Unidad 3

espacios vectoriales

Objetivos:

Al inalizar la unidad, el alumno: Describir las caractersticas de un espacio vectorial. Identiicar las propiedades de los subespacios vectoriales. Ejempliicar los conceptos de espacio y subespacio vectorial. Identiicar las caractersticas de los vectores linealmente independientes y linealmente dependientes.

Construir el wronskiano.

lgebralineal

105

Introduccin

El estudio de vectores comenz con el trabajo del gran matemtico irlands

sir William Hamilton (18051865). Aunque en su poca se consider que

los vectores no tenan ninguna utilidad, en la actualidad se usan cada vez

ms frecuentemente en fsica clsica y moderna y aun en las ciencias biolgicas

y sociales1.

En la unidad 1 se manej a los vectores como un conjunto ordenado o n ada

de nmeros reales, y como matrices de orden 1n, ejemplos de ellos son los puntos del plano cartesiano R2 y del espacio R3.

Para muchas aplicaciones fsicas (incluyendo nociones de fuerza, velocidad,

aceleracin y momento) es importante pensar en el vector no como un punto

sino como una entidad que tiene longitud y direccin.. Es decir, vamos a representar los vectores (x,y) de R2 como una flecha que parte del origen y que

termina en el punto (x,y).

Figura 3.1.

A lo largo de esta unidad definiremos espacios vectoriales cuyos

elementos no sean flechas sino objetos ms abstractos; sin embargo, siempre regresaremos a R2 como ejemplo con el fin de visualizar los conceptos, propiedades o resultados.

3.1. Definicin de espacio vectorial

La notacin de los vectores ser con letras minsculas en negritas y la de

los escalares reales con letras minsculas.

La siguiente definicin nos permite tener una generalizacin de espacios

vectoriales donde los objetos no necesariamente son neadas de puntos de Rn.

1Vase el libro de Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, 1972.

106

Unidad 3

Definicin 3.1. Sea V un conjunto de objetos, junto con dos operaciones

llamadas suma y multiplicacin por un escalar. Entonces V se llama espacio

vectorial real si se satisfacen los siguientes axiomas:

i) Si x V y y V entonces la suma x + y V. (Cerradura bajo la suma.)ii) Para todo x, y y z en V, (x + y) + z = x + (y + z). (Ley asociativa de la suma.)

iii) Existe un vector 0 V tal que para todo x V, x + 0 = 0 + x = x. (El 0 se llama vector cero o idntico aditivo.)

iv) Si x V existe un vector x en V tal que x + (x) = 0 (x se llama inverso aditivo de x.)v) Si x y y estn en V, entonces x + y = y + x. (Ley conmutativa de la suma de vectores.)

vi) Si x V y es un escalar, entonces x V. (Cerradura bajo la multiplicacin por un escalar.)vii) Si x y y estn en V y es un escalar, entonces (x + y) = x + y (Primera ley distributiva.)

viii) Si x V y y son escalares, entonces (+) x = x + x (Segunda ley distributiva.)

ix) Si xV y y son escalares, entonces (x) = ()x (Ley asociativa de la multiplicacin por escalares.)

x) Para cada vector x V, 1x = x.

3.2. Ejemplos de espacios vectoriales

Vamos a considerar en este apartado diversas clases de ejemplos de

conjuntos que son espacios vectoriales y otros que no lo son:

1. Consideremos los vectores en el plano cartesiano R2. Vamos a probar que

R2 es un espacio vectorial:

Tomando los vectores a = (x1, y

1) y b = (x

2, y

2), entonces definimos la suma

de a y b como a + b = (x1, y

1) + (x

2, y

2) = (x

1 + x

2, y

1 + y

2) R2 y por lo

tanto satisface i). Los puntos ii) hasta el x) se obtienen de la definicin de suma

de matrices, ya que los puntos de R2 se consideran matrices de 12. Podemos generalizar este resultado a las nadas reales (x

1, x

2,, x

n) de Rn.

2. Sea V = {0}. Es decir, V consiste slo del nmero 0. Vamos a demostrar

que V es un espacio vectorial que recibe el nombre de espacio vectorial

trivial.

lgebralineal

107

i) Como 0 + 0 = 0 Vii) (0 + 0) + 0 = 0 = 0 + (0 + 0)

iii) 0 + 0 = 0

iv) 0 + (0) = 0

v) 0 + 0 = 0 + 0

vi) 0=0 Vvii) (0+0)=0=0+0viii) (+)0=0=0+0ix) (0)=0=0=()0x) 1(0) = 0

Por lo tanto, V es un espacio vectorial.

3. Sea V = {1}. Tal que los elementos de V pertenecen a los naturales.

Este no es un espacio vectorial ya que 1 + 1 = 2 V, es decir no es cerrado bajo la suma.

4. El conjunto de puntos de R2 que estn en una recta que pasa por el

origen.

Sea V = {(x,y) R2, tales que y = mx, donde m es un nmero real fijo}.Sean x = (x

1, y

1) y y = (x

2, y

2) en V. Entonces y

1 = mx

1 y y

2 = mx

2 y

podemos escribir a x y y como sigue: x = (x1, mx

1) y y = (x

2, mx

2)

i) x + y = (x1, mx

1) + (x

2, mx

2) = (x

1 + x

2, mx

1 + mx

2); si factorizamos el

segundo trmino obtenemos mx1 + mx

2 = m(x

1 + x

2), entonces x + y =

(x1 + x

2, m[x

1 + x

2]) que es un elemento de V.

iv) Supn que x = (x, y) est en V, entonces y = mx. Definimos x = (x, y)

de donde obtenemos que y = (mx) = m(x). Por lo tanto x est en V.

