esperienza massa{mollacamera/...esperienza-molle-2014.pdf · questo e lo scopo della prima parte...

Esperienza massa–molla

M. Fanti

Dipartimento di Fisica, Universita di Milano

M.Fanti (Physics Dep., UniMi) 1 / 39

Il sistema massa–molla

Il sistema e costituito da una molla appesa ad un vincolo, cui e agganciata

una massa m.

La molla ha la proprieta di esercitare una forza di richiamo elastica, cioeopposta al verso dell’allungamento ∆` della molla

di intensita proporzionale all’allungamento ∆`

Fel = −k ·∆`

(legge di Hooke)

Le altre forze in gioco sono:

la forza di gravita: Fg = mg (con g = 9.806 m · s−2)

la forza di attrito: questa entra in gioco solo quando il sistema e in moto,

e si oppone al moto stesso

Il sistema e dotato di un disco che crea un attrito viscoso con l’aria cir-

costante; assumendo che questa sia la principale componente di attrito avremo

Fattr = −(C1 + C2|v |) · v , essendo v la velocita del moto.

Il termine in C1 e dominante per basse velocita e/o oggetti affusolati.

Il termine in C2 e dominante per alte velocita o per oggetti poco aerodinamici.


La forza elastica e il moto armonico

Soffermiamoci sulla forza elastica: Fel = −k ·∆x , dove ∆x = x − x0 e uno spostamento da un punto di equilibrio x0

e k e una costante tipica del sistema.

La forza elastica da luogo ad un moto oscillatorio armonico. Infatti, applicando F = ma = md2x

dt2troviamo:

d2x

dt2= − k

m(x − x0)

che ha per soluzione:

x(t) = x0 + A · cos(ω0t + φ)

(ω0 =

√k

m

)

ω0 dipende dalle caratteristiche del sistema (k e m)

A, φ sono definite dalle condizioni iniziali: x(t = 0) = x0 + A cos(φ) e v(t = 0) = −ω0A sin(φ)

Il moto e dunque periodico, con periodo T , cioe per qualunque istante t x(t) = x(t ± T ) = x(t ± nT ), con n intero.

Il periodo e calcolabile come:

T =2π

ω0

e la frequenza e:

ν0 =1

T=ω0

2π


Importanza della forza elastica

La forza elastica e associata ad una energia potenziale U(x) =k

2(x − x0)2, con x0 punto di equilibrio del sistema.

Ogni moto di un sistema intorno al suo punto di equilibrio, per piccoli sposta-

menti puo essere approssimato dalla forza elastica.

Esempio: oscillazione di atomi all’interno di una molecola, o di un cristallo.

U(r)

rreq

E

k(r − r )eq

2

2+ U(r )eq

Un esempio piu complesso: le onde sonore. Qui le molecole di un mezzo vibrano intorno alla loro posizione di

equilibrio, ed inoltre “trasmettono” il loro stato di vibrazione alle molecole vicine. L’argomento verra trattato in

seguito, ma qui ricordiamo che si tratta sempre di fenomeni legati alla forza elastica.

Un ulteriore esempio: le onde elettromagnetiche. Qui non si tratta piu di un fenomeno meccanico: le quantita che

oscillano sono il campo elettrico e il campo magnetico. Non sono spostamenti nello spazio, ma sono sempre regolate

da equazioni formalmente analoghe.


Dinamica del sistema massa–molla

Chiamiamo `0 la lunghezza della molla a riposo (cioe non sottoposta ad alcuna forza esterna), ` la sua lunghezza

attuale, cosicche ∆` = `− `0.

Scegliamo un asse x orientato verso il basso, cosicche maggiori allungamenti ∆` corrispondono a maggiori valori di x .

La forza totale agente sulla massa m appesa e:

F = Fel + Fg + Fattr = −k(`− `0) + mg − (C1 + C2|v |)v

Punto di equilibrioIl punto di equilibrio e quello in cui il sistema fermo non subisce forze. Questa condizione, imponendo F = 0 con

v = 0, corrisponde ad una lunghezza èq tale che:

k(èq − `0) = mg

Pertanto, d’ora in poi esprimiamo lo stato del sistema con lo spostamento dal suo punto di equilibrio: xdef= `− èq

Dinamica

Ovviamente la velocita e vdef=

d`

dt=

dx

dt. L’equazione del moto diventa dunque:

md2x

dt2= F = −kx −

(C1 + C2

∣∣∣∣dxdt∣∣∣∣) dx

dt

(ogni effetto gravitazionale e riassorbito nella definizione del punto di equilibrio)


Il modello del sistema massa–molla

L’equazione

md2x

dt2= F = −kx −

(C1 + C2

∣∣∣∣dxdt∣∣∣∣) dx

dt

costituisce la nostra formulazione del modello del sistema, ovvero uno strumento matematico che collega quantita

osservabili (in questo caso la posizione x(t)) a grandezze intrinseche del sistema stesso (in questo caso la massa m, la

costante elastica k , la costante di attrito C ).

