UNIVERSIDADAUTONOMA GABRIELRENEMORENO FACULTADDECIENCIASDELA SALUD UNIDAD DE POSTGRADO Santa Cruz, BoliviaSeptiembre 2011 Estadstica y Principales Diseos Experimentales Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior INTRODUCCION Elcrecimientoconstantedelapoblacinhatradocomoconsecuenciamsrequerimientosde alimentos, servicios, espacio, etc., y paralelo a ello una serie de alteraciones que estn repercutiendo de forma negativa en la poblacin y otras, en s, en la vida misma en el planeta. Entre otras, lo anterior conlleva a la bsqueda de nuevas alternativas, al planteamiento de diferentes estrategias de manera que se busca darle respuestas a las progresivas necesidades de la sociedad., esdecir,existeunabsquedaconstantedenuevasverdades,mediantemtodosclarosy especficos, con el fin de crear nuevos hechos y principios en cualquier campo del conocimiento humano. A esto se le denomina INVESTIGACIN. Lainvestigacincomienzaconlaobservacindeun fenmeno que captura la atencin del investigador (Todo investigador debe conocer el problema, enamorarse de problema y casarse conelproblema),alcualelinvestigadortratadedarunaexplicacinlomsacertadaposible, determinar las relaciones con otros fenmenos, etc. El hecho de buscar explicaciones, relaciones de causalidad que existen entre los fenmenos en la naturaleza,enmuchoscasosesdifcillograrlosinoseestencondicionesquepuedenser controladaspor elinvestigador.Loanterior conlleva a tratar de simular el fenmeno en condiciones adecuadas, lo cual se logra mediante la EXPERIMENTACIN. La experimentacin es instrumento de vital importanciapa r a l a i nve st i gac i nya quepor me di ode e l l a, el investigadorescapazdesimularunfenmenodeinters,loque conduceaunainvestigacinmsrpida,efectiva,demenorriesgo,menorcostoyconunrigor cientfico, siempre y cuando exista una previa y exhaustiva planificacin de la misma. Existendiferentestiposdeinvestigacionesquepuedengenerarconocimientosyaseanstas bsicas,aplicadasobiendeinnovacintecnolgica;independientementedelconocimiento que genere una investigacin o del problema que sta resuelva, sta tiene que someterse aunavaloracincientfica.ParaestolaestadsticaofreceherramientascomolosDISEOS EXPERIMENTALESdeloscualeselinvestigadorseval eparademost rarsus conj et uras, acept aronounahiptesis,compararresultados,emitirconclusionesetc., acerca del problema o fenmeno en estudio.Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior Previoalaaplicacindelosdiseosexperimentales,elinvestigadordebetenerunabase estadsticaquelepermitaofacilitelaaplicacineinterpretacinderesultadosalaplicarlos diseos experimentales en la investigacin. Es por ello que antes de desarrollar la parte de diseos, seexponenlobsicodeEstadsticaDescriptivayunapartedeEstadsticaInferencialcomoes hiptesis. "Las teoras basadas en ideologas carecen de experimentacin, y por ello, no son ciencia, lo que nosedemuestraconexperimentoespoltica.Loquesedemuestraconexperimentacin,es ciencia (Robert Laughlin, Premio Nobel de Fsica 1998). "Laverdaderaignorancianoeslaausenciadeconocimientos,sinoelhechoderehusarsea adquirirlos" (Karl Popper) Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior APUNTES SOBRE MTODOS ESTADISTICOS Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior GeneralmentecuandoseescuchalapalabraEstadsticainmediatamentesepiensaendatos, cuadros, grficos, etc. En verdad no es una idea equivocada, sino ms bien, una idea popular desta,peronoeslonicoyenlaconcepcindelaEstadsticaModernatampocoelms importante. Lasprimerastcnicasestadsticasconsistanprincipalmenteenlaorganizacin,presentacin grfica y el clculo de ciertas cantidades "sobresalientes de un grupo de datos. Esta parte de la disciplina es lo que, en la terminologa moderna, se conoce como Estadstica Descriptiva. LaEstadsticaDescriptivaeslaramamsantiguadelaEstadsticaytieneporobjetivo, presentarinformacindeunamanerasencillayestticayquealmismotiempo,sea aprehensiblealojohumano,esdecir,fcildeentender.Aunquesucampodeaccinseha vistoreducido,esindudablesuutilidad.ParaquelaEstadsticaDescriptivacumplasu cometido utiliza tres mtodos, Mtodos Tabulares, Mtodos Grficos y Mtodos Numricos. Supngase ahora, que se est interesado en saber cul es el ingreso promedio de las personas que tienen pensin en el mercado los Pozos, de Santa de la Sierra, Bolivia. Supngase adems, que este sector ha crecido de tal forma que se hace imposible estudiarlas en su totalidad. Por talraznsededuceunamuestradeestapoblacinporcualquiermecanismoaleatorioyse realizalatomadelainformacindeseadayseobtieneundatopromediocualquiera,por ejemplo,Bs550.Atravsdelmtododerazonamientoqueconduce aunaextensindeeste resultado a la poblacin de inters, se podra concluir que las personas que tiene pensiones en dicho mercado, tiene un ingreso promedio de Bs 550. Elmismohechodequeseestestudiandounafraccindelapoblacin,indicaquesetiene una informacin incompleta y que es, lo comnmente que pasa en la realidad; pero, qu pasa si el azar proporcion las personas con pensiones que venden ms o bien que venden menos?. Sisedaelprimercasoseestarasobreestimandoyenelcasocontrariosubestimandoel ingresopromediodeestaspersonas.Enestemomentosurgeunadudasobrelainformacin queenEstadsticaModernaselaconocegeneralmentecomoIncertidumbreyquesiempre estar presente en conclusiones que se deriven por medio del mtodo inductivo.Ahora la pregunta que surge es la siguiente, qu papel juega la Estadstica en esto?. El papel de la Estadstica en este proceso es cuantificar la incertidumbre y la rama de la estadstica que se encarga de ello se le llama Estadstica Inferencial que utiliza el mtodo Probabilstico. Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior Enconclusinyaseaporquelasedisponedeinformacinincompleta,odebidoalapropia variabilidaddelainformacin(naturaleza),esmuycomnquesearribeaconclusionesa travs del mtodo inductivo, en el cual las mismas son inciertas. El conjunto de tcnicas que permite realizar inducciones en las que el grado de incertidumbre es cuantificable, integran la ramadelaEstadsticaconocidacomoInferenciaEstadsticaoEstadsticaInductivao Inferencial. POBLACIN, ATRIBUTOS Y VARIABLES Se dice que los estadsticos extraen datos de las muestras y que esta informacin les sirve para hacerinferenciasobrelapoblacinquelamuestrarepresenta.Esasque,lostrminos, muestray poblacin se consideran relativos. Elconceptodepoblacinvaavariardeacuerdoalcampodelacienciadondeseaplique. Desde un punto de vista estadstico, poblacin; es el conjunto de resultados potenciales de un experimentoaleatorio,esdecir,todoslosvaloresquepuedetomarunacaracterstica (variable).Enpalabrasmssencillassepuededecirquepoblacin,esunconjuntodeentescon caractersticaspropiasquelosdiferenciandeotras.Conesteconceptosepuedeteneruna poblacin de rboles, de sillas, de tizas, etc. Un aspecto importante a retomar es que desde el puntodevistaestadsticounapoblacinesimportantecuandoserequiereverificar(medir) una caracterstica (variable) en ella. Atributos Supngaseelsiguienteejemplo.Setieneenunauladeclaseungrupode20estudiantesy supongaadems,queelestudiantedelaprimerafilaesalto,colordepielblanca,cabello castao, ojos claros, etc. Si a los 20 estudiantes se les considera como una poblacin, se puede decirquelosdetallesantesmencionadoscorrespondenacaractersticaspropiasdeun miembro de esa poblacin, o sea, son atribuciones propias del estudiante en particular. Con el ejemplo antes citado, se puede tratar de deducir un concepto de Atributo, diciendo que es una caracterstica propia de cada elemento de una poblacin. Variable Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior Retomandoelejemploanterior,supngaseahora,queselespreguntaaloscincoprimeros estudiante su estatura los cuales responden de la siguiente manera: 1.76, 1.69, 1.83, 1.72, 1.77 De hecho estas alturas corresponde a atributos de los cinco primeros estudiante. Si se observan los datos anteriores, se puede constatar que el atributo estatura cambia de un estudiante a otro. Con esta idea se puede plantear un concepto de variable. Variable es un atributo medible que cambia de un elemento a otro de la poblacin, es decir, es toda caracterstica que cambiay que est sujeta a medida o cuenta. Supngase ahora, que los cincos primeros estudiantes poseen la misma altura, ejemplo, 1.73. Dado que el atributo altura en este caso no cambia, no se puede considerar como una variable, peros,esunatributo.Deloanteriorsepuedeconcluir,queunavariablesiempreserun atributo, pero un atributo no siempre es una variable. Las variables siempre se denotan por la letras maysculas del alfabeto y los valores que toman (observaciones) con letras minsculas. ELEMENTOS DE LAS VARIABLES Siemprequesedeseeconstatarunavariableenunelementodelapoblacindeinters,sta debe de poseer cuatro elementos: a.-Nombre b.-Definicinc.-Conjunto de categoras o valores que puede tomar la variable d.-Procedimiento que permita clasificarla Nombre Cuando un investigador toma los datos correspondiente a una variable, ste tiene que saber el nombre de la variable, de lo contrario cmo va a tomar informacin de una variable si no sabe el nombre de sta. En si el nombre est referido a cmo se conoce o se nombra la variable en el campo del conocimiento que corresponde. Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior DefinicinViene a ser la esencia de la variable. Todo investigador tiene que definir la (s) variable (s) que vaaestudiar.Estenombreescmoseconcibelavariableenelcampodelaciencia correspondiente,esdecir,cmosedefine.Sielconceptonoexiste,sedebeconstruirel constructo por parte de investigador. Por ejemplo, supngase que un investigador est tomando el peso a un grupo de nios, l toma los datos cuando los nios no han desayunadoysin ropa alguna. Este investigador tiene que reportaralmomentodedaraconocerlainformacincmolohizoporquequizsotro investigadorlopuedehabertomadoconropaydespusdedesayunar.Inclusivedebede especificarelequipoconelcualverificelvalordelavariableenloselementosdela poblacin estudiados dado que pueden variar en precisin. Conjunto de categoras o valores que puede tomar la variable Noesmsqueelserdelavariable.Estaserefierealascategorasconvencionalmente admitidapor la sociedad. Por ejemplo; si en un grupo de personas se mide la variable sexo, de hecho se refiere al sexo anatmico y no al comportamiento sexual, por lo tanto las categoras que puede tomar son masculino femenino o bien macho hembra. Silavariableesedad,entoncessegnelestadodondesemidapuedeserdas,semanas, meses, aos. Procedimiento que permita clasificarla Este elemento de las variables en muchos casos es muy complejo, pero se soluciona en parte si existe una adecuada definicin de la variable que el investigador desee medir. Sise retoma el ejemplo anterior donde se quiere medir la variable sexo en un grupo de personas. En este caso lavariablesedefinecomosexoanatmicodecadapersonaquecomponenalgrupo.Ahora bien,elhechodequeunapersonadigaqueesdesexomasculinonoimplicaquenosea homosexual,peronoeslaconductasexuallaqueseestmidiendo,sinoelsexoanatmico. Por tal razn, aunque este elemento de la variable es complejo, con una definicin clara de lo que se desea medir se resuelve. De acuerdo a los valores que puede tomar una variable, sta se puede clasificar en: Variables cualitativas: no se pueden medir numricamente, representan caractersticas de las variables (categoras, por ejemplo: nacionalidad, color de la piel, sexo).Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior Variablescuantitativas:tienenvalornumrico(edad,preciodeunproducto,ingresos anuales). Porsuparte,lasvariablescuantitativassepuedenclasificaratendiendoalosvaloresque pueden tomar en discretas y continuas:Discretas: Son todas aquellas que toman valores que se pueden contar, es decir, que se pueden enumerar (1, 2, 8,-4, etc.). Por ejemplo: nmero de hermanos (puede ser 1, 2, 3...., etc, pero, por ejemplo, nunca podr ser 3,45).Continuas:puedentomarcualquiervalorrealdentrodeunintervalo.Porejemplo,la velocidad de un vehculo puede ser 80.3 km/h, 94.57 km/h..., etc. ESCALAS DE MEDICIN Medir una variable significa constatar la observacin en los elementos de la poblacin que es objetodeestudio,esdecir,consisteenverificarquevalortomalavariableenlaunidadde anlisis.Loanteriorimplicaqueparamedirunavariable, sta tienequeserobservableenel mundoreal,manteniendoelprincipiofundamentaldelaconstruccindeunavariableque consiste en que sus categoras deben de ser totalmente inclusivas y mutuamente excluyentes. En Estadstica se definen cuatro niveles o escalas de medicin las cuales son: a.- Escala Nominal: En esta escala lo nico que puede decirse de una observacin es a cul de un cierto nmero de categoras pertenece. En esta escala de medicin la nica relacin que puede establecerse entre observaciones es la de igualdad y por lo tanto de desigualdad. Dos observaciones son iguales si estn en la misma categora(llamadastambinclases)ydiferentesinoloestn.Comoconsecuenciadelo anterior, la nica estadstica vlida para este tipo de datos es la frecuencia de cada clase.Ejemplo, supngase que en grupo de personas se desea medir el estado de salud con respecto a unaenfermedadenparticular.Enestecasolaconstatacindelavariable(medicin)enlos miembros de la poblacin debe de concluir en que estn o no afectados por la enfermedad. b.- Escala Ordinal:Las observaciones medidas en esta escala pueden ordenarse de menor a mayor,yenconsecuencianosloseadmitenlasrelacindeigualdad,sinoademslade Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior mayor qu y menor que. Muchos de los estudios realizados en las Ciencias Sociales producen observacionesquesonmedidasbajoestaescala,porlodifcilqueesmediractitudesenlos seres humanos. En esta escala adems de calcularse frecuencias como en la escala nominal, se puede calcular una medida de tendencia central llamada Mediana. Un ejemplo clsico de esta escala es la jerarquizacin que existe en la iglesia y el ejrcito. Coronel > Teniente > Subteniente > Sargento > Cabo > Soldado c.-EscaladeIntervalo:Conobservacionesenestaescalanoslosepuedenordenarselas observaciones, sino que adems puede definirse una unidad de distancia (puede ser arbitraria) entre ellas. La principal diferencia de esta escala con la de Proporciones es que en la escala de Intervaloelceroylaunidaddedistanciasonarbitrariosy,enparticular,elcerono corresponde a una caracterstica fsica de las unidades de medidas.Un ejemplo clsico en esta escala es la medicin de la temperatura. Dado que los requisitos indispensables para efectuar sumas y productos son que existan ceros yunaunidaddedistancia,conlasobservacionesmedidasbajoestaescalapuedecalcularse medidasdetendenciacentralcomolamediaydedispersincomolavarianza.Portalrazn esta escala es ms fuerte que la Nominal. b.-EscaladeProporcinoRazn:Enestaescalalasobservacionespuedenordenarsey existen un cero y una unidad de distancia que son inherentes al sistema, es decir, que no son arbitrarios. Ejemplos tpicos de caractersticas medidas en esta escala el peso de un individuo, el rendimiento por hectrea de unaplanta, etc. Esta es la escala de medicin ms fuerte que existe y por lo tanto permite el clculo de cualquier estadstica. ORGANIZACIN DE LA INFORMACIN Resulta de mucha importancia en el campo de la investigacin, utilizar tcnicas que permitan apreciardeunaformarpidayfcilmenteaprehensibleuntipodeinformacindondese resalten los aspectos ms importantes. Estas tcnicas o mtodos debern poseer caractersticas o propiedades que faciliten lo antes mencionado. Entre estas propiedades se pueden mencionar las siguientes: Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior 1.Que proporcionen la mxima cantidad de informacin contenida en los datos en forma rpida y fcil de visualizar. 2.Que posean sencillez operativa3.Que permitan presentar los datos de una manera esttica. LaEstadsticaDescriptiva,comosehamencionadoantes,tienecomopropsitomostrarla informacindeformasencilla,esdecir,entendible.Paraellohaceusodetresmtodoslos cuales son: Mtodos Tabulares y Grficos y Mtodos Numricos. Entre los mtodos tabulares estn las Tablas de Frecuencias o Tablas de Distribucin de Frecuencias. NOTACIN DE SUMATORIA. PROPIEDADES Supngase que la variable X, toma los valores de x1, x2, x3, ..., xn. Entonces, la suma de los valores xi de la variable X sera: x1 + x2+ x3 +... xn. Conelobjetodeexpresarestasumadeunamaneramsresumida,sehaceusodelaletra griegaSigmamayscula(),lacualeselsmboloutilizadoenmatemticasparaindicarla suma, de tal manera que:

; donde: i=1 se lee como la suma de i=1 a i=n de x, lo cual indica que la variable x toma valores para i=1, 2, 3, ..., n, o sea:

i se llama ndice de suma y es una variable que toma los valores 1, 2, 3, ..., n. La expresin i=1 indica en este caso que 1 es el valor inicial de i (no siempre el valor inicial comienza de 1). La n arriba del signo, indica el ltimo valor de i. A xi se le llama sumando Propiedades de la sumatoria Seanx1,x2,...,xnyy1,y2,...,yndosconjuntosdedatos,yaybdosconstantes arbitrarias. Entonces: 1.

2. ()

Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior 3.

4. ( )

5. ( )

La demostracin de cada una de estas propiedades se deja como prctica para el estudiante. Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior METODOS TABULARES Tablas de Frecuencias Relativas y Absolutas Comounaantesaladeloquesontablasdefrecuenciasrelativasyabsolutassemencionaa continuacinlasformasinicialesdepresentacindeinformacin,susventajasydesventajas de tal manera que el estudiante comprenda la lgica de cada uno y por qu se usa una en vez de otra. Una de las primeras formas de presentacin de informacin es el arreglo de los datos el cual es unadelasformasmssencillasdepresentardatos.Ponelosvaloresenordenascendenteo descendente.Por ejemplo, acontinuacinsemuestran lasconcentracionesdecloroenpartes por milln (ppm) de 30 galones de agua tratada. Concentraciones de cloro en ppm de 30 galones de agua tratada 15.616.215.815.815.816.3 16.015.716.016.216.116.8 16.816.415.215.915.915.9 16.015.415.715.916.016.3 16.316.416.615.615.616.9 Una forma sencilla de arreglar estos datos es presentarlos en orden ascendente o descendente. Si se arreglan de manera ascendente quedaran de la siguiente forma: 15.215.715.916.016.216.4 15.415.715.916.016.316.6 15.615.815.916.016.316.8 15.615.815.916.116.316.8 15.615.816.016.216.416.9 Este arreglo de datos ofrece varias ventajas sobre los datos originales o sin arreglar: -Sepuedenlocalizarrpidamentelosvaloresmnimosymximosenlosdatos.Enel ejemplo, el valor mnimo es 15.2 y 16.9 el mximo. -Los datos se pueden dividir en secciones (clases) -Fcilmente se puede apreciar que valores se repiten ms de una vez. Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior Uninconvenientedeestaformadepresentacindeinformacinesquesiempresesigue manejandotodalamasadeinformacinyporlotantoesmuytediosoemplearlaenbases datos muy grandes. Esto quiere decir, que esta forma de presentacin de informacin no tiene capacidaddesntesis,deaququeespreferiblepresentarlosenCuadrodedistribucinde frecuencias. Al nmero de veces que se repite una observacin dentro de una coleccin de datos se le llama Frecuencia Absoluta (fi).La suma de stas tiene que ser igual al tamao de la coleccin de datos (fi = n), en este caso 18 + 12 = 30 (total de las observaciones). A la relacin de cada frecuenciaabsolutaconrespectoaltotal,selellamaFrecuenciaRelativa(fr=fi/fi),la suma de esta tiene que ser igual a 1 o bien a 100 si se le expresa en porcentaje. Este tipo de arreglo es importante cuando la coleccin de datos es pequea. Los datos anteriores arreglados en un cuadro de distribucin de frecuencia se muestran a continuacin: xififrxififr 15.213.3316.113.33 15.413.3316.226.67 15.6310.0016.3310.00 15.726.6716.426.67 15.8310.0016.613.33 15.9413.3316.826.67 16.0 413.3316.913.33 Total 1860.00Total1240.00 Hay autores que consideran la siguiente forma de presentacin de cuadros de frecuencia donde incluyen elementos que son propios de las Tablas de Frecuencias Absolutas y Relativas. Esto se muestra a continuacin: Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior VariableFrecuencias absolutasFrecuencias relativas xiSimple(fi) Acumulada (Fia) Simple (fr)Acumulada (Fra) X1f1 f1 fr1 = f1 / fiFr1 X2f2f1 + f2fr2 = f2 / fifr1 + fr2 ......... ... ... Xn-1fn-1f1 + f2 ++ fn-1fr-1 = fn-1 / fifr1 + fr2 ++ fr-1 Xnfnfi= nfrn = fn / fi1 100 Veamos un ejemplo: Medimoslaalturadelosniosdeunaclaseconinstrumentaldeprecisinyencondiciones adecuadas,escogiendoatodossuscomponentes,30sujetos,yobtenemoslossiguientes resultados (m): AlumnoEstaturaAlumnoEstaturaAlumnoEstatura 11.25111.23211.21 21.28121.26221.29 31.27131.30231.26 41.21141.21241.22 51.22151.28251.28 61.29161.30261.27 71.30171.22271.26 81.24181.25281.23 91.27191.20291.22 101.29201.28301.21 Puesto que todas las tallas estn comprendidas entre 1.20 y 1.30 m., podemos agruparlas por centmetros formando 11 grupos indicando cuntos nios presentan cada uno de los valores. Si presentamosestainformacinestructurada(agrupada)enuncuadrodefrecuencias obtendramos la siguiente: Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior Cuadro de frecuencia Observacin FrecuenciasfiFiafr (%)Fra 1.20113.333.33 1.214513.3316.66 1.224913.3330.00 1.232116.6736.66 1.241123.3340.00 1.252146.6746.66 1.2631710.0056.66 1.2732010.0066.66 1.2842413.3380.00 1.2932710.0090.00 1.3033010.00100.00 Total 30 100 Si los valores que toma la variable son muy diversos y cada uno de ellos se repite muy pocas veces,entoncesconvieneagruparlosporintervalosmayores.yaquedeotramanera obtendramos una tabla de frecuencia muy extensa que aportara muy poco valor a efectos de sntesis.Supongamosqueahoramedimoslaestaturadeloshabitantesdeunavivienda(tambin30 personas) y obtenemos los siguientes resultados (m): HabitanteEstaturaHabitanteEstaturaHabitanteEstatura 11.15111.53211.21 21.48121.16221.59 31.57131.60231.86 41.71141.81241.52 51.92151.98251.48 61.39161.20261.37 71.40171.42271.16 81.64181.45281.73 91.77191.20291.62 101.49201.98301.01 Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior Losdatossonmenoshomogneos(msdispersos)queenelcasodelosniosdeungrupo escolar(todosdelamismaedad)ysipresentramosestainformacinenuncuadrode frecuenciaobtendramos 30 lneas (una para cada valor), cada uno de ellos con una frecuencia absolutade1yconunafrecuenciarelativadel3.3%.Estatablanosaportaratoda lainformacin inicial, pero sera muy difcil de manejar si en vez de 30 personas fueran 300. 3000oms:endefinitiva,deescasovalorprctico.Loquequieredecir loanterior,esquesi bien es cierto que los cuadros de frecuencias tienen ms capacidad de resumir la informacin, esto no siempre se logra ya que depende de las caractersticas propias de la informacin. Enlugardeello,podramosagruparlosdatosporintervalosllamadostambinTablasde FrecuenciasAbsolutasyRelativas,conloquela informacinquedamsresumida(sepierde por tanto algo de informacin), pero es ms manejable e informativa. Una tabla de frecuencia absoluta y relativa no es ms que la agrupacin de una base de datos en subgrupos llamados clases o intervalos de clases.Cadaintervalodeclaseoclaseposeedoselementos,LmiteinferioryLmitesuperior.La semisumadeambosoriginaunelementomsenunatabladefrecuenciaabsolutayrelativa denominado Punto medio de clase (PMC) o bien Marca de clase. El primer tropiezo que se afronta es decidir cuntas grupos o clases debern establecerse y si stastendrnlamismaanchura.Esrecomendableenlaprcticautilizarentre5y20clases inclusive hay autores que recomiendan hasta 25 clase, y normalmente conviene construirla de modoquetodaslasclasestenganlamismaanchura.Laanchuradeclaserecibetambinel nombre de Intervalo deClase o bien Amplitud de clase.Una manera de resolver este problema es utilizar la frmula de Stirling (Sturge) K = 1 + 3.33* log(n),dondekeselnmerodeclasesointervalosquesedebenconstruir.Paraelcasoen cuestin sera: k = 1 + 3.33*log10(30) = 5.87. Como se puede recordar que nmero de intervalos viene a ser una variable cuantitativa discreta, entonces tiene que tomar valores cerrados. De acuerdo a lo anteriorybasadoenleyesmatemticasseredondeaalinmediatosuperior,esdecir,6.Hay autores que sugieren siempre esto. Un segundo problema que se afronta se refiere ala determinacin del Ancho del Intervalo de Clase.Esteproblemaseresuelvecalculandoprimeramenteladiferenciaentreelmayoryel Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior menor valor numrico de los datos, llamado tambin Rango, Recorrido o Amplitud(A). En el caso del ejemplo es: A = 1.98 - 1.01 = 0.97. Esto indica que la suma de las amplitudes de clase de los intervalos de clase deber cubrir al menos esta diferencia. Si 