estados de tensÃo e de deformaÇÃo estado de … · para determinarmos os planos principais basta...

ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO

Estado de Tensão Num PontoEstado Geral ou Triaxial de Tensão Num Ponto

∑ F x=∑ F y=∑ F z=0

Figura 01

∑M x=0 , yz . dx .dz . dy=zy .dx . dy . dz=0yz=zy

∑M y=0, xz=zx

∑M z=0 , xy=yx

⇒ Em dois planos ortogonais entre si, as componentes das tensões de cisalhamento, perpendiculares à aresta comum, são iguais e formam binários de sentidos opostos.

Sejam as componentes de tensão num plano qualquer, inclinado em relação às direções x, y e z.


1

Nas facetas paralelas escondidas, temos as mesmas componentes, de modo que:

x

y

dxdz

dy

z

τzx

σy

σxσ

y

τxy

τxz

τzy

τzy

τxy

Figura 02

Componentes de tensão num plano qualquer:

Figura 03


2

y

dAx

dAz

dA: área do triângulo inclinado

dAx

z

x

y

x

z

ρx

ρy

ρz

Componentes da tensão nos planos ⊥ a x, y e z:

Figura 04

Equilíbrio de Forças:

∑ F x=0 , x .dA= x . dAxxy .dAyzx .dAz

∑ F y=0 , y . dA=xy . dAx y . dAyzy . dAz

∑ F z=0 , z . dA=xz .dAxyz .dAy z . dAz

ou, matricialmente,

dA⋅[ x

y

z]=[

x yz zx

xy y zy

xz yz z]⋅[

dAx

dAy

dA z]

Obs.: A matriz das componentes da tensão nos planos perpendiculares a x, y e z é simétrica (τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz)


3

y

x

z

σz

τyx

σx

σy

τxy

τyz

τzy

τzxτ

xz

Escrevendo dAx = nx.dA, dAy = ny.dA e dAz = nz.dA,onde nx, ny e nz são os cossenos diretores da normal n ao plano inclinado, relativos às direções x, y e z, respectivamente, temos:

[ x

y

z]=[

x yz zx

xy y zy

xz yz z]⋅[

nx

n y

n z]

⇒ O estado de tensão num ponto fica determinado pelas seis componentes σx, σy, σz, τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz, medidas em três planos ortogonais entre si, que contenham o ponto. As componentes em qualquer outro plano são obtidas a partir dessas seis componentes.

A tensão resultante no plano inclinado é

= x2 y

2 z2

e pode ser decomposta numa componente normal σ e outra tangencial τ, tais que

= 22

com = x .n x y . n yz . n z ou

= x . nx2 y .n y

2 z .n z22.xy . n x .n y2 .yz .n y .nz2.zx .n z .n x

Considerando que nx, ny e nz são as variáveis em questão (cada conjunto nx, ny, nz

define um plano que contem o ponto), a expressão acima é a equação de uma superfície central de 2a ordem. Assim sendo, girando-se o sistema de coordenadas (nx, ny, nz), pode-se obter uma equação onde são nulos os coeficientes dos produtos de coordenadas.

Se assim o fizermos, teremos

=1 . n12 2. n2

23 . n32 e

12=23=31=0 ,


4

onde as novas direções 1, 2 e 3 são chamadas de direções principais.

Os planos normais a estas direções são os chamados planos principais e as tensões normais σ1, σ2 e σ3 são as tensões principais. Designa-se σ1 ≥ σ2 ≥ σ3.

Figura 05

Tomando como referência as direções principais, as componentes da tensão num plano qualquer seriam:

[1

2

3] = [

1 0 0

0 2 0

0 0 3]⋅[

n1

n2

n3] ou {

1=1 . n1

2= 2 . n2

3=3 . n3}

Como n x2n y

2n z2=n1

2n22n3

2=1 , temos:

1

1

2

2

2

2

3

3

2

=1

Interpretando as componentes ρ1, ρ2 e ρ3 como um conjunto de variáveis, a expressão acima representa um elipsóide cujos semi-eixos são as tensões principais σ1, σ2 e σ3. É o chamado elipsóide das tensões.