Il modello consente di:

conoscere le grandezze intrinseche del sistema partendo da una o piu misure degli osservabili;

effettuare predizioni sugli osservabili, una volta che le grandezze intrinseche del sistema siano note con sufficiente

precisione

Inoltre: diverse misure indipendenti (anche effettuate in condizioni dinamiche diverse) degli osservabili possono essere

utili a validare il modello, oppure a rivelarne i limiti. In quest’ultimo caso, il modello stesso potrebbe venire

riformulato, aggiungendo dettagli prima trascurati, alla luce delle conclusioni tratte.


Misure statiche


Misure degli allungamenti

L’equazione k(èq − `0) = mg , valida in condizioni statiche, puo essere usata

per misurare la costante elastica k .

Il set-up dell’esperimento prevede un sonar collegato ad un computer, che

misura la distanza Y del disco del sistema massa–molla, ad intervalli di tempo

regolari (a) .

In condizioni statiche ci si aspetta che Y (t) sia costante.

In pratica, la sensibilita dello strumento e tale da consentire di osservare piccole oscillazioni

residue. . . Ovviamente la misura andra “ripulita” da tali oscillazioni.

La strumentazione non consente una misura diretta di èq e `0. Pero

Y + èq = costante. Con due masse note m(1),m(2), i punti di equilibrio

`(1)eq , `

(2)eq devono soddisfare:

g[m(2) −m(1)

]= k

[`(2)eq − `(1)

eq

]= k

[Y (1) − Y (2)

]⇒ si puo estrarre k :

k = gm(2) −m(1)

Y (1) − Y (2)

a Il numero di misure al secondo e impostabile: si suggerisce di non eccedere 50 misure/secondo


Verifica della linearita

Quanto detto finora non basta: vogliamo verificare che il modello ipotizzato sia valido, ovvero che descriva

correttamente le osservazioni.

Il valore di k e indipendente dalla scelta delle masse m(1),m(2)?

Un possibile approccio: provare tante masse m(0), . . . ,m(n) e misurare i cor-

rispondenti Y (0), . . . ,Y (n), quindi calcolare il k fra due masse vicine:

k (i) = −g m(i) −m(i−1)

Y (i) − Y (i−1)( i = 1, . . . , n )

e verificare la compatibilita fra i k (1), . . . , k (n) ottenuti (attenzione alla

propagazione degli errori! non sono completamente scorrelati)

i m(i) Y (i) k (i)

0 · · · ± . . . · · · ± . . . —1 · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . .2 · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . ....

......

...n − 1 · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . .n · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . .

Un altro approccio: prendere la massa piu piccola m(0) come “zero”; se la

legge e veramente lineare allora ci aspettiamo che:[Y (0) − Y (i)

]=

g

k

[m(i) −m(0)

]⇒ raccogliere n coppie

(m(i) −m(0) ; Y (0) − Y (i)

), e verificare se sono

compatibili con una retta passante per l’origine ⇒ fit lineare

i m(i) −m(0) Y (0) − Y (i)

1 · · · ± . . . · · · ± . . .2 · · · ± . . . · · · ± . . ....

......

n − 1 · · · ± . . . · · · ± . . .n · · · ± . . . · · · ± . . .

Quante masse? Il piu possibile, compatibilmente con il tempo a disposizione, e le caratteristiche della molla


Conclusioni

Mediante una serie di misure statiche di allungamenti, ottenuti appendendo alla molla masse note, e possibile

verificare se sussiste la legge lineare di Hooke Fel = −k∆`

Procedura:

si misura l’allungamento `0 per una massa di tara m0 — o meglio si misura la distanza Y0 dal sonar;

per diverse masse mk si misurano gli allungamenti `k — o meglio le distanze Yk dal sonar;si verifica se i punti (mk ;Yk) stanno su una retta Y = am + b ⇒ fit lineare

i valori di mk ;Yk hanno incertezze di misura: introdurle opportunamente nel fit

il χ2 deve essere buono;

controllo: la retta deve essere compatibile con il punto (m0;Y0);