0.97 se divide entre 6, se obtieneunresultadode0.16.Sisemultiplicalaanchuradeclase(Ac)determinadaporel nmerodeintervalosK=6,(alresultadoselellamaRangoIdeal)setieneelsiguiente resultado: 0.16*6 = 0.96. Si se recuerda la amplitud de los datos es de 0.97, por lo tanto esta anchuradeclase(Ac)noessuficienteparacubrirlaportalrazn,algunosautores recomiendan redondearlo al inmediato superiorque en este caso sera de 0.17. Repitiendo el proceso, se tiene que 0.17*6 = 1.02. Un aspecto importante de sealar es que si bien es cierto quesepasade1.98con3centsimas,cubrelaamplituddelosdatos.Porestosediceque Ac*k = al menos debe ser igual a la amplitud de los datos, es decir, no importa si se pasa del valor mximo. Un tercer aspecto que hay que resolver es por donde iniciar la construccin de los intervalos declases.Paraelcasodevariablescuantitativascontinuas,sehabladeunamedidade desplazamiento(MD)queesigualalRangoideal(RI)menoslaAmplituddelosdatos(A), donde RI es igual Ac * k, esto es: MD = RI A, entonces: MD = [(0.17*6) 0.97]/2 =0.025, o aproximadamente 0.03. Esteeseldesplazamientoquedebetenerelvalormnimoparainiciarla construccindelos intervalos.Al construir el primer intervalo, al valor mnimo le restamos el desplazamiento es decir,1.010.03=0.98,steesellmiteinferiordelprimerintervalodeclaseysulmite superiorser0.98+Ac,esdecir,0.98+0.17=115,Paraelcasodelsegundointervalode clase, su lmite inferior es el lmite superior del primer intervalo de clase o sea 115 y el lmite superiorser1.15+0.17=1.32yassucesivamentehastallegaralnmerodeintervalos definidos. Esto es continuidad, ya que no existe ruptura entre intervalos. Entonces,paraestetipodevariable(cuantitativacontinua),losintervalosdeclasesson abiertos por la izquierda y cerrados por la derecha. Luego se determina los Puntos Medios de Clase o Marcas de Clase en la segunda columna de la tabla, esto es: PMC = (Li + LS)/2. Posteriormenteenunaterceracolumnasedeterminanlasfrecuenciasabsolutas,queeneste caso se define como el nmero de observaciones que caben dentro del intervalo de clase. Para Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior que quepa una observacin dentro de un intervalo de clase en este tipo de variable, ste tiene que ser mayor que el lmite inferior o menor o igual que el lmite superior. La tabla antes mencionada quedara de la siguiente forma: Intervalos de ClasePMCfifrFiaFra 0.98 a 1.151.06526.6726.67 1.15 a 1.321.235516.67723.33 1.32 a 1.491.405826.671550.00 1.49 a 1.661.575723.332273.33 1.66 a 1.831.745413.332686.67 1.83 a 2.001.915413.3330100 30100 Paraelcasodevariablescuantitativasdiscretas,losintervalosdeclasessoncerradospor ambos lados. Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior METODOS GRAFICOS Dentro de las representaciones grficas se pueden mencionar las siguientes: -Diagrama de puntos -Pictogramas -Diagrama de barras sencillas, dobles, mltiples -Diagrama de sectores torta o pastel (pie) -Histogramas de frecuencias -Polgono de frecuencias absolutas relativas -Polgono de frecuencia acumulada por la izquierda (menor que) u ojiva -Grficos de lnea, etc. Para efecto de este texto se desarrollarn los principales como son el Diagrama de Puntos porsurelacinconelDiagramadedispersin,Histogramadefrecuencia,Polgonode frecuencia, Ojiva y Diagrama de sectores. Diagrama de Puntos Sirvepararepresentargrficamentecuadrosdefrecuenciasenlascualesseconsideran nicamenteunavariableyunacantidadasociadaacadavalordelamisma(frecuencias). Existen dos tipos de diagramas de puntos cuya construccin se detalla enseguida. La construccin de los diagramas de puntos se realiza de la siguiente manera: -Elprimertipodediagramadepuntosseconstruyecolocando enelejehorizontal los valores de la variable y en el eje vertical las cantidades asociadas a stos (frecuencias). Finalmente,paracadavalordelavariableycadacantidadasociadasedibujapuntos cuyas alturas corresponde a la magnitud de dicha cantidad. -Paraconstruirelsegundotipodediagramadepuntossecolocanenelejehorizontal losvaloresdelavariableysobrecadavalorsedibujatantospuntoscomoveces aparecen stos.Paraejemplificarelprimercasoseretomarlasalturasdelos30habitantesquehansido mencionados anteriormente.Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior Enestecasosepuedeobservarquelosvaloresdelavariablealturaseencuentraneneleje horizontalyenelvertical,elnmerodehabitantes,yelpuntoestcompuestoporlas coordenadas (altura, Nmero de habitantes con esa altura). Histograma Se llama Histograma a la grfica de barras verticales sin espaciamiento entre ellas, construida colocandoenelejeverticalalasfrecuenciasabsolutasrelativasyelejehorizontalalos lmites de clase de una tabla de frecuencias. Lo anterior implica que si los intervalos de clases soniguales,sobrecadaclaseseerigenrectnguloscuyasreassonproporcionalesalas frecuenciasdeclase.Lasetapasquesedebendecubrirenlaconstruccindeun histograma son: -Colocar en el eje horizontal los lmites de clases -Colocar en el eje vertical las frecuencias relativas o absolutas. -Erigir rectngulos cuya base son las clases y su altura las frecuencias que corresponde a cada clase Paraejemplificarestemtodogrficosetomaralatabladefrecuenciaabsolutay relativa y las frecuencias absolutas asociada a cada clase. 0 0.5 1 1.5 2 2.5Estatura (mt) Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior En este caso, dado que se utiliz la frecuencia absoluta para construir el histograma entonces el histograma toma el nombre de Histograma de Frecuencias Absolutas. Polgono de Frecuencia Unpolgonodefrecuenciaesunagrficadelneasrectasqueunenlospuntosobtenidosal colocar en el eje horizontal a los valores medios (puntos medios) de clases y en el eje vertical alasfrecuenciasabsolutasorelativas.Estoequivaleaunirlospuntosmediosdelacara superior de los rectngulos de un histograma por medio de lneas rectas. Para cerrar el polgono se adiciona una clase tanto inferior como superior para que el polgono cierre. 0123456789Frecuencias absolutas Intervalos de clases 0123456789Frecuencias absolutas Puntos Medios de Clases Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior En este caso al igual que el histograma, el polgono retoma el nombre de la frecuencia que se ha utilizado para construir. Polgono de Frecuencia Acumulada por la Izquierda o Ojiva

UnaOjivaoPolgonodeFrecuenciaAcumuladaesunagrficaconstruida consegmentosde lneasrectasqueunenlospuntosobtenidosalcolocarenelejehorizontalaloslmites superiores de clase y en el vertical a las frecuencias acumuladas absolutas o relativas. Al inicio en el eje horizontal se coloca el lmite inferior de la primera clase y se le asigna una frecuencia acumulada de cero. Asimismo, por su naturaleza una ojiva es no decreciente. Retomandocomoejemplolamismatabladefrecuenciaabsolutayrelativa,setomarnlas frecuencias absolutas acumuladas por la izquierda o menor que de sta. Diagrama de Sectores (Torta o pastel) Este tipo de grfico se utiliza para representar datos cualitativosy cuantitativos discretos. Su uso ms frecuente es con el propsito de comparar ya sea las categoras que toma una variable cualitativa o los valores discretos de una variable cuantitativa respecto al total. Paraconstruirestegrficoseutilizaunacircunferencia,lacualsedivideensectoresdetal manera que sus medidas angulares centralesy, por ende la superficie del sector circular sean proporcionales a las magnitudes de los valores de la variable que se trata de representar. Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior Al total de las frecuencias (fi = n) le corresponde el crculo completo, es decir, los 3600 de la circunferencia y por regla de tres simple se determina el nmero de grados que le corresponde a cada categora o valor discreto en particular. Ejemplo: Losdatosquesemuestranacontinuacincorrespondenaladistribucindelosdocentesde una universidad en particular, respecto al lugar de realizacin de estudios de diplomados. Lugar de realizacin del Diplomadon% Extranjero1913.87 Universidad de Inters8763.5 Otras universidades bolivianas3122.63 Total137100 Tratando de representar estos datos en diagrama de sectores se tiene lo siguiente: Nmero de grados para la categora Extranjero.

