2 Aulo - 2008

Prof.: Daniel AlmeidaEstatstica Bsica

1. IntroduoA Estatstica talvez seja a parte da Matemtica que mais se preocupa com o comportamento social, visto que tal contedo repleto de coletas de dados, para que se possa ento fazer a anlise deles.A Estatstica envolve um conjunto de mtodos desenvolvidos para a coleta, classificao, apresentao, anlise e interpretao de dados quantitativos(ou qualitativos) e a utilizao desses dados para a tomada de decises.Por exemplo, podemos pensar no caso de duas turmas que, em um determinado teste de matemtica, tenham ambas obtido mdia aritmtica 6 nas notas, pois possvel que, em uma turma, todos tenham tirado notas muito prximas de 6 e na outra turma a variao de notas tenha sido muito discrepante, da a importncia da Estatstica, pois atravs dela traaremos parmetros para que possamos diferenciar e personalizar as coletas analisadas.Didaticamente temos:

- Estatstica Descritiva (ou Dedutiva):

Cuida da coleta, apurao, apresentao, anlise e interpretao de dados.

- Inferncia Estatstica (Estatstica Indutiva):

Consiste em tirar concluses sobre a populao com base nos resultados da amostra.POPULAO E AMOSTRA

Populao um conjunto de elementos que tm pelo menos uma caracterstica (varivel) comum objeto de estudo.

Populao Finita: Limitada em tamanho

Populao Infinita: Ilimitada em tamanho. Consiste num processo que gera itens.

Nomenclatura Bsica Tipos de variveis

Varivel quantitativa

Quando as variveis de uma pesquisa so, por exemplo, altura, peso, idade em anos e nmero de irmos, dizemos que elas so quantitativas, pois seus possveis valores so nmeros.

As variveis quantitativas podem ser discretas, quando se trata de contagem (nmeros inteiros), ou contnuas, quando se trata de medida (nmeros reais). Veja:

Nmero de irmos uma varivel quantitativa discreta, pois podemos contar (0, 1, 2 etc.). Altura uma varivel quantitativa contnua, uma vez que pode ser medida (l,55 m, l,80 m, l,73 m etc.).

A idade em anos exatos pode ser considerada varivel quantitativa discreta (8, 10, 17 etc.).

b) Varivel qualitativa

So aquelas variveis que procuram passar uma certa caracterstica do dado que est sendo analisado, como, por exemplo: cor do cabelo, cor da pele, feio ou bonito, alegre ou triste e assim por diante.

Obs.: Essas variveis podem ser de dois tipos: Qualitativas Nominais (atributos) Qualitativas Ordinais (ordem)

FreqnciasFreqncia absoluta:

aquela que indica o nmero de elementos coletados da varivel analisada.

b) Freqncia relativa:

aquela que representa a proporo entre a varivel analisada e o todo, e que, por isso, pode ser representada por uma frao, por uma porcentagem ou por uma dzima.

Tabela de frequnciasTabela sem intervalo de classe:

A tabela abaixo relaciona a preferncia pelo time de futebol em relao a 560 pessoas entrevistadas, em que, para cada time, podemos utilizar a proporo entre a freqncia relativa e o setor do grfico.

Tabela com intervalo de classe:

OBS.: As classes so intervalos fechados no incio e abertos no final.Medidas de CentralidadeA medida de centralidade um nmero que est representando todo o conjunto de dados; nas pesquisas tal nmero conhecido como medida de tendncia central, que pode ser encontrado a partir da mdia aritmtica, da moda ou da mediana, e o uso de cada uma delas mais conveniente de acordo com o nvel de mensurao, o aspecto ou forma da distribuio de dados e o objetivo da pesquisa.Mdia aritmtica (X) a medida de centralidade mais comum, porm deve ser usada em dados representados por intervalos, pois no haveria sentido utiliz-la em uma distribuio em que a varivel fosse, por exemplo, time de futebol ou sexo. A mdia representa, ainda, o ponto de distribuio no qual se equilibram os desvios (diferenas) positivas e negativas de cada dado, ou seja, os desvios positivos somados se anulam com os negativos somados.Exemplo

Dados Agrupados sem intervalo de ClasseConsideremos a distribuio relativa a 34 famlias de quatro filhos, tomando para varivel o nmero de filhos do sexo masculino. Calcularemos a quantidade mdia de meninos por famlia:

Como as freqncias so nmeros indicadores da intensidade de cada valor da varivel, elas funcionam como fatores de ponderao, o que nos leva a calcular a mdia aritmtica ponderada, dada pela frmula:

Dados agrupados com intervalo de ClasseNeste caso, convencionamos que todos os valores includos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto mdio, e determinamos a mdia aritmtica ponderada por meio da frmula:onde Xi o ponto mdio da classe.