5

σ2

σ1

σ3

=1

2223

2

Figura 06

Daí se conclui que σ1 = σmáx e que σ3 = σmin (não há coordenada da superfície do elipsóide maior do que σ1 nem menor do que σ3).

Determinação das Tensões Principais:

Suponhamos que o plano inclinado é um plano principal.

Figura 07

Assim, x= . n x , y= .n y , z= . nz e

.⋅[nx

n y

nz]=[

x yx yz

xy y xy

xz yz z]⋅[

nx

n y

nz] ou


6

2

1

3

ρ

σ1

σ2

σ3

y

n

z

x

ρ = σ (τ = 0)

[ x− yx yz

xy y− xy

xz yz z− ]⋅[nx

n y

n z]=[000 ] (sitema homogêneo)

A solução trivial nx = ny = nz = 0 contraria a hipótese nx2 + ny

2 + nz2 = 1.

Para que um sistema homogêneo tenha solução não trivial é necessário que o determinante da matriz do sistema seja nulo, isto é,

∣ x− yx yz

xy y− xy

xz yz z−∣=0

Desenvolvendo este determinante, temos a equação do terceiro grau:

3− I 1 .2 I 2.−I 3=0

ondeI 1= x y z

I 2= x . y y , z z . x−xy2 −yz

2 −zx2

I 3=∣ x yx yz

xy y xy

xz yz z∣

As raízes desta equação são:

1=I 1

32⋅cos 3 ⋅Q onde, =arc cos R

Q3 1=

I 1

32⋅cos 32400⋅Q Q=

I 12−3. I 2

9

1=I 1

32⋅cos 31200⋅Q R=

−9. I 1 . I 227 . I 32 . I 13

54


7

Como os valores das tensões principais σ1, σ2 e σ3 independem das direções x, y e z previamente estabelecidas, os coeficientes I1, I2 e I3 também independem destas direções e, por isto, são chamados de Invariantes de Tensão ou Invariantes do Estado de Tensão.

Casos Particulares:a) Se I3 = 0, uma das soluções é nula ⇒ Estado Plano ou Biaxial de Tensãob) Se I2 = I3 = 0, duas soluções são nulas ⇒ Estado Simples ou Uniaxial de Tensão

Para determinarmos os planos principais basta substituir cada um dos valores de σ (σ1, σ2, σ3) no sistema homogêneo e determinar, em cada caso, os cossenos diretores da normal ao plano (nx, ny e nz).

Porém, como as equações de um sistema homogêneo são linearmente dependentes, teremos, em cada caso, infinitas soluções do tipo

[n x

n y

nz]=⋅[

n x0

n y0

n z0]

onde β é um escalar diferente de zero e nxo, nyo e nzo valores numéricos conhecidos, obtidos na resolução do sistema.

A solução única, para cada plano principal, é obtida da condição n x2n y

2n z2=1 ,

isto é,

[n x

n y

nz]=1

n⋅[

nx0

n y0

n z0] onde n=nx0

2 n y02 nz0

2 .


8

Vinícius

Highlight

Círculos de Mohr:

Em muitos casos práticos, um dos planos principais é reconhecido por simples observação (casos das solicitações simples, por exemplo). Nestes casos, a determinação dos demais planos principais e das tensões principais se simplifica.

Seja determinar as componentes de tensão normal σ e de cisalhamento τ num plano qualquer paralelo a uma das três direções principais (por exemplo, à direção 3).

