Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales

E. Espinoza

F-351 Escuela de Física, UNAH

26 de agosto de 2011

E. Espinoza

Espacios Vectoriales

Contenido a Desarrollar

1 Espacios Vectoriales

Propiedades de la Suma

Propiedades de la Multiplicación por escalar

E. Espinoza

Espacios VectorialesPropiedades de la SumaPropiedades de la Multiplicación por escalar

Espacios Vectoriales

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�Un Espacio Vectorial V en el Cuerpo C, es un conjunto de objetos

denotados por |a〉 , |b〉 , |x〉 ,... llamados vectores tal que la suma in-

terna y el producto externo están de�nidos y cumplen una serie de

propiedades.

Notar que:

Un Espacio Vectorial es una 4-tupla: vectores, cuerpo (o

campo), suma interna, multiplicación por escalar

{V,C,⊕, ·}Los elementos del cuerpo o campo se llaman escalares

E. Espinoza

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1 Espacios Vectoriales

Propiedades de la Suma

Propiedades de la Multiplicación por escalar

E. Espinoza

Espacios VectorialesPropiedades de la SumaPropiedades de la Multiplicación por escalar

Propiedades de la Suma

Para cada par de vectores |a〉 y |b〉 en V, corresponde un

vector |c〉 = |a〉 + |b〉 también en V, llamado la suma de |a〉y |b〉 talque se satisfacen las siguientes propiedades:

Conmutativa: |a〉+ |b〉= |b〉+ |a〉Asociativa:|a〉 +(|b〉 + |c〉 )=(|a〉 + |b〉 )+ |c〉Existencia del elemento neutro: existe un único

vector |0〉 ∈V ,llamado el vector cero, tal que

|a〉 + |0〉 = |a〉para todo|a〉Existencia del Elemento Opuesto: Para cada

vector|a〉 ∈V corresponde un único vector −|a〉 también en V,

tal que|a〉 +(−|a〉 = |0〉 )

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1 Espacios Vectoriales

Propiedades de la Suma

Propiedades de la Multiplicación por escalar

E. Espinoza

Espacios VectorialesPropiedades de la SumaPropiedades de la Multiplicación por escalar

Propiedades de la Multiplicación por escalar

Para cada número complejoα (llamado escalar) y cada vector |a〉 enV corresponde un vector |v〉 = α |a〉 en V, tal que se cumplen las

siguientes propiedades:

Asociativa:(αβ ) |a〉 = α (β |a〉 )Existencia del elemento neutro:1 |a〉 = |a〉 ∀ |a〉 ∈V

Distributiva respecto a la suma en

C:(α +β ) |a〉 = α |a〉 +β |a〉Distributiva respecto a la suma en

V:α ( |a〉 + |b〉= α |a〉 +α |b〉 )

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Espacios VectorialesPropiedades de la SumaPropiedades de la Multiplicación por escalar

Consideraciones y preguntas

Si se cambia del campo complejo al real, el espacio vectorial es

real

Cómo cambiría la de�nición anterior si se cambia el campo?

Qué determina que un conjunto de vectores sea un espacio

vectorial

VER EJEMPLOS Y CONTRA EJEMPLOS

REVISAR EJEMPLOS DE LA GUIA ANEXA

E. Espinoza