Ex: Calcular a estatura mdia de bebs conforme a tabela abaixo.

ModaA moda o elemento da seqncia de dados que possui a maior freqncia, em que ela ser localizada. Para ficar mais fcil de voc lembrar, associe o fato de que aquilo que est na moda o que as pessoas mais usam.

Por exemplo, o salrio modal dos empregados de uma fbrica o salrio mais comum, isto , o salrio recebido pelo maior nmero de empregados dessa fbrica.

Moda quando os dados no esto agrupadosA moda facilmente reconhecida: basta, de acordo com definio, procurar o valor que mais se repete.

Ex: Na srie { 7 , 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 } a moda igual a 10.

H sries nas quais no exista valor modal, isto , nas quais nenhum valor aparea mais vezes que outros.

Ex: { 3 , 5 , 8 , 10 , 12 } no apresenta moda. A srie amodal.

.Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentrao. Dizemos, ento, que a srie tem dois ou mais valores modais.

Ex: { 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 }

apresenta duas modas: 4 e 7

A srie bimodal.

Moda quando os dados esto agrupadosSem intervalos de classe:

Uma vez agrupados os dados, possvel determinar imediatamente a moda: basta fixar o valor da varivel de maior freqncia.Ex: Qual a temperatura mais comum medida no ms abaixo:

Resp.: 2 C a temperatura modal, pois a de maior freqncia.

b) Com intervalos de classe:

A classe que apresenta a maior freqncia denominada classe modal. Pela definio, podemos afirmar que a moda, neste caso, o valor dominante que est compreendido entre os limites da classe modal. O mtodo mais simples para o clculo da moda consiste em tomar o ponto mdio da classe modal. Damos a esse valor a denominao de moda bruta.

onde li = limite inferior da classe modal e Li = limite superior da classe modal.Ex: Calcule a estatura modal conforme a tabela abaixo.

Resposta: a classe modal 58|-------- 62, pois a de maior freqncia. li= 58 e Li = 62

( este valor estimado, pois no conhecemos o valor real da moda).23MedianaA mediana representa o elemento que se encontra no centro da distribuio, quando a seqncia de dados se apresenta ordenada de forma crescente ou decrescente, cortando, assim, a distribuio em duas partes com o mesmo nmero de elementos.A mediana em dados no-agrupadosDada uma srie de valores como, por exemplo: { 5, 2, 6, 13, 9, 15, 10 }

De acordo com a definio de mediana, o primeiro passo a ser dado o da ordenao (crescente ou decrescente) dos valores: { 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 }

O valor que divide a srie acima em duas partes iguais igual a 9, logo a Md = 9.Mtodo prtico para o clculo da Mediana:Se a srie dada tiver nmero mpar de termos:

O valor mediano ser o termo de ordem dado pela frmula :

Ex: Calcule a mediana da srie { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 5 }

1 - ordenar a srie { 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5 }

n = 9 logo (n + 1)/2 dado por (9+1) / 2 = 5, ou seja, o 5 elemento da srie ordenada ser a mediana

A mediana ser o 5 elemento = 2Se a srie dada tiver nmero par de termos:O valor mediano ser o termo de ordem dado pela frmula :

Obs: n/2 e (n/2 + 1) sero termos de ordem e devem ser substitudos pelo valor correspondente.Ex: Calcule a mediana da srie { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3, 5, 6 } 1 - ordenar a srie { 0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6 }

n = 10 logo a frmula ficar:

5 termo = 2 6 termo = 3

A mediana ser Md = 2,5 . A mediana no exemplo ser a mdia aritmtica do 5 e 6 termos da srie.

Notas: Quando o nmero de elementos da srie estatstica for mpar, haver coincidncia da mediana com um dos elementos da srie.