Figura 08

∑ F n=0 , ⋅dS=1⋅dS⋅cos⋅cos 2⋅dS⋅sen⋅sen

=1 cos22⋅sen2

∑ F t=0 , ⋅dS= 1⋅dS⋅cos⋅sen− 2⋅sen⋅cos

=1− 2⋅sen⋅cos

A primeira expressão pode ser escrita na forma, lembrando que

cos2=

1cos 22

e sen2=

1−cos22

,


9

dz

dy

dx

dSdS . cos θ

dS . sen θ

θ

θ

σ1

σ2

σ3

σ1

σ2

σ

n

t

=1⋅1cos2

2 2⋅

1−cos 22

=1 2

21− 2

2⋅cos2

A segunda expressão pode ser escrita na forma

=1−2

2⋅sen2

Estas expressões fornecem os valores das componentes de tensão normal e de cisalhamento nos planos paralelos ao eixo principal 3. De maneira análoga, podemos expressar as componentes de tensão nos planos paralelos aos demais eixos principais.

As expressões acima são, na verdade, as equações paramétricas de uma circunferência

x=ar⋅cosy=br⋅sen

onde x= é a tensão normaly= é a tensão de cisalhamento

a , b=1 2

2,0 são as coordenadas do centro do círculo

r= 1−2

3 é o raio do círculo

=2 é o parâmetro (θ é o ângulo entre o plano principal 1 e o plano qualquer)

Elevando ao quadrado cada membro de cada equação e somando membro a membro, obtemos:

[−12

2 ]2

2=[1−2

2 ]2

ou x−a2 y−b2=r 2


10

que é a equação normal da circunferência.

r= 1−2

2

1 2

2

Figura 09

Cada ponto da circunferência representa um plano inclinado de um ângulo θ em relação ao plano principal 1, onde atuam componentes de tensão σ e τ iguais às suas coordenadas.

Analogamente, teremos mais dois círculos semelhantes a este: um, cuja circunferência representa os planos paralelos à direção principal 2 e outro, cuja circunferência representa os planos paralelos à direção principal 1.

Figura 10A estes círculos dá-se o nome de Círculos de Mohr.


11

τσ

σ2

σ1

τ2θ

r

(σ,τ)

τ

τmáx

σ3

σ2 σ

1

2θ = 90°σ

Pode-se demonstrar que os planos de inclinação arbitrária em relação aos eixos principais são representados pelos pontos da região hachurada da figura acima.

Assim sendo, a máxima tensão de cisalhamento num ponto qualquer de um corpo solicitado vale

máx=1− 3

2=

máx−min

2

e age num plano paralelo à direção principal 2 (direção da tensão principal intermediária σ2), inclinado de 45o em relação aos planos principais 1 e 3 (respectivamente, os planos onde agem as máxima e mínima tensões normais σ1 e σ3).

Como podemos observar, pontos diametralmente opostos da circunferência, representam planos ortogonais entre si.

Assim, podemos construir o Círculo de Mohr a partir das componentes de tensão em dois planos quaisquer ortogonais entre si, paralelos a uma direção principal.

Figura 11

Adotando-se a seguinte convenção de sinais para as tensões de cisalhamento,


12

y

x

z

σy

σz

σx

τxy

τyx

o Círculo de Mohr fica

∣xy∣=∣yx∣

FIGURA 12

Centro do Círculo: x y

2, 0

Raio do Círculo: r= x− y

2 2

xy2

As tensões principais são, portanto, σz, σI e σII, onde

I , II= x y

2± x− y

2 2

xy2


13

τ τ τ τ

( + ) ( - )

σI

σx

σy

σII

2θσ

τ

τyx

τxy

(σx + σ

y)/2 (σ

x - σ

y)/2

Os planos principais são o plano perpendicular ao eixo z e os planos paralelos a z dados por:

tg 2P=−xy

x− y

2

ou tg 2P=−2⋅xy

x− y

Casos Particulares:a) Estado Plano de Tensão:

Figura 13b) Estado Simples de Tensão:

Figura 14


14

2θ = 90°

τ

σσ

2 = σ

3 = 0

σ1

τmáx

= σ1 / 2

2θ = 90°

τ

σσ

3 = 0

τmáx

= σ1 / 2

σ2

σ1

c) Estado Triaxial Uniforme de Tensão:

Figura 15

Estado de Deformação Num Pontoy

v A’

w A u

xz

Figura 16

AA’: deslocamento do ponto genérico A(u,v,w): componentes de vetor-deslocamento AA’ segundo os eixos x, y e z,

respectivamente

As deformações lineares do ponto segundo as direções x, y e z são, respectivamente:

εx = ∂u / ∂x, εy = ∂v / ∂y e εz = ∂w / ∂z.

