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Modelos ARIMA

Paro y empleo registrado

Equipo docente de Econometría II

Econometría II

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Estimación de modelos ARIMA: Paro y empleo registrado

El objetivo de este trabajo es realizar un repaso de la metodología ARIMA de

series temporales aplicándola a dos variables económicas fundamentales, empleo y

paro. En general se considera que estos modelos predicen muy bien a corto plazo, pero

es discutible que puedan hacerlo de forma aceptable a medio y largo plazo. Al no tener

relación alguna con la teoría económica difícilmente pueden captar el efecto de las

nuevas condiciones de la coyuntura económica, sobre todo cuando se producen cambios

o puntos de inflexión del ciclo económico, como ocurre en la economía española

actualmente.

El análisis de los modelos ARIMA exige no sólo un conocimiento teórico

suficiente y una destreza práctica, sino también la posibilidad de disponer de algún

programa de ordenador para la realización de los cálculos necesarios. Nosotros

utilizaremos el programa GRETL, programa de econometría gratuito que se puede bajar

de Internet. En el curso virtual (presentación de la asignatura) se puede descargar el

programa. Iremos viendo paso a paso como se utiliza el programa y repasando la teoría

de los modelos ARIMA, es decir repasaremos lo estudiado en los seis primeros

capítulos del libro.

En general, para identificar, estimar y validar un modelo ARIMA se deben

seguir los siguientes pasos:

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Recomendamos que el alumno vaya siguiendo mediante el programa GRETL los

distintos pasos que vamos realizando para adquirir competencia en el manejo del

programa y obtener, de esta manera, una mayor comprensión teórica y práctica.

También recomendamos que al analizar los distintos correlogramas de las series se

tenga a mano el anexo I de este documento (forma que toma el Correlograma para la

identificación de modelos ARIMA) de manera que pueda comprender por qué se elije

un tipo de modelo determinado y no otro. El anexo II muestra como se calcula el

correlograma (Funciones de Autocorrelación Total y Parcial) de cualquier serie de

tiempo, los alumnos deben de comprender y saber calcularlas manualmente.

Analizaremos las variables paro y empleo en España durante los últimos 27 años

(hasta diciembre de 2009, es decir, estimaremos el modelo ARIMA entre enero 1982 y

diciembre de 2009 y haremos una predicción para 2010). La actualidad del tema es

evidente, la coyuntura económica muestra una actividad económica caracterizada por

una grave crisis del sector financiero internacional que en España se ha manifestado

esencialmente en una fuerte crisis de liquidez. El panorama nacional se agrava con el

fuerte endeudamiento de las familias y las empresas, el extraordinario déficit por cuenta

corriente y la caída de la actividad en general (aumento del paro y disminución del

empleo) pero especialmente del sector de la construcción.

Primero nos planteamos qué datos utilizar. Tradicionalmente se ha utilizado el

paro y el empleo registrado. Pero actualmente se utiliza la Encuesta de Población Activa

(EPA) que para algunos autores son de mayor calidad. Aquí utilizaremos las fuente de

la Seguridad Social (paro y afiliaciones registradas en la Seguridad Social) que tienen la

ventaja de tener periodicidad mensual, la EPA es trimestral, y también de ser una

estadística cuyos datos se publican con anterioridad, es decir, tenemos datos más

actualizados para el análisis de coyuntura. El alumno interesado en el tema puede

realizar el análisis de las series de la EPA que también se pueden descargar de la misma

base de datos que utilizaremos.

La base de datos utilizada es la del Banco de España (www.bde.es). Entrando en

“Boletín estadístico” y “Series temporales completas”, grabamos en disco la carpeta

“be.zip”, que contiene multitud de ficheros de datos. También la carpeta contiene el

fichero denominado “Catálogo” en el que se describen todas las series de tiempo que

contiene la base de datos y los ficheros donde se encuentran cada una de ellas. Los

ficheros son del tipo “.csv” que se pueden leer mediante Excel. Para visualizar los datos

correctamente (en Excel) seleccionamos, en el fichero “catalogo” y la primera columna

completa, entramos en el menú “datos” “texto en columnas” y seleccionamos la

opciones “delimitados” ”coma””finalizar”.

Los Afiliados a la Seguridad Social, es decir el empleo registrado, se encuentra

en el fichero “be2419.csv” y el paro registrado en “be2415.csv”. Las afiliaciones

comienzan en enero de 1982, el paro en 1939. Para tener ambas variables en el mismo

fichero utilizaremos el periodo que va de enero de 1982 a febrero de 2010. Para utilizar

estos datos en el programa Gretl primero crearemos un fichero Excel con ambas series

temporales, ello se consigue simplemente creando un fichero nuevo de Excel con los

datos de afiliaciones y paro en las dos primeras columnas (desde enero de 1982 hasta

febrero de 2010, mediante el procedimiento de copiar y pegar) además en la primera fila

de ambas columnas pondremos los nombres de ambas columnas (“afiliados” y “paro”

http://www.bde.es/

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en nuestro caso, que luego utilizaremos como nombre de las variables) y finalmente

grabamos el fichero para luego utilizarlo (afiliados.xls).

Gretl Al abrir el programa Gretl aparece su ventana principal, en la opción “Archivo”

del menú podemos seleccionar la opción “Nuevo conjunto de datos” si queremos grabar

los datos manualmente o “Abrir datos” si queremos trabajar con datos grabados

anteriormente en otra sesión o importar datos. Puesto que vamos a importar los datos de

Excel, seleccionamos en el menú: “Archivo” ”Abrir datos” ”Importar”

”Excel” buscamos el fichero “Afiliados.xls” ”Afiliados.xls”. El programa

pregunta si comenzar a copiar en la fila 1 y columna 1 “ok” Los datos han sido

interpretados como sin fecha Desea interpretarlos como serie de tiempo Mensual

introducir la fecha de la primera observación (en este caso enero de 1982) y

finalmente en la ventana aparecerán las dos variables.