Quando o nmero de elementos da srie estatstica for par, nunca haver coincidncia da mediana com um dos elementos da srie. A mediana ser sempre a mdia aritmtica dos 2 elementos centrais da srie.

Em uma srie a mediana, a mdia e a moda no tm, necessariamente, o mesmo valor.

A mediana, depende da posio e no dos valores dos elementos na srie ordenada. Essa uma da diferenas marcantes entre mediana e mdia ( que se deixa influenciar, e muito, pelos valores extremos). Vejamos: Em { 5, 7, 10, 13, 15 } a mdia = 10 e a mediana = 10 Em { 5, 7, 10, 13, 65 } a mdia = 20 e a mediana = 10

isto , a mdia do segundo conjunto de valores maior do que a do primeiro, por influncia dos valores extremos, ao passo que a mediana permanece a mesma.

A mediana em dados agrupadosSem intervalos de classe:

Neste caso, o bastante identificar a freqncia acumulada imediatamente superior metade da soma das freqncias. A mediana ser aquele valor da varivel que corresponde a tal freqncia acumulada.Ex.: conforme tabela abaixo:

Quando o somatrio das freqncias for mpar o valor mediano ser o termo de ordem dado pela frmula :

Como o somatrio das freqncias = 35 a frmula ficar: ( 35+1 ) / 2 = 18 termo = 3

Quando o somatrio das freqncias for par o valor mediano ser o termo de ordem dado pela frmula:

Ex: Calcule Mediana da tabela abaixo:

Aplicando frmula acima teremos:[(8/2)+ (8/2+1)]/2 = (4 termo + 5 termo) / 2 = (15 + 16) / 2 = 15,5

b) Com intervalos de classe:

Devemos seguir os seguintes passos:

1) Determinamos as freqncias acumuladas ; 2) Calculamos

3) Marcamos a classe correspondente freqncia acumulada imediatamente superior . . Tal classe ser a classe mediana ; 4) Calculamos a Mediana pela seguinte frmula:

li = o limite inferior da classe mediana. FAA = a freqncia acumulada da classe anterior classe mediana. f = a freqncia simples da classe mediana. h = a amplitude do intervalo da classe mediana.

Exemplo:

OBS: Esta mediana estimada, pois no temos os 40 valores da distribuio. Medidas de DispersoVimos que a moda, a mediana e a mdia aritmtica possuem a funo de representar, a partir de um nico nmero, a seqncia a ser analisada. Porm, tal mtodo ainda muito incompleto para que ns possamos tirar alguma concluso sobre o trabalho. necessrio que possamos enxergar algo mais nessa seqncia que estamos analisando, como, por exemplo, uma certa personalidade da seqncia.Observe a seguinte situao: quatro turmas do 3 ano do Ensino Mdio fizeram uma prova de estatstica e quando o professor verificou a mdia das notas de cada turma, constatou que, em cada uma das quatro turmas, a mdia dos alunos foi igual a 6,0. E a? Ser que podemos concluir que o desempenho das quatro turmas foi o mesmo? Ser que todos os alunos, de todas as turmas, tiraram nota 6,0 na prova? bvio que, nesse momento, o bom senso fala mais alto e podemos, no mnimo, desconfiar de que no. Pois exatamente a que reside a tal personalidade que podemos atribuir a cada turma em relao ao comportamento das notas. O que quero dizer que, com as medidas de disperso, seremos capazes de verificar que, por mais que a mdia das turmas na prova de estatstica tenha sido 6,0, poderemos com tais medidas determinar as turmas que tiveram um comportamento homogneo, em que os alunos tiraram notas prximas de 6,0, como tambm determinar as turmas que tiveram um comportamento heterogneo em relao nota 6,0, ou seja, por mais que a mdia tenha sido 6,0, as notas no foram prximas de 6,0.Desvio Absoluto MdioComo a palavra desvio est associada diferena, temos que, o desvio deve ser empregado com a diferena do elemento analisado em relao mdia, ou seja, o quanto o elemento se afasta da mdia da seqncia. Da, importante perceber que essa diferena deve ser necessariamente trabalhada em mdulo, pois no tem sentido a distncia negativa. E o desvio mdio, ento, passa a ser encontrado a partir da mdia aritmtica de todos os desvios.Da, temos:

Exemplo

Ento, na tabela acima, temos que:VarinciaA varincia uma medida de disperso muito parecida com o desvio mdio, a nica diferena em relao a este que, na varincia, ao invs de trabalharmos em mdulo as diferenas entre cada elemento e a mdia, tomamos os quadrados das diferenas. Isso se d pelo fato de que, elevando cada diferena ao quadrado, continuamos trabalhando com nmeros no negativos, como tambm pelo fato de que, em procedimentos estatsticos mais avanados, tal mtodo facilita futuras manipulaes algbricas.