si ricava k =g

a— propagare le incertezze per avere anche σk

NOTA: se il χ2 viene brutto, l’estrazione di k non ha alcun senso

Questo e lo scopo della prima parte dell’esperienza


Misure dinamiche


Il modello del sistema

Riprendiamo il modello del sistema

md2x

dt2= F = −kx −

(C1 + C2

∣∣∣∣dxdt∣∣∣∣) dx

dt

e consideriamo due casi-limite sulla forza di attrito Fattr = −(C1 + C2

∣∣∣∣dxdt∣∣∣∣) dx

dt:

basse velocita ⇒ C1 � C2|v | ⇒ approssimiamo Fattr ' −C1dx

dt

alte velocita ⇒ C1 � C2|v | ⇒ approssimiamo Fattr ' −C2

∣∣∣∣dxdt∣∣∣∣ dxdt

A priori non sappiamo quale e il comportamento realizzato dal sistema massa-molla che abbiamo.

⇒ dobbiamo analizzare entrambi i casi

⇒ avremo due modelli, le misure ci diranno qual e quello piu idoneo.


Interludio: l’esponenziale complesso eiφ

Definizione

eiφdef= cos(φ) + i sin(φ)

cosφ =eiφ + e−iφ

2

sinφ =eiφ − e−iφ

2i

ProprietaConserva tutte le proprieta dell’esponenziale reale; in particolare (1) eiφ1+iφ2 = eiφ1 · eiφ2Si puo estendere all’esponente complesso: se z = x + iy allora ez

def= exeiy = ex [cos(y) + i sin(y)]

Per z1, z2 complessi, ez1+z2 = ez1ez2

In particolare, per |dz | → 0, edz = edx [cos(dy) + i sin(dy)] ' (1 + dx)(1 + idy) ' 1 + dx + idy ' 1 + dz , cosicche

ez+dz = ezedz ' ez(1 + dz), quindi:

d

dzez = ez

L’esponenziale complesso e lo strumento base per risolvere le equazioni differenziali lineari

1 usare le regole di somma delle funzioni trigonometrichecos(φ1 + φ2) = cosφ1 cosφ2 − sinφ1 sinφ2 e sin(φ1 + φ2) = sinφ1 cosφ2 + sinφ1 cosφ2


Legge oraria del sistema massa–molla (Fattr = −C1v)

Partiamo dall’equazione del moto:

md2x

dt2= F = −kx − C1

dx

dt

Definiamo per comodita 2γdef= C1/m e ω2

0def= k/m, quindi:

d2x

dt2+ 2γ

dx

dt+ ω2

0x = 0

E un’equazione differenziale lineare di secondo ordine a coefficienti costanti.

La teoria delle equazioni differenziali ci dice che esistono due soluzioni linearmente indipendenti e che la soluzione

generale e una combinazione lineare di queste.

Per trovare le due soluzioni, pensiamo ad x come una variabile complessa, x(t)→ z(t). Poiche i coefficienti sono

reali, se z(t) e soluzione di

d2z

dt2+ 2γ

dz

dt+ ω2

0z = 0

allora x(t) = R[z(t)] e soluzione dell’equazione in x .

Dalla teoria, la forma della soluzione e z(t) = Aest , dove s si puo determinare per sostituzione, osservando cheddz e

st = s · est :

s2 + 2γs + ω20 = 0 ⇒ s± = −γ ±

√γ2 − ω2

0

quindi

z(t) = A+es+t + A−e

s−t = e−γt[A+e

+√γ2−ω20t + A−e

−√γ2−ω20t

]M.Fanti (Physics Dep., UniMi) 14 / 39

Legge oraria del sistema massa–molla (Fattr = −C1v)

Il caso che ci interessa e γ < ω0, cosicche s± = −γ ± i√ω2

0 − γ2. In tal caso il moto e descritto dalla legge

x(t) = Ae−γt cos(ω′0t + φ)

(ω′0

def=√ω2

0 − γ2

)E un moto oscillatorio smorzato, A, φ dipendono dalle condizioni iniziali, ω′0 dalle caratteristiche del sistema.

Notare che ω′0 e influenzato dall’attrito: ω′0 =

√k

m−(C1

2m

)2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1

-0.5

0

0.5

1

exp(-[0]*x)*(cos([1]*x)+[0]/[1]*sin([1]*x))

moti oscillatori smorzati:

— ω0 = 1 , γ = 0.01

— ω0 = 1 , γ = 0.1

moto smorzato:

— ω0 = 1 , γ = 10

moto critico:

— ω0 = 1 , γ = 1

Il caso γ > ω0 corrisponde ad un moto smorzato; il caso-limite γ = ω0 da il moto critico


Legge oraria del sistema massa–molla (Fattr = −C2|v|v)

Partiamo dall’equazione del moto:

md2x

dt2= F = −kx − C2

∣∣∣∣dxdt∣∣∣∣ dxdt

Non esiste una soluzione analitica! Dobbiamo arrangiarci con delle semplificazioni “ragionevoli”.