Con el objetivo de poder realizar predicción histórica reduzco el rango de datos

hasta diciembre de 2009 (GRETL: en el menú “Muestra” “Establecer rango”

reducir final hasta “2009.12” “ok”) para realizar la estimación entre enero de 1982 y

diciembre de 2009, es decir, como si sólo tuviéramos datos hasta diciembre de 2009.

Paro registrado El Gráfico 1 muestra el paro registrado (GRETL: en el menú seleccionar “Ver”

“Gráficos” “Gráfico de series temporales” elegir “Paro” “ok”)

Gráfico 1

Paro registrado (1982.01-2009.12)

Se aprecia el fuerte crecimiento del paro hasta la segunda mitad de los ochenta

(crisis del petróleo y reconversión industrial); la caída hasta el noventa y dos (obras de

infraestructuras para las Olimpiadas y la Exposición Universal de Sevilla); la crisis del

noventa y tres, con aumentos del paro hasta mediados de los noventa; la fuerte caída del

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paro hasta principios del nuevo milenio (entrada en el Euro, tipos de interés bajos,

desarrollo de todos los sectores y especialmente de la construcción); el nuevo milenio

presenta unos niveles de paro estables hasta el comienzo de la crisis actual donde el

paro se dispara desde el entorno de los dos millones de parados en 2008 a los cuatro

millones de 2010.

Para poder aplicar la metodología ARIMA la serie debe ser estacionaria:

1. Bajo el supuesto de que una series histórica está compuesta por «n»

variables aleatorias. En sentido estricto esa serie es estacionaria si y sólo

si las funciones de distribución de frecuencias de esas «n» variables son

iguales, es decir, si para distintos momentos de tiempo se cumple que:

F(Zt)=F(Zt’), representando «t» y «t’» dos momentos diferentes de

tiempo (t ≠ t’).

2. En sentido amplio, sin embargo, basta con que se cumplan las siguientes

condiciones:

a. Media constante: E(Zt) =

Z

b. Varianza constante: var(Zt) = σ2

De manera que lo primero que hay que hacer es ver si la serie del paro registrado

es estacionaria, el menos en sentido amplio. En el gráfico 1 se aprecian ciclos que, en

principio, y puesto que estos movimientos parecen sistemáticos, difícilmente son

compatibles con la definición de estacionaridad («n» variables aleatorias con igual

Función de Distribución). Una forma práctica de ver si una serie es estacionaria o no, es

calcular las Función de Autocorrelación Total y si los valores decrecen rápidamente, la

serie es estacionaria. El Correlograma del paro en niveles se reproduce en el gráfico 2

(GRETL: en el menú seleccionar la variable “Paro” con el ratón en el menú pinchar

en “Variable” “Correlograma”).

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Gráfico 2

Correlograma del Paro en niveles

Donde la Función de Autocorrelación decrece lentamente (parte superior del

gráfico 2, denominado “FAC”), consecuentemente el paro en niveles no es estacionario.

La metodología ARIMA asume que la forma de conseguir series estacionarias

consiste en diferenciar regular y/o estacionalmente. Una serie es integrada de orden cero

si es estacionaria [I(0)] e integrada de orden uno [I(1)] si es necesario una primera

diferencia regular para conseguirlo y así sucesivamente. Si consideramos la parte

regular y estacional conjuntamente entonces una serie por ejemplo I(1,1) es aquella que

se hace estacionaria, o integrada de orden cero [I(0)], realizando una primera diferencia

regular [d(Zt)=Zt–Zt-1] y otra estacional [d12

(Zt)=Zt–Zt-12].

Puesto que el paro registrado no es estacionario en niveles probamos la primera

diferencia regular, es decir, comprobamos si el paro es integrado de orden uno [I(1)]

calculando la primera diferencia regular para ver si es estacionaria (GRETL: seleccionar

la variable “Paro” y en el menú seleccionar “Añadir” “Primeras diferencias de las

variables seleccionadas” en la ventana se muestra la nueva variable en diferencias

“d_Paro”).

El gráfico 3 muestra el paro en primeras diferencias (GRETL: en el menú

selecinar “Ver” “Gráficos” “Gráfico de series temporales” elegir “d_Paro”

“ok”).

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Gráfico 3

Paro registrado en diferencias

Cuyo Correlograma se muestra en el siguiente gráfico (GRETL: seleccionar la

variable “d_Paro” con el ratón en el menú “Variable” “Correlograma”).

Gráfico 4

Correlograma del paro en diferencias (d_Paro)

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La Función de Autocorrelación del paro registrado en diferencias decrece

rápidamente en los desfases regulares (primeros desfases) pero de forma lenta en los

retardos estacionales (12, 24, 36 y 48), de manera que no es estacionario en la parte

estacional, o dicho de otra forma, el paro registrado no es una serie integrada de orden

uno [I(1)]. De manera que diferenciamos estacionalmente para comprobar si el paro es

integrado de orden uno estacional [I(0,1)].

Calculamos una diferencia estacional del paro reproducida en el gráfico que se

muestra a continuación (GRETL: seleccionar la variable “Paro” y en el menú

“Añadir” “Primeras diferencias estacionales de las variables seleccionadas” en

la ventana aparece la nueva variable en diferencias estacionales “sd_Paro”).

Gráfico 5

Diferencia estacional del paro (sd_Paro)

Donde se observa con claridad las crisis del periodo (máximos relativos):

principios de los ochenta, crisis del noventa y tres, crisis del noventa y seis, del dos mil

tres y sobre todo la actual. Su Correlograma (GRETL: seleccionar la variable

“sd_Paro” con el ratón y en el menú “Variable” “Correlograma”) es el siguiente.

