Introduccin

Laprobabilidades un mtodo por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realizacin de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condicionessuficientementeestables.Lateora de la probabilidadse usa extensamente en reas como laestadstica, lafsica, lamatemtica, lascienciasy lafilosofapara sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecnica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de lasmatemticasque estudia, mide o determina a los experimentos o fenmenos aleatorios.

La distribucin normal fue presentada por primera vez porAbraham de Moivreen un artculo del ao 1733,que fue reimpreso en la segunda edicin de suThe Doctrine of Chances, de 1738, en el contexto de cierta aproximacin de ladistribucin binomialpara grandes valores den. Su resultado fue ampliado porLaplaceen su libroTeora analtica de las probabilidades(1812), y en la actualidad se llamaTeorema de De Moivre-Laplace.Laplace us la distribucin normal en elanlisis de erroresde experimentos. El importantemtodo de mnimos cuadradosfue introducido porLegendreen 1805.Gauss, que afirmaba haber usado el mtodo desde1794, lo justific rigurosamente en1809asumiendo una distribucin normal de los errores. El nombre de Gauss se ha asociado a esta distribucin porque la us con profusin cuando analizaba datos astronmicosy algunos autores le atribuyen un descubrimiento independiente del de De Moivre.Esta atribucin del nombre de la distribucin a una persona distinta de su primer descubridor es un claro ejemplo de laley de Stigler.El nombre de "campana" viene deEsprit Jouffretque us el trmino "bell surface" (superficie campana) por primera vez en1872para unadistribucin normal bi variantede componentes independientes. El nombre de "distribucin normal" fue otorgado independientemente porCharles S. Peirce,Francis GaltonyWilhelm Lexishacia1875. A pesar de esta terminologa, otras distribuciones de probabilidad podran ser ms apropiadas en determinados contextos.

Enestadsticay probabilidad se llamadistribucin normal,distribucin de Gaussodistribucin gaussiana, a una de lasdistribuciones de probabilidad devariable continuaque con ms frecuencia aparece aproximada en fenmenos realesLagrficade sufuncin de densidadtiene una forma acampanada y es simtrica respecto de un determinadoparmetro estadstico. Esta curva se conoce comocampana de Gaussy es el grfico de unafuncin gaussiana.Algunos ejemplos de variables asociadas a fenmenos naturales que siguen el modelo de la normal son: caracteresmorfolgicosde individuos como laestatura; caracteresfisiolgicoscomo el efecto de unfrmaco; caracteressociolgicoscomo elconsumode cierto producto por un mismo grupo de individuos; caracterespsicolgicoscomo elcociente intelectual; nivel deruidoentelecomunicaciones; errorescometidos al medir ciertas magnitudes

En probabilidad, la distribucin normal aparece como el lmite de varias distribuciones de probabilidadcontinuasydiscretas.Lafuncin de distribucinde la distribucin normal est definida como sigue:

Por tanto, la funcin de distribucin de la normal estndar es:

Esta funcin de distribucin puede expresarse en trminos de unafuncin especialllamadafuncin errorde la siguiente forma:

T la propia funcin de distribucin puede, por consiguiente, expresarse as:

El complemento de la funcin de distribucin de la normal estndar,, se denota con frecuencia, y es referida, a veces, como simplementefuncin Q, especialmente en textos de ingeniera. Esto representa la cola de probabilidad de la distribucin gaussiana.

La inversa de la funcin de distribucin de la normal estndar (funcin cuantil) puede expresarse en trminos de la inversa de la funcin de error:

y la inversa de la funcin de distribucin puede, por consiguiente, expresarse como:

Esta funcin cuantil se llama a veces lafuncin probit. No hay unaprimitivaelemental para la funcin probit. Esto no quiere decir meramente que no se conoce, sino que se ha probado la inexistencia de tal funcin. Existen varios mtodos exactos para aproximar la funcin cuantil mediante la distribucin normal

Lmite inferior y superior estrictos para la funcin de distribucinPara grandes valores dexla funcin de distribucin de la normal estndares muy prxima a 1 yest muy cerca de 0. Los lmites elementales

En trminos de la densidadson tiles. Elcambio de variablev=u/2, el lmite superior se obtiene como sigue:

De forma similar, usando

Laregla del cociente

Funciones generadoras

Funcin generadora de momentosLafuncin generadora de momentosse define como laesperanzadee(tX). Para una distribucin normal, la funcin generadora de momentos es:

Funcin caractersticaLafuncin caractersticase define como la esperanza deeitX, dondeies launidad imaginaria. De este modo, la funcin caracterstica se obtiene reemplazandotporiten la funcin generadora de momentos.Para una distribucin normal, la funcin caracterstica es

.