As deformações angulares segundo os planos xy, yz e zx são, respectivamente:

γxy = ∂u / ∂y + ∂v / ∂x, γyz = ∂v / ∂z + ∂w / ∂y e γzx = ∂w / ∂x + ∂u / ∂z.


15

τ

σ

σ1 = σ

2 = σ

3

Estas componentes da deformação (deformações lineares e angulares) constituem o Estado de Deformação do Ponto, isto é, são suficientes para se determinar as componentes em quaisquer outras direções.

De fato, seja determinar as componentes da deformação segundo as direções arbitrárias x’, y’ e z’, tais quenxx, nxy e nxz sejam os cossenos diretores de x’ em relação a x, y e z, respectivamente,nyx, nyy e nyz sejam os cossenos diretores de y’ em relação a x, y e z, respectivamente,nzx, nzy e nzz sejam os cossenos diretores de z’ em relação a x, y e z, respectivamente.

Assim, podemos escrever

x = nxx.x’ + nyx.y’ + nzx.z’ x’ = nxx.x + nxy.y + nxz.zy = nxy.x’ + nyy.y’ + nzy.z’ ou y’ = nyx.x + nyy.y + nyz.zz = nxz.x’ + nyz.y’ + nzz.z’ z’ = nzx.x + nzy.y + nzz.z

As variações das componentes do deslocamento, u, v e w, são:

du=∂ u∂ x

⋅dx∂u∂ y

⋅dy∂u∂ z

⋅dz

dv=∂v∂ x

⋅dx∂ v∂ y

⋅dy∂ v∂ z

⋅dz

dw=∂w∂ x

⋅dx∂w∂ y

⋅dy∂w∂ z

⋅dz

ou, matricialmente,

[ dudvdw ]=[

∂u∂ x

∂ u∂ y

∂u∂ z

∂v∂ x

∂ v∂ y

∂ v∂ z

∂w∂ x

∂w∂ y

∂w∂ z

]⋅[dxdydz ]=[

∂u∂ x

∂u∂ y

∂ u∂ z

∂ v∂ x

∂v∂ y

∂ v∂ z

∂w∂ x

∂w∂ y

∂w∂ z

]⋅[nxx n yx n zx

nxy n yy n zy

n xz n yz nzz]⋅[dx '

dy 'dz ' ]


16

A variação da componente u, por exemplo, segundo o novo sistema de eixos é:

du’ = nxx.du + nxy.dv + nxz.dw.

Se substituirmos, nesta expressão, os valores de du, dv e dw acima indicados , poderemos deduzir que:

x '=∂u '∂ x '

=nxx2 .xnxy

2 .yn xz2 . znxx . nxy .xyn xy .n xz . yznxz .n xx . zx

que é a equação de uma superfície central de 2a ordem análoga à obtida no estudo do estado de tensão. A comparação entre as duas equações estabelece as seguintes correspondências:

εx ↔ σx, εy ↔ σy, εz ↔ σz, γxy ↔ 2τxy, γyz ↔ 2τyz, γzx ↔ 2τzx.

Esta expressão dá o valor da deformação linear numa direção qualquer, enquanto a obtida anteriormente dava o valor da tensão normal também numa direção qualquer.

Daí, podemos afirmar que todo o estudo feito para o estado de tensão é válido para o estado de deformação, se respeitarmos as correspondências acima.

Desta forma, existem três direções ortogonais entre si, segundo as quais as deformações angulares são nulas. São as direções principais, designadas por 1, 2 e 3. Os planos normais a estas direções são os chamados planos principais e as deformações lineares segundo estas direções, ε1 ≥ ε2 ≥ ε3, são as deformações principais.