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Gráfico 6

Correlogarama del paro en diferencias estacionales (sd_Paro)

Presenta una Función de Autocorrelación Total (FAC) que decrece lentamente

en la parte regular, la serie en diferencias estacionales no es estacionaria, el paro

registrado no es integrado de orden uno estacional [I(0,1)]. De manera que probamos si

el paro es integrado de orden uno regular y estacional [I(1,1)] calculando una diferencia

estacional a partir de la serie en diferencias regulares (GRETL: seleccionar la variable

“d_Paro” y en el menú “Añadir” “Primeras diferencias estacionales de las

variables seleccionadas” en la ventana aparece la nueva variable en primeras

diferencias regulares y estacionales “sd_d_Paro”), cuyo gráfico se reproduce a

continuación (GRETL: “Ver” “Gráficos” “Gráfico de series temporales”

elegir “sd_d_Paro” “ok”).

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Gráfico 7

El paro en diferencias regulares y estacionales (sd_d_Paro)

Cuyo correlograma es (GRETL: seleccionar la variable “sd_d_Paro” con el

ratón y en el menú “Variable” “Correlograma”).

Gráfico 8

Correlograma del paro diferenciado regular y estacionalmente (sd_d_Paro)

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La parte regular se asemeja a un AR(2) puesto que la Función de

Autocorrelación Total presenta dos valores significativamente distintos de cero mientras

que la Función de autocorrelación parcial decrece rápidamente. En los desfases

estacionales la cuestión es diferente: el primer desfase estacional es significativo, la

Función de Autocorrelación Parcial estacional decrece rápidamente1. De manera que el

paro en diferencias regulares y estacionales es estacionario [I(1,1)] y parece responder a

un modelo AR(2) regular y MA(1)2 estacional, es decir, un SARIMA(2,1,0)(0,1,1) que

se puede escribir de las siguiente forma:

(1-B)(1-B12

)Wt = Zt = a1Zt-1 + a2Zt-2 + bVt-12 + Vt [1]

Cuya forma compacta es,

(1 - a1B - a2B2)Zt=(1+bB

12)Vt [2]

La estimación del modelo se reproduce en el cuadro 1 (GRETL: en el menú

seleccionar “Modelo” “Series de tiempo” “ARIMA” seleccionar como variable

dependiente “sd_d_Paro” seleccionar en la parte no estacional: orden AR = 2,

diferencia = 0 y orden MA = 0. Y en la parte estacional: orden AR = 0, diferencia = 0 y

orden MA = 1. Manteniendo la constante y seleccionar “ok” apareciendo una ventana

con la estimación del modelo).

ARMA, usando las observaciones 1983:02-2009:12 (T = 323)

Estimado usando el filtro de Kalman (MV exacta)

Variable dependiente: sd_d_Paro

Desviaciones típicas basadas en la matriz de productos externos

Coeficiente Desv. Típica Estadístico t Valor p

-----------------------------------------------------------------

const 516.235 841.265 0.6136 0.5395

phi_1 0.230043 0.0541967 4.245 2.19e-05 ***

phi_2 0.201914 0.0543272 3.717 0.0002 ***

Theta_1 −0.857650 0.0395960 −21.66 4.89e-104 ***

Media de la vble. dep. 1193.783 D.T. de la vble. dep. 57244.63

media innovaciones −1831.765 D.T. innovaciones 44426.59

Log-verosimilitud −3922.995 Criterio de Akaike 7855.991

Criterio de Schwarz 7874.879 Crit. de Hannan-Quinn 7863.531

Cuadro 1

Estimación del modelo SARIMA(2,1,0)(0,1,1) del paro

Todos los parámetros son significativos: a1 (phi_1), a2 (phi_2) y b1 (Theta_1), el

término independiente se suele mantener por cuestiones de ajuste aún cuando en este

caso no es significativo. La validación del modelo se realiza comprobando que los

1 En este sentido hay que recordar que aunque la parte regular parece que se ajusta más a un AR(2) esto

no queda claro y podía también corresponder a un ARMA(1,1) regular, de manera que se recomienda

estimar también este modelo, y elegir el que mejor ajusta siguiendo el criterio de Akaike, esto es lo que se

ha hecho siguiendo el criterio de parsimonia (libro de texto pág. 143), resultando que el que mejor ajusta

es el AR(2) regular.

2 Para la identificación de los modelos ARIMA hay que tener siempre en cuenta la forma que toma el

Correlograma para cada modelo teórico, en el ANEXO I de este trabajo se muestra la forma teórica que

toman los distintos modelos ARIMA y en el ANEXO II se muestra como se calcula el Correlograma

(Función de Autocorrelación Total y Parcial).

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residuos son RB (Ruido Blanco). El gráfico 9 muestra el Correlograma de las

discrepancias (GRETL: en el cuadro de la estimación del modelo (cuardo 1) seleccionar

“Gráficos” “Gráficos de residuos” “Correlograma de los residuos”).

Gráfico 9

Correlograma de los residuos de modelo SARIMA(2,1,0)(0,1,1) del paro.

Que presenta una Función de Autocorrelación (“FAC”) con sólo un valor

significativo, mayor de ( 2 323 ) = 0.110, en el retardo 8 (0,146), el estadístico Box-

Pierce3 en el retardo 50 es 36, con un p-valor del 0.932, lo que muestra unos residuos

cercanos a la imagen empírica de RB. De manera que podemos considerar el modelo

SARIMA(2,1,0)(0,1,1) para el paro registrado como validado.

Una vez estimado el modelo realizamos la predicción para 2010, para ello

calculamos, a partir de la serie original la serie estacionaria en Excel. El cuadro 2

reproduce la serie original del paro a partir de enero de 2009 (se puede calcular en Excel

o a partir de la serie calculada por GRETL “sd_d_paro”), la columna Vt es la que

calcula por GRETL como residuos del modelo (GRETL: en la ventana de estimación

del modelo elegir “Guardar” “Residuos” se genera una serie denominada

“uhatxx” que es la serie Vt del cuadro 2).