Exemplo

Ainda tomando como exemplo a situao anterior, teremos:Desvio-padroPara entendermos o procedimento para o clculo do desvio-padro, interessante percebermos que, no clculo da varincia, cometemos um erro tcnico que ser corrigido pelo desvio-padro, ou seja, no momento em que elevamos ao quadrado as disperses (diferenas) de cada elemento em relao mdia, automaticamente alteramos a unidade de trabalho. Por exemplo: se estivermos trabalhando com a coleta das alturas, em metro, das pessoas de uma determinada comunidade, a unidade da varincia encontrada ser o m (metro quadrado), que representa reas. E a que entra o desvio-padro, ou seja, extraindo a raiz quadrada da varincia.

Ento, se no exemplo do item anterior a varincia encontrada foi 345,57, temos que o desvio-padro foi de

1 QuestoObserve os grficos a seguir, que representam em reais, as vendas e os lucros anuais de uma empresa no perodo de 1990 a 1995.

De acordo com os grficos, calcule:

a mdia, em milhes de reais, das vendas dessa empresa no perodo considerado;

b) a razo entre o lucro e a venda em 1992.

442 QuestoO grfico abaixo refere-se ao volume de investimentos de capital estrangeiro, segundo o Banco Central. Com base no grfico, analise e julgue os itens seguintes.

(1) No ano de 1993, houve uma reduo nos investimentos, em relao media dos quatro anos anteriores.(2) A mdia dos valores investidos no pas de 1989 a 1994 corresponde a menos de 30% do montante investido apenas no ano de 1995.3 QuestoUma prova foi aplicada em duas turmas distintas. Na primeira, com 30 alunos, a mdia aritmtica das notas foi 6,40. Na segunda, com 50 alunos, foi 5,20. A mdia aritmtica dos 80 alunos foi:

a) 5,65b) 5,70c) 5,75 d) 5,804 Questo:Uma prova continha cinco questes, cada uma valendo dois pontos. Em sua correo, foram atribudas a cada questo apenas as notas 0 ou 2, caso a resposta estivesse, respectivamente, errada ou certa. A soma dos pontos obtidos em cada questo forneceu a nota do aluno. Ao final da correo, produziu-se a seguinte tabela, contendo a porcentagem de acertos em cada questo.

Logo, a mdia das notas da prova foi:a) 3,8b) 4,0c) 4,4d) 4,6e) 4,25 Questo:O grfico indica o resultado de uma pesquisa sobre o nmero de acidentes ocorridos com 42 motoristas de txi em uma determinada cidade, no perodo de um ano.

Com base nos dados apresentados no grfico, e considerando que quaisquer dois motoristas no esto envolvidos num mesmo acidente, pode-se afirmar que:

a) cinco motoristas sofreram pelo menos quatro acidentes.b) 30% dos motoristas sofreram exatamente dois acidentes.c) a mdia de acidentes por motorista foi igual a trs.d) o nmero total de acidentes ocorridos foi igual a 72.e) trinta motoristas sofreram no mximo dois acidentes.6 QuestoNum curso de iniciao informtica, a distribuio das idades dos alunos, segundo o sexo, dada pelo grfico seguinte.

Com base nos dados do grfico, pode-se afirmar que:a) o nmero de meninas com, no mximo, 16 anos maior que o nmero de meninos nesse mesmo intervalo de idades.b) o nmero total de alunos 19.c) a mdia de idade das meninas 15 anos.d) o nmero de meninos igual ao nmero de meninas.e) o nmero de meninos com idade maior que 15 anos maior que o nmero de meninas nesse mesmo intervalo de idades.7 QuestoA tabela abaixo mostra as quantidades dirias (em toneladas) de lixo recolhido em uma praia durante os 5 primeiros dias de janeiro.