Tais deformações podem ser obtidas, a exemplo do estado de tensão, pelas soluções da equação

ε3 - I1.ε2 + I2.ε - I3 = 0

onde, I 1= xyz

I 2=x . yy .z z .x− xy

2

4− yz

2

4− zx

2

4


17

I 3=∣x

yx

2 yz

2xy

2y

xy

2xz

2

yz

2 z

∣são os Invariantes de Deformação ou Invariantes do Estado de

Deformação.

Casos Particulares:a) Se I3 = 0, uma das soluções é nula ⇒ Estado Plano ou Biaxial de

Deformaçãob) Se I2 = I3 = 0, duas soluções são nulas ⇒ Estado Simples ou Uniaxial de

Deformação

Os planos principais são obtidos de maneira análoga à do estado de tensão.

Os Círculos de Mohr também podem ser construídos analogamente aos do estado de tensão, lembrando que, no eixo horizontal marcamos as deformações lineares ε e no vertical, a metade das deformações angulares γ.

Figura 17


18

γ/2

γmáx

/2 = (ε1 – ε

3) /2

90°

ε3

ε2

ε1

Supondo, por exemplo, a direção z principal, as deformações principais, normais aos planos paralelos à essa direção z, são

I , II=xy

2± x−y

2 2

xy

2 2

Os planos principais são o plano perpendicular ao eixo z e os planos paralelos a z dados por:

tg 2P=−xy

x−y

Lei de Hooke Generalizada

Estado Geral ou Triaxial de Tensão Num Ponto

Figura 18

Sendo εij a deformação linear na direção i provocada pela tensão normal σj, temos:

a) deformações devidas a σx:

xx= x

E, yx= zx=−⋅xx=−

⋅ x

E


19

y

x

z

dy

dxdz σ

y

σxσ

z

τxy

τyxτ

yz

τzy

τzx

τxz

b) deformações devidas a σy:

yy= y

E, xy=zy=−⋅yy=−

⋅ y

E

c) deformações devidas a σz:

zz= z

E, xz=yz=−⋅ zz=−

⋅ z

E

d) deformações devidas a γxy, γyz e γzx:

xy=xy

G, xz=

xz

Ge yz=

yz

G

Superpondo os efeitos, temos:

x= x

E−E⋅ y z

y= y

E−E⋅ z x

z= z

E−E⋅ x x

xy=xy

G, yz=

yz

Ge zx=

zx

G onde G=E

2⋅1

As expressões acima representam a Lei de Hooke Generalizada, isto é, para o Estado Geral de Tensão.

Observa-se que se os eixos principais do estado de tensões são exatamente os mesmos eixos principais para o estado de deformações.

Se no plano xy tem-se um estado plano de tensões, as deformações neste memo plano se comportarão como em um estado plano de deformações porém a

deformação principal z=−E⋅ x x será, em geral, diferente de zero.


20

Nos planos principais, as deformações são:

1=1

E−E⋅ 2 3

2= 2

E−E⋅31

3=3

E−E⋅ 1 2

12=23=31=0

A deformação volumétrica no ponto é dada por:

v=VV

=V f −V i

V i

onde V i=dx⋅dy⋅dzV f=dx⋅dy⋅dz⋅1x ⋅1y⋅1 z

v=1x ⋅1y⋅1z −1=1xyzx⋅yx⋅zy⋅ zx⋅y⋅ z−1

Devido à hipótese das pequenas deformações, os produtos de deformações são valores desprezíveis na presença das deformações. Assim, a deformação volumétrica pode ser escrita, de forma aproximada, como

v=xyz= I 1=123

ou, devido à Lei de Hooke,

v= x y z⋅1−2⋅

E


21

dy

dxdz

dy+εy.dy

dx+εx.dx

dz+εz.dz

Vinícius

Highlight

Vinícius

Highlight

Observação:Para o Estado Triaxial Uniforme, σx = σy = σz = σ, temos:

x= y= z=⋅1−2⋅

Ee

v=3⋅1−2⋅

E⋅=

K

onde K=E

3⋅1−2⋅é o Módulo de Deformação Volumétrica

do Material

Se σ ≥ 0, então εv ≥ 0 e se σ ≤ 0, então εv ≤ 0. Isto implica em dizer que 1 - 2ν ≥ 0 → ν ≤ 0,5. Este valor é um limite para o coeficiente de Poisson, isto é, não há material com este coeficiente maior do que 0,5.