= (19 x 3600) =49.9 = 50 137 Delamaneraquequedaradelasiguienteformaunavezquesehayanrealizadolas operaciones correspondientes: Lugar de realizacin del DiplomadonGrados Extranjero1950 Universidad de Inters87229 Otras universidades bolivianas3181 Total137360 De forma grfica se vera de la siguiente forma: Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior Extranjero 14% Universidad de Inters 63% Otras universidades bolivianas 23% Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL O POSICIN Como se pudo observar en la unidad anterior los histogramas o distribuciones de frecuencias presentanformasmuyvariadas,porloquenoesfcildecomparardosconjuntosdedatos medianteunainspeccinsomeradeloshistogramas.Porotraparte,unatabladefrecuencia con 15 a 20 clases puede no ser una representacin suficientemente concisa de los datos. Por estas razones y por su importancia en posteriores usos es necesario contar con cantidades que describansucintamente(rpidamente)elconjuntodedatosqueseestudia.Sondeinters cantidadesquelocalicenel"centro"delasobservaciones(omsbiendesudistribucinde frecuencias) y la dispersin o variabilidad de las mismas.Alasmedidasquelocalizanel"centro"delosdatosselesllama"MedidasdeTendencia Central"ylasquemidenlavariabilidaddelasobservacionesselesllama"Medidasde Dispersin". Dentro de las medidas de Tendencia Central se pueden mencionar las siguientes: Media o promedio Media ponderada Media Geomtrica Media Armnica Media Cuadrtica Mediana Moda Porelgradodeaplicabilidadserndesarrolladalasiguientesmedidasdetendenciacentral: media aritmtica, mediana y moda y, como un caso especial de la media aritmtica, la media ponderada. Media Aritmtica Tambinllamadamedia.Def:LamediaaritmticadenobservacionesdelavariableXse denotar por, y se define como la suma de ellas dividida por "n". Esto es:

Ejemplo: Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior Sean los siguientes datos x1=2, x2=12, x3=9, x4=10, x5=7. La media aritmtica de estos datos es:

Desde un punto de vista geomtrico, la media aritmtica corresponde al punto de equilibrio de los datos. La media aritmtica es la medida descriptiva de tendencia central ms usada. Tiene la ventaj a deserfcildecalcular,ademsdeposeerpropiedadestericasexcelentedesdeelpuntode vista de la estadstica inferencia. Su principal desventaja es que, por ser el punto de equilibrio delosdatosesmuysensiblealapresenciadeobservacionesextremas.Porotroladosu clculo se vuelve tedioso cuando la base de datos es muy grande. Otra desventaja es que no se puede calcular en datos que tienen intervalos de clases abiertos. Clculo de la Media Aritmtica en Tablas de FrecuenciasEn muchas ocasiones se nos presenta el problema de estimar la media a partir de una tabla de frecuencias. Esto se da por dos razones: -Yasehanpresentadolosdatosenformaresumidaynosedisponedelas observaciones originales. -Cuando se dispone de las observaciones originales, pero su nmero es tan grande que las operaciones aritmticas necesarias para el clculo de la media requieren de mucho trabajo.Entonceselusodeunatabladefrecuenciassimplificaconsiderablementeel trabajo. Se debe de recordar que cuando se tiene una tabla de frecuencias con k clases se da lo siguiente:

Enunaclasesetienenfiobservaciones(frecuenciaabsoluta),lascualespuedentener cualquiervalorentreellmitesuperioreinferiordeesaclase.Paracalculardeunamanera aproximadalamedia,sesuponequelasobservacionesseencuentranuniformemente distribuidasenelintervaloy,porlotanto,elvalormediodeclase(Puntomediodeclaseo Marca de Clase) es un valor representativo de esa clase.Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior Conestasuposicinelclculodelasumadelasobservacionessesimplificadelasiguiente manera:

Esta expresin representara la suma aproximada de las observaciones; por lo tanto, la media aritmtica se estimara de la siguiente manera:

Todo lo anterior es posible siempre y cuando no se tengan clases abierta en la tabla. Ejemplo: Para ejemplificar la media aritmtica para datos tabulados se retomar la tabla de frecuencias absolutas y relativas que se ha expuesto anteriormente, la cual corresponde a la estatura de 30 personas. Se pide estimar la estatura promedio de estas personas.Esimportanteverqueloquesehasolicitadoesunaestimacindelaestaturaynouna determinacinyaqueendatoslonicoquesepuedehaceresunaestimacinyaquela determinacin se la realiza en los datos originales. Retomando la ecuacin de estimacin de la media aritmtica setiene lo siguiente: Intervalos de ClasePMCfiPMC*fi 0.98 a 1.151.06522.13 1.15 a 1.321.23556.175 1.32 a 1.491.405811.24 1.49 a 1.661.575711.025 1.66 a 1.831.74546.98 1.83 a 2.001.91547.66 Total45.21 Promedio 45.21/30 = 1.507

La estimacin proporcion un valor de 1.507 m/persona. La determinacin del promedio en la basededatosoriginal,esde1.513m/persona.Siempreseobservarunadiferenciaquees producida por el hecho de que en una tabla de frecuencia lo que se realiza es una estimacin y nounadeterminacin.Estadiferenciasercadavezmenorsilamedidadedesplazamiento para construir la tabla sea pequea. Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior Propiedades de la Media Aritmtica Lamediaaritmticatienemuchaspropiedadessinembargo,soloseexpondrunaporla relevancia que tiene a nivel de inferencia y es la siguiente: -La suma algebraica de las desviaciones de un conjunto de nmeros respecto a su media aritmtica es cero, es decir:( )

. Esta es la razn por la cual le media se la interpreta como el punto de equilibrio de una coleccin de datos numrica y adems, es por ello que en Estadstica se le conoce como el primer momento. Mediana Es el valor de la serie de datos que se sita justamente en el centro de la muestra (un 50% de valores son inferiores y otro 50% son superiores).No presentan el problema de estar influido por los valores extremos, pero en cambio no utiliza en su clculo toda la informacin de la serie de datos (no pondera cada valor por el nmero de veces que se ha repetido).La mediana (Me) de un conjunto de n nmeros, ordenados de menor a mayor, es el nmero central en el arreglo. Si n es un nmero non, slo hay un valor central. Si n es un nmero par, haydosvalorescentrales,ylamedianadebetomarsecomolamediadeestosdosvalores. Ejemplo... 1.- Sean la siguiente coleccin de datos: 27, 3.4, 3.2, 3.3, 3.1 El primer paso para determinar la Mediana en datos sin tabular es ordenar los datos en orden ascendente o descendente de tal forma que: 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 27. Dado que n es un nmero non o impar (n=5), entoncesslo hay un valor central (3.3) y ste es el valor de la mediana. Me = 3.3 2.- Calcular la mediana para los siguientes datos y ordenados: 151, 152, 153, 158, 162, 167, 167, 167, 168, 173 Enestecasonespar(n=10),porloquehaydosvalorescentrales,queson162y167. EntoncespartiendodelconceptodeMediana,laMeeslamediaaritmticadeestosdos valores ya que antes y despus de ella, no existe ms del 50% de los datos. Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior Me = (162 + 167)/2 = 164.5. Entonces cuando este sea el caso la Me, se puede determinar de la siguiente forma:

Cuandolosdatossonsimtricosentrelamedianaylamediaaritmticanohaymucha diferencia;sinembargo,paradatosnosimtricosesmejormedidadetendenciacentralla mediana que la media. Clculo de la Mediana en datos tabulados Cuando los datos estn agrupados en clases, es decir, cuando existe una tabla de distribucin de frecuencias, para estimar la mediana se utiliza la siguiente ecuacin:

( )()

Donde: Me = Mediana a = Lmite inferior de la clase de la Mediana b = Lmite superior de la clase de la Mediana c = Frecuencia relativa acumulada una clase antes de la clase de la Mediana d = Frecuencia relativa de la clase de la Mediana Como se puede observar todos los insumos requeridos para la determinacin de la Me, estn en la misma tabla.Como se haverificado anteriormente, la mediana es aquella medida de tendencia central que antes y despus de ella no existe ms del 50% de la informacin, es decir, parte en dos la base dedatos.Apartirdeestoesquesepropusopartirlabasededatosencuatropartesysele llam cuartiles, luego en 10 partey se les llam decilesy luego en 100 partesyse les llam percentiles.AtodoestosellamanFractiles,loscualesnosedesarrollanenelpresente documentoperosiserecomiendarevisarcualquieradelaobrascitadasalfinaldeeste documento para verificar esta informacin. Moda LaModa(Mo)deunconjuntodedatoseslaobservacinovalor(siexiste)queocurrecon mayor frecuencia. Si es un valor nico se dice que la distribucin de frecuencias es unimodal. Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior Si se tienen dos o ms valores con la misma frecuencia mxima se dice que la distribucin es bimodal, trimodal, etc. Ejemplo: sean los siguientes datos las calificaciones de un examen: 10, 7, 8, 7, 9, 8, 7, 9.En este caso la calificacin que ms se repite es 7 ya tiene una frecuencia fi =3, por lo tanto la Mo es 7.Sean los siguientes datos: 10, 6, 7, 4, 13, 16, 18 Como se puede observar en estos datos todos tienen una frecuencia absoluta igual a 1, por lo tantonotienemodaesteconjuntodedatos.Lasdistribucionesdeestetiposelesllaman uniformes. Sean los datos: 4, 3, 4, 7, 2, 7, 5, 4, 7, 5, 9, 7, 4 Aqusepuedeobservarquelosvaloresnumricosconmayoreigualfrecuenciasonlos valores 4 y 7 por lo tanto la moda de estos datos es 4 y 7, o sea que una distribucin bimodal. Cuando los datos se encuentran organizados en Cuadros de frecuencia, la Mo es el valor que tiene la mayor frecuencia absoluta. Ejemplo: Losdatosquesemuestranacontinuacin,correspondenalaestaturade30personasque conformaron una muestra.Segn el cuadro de frecuencia donde se presenta esta informacin, existen 3 valores que tienen la mayor frecuencia absoluta. Estos son 1.21, 1.22 y 1.28 con fi = 4; por lo tanto existen 3 Modas. stas son: 1.21, 122 y 1.28 m, por lo tanto la distribucin es trimodal. Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior Observacin Frecuenciasfifiafr (%)Fra 1.20113.333.33 1.214513.3316.66 1.224913.3330.00 1.232116.6736.66 1.241123.3340.00 1.252146.6746.66 1.2631710.0056.66 1.2732010.0066.66 1.2842413.3380.00 1.2932710.0090.00 1.3033010.00100.00 Total30100 Cuando la informacin se encuentra organizada en una tabla de frecuencias absoluta y relativa, la Mo se puede estimar a travs de la siguiente ecuacin:

()() () Donde: Mo = Moda Licm = Lmite inferior de la clase modal Acm = Amplitud de clase dela clase modal ficm =Frecuencia absoluta de la clase modal ficprem = Frecuencia absoluta de la clase postmodal ficpostm = Frecuencia absoluta de la clase postmodal Ejemplo: Sea la siguiente tabla de frecuencia absoluta y relativa correspondiente a la variable estatura de 30 personas.Dehecholavariableestaturaesunavariablecuantitativacontinua,ademslatablalo demuestrayaqueentrelosintervalosnoexisteruptura,esdecir,queellmitesuperiordela primera clase es el inferior de la siguiente clase. Es por ello que se dicen que son abiertos por la izquierda y cerrados por la derecha. Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior Intervalos de ClasePMCfi (0.98 a 1.15]1.0652 (1.15 a 1.32]1.2355 (1.32 a 1.49]1.4058 (1.49 a 1.66]1.5757 (1.66 a 1.83]1.7454 (1.83 a 2.00]1.9154 En este caso la clase modal sera aquella que tiene mayor frecuencia absoluta, esta es: (1.32 a 1.49] =8, entonces partiendo de la ecuacin proporcionadaanteriormente:

()() () Mo = 1.32 + 0.17 [(8 - 5)/((8 - 5) + (8 7)) = 1.4475 MEDIDAS DE DISPERSION Estas son las medidas que miden como se dispersan los datos, generalmente alrededor de una medida de tendencia central. Entre stas se pueden mencionar las siguientes: Rango o Amplitud Desviacin Media y Mediana Varianza y Desviacin Tpica Dispersin Relativa Generalmentelasmsutilizadasson:Varianza,DesviacintpicayDispersinrelativao CoeficientedeVariacinyunaqueenlosmtodostabularesyasehautilizadocomoesel Rango. Rango LaAmplitud,RangooRecorridodeunconjuntodedatosesladiferenciaentrelas observaciones de mayor y menor valor numrico en el mismo. R = Valor mximo - Valor mnimo Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior Tiene la ventaja de ser fcil su determinacin, pero no es una buena medida de dispersin ya que solo toma en cuenta dos valores de toda la coleccin y no idea de cmo es la variabilidad dentro de los datos. Varianza La varianza retoma un nombre de acuerdo a dnde se determina. Si la determinacin es en una poblacin se la llama Varianza Poblacional ()ysi es en una muestra se le llama Varianza Muestral (s). La Varianza Poblacin o Variancia de una poblacin finita de N elementos x1, x2, x3, ...xn; se definecomolamediaaritmticadelcuadradodelasdesviacionesdelasobservaciones respectoasumedia;ysedeterminaatravsdelasiguienteecuacinparavarianza poblacional:

()

En caso de que sea muestral y para datos no organizados en una tabla de frecuencia absoluta y relativa, se determina de la siguiente forma:

( )

Para datos tabulados, la varianza se determina de la siguiente manera:

(

)

Existe una frmula de trabajo mucho ms rpido para determinar la varianza muestral para datos no tabulados que resulta de desarrollar en trinomio cuadrado perfecto de la ecuacin. Esta frmula es:

(

)

Ejemplo: Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior Sean los siguientes datos las estaturas de 30 estudiantes de un saln de clases AlumnoEstaturaAlumnoEstaturaAlumnoEstatura 11.25111.23211.21 21.28121.26221.29 31.27131.30231.26 41.21141.21241.22 51.22151.28251.28 61.29161.30261.27 71.3017 1.22 271.26 81.24181.25281.23 91.27191.20291.22 101.29201.28301.21

(

)

xi = (1.25 + 1.28 + 1.27 + 1.21) = 47.1558 xi = (1.25 + 1.28 + 1.27 + 1.21) = 37.6 n = 30 S =47.1558 -(37.6) 30 30-1 S = 0.00105 m Dado que se determina o se estima la varianza se eleva al cuadrado las unidades originales de medicin razn por la cual no se debe comparar con la media aritmtica ya que sta es medida enunidadeslineales.Porestarazn,esqueseproponeunanuevamedidadedispersin llamada Desviacin Tpica. Desviacin Tpica No es ms que la raz cuadrada positiva de la varianza. En este sentido se puede hablar entonces desviacin tpica poblacional y muestral, entonces: = Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior S = S Para el caso del ejemplo anterior, S = 0.00105 = 0.0324 m Este dato indica que los datos se dispersan en promedio 0.0324 m del promedio de la variable Estatura. Coeficiente de Variacin Todaslasmedidasdedispersinantesdescritassonmedidasdevariacinabsoluta.Una medida de la dispersin relativa de los datos, que toma en cuenta su magnitud, est dada por el Coeficiente de Variacin. CoeficientedeVariacin(C.V):Esunamedidadedispersinrelativadeunconjuntode datos,queseobtienedividiendoladesviacinestndardelconjuntodatosentresumedia aritmtica.

Cuando se multiplica por 100 se expresa en porcentaje indicando tanto por uno que se alejan los datos de su media aritmtica. (

) Ejemplificando con los datos anteriores se tendra: C.V=(0.0324/1.253)*100=2.586%,indicandoconelloqueporcadavalordelamedialos datos se dispersan en un 2.586% alrededor de ella. Ejemplo. Seanlasiguientetabladefrecuenciaabsolutayrelativa,lasestaturascorrespondientesa30 estudiantes. La tabla es la siguiente: Intervalos de ClasePMCfi (0.98 a 1.15]1.0652 (1.15 a 1.32]1.2355 (1.32 a 1.49]1.4058 (1.49 a 1.66]1.5757 (1.66 a 1.83]1.7454 (1.83 a 2.00]1.9154 Determineel Coeficiente de Variacin de los datos. Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior Ntese que solo piden CV, entonces necesitamos dos insumos, la desviacin tpicay la media aritmtica de los mismos. Como se necesita S, entonces se necesita de S. Entonces realizando los clculos necesarios en la misma tabla se obtienen todos los insumos para la estimacin del Coeficiente de variacin como se muestra a continuacin. Note que lo que se hizo fue generar los componentes de las ecuaciones a determinar: Intervalos de ClasePMCfi PMCfi PMCfi (0.98 a 1.15]1.06522.26852.13 (1.15 a 1.32]1.23557.62616.175 (1.32 a 1.49]1.405815.79211.24 (1.49 a 1.66]1.575717.36411.03 (1.66 a 1.83]1.745412.186.98 (1.83 a 2.00]1.915414.6697.66 Totales3069.945.21

(

)

S =69.9 -(45.21) 30 30-1 S = 0.0609 S = 0.0780

45.21/30 = 1.507 (

)

C.V =(0.0078/1.507)*100 = 0.5176

Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior DEFORMACION DE CURVAS UNIMODALES Unacurvaunimodalsepuededeformardedosmaneras,respectoaunejehorizontalobien respecto a un eje vertical.CuandosetratadeunadeformacinhorizontalsehabladeAsimetraycuandosehablade deformacin vertical se habla de Curtosis. Asimetra (Deformacin Horizontal) Asimetra es el grado de deformacin horizontal que presente una curva unimodal respecto al eje horizontal. De acuerdo a ello se puede tener lo siguiente: AsimetraPositiva:Sedicequeunadistribucindefrecuenciaunimodalpresentaasimetra positivaoaladerecha,sitieneunaramificacinmsextendidahacialaderecha ohacialos valoresgrandesdeunavariable.Estoindicaquelavariabletiendeatomarvaloresmayores quesupromedioylarelacinqueseestableceentrelasprincipalesmedidasdetendencia central es la siguiente: Asimetra Negativa: Una distribucin unimodal tiene asimetra negativa o hacia la izquierda, si tiene una ramificacin ms extendida hacia la izquierda indicando con ello que la variable tiendeatomarvaloresinferioresasupromedio.Enestecaso,larelacinqueseestablece entre las principales medidas de tendencia central es la siguiente:La siguiente grfica resume la asimetra negativa y positiva Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior Curva Simtrica: En este caso la variable se deforma proporcionalmente con respecto al eje horizontal y la relacin que se establece entre las principales medidas de tendencia centrales la siguiente:

Coeficiente de Asimetra Lamedidamsusadaparacuantificarlaasimetradeladistribucindefrecuenciasdeuna variableX,recibeelnombredecoeficientedeasimetrayquedesdeelpuntodevistade momento (tercer momento) tiene por ecuacin:

Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior

()

Laecuacinantesexpuestaesparadatossinorganizarodatosnotabulados.Aqusepuede observarquesiexistenobservacionesmuygrandesenrelacinalamedia,elcoeficientede asimetratendrunvalorpositivo.Siexistenobservacionesmuypequeas(menorquela media),elcoeficientedeasimetrasernegativoy,finalmente,silasobservacionesestn simtricamentedistribuidasalrededorde lamedia,elcoeficientedeasimetratendrelvalor de cero. Ejemplo. Sea los siguientes datos: 6.2, 7.9, 8.1, 8.5, 8.5, 8.9, 9.1, 10.8 Determine el CAs. = 8.5 s = 1.29

= 2.1388 xi(xi -x)(xi - x) 6.2-2.3-12.167 7.9-0.6-0.216 8.1-0.4-0.064 8.50.00.0 8.50.00.0 8.90.40.064 9.10.60.216 10.82.312.167

= 0 Porlotantosepuededecirqueladistribucinessimtrica,enestecasoelpromedio,la mediana y la moda coinciden en el mismo valor, lo cual puede ser verificado. Paradatosorganizadosenunatabladefrecuenciaabsolutayrelativaelcoeficientede asimetraseestimarsiempreycuandolatablanopresenteclasesabierta,porlasiguiente ecuacin: Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior ( )

Ejemplo: IntervalosPMCfiPMC*fi

*fi( )

fiFia (20.5a 25.5]233691587-2736.998873 (25.5a 30.5]2842117632928-4357.2134445 (30.5a 35.5]3321693228690.573858866 (35.5a 40.5]387266101081042.8498773 (40.5a 45.5]43312955473279.3315176 (45.5a 50.5]4829646087164.8463578 (50.5a 55.5]532106561816733.833180 (55.5a 60.5]582116672832393.181482 (60.5a 65.5]63163396927821.445583 8327149396281341.8493 Obteniendo la informacin necesaria de la tabla:

=1.9309312;porlotanto,laasimetraresultanteesPositiva,estoquiere decir que la , lo cual puede demostrarse con la informacin que proporciona la misma tabla. Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior Medidas de Curtosis (Deformacin Vertical) MedidasdeCurtosisoapuntamiento.SeentiendeporCurtosis,lamedidadedeformacin verticaldeunadistribucindefrecuencias,esdecir,lamedidadeapuntamientoo achatamiento de una distribucin. La Curtosis mide cuan puntiaguda es una distribucin en general por referencia a la normal. La forma de medir la Curtosis o apuntamiento puede ser en funcin de momentos o cuartiles. Curtosis en funcin de Momentos: En este caso el grado de apuntamiento est dado por:

()

; para datos sin organizar En caso que los datos estn tabulados (organizados) y si la tabla no presente clases abiertas se puede estimar Curtosis desde el punto de vista de momento a travs de la siguiente ecuacin: ( )

El coeficiente de Curtosis puede tomar uno de los siguientes valores, indicando con el tipo de deformacin vertical de la curva unimodal. Estos son: Kur>3:Estevalorindicaqueladistribucinesmsapuntadaquelanormalyrecibeel nombre de Leptocrtica Kur= 3: En este caso la distribucin es moderadamente apuntada y se llama Mesocrtica (o apuntamiento normal) Kur < 3: Este indica que la distribucin es menos apuntada que la normal, o sea achatada y se llama Platicrtica Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior TEORIA DE PROBABILIDADES Experimento Aleatorio EnEstadstica,losconjuntosdeinterssoncoleccionesdeobservacionesobtenidas estudiando el comportamientodeunfenmeno,yaseaenestadonaturalobienbajocontrol. Al proceso mediante el cual se obtiene observaciones se llama experimento. Los experimentos u operaciones reales o hipotticas pueden dividirse en dos clases: -Experimento Determinstico -Experimento no Determinstico Un experimento es determinstico si su resultadosestn completamente determinados y puede describirseporunafrmulamatemticallamadatambinmodelodeterminstico(nosonde inters desde el punto de vista estadstico) Ejemplo... Supngase que el experimento consiste en lanzar un objeto (piedra) al aire. De hecho sta va a caer porque posee un peso y por la fuerza de gravedad que ejerce la tierra.De hecho se puede saberculeseltiempoquetardarenhacerlo.Esteexperimentosepuedemodelarporla ecuacin de cada libre de los cuerpos. En este caso de hecho se sabe cul ser el resultado que se obtendr. Otroejemploserasiselanzaunapelotaalagua,stadehechoflotar,encasodeserde hierro pues no flotar. Un experimento es no determinstico si los resultados del experimento no se pueden predecir con exactitud antes de realizar el experimento.Ejemplo... Supngase que un experimento consiste en la aplicacin de un sedante a una persona que tiene dolor de cabeza. Aqu los posiblesresultados pueden ser {sanos, enfermos}. En este caso no se sabe a ciencia cierta cul de estos dos resultados suceder. Otro ejemplo sera el lanzamiento de un dado legal. Aqu los resultados posibles son: {1, 2, 3, 4, 5,6}. Se sabe cules son los posibles resultados,pero no se sabe cul precisamente. En estos ejemplos se puede identificar lo siguiente: Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior .- Cada experimento se puede repetir indefinidamente sin cambiar esencialmente las condiciones. .- Cada experimento es no determinstico. .- Cada experimento tiene varios resultados posibles que pueden describirse con anterioridad con precisin(resultadosapriori).Entoncesaunexperimentoquepresentaslastrescaractersticas mencionadas anteriormente se llama experimentos aleatorio. En otras palabras, unExperimento Aleatorioesaqulcuyosresultadosnopuedenpredecirseantesdesurealizacin,yporlo tanto, estn sujetos al azar. Espacio Muestral y Sucesos Elementales Como se ha observado anteriormente, un experimento aleatorio tiene varios resultados posibles y quepuedenser escritos conprecisin.Entonces:Atodolosresultadosposiblesasociadosaun experimento aleatorio , se le llamaEspacio Muestral y se denotar por M y a cada resultado de un espacio muestral M se llamarsuceso. Ejemplo... Extraerunartculodefectuosodeunlotequecontieneartculosdefectuosos"D"yno defectuosos "N" M = {D, N} .- Lanzamiento de un dado legal M = {1, 2, 3, 4, 5,6} .- Lanzamiento de una moneda.... M = {C, S} .- Designacin de un delegado de un grupo de 50 personas M = {A1,A2,....,A50} ... Ai = i-sima persona Los experimentos aleatorios pueden ser simples o compuestos. Experimentos aleatorios simples son los que se han ejemplificado anteriormente.Unexperimentoaleatoriocompuestoconsisteendosomsexperimentossimplesquepuede ocurrir de forma sucesiva o bien de forma simultnea. Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior Considreseelcasodeexperimentoaleatoriocompuesto:aquellosenquelosexperimentos simples estn unidos por la partcula gramatical "o" en el sentido excluyente y aquellos donde los experimentos simples estn unidos por la partcula gramatical "y". Experimentos compuestos unidos por la partcula "o" excluyente Un experimento compuesto , se dice que es una o-combinacinde los experimentos 1 y 2 s,slos,elexperimento ocurre,cuandoelexperimento1 2ocurren(peronoambos). Esto quiere decir que ocurren de forma sucesiva pero no al mismo tiempo. Ejemplo... Considrese el experimento e consistente en lanzar un dado o una moneda. Determine el espacio muestral del experimento. M1 = {1,2,3,4,5,6} ... lanzamiento del dado 1 M2 = {C,S} ... lanzamiento de la moneda 2. Por lo tanto, el espacio muestral asociado a , es la unin de M1 y M2. Es decir: M = M1 U M2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, C, S} Experimentos compuestos unido por la partcula "y" Unexperimentocompuestoe,sedicequeesuny-combinacindelosexperimentossimples e1ye2,syslos,elexperimentoeocurre,cuandoelexperimentoe1ye2ocurre.Lo anterior trae como consecuencia que si el experimento compuesto es una y-combinacin de los experimentose1ye2,elespaciomuestralMasociadoae,eselproductocartesianodelos espacios muestralesM1 y M2 correspondiente a e1 y e2, es decir: M = M1 x M2. Ejemplo... Se lanza una moneda tres veces. Determine el espacio muestral. Aqu se puede observar que el experimentoe ocurre, si los tres experimentos simples ocurren... ei = 1,2,3; i= i-simo lanzamiento de la moneda. Esto es: M1 = {C,S} M2 = {C,S} M3 = {C,S} Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior e consiste en realizar el experimento 1, luego 2 y luego 3. Por lo tanto: M = M1 x M2 x M3 M = {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, CSC, SSC, SSS} que resulta del producto cartesiano de los espaciomuestralessimplesqueconformanalexperimentocompuestocomosemuestraa continuacin: M1*M2 M3 M2 CS M1CS CCCCCCCS CCCCS CSCSCCSS SSCSS SCSCCSCS SSSSCSSS Otro ejemplo podra ser el experimento aleatorio compuesto consistente en el lanzamiento de una moneda y un dado al mismo tiempo.