Algunas propiedades de la distribucin normal son: Es simtrica respecto de su media,; Lamoday lamedianason ambas iguales a la media,; Lospuntos de inflexinde la curva se dan para x =y x =+. Distribucin de probabilidad en un entorno de la media: En el intervalo [-,+] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 68,26% de la distribucin; en el intervalo [- 2,+ 2] se encuentra, aproximadamente, el 95,44% de la distribucin; por su parte, en el intervalo [-3,+ 3] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 99,74% de la distribucin. Estas propiedades son de gran utilidad para el establecimiento deintervalos de confianza. Por otra parte, el hecho de que prcticamente la totalidad de la distribucin se encuentre a tres desviaciones tpicas de la media justifica los lmites de las tablas empleadas habitualmente en la normal estndar.

SiX~ N(,2) yaybsonnmeros reales, entonces (aX+b) ~ N(a+b,a22). SiX~ N(x,x2) eY~ N(y,y2) son variables aleatorias normalesindependientes, entonces:. Su suma est normalmente distribuida conU=X+Y~ N(x+y,x2+y2) (demostracin). Recprocamente, si dos variables aleatorias independientes tienen una suma normalmente distribuida, deben ser normales (Teorema de Crmer).. Su diferencia est normalmente distribuida con.. Si las varianzas deXeYson iguales, entoncesUyVson independientes entre s.. Ladivergencia de Kullback-Leibler.

Sieson variables aleatorias independientes normalmente distribuidas, entonces:. Su productosigue una distribucin con densidaddada pordondees unafuncin de Bessel modificada de segundo tipo.. Su cociente sigue unadistribucin de Cauchycon. De este modo la distribucin de Cauchy es un tipo especial dedistribucin cociente. Sison variables normales estndar independientes, entoncessigue unadistribucin conngrados de libertad. Sison variables normales estndar independientes, entonces lamedia muestraly lavarianza muestralson independientes. Esta propiedadcaracterizaa las distribuciones normales y contribuye a explicar por qu eltest-Fno es robusto respecto a la no-normalidad).

Enestadstica, lafuncin gaussiana(en honor aCarl Friedrich Gauss) es unafuncindefinida por la expresin:

dondea,bycson constantesreales(c> 0).Las funciones gaussianas se utilizan frecuentemente enestadsticacorrespondiendo, en el caso de queasea igual a, a lafuncin de densidadde unavariable aleatoriacondistribucin normaldemedia=byvarianza2=c2.

Propiedades Las gaussianas se encuentran entre lasfunciones elementales, aunque no poseen primitivas elementales. Sin embargo, el valor exacto de laintegral impropiasobre todo el rango real puede derivarse a partir del valor de laintegral de Gaussobtenindose que:

El valor de la integral es 1 si y solo si, en cuyo caso la funcin gaussiana es lafuncin de densidadde unavariable aleatoriacondistribucin normaldemedia=byvarianza2=c2. Se muestran varias grficas de funciones gaussianas en la imagen adjunta. Las funciones gaussianas conc2= 2 son lasautofuncionesde latransformada de Fourier. Esto significa que la transformada de Fourier de una funcin gaussiana no es slo otra gaussiana, sino adems un mltiploescalarde la funcin original. Lagrficade la funcin es simtrica con forma de campana, conocida comocampana de Gauss. El parmetroaes la altura de la campana centrada en el puntob, determinandocel ancho de la misma.

AplicacionesLaprimitivade una funcin gaussiana es lafuncin error. Estas funciones aparecen en numerosos contextos de lasciencias naturales,ciencias sociales,matemticaseingeniera. Algunos ejemplos: Enestadsticayteora de probabilidades, las funciones gaussianas aparecen como la funcin de densidad de ladistribucin normal, la cual es unadistribucin de probabilidadlmite de sumas complicadas, segn elteorema del lmite central. Una funcin gaussiana es lafuncin de ondadelestado fundamentaldeloscilador armnico cuntico. Losorbitales molecularesusados enqumica computacionalsoncombinaciones linealesde funciones gaussianas llamadosorbitales gaussianos. Matemticamente, la funcin gaussiana juega un papel importante en la definicin de lospolinomios de Hermite. Consecuentemente, estn tambin asociadas con elestado de vacoen lateora cuntica de campos. Losrayos gaussianosse usan en sistemas pticos y de microondas. Las funciones gaussianas se utilizan comofiltrode suavizado en elprocesamiento digital de imgenes.

Integral de GaussEnmatemticaslaintegral de Gauss,integral gaussianaointegral de probabilidad, es laintegral impropiade lafuncin gaussianasobre toda la recta de los reales. Debe su nombre al matemtico y fsico alemnCarl Friedrich Gauss, y su valor es:

Esta integral tiene amplias aplicaciones, incluyendonormalizacin, enteora de la probabilidadytransformada continua de Fourier. Tambin aparece en la definicin de lafuncin error. A pesar de que no existe ninguna funcin elemental para lafuncin error, como se puede demostrar mediante elalgoritmo de Risch, la integral Gaussiana puede ser resuelta analticamente con las herramientas del clculo. O sea, no existe unaintegral indefinidaelemental para, pero si es posible evaluar laintegral definida.

