estatística para agronomia 2
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Apostila de estatística aplicada à agronomia. Neste volume: variáveis aleatóriasTRANSCRIPT
ESTATÍSTICA BÁSICA
Prof. JOÃO BATISTA LOPES Departamento de Zootecnia
CCA - UFPI
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Conceito: A variável aleatória diz respeito à característica do
experimento que se quer estudar
A variável aleatória associa um número real a cada elemento
do espaço amostral
Exemplo 1 Variável aleatória peso
S IR
Antônio
Francisco
Maria
Ana
68
59
55
51
X (Ana) = 51
A variável aleatória pode associar a cada pessoa de um
espaço amostral o seu peso
Exemplo 2
E → jogar uma moeda três vezes
S = {(c c c), (k c c), (c k c), (c c k), (k k c), (k c k), (c k k), (k k k)}
Cara - c
Coroa - k
Suponha
Característica = número de caras nos TRÊS lançamentos da
moeda
Quais os valores assumidos pela variável aleatória?
x = 0 { (k k k )}
x = 1 { (k k c) (k c k) (c k k) }
x = 2 { (k c c)(c k c)(c c k) }
x = 3 {(c c c)}
Exemplo 3
DUAS bolas são retiradas sucessivamente, sem reposição, de
uma caixa que contém QUATRO bolas vermelhas e TRÊS
pretas
Seja X a variável aleatória “número de bolas vermelhas
retiradas no experimento”
Quais os valores assumidos por “X” ?
Solução
S = { vv, vp, pv, pp }
Então x = {2, 1, 1, 0}
Ou seja x = 0, 1, 2
Notação X = x
ONDE
X → variável aleatória
x → valores assumidos pela variável aleatória
TIPOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Discretas → este tipo de variável ocorre quando o número de
valores assumidos por X (FINITO ou INFINITO) é
constituído apenas por NÚMEROS INTEIROS
Continua → O número de valores assumidos por X é formado
pelos números de pontos de um SEGMENTO DE
RETA
Situação 1
• Número de dias chuvosos em um mês
• Precipitação diária medida no pluviômetro
• Número de alunos presentes na sala de aula
• Vazão em uma dada seção do rio
• Idade dos alunos de uma sala
• Peso dos alunos desta sala
• Número de disciplinas cursadas por aluno
• Evaporação mensal de um açude
• Velocidade do vento
Quais são DISCRETAS e quais são CONTÍNUAS ?
FUNÇÃO DE PROBABILIDADE
Conceito - É a função que atribui a cada valor xi da variável
aleatória discreta X sua probabilidade de
ocorrência
Representação
X x1 x2 ...... xn
P(X = x) P(X = x1) P(X = x2) ...... P(X = xn)
Uma função de probabilidade deve satisfazer
n 0 ≤ P(X = xi) ≤ 1 e P(X = xi) = 1
i=1
P(x1) + P(x2) + P(x2) +....... + P(xn) = 1
Uma variável aleatória discreta assume cada um
dos seus valores com certa probabilidade
Exemplo
E: Jogar 3 moedas e observar o resultado
S: { (c c c) (c c k) (c k c) (k c c) (k k c) (k c k) (c k k) (k k k) }
X = número de caras (c)
x = {0, 1, 2, 3}
X 0 1 2 3
Representação k,k,k k,k,c – k,c,k- c,k,k
c,c,k - ,c,k,c – k,c,c
c,c,c
P(X = x) 1/8 3/8 3/8 1/8
Note
Note que os valores de X esgotam todas as possibilidades,
sendo que Σ P(X = x) = 1
É conveniente representar todas as possibilidades da variável
aleatória X por uma fórmula, que será, necessariamente,
função dos valores de x que denotamos por f(x), g(x), h(x) etc.
FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE
Conceito – é uma função destinada representar a distribuição
de probabilidade caso a variável aleatória seja
contínua
Para caracterização desses efeitos se usa INTEGRAL
Se uma variável aleatória tem densidade dada por f(x)
Então Intuitivamente, o intervalo infinitesimal [x, x+dx] tem
probabilidade f(x) dx
Uma variável aleatória contínua tem densidade f(x) se f é uma
função não-negativa INTEGRÁVEL, em que a probabilidade no
intervalo [a,b] é dada por:
Quaisquer que sejam “a “e ‘b” a probabilidade de todo o
espaço amostral é 1
A função distribuição acumulada é a integral da densidade
VARIÁVEL ALEATÓRIA BIDIMENSIONAL
Conceito - Seja “” um experimento aleatório e “S” o espaço
amostral associado a “”
Considerando X = X(ω) e Y = Y(ω) DUAS
funções, cada uma associando um número real a
cada resultado ω ∈ S, o par (X, Y) é chamado de
VARIÁVEL ALEATÓRIA BIDIMENSIONAL
Caracterização - O uso da variável aleatória bidimensional
ocorre quando se tem o interesse por dois
resultados simultâneos
Exemplo
Altura H e peso P de duas pessoas
ESPAÇO AMOSTRAL - S
FUNÇÃO
Peso
Altura
DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA DE DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
DISCRETAS
Caracterização
Seja ( X, Y) uma variável aleatória bidimensional discreta
Função de probabilidade
Associa um número p(xi, yj) representado por
P (X = xi, Y = yj) satisfazendo as seguintes condições
P(xi, yj) > 0
p(xi, yj) = 1
j=1 i=1
Exemplo:
Seja o evento E = jogar dois dados e (X, Y), os pontos dos
respectivos dados
P(X = xi, Y = yj ) = p(xi, yj) = 1/36
i = j = 1,2,3,4,5,6
Xi / Yj 1 2 3 4 5 6
1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6
3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6
4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4.6
5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6
6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6
P(x=1, y=1) = 1/36
DISTRIBUIÇÃO MARGINAL DISCRETA
Dado uma variável aleatória bidimensional (X,Y) e sua
distribuição conjunta
Ao se determinar a distribuição de X sem considerar Y tem-
se a Distribuição Marginal de X
P(X = xi) = P(X = xi, -∞< y < ∞) ou
P(X = xi) = ΣjP (xi, yj)
Distribuição Marginal de Y (sem considerar X)
P(Y=yj) = P(-∞< x < ∞, Y = yj) ou
P( Y=yj ) = Σ iP (xi, yj)
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES
DISCRETA
Seja (X,Y) uma variável aleatória discreta
bidimensional
Diz-se que X e Y são independentes se e somente se
p (xi, yj ) = p (xi) × p (yj) para quaisquer i e j
CONTÍNUA
Seja (X, Y) uma variável aleatória discreta
bidimensional
Seja g(x) a função de densidade de X e h(x) a de Y
Diz-se que X e Y são independentes se e somente se:
f(x, y) = g(x) × h(y) para todo (x,y)
Exemplo
Considerando os dados da Tabela abaixo em que (X e Y) é uma
variável aleatória bidimensional
X Y
0 1 2 P (yi)
0 0,10 0,20 0,20 0,50
1 0,04 0,08 0,08 0,20
2 0,06 0,12 0,12 0,30
p(xi) 0,20 0,40 0,40 1,00
Verificar se “X” e ‘Y” são independentes
SOLUÇÃO
Para todo para i e j; i=j=0, 1, 2 deve-se ter
p( xi, yj ) = p ( xi ) × p ( yj )
ESTATÍSTICAS DESCRITIVAS BÁSICAS
MÉDIA (X )
n Xi
X = i=1
n
Situação 1: Número de paginas datilografadas em 15 minutos
por tipo de texto (MATEMÁTICA - M, QUÍMICA - Q e
PORTUGUÊS - P)
Tratamentos (Tipos de texto) Datilógrafo
M Q P
1 1 2 3
2 4 3 3 3 4 4 3
Média 3 3 3
VARIÂNCIA ( 2 )
Mostra a instabilidade que ocorre no conjunto de dados em
relação à média Situação 1 Tratamento Valor
individual Média valor individual -
média Soma do quadrado
dos desvios 1 3 -2 4
4 3 1 1
M
4 3 1 1
0 6
2 3 -1 1
3 3 0 0
Q
4 3 1 1
0 2
3 3 0 0
3 3 0 0
P
3 3 0 0
0 0
n ( Xi - )2
2 = i=1
n
n ( Xi - X )2
s2 = i=1
n - 1
Variância ( s2 )
X2 - ( X )2 / n s2 =
n - 1
Situação 2: Peso de leitões ao nascer ( X i )
Variável Xi ( Xi )2 X - X ( X - X )2
2,0 4,00 0,2 0,04
1,5 2,25 - 0,3 0,09
1,6 2,56 - 0,2 0,04 1,8 3,24 0,0 0,00
2,0 4,00 0,2 0,04 2,0 4,00 0,2 0,04
1,5 2,25 - 0,3 0,09
1,9 3,61 0,1 0,01 1,9 3,61 0,1 0,01
16,2
X 1,8
29,52 0 0,36
29,52 - [ (16,2)2 / 9 ] 29,52 - 29,16 0,36 S2 = = = = 0,045
9 - 1 8 8
DESVIO PADRÃO ( )
n ( Xi - )2
= i=1
n
n ( Xi - X )2
s = i=1
n - 1
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO ( CV )
s CV = x 100
X
Situação 3 X = 1,80 kg
s2 = 0,05
s = 0,21 0,21
CV (%) = x 100 = 11,67% 1,80
GRAUS DE LIBERDADE
ERRO PADRÃO DA MÉDIA
s
s ( m ) =
n
Representam o número de eventos
casualizáveis de um conjunto de dados ou de tratamentos dentro de um experimento
PROPRIEDADES DA MÉDIA
1) Se um grupo de observações é caracterizado por média (X )
e desvio padrão (s) ao se adicionar (subtrair) uma
constante K a cada observação média do novo
conjunto será igual X + K e o desvio padrão (ou variância)
não se alterará
Situação 4
X Xi - X ( Xi - X )2
1 -1 1
2 0 0
3 1 1
6 0 2
X 2 - -
s2 - 2 / (3 - 1) = 1
s 1 = 1
Adicionando-se a constante W = 3
X Xi - X ( Xi - X )2
1 + 3 = 4 -1 1
2 + 3 = 5 0 0
3 + 3 = 6 1 1
15 0 2
X 5 = 2 + 3 - -
s2 - 2 / ( 3 - 1 ) = 1
s 1 = 1
2) Se um grupo de observações é caracterizado por média (X )
e desvio padrão (s) for multiplicado (dividido) por uma
constante K o novo grupo formado terá média K X
desvio padrão K s e variância K2s2
Situação 5
X Xi - X ( Xi - X )2
1 -1 1
2 0 0
3 1 1
6 0 2
X 2 - -
s2 - 2 / (3 - 1) = 1
s 1 = 1
Multiplicando-se pelo valor W = 3
X Xi - X ( Xi - X )2
1 x 3 = 3 -3 9
2 x 3 = 6 0 0
3 x 3 = 9 3 9
18 0 18
X 6 = 2 x 3 - -
s2 18 / (3 - 1) = 9 9 = 12 x 32
s 9 = 3 3 = 3 x 1