estatística medidas de tendência central média aritmética
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EstatísticaMedidas de tendência central
Média aritmética
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As medidas de tendência central são utilizadas para caracterizar um conjunto de valores, representando-o adequadamente. A denominação “medida de tendência central”, se deve ao fato de que, por ser uma medida que caracteriza um conjunto, tenderá a estar no meio dos valores. São medidas de tendência central:
• Média aritmética• Média aritmética ponderada• Média geométrica• Mediana• Moda
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Média aritmética é a razão entre a soma de todos os valores de determinada variável e o número total de valores.
n
x...xxx n21
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Os valores seguintes referem-se às notas obtidas por um aluno em oito disciplinas do Ensino Médio em um certo bimestre do ano letivo: 7,5 – 6,0 – 4,2 – 3,9 – 4,6 – 6,2 – 8,2 – 5,4CALCULE a média aritmética desses valores.
8
5,48,26,24,63,94,267,5x
8
46 75,5
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A média dos salários de quinze funcionários de uma loja de autopeças é R$ 790,00. Se forem contratados mais dois funcionários, com salários de R$ 855,00 e R$ 980,00, qual será a nova média salarial da loja?
79015
salários15790salários reais 11850
98085511850 reais 13685 soma) nova(
17
13685x reais 805
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A tabela a seguir mostra a evolução da receita bruta anual nos três últimos anos de cinco microempresas (ME) que se encontram à venda.
Um investidor deseja comprar duas das empresas listadas na tabela. Para tal, ele calcula a média da receita bruta anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e escolhe as duas empresas de maior média anual. As empresas que este investidor escolhe comprar são
A) Balas W e Pizzaria Y. B) Chocolates X e Tecelagem Z. C) Pizzaria Y e Alfinetes V. D) Pizzaria Y e Chocolates X. E) Tecelagem Z e Alfinetes V.
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3
240220200: V
3
200230200:W
3
215210250:X
3
230230230:Y
3
245210160:Z
220
210
225
230
205
A) Balas W e Pizzaria Y. B) Chocolates X e Tecelagem Z. C) Pizzaria Y e Alfinetes V. D) Pizzaria Y e Chocolates X. E) Tecelagem Z e Alfinetes V.
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5
19%15%21%19%18%
%4,18
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EstatísticaMedidas de tendência centralMédia aritmética ponderada
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Dado um conjunto de valores X1, X2, X3, ..., Xn, cada um com um respectivo peso p1, p2, p3, ..., pn, a média ponderada desses valores é dada por:
n321
nn332211
p...ppp
px...pxpxpxp
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Preço médio do quilo do peixe
3
953.A.M
67,5
61018
69105183.P.M
34
545054.P.M
65,4
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Média de pontos – partida de futebol
Vitória – 3 pontos; empate – 1 ponto; derrota – nenhum ponto
100
015130355.P.M
95,1100
030165.P.M
015,0130,0355,0.P.M
95,1.P.M
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EstatísticaMedidas de tendência central
Média geométrica
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Dado um conjunto de n valores X1, X2, X3, ..., Xn, a média geométrica desses valores é dada por:
nn321 X...XXXmg
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Calcular a média geométrica dos valores 1, 2 e 4.
3 421mg 3 8 2
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Um retângulo tem lados com medidas 2 cm e 8 cm. Obtenha a medida do lado de um quadrado que possua a mesma área.
cm2
cm8
82 16
4
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Um paralelepípedo retângulo tem dimensões a = 2 cm, b = 3 cm e c = 4,5 cm. Obtenha a medida da aresta de um cubo que tenha o mesmo volume.
cm2
cm3
cm5,4 x
3 5,432x 3 27x
3x
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Nos dois últimos anos o faturamento de uma empresa cresceu da seguinte forma: 25% no primeiro ano e, após uma alavancada nos negócios, 80% no segundo. Em média, quanto cresceu por ano?
80,125,1mg 1,25 25% de oCresciment 1,80 80% de oCresciment
25,2mg
50,15,1mg ano. por 50% de médio
ocresciment um representa 1,50
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EstatísticaMedidas de tendência central
Mediana
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Dado um conjunto de valores ordenados, a mediana desses valores é dada• Pelo elemento central, no caso de um número ímpar de valores.• Pela média aritmética entre os dois valores centrais, no caso de número par de valores.
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Calcular a mediana de cada um dos conjuntos de dados1. {9, 3, 7, 5, 1}2. {4, 5, 10, 12, 8, 6}
9 7, 5, 3, 1,
.112 10, 8, 6, 5, 4,
.2
72
86
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10,73 $R .1
60,81 $R .2
00,82 $R .3
00,83 $R .4
00,84 $R .5
60,84 $R .6
30,85 $R .7
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EstatísticaMedidas de tendência central
Moda
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Em um conjunto de dados, MODA é o valor que ocorre com maior frequência, isto é, o valor mais comum. A moda não é necessariamente única, ao contrário da média ou da mediana.
• Bimodal: dois valores modais• Amodal: não possui moda• Multimodal: possui mais de duas modas
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Dados referentes às numerações dos sapatos vendidos em uma loja em certo dia:
{35, 33, 36, 35, 37, 36, 39, 40, 42, 43, 35, 36, 42}
33, 35, 35, 35, 36, 36, 36, 37, 39, 40, 42, 42, 43
Duas modas (bimodal): 35 e 36
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1Moda
1, 1, 1, 1, 2, 4, 4, 5, 5, 63
2
42edianaM
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EstatísticaMedidas de dispersão
Variância e desvio padrão
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As medidas de dispersão servem para avaliar o quanto os dados são semelhantes, descreve então o quanto os dados distam do valor central. Deste modo, as medidas de dispersão servem também para avaliar qual o grau de representação da média.
• Variância• Desvio padrão
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n
)²xx(...)²xx()²x - (x n212
por dada é variância a ,x por dada é aritmética
média cuja ),x, ... , x, x,(x dados n de conjunto um Dado n321
por dado é padrão desvio o E
n
)²xx(...)²xx()²x - (x n21
• O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.• A variância é o quadrado do desvio padrão.
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Na preparação para os jogos Olímpicos de Atenas, três atletas do salto em altura ao realizarem um treinamento diário, consideraram seus três melhores saltos, em centímetros. Qual foi o atleta mais regular?
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1553
150171144)X(Med
1563
152170146)Y(Med
1563
154169145)Z(Med
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155)X(Med
156)Y(Med
156)Z(Med
3
)²155150()²155171()²155 - (144)X(
3
)²5()²16()²(-11
3
25256121)X(
3
402 58,11
58,11)X(
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155)X(Med
156)Y(Med
156)Z(Med
3
)²156152()²156170()²156 - (146)Y(
3
)²4()²14()²(-10
3
16196100)X(
3
312 20,10
58,11)X(
20,10)Y(
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155)X(Med
156)Y(Med
156)Z(Med
3
)²156154()²156169()²156 - (145)Z(
3
)²2()²13()²(-11
3
4169121)X(
3
294 90,9
58,11)X(
20,10)Y(
90,9)Z(
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155)X(Med
156)Y(Med
156)Z(Med
58,11)X(
20,10)Y(
90,9)Z(
Como o atleta Z teve o menor desvio padrão, isso significa que seus resultados oscilaram menos em relação à média, comprovando que é o atleta mais regular.
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