Sappiamo dall’esperienza che il moto e oscillatorio smorzato x(t) = A(t) cos(ω0t + φ), con A(t) da determinare.

assumiamo che A(t) varii molto piu lentamente di cos(ω0t + φ)

⇒ dx

dt' −A(t)ω0 sin(ω0t + φ) ;

d2x

dt2' −A(t)ω2

0 cos(ω0t + φ)

Usiamo l’energia meccanica: E = Uel(x) + E =k

2x2 +

m

2v 2 ⇒ all’estremo dell’oscillazione E =

k

2A2

La potenza dissipata per attrito e

Wattr = Fattrv = −C2|v |3La potenza dissipata mediamente in un periodo e:

〈Wattr〉 = −C2

⟨|v |3⟩

= −C21

T

∫ T

0

dt |v(t)|3

' −C2(ω0A)3

T

∫ T

0

dt | sin(ω0t)|3

= − 4

3πC2(ω0A)3

1

T

∫ T

0

dt | sin(ω0t)|3 =1

2π

∫ 2π

0

dξ | sin ξ|3 (ξdef= ω0t)

=2

π

∫ π/2

0

dξ sin3 ξ

=2

π

∫ π/2

0

d(cos ξ) (1− cos2 ξ)

=2

π

∫ 1

0

dη (1− η2) (ηdef= cos ξ)

=2

π

(1− 1

3

)=

4

3π


Legge oraria del sistema massa–molla (Fattr = −C2|v|v)

Dobbiamo risolveredE

dt' 〈Wattr〉:

kAdA

dt= − 4

3πC2(ω0A)3

dA

dt= − 4

3π

C2ω30

kA2

dA

A2= − 4

3π

C2ω30

kdt

⇒ 1

A(t)− 1

A0=

[4

3πC2ω3

0

k

]t = αt

⇒ A(t) =A0

1 + A0αt

(α

def=

4

3πC2ω3

0

k

)0 20 40 60 80 100 120

-1

-0.5

0

0.5

1|v|v2=-CattrF

v1=-CattrF

Limiti di validita abbiamo supposto che

∣∣∣∣dAdt∣∣∣∣� ω0A ⇒

4

3π

C2ω30

kA2 � ω0A ⇒ soddisfatta se C2 �

k

Aω20

Ora, |Fel | = k|x | ≈ kA e |Fattr | = C2|v 2| ≈ C2A2ω2

0 � kA

⇒ su un solo ciclo |Fattr | � |Fel |, l’oscillazione e dominata dalla forza elastica ⇒ ω0 =

√k

m⇒ la condizione di validita di tutte le approssimazioni e C2 �

m

AChe cosa vuol dire in pratica � ? Va bene C2 ≈ 0.1

m

A? Bisogna andare a C2 ≈ 0.01

m

A?


Osservazione della legge oraria

Il sonar collegato al computer consente di misurare la distanza Y (t) in

una sequenza di istanti t equidistanziati di ∆t (a) . Ricordando che

x(t) + Y (t) = costante, possiamo visualizzare la legge oraria del moto:

a l’intervallo ∆t e impostabile attraverso la frequenza di campionamento νsampling = 1/∆t:non eccedere νsampling = 50 Hz, corrispondente a ∆t = 0.02 s,altrimenti il sonar non funziona correttamente.


Misura del periodo e dell’ampiezza

t [s]

0 1 2 3 4 5 6

Y(t

) [m

m]

120

130

140

150

160

170

180

190

)0

;A0

(t

)1

;A1

(t

)2

;A2

(t)

3;A

3(t

)4

;A4

(t )5

;A5

(t )6

;A6

(t

misurando la distanza fra n creste si ottiene il periodo: T =tn − t0

nper misurare le ampiezze delle creste A0,A1, . . . ,An, . . . occorre sottrarre il livello di equilibrio

(per es facendo una media di tutti i punti campionati)


Effetti del campionamento

Poiche l’acquisizione dati non e continua, ma avviene ogni ∆t, la posizione delle creste non e perfettamente accurata:

t [s]

0 1 2 3 4 5 6

Y(t

) [m

m]

120

130

140

150

160

170

180

190

)0

;A0

(t

)1

;A1

(t

)2

;A2

(t)

3;A

3(t

)4

;A4

(t )5

;A5

(t )6

;A6

(t

individuato l’istante ti in cui rileviamo un massimo locale, il massimo “vero” sara localizzato a ti ±∆t

il valore dello spostamento massimo Ai e sempre sottostimato.