De igual manera se prueban todas las dems propiedades ya que R2 es un

espacio vectorial.

5. El conjunto de puntos de R2 que estn en una recta que no pasa por el

origen no es un espacio vectorial.

Sea V = {(x,y) R2, tales que y = mx + b, donde m y b son nmeros reales fijos}.

108

Unidad 3

Si x = (x1, y

1) y y = (x

2, y

2) en V, entonces y

1 = mx

1 + b y y

2 = mx

2 + b, de

donde x + y = (x1, mx

1 + b) + (x

2, mx

2 + b) = (x

1 + x

2, mx

1 + b + mx

2 + b) , pero

mx1 + b + mx

2 + b = m(x

1 + x

2) + 2b, y por lo tanto este elemento no est en V,

es decir V no es cerrado bajo la suma.

6. Sea Mmn el conjunto de matrices de mn con entradas en R.

Por las propiedades de las matrices de suma y producto por un escalar es

claro que el conjunto Mmn es un espacio vectorial.

7. El conjunto Pn, formado por polinomios de coeficientes reales de grado

menor o igual a n.

Si p Pn, entonces p = a

nxn + a

n1xn1 + + a

1x + a

0 donde todas las a

i son

reales.

Si p y q Pn, donde q = b

nxn + b

n1xn1 + + b

1x + b

0 entonces, p + q =

(an + b

n)x

n + (a

n1 + b

n1) xn1 + (a

1 + b

1)

x + (a

0 + b

0) P

n.

Las propiedades ii) y v) a x) son consecuencia de la suma y producto de

polinomios.

iii) Definimos el polinomio 0 = 0xn + 0xn1 + + 0x + 0 Pn

iv) Definimos el polinomio p = anxn a

n1xn1 a

1x a

0 P

n

Por lo que podemos concluir que Pn es un espacio vectorial.

8. Sea C [0,1] el conjunto de todas las funciones continuas de valores reales

definidas en el intervalo [0,1].

Si f y g C [0,1] definimos ( f + g) (x) = f(x) + g(x) y (f ) (x) = [ f(x)].Como la suma de funciones continuas es continua, el axioma i) se cumple;

los otros axiomas se cumplen si definimos las funciones cero como 0(x) = 0; y

(f )(x) = [ f(x)]. Por lo que C [0,1] es un espacio vectorial.

9. Sea H el conjunto de las matrices de 22 de la forma 00 0

donde 0.Consideremos las matrices A =

0 1

0 0

y B = 0 10 0 tenemos que A, B 0y sin embargo A+B =

0 1

0 0

0 1

0 0

0 0

0 0

+ = . Como la matriz cero 0 00 0 no est en H, podemos asegurar que H no es un espacio vectorial.

lgebralineal

109

10. Sea F el conjunto de matrices de 22 definida como 00 0

y sean y escalares. Hagamos un primer caso, en el cual tenemos una matriz 0 5

0 0

de la cual =5 y sea =2, tenemos que al efectuar el producto del escalar por la matriz se tiene que: ( )2

0 5

0 0

0 10

0 0 = , esta matriz es un espacio

vectorial de F, ya que se define para cualquier matriz de 2 2.Un segundo caso es que tenemos una matriz de la forma

0 0

0 0

y =6 un escalar, que al efectuar el producto del escalar por la matriz tenemos:

0 0

0 0

que es la matriz cero, que tambin es un espacio vectorial de F.

Un tercer caso es que se tiene la matriz 0 2

0 0

y un escalar =0, de igual manera al efectuar el producto de este escalar por la matriz tenemos

( )00 2

0 0

0 0

0 0 = , de lo que se observa que se obtiene la matriz cero, que es

un espacio vectorial de F.

De los ejemplos anteriores se puede ver demostrado el siguiente teorema.

Teorema 3.1. Sea V un espacio vectorial. Entonces:

i) 0 = 0 para todo escalar ii) 0 x = 0 para todo x en V

iii) Si x = 0, entonces = 0 o x = 0 (o ambos)iv) (1)x = x para todo x en V.

110

Unidad 3

Ejercicio 1

Menciona si los siguientes conjuntos son o no espacios vectoriales. En caso

de no serlo menciona cul de las propiedades es la que no se cumple:

1. El conjunto de puntos de R2 de la forma {(x,y) R2, tales que y = 3x}2. El conjunto de puntos de R2 de la forma {(x,y) R2, tales que y = 3x + 2}3. Los puntos de R2 que se encuentran en el primer cuadrante, es decir {(x,y) R2, tales que x 0, y 0}.4. El conjunto de matrices de orden 22 que tienen la forma 0

0

a

b

, a, b escalares. 5. R2 con la suma definida por (x

1, y

1) + (x

2, y

2) = (x

1 + x

2 + 1, y

1 + y

2 + 1),

y la multiplicacin por escalar ordinaria.

6. El conjunto de vectores (x, y, z) en R3 donde 2x y 12z = 0.

3.3. Subespacios vectoriales

En la seccin anterior se vio que tanto R2 como un subconjunto de R2 son

espacios vectoriales, como ejemplo sea V = {(x, y) tales que y = mx}; ve los

ejemplos 1 y 4 seccin 3.2. Es evidente que VR2, y por lo tanto el espacio vectorial R2 tiene un subconjunto que tambin es espacio vectorial.