3 Ver pp. 203-204 del libro de texto.

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Cuadro 2

Predicción 2010 de la serie estacionaria

Paro registrado SARIMA(2,1,0)(0,1,1)

Obs. Wt

Paro

dparo

dWt=(Wt-Wt-1)

dd12paro

(dd12Wt=dWt-dWt-12) Vt

Predicción

12

t tdd W Z

ene-09 3327801 198838 66460 59345 7333

feb-09 3481859 154058 100652 90762,2 10111

mar-09 3605402 123543 137899 86599,3 51524

abr-09 3644880 39478 1936 9407,1 -7254

may-09 3620139 -24741 -39799 -23281,9 -16298

jun-09 3564889 -55250 -92099 -58140,4 -33738

jul-09 3544095 -20794 -57286 -6754 -50311

ago-09 3629080 84985 -18100 60406,6 -78288

sep-09 3709447 80367 -15000 43853,5 -58634

oct-09 3808353 98906 -93752 13454,5 -106992

nov-09 3868946 60593 -110650 -18291,3 -92141

dic-09 3923603 54657 -85037 20593,7 -105413

ene-10 4048493 124890 -73948 18337,0 -92285

feb-10 4130625 82132 -71926 39581,3 -111507

mar-10

-105233

abr-10

-22075

may-10

20484

jun-10

50380

jul-10

6309

ago-10

-51291

sep-10

-37095

oct-10

-11023

nov-10

16204

dic-10 -17146

La última columna es la predicción que hemos calculado aplicando la ecuación del

modelo estimado, es decir, a partir de [1] tenemos que,

Zt = 516,235 + 0,230043Zt-1 + 0,201914Zt-2 – 0,85765Vt-12 [3]

Como sólo disponemos de datos de enero y febrero de 2010, sólo podemos

comparar la predicción en estos dos meses, en ambos la predicción subestima el paro.

La predicción en niveles se realiza a partir de [1], el modelo estimado es

(1-B)(1-B12

)Wt = Zt = 516,235 + 0,230043Zt-1 + 0,201914Zt-2 – 0,85765Vt-12 +Vt

operando en la parte izquierda de la ecuación tenemos,

(1-B12

-B+B13

)Wt=Zt =516,235 + 0,230043Zt-1 + 0,201914Zt-2 – 0,85765Vt-12 +Vt

Wt–Wt-12–Wt-1+Wt-13=Zt=516,235+0,230043Zt-1+ 0,201914Zt-2–0,85765Vt-12+Vt

el paro en niveles a partir de Zt es,

Wt = Zt + Wt-12 + Wt-1 – Wt-13 [4]

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De manera que podemos calcular, a partir de [4], la predicción del paro en

niveles hasta diciembre de 2010 que se reproduce en el cuadro 3. Para ello recurrimos a

Excel. La segunda columna muestra el paro registrado (Wt) en niveles hasta febrero de

2010, la tercera es la predicción de la serie estacionaria (última columna del cuadro 2)

hasta diciembre de 2010, aplicando la ecuación [4], se llega a la predicción del paro en

niveles hasta diciembre de 2010.

Cuadro 3

Predicción 2010 del paro en niveles

Paro registrado SARIMA(2,1,0)(0,1,1)

Obs Wt

Paro

Zt

estimada

Wt

estimada

ene-10 4048493 -92285 4030156

feb-10 4130625 -111507 4091044

mar-10

-105233 4148935

abr-10

-22075 4166339

may-10

20484 4162081

jun-10

50380 4157212

jul-10

6309 4142727

ago-10

-51291 4176420

sep-10

-37095 4219692

oct-10

-11023 4307575

nov-10

16204 4384372

dic-10

-17146 4421883

Podemos calcular, a partir de la ecuación [1], el paro estimado en niveles hasta

diciembre de 2009 (GRETL: en el menú seleccionar “Modelo” “Series de tiempo”

“ARIMA” seleccionar como variable dependiente “Paro” seleccionar en la

parte no estacional: orden AR = 2, diferencia = 1 y orden MA = 0. Y en la parte

estacional: orden AR = 0, diferencia = 1 y orden MA = 1. Manteniendo la constante y

seleccionar “ok” apareciendo una ventana con la estimación del modeloen la

ventana de estimación del modelo seleccionar “Gráficos” “gráfico de la variable

estimada y observada). El gráfico 11 muestra el paro registrado y estimado en niveles.

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Gráfico 11

Paro registrado y estimación [modelo SARIMA(2,1,0)(0,1,1)]

Donde se observa a simple vista el buen ajuste del modelo.

El gráfico 12 muestra la predicción del paro en 2010 y los observados.

Gráfico 12

La predicción subestima el paro efectivo hasta abril (aunque se puede considerar

una predicción aceptable hasta este mes), a partir de mayo la predicción sobrestima lo

realmente sucedido. En este sentido hay que recordar que los modelos ARIMA son

especialmente adecuados para predecir a corto plazo, lo que ocurre en este caso si

consideramos sólo los 4 primeros meses.

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Empleo (Afiliaciones a la Seguridad Social)

Los economistas consideramos, en general, que el empleo es más adecuado para

el análisis de la evolución de la economía que el paro puesto que mayor empleo implica

necesariamente mayor producción, mientras que en el paro influyen otras circunstancias

no relacionadas directamente, como la incorporación de la mujer al mercado de trabajo,

la emigración, etc.

El gráfico 12 muestra el empleo registrado (GRETL: en el menú seleccionar

“Ver” “Gráficos” “Gráfico de series temporales” elegir “Afiliaciones”

“ok”).

EL gráfico 12 muestra una tendencia creciente si consideramos todo el periodo.