Se, nesse perodo, a quantidade mdia diria foi 2,4 toneladas, qual o valor de a?a) 1,5b) 1,1c) 4,5d) 0e) 2,28 Questo:Observe o grfico.

Se o consumo de vinho branco alemo, entre 1994 e 1998, sofreu um decrscimo linear, o volume total desse consumo em 1995, em milhes de litros, corresponde a:a) 6,585 b) 6,955c) 7,575d) 7,8759 QuestoNuma determinada prova, um conhecido professor observou que 50% dos seus alunos obtiveram nota exatamente igual a 4,0, 25% obtiveram mdia 6,4 e a mdia m do restante dos alunos foi suficiente para que a mdia geral ficasse em 5,9. Se 4 dos alunos que tiraram 4,0 e 2 dos alunos do grupo cuja mdia foi m tivessem tirado 6,4, a mdia subiria para 6,0. O nmero de alunos da turma e o valor de m so respectivamente iguais a

a) 36 e 9,0. b) 36 e 9,2. c) 40 e 9,0.d) 40 e 9,2.e) 40 e 9,4.10 QuestoConsidere a distribuio de freqncias dos tempos de auditoria:

Assinale a opo incorreta.a) O intervalo de classe modal dado por [30; 39].b) O tempo mdio de auditoria dado por 34,5 min.c) A mediana, a moda e a mdia da distribuio so coincidentes.d) A distribuio assimtrica.e) 30% das auditorias demoram menos de trinta minutos.

Considere a distribuio de freqncia transcrita a seguir para responder s prximas quatro questes.

A mdia da distribuio igual a:5,27 kg 5,19 kgc) 5,24 kg d) 5,30 kge) 5,21 kg12 QuestoA mediana da distribuio igual a:a) 5,30 kg b) 5,00 kgc) um valor inferior a 5 kg.d) 5,10 kge) 5,20 kg13 QuestoA moda da distribuio:

a) coincide com o limite superior de um intervalo de classe.b) coincide com o ponto mdio de um intervalo de classe.c) maior do que a mediana e do que a mdia geomtrica.d) um valor inferior mdia aritmtica e mediana. e) pertence a um intervalo de classe distinto do da mdia aritmtica.14 QuestoEm uma usina de lcool, foi selecionada uma certa variedade de cana do seu canavial. Tomando-se vrias unidades, ao acaso, em diversos pontos da lavoura, obtiveram-se, em quilogramas, os pesos seguintes:

1,58 1,32 1,76 1,51 1,50 1,38 1,55 1,71 1,54 1,67

Nessas condies, julgue os itens seguintes.

(1) A mdia aritmtica desses 10 dados 1,552 kg.(2) Podemos afirmar que 1,552 kg o peso mdio de uma cana para toda a lavoura.(3) O desvio-padro permite estimar a variao aleatria dessa amostra. (4) O desvio-padro, em relao estimativa da mdia, est prximo de 0,13. (5) A varincia igual a 8,9% e esta indica o grau de preciso do experimento.15 QuestoUma pesquisa eleitoral estudou a inteno de votos nos candidatos A, B e C, obtendo os resultados apresentados na figura.

A opo incorreta :a) O candidato B pode se considerar eleito.b) O nmero de pessoas consultadas foi de 5.400.c) O candidato B possui 30% das intenes de voto.d) Se o candidato C obtiver 70% dos votos dos indecisos e o restante dos indecisos optar pelo candidato A, o candidato C assume a liderana.e) O candidato A ainda tem chance de vencer as eleies.

16 QuestoObserve o demonstrativo do consumo de energia eltrica.

Para conhecimento, demonstramos acima a evoluo do consumo de energia eltrica nos ltimos meses. Considere que o consumo mdio, de agosto/98 a dezembro/98, foi igual ao que ocorreu de janeiro/99 a abril/99.O consumo no ms de abril de 99, em kWh, foi igual a:a) 141b) 151c) 161d) 171

17 QuestoUm laudo da companhia de saneamento da cidade de Padre Ccero denunciou que os nveis de boro no ribeiro Vermelho, que abastece a populao daquela cidade, atingiram valores muito superiores aos permitidos por lei (0,75 mg/L). O laudo revela que a possvel origem do boro uma substncia chamada hidroboracita, matria-prima utilizada na fabricao de fibras de vidro. Sabe-se que uma indstria de fibras de vidro tem depositado rejeitos industriais em uma vooroca localizada no aterro Pedra Azul, nas proximidades da nascente do crrego Cristal, afluente do ribeiro Vermelho.