M2 M1123456 C(C,1)(C,2)(C,3)(C,4)(C,5)(C,6) S(S,1)(S,2)(S,3)(S,4)(S,5)(S,6) En muchos casos un diagrama, conocido con el nombre de Diagrama del rbol, es ms sugerente para la determinar el espacio muestral de un experimento aleatorio compuesto. Ejemplo... Determine elespacio muestra M del experimento aleatorio compuesto consistente en el lanzamiento de tres monedas al mismo tiempo (2n) = 24 = 16 Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior En este caso el espacio muestral se obtiene con los resultados que tiene cada rama del rbol, es decir, M= {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, CSC, SSC, SSS} Sucesos y Algebra de sucesos (-Algebra de Borel) Comosehamencionado anteriormente,unsucesoesunresultadodeunexperimentoaleatorio. Sisehadefinidoalespaciomuestralcomotodoslosposiblesresultadosdeunexperimento aleatorio,esdecir,sepuedeconcebiralespaciomuestralcomounconjuntouniverso.Siseve desde este punto de vista, se puede hablar entonces de subconjunto y elementos de este conjunto universollamadoespaciomuestral.SellamaEventoacualquiersubconjuntodelespacio muestral y se le denota por A, B, C, D, E, F, etc. As, si A es un evento, entonces A c M, y se le llamar suceso a cada elemento de un espacio muestral y se le designa porw, x, y, etc. Esto es si x es un suceso, entonces x e M. Un evento con un slo elemento es un evento elemental. Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior Ejemplo: considrese como experimento aleatorio al lanzamiento de un dado y al evento A como la ocurrencia de un nmero par. Determine el espacio muestral. M = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6}; entonces se dice que A c M Dadoqueyasehaidentificadoelespaciomuestralcomo conjuntouniversal,los eventoscomo subconjuntodelespaciomuestral,seidentificartambinelconjuntovaco(C)delateorade conjuntocomoeleventoimposible,estoes,uneventoquenosedaoseaquenoocurre.Por ejemplo, lanzar dos dados simultneamente, y sea el evento A: "obtener suma de 14". De hecho esto nunca va a sucederA = {C}. Sub-evento: Dados dos eventos, A y B se dice que A est contenido en B o que A es sub-evento de B, si todo suceso favorable a A, es favorable a B. En otras palabras, si ocurre el evento A, ocurre el evento B. Esto es: A c B, si wi e A w e B Ac B Igualdad de Eventos: Se dice que dos eventos A y B son iguales si, AcB y BcA. Esto es: A = B = AcB y BcA. Unin de Eventos: Dados dos eventos A y B, se llama unin de A con B y se denota por AB al evento formado por los sucesos que pertenecen a A a B , a ambos, es decir: AB = {wieM /wieA v wieB}. M A B Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior AB Interseccin: Dados los eventos A y B, se llama interseccin de A con B, al evento formado por todos los sucesos favorables a A y a B. Es decir, ambos eventos A y B ocurren. Esto es: AB = {w e M / w e A . w e B}. AB Complemento: Si A es un evento del espacio muestral M, se llama complemento de A, al evento formado por todos los sucesos que no pertenecen a A. Es decir, no ocurre el evento A. Esto es: Ac = M - A = {wi e M / wi e A} M AB M AB M AB Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior Ac Eventos Mutuamente Excluyente y colectivamente exhaustivos (complementarios) DoseventosAyBdefinidosenelmismoespaciomuestral,sedicequesonmutuamente excluyentes si no pueden ocurrir juntos. Es decir la ocurrencia de uno excluye la ocurrencia del otro. Es decir, que AB = C Enfoques de Probabilidades Definirprobabilidadestrictamenteesunpocoinadecuado.Laformulacinaxiomticadela teoradeprobabilidadesrequierenivelesdeabstraccinycompetenciamatemticafuertes.Sin embargo,hayautoresqueplanteanenfoquesatravsdeloscualessepuedeabordarlas probabilidades. Estos enfoques son: 1. Enfoque o Probabilidad Clsica (llamada tambin de Laplace o Apriori) 2. Enfoque desde el punto de vista de frecuencia relativa (llamada tambin A posteriori). 3. Probabilidad subjetiva EnfoqueClsicooApriori:LlamadotambinEstedefinicinsebasaenelsupuestodeque todos los resultados posibles de un experimento aleatorio son igualmente probable, es decir, cada suceso de un espacio muestral M, tienen la misma posibilidad de ocurrir. SegnLaplace(1812)laprobabilidaddeuneventoeslaraznentreelnmerodecasos (sucesos) favorables y el nmero total de casos (sucesos) posibles, siempre que nada obligue a creer que alguno de estos sucesos deban de tener preferencia a los dems, lo que hace que todos sean iguales. Esto es: M A Ac Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior

Observaciones: 1.-La probabilidad de un evento cualquiera A est comprendido entre 0 y 1. En efecto nA y n son enteros positivosy 0 s nA s 1. Esto es: 0/n s nA/n s n/n 0 s P[A] s 12.-P [A] = 0, si A es un evento imposible A = C; nA = 0, luego P[A] = 0/n = 0 3.-P [A] = 1, si A es el evento seguro (A = M), es decir A = M nA = nP[A] = n/n = 1 4.-PuestoquetodosloselementosdeM=(w1,w2,...,wn}sonigualmenteprobables P[{wi}] = 1/n; i = 1, 2,3,..., n P [M] = P[wi] = 1 Si A es un evento de M P [A] = P [{wi}] wiA Ejemplo..... Si se lanza una moneda tres veces. Calcular la probabilidad que ocurran: a.- Dos caras b.- Al menos dos caras c.- A lo ms dos caras El espacio muestral de este experimento lo puede obtener a travs de producto cartesiano o bien a travs del diagrama del rbol. Determinando el espacio muestral: M = {CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS} a.- A = {CCS, CSC, SCC} P[A] = 3/8 b.- B = {CCC, CCS, CSC, SCC} P[B] = 4/8 = 1/2 c.- C = {CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS} P[C] = 7/8 Ejemplo Considrese el lanzamiento de dos dados. Calcular la probabilidad de: a.- Obtener suma 7 b.- Obtener suma 6 c.- Obtener suma mayor que 5 d.- Que el resultado del primer dado sea mayor que el resultado del segundo dado. A = {(w1,w2) e M / w1 + w2 = 7} Por: Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris Mgs. En Educacin Superior B = {(wi,w2) e M / w1 + w2 = 6} C = {(w1,w2) e M / w1 + w2 > 5} D = {w1,w2) e M / w1 > w2}] Determinandoelespaciomuestralatravsdelproductocartesianodelosdosespacios muestrales simples de los experimentos que conforman este experimento compuesto se tendra lo siguiente: M2 M1123456 1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6) 2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6) 3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6) 4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6) 5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6) 6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6) P[A] = 6/36 = 1/6 (nA) = 6 P[B] = 5/36 (nA) = 5 P[C] = 26/36 (nA) = 26 P[D] = 15/36 (nA) = 15 Probabilidad desde el punto de vista de Frecuencia Relativa (o A posteriori). Supngaselasiguientepregunta:Culeslaprobabilidaddequelamitadomsdelos estudiantes de Esta2 obtengan notas aprobatorias?. En este caso y en muchos ms, no sirve de nada enumerar todos los resultados posibles. Como se puede observar esta pregunta no se puede responder utilizando la definicin clsica de probabilidades, dado que se necesita mayor informacin. Esto conlleva a la interpretacin de probabilidades en trminos de vista de frecuencia relativa. Siunexperimentobiendefinidoserepitenveces(ngrande):seannA Ft. A lo anterior se le llama Regla de Decisin la cual es la siguiente: No Rechazo de Ho si Fc s Ft Rechazo de Ho si Fc > Ft Silahiptesisnulanoserechazasignificaquenoexisteregresinlinealsimple,porlo tantolaecuacinestimadanosirveparapredecir,siserechazaHo,inmediatamentese acepta la hiptesis alternativa la que indica que s existe regresin lineal simple.Un aspecto que todava no se ha aclarado es Nivel de Significancia, , entendido como la probabilidad de tomar una decisin equivocada (conocido tambin como Error Tipo I) es por ello que los valores del son pequeos s 0.1. Haciendo el ANAREa un = 0.01 se tiene lo siguiente:

()

= 154.4 (

)

VaciandoestainformacinenlatabladeANAREsetienelosiguienteyobteniendoel valor de F de la tabla correspondiente a: 0.01, 1 y 8 se tiene que este es: 11.26 FVglSCCMFcFt Regresin1137.6897137.689767.038911.26 Error816.43102.053875 Total9154.4 DelosresultadosdelatablasepuedeobservarqueelFcesmayorqueelFtlocual indicaqueexistesuficienteevidenciapararechazarlahiptesisnula,esdecir,queexiste regresin lineal simple y por lo tanto se dice que la ecuacin estimada sirve para predecir el comportamiento de Costos (Y) a travs del conocimiento de Produccin (X).Por Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris. Mgs. En Educacin Superior Cuando se realiza un anlisis de varianza de la regresin se debe emitir una conclusin que podra ser la siguiente: De acuerdo al anlisis de varianza realizado se concluye con un 99% de confiabilidad, (1 0.01)*100, que existe regresin lineal simple. Una vez que se ha comprobado que la ecuacin estimada es buena (hay regresin lineal) el siguiente paso sera interpretar los componentes de la recta de estimacin. Interpretacin de los Componentes de la Ecuacin de Estimacin Cuandosehacerunainterpretacin,sta debeseraplicadaalproblemaen cuestin.Enel caso del ejemplo que se ha venido desarrollando sera el siguiente:

1:Esteeselcoeficientederegresinque indicalacantidaddecambiosqueexperimenta Y por un cambio en X. En este caso indica que por Un mil millones de dlares que seincrementelaproduccin,loscostosseincrementarnen0.423738milesde millonesdedlares. Estoporque lapendiente encontradafuepositiva,sihubierasido negativa, se dira que disminuira esa cantidad.