También se aprecia la ralentización de la primera mitad de la década de los ochenta

(crisis del petróleo), la crisis del noventa y tres y la crisis actual.

Gráfico 12

Empleo (afiliaciones a la Seguridad Social)

Puesto que la serie no es estacionaria [I(0)], Calculamos su primera diferencia

para ver si es integrada de orden uno [I(1)], su gráfico se muestra a continuación

(GRETL: seleccionar la variable “Afiliados” y en el menú “Añadir” “Primeras

diferencias de las variables seleccionadas” en la ventana principal aparece la nueva

variable en diferencias “d_Afiliados”).

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Gráfico 14

Primera diferencia del empleo

Que presenta una varianza creciente a lo largo del periodo (heterocedasticidad),

en definitiva la serie en primeras diferencias no es estacionaria.

En muchas ocasiones aplicando logaritmos se consigue evitar la

heterocedasticidad. De manera que transformamos la serie original en logaritmos

(GRETL: seleccionar la variable “Afiliados” y en el menú “Añadir” “Logaritmos

de las variables seleccionadas” en la ventana principal aparece la nueva variable en

logaritmos “l_Afiliados”). El siguiente gráfico muestra el empleo en logaritmos.

Gráfico 15

Empleo en logaritmos

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Del que se pueden hacer los mismos cometarios que de la serie en niveles

(gráfico 14): tendencia creciente, crisis de la primera mitad de los ochenta, crisis del

noventa y tres y ralentización actual. Puesto que la serie no es estacionaria en media

calculamos su primeras diferencias con el objetivo de contrastar si la primera diferencia

del empleo registrado en logaritmos es integrado de orden uno [I(1)] (GRETL:

seleccionar la variable “l_Afiliados” y en el menú “Añadir” “Primeras

diferencias de las variables seleccionadas” en la ventana principal aparece la nueva

variable en diferencias “d_l_Afiliados”). Cuyo gráfico se muestra a continuación.

Gráfico 16

Primeras diferencias del empleo en logaritmos

Donde no se aprecia existencia de heterocedasticidad ni tendencia, su

Correlograma se muestra en a continuación (GRETL: seleccionar la variable

“d_l_Afiliados” con el ratón y en el menú “Variable” “Correlograma”).

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Gráfico 17

Correlograma de las primeras diferencias regulares del empleo en logaritmos

Cuya Función de Autocorrelación Total (FAC) cae rápidamente en los primeros

desfases regulares pero también se observa una caída lenta en los retardos estacionales.

De manera que no es estacionaria en la parte estacional, el empleo en logaritmos no es

integrado de orden uno [I(1)]. Ensayamos una diferencia estacional para ver si el

empleo en logaritmos es integrado de orden uno estacional [I(0,1)].

Calculamos la primera diferencia estacional del empleo en logaritmos (GRETL:

seleccionar la variable “l_Afiliados” y en el menú “Añadir” “Primeras

diferencias estacionales de las variables seleccionadas” en la ventana principal

aparece la nueva variable en diferencias estacionales “sd_l_Afiliados”). Cuya gráfica se

muestra a continuación.

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Gráfico 18

Primera diferencia estacional del empleo en logaritmos

Se observa, a partir de sus mínimos relativos la crisis de la primera mitad de los

ochenta, la del noventa y tres, y la actual. Su Correlograma (Seleccionar la variable

“sd_l_Afiliados” con el ratón y en el menú “Variable” “Correlograma”) se

muestra a continuación.

Gráfico 19

Correlograma de la primera diferencia estacional del empleo en logaritmos

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20

Que presenta una Función de Autocorrelación Total que disminuye lentamente,

de manera que la primera diferencia estacional del empleo en logaritmos no es

estacionaria. Calculamos la primera diferencia regular y estacional del empleo en

logaritmos con el objetivo de ver si el empleo en logaritmos es integrado de orden uno

regular y estacional [I(1,1)] (GRETL: seleccionar la variable “d_l_Afiliados” y en el

menú “Añadir” “Primeras diferencias estacionales de las variables

seleccionadas” en la ventana principal aparece la nueva variable en diferencias

estacionales “sd_d_l_Afiliados”). Cuyo gráfico se muestra seguidamente.

Gráfico 20

Primeras diferencias regulares y estacionales del empleo en logaritmos

Cuyo Correlograma (GRETL: seleccionar la variable “sd_d_l_Afiliados” con el

ratón y en el menú “Variable” “Correlograma”) se reproduce seguidamente.

Modelos ARIMA



Econometría II

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21

Gráfico 21

Correlograma de las primeras diferencias regulares y estacionales del empleo en

logaritmos

Correlograma que no es fácil de interpretar (sorprende que sea creciente los tres

primeros retardos tanto de la función de autocorrelación parcial como total), en todo

caso el empleo en logaritmos es integrado de orden uno regular y estacional [I(1,1)]. El

primer desfase no es significativo mientras que el segundo y tercero si lo son. Los

desfases estaciones son significativos al menos los dos primeros (desfases 12 y 24) tanto

en la autocorrelación parcial como total. Hemos llegado, mediante estimaciones

iterativas de diferentes especificaciones alternativas, siguiendo el criterio de Akaike

(pág. 178), al modelo SARIMA(3,1,1)(0,1,2) que se reproduce a continuación (GRETL:

en el menú seleccionar “Modelo” “Series de tiempo” “ARIMA” seleccionar

como variable dependiente “sd_d_l_Afiliados” seleccionar en la parte no

estacional: orden AR = 3, diferencia = 0 y orden MA =1. Y en la parte estacional: orden

AR = 0, diferencia = 0 y orden MA = 2. También eliminar la constante y seleccionar

“ok” apareciendo una ventana con la estimación del modelo).

