguiente tabla:
Sistema Térmico Sistema Eléctrico
Variables Símbolo Unidades Variables Símbolo Unidades
Temperatura
Flujo Térmico
Resist. Térmica
Capaci. Térmica
T
q
R
C
oC
cal/s
oC.s/cal
cal/deg
Tensión
Corriente
Resistencia
Capacitancia
V
I
R
C
V
A
F
Ecuación de Conducción
Ecuación de almacenamiento
Del circuito eléctrico y utilizando el análisis por nodos, tenemos:
7
Pasando a la forma de variables térmicas tenemos el modelo de espacio estado:
Ejemplo 5 Tanque de Guerra – cañon torre accionado hidráulicamente
Las ecuaciones de estado son:
Donde:
u – entrada de control para el servo.
v – velocidad angular de la torre
p – aceleración angular
q – posición de la servo-váñvula hidráulica
Km= ganancia del servomotor
J – momento de inercia de la torre.
Ejemplo 6 Circuito RLC
8
Las ecuaciones del circuito son:
La representación de espacio estado
Linealización
Para una determinada clase de sistemas no lineales y considerando las perturbaciones pequeñas, podemos encontrar un sistema lineal que se representa por:
Suponiendo en régimen permanente:
Podemos escribir como:
Que es una aproximación lineal basada en la expansión de Taylor.
9
Las ecuaciones pueden ser expandidas como:
Escribiendo para los xi
El mismo efecto para la expresión en y:
Si las ecuación original es invariante en el tiempo y Xo(t)=Xo y Uo(t)=Uo (punto de operación) son constantes la linealización es LTI.
De la forma mas compacta eliminando los términos de orden elevado:
Ejemplo: Lorenz
Las ecuaciones que describen el sistema de Lorenz son:
10
Donde el campo vectorial es:
Observe que invariante en el tiempo
Calculando el Jacobiano tenemos:
Los puntos de equilibrio son:
Haciendo las ecuaciones del campo vectorial iguales a cero:
De la segunda ecuación:
En la tercera ecuación tenemos:
11
Luego:
Los Jacobianos para los valores de los puntos de equilibrio son:
Ejemplo Actuador electro-estático
Figura 8 Análogo eléctrico del sistema de Temperatura
Parte Eléctrica
Parte Mecánica
Las ecuaciones diferenciales que gobiernan el sistema son:
12
Podemos definir las siguientes variables de estado:
Las ecuaciones de estado son:
Figura 9 Implementación en Simulink
Implementación en Matlab
13
% InputVin=external_input(t,SP1,SP2,t0); % Vin=0.01; % Input% Statesdydt(1) = (1/R)*(Vin-(y(1)*y(2))/(epsilon*A));dydt(2) = y(3);dydt(3) = -(1/m)*((y(1)*y(1))/(2*epsilon*A)+k*(y(2)-g0)+b*y(3));
function u = external_input(t,SP1,SP2,t0)% function u = external_input(t,SP1,SP2,t0) returns the value of a% step input starting at t0%if (t<=t0)u=SP1;elseu=SP2;end;
%Simulation of an Electrostatic Actuatorclc;close all;clear;dt=0.01;oldOpts=odeset;newOpts=odeset(oldOpts,'InitialStep',dt,'MaxStep',dt);% External valuestff=input('Final time [50] => ');if isempty(tff)tff=50;end;tspan=[0 tff];y0=input('Initial Condition (3 values) => ');if isempty(y0)y0=[0 0 0]';end;
Vin=input('Input (Step function) [0.01] : ');if isempty(Vin)Vin=0.01;end;t=(0:dt:tff)';[ans,y]=ode45(@eleactuator,t,y0,newOpts,0,Vin,0);figure(1);plot(t,y);title(sprintf('Nonlinear system driven by the inputx(t)=%gu(t)',Vin));xlabel('Time');ylabel('States');grid;yss=y(end,:); % Steady State% New simulation - t=0 just to make things easierKu=input('Step input over the operating point [-0.001 0.01] : ');
if isempty(Ku)Ku=[-0.001 0.01];end;t0=input('Start time of the input (step) [5] : ');if isempty(t0)t0=5;end;if t0>tfft0=tff/2;end;% Linearization
14
%% ParametersR=0.001; % Resistorepsilon=1; % PermittivityA=100.0; % Aream=1.0; % Massdo
B=jacobian(f,[V]);% Fixed Pointx3=0;aux=subs(solve(f(1),'X1'),'V',Vin);aux=subs(subs(f(3),'X1',aux),'X3',x3);x2=solve(aux,'X2');disp(' ');disp('Check whether the fixed points for X2 are complex or not');eval(x2)disp('I am assuming that they are not and therefore taking theabsolute value of them.');x2=abs(eval(x2));x1=zeros(3,1);for i=1:3x1(i)=eval(solve(subs(subs(f(1),'X2',x2(i)),'V',Vin),'X1'));end;% Linear System - I am choosing the first fixed pointa=subs(subs(subs(subs(A,'X1',x1(1)),'X2',x2(1)),'X3',x3),'V',Vin);b=subs(subs(subs(subs(B,'X1',x1(1)),'X2',x2(1)),'X3',x3),'V',Vin);c=eye(3);d=0;sys=ss(a,b,c,d);% Simulation of the linearized systemfor j=1:length(Ku)[ans,y1]=ode45(@eleactuator,t,yss,newOpts,Vin,Vin+Ku(j),t0);i=find(t>=t0);u=zeros(size(t));u(i)=Ku(j)*ones(size(i));yl=lsim(sys,u,t);figure(1+j);subplot(3,1,1);plot(t,y1(:,1),t,yl(:,1)+yss(1));title(sprintf('Nonlinear versus Linear - operating point - a step of %g applied',Ku(j)));xlabel('Time');ylabel('Output');grid;legend('Nonlinear','Linear');subplot(3,1,2);plot(t,y1(:,2),t,yl(:,2)+yss(2));xlabel('Time');ylabel('Output');grid;legend('Nonlinear','Linear');subplot(3,1,3);plot(t,y1(:,3),t,yl(:,3)+yss(3));xlabel('Time');ylabel('Output');grid;legend('Nonlinear','Linear');end;EduardoEdisp(' ');disp('We can clearly see that the linearization only works for small');disp('values of perturbations around the operating point');Eduardoduardo
Fuente: Introducao ao Controle em Espaco de Estados -
15
Conceitos BasicosEduardo M. A. M. MendesDELT - UFMGCurso de Engenharia de Controle e Automacao Universidade Federal de Minas Gerais
Eduardo
16