UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

FACULTAD CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS

ESTADISTICOS DE ORDEN

Monterrey, Nuevo León, México, a 25 de noviembre de 2014

Estadísticos de orden [Año]

Estadísticos de orden

Sea X1, X2,….,Xn son valores muestra colocados en orden ascendente y se denota por

x1,x2, ……, xn

x(1)= El menor de x1,x2, … , xnx(2)= El segundo menor de x1,x2, … , xn..

x( j)= El j-esimo menor de x1,x2, … , xn

.

.x(n)= El mayor de x1,x2, … , xn

Cuando se utiliza la teoría de probabilidad para analizar estadísticos de orden de muestras aleatorias a partir de una distribución continúa la función de distribución acumulativa se usa para reducir el análisis para el caso de estadísticas de orden de la distribución uniforme.

Cuando los estadísticos de orden se construyen mediante la medida de interés de la muestra:

X(n+1)2

, si n es impar

~X

(X( n2 )

+X( n2+1)

)/¿2, si n es par

Nota: x1≠x(1)

El primero denota el primer valor tomado.

El segundo el valor más chico.

Existen 3 estadísticos básicos.

x=Media , promedio o valor esperado.

x̂=Moda ,es el valor quemás se repite . ~x=Mediana ,datomedio .

Estadísticos de orden [Año]

Rango

El rango de la muestra es la diferencia entre el máximo y el mínimo. Está claro que es una función de las estadísticas de orden.

El rango de una muestra aleatoria se encuentra de la siguiente forma

Rango { x1,x2, … , xn} = xn- x1

La función de densidad conjunta de los estadísticos de orden está dada por:

fx1,fx2, ……, fxn(x1,x2, ……, xn)= n! fx1,fx2, ……, fxnx1< x2 < ……< xn

EJEMPLO

Ahora la función de densidad acumulada de cualquier conjunta de j-1 nos da x j ˂ X, el complemento de la acumulada de n-j variables son de valores mayores que X, así el valor restante de X lo obtenemos con la f.p.m o densidad.

(⌈F (x)⌉j−1 ) (⌈F (x)⌉

n− j ) f(x)

Entonces ya que existen combinaciones

( n( j−1 )! (n− j ) ! )=

n!( j−1 ) ! (n− j ) !

que son diferentes formas de participar las n-variables x1,x2, … , xn en los tres

grupos procedentes, se sigue que la función de densidad a masa de x j esta dada por

f X ( j)= n!

( j−1 ) ! (n− j ) ! (⌈F (x)⌉j−1 ) (⌈F (x)⌉

n− j ) f(x)

Estadísticos de orden [Año]

EJEMPLO

Cuando una muestra de 2n + 1 variables aleatorias (es decir, cuando 2n + 1 variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas) se observa, el (n+1) más pequeño se llama la mediana de la muestra. Si una muestra de tamaño 3 de una distribución uniforme en (0, 1) es observado, encuentra la probabilidad de que la mediana de la

muestra está entre 14

y 34

.

Solución. De la ecuación (6.2), la densidad de X(2) está dada por:

f x (2 ) ( x )= 3 !1 !1!

x (1−x )0<x<1

Por lo tanto,

P {14 <X (2 )<34 }=6∫

1/4

3/4

x (1−x )dx=6 {x22 − x3

3 }x=3 /4x=1 /4=1116

La función de distribución acumulada de X(j) se puede encontrar mediante la integración de la ecuación (6.2). Es decir,

Fx(J) (y)=n!