Medidas de deformações planas - rosetas

As deformações lineares em um ponto podem ser medidas com o uso de extensômetros. O extensômetros elétricos propiciam medidas precisas das deformações através do registro das variações da corrente elétrica (quando o extensômetro se deforma, a resistência elétrica e, por conseguinte, a corrente elétrica são alteradas).

A determinação do estado de tensão em um ponto (estado plano de tensões) pode ser feita a partir de medidas de deformações com a utilização de rosetas de deformação. Uma roseta de deformação é composta de um conjunto de extensômetros elétricos dispostos em um dado plano e segundo direções conhecidas.

Colando-se uma roseta com 3 extensômetros sobre a superfície de um elemento estrutural faz-se a leitura das deformações lineares segundo estas 3 direções e calcula-se as componentes do estado de deformações.


22

Vinícius

Highlight

Cálculo da deformação linear em uma dada direção θa:

=[x

xy

2

xz

2 xy

2y

yz

2xz

2 yz

2z

]⋅{nx

n y

nz}

como se trata de um problema de estado plano de tensões,

xy=xz=0 e, portanto, xy=xz=0

assim,

=[x

xy

20

xy

2y 0

0 0 z

]⋅{cosa

sena

0 }={x⋅cosa

xy

2⋅sena

xy

2⋅cosay sena

0}


23

xθ

a

θb

θc

a=x⋅cosa xy⋅sena ;

xy

2⋅cosay⋅sena ; 0⋅{

cosa

sena

0}

a=x⋅cos2

axy

2⋅sena⋅cosa

xy

2⋅cosa⋅senay sen2

a

a=x⋅cos2

a y sen2a

xy

2⋅sen 2a

analogamente para os ângulos θb e θc, vem

b=x⋅cos2

by sen2b

xy

2⋅sen 2b

c=x⋅cos2

cy sen2c

xy

2⋅sen2c

Tem-se, assim, um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, cuja solução oferece como resultado os valores das componentes de deformação no plano (εx, εy e γxy).

Roseta 45° (são medidas as deformações ε0°, ε45° e ε90°)

fazendo o eixo x na direção 0° e o eixo y na direção 90°,


24

90°

45°

0°

x=0°

y=90 °

45°=x⋅cos245 °y⋅sen ²45°

xy

2⋅sen 2⋅45°

45°=x⋅12y⋅

12 xy

2

xy=2⋅45°−xy

Roseta 60° (são medidas as deformações ε0°, ε60° e ε120°)

fazendo o eixo x na direção 0°

x=0°

60°=x⋅cos260 °y⋅sen ² 60 °

xy

2⋅sen2⋅60 °= x⋅

14y⋅

34xy

2⋅32

120°=x⋅cos2120° y⋅sen ² 120°xy

2⋅sen2⋅120°=x⋅

14y⋅

34xy

2⋅−32

resolvendo o sistema de equações, vem:


25

0°

60°

120°

xy=23

⋅60°−120°

y=23⋅60 °120°−

0°

2

Conhecidas as componentes de deformação no plano xy e sabendo que se trata de um estado plano de tensões (σz = 0, τxz = τyz = 0), pode-se determinar as componentes do estado tensional e a componente de deformação perpendicular ao plano xy (εz) utilizando a lei de Hooke generalizada.

x= x

E−E⋅ y

y= y

E−E⋅ x

z=−E

⋅ x x

xy=xy

G

multiplicando a expressão de εx por ν e somendo-a com a expressão de εy,

⋅xy= y

E⋅1−

2 ,

y=E

1−2⋅y⋅x e x=E

1−2⋅x⋅y

xy=G .⋅xy

substituindo os valores de σx e de σy na expressão de εz, vem

z=−E⋅

E1− ²

⋅xy ⋅1

z=−

1−2⋅xy


26

Energia Potencial de Deformação

No Estado Simples de Tensão, temos:

- Força elementar resultante na direção x: dF x= x⋅dA= x⋅dy⋅dz

- Deslocamento correspondente:d x=x⋅dx

- Energia potencial acumulada no volume elementar:

dU x=12⋅dF x⋅d x=

12⋅ x⋅x⋅dx.⋅dy⋅dz=

x⋅x

2⋅dV

No Estado Geral de Tensão (usando o PSE), temos:

dU=12⋅ x⋅x y⋅y z⋅zxy⋅xyyz⋅ yzzx⋅zx⋅dV

ou, usando a Lei de Hooke Generalizada,dUdV

=1

2 E⋅[ x

2 y2 z

2−2⋅ x⋅ y y⋅ z z⋅ x]1

2G⋅xy

2 yz2 zx

2 .

Em termos das tensões principais,dUdV

=1

2 E⋅[1

2 22 3

2−2⋅ 1⋅ 2 2⋅ 33⋅1] .

Suponhamos cada estado de tensão como a superposição de dois outros estados tais que:

e que a variação do volume do estado (1) seja a mesma do estado resultante, isto é, a variação do volume do estado (2) seja nula.

Assim, a deformação volumétrica do estado (2) é


27

σx σ

x

dxdzdy

dUx

dΔdΔx

dFx

dF

σ1

σ3

σ2

= σ

σ

σ

+ σ1'

σ3'

σ2'

(1) (2)

Vinícius

Highlight

εv’ = ε1’ + ε2’ + ε3’ = 0 ⇒ (σ1’ + σ2’ + σ3’).(1 - 2ν) = 0

Como esta relação é válida para qualquer material (qualquer valor de ν),σ1’ + σ2’ + σ3’ = 0

De acordo com a suposição acima,σ1 = σ + σ1’σ2 = σ + σ2’σ3 = σ + σ3’

Somando as expressões acima membro a membro, temos:

σ1 + σ2 + σ3 = 3 σ + σ1’ + σ2’ + σ3’ = 3 σ

Daí, concluímos que as componentes dos estados (1) e (2) são:

=123

3,

1 '=1− ,

2 '=2− e

3 '= 3− .

Como o estado (1) não realiza trabalho nos deslocamentos originados pelas forças do estado (2) e vice-versa, podemos afirmar:

dUdV

=dU v

dV

dU d

dV

onde Uv é a energia de variação da volume eUd é a energia de variação da forma (energia de distorção)

Substituindo as componentes de tensão do estado (1) na expressão da energia de deformação, temos:

dU v

dV=3⋅2⋅

1−2⋅2 E

dU v

dV=1 2 3

2⋅1−2⋅

6 Eou


28

dU v

dV= x y z

2⋅1−2⋅

6 Eou

dU v

dV= I 1

2⋅1−2⋅

6 E

onde I1 é o primeiro invariante de tensão.

dU d

dV=

dUdV

−dU v

dV,

dU d

dV=[1− 2

2 2−32 3−1

2]⋅16 E

ou

dU d

dV=[ x− y

2 y− z

2 z− x

2]⋅

16 E

xy

2 yz2 zx

2

2G

Observação:

Para o estado simples de tensão, σ1 = σ, σ2 = σ3 = 0 (tração) ou σ1 = σ2 = 0, σ3 = σ (compressão), temos

dU v

dV= 2⋅

1−2⋅6 E

edU d

dV= 2⋅

13 E

dUdV

=dU v

dV

dU d

dV=

2

2 E=⋅2

.

Para o estado de cisalhamento puro, σ1 = - σ3 = σ, σ2 = 0, temos:

dU v

dV=0 e

dU d

dV= 2⋅

1E

.

Para o estado triaxial uniforme, σ1 = σ2 = σ3 = σ, temos:

dU v

dV=3⋅2⋅

1−2⋅2 E

e dU d

dV=0 .


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estados de tensÃo e de deformaÇÃo estado de … · para determinarmos os planos principais basta...

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