Clculo de la integralLa forma ms comn de calcular la integral de Gauss en el planoR2es mediante laintegracin dobleen elsistema cartesiano de coordenadas, para despus hacer uncambio de coordenadasacoordenadas polaresy calcular el valor. Se procede de la siguiente manera: Mediante elteorema de Fubini, la integral puede ser escrita como:

Pero tambin puede ser calculada mediante el cambio de coordenadas acoordenadas polares:

Donde el factorres consecuencia de calcular eldeterminantedelcambio de las coordenadas cartesianas a polares, ysaparece al hacer uncambio de variabletal ques= -r2, ds= -2rdr. As pues, obtenemos:

por lo tanto

Distribucin normal complejaConsidrese lavariable aleatoria complejagaussiana

DondeXeYson variables gaussianas reales e independientes con igual varianza. La funcin de distribucin de la variable conjunta es entonces

Como, la funcin de distribucin resultante para la variable gaussiana complejaZes

Distribuciones relacionadases unadistribucin de Rayleighsidondeyson dos distribuciones normales independientes.Es unadistribucin congrados de libertadsidondeparay son independientes.

es unadistribucin de Cauchysiparayson dos distribuciones normales independientes.es unadistribucin log-normalsiy.Relacin con unadistribucin estable: sientonces.Distribucin normal truncada. sientonces truncandoXpor debajo dey por encima dedar lugar a una variable aleatoria de mediadondeyes la funcin de densidad de una variable normal estndar.Sies una variable aleatoria normalmente distribuida e, entoncestiene unadistribucin normal doblada.

Enestadstica, ladistribucin binomiales unadistribucin de probabilidaddiscreta que cuenta el nmero de xitos en una secuencia denensayos deBernoulliindependientes entre s, con una probabilidad fijapde ocurrencia del xito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotmico, esto es, slo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina xito y tiene una probabilidad de ocurrenciapy al otro, fracaso, con una probabilidadq= 1 -p. En la distribucin binomial el anterior experimento se repitenveces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado nmero de xitos. Paran= 1, la binomial se convierte, de hecho, en unadistribucin de Bernoulli.Para representar que unavariable aleatoriaXsigue una distribucin binomial de parmetrosnyp, se escribe:

La distribucin binomial es la base deltest binomialdesignificacin estadstica

Experimento binomialExisten muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del resto). El resultado de cada experimento ha de admitir slo dos categoras (a las que se denomina xito y fracaso). Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes en todos los experimentos (se denotan comopyqopy 1-p).Se designa porXa la variable que mide el nmero de xitos que se han producido en losnexperimentos.Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variableXsigue una distribucin de probabilidad binomial, y se denotaB(n,p).

Caractersticas analticas

Sufuncin de probabilidades

dondesiendolascombinacionesdeen(elementos tomados deen)

Propiedades

Relaciones con otras variables aleatoriasSitiende a infinito yes tal que el producto entre ambos parmetros tiende a, entonces la distribucin de la variable aleatoria binomial tiende a unadistribucin de Poissonde parmetro.Por ltimo, se cumple que cuando=0.5 ynes muy grande (usualmente se exige que) la distribucin binomial puede aproximarse mediante ladistribucin normal.Propiedades reproductivasDadasnvariables binomiales independientes de parmetrosni(i= 1,...,n) y, su suma es tambin una variable binomial, de parmetrosn1+... +nn, y, es decir,

Anexos

Distribucin normal

Distribucion binomial

Conclusin

La importancia de esta distribucin radica en que permitemodelarnumerosos fenmenos naturales, sociales y psicolgicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenmenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observacin se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.De hecho, la estadstica descriptiva slo permite describir un fenmeno, sin explicacin alguna. Para la explicacin causal es preciso eldiseo experimental, de ah que al uso de la estadstica en psicologa y sociologa sea conocido comomtodo correlacional.La distribucin normal tambin es importante por su relacin con la estimacin pormnimos cuadrados, uno de los mtodos de estimacin ms simples y antiguos.La distribucin normal tambin aparece en muchas reas de la propia estadstica. Por ejemplo, ladistribucin muestralde lasmediasmuestrales es aproximadamente normal, cuando la distribucin de la poblacin de la cual se extrae la muestra no es normal.1Adems, la distribucin normal maximiza laentropaentre todas las distribuciones con media yvarianzaconocidas, lo cual la convierte en la eleccin natural de la distribucin subyacente a una lista de datos resumidos en trminos de media muestral y varianza. La distribucin normal es la ms extendida en estadstica y muchos tests estadsticos estn basados en una "normalidad" ms o menos justificada de la variable aleatoria bajo estudio.De la distribucin normal se derivan muchos resultados, incluyendorangos de percentiles("percentiles" o "cuantiles"),curvas normales equivalentes,stanines,z-scores, yT-scores. Adems, un nmero de procedimientos de estadsticos de comportamiento estn basados en la asuncin de que esos resultados estn normalmente distribuidos. Por ejemplo, eltest de Studenty elanlisis de varianza(ANOVA). Lagradacin de la curva campanaasigna grados relativos basados en una distribucin normal de resultados.