Misura dinamica della costante elastica k

Da quanto visto ci aspettiamo ω0 =

√k

m⇒ T 2 =

4π2

k·m

Questa legge deve valere per qualunque valore della massa appesa.

Primo approccio: per ogni massa m(i) misuriamo il peri-

odo T (i) e calcoliamo

k (i) = 4π2 m(i)

[T (i)]2

i m(i) T (i) [T (i)]2 k (i)

1 · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . .2 · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . ....

......

...n · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . .

ATTENZIONE a propagare le incertezze! σT 2 = 2TσT

I valori ottenuti di k (i) sono fra loro compatibili?

Si osserva un andamento dei k (i) in funzione delle masse m(i)?

Confrontate con la misura statica di k fatta in precedenza: in quali condizioni le misure dinamiche di k (i) si

avvicinano di piu a quella statica?

Come possiamo spiegare l’effetto? La massa della molla puo giocare un ruolo?

[suggerimento: anche la molla “scarica” puo oscillare sotto il suo stesso peso. . . ]

Secondo approccio: verifichiamo se i punti (m;T 2) prelevati rispettano una legge lineare: ci aspetteremmo

T 2 =4π2

k·m ⇒ facciamo un fit lineare con T 2 = a ·m + b. Come viene il χ2?

Se e “buono” la legge lineare e soddisfatta ⇒ possiamo estrarre k =4π2

a. Qual e il significato di b?


Misura dello smorzamento

t [s]

0 1 2 3 4 5 6

Y(t

) [m

m]

120

130

140

150

160

170

180

190

)0

;A0

(t

)1

;A1

(t

)2

;A2

(t)

3;A

3(t

)4

;A4

(t )5

;A5

(t )6

;A6

(t

Misurare le ampiezze massime Ai raggiunte dalle creste, e i tempi ti a cui avvengono.

Ipotesi: |Fattr | ∝ v ⇒ A(t) = A0e−γt

Provare a mettere i punti

(t(i) ; ln

[A(0)

A(i)

] )su un

grafico: stanno su una retta?

Ipotesi: |Fattr | ∝ v 2 ⇒ 1

A(t)=

1

A0+ αt

Provare a mettere i punti

(t(i) ;

1

A(i)

)su un grafico:

stanno su una retta?

i t(i) A(i) ln

[A(0)

A(i)

]1

A(i)

1 · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . .2 · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . ....

......

......

n − 1 · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . .n · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . . · · · ± . . .

ATTENZIONE a propagare le incertezze!

σ 1A

=σAA2

; σln[A(0)

A(i)

] =σAA

Conclusione: quale ipotesi di attrito descrive meglio i dati osservati?


Moto forzato


Applicazione di una forza esterna

Ora al nostro sistema massa–molla viene applicata un’azione esterna, sotto forma di forza sinusoidale.

Il sistema massa–molla viene appeso ad un attuatore

(o vibratore) comandato da un generatore di tensione

sinusoidale, a frequenza impostabile.

Il pistone del vibratore si muove con frequenza data

dal generatore, agendo dunque come forzante esterna

sulla molla, che si mette in moto.

Il segnale del generatore viene anche immesso in un

oscilloscopio, in modo da misurarne la tensione di

picco V e la frequenza ν = ω/(2π): dunque le

caratteristiche della forzante sono note.

Grazie al sonar, si puo studiare il moto del sistema

(credits: prof. I. Boscolo)

. . . Anche qui, prima di effettuare misure, dobbiamo formulare un modello.


Modello dell’oscillatore forzato (Fattr ∝ v)

Il sistema viene modificato, aggiungendo una forza esterna sinusoidale Fest = F0 cos(ωt), con ω regolabile a

piacimento. L’equazione del moto diventa dunque:

md2x

dt2= Fel + Fattr + Fest = −kx − C

dx

dt+ F0 cos(ωt)

Come gia fatto in precedenza, passiamo alla coordinata complessa z(t), ricordando che poi porremo x(t) = R[z(t)].