Definicin 3.2. Sea H un subconjunto no vaco de un espacio vectorial V.

Entonces H se llama subespacio vectorial de V si H es un espacio vectorial

bajo las operaciones de suma y multiplicacin por escalar definidas en V.

Se puede decir que un subespacio vectorial H hereda las operaciones del

espacio vectorial V. De donde se desprende el siguiente teorema:

Teorema 3.2. Un subconjunto no vaco H de un espacio vectorial V es un

subespacio vectorial de V si se cumplen las propiedades de cerradura:

i) Si x H y y H, entonces x + y H.ii) Si x H , entonces x H para todo escalar .

lgebralineal

111

Notas:

1. Este teorema nos dice que basta probar que la suma de elementos de H y

el producto por un escalar estn en H para que H sea un subespacio vectorial.

2. Se encuentra contemplado en el resultado anterior que Todo subespacio de un espacio vectorial contiene a 0.

Ejemplo 1

a) Para cualquier espacio vectorial V, el subconjunto H = {0} es un

subespacio vectorial llamado subespacio trivial.

i) 0 + 0 = 0 H

ii)0 = 0 HPor lo tanto H = {0} es subespacio vectorial de V.

b) Sea V cualquier espacio vectorial, entonces V es un subespacio de s

mismo.

c) Sea H = {(x, y, z) R3 tales que x = at, y = bt, z = ct }, entonces H es un subconjunto de R3.

i) Sean x = (x1, y

1, z

1) y y = (x

2, y

2, z

2) H, entonces

x1 = at

1, y

1 = bt

1, z

1 = ct

1 y x

2 = at

2, y

2 = bt

2, z

2 = ct

2

x + y = (x1 + x

2, y

1 + y

2, z

1 + z

2), de donde tenemos que:

x1 + x

2 = at

1 + at

2 = a(t

1 + t

2)

y1 + y

2 = bt

1 + bt

2 = b(t

1 + t

2)

z1 + z

2 = ct

1 + ct

2 = c(t

1 + t

2) y por lo tanto x + y H

ii) Sea x = (x1, y

1, z

1)H y un escalar, entonces x

1 = at

1, y

1 = bt

1, z

1 = ct

1 x = (x1, y

1, z

1) = (x

1, y

1, z

1) de donde tenemos que:

x1 = (at

1) = a(t

1); y

1 = (bt

1) = b(t

1); z

1 = (ct

1) = c(t

1)

y por tanto, x H

112

Unidad 3

iii) 0 = (0, 0, 0) H ya que 0 = 0t.

Por lo tanto podemos asegurar que H es un subespacio vectorial de R3.

d) Consideremos el espacio vectorial Mnn y sea H = {A Mnn A es

invertible}.

(Recordemos que una matriz es invertible si su determinante es distinto de

cero).

Consideremos la matriz cero de Mnn, como su determinante es cero no

es invertible, por lo tanto la matriz cero no est en H y en consecuencia H

no es subespacio vectorial de Mnn

e) Sea H = {(x, y, z) R3 tales que z = 1} es un subconjunto de R3.i) Sean x = (x

1, y

1, z

1) y y = (x

2, y

2, z

2) H, entonces z

1 = z

2 = 1

x + y = (x1 + x

2, y

1 + y

2, z

1 + z

2) de donde tenemos que:

z1 + z

2 = 1 + 1 = 2 y por lo tanto, x + y H y H no es subespacio vectorial.

El siguiente teorema nos dice que podemos intersectar espacios vectoriales

para obtener otros subespacios vectoriales.

Teorema 3.3. Si H1 y H

2 son subespacios vectoriales de V.

Entonces H1 H2 es un subespacio vectorial de V.

Ejemplo 2

Sean H1 = {(x, y) R2, tales que 2x y = 0} y

H2 = {(x, y) R2, tales que x + 2y = 0} subespacios vectoriales de R2

entonces, por el teorema anterior

H1 H2 = {(x, y) R2, tales que 2x y = 0 y x + 2y = 0} es un subespacio

vectorial de R2, por lo tanto H1 H2 = {(0,0)} es subespacio vectorial.

lgebralineal

113

Ejercicio 2

Determina en cada caso si el subconjunto dado H del espacio vectorial V es

un subespacio vectorial de V.

1. V = R2: H = {(x, y) tales que x = y}.

2. V = R2: H = {(x, y) tales que x2 + y2 1}.3. V = M

nn: H = {A Mnn donde A es triangular superior}.4. V = M

22: H = A M A a bb c = 2 2 tal que .3.4. Combinacin lineal y vectores generadores

de un espacio vectorial

En esta seccin veremos cundo un conjunto de vectores puede generar

un espacio vectorial. Para esto necesitaremos los conceptos de combinacin

lineal, conjunto que genera y espacio generado.

Definicin 3.3. Sean v1, v

2, ... ,v

n vectores en un espacio vectorial V.

Entonces cualquier vector de la forma v=a1v

1 + a

2v

2 + ... + a

nv

n

donde a1, a

2, ..., a

n son escalares, se llama combinacin lineal de v

1, v

2, ..., v

n.

Ejemplo 3

a) Consideremos los siguientes vectores en R2, (1, 0) y (0, 1), entonces

cualquier vector de R2 se puede escribir como combinacin lineal de (1, 0) y (0, 1)

ya que

(x, y) = x (1, 0) + y (0, 1).

b) En R3, (7, 7, 7) es una combinacin lineal de (1, 2, 4) y (5, 3, 1) ya

que (7, 7, 7) = 2(1, 2, 4) (5, 3, 1).