A figura anterior mostra a concentrao de boro no crrego Cristal, no perodo de setembro de 2002 a junho de 2003, medida no dia 15 de cada ms. Considerando o texto III e a seqncia numrica dos valores dessas concentraes, julgue os itens seguintes.

Caso tenha sido retirada uma amostra de 3 L de gua do crrego Cristal em abril de 2003, seria necessrio adicionar mais de 300 L de gua destilada a essa amostra, para que os nveis de boro ficassem dentro do permitido por lei.

(2) Para a seqncia numrica citada, a moda superior mediana.

(3) Se, em 15 de julho de 2003, a concentrao medida foi igual mdia aritmtica da seqncia numrica das 10 concentraes medidas anteriormente, ento o desvio-padro da nova seqncia numrica, com 11 medies, superior ao desvio-padro da seqncia com 10 medies.

(4) Na seqncia numrica de concentraes, existe pelo menos uma medio superior soma da mdia aritmtica com o desvio-padro dessa seqncia.18 QuestoPara comparar dois mtodos de alfabetizao, A e B, um professor tomou um conjunto de alunos, dividiu-os ao acaso em dois grupos e alfabetizou um dos grupos pelo mtodo A e o outro, pelo mtodo B. Terminado o perodo de alfabetizao, o professor submeteu os dois grupos de alunos mesma prova. Os alunos obtiveram, nessa prova, as notas apresentadas na tabela a seguir.

Nessas condies, julgue os itens a seguir:

(1) As mdias das notas dos mtodos A e B so, respectivamente, 5,0 e 7,0. (2) Na amostra observada, a nota mdia dos alunos alfabetizados pelo mtodo B 40% maior do que a nota mdia dos alunos alfabetizados pelo mtodo A.(3) O desvio-padro da estimativa da mdia pelo mtodo A maior do que o desvio-padro da estimativa da mdia pelo mtodo B.(4) Pode-se concluir, pela anlise da varincia, que o grupo B mais homogneo do que o grupo A.

19 Questo

Dados do Departamento Nacional de Trnsito (Denatran) revelam que, por dia, os acidentes de trnsito no Brasil matam cerca de 100 pessoas e ferem outras 1.000, muitas vezes deixando seqelas irreversveis. Os gastos decorrentes da violncia no trnsito chegam a mais de R$ 10 bilhes por ano.Segundo o diretor do Denatran, entre os principais fatores que colaboram para o aumento de acidentes nas vias urbanas e rodovirias esto dois velhos conhecidos: o uso de lcool e o excesso de velocidade.Com relao a essas informaes, julgue os itens seguintes.

As informaes contidas no grfico so suficientes para que se possa concluir que o nmero de vtimas fatais de acidentes de trnsito no DF foi maior em 1999 que em 2002.

(2) No DF, se a frota de veculos em 1996 fosse 10% menor que a frota de veculos em 2000, ento o nmero de mortos em acidentes de trnsito em 2000 teria sido inferior a 60% do nmero de mortos em acidentes de trnsito em 1996.

(3) A mdia aritmtica da seqncia numrica formada pelos ndices correspondentes aos anos de 1995, 1996, 1997, 1998 e 1999 superior a 10,7.

(4) O desvio-padro da seqncia numrica formada pelos ndices correspondentes aos anos de 1996, 1997 e 1998 superior a 2,2.20 Questo

Dois torneiros, Paulo e Joo, concorrendo a uma vaga em uma metalrgica,submeteram-se ao seguinte teste de preciso: cada um deles construiu quatro rodas de ferro, que deveriam ter 5 cm de dimetro. A tabela abaixo descreve o desempenho de cada um.Qual foi o concorrente mais regular?21 QuestoUm atirador de ferraduras localiza-se a 30m de seu alvo. Os resultados dos lanamentos so:

a) qual a distncia mdia ao alvo atingida pelo jogador?b) qual o desvio padro?c) O que pode dizer a respeito da qualidade do jogador?