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22

ARMA, usando las observaciones 1983:02-2009:12 (T = 323)

Estimado usando el filtro de Kalman (MV exacta)

Variable dependiente: sd_d_l_Afiliado

Desviaciones típicas basadas en la matriz de productos externos

Coeficiente Desv. Típica Estadístico t Valor p

----------------------------------------------------------------

phi_1 0.371055 0.118985 3.119 0.0018 ***

phi_2 0.131039 0.0578205 2.266 0.0234 **

phi_3 0.301385 0.0675287 4.463 8.08e-06 ***

theta_1 −0.398225 0.120043 −3.317 0.0009 ***

Theta_1 −0.476254 0.0596572 −7.983 1.43e-15 ***

Theta_2 −0.188983 0.0608877 −3.104 0.0019 ***

Media de la vble. dep. −0.000092 D.T. de la vble. dep. 0.004192

media innovaciones 8.46e-06 D.T. innovaciones 0.003446

Log-verosimilitud 1370.121 Criterio de Akaike −2726.241

Criterio de Schwarz −2699.797 Crit. de Hannan-Quinn −2715.68

Cuadro 5

Estimación del modelo SARIMA(3,1,1)(0,1,2) del empleo en logaritmos

Cuyos parámetros son significativos. La validación del modelo, a partir del

Correlograma de los residuos se muestra a continuación (GRETL: en el cuadro de la

estimación seleccionar “Gráficos” “Gráficos de residuos” “Correlograma”).

Gráfico 22

Correlograma de los residuos del modelo SARIMA(3,1,1)(0,1,2) del empleo en

logaritmos

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23

Presenta valores significativos (mayores de 0.110 en términos absolutos) en la

Función de Autocorrelación Total en los desfases 14, 23, 28, 32, 33, 39 y 45. El

estadístico Box-Pierce en el retardo 50 es 72, de manera que a pesar de que los primeros

retardos no son significativos el estadístico Box-Pierce indica que los residuos no son

RB.

Supuesto que los residuos se pudieran considerar RB, el modelo en notación

compacta es,

(1–a1B–a2B2–a3B

3)(1–B)(1–B

12)Ln(Wt) = (1+b1B+b2B

12+b3B

24)Vt

operando tenemos,

(1–B)(1–B12

)Ln(Wt) =Zt= Vt+b1Vt-1+b2Vt-12+b3Vt-24+a1Zt-1+a2Zt-2+a3Zt-3

(1–B12

– B + B13

)Ln(Wt) =Zt= Vt+b1Vt-1+b2Vt-12+b3Vt-24+a1Zt-1+a2Zt-2+a3Zt-3

y el modelo estimado es,

(1–B12

–B+B13

)Ln(Wt)=Zt=Vt-0,40Vt-1-0,48Vt-12-0,19Vt-24+0,37Zt-1+0,13Zt-2+0,30Zt-3

Estimado el modelo realizamos la predicción para 2010, para ello calculamos, a

partir de la serie original, la serie estacionaria en Excel, el cuadro 7 reproduce la serie

original del empleo a partir de enero de 2009 (se puede calcular en Excel o a partir de la

serie calculada en GRETL “sd_d_l_Afiliado”), la columna Vt es la que calcula GRETL

como residuos del modelo (GRETL: en la ventana de estimación del model elegir

“Guardar” “Residuos” se genera una serie denominada “uhatxx” que es la serie

Vt del cuadro 7).

Cuadro 7

Predicción 2010 de la serie estacionaria

Afiliados registrado SARIMA(2,1,0)(0,1,1)

Obs. Wt

Afiliados Ln(Wt)

dLn(Wt) dln(Wt)=ln(Wt)-

-ln(Wt-1)

dd12Ln(Wt) dd12Ln(Wt)=dLn(Wt)-

-dLn(Wt-12) Vt

Predicción

12 ln t tdd W Z

ene-09 18150678 16,7142185 -0,0084998 -0,0040778 -0,0006345 -0,0036334

feb-09 18075777 16,7100833 -0,0041352 -0,0075399 -0,00326 -0,0037403

mar-09 17967287 16,7040633 -0,00602 -0,0088447 -0,004365 -0,003938

abr-09 17955064 16,7033828 -0,0006805 -0,0017706 0,0004384 -0,0014779

may-09 18100171 16,7114319 0,00804919 0,00118264 0,006958 -0,0048668

jun-09 17917981 16,7013153 -0,0101167 0,000216 -0,0003865 0,00036113

jul-09 17958362 16,7035664 0,00225112 0,00303413 0,00354 0,00172091

ago-09 17796399 16,6945067 -0,0090597 -0,0030696 0,0008793 -0,0032061

sep-09 17791858 16,6942515 -0,0002552 0,01125313 0,005335 0,00460376

oct-09 17870659 16,6986708 0,00441927 0,01139138 0,008891 0,0047416

nov-09 17777153 16,6934247 -0,0052461 -0,0027403 -0,005734 0,00386092

dic-09 17640018 16,6856806 -0,007744 0,01140938 0,004613 0,0078418

ene-10 17546714 16,6803773 -0,0053034 0,00319644 -0,0031786 0,00637507

feb-10 17550412 16,6805880 0,00021073 0,00434589 -0,000811 0,00515687

mar-10

0,00891597

abr-10

0,00496195

may-10

0,00071901

jun-10

0,00625066

jul-10

0,0023973

ago-10

-8,375E-05

sep-10

0,00230021

oct-10

-0,0018737

nov-10

0,00341032

dic-10 0,00022638

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24

podemos calcular la serie en niveles a partir de la serie estacionaria

Ln(Wt) – Ln(Wt-12) – Ln(Wt-1) + Ln(Wt-13) = Zt

Ln(Wt) = Zt + Ln(Wt-12) + Ln(Wt-1) – Ln(Wt-13) [5]

Wt = exp[Zt + Ln(Wt-12) + Ln(Wt-1) – Ln(Wt-13)] [6]

A partir de [6] calculamos la predicción del empleo en niveles hasta diciembre

de 2010. Para ello recurrimos a Excel. La segunda columna del cuadro 8 muestra los

afiliados registrados (Wt) en niveles hasta febrero de 2010, la tercera la predicción de la

serie estacionaria (última columna del cuadro 7), hasta diciembre de 2010. Calculando

[6] se llega a la predicción de los afiliados registrados en niveles (última columna del

cuadro 8).