Come in precedenza, anche qui poniamo 2γdef= C/m, ω2

0def= k/m, e ω′0

def=√ω2

0 − γ2. L’equazione del moto diventa:

d2z

dt2+ 2γ

dz

dt+ ω2

0z =F0

m· eiωt

Si tratta di un’equazione differenziale lineare, di secondo ordine, a coefficienti costanti, non omogenea, a causa della

presenza del termine f0 · eiωt .La soluzione generale e data dalla somma di una soluzione particolare, e della soluzione generale dell’equazione

omogenea corrispondente: x0(t) = A0e−γt cos(ω′0t + φ0).

La soluzione particolare e della forma zpart(t) = Aparteiωt , con Apart da determinare per sostituzione diretta:[

−ω2 + 2iγω + ω20

]Aparte

iωt =F0

m· eiωt ⇒ Apart =

F0/m

ω20 − ω2 + 2iγω

≡ Aeiϕ

dove ovviamente:

A ≡ |Apart| =F0/m√

(ω20 − ω2)2 + 4γ2ω2

; tan(ϕ) = − 2γω

ω20 − ω2


Soluzione del moto dell’oscillatore forzato (Fattr ∝ v)

La soluzione del moto e dunque:

x(t) = x0(t) + xpart(t) = A0e−γt cos(ω′0t + φ0)︸︷︷︸

transiente

+F0/m√

(ω20 − ω2)2 + 4γ2ω2

cos(ωt + ϕ)︸︷︷︸stazionario

Il termine transiente e caratterizzato dalla frequenza angolare ω′0 dell’oscillazione libera, ma si attenua nel tempo

fino a scomparire. Le costanti A0, φ0 dipendono dalle condizioni iniziali, x e dx/dt all’istante t = 0.

Il termine stazionario e caratterizzato dalla frequenza angolare ω della forzante esterna, e permane nel tempo.

Evoluzione dalla fase transiente a quella stazionaria

50 100 150 200 250 300 350 400

-40

-20

0

20

40

[1]*(cos([0]*x+[2])-exp(-0.01*x)*cos(x+[2]))

50 100 150 200 250 300 350 400

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

[1]*(cos([0]*x+[2])-exp(-0.01*x)*cos(x+[2]))

In alto: caso ω = ω0, la forzante ha la stessa frequenzaangolare del moto libero in assenza di attriti.Partendo da fermo, l’ampiezza di oscillazione cresce fino astabilizzarsi.

In basso: caso ω 6= ω0.

L’ampiezza di oscillazione mostra i battimenti, dovuti alla

coesistenza di due frequenze nel moto. I ventri corrispondono

a quando le componenti transiente e stazionaria sono in fase

(interferenza costruttiva). I nodi si hanno quando le

componenti transiente e stazionaria sono in opposizione di

fase (interferenza distruttiva). Con lo smorzarsi del transiente

la modulazione si fa via via piu debole.


La risonanza (Fattr ∝ v)

Una volta terminato il transiente, resta la componente stazionaria, con ampiezza A(ω) =F0/m√

(ω20 − ω2)2 + 4γ2ω2

e

uno sfasamento ϕ(ω) = − tan−1

(2γω

ω20 − ω2

)rispetto alla forzante

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-110

1

10

1/sqrt((x^2-1)^2+4*([0]*x)^2)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

-acos((1-x^2)/sqrt((x^2-1)^2+4*([0]*x)^2))

Curva di ampiezza (sx) e fase (dx) in fun-

zione di ω, per ω0 = 1 e:

— γ = 0.01

— γ = 0.1

— γ = 1

— γ = 10

La curva di ampiezza si chiama anche

curva di risonanza o lorenziana

L’ampiezza dell’oscillazione stazionaria cresce quando la frequenza forzante si avvicina a quella propria: questo

fenomeno si chiama risonanza .

La massima ampiezza si raggiunge per ω =√ω2

0 − 2γ2 ' ω0 (nel caso ω20 � γ2) e vale Aris '

F0/m

2γω0.

La larghezza della curva di risonanza si caratterizza con le frequenze alle quali A(ω) = Aris/2: cio avviene per

ω − ω0 ' ±√

3γ. La FWHM (full width at half of maximum) e pertanto FWHM = 2√

3γ.

La fase alla risonanza vale ϕris = −π/2M.Fanti (Physics Dep., UniMi) 27 / 39

Misure con il sistema forzato

Lo scopo e verificare la validita del modello dell’oscillatore forzato.

Si sceglie un sistema massa–molla–disco le cui caratteristiche (m, ω0, γ) siano note

Si sottopone il sistema a una forzante esterna di frequenza angolare ω e si misura l’ampiezza di oscillazione nel

regime stazionario, al variare di ω

Ovviamente occorre assicurarsi che il transiente sia terminato!