(n− j )! ( j−1 ) !∫−∞y

[F ( x ) ] j−1 [1−F ( x ) ]n− jf ( x )dx (6.3)

Sin embargo, Fx(j)(y) también podría haber sido derivado directamente al señalar que el j-esimo orden estadístico es menor o igual a y si y sólo si hay j o más de los Xi’s que son menor o igual a y. Por lo tanto, debido a que el número de Xi’s que son menor o igual a y es una variable aleatoria binomial con parámetros n, p = F (y), se deduce que

Fx ( j ) ( y )=P {X j≤ y }=P { jo mas de las X i' son≤ y }=∑

k= j

n

(nk ) [F( y)]k [1−F ( y) ]n−k (6.4)

Si, en las ecuaciones (6.3) y (6.4), tomamos F para ser una distribución uniforme (0,1)

[que es . f ( x )=1,0<x<1 ], entonces obtenemos la interesante identidad analítica

Estadísticos de orden [Año]

∑k= j

n

(nk ) yk (1− y)n−k= n !(n− j ) ! ( j−1 )!∫0

y

x j−1(1−x )n− jdx0≤ y ≤1(6.5)

Al emplear el mismo tipo de argumento que se utilizó en el establecimiento, la ecuación (6.2), podemos demostrar que la función de densidad conjunta de las estadísticas de orden X(i) y X(j) cuando i <j es:

f x(i ), x( j)(x i , x j )=n!

(i−1 ) ! ( j−i−1 )! (n− j ) ! [F (x i ) ]i−1× [F (x j)−F (x i ) ] j−i−1 [1−F (x j ) ]n− jf (x i ) f (x j ) para todoslos x i< x j¿

EJEMPLO

A lo largo de una carretera de 1 milla de largo son 3 personas distribuidas al azar. Encuentre la posibilidad de que no hay 2 personas que estén a menos de una distancia de milla d aparte cuando d < ½.

Solución. Supongamos que “distribuido al azar” significa que las posiciones de las 3 personas son independientes y están distribuidos uniformemente a lo largo del camino. Si X denota la posición de la persona ITH, entonces la probabilidad deseada es

P {X i>X(i−1)+d , i=2,3}. Porque

fx (1 ) , x (2) , x(3) (x1 , x2 , x3 )=3 !0<x1<x2< x3<1

P {X i>X(i−1)+d , i=2,3}= ∭x i> x j−1+d

❑

fx (1 ) , x (2) , x (3) ( x1 , x2 , x3 )d x1d x2d x3

¿3 ! ∫0

1−2d

∫x1+d

1−d

∫x2+d

1

d x3d x2d x1

Estadísticos de orden [Año]

¿6 ∫0

1−2d

∫x1+d

1−d

(1−d−x2)d x2d x1

¿6 ∫0

1−2d

∫0

1−2d− x1

y2d y2d x1

Donde y2=1−d−x2

¿3 ∫0

1−2d

(1−2d−x1)2d x1

¿3 ∫0

1−2d

y12d y1

¿(1−2d)3

Por lo tanto, la probabilidad deseada de que 2 personas no están a una distancia d uno al otro cuando 3 personas están uniformemente distribuidos e independientemente al

intervalo de medida 1 es (1−2d )3. De hecho, el mismo método puede ser utilizado para

probar cuando n personas se distribuyen al azar en la unidad i la probabilidad deseada es

[1−(n−1 )d ]ndonded ≤ 1n−1

La función de densidad estadística X j puede obtenerse al integrar la función de densidad

conjunta o por un razonamiento directo de la siguiente manera: Para que X j a la igualdad

de x, es necesario para j−1 de los n valores x1…xn sea menor que x, n− j de ellos que

sea menor que x, y uno de ellos para igualar x. Ahora, la densidad de probabilidad de que cualquier conjunto dado de j−1 de las x son menos de x, otro conjunto dado de n− j son todas mayores que r, y el valor restante es igual que x.

[F ( x ) ] j−1 [1−F ( x ) ]n− jf (x)

Por lo tanto

( nj−1 , n− j ,1)= n!

(n− j )! ( j−1 ) !

La función de densidad de X jesta dada por

Estadísticos de orden [Año]

f x ( j) ( x )= n !(n− j )! ( j−1 ) !

[F ( x ) ] j−1 [1−F (x ) ]n− jf (x)