Cuadro 8

Predicción 2010 del empleo en niveles

Afiliados SARIMA(3,1,1)(0,1,2)

Obs Wt

Afiliados

Zt

estimada

Wt

estimada

ene-10 17546714 0,00637507 17602577

feb-10 17550412 0,00515687 17564651

mar-10

0,00891597 17601310

abr-10

0,00496195 17676831

may-10

0,00071901 17832506

jun-10

0,00625066 17763699

jul-10

0,0023973 17846465

ago-10

-8,375E-05 17684030

sep-10

0,00230021 17720231

oct-10

-0,0018737 17765396

nov-10

0,00341032 17732812

dic-10

0,00022638 17600003

Podemos mostrar los afiliados observados y estimados en logaritmos, hasta

diciembre de 2009 (GRETL: en el menú seleccionar “Modelo” “Series de tiempo”

“ARIMA” seleccionar como variable dependiente “l_Afiliados” seleccionar

en la parte no estacional: orden AR = 3, diferencia = 1 y orden MA = 1. Y en la parte

estacional: orden AR = 0, diferencia = 1 y orden MA = 2. Eliminando la constante y

seleccionando “ok” aparece la ventana con la estimación del modeloen la

ventana de estimación seleccionar “Gráficos” “gráfico de la variable estimada y

observada). El gráfico 23 muestra el empleo registrado y estimado en logaritmos.

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25

Gráfico 23

Empleo registrado y estimación en logaritmos, modelo SARIMA(3,1,1)(0,1,2)

Que muestra un buen ajuste, de manera que aunque no está claro si los residuos

son RB, podemos utilizar el modelo para predecir. El gráfico 24 muestra la predicción

del empleo para 2010 y el empleo observado en enero y febrero.

Cuadro 24

Predicción del empleo en niveles para 2010 SARIMA(3,1,1)(0,1,2)

Se plantea una coyuntura en la que el empleo termina el año en los mismos

niveles en que empezó, comparando la predicción con lo efectivamente ocurrido la

conclusión es que la predicción en su conjunto se puede considerar adecuada

sobrestimado el empleo pero en una cuantía aceptable.

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26

El alumno debe observar que en la parte regular de este modelo ARIMA(3,1,1),

la suma de los componentes autorregresivo y medias móviles es 4, muy alejado de la

recomendación de Anderson (p + q ≤ 2) (pág. 143 del libro). Hubiera sido mejor estimar

el modelo SARIMA(0,1,0)(0,1,2) y añadir dos autorregresivos de orden 2 y 3. En este

caso el criterio de Akaike mejora (-2742,589) y por tanto también el ajuste. El

correlograma de los residuos presenta valores significativos (mayores de 0.110 en

términos absolutos) de la Función de Autocorrelación Total en los mismos desfases que

el modelo anterior y el estadístico Box-Pierce en el retardo 50 es también 72, de manera

que tampoco en este modelo queda claro si los residuos son RB. En todo caso la

predicción es muy parecida y desde el punto de vista didáctico consideramos mejor el

modelo estimado anteriormente.

Conclusiones

Las evidencias empíricas muestran que ambas variables son integradas de orden

uno regular y estacional [I(1,1)].

El paro se ajusta bien el modelo SARIMA(2,1,0)(0,1,1), es decir un AR(2) en la

parte regular y un MA(1) en la estacional cuyos residuos son una imagen empírica

cercana a ruido blanco. La predicción es adecuada en los primeros 4 meses, alejándose a

partir del mes mayo de lo efectivamente ocurrido.

El modelo del empleo que mejor se ajusta es un SARIMA(3,1,1)(0,1,2). Los

residuos del modelo presentan dudas respecto a su validación. El pronóstico sobrestima

las cifras de empleo pero se comparta bastante bien, el pronóstico de estancamiento del

empleo ha resultado cierto.

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ANEXO I (forma que toma el Correlograma para la identificación de modelos ARIMA)

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Modelos ARIMA



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30

ANEXO II (CÁLCULO DEL CORRELOGRAMA)

Como sabéis, los modelos ARIMA utilizan como herramienta para identificar y validar

sus modelos el Correlograma. A continuación se muestra como se calculan las

Funciones de Autocorrelación Total y Función Autocorrelación Parcial de cualquier

serie temporal.

Función de Autocorrelación.

En el libro de Econometría II se ilustra el proceso de cálculo de la función de

autocorrelación referida a los 12 números de la serie original de manchas solares pág.

85 y siguientes.

La función de autocorrelación se puede calcular a partir de los siguientes estadísticos:

1.

T

t t

uT

t uttu

u

ZZT

ZZZZT

C

CR

1

2

1

01

1

2.

T

t t

uT

t utt

u

u

ZZT

ZZZZuT

C

CR

1

2

1

01

1

3.

T

t t

uT

t utt

u

u

ZZT

ZZZZuT

C

CR

1

2

1 21

01

1

donde:

T

t tZT

Z11

1, y

uT

t utZ

uTZ

11

1

Asíntóticamente los tres estadísticos son iguales, pero cuando se trabaja con pocas

observaciones puede haber diferencias significativas.

Realizando la función de autocorrelación a partir del estadístico 1.

T

t t

uT

t uttu

u

ZZT

ZZZZT

C

CR

1

2

1

01

1

, y teniendo en cuenta los cálculos intermedios

que se reproducen en el cuadro 1.