0:Nosiempretieneninterpretacinaplicadaalproblema,esdecir,unainterpretacin lgica, es por ello que comnmente se le interpreta desde el punto de vista matemtico como el punto donde la recta de estimacin corta al eje de las ordenadas cuando X toma el valor de cero. En el caso del ejemplo, 0 =-1.46798, esto estara indicando que cuando la produccin es cero, los costos son de -1.46798 miles de millones de dlares. Como se ve esta interpretacin carece de lgica lo cual hace que se interprete como se ha mencionado anteriormente. Existencasosdondesiexisteinterpretacinlgicacomolomuestraeltrabajode investigacin realizado por Martnez (1995) donde ajust pesos de becerros al nacimiento. Dibujo de la Recta de Estimacin Cualquier recta se define por dos puntos y en el caso de la recta de regresin lineal simple, stapasapordospuntosobligadoscuyascoordenadasson:()y( 0).Larectade estimacin debe dibujarse dentro del rea de exploracin, es decir, el rea determinada por el diagrama de dispersin que donde se tiene informacin de ambas variables. Por Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris. Mgs. En Educacin Superior Para el caso del ejemplo que se ha venido tratando la grfica de la recta de estimacin sera como se muestra a continuacin. Regresin no Lineal Estetipoderegresinnoesobjetodedesarrollodelpresentedocumentoyaquese consideranpara cursossuperioresde estadsticaloquesetrataesdejarplasmado queuna relacinentredosvariablesnosiempreesunalnearecta,stapuedeserlogartmica, exponencial o bien cuadrtica o cbica. Uno de los criterios para definir el ajuste de modelo es el Ry adems el Cuadrado Medio del Error del anlisis de varianza. En estos casos el diagrama de dispersin es importante para determinar esas posibles relaciones. Regresin Mltiple No siempre la dependencia en caso de existir se pueda deber a una sola variable, puede ser que Y como variable dependiente se vea afectada por ms de una variable independiente, enestecasosehabladeregresinlinealmltiple,aspectoquenosedesarrollaeneste documento. y = 0.4237x - 1.468 R = 0.8936 02468101214160 5 10 15 20 25 30 35 40Costo (miles de millones de $us) Produccin(miles de millonesde $us) Por Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris. Mgs. En Educacin Superior Correlacin Lineal Simple As como existen tcnicas que cuantifican los cambios de una variable dependiente por un nicocambiodelavariableindependiente,existentcnicasquecuantificanlaasociacin lineal entre dos variables, esta tcnica es llamada Correlacin Lineal Simple que se exprese comoelcoeficientedecorrelacin(r).Estecoeficienteindicaelsentidodelaasociacin comotambinlamagnituddesta,partiendodelhechoqueelcoeficientedecorrelacin lineal simple toma valores en el rango de: r es 0 r 1. Entre ms se acerca a 1 el valor de r mayor es la asociacin entre dichas variables.De acuerdo a lo anterior algunos autores han determinado lo siguiente rangos: -1 r < -0.8Asociacinfuertey negativa 0 r < 0.4No hay asociacin -0.8r Fo (m-1, n-1)gl, lo cual indica que las varianza no son homogneas. Box(S/F;citadoporCalzadaBenza,1970)mencionquesilaraznentrelavarianza mayorylavarianzamenoresmenordecuatro,sepuedeconsiderarquehaysuficiente homogeneidaddevarianza,siendosteposiblementeuncriteriomsrpidoparaprobar homogeneidad de varianza.2.3.2. Normalidad: Lostrminosdelerrorsonaleatorios,independientesynormalmentedistribuidos.Este supuesto es de gran importancia ya que cuando los datos no se distribuyen normalmente los coeficientes de variacin son muy elevados. Cuando los datos de una variable no presentan normalidad,existenalgunastiposdetransformacionesendependenciadelacaracterstica de los datos de la variable en cuestin que la hacen normal. En verdad este supuesto va ms all de lo planteado, ya que a la distribucin normal se le conoce tambin como laLey Normal de los Errores y plantea que errores pequeos tienen alta probabilidad de ocurrencia en contra posicin a los errores grandes respecto a la media que tienen baja probabilidad de ocurrencia. Para probar normalidad tambin existen varias tcnicas entre las que se pueden mencionar lapruebadeShapiro-WilkyladeLilliefors.Siellectorestinteresadoenprofundizar sobre estas pruebas se le sugiere consultar a Ramrez y Lpez (1993; Mtodos Estadsticos no Paramtricos) Por Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris. Mgs. En Educacin Superior 2.3.3. Aditividad y Linealidad del Modelo: Lo anterior se cumple en el modelo aditivo lineal ya que todos los efectos se suman y son lineales porque cada uno de los elementos del modelo lineal,estn a la potencia "1". 2.3.4. Independencia: Est esupuest oi mpl i caquel ost rmi nosdel errorson aleatorios,no correlacionados (independientes) normalmente distribuidos; adems, de las varianzasy las medias de las distintas muestras. 2.4. Anlisis de varianza para este Diseo El anlisis de varianza consiste en la particin de lavariacin total en fuentes devariacin conocidas y la que no es conocida se atribuye al error. El anlisis de varianza separa parte de lavarianzacausadaporefectosaccidentales,nosistemticos(errorexperimentalo simplemente error) de los causados por efectos sistemticos conocidos (tratamientos). Antesdemostrarlatabladeanlisisdevarianzaparae s t e di se ose mues t r aa c ont i nuaci nunc ua dr ode concentracindeinformacin(Cuadro1)y posteriormente las ecuaciones trabajo para el mismo. Cuadro 1. Concentracin de los datos para un Diseo Completamente al Azar con i tratamiento y j repeticiones. TRATAMIENTOS REPETICIONES Yi. 123 j 1Y11Y12Y13Y1jY1. 2Y21Y22Y23Y2jY2. 3Y31Y32Y33Y3jY3. iYi1Yi2Yi3YijYi. Y.jY.1Y.2Y.3Y.jY.. El modelo lineal para este diseo tiene solo dos fuentes de variacin y es el siguiente:

Lasfuentesdevariacinsonlasdebidasalostratamientosylasnodebidasa lostratamientos.Lamediapoblacionalnoseconsideracomofuentede variacinyaqueseconsideracomoelefectocomnatodaslasobservaciones yesporesoquecuandosecalculalassumasdecuadradosselerestaelfactor decorreccinquenoesmsquelamediaoefectocomndemaneraquesolo Por Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris. Mgs. En Educacin Superior queda la variacin debida a la fuente de variacin en cuestin.ElmodeloaditivodeunDiseoCompletamentealAzarsecorrespondecon las salidas de varianza que se muestran en los Cuadro 2 y 3. Cuadro2.SalidadevarianzaparaunDiseoCompletamentealAzarconigual nmero de repeticiones (diseo balanceado). F.VglSCCMFcFt Tratamientot-1SCTRAT.

( ) Errort(r-1)SCError

( ) Totaltr-1SCTotales Donde: F.V = Fuente de variacin gl = Grados de libertad SC = Suma de Cuadrados CM = Cuadrado Medio Fc = F calculado Ft (o, grados de libertad de tratamientos, grados de libertad del error) = F tabulado que se encuentra en la tabla de F a un nivel de significancia o (probabilidad de error tipo I), grados de libertad de los tratamientos y grados de libertad del error Encasodequelostratamientostengandiferentesnmeroderepeticiones(diseo desbalanceado) la salida de varianza es la siguiente: Cuadro3.SalidadevarianzaparaunDiseoCompletamentealAzarconigual nmero de repeticiones (diseo desbalanceado). FVglSCCMFcFt Tratamientot-1SCTRAT.

() Errorn-tSCError

Totaln-1SCTotales Por Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris. Mgs. En Educacin Superior 2.4.1. Ecuaciones de trabajo

; Factor de correccin si el experimento es balanceado

; Factor de correccin si el experimento es desbalanceado

; Suma de cuadrados totales

; Suma de cuadrado de tratamiento si el experimento es balanceado

; Suma de cuadrados si el experimento es desbalanceado ; Suma de cuadrados del error 2.4.1. Prueba de Hiptesis en el Anlisis de Varianza de un Diseo Completamente al Azar Enelanlisisdevarianzadeestediseosepruebaelsiguientejuegodehiptesisestadsticas: Ho: 1 = 2 = 3 = i (T1 = T2 = T3 = Ti). Esto es lo mismo que: Ho: 1 - 2 - 3 - i = 0 (T1 - T2 - T3 - Ti = 0). Ha: 1 - 2 - 3 - i = 0 (T1 = T2= T3 = Ti). Lahiptesisnulaasumeel efectode igual,esdecir,quelostratamiento ejercen el mismo efecto sobre la variable respuesta. Esta es la hiptesis que se somete a prueba y, la hiptesis alternativa, en su esencia, es la que contradice a la hiptesis nula. Dadoquelahiptesisnulaeslaquesesometeaprueba,entoncespuedeseraceptadao rechazada, si no es rechazada significa que no existe la suficiente evidencia experimental para hacerlo,encasoderechazarse,deinmediatoseaceptalahiptesisalternativa.Parasaber cundo aceptar o rechazar la hiptesis nula se toma en cuenta la siguiente regla de decisin: -No Rechazo de Ho (NRHo) si Fc s Ft (F de tablas) -Rechazo de Ho (Rho) si Fc > Ft (F de tablas),es decir, que Ha es verdadera Por Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris. Mgs. En Educacin Superior 2.5. Interpretacin de Resultados Paraunamejorilustracindelainterpretacindelosresultadosdeunanlisiseneste diseo, se muestra a continuacin el siguiente ejemplo: Losdatosquesemuestranacontinuacincorrespondenaunestudiodondese experimentaron con cinco variedades de tomate industrial bajo un diseo completamente al azarcon cuatro repeticiones donde la variable respuesta, entre otras, fue el peso del jugo de tomate engramos.Se est interesado en verificarsiexistendiferencias estadsticasaun =0.05 entre las variedades de tomates evaluadas. La informacin obtenida fue la siguiente: Cuadro4.Pesodejugo(gramos)detomateobtenidodecincovariedadesdetomate industrial. Variedades Repeticiones 1234 Mart656.3718.4586.6746.2 Topacio784.4713.4915.8629.6 Estela924.5822.8824.2978.5 VF-134534.4685.1567.2655.5 UC - 82640.7658.8532.7614.4 Adaptado de Pedroza (1998) Enelmismocuadrodeinformacinsepuedenincluirlostotalesdetratamientocomo tambin sus varianzas por cada uno de ellos como se muestra en el Cuadro 5. Cuadro5.Pesodejugo(gramos)detomateobtenidodecincovariedadesdetomate industrial con sus totales y varianzas por tratamiento. Variedades Repeticiones Yi.Si 1234 UC - 82640.7658.8532.7614.42446.63102.56 Mart656.3718.4586.6746.22707.55034.40 VF-134534.4685.1567.2655.52442.25085.42 Estela924.5822.8824.2978.53550.05947.66 Topacio784.4713.4915.8629.63043.214680.72 Revisando el supuesto de homogeneidad de varianza y tomando en cuenta lo propuesto por R. A. Fischer,se relaciona la varianza mayor con la varianza menor, en este caso varianza deltratamientocorrespondientealavariedadTopacioyladeltratamientodelavariedad UC-82. Probando Entonces: Por Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris. Mgs. En Educacin Superior