114

Unidad 3

c) Consideremos en M23 = + 3 2 81 9 3 3 1 0 41 1 5 2 0 1 22 3 6 por

lo que 3 2 81 9 3 es una combinacin lineal de 1 0 41 1 5 y 0 1 22 3 6 .

d) Cualquier polinomio de Pn (polinomios de grado menor o igual a n) se

puede escribir como combinacin lineal de los polinomios: 1, x, x2, x3, ... xn1, xn.

Definicin 3.4. Un conjunto de vectores {v1, v

2, ..., v

n} de V generan a V si

todo vector de V se puede escribir como combinacin lineal de ellos. Es decir, si

para todo v en V existen a1, a

2, ..., a

n, escalares de modo que v = a

1v

1 + a

2v

2

+ ... + anv

n.

Ejemplo 4

a) En el ejemplo 3a) de la definicin 3.3. vimos que cualquier vector de R2

poda escribirse como combinacin lineal de los vectores i = (1, 0) y j = (0, 1)

de R2 ; por lo tanto podemos decir que {i, j} generan a R2.

b) De igual manera podra probarse que los vectores de R3:

i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1) generan a todo R3.

c) Consideremos a b

c d

en M22, entonces:a b

c da b c d

= + + + 1 00 0 0 10 0 0 01 0 0 00 1 por lo que podemos decir que las matrices

1 0

0 0

, 0 10 0 , 0 01 0 y 0 00 1 generan a M22.d) Los polinomios 1, x, x2, x3, ... xn1, xn generan a P

n (vase ejemplo 3

inciso d).

e) El conjunto de vectores de R2 H = {(1, 1), (3, 3)} no puede generar a R2.

lgebralineal

115

Considera el vector (1, 0) de R2, si H generara a R2, entonces existiran a y b

escalares de modo que (1, 0) = a(1, 1) + b(3, 3) de donde tenemos el siguiente

sistema de ecuaciones:

a 3b = 1 y a 3b = 0 pero el sistema no tiene solucin, por lo tanto

H no genera a R2.

f) Consideremos el conjunto H = {(2, 3), (1, 2)}. Vamos a ver si H genera a R2.

Sea (x, y) en R2, si H generara a R2, existiran a y b de modo que (x, y) =

a(2, 3) + b(1, 2), de donde obtenemos el sistema de ecuaciones:

2a + b = x, 3a 2b = y

resolviendo el sistema obtenemos que ax y

bx y= + = 2

7

3 2

7, , de donde

podemos asegurar que H s genera a R2.

De acuerdo con los ejemplos anteriores, no podemos suponer que cualquier

conjunto de vectores genera a todo el espacio vectorial. La siguiente definicin

nos aclara este asunto:

Definicin 3.5. Sean {v1, v

2, ..., v

k} k vectores de un espacio vectorial V.

Denotado por gen {v1, v

2, ..., v

k}, el espacio generado por {v

1, v

2, ..., v

k} es el

conjunto de todas las combinaciones lineales de v1, v

2, ..., v

k, es decir,

gen {v1, v

2, ..., v

k} = {v V tales que v = a

1v

1 + a

2v

2 + ... + a

kv

k}

Aqu surge una pregunta: el espacio generado por un conjunto de vectores

es un espacio vectorial? El siguiente teorema contesta esa pregunta.

Teorema 3.4. Si v1, v

2, ..., v

k son k vectores de un espacio vectorial V,

entonces

gen {v1, v

2, ..., v

k} es un subespacio vectorial de V.

Ejemplo 5

a) Sean v1 = (2, 1, 4) y v

2 = (4, 1, 6) elementos de R3 .

Sea H = gen {v1, v

2} = {a

1v

1 + a

2v

2} se tiene que si (x, y, z) est en H, entonces

116

Unidad 3

(x, y, z) = a1v

1 + a

2v

2 = a

1(2, 1, 4) + a

2(4, 1, 6) = (2a

1 + 4a

2, a

1 + a

2, 4a

1 + 6a

2)

de donde obtenemos x = 2a1 + 4a

2, y = a

1 + a

2 ,

z = 4a

1 + 6a

2 para algunas

a1 y a

2.

Usaremos el teorema 3.2 para probar que H es un subespacio vectorial de R3.

i) Sean x = (x1, y

1, z

1) y y = (x

2, y

2, z

2) elementos de H, entonces existen

a1, a

2, b

1 y b

2 tales que x

1 = 2a

1 + 4a

2 , y

1 = a

1 + a

2, z

1 = 4a

1 + 6a

2 y x

2 = 2b

1

+ 4b2, y

2 = b

1 + b

2, z

2 = 4b

1 + 6b

2

entonces x + y = (x1 + x

2, y

1 + y

2, z

1 + z

2) de donde,

x1 + x

2 = 2(a

1 + b

1) + 4( a

2 + b

2)

y1 + y

2 = (a

1 + b

1) + (a

2 + b

2)

z1 + z

2 = 4(a

1 + b

1) + 6(a

2 + b

2)

por lo cual x + y est en H.

ii) Sea un escalar, entonces x = (x1, y

1, z

1) = (x

1, y

1, z

1) de donde

x1 = (2a

1 + 4a

2 ) = 2a1 + 4a2 y

1 = (a

1 + a

2 ) = a

1 + a

2 z1 = (4a

1 + 6a

2) = 4a1 + 6a2

por lo cual x est en H. Por lo tanto, H es un subespacio vectorial de R3.