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31

Cuadro – 1

Obs. Z (Zt-

43,28) (Zt-

43,28)2

Zt-1 (Zt-1-43,28) (Zt-43,28)

(Zt-1-43,28) Zt-2 (Zt-2-43,28)

(Zt-43,28)

(Zt-2-43,28) Zt-3 (Zt-3-43,28)

(Zt-43,28)

(Zt-3-43,28) … Zt-10

(Zt-10-43,28)

(Zt-43,28)

(Zt-10-43,28)

1749 80,90 37,62 1415,01 …

1750 83,40 40,12 1609,35 80,90 37,62 1509,06 …

1751 47,70 4,42 19,51 83,40 40,12 177,18 80,90 37,62 166,14 …

1752 47,80 4,52 20,40 47,70 4,42 19,95 83,40 40,12 181,19 80,90 37,62 169,90 …

1753 30,70 -12,58 158,34 47,80 4,52 -56,83 47,70 4,42 -55,58 83,40 40,12 -504,80 …

1754 12,20 -31,08 966,17 30,70 -12,58 391,13 47,80 4,52 -140,39 47,70 4,42 -137,28 …

1755 9,60 -33,68 1134,57 12,20 -31,08 1046,99 30,70 -12,58 423,85 47,80 4,52 -152,14 …

1756 10,20 -33,08 1094,51 9,60 -33,68 1114,36 12,20 -31,08 1028,34 30,70 -12,58 416,30 …

1757 32,40 -10,88 118,45 10,20 -33,08 360,06 9,60 -33,68 366,59 12,20 -31,08 338,29 …

1758 47,60 4,32 18,63 32,40 -10,88 -46,98 10,20 -33,08 -142,81 9,60 -33,68 -145,40 …

1759 54,00 10,72 114,85 47,60 4,32 46,26 32,40 -10,88 -116,63 10,20 -33,08 -354,54 … 80,90 37,62 403,13

1760 62,90 19,62 384,81 54,00 10,72 210,23 47,60 4,32 84,68 32,40 -10,88 -213,49 … 83,40 40,12 786,96

Suma 519,40 7054,60 4771,39 1795,38 -583,17 1190,08

Media 43,28 587,88

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32

En definitiva utilizando este estadístico, la Función de Autocorrelación es:

Desfase Ru

1

676.0

7054,60

4771,39

1

2

1

1 1

0

1

1

T

t t

T

t tt

ZZ

ZZZZ

C

CR

2

7054,60

1795.38

1

2

2

1 2

0

22 T

t t

T

t tt

ZZ

ZZZZ

C

CR 0.254

3

7054,60

583,17-

1

2

3

1 3

0

33 T

t t

T

t tt

ZZ

ZZZZ

C

CR -0,083

… ….

10

7054,60

1190.08

1

2

10

1 3

0

103 T

t t

T

t tt

ZZ

ZZZZ

C

CR 0,169

Función de Autocorrelación Parcial

La Función de Autocorrelación Parcial coincide con el parámetro mínimo cuadrático

autorregresivo de orden «q», así el valor de la Función de Autocorrelación Parcial de la

serie «Zt» en desviaciones a las medias será:

Zt = a11Zt-1 [1], donde «a11» es el valor de la Función de Autocorrelación Parcial de

orden uno.

Zt = a1Zt-1 +a22Zt-2 [2], donde «a22 » es el valor de la Función de Autocorrelación

Parcial de orden dos, obsérvese que «a11» es distinto que «a1».

……..

Zt = a1Zt-1 + a2Zt-2 + … + appZt-p [3], donde «app» es el valor de la Función de

Autocorrelación Parcial de orden «p».

De manera que se puede calcular la Función de Autocorrelación parcial por MCO.

También es posible calcular la Función de Autocorrelación Parcial a partir de la

Función de Autocorrelación (ecuaciones de Yule-Walker).

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33

Cálculo de la Función de Autocorrelación Parcial de orden uno (a11).

Multiplicando [1] por «Zt-1»en ambos lados se tiene,

ZtZt-1 = a11Zt-1Zt-1, y aplicando esperanzas,

E (ZtZt-1) = a11E(Zt-1Zt-1)

C1 = a11C0, y dividiendo por «C0»,

R1 = a11, de manera que el Función de Autocorrelación y la Función de Autocorrelación

Parcial de orden uno coinciden.

Cálculo de la Función de Autocorrelación Parcial de orden 2 (a22)

Multiplicando [2] por «Zt-1» en ambos miembros se tiene,

ZtZt-1 = a1Zt-1Zt-1 + a22Zt-2Zt-1 , y aplicando esperanzas,

E (ZtZt-1) = a1E(Zt-1Zt-1) + a22E(Zt-1Zt-2)

C1 = a1C0 +a22C1, y dividendo por «C0»,

R1 = a1R0 +a22R1 [4]

multiplicando [2] por «Zt-2»en ambos miembros,

ZtZt-2 = a1Zt-1Zt-2 + a22Zt-2Zt-2 , y aplicando esperanzas,

E (ZtZt-2) = a1E(Zt-1Zt-2) + a22E(Zt-2Zt-2)

C2 = a1C1 +a22C0, y dividendo por «C0»,

R2 = a1R1 +a22R0 [5]

De manera que tenemos dos ecuaciones [4] y [5] y dos incógnitas («a1» y «a22») sistema

de ecuaciones que en forma matricial se:

0 11 1

1 02 22

R RR a

R RR a , premultiplicando por la matriz inversa del segundo miembro

tenemos,

1

0 11 1

1 022 2

R Ra R

R Ra R

[6]

de manera que podemos calcular a22 conociendo «R1» y «R2».

Cálculo de la Función de Autocorrelación Parcial de orden p (auu)

Multiplicando [3] por «Zt-u» en ambos miembros se tiene,

ZtZt-u = a1Zt-1Zt-u + a2Zt-2Zt-u + … + appZt-pZt-u, y