= 4.7318, (F 0.05, 3 ,3 =9.277) lo cual hace que no se rechace la hiptesis de igualdaddevarianzalocualindicaquelasvarianzasdelostratamientos(variedades)son iguales estadsticamente. Comenzandoarealizarelanlisisdevarianzaypartiendodelhechoque

(

)

, se tiene lo siguiente:

. Este no es ms que una estimacin de elevada al cuadrado, esporelloquenosedeclaracomofuentedevariacinenlasalidadevarianzadelos modelos aditivos lineales, adems se debe recordar que varianza desde el punto de variable aleatoria es: E(X-) que es lo mismos que: E(X) - . ()

(

)

Es importante recordar que ninguna de estas sumas de cuadrados puede sernegativas por sercomponentesdevarianzayrecuerdequevarianzanoesmsqueelpromediodelas desviacionesalcuadradodeunavariablerespectoasumediayporotraparte,ninguna suma de cuadrados puede ser mayor que la suma de cuadrados totales. Adems se puede observar que la Sumade Cuadrados del Error se obtiene por diferencia entre la Suma de Cuadrados Totales y la de Tratamiento. Esto es producto de la aplicacin misma de lo que es anlisis de varianza. Una vez obtenidas las sumas de cuadrados correspondientes, el siguiente paso es construir latabladeanlisisdevarianza(salidadevarianza)lacualquedacomosemuestraenel Cuadro 6 una vez que se han determinado los cuadrados medios, el FcF calculadoy el Ft F de tabla. Adems, es recomendable que esta tabla vaya acompaada del Coeficiente de Variacin (C.V) el cual se define como la relacin entre la raz cuadrada del Cuadrado Medio del Error y el Promedio de la Variable respuesta o en estudio. (

) (

) Por Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris. Mgs. En Educacin Superior Cuadro 6. Salida de varianza para los datos del Cuadro 4. FVglSCCMFcFt (0.05, 3, 16)Variedades3218983.2172994.403311.500583.05556828 Error16101552.2676347.01672 Total19320535.477C.V. = 11.60% Sisetomaencuentaeljuegodehiptesisdeestediseoylaregladedecisinsepuede concluirqueserechazalahiptesisyaqueelFcesmayorqueelFt.Amanerade conclusin se puede decir lo siguiente: Conun95%deconfiabilidadseconcluyequealmenosunosdelostratamientos (variedadesdetomates)evaluadosejercenunefectodistinto(P0.05)sobrelavariable respuesta (peso del jugo de tomate).Ahoralapreguntaes:Cules(oson)ese(esos)tratamiento(s)quehizo(hicieron) rechazar la hiptesis nula?. Esta interrogante no la respondeel anlisis de varianza ya que ste solo prueba si existe o no efecto de la variable independiente sobre la dependiente. Es por ello que se deben hacer otros anlisis para responder esta interrogante.Pararesponderaestasinterrogantesexistendostcnicasprincipalmentequesonlas pruebasapriorioContrastesOrtogonalesylaspruebasaposterioreuobligadasporlos datosllamadastambinPruebasdeRangosMltiplesoSeparacindeMedias.Estas ltimasporelgradodeusoquetienenenlasinvestigacionesdendoleexperimentalson las que se desarrollan a continuacin. 2.6. Pruebas obligadas por los Datos ode Rangos Mltiples Cuando el anlisis de varianza de un experimento reporta diferencias significativas y son ms de dos tratamiento, es necesario saber quin produjo el ruido en la prueba de hiptesis que provocquelahiptesisnulasearechazada.Paraestefin,existenlasllamadaspruebasde Rangos Mltiples. Entre estas pruebas estn: Diferencia Mnima Significativa (DMS) (LSD) Mtodo de Duncan Mtodo de Student-Newman-Keuls (SNK) Mtodo de Tukey (Diferencia Significativa Honesta) Mtodo de Scheff. Por Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris. Mgs. En Educacin Superior Cadaunodeestosprocedimientosdecomparacindemediasest basadoenun conj unt odesuposi ci ones, yson usualmente efectivos para fines especficos. Encualquieradeloscasoslahiptesisnulasuponelaigualdaddelasmediasyla alternativa lo contrario y se utilizan siempre y cuando en el anlisis de varianza se rechace la hiptesis nula. Lo anterior indica que la prueba de hiptesis que se hace es la siguiente: Ho: | | Ha: | |=La hiptesis nula, que es la que se prueba, asume el efecto de igualdad de los promedios a comparar, es por ello que la diferencia es igual a cero y por lo tanto, la hiptesis alternativa contradice la hiptesis nula con una desigualdad. Dado que para realizar una separacin de mediasloprimeroquesehaceunavezobtenidoslospromediosesordenarlosastosde formadescendenteporlotantolaregladedecisinsepuedeestablecerdelasiguiente forma: NRHo =s | | RHo: Si > | | 2.6.1. Diferencia Mnima Significativa (DMS) Estapruebasolodebeusarseparacompararmediasadyacentesenunarregloordenado, mediasporordendemagnitud(demayoramenor).CuandoDMSseusa indiscriminadamenteparaprobartodaslasdiferenciasposiblesentrelasdiversasmedias, ciertas diferencias sern significativas, pero no al nivel de significancia que se ha elegido. El nmero posible de comparacionesde medias tomadas de dos en dos a la vezes igual a()

.Losespecialistashacenmencinqueestemtodoesadecuadoparacompararun tratamiento estndar (testigo) con otros tratamientos.Esta prueba utiliza un solo comparador y su frmula es la siguiente:

, donde: DMS = Es el valor crtico de la prueba to/2=Valortabulardetdestudentparalosgradosdelibertaddelerrorobtenidoaun o/2. r = nmero de repeticiones Por Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris. Mgs. En Educacin Superior 2.6.2. Mtodo de Duncan Estapruebaesampliamenteutilizadaentrelasdi versaspruebasdeRangos Ml t i pl es. Sumt odoesdenaturalezasecuencial,loquequieredecir,queutilizaun nuevovalorestudentizado,paracadaunadelascomparacionesdemediasadyacentes ordenadas por magnitud en orden descendente. Estapruebaincluyeelclculodelasdiferenciassignificativasmnima entrelas mediasde tratamiento cuando stas se encuentran dispuestas en orden de magnitud. Lafrmula es la siguiente:

Donde:

Eselvalorextradodeunatablaespecialderangoestudentizado, con los grados de libertad del error y con la disposicin relativa de las medias en el arreglo. CMError =Cuadrado Medio del Error r=Nmero de repeticiones. 2.6.3. Mtodo de Student-Newman-Keuls (SNK) Esunapruebade carctersecuencial,es decir,queutilizaunnuevovalorestudentizado para cada comparacin. Paraelclculodeestapruebaserequieredeterminarladiferenciamnimasignificativa entrelasmediasdeltratamientocuandostasseencuentrandispuestasenordende magnitud. Su frmula es la siguiente:

;Donde: qo=Valorobtenidodetablasespecialesderangoestudentizado,paralosgradosde libertad del error y con la disposicin relativa de las medias en el arreglo CMError = Cuadrado medio del errorr = nmero de repeticiones Por Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris. Mgs. En Educacin Superior 2.6.4. Mtodo de Tukey Este mtodo es un procedimiento basado en el rango estudentizado, pero no es secuencial, ya que utiliza un slo comparador de q ordinario. Sin embargo, el mtodo de Tukeyes til en situaciones en que se desea hacer un primer nfasis en el uso del experimento con un total para determinarlasignificanciadelosparesdemedias.Estapruebasloesexactacuandolos grupostienenigualnmerodeelementosyparamediasquenohansidoajustadaspor covarianza. Esta prueba se define de la siguiente manera:

Donde: qo=Valorobtenidodetablasespecialesderangoestudentizados,paralosgradosde libertad del error y con la disposicin relativa de las medias en el arreglo CMError = Cuadrado medio del errorr = nmero de repeticiones 2.6.5. Mtodo de Scheff Se considera un mtodo bastante general que utiliza la distribucin de F de Snedecor. El mtododeScheffpuedeaplicarseparaprobarhiptesisgeneralesdequeunafuncin linealdelasmediaspoblacionalesesigualacero.Encontrasteconlascomparaciones mltiples basadas en rangos estudentizados, el mtodo de Scheff es un mtodo exacto para mediasprovenientesdemediasdeigualodesigualtamaoyparamediasquehansido ajustadasporcovarianza.Paraelclculoserequieredeterminarlamnimadiferencia significativa entre las medias de los tratamientos cuando stos se encuentran ordenados en orden de magnitud. Su valor crtico se determina a travs de la siguiente expresin: ( ) (

)

Donde: t= Nmero de tratamientos F=ValorqueseobtienedeladistribucindeFdeSnedecorcont-1ylosgradosde libertad del error. Por Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris. Mgs. En Educacin Superior CError = Cuadrado medio del error, y ri, rj representan el nmero de observaciones usadas para calcular cada media muestraDe forma general para realizar una comparacin o separacin de medias una vez que se ha realizadoelanlisisdevarianzaysehaverificadoqueexisteunrechazodelahiptesis nula, se debe seguir el siguiente procedimiento: -Obtener los promedios de las fuentes de variacin de inters (tratamiento, factor) -Ordenar los promedios de forma descendente -Seleccionar la prueba de rangos mltiples a usar -Determinar el valor crtico de la prueba de seleccionada -Establecer las comparaciones a realizar segn la prueba seleccionada -Determinar las diferencias de medias de acuerdo a las comparaciones establecidas -Contrastar las diferencias de medias con el valor crtico de la prueba -Establecer el rango de mrito -Emitir conclusiones segn el rango de mrito Ejemplo. A continuacin se aplican todas las pruebas de rangos mltiples antesexpuestas de manera que se pueda realizar una comparacin entre stas.Los promedios por tratamiento son los que se muestran en el Cuadro 7. Cuadro 7. Medias por tratamientos y Medias ordenadas por magnitud descendente. VariedadesTotalesPromediosVariedadesPromedios Ordenados UC - 822446.6611.65Estela887.50 Mart2707.5676.88Topacio760.80 VF-1342442.2610.55Mart676.88 Estela3550.0887.50UC - 82611.65 Topacio3043.2760.80VF-134610.55 Aplicando DMS a un nivel de significancia o = 0.05 que es el mismo nivel de significancia que se utiliz para el anlisis de varianza, adems de la siguiente informacin: CMError = 6347.01672 r = 4 to/2(16) = 2.1199 Por Ing. M.Sc. Francisco Martnez Solaris. Mgs. En Educacin Superior

Por lo tanto el valor crtico de la prueba es de .AcontinuacinsepresentanenelCuadro8lascomparacionesarealizar,lasdiferencias entrelasmediasyelresultadodecompararestasdiferenciasconelvalorcrticodela prueba de DMS. Cuadro 8. Resultado de la prueba de DMS para los tratamientos estudiados. ComparacionesDiferencias de MediasComparacin segn DMS Estela versus Topacio126.70* Estela versus Mart210.63* Estela versus UC-82275.85* Estela versus VF-134276.95* Topacio versus Mart83.93ns Topacio versus UC-82149.15* Topacio versus VF-134150.25* Mart versus UC-8265.23ns Mart versus VF-13466.33ns UC-82 versus VF-1341.10ns ns = No significativo* = significativo Las comparaciones se pueden resumir de acuerdo al siguiente rango de mrito VariedadesComparacin segn DMS Estelaa Topacio b Martbc UC - 82 c VF-134 c Promedios con literales distintas son estadsticamente diferentes segn el mtodo deDMS (P 0.01). Interp