El siguiente teorema nos indica que si agregamos un vector a un conjunto

generador, el conjunto que resulta tambin es generador del mismo espacio

vectorial.

Teorema 3.5. Sean {v1, v

2, ..., v

n, v

n+1} vectores de un espacio vectorial V.

Si {v1, v

2, ..., v

n} genera a V, entonces {v

1, v

2, ..., v

n, v

n+1} tambin genera a V.

Ejemplo 6

Sean v1=(1,0) y v

2=(0,2) elementos de R2.

lgebralineal

117

Propongamos que sea F el espacio vectorial generado por v1 y v

2 de tal

manera que:

F= gen {v1, v

2} = {v

1 + v2} y sean y dos escalares, de tal manera que:

x x1 2,( )= ( )+ ( )= + +( )= ( ) 1 0 0 2 0 0 2 2, , , ,por lo que x

1= y x

2=2 que pertenecen a R2, entoces v

1 y v

2 generan a F.

Sea v3 = (3,4) tendremos que

x x1 2,( )= ( )+ ( )+ ( )= + + + +( )= + +( ) 1 0 0 2 3 4 0 3 0 2 4 3 2 4, , , , , de donde x

1=+3 y x

2=2+4 que son elementos de R2 por lo que v

1, v

2

y v3 son vectores que generan a F.

Ejercicio 3

1. Responde si son falsas o verdaderas las siguientes afirmaciones:

a) (3, 5) est en el espacio generado por {(1, 1), (2, 4)}.

b) (1, 2, 3) est en el espacio generado por {(2, 0, 4), (1, 0, 3)}.

c) Si {(1, 2), (2, 3)} genera a R2, entonces {(1, 2), (2, 3), (2, 3)} tambin

genera a R2.

2. Determina si los siguientes conjuntos de vectores generan el espacio

vectorial dado:

a) En R2: H = {(1, 2), (3, 4)}.

b) En R2: K = {(1, 1), (2, 2), (5, 5)}.

c) En R3: M = {(1, 1, 2), (1, 1, 2), (0, 0, 1)}.

d) En M22: 1 0

1 0

, 1 20 0 , 4 13 0 , 2 56 0 .

118

Unidad 3

3.5. Vectores linealmente dependientes e

independientes

En la seccin anterior vimos cmo un conjunto de vectores poda o no

generar a todo un espacio vectorial. En esta seccin veremos qu condiciones

debe cumplir un conjunto de vectores para asegurar que genere un espacio

vectorial; para ello necesitaremos introducir los conceptos de conjunto

linealmente independiente y dependiente.

Definicin 3.6. Sean {v1, v

2, ..., v

n} n vectores de un espacio vectorial V.

Entonces se dice que los vectores son linealmente independientes si la nica

combinacin lineal de ellos igual a cero, es aquella cuyos escalares son cero.

Es decir, si a1v

1 + a

2v

2 + ... + a

nv

n = 0 entonces a

1 = a

2 = a

3 = ... = a

n = 0.

Definicin 3.7. Sean {v1, v

2, ..., v

n} n vectores de un espacio vectorial V.

Entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes si existe una

combinacin lineal de ellos igual a cero, cuyos escalares no son todos cero.

Es decir existen a1, a

2, a

3,... ,a

n no todas cero tales que a

1v

1 + a

2v

2 + ... + a

nv

n = 0.

Ejemplo 7

a) Consideremos los siguientes vectores en R4. v1 = (2, 1, 0, 3) y v

2 = (6,

3, 0, 9).

Vamos a tomar una combinacin lineal de ellos igual a cero a1v

1 + a

2v

2 = 0.

Entonces a1(2, 1, 0, 3) + a

2(6, 3, 0, 9) = (0, 0, 0, 0), por lo tanto tenemos

el sistema

2 6 0

3 0

3 9 0

1 2

1 2

1 2

a a

a a

a a

= + = = que si a1 = 3 y a2 = 1 se cumple la igualdad, por lo tanto v

1 y v

2 son linealmente dependientes.

b) Consideremos los vectores en R3. v1 = (1, 2, 4) y v

2 = (2, 5, 3).

Al tomar una combinacin lineal igual a cero b1v

1 + b

2v

2 = 0 tenemos que

b1(1, 2, 4) + b

2(2, 5, 3) = (0, 0, 0) de donde obtenemos el sistema

b b

b b

b b

1 2

1 2

1 2

2 0

2 5 0

4 3 0

+ =+ = = cuya solucin es b1 = b2 = 0,

lgebralineal

119

por lo tanto v1 y v

2 son linealmente independientes.

c) Determinar si los vectores de R3 v1 = (1, 3, 0) , v

2 = (3, 0, 4) y v

3 =

(11, 6, 12) son linealmente independientes o dependientes.

Consideremos una combinacin lineal de ellos igual a cero,

c1(1, 3, 0) + c

2(3, 0, 4) + c

3(11, 6, 12) = (0, 0, 0), entonces tenemos el

sistema de ecuaciones

c c c

c c

c c

1 2 3

1 3

2 3

3 11 0

3 6 0

4 12 0

+ + = =+ = de donde obtenemos que c c

c c

1 3

2 3

2 0

3 0

+ =+ = haciendo c

3 = 1 obtenemos c

2 = 3 y c

1 = 2, por lo tanto v

1, v

2 y v

3 son

linealmente dependientes.