Occorre inoltre controllare che, al variare della frequenza della forzante, la tensione del generatore resti costante: se

cosı non fosse bisogna tenerne conto!

Alla fine dovreste avere una serie di coppie (ω;A) che

dovrebbero descrivere una lorenziana, con massimo a

ωris = ω0 e larghezza FWHM = 2√

3γ.

. . . Da confrontare con la lorenziana attesa dalle proprieta

del sistema (m, ω0, γ).

La scelta del sistema massa–molla–disco va fatta tenendo

conto della strumentazione in nostro possesso: il gener-

atore non riesce a generare frequenze inferiori a 1 Hz, e

con l’oscilloscopio si riesce a misurare frequenze con preci-

sioni ≈ 10−2 Hz. Vogliamo prendere diversi punti intorno

a νris all’interno della FWHM, e anche fuori da essa per

esplorare le code della lorenziana.


Percorso dell’esperimento(1a parte : sistema libero)


Traccia

Ci sono a disposizione diverse molle, con caratteristiche meccaniche diverse. Per ciascuna di queste si svolgono le

seguenti misure

Misure statiche

Misure degli allungamenti, con diverse masse appese

⇒ dovreste avere per ciascuna molla diverse coppie(m(k);Y (k)

)Verifica della legge di Hooke e determinazione della costante elastica k

Misure dinamiche

Misura del periodo di oscillazione T per diverse masse appese.

⇒ per ciascuna molla dovreste avere la massa della molla m(molla) e diverse coppie(m(k);T (k)

)Verifica della relazione lineare fra m e T 2, estrazione della costante elastica k e dell’effetto inerziale della molla δm.

Controllo della compatibilita con il valore di k ottenuto dalle misure statiche.

Misura dello smorzamento: e come atteso?

⇒ i dati favoriscono Fattr ∝ v o Fattr ∝ v 2?

Provare a cambiare il disco frenante: come varia γ rispetto alla superficie del disco?

Alcuni accorgimenti pratici. . .L’esperimento probabilmente si svolgera in due giornate. Pertanto, attenti a non confondere le molle con quelle degli altri gruppi,altrimenti confonderete anche i k e i δm.

I pesetti da applicare alla molla “sembrano” tutti uguali, ma non lo sono. Quando li pesate sulla bilancia, non confondete lasequenza con cui li caricate sul porta-pesi.

Portatevi sempre a casa i dati prelevati: a casa potrete fare con comodo l’analisi (calcoli, fit lineari, etc), ma se perdete i dati dovreteriprenderli in lab. Non fidatevi a lasciarli sul PC del lab . . . si potrebbe rompere!

Per le misure dinamiche, T e smorzamento si possono estrarre dalla stessa serie temporale, per velocizzare il tutto.M.Fanti (Physics Dep., UniMi) 30 / 39

Percorso dell’esperimento(2a parte : sistema forzato)


Traccia

Scopo: studio del moto forzato e osservazione della risonanza

Dovete scegliere il sistema massa–molla piu adatto, cioe quello con ω0 e γ tali da poter produrre una risonanza

osservabile con i mezzi a disposizione.

Ricordiamo che il generatore puo produrre frequenze & 1 Hz e che l’oscilloscopio fornisce misure con precisione

≈ 0.01 Hz.

La scelta di ω0 e γ viene ottimizzata con la scelta di una delle molle a disposizione (⇒ k), una massa appesa (⇒ m)

e un disco frenante (⇒ C ).

Nell’esperimento dovrete applicare diverse frequenze forzanti ω e misurare le ampiezze di oscillazione A del moto

stazionario. Per ogni ω impostata il segnale iniettato avra un’ampiezza V misurabile con l’scilloscopio: non e detto

che V resti costante al variare di ω, controllate!

⇒ Avrete diverse triplette (ω,V ,A) — oppure (ν,V ,A) se volete lavorare in frequenza

Quindi dovrete confrontare i punti sperimentali con la lorenziana attesa

A(ω)

V (ω)= costante× 1√

(ω2 − ω20)2 + 4γ2ω2

. . . la costante puo essere determinata cercando il miglior accordo fra i valori aspettati (A(ω)) e quelli osservati.

⇒ La curva di risonanza misurata assomiglia a quella attesa?