Cuntos vectores deber tener un conjunto para ser linealmente

dependiente?

Teorema 3.6. Un conjunto de m vectores en Rn siempre es linealmente

dependiente si m > n.

Ejemplo 8

Consideremos el conjunto H = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,2,3)} de 4 vectores

de R3 y una combinacin lineal de ellos igual a cero.

a (1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) + d(1,2,3) = (0,0,0) entonces tenemos que:

a d

b d

c d

+ =+ =+ =0

2 0

3 0

de donde obtenemos

a d

b d

c d

= = = 23 el sistema tiene una infinidad de soluciones y por lo tanto el conjunto H es linealmente dependiente.

Corolario 3.1. Un conjunto de vectores linealmente independientes en Rn

contiene a lo ms n vectores.

Consideremos ahora un sistema homogneo (definicin 2.2.) de m ecuaciones

con n incgnitas.

120

Unidad 3

a c a c a c

a c a c a c

a c a

n n

n n

m m

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1

0

0

+ + + =+ + + =+

...

...

22 2 0c a cmn n+ + =

y sea la matriz asociada

A=

a a a

a a a

a a a

n

n

m m mn

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

...

entonces tenemos el siguiente resultado.

Teorema 3.7. Las columnas de A, consideradas como vectores, son

linealmente dependientes si y slo si el sistema homogneo asociado tiene

soluciones diferentes de cero.

Ejemplo 9

Considera el sistema homogneo x x x x

x x x x

1 2 3 4

1 2 3 4

2 2 0

3 7 4 0

+ + =+ + + = y su matriz asociada A =

1 2 1 2 0

3 7 1 4 0

sus columnas son linealmente dependientes (4 vectores en R2, teorema 3.6) por lo tanto, el sistema homogneo tiene ms

de una solucin no trivial. Vamos a encontrarla: Reduciendo por renglones

obtenemos 1 0 9 6 0

0 1 4 2 0

de donde el sistema asociado es x x x

x x x

1 3 4

2 3 4

9 6 0

4 2 0

+ =+ = despejamos x1 y x2 x x x

x x x

1 3 4

2 3 4

9 6

4 2

= = +Se ve que este sistema tiene un nmero infinito de soluciones que se

pueden escribir como combinacin lineal de los vectores columna:

lgebralineal

121

x

x

x

x

x x

x x

x

x

x

1

2

3

4

3 4

3 4

3

4

9 6

4 2

=

+

= 33 4

9

4

1

0

6

2

0

1

+

x

. Comprobaremos que

9

4

1

0

y

6

2

0

1

son soluciones linealmente independientes del sistema original.

Vamos a sustituir cada una de ellas en el sistema original:

9 + 2(4) 1 + 2(0) = 9 8 1 + 0 = 0

6 + 2(2) 0 + 2(1) = 6 + 4 + 2 = 0

3(9) + 7(4) + 1 + 4(0) = 27 28 + 1 + 0 = 0

3(6) + 7(2) + 0 + 4(1) = 18 + 14 + 4 = 0

por lo tanto (9, 4, 1, 0) y (6, 2, 0, 1) son soluciones del sistema original.

Probaremos ahora que son linealmente independientes:

Tomemos una combinacin lineal de ellos igual a cero:

a(9, 4, 1, 0) + b(6, 2, 0, 1) = 0

entonces

9 6 0

4 2 0

0

0

a b

a b

a

b

= + === de donde

a

b

== 00

por lo que (9, 4, 1, 0) y (6, 2, 0, 1) son linealmente independientes.

De aqu se desprende el siguiente teorema que agrupa varios resultados.

122

Unidad 3

Teorema 3.8. Sea A una matriz de nn. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

i) A es invertible.

ii) La nica solucin al sistema homogneo Ax = 0 es la solucin trivial.

iii) El sistema Ax = b tiene una solucin nica.

iv) A es equivalente a la matriz identidad.

v) det A 0.vi) Las columnas de A (y sus renglones) son linealmente independientes.

Como consecuencia de los teoremas 3.5 y 3.6 tenemos el siguiente

resultado que nos ser muy til en la siguiente unidad.

Teorema 3.9. Cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes

en Rn genera a Rn.

Como consecuencia de los teoremas 3.8 y 3.9 tres vectores en R3 generan a

R3, si y slo si, su determinante es diferente de cero.

Ejemplo 10

a) Los vectores (2, 1, 4), (1, 0, 2) y (3, 1, 5) generan a R3 ya que su

determinante

2 1 3

1 0 1

4 2 5

= 2(2) 1(5+4) +3(2) = 1 y por lo tanto son linealmente independientes.

b) En M23 sean A1 = 1 0 23 1 1

, A2 = 1 1 42 3 0 y A3 = 1 0 11 2 1 Determinar si A

1, A

2 y A

3 son linealmente independientes o dependientes.

Suponga que c1A

1 + c

2A

2 + c

3A

3 = 0,

entonces c c c1 2 31 0 2

3 1 1

1 1 4

2 3 0

1 0 1

1 2 1

0

+ + = 00 00 0 0

lgebralineal

123

de donde c c c c c c c

c c c c c c c c

1 2 3 2 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 3

2 4

3 2 3 2

0 0 0

0 0

+ ++ + + + + = 00 por lo tanto, la nica solucin es c

1 = c

2 = c

3 = 0 y las matrices son

linealmente independientes.