Tips ’n’ tricks


Uso di DataStudio (1)

Accedere al computer con l’account Stu-dente (no password), lanciare DataStudiodall’icona sul Desktop, scegliere Crea es-perimento.Otterrete la schermata raffigurata.

cliccando Imposta (in alto)selezionate la Frequenza dicampionamento — frequenze piualte danno misure piu precise dellaposizione, attenzione pero a noneccedere 50 Hz (cioe uncampionameto ogni 0.02 s)altrimenti il sonar non funziona piucorrettamente

potete iniziare l’acquisizionecliccando su Avvia (vicino a Imposta)— il pulsante si trasforma in Arrestae puo essere usato per fermarel’acquisizione.



Sul grafico ottenuto potete:

adattare gli assi alle dimensioni delgrafico, agendo sul 1o pulsante inalto a sx (puntando col mousecompareRidimensiona per adattare )

visualizzare alcune proprietacollettive dei dati (min, max,media,. . . ) attivando il pulsante Σ( Mostra statistica )

effettuare misure locali attivando ilcursore (6o pulsante in alto da sx,Puntatore di misura ): compare una

croce tratteggiata sullo schermo, chepuo essere trascinata a piacere colmouse (diventa una manina con duefrecce verticale e orizzontale);spostando il cursore, indica sempre lecoordinate; quando si avvicina ad unpunto misurato “si attacca” ad esso;

si possono fare anche misure didifferenze (manina con una ∆)

esempio in figura: ∆t = 25.4999 s



Si puo selezionare, inquadrandola colmouse, una porzione di grafico (eviden-ziata in giallo)Le proprieta collettive saranno ora riferitesolo alla porzine selezionata (es. utileper misurare l’ampiezza di oscillazione lo-cale. . . )Cliccando su Ridimensiona per adattaresi ottiene uno zoom sulla regione selezion-ata.

NOTA: lo schermo puo ospitare tutte leacquisizioni svolte: per “spegnerne” al-cune (senza perderle) usa il pulsante Datiin alto.



Aprendo il meu tendina di fianco al pul-sante Σ s puo scegliere quali proprietamostrare, es. si uo attivare la devi-azione standard (rms [], “Root of MeanSquare”).In caso di oscillazioni stabili, per la misuradell’ampiezza di oscillazione si puo ot-tenere una maggiore precisione con la de-viazione standard, piuttosto che usandoun singolo massimo locale.Ricorda che seAk ≡ A(tk) = A cos(ω0tk + φ), allorarms [Ak ] = A/

√2


Oscilloscopio (1)

L’oscilloscopio misura tensioni elettriche ∆V in funzione del tempo t e le rappresenta come un grafico.

Viene solitamente usato per visualizzare segnali periodici, che devono pertanto ripetersi sullo schermo, uguali per

successive scansioni.

Le scale orizzontale (tempo) e verticale (tensione) vengono scelte operando sui pomelli del pannello frontale,

VOLT/DIV e SEC/DIV I valori scelti vengono mostrati sullo schermo (che e diviso orizzontalmente in 10 divisioni e

verticalmente in 8 divisioni)


Oscilloscopio (2)

Le successive scansioni vengono sincronizzate fra loro da un trigger, che sovrappone i

diversi grafici. Il trigger rileva gli istanti in cui il segnale supera una certa soglia in salita

(o in discesa, a scelta) e fa in modo che questi istanti vengano tutti allineati sullo stesso

punto dello schermo.

Normalmente, collegando un segnale alla porta (es. CH1) e schiacciando

AUTO SET l’oscilloscopio si configura nel modo migliore per visualizzalo.

Per segnali “lenti”, (pochi Hz) occorre procedere a mano:premere AUTO SET

agire sulla manopola SEC/DIV fino a che poche oscillazioni sono rappresentate sulloschermo (es. arrivare a 250 µs/div per avere una scansione di 2.5 s)

a questo punto vedrete un segnale che non si ripete uguale a se stesso: ogniscansione sara sfasata rispetto a quella precedente

premere TRIG MENU, e dai pulsanti di fianco allo schermo impostare TRIG MODE

NORMAL (normalmente sarebbe AUTO)

Per effettuare misure sul segnale, si puo selezionare il tasto MEASURE: il margine dx dello schermo riportera le misure

impostate (quantita e canale, es. freq. e CH1) e con il corrispondente pulsante a fianco dello schermo e possibile

impostarne ciascuna.

Per esempio, nel nostro caso sara utile impostare la misura di frequenza sul canale CH1 e anche la tensione “peak to

peak”: quest’ultima e utile per vedere se al variare della frequenza impostata la tensione massima e stabile o subisce

variazioni


esperienza massa{mollacamera/...esperienza-molle-2014.pdf · questo e lo scopo della prima parte...

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