Ejercicio 4

1. Determina si el conjunto de vectores dado es linealmente dependiente o

independiente:

a) {(1, 2), (1, 3)}

b) {(2, 1, 4), (4, 2, 7)}

c) {(1, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

d) {(3, 4, 2), (7, 1, 3), (1, 2, 8)}

e) En P2: 1x, x

f) En M22: 2 1

4 0

, 0 31 5 , 4 17 5 3.6. El wronskiano

En esta seccin estudiaremos un caso especial de espacio vectorial que es

C 1[0,1], el conjunto de funciones con primeras derivadas continuas definidas

en el intervalo [0, 1].

Definicin 3.8. Sean dos funciones f x y g x C( ) ( ) [ , ] en 1 0 1 , entonces el

wronskiano W de f y g es el determinante

W( f, g) = det f x g x

f x g x

( ) ( )

( ) ( )' '

= f x g x g x f x( ) ( ) ( ) ( )' 'donde f x g x' '( ) ( )y son las primeras derivadas de f y g, respectivamente.

El siguiente teorema nos permite caracterizar las funciones de C1[0, 1] que

son linealmente dependientes e independientes.

Teorema 3.10. Sean f(x) y g(x) en C 1[0, 1], entonces f y g son linealmente

dependientes, si y slo si, W( f, g)(x) = 0 para toda x en [0, 1].

124

Unidad 3

Vamos a demostrar el teorema 3.10.

Consideremos dos funciones f(x) y g(x) en C1[0, 1] linealmente

dependientes, entonces existen c1 y c

2 distintos de cero tales que c

1 f(x) + c

2

g(x) = 0,

de donde f xc

cg x f x

c

cg x( ) ( ) ( ) ( ).= = 2

1

2

1

y ' '

Por lo tanto

W( f, g)(x) = f(x) g x g x f xc

cg x g x g x

c

cg x' ' ' '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = 21 21 0

Ejemplo 11

Verifica que f(x) = x3 x y g(x) = x2 1 son linealmente independientes.

Entonces f x x'( ) = 3 12 y g x x'( ) = 2 , son las derivadas correspondientes.El wronskiano W( f, g) =

x x x

x x

3 2

2

1

3 1 2

= 2x(x3 x) (x21)(3x2 1)= 2x4 2x2 3x4 + x2 + 3x2 1

= x4 + 2x2 1

Si x = 0, entonces W = 1, y por lo tanto f(x) y g(x) son linealmente

independientes. (Teorema 3.10)

Ejercicio 5

Para los siguientes ejercicios recordemos que la derivada de senx es cosx y

la derivada de cosx es senx.

1. Encuentra el wronskiano de las siguientes parejas de funciones:

a) y1 = x ; y

2 = x2

b) y1 = senx; y

2 = cosx

c) y1 = ex; y

2 = e2x

lgebralineal

125

2. Menciona si las siguientes parejas de funciones son linealmente

independientes o dependientes:

a) y1 = x ; y

2 = 3x

b) y1 = x3 ; y

2 = x2 1

c) y1 = senx ; y

2 = cosx

Ejercicios resueltos

1. Determina si los conjuntos son espacios vectoriales.

a) V={x en R3 tales que x = (x, x, x)} junto con las operaciones de suma y

producto por escalar definidas para R3.

Sean u, v y z elementos de V, entonces u = (u, u, u), v = (v, v, v) y z = (z, z, z).

i) u + v = (u + v, u + v, u + v) est en V.

ii) u + (v + z) = (u + v) + z.

u + (v + z) = (u, u, u) + [(v, v, v) + (z, z, z)] = (u, u, u) + (v + z, v + z, v + z) =

(u + [v + z], u + [v + z], u + [v + z]) =* ([u + v] + z, [u + v] + z, [u + v] + z) =

(u + v, u + v, u + v) + (z, z, z) = [(u, u, u) + (v, v, v)] + (z, z, z) = (u + v) + z.

* Esta igualdad es verdadera ya que R3 es un espacio vectorial; se dice que

R3 le hereda esta propiedad a V.

iii) 0 = (0, 0, 0) est en V.

iv) u = (u, u, u) est en V.

v) u + v = v + u (la hereda de R3).

vi) u = (u, u, u) est en V.vii) (u + v) = u + v (la hereda de R3).viii) (+)u = u + u (la hereda de R3).ix) (u) = ()u (la hereda de R3).x) 1u = (1u, 1u, 1u) = (u, u, u) = u.

Por lo tanto, V es un espacio vectorial.

b) V = {(x, y) en R2 tales que y0}, la propiedad iv) no se cumple ya que si u = (0, 1), entonces u = (0, 1) no est en V, por lo tanto V no es un espacio

vectorial.

126

Unidad 3

2. Menciona si los conjuntos son subespacios vectoriales o no:

a) H = {(x, y, 0) en R3}

Sean u, v en H, entonces u = (x1, y

1, 0) y v = (x

2, y

2, 0).

i) u + v = (x1 + x

2, y

1 + y

2, 0) est en H.

ii) u = (x1, y

1, 0) = (x

1, y

1, 0) est en H.

iii) 0 = (0, 0, 0) est en H.

Por lo tanto H es un subespacio vectorial de R3.

b) H = {p en Pn tal que p(0) = 1}

El polinomio 0 no est en H ya que 0(0) = 0.

Por lo tanto, H no es un subespacio vectorial.

3. Menciona si el conjunto H = {1x, 3x2} genera al espacio vectorial P2.

No, por que el polinomio x no puede escribirse como combinacin lineal

de 1x, y 3x2 ya que si x = a(1x) + b(3x2) = (a+3b) + (a)x + (b)x2,

entonces

a + 3b = 0; a = 1; b = 0

de donde

b = 0 ; a = 0 y a = 1, lo cual no puede ser.

4. Determina si el conjunto H = {(2, 1, 4), (4, 2, 8)} es linealmente

independiente o dependiente.

a(2, 1, 4) + b(4, 2, 8) = (0, 0, 0) entonces, 2a + 4b = 0; a 2b = 0;

4a + 8b = 0 de aqu tenemos que a = 2b tiene infinitas soluciones no triviales,

por lo tanto H es un conjunto linealmente dependiente.

5. Encuentra el wronskiano de las funciones y1= 3x y

2 = 1x y menciona

si son linealmente dependientes o independientes.

y y1 3 12' '= = , , entonces W = 3 13 1

x x = 3x 3(1x) = 3 por lo tanto, son linealmente independientes.

lgebralineal

127

Ejercicios propuestos

1. Di si el conjunto de matrices de 22 de la forma 11

, con las operaciones de matrices usuales es un espacio vectorial; si no, menciona por

qu.

2. Di si el conjunto H = {(x, y) en R2 tales que x = 1} es un subespacio

vectorial de R2, si no lo es menciona cul es la condicin que falla.

3. Prueba que el conjunto H = {(2, 3), (1, 0)} genera a R2.

4. Menciona si el conjunto es linealmente dependiente o independiente:

a) H = {(2, 3), (1, 0)}

b) H = {(3, 2, 1), (6, 4, 2)}

5. Encuentra el wronskiano y di si las siguientes parejas de funciones son

linealmente independientes o dependientes:

a) f(x) = 4x + 5; g(x) = x2

b) f(x) = 3x2; g(x) = 2x2

c) f(x) = sen 3x; g(x) = cos 3x

128

Unidad 3

Autoevaluacin

1. Menciona si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas:

a) El conjunto de vectores {(x,3x) en R2} es un espacio vectorial.

b) El conjunto de vectores {(x, 3x + 1) en R2} es un espacio vectorial.

c) El conjunto de vectores {(x, y, 1) en R3} es un subespacio de R3.

d) El conjunto de polinomios de grado 2 es un subespacio de P3.

e) (3, 5) est en el espacio generado por {(1,1), (2,4)}.

f) gen{(1, 2, 1, 3), (7, 1, 0, 4), (8, 0, 8, 2)} es un subespacio de R3.

g) Si {(1, 2), (2, 3)} genera a R2, entonces {(1, 2), (2, 3), (2, 3)} tambin

genera a R2.

h) Si {v1, v

2, ..., v

n} son linealmente independientes, entonces {v

1, v

2, ..., v

n, v

n+1}

tambin son linealmente independientes.

i) Si {v1, v

2, ..., v

n} son linealmente dependientes, entonces {v

1, v

2, ..., v

n, v

n+1}

tambin son linealmente dependientes.

j) Si el wronskiano de f y g es cero para una x en [0, 1], f y g son linealmente

dependientes.

2. Cul de los siguientes conjuntos de vectores genera P2?

a) 1, x2

b) 3, 2x, x2

c) 1+x, 2+2x, x2

d) 1, 1+x, 1+x2

3. Cul de los siguientes pares de vectores son linealmente independientes?

a) {(1, 1), (1, 1)}

b) {(2, 3), (3, 2)}

c) {(11, 0), (0, 4)}

d) {(6, 10), (3, 5)}

e) {(2, 4), (4, 8)}

lgebralineal

129

Respuestas a los ejercicios

Ejercicio 1

1. S es, ya que se trata de una recta que pasa por el origen.

2. No es, ya que no es cerrado bajo la suma.

3. No es, ya que el inverso aditivo no est.

4. S es espacio vectorial.

5. No es, pues no satisface la propiedad vii).

6. S es espacio vectorial.

Ejercicio 2

1. S es subespacio vectorial.

2. No es subespacio vectorial, ya que no es cerrado bajo la suma.

3. S es subespacio vectorial.

4. S es subespacio vectorial.

Ejercicio 3

1.

a) V

b) F

c) V

2.

a) S genera.

b) No genera.

c) S genera.

d) No genera.

Ejercicio 4

a) Son linealmente independientes.

b) Son linealmente independientes.

c) Son linealmente independientes.

d) Son linealmente independientes.

e) Son linealmente independientes.

f) Son linealmente dependientes.

130

Unidad 3

Ejercicio 5

1.

a) W = x2

b) W = 1

c) W = e3x

2.

a) Son linealmente dependientes.

b) Son linealmente independientes.

c) Son linealmente independientes.

Respuestas a los ejercicios propuestos

1. No es un espacio vectorial porque la matriz 0 0

0 0

no est en el conjunto.2. H no es un subespacio vectorial, ya que

(1, y) + (1, z) = (1 + 1, y + z) = (2, y + z) no est en H.

3. S genera a R2.

4.

a) Es linealmente independiente.

b) Es linealmente dependiente.

5.

a) W( f, g) = 4x2 + 10x Son linealmente independientes.

b) W( f, g) = 0 Son linealmente dependientes.

c) W( f, g) = 3 Son linealmente independientes.

lgebralineal

131

Respuestas a la autoevaluacin

1.

a) V

b) F

c) F

d) F

e) V

f) F

g) V

h) F

i) V

j) V

2. b), c) y d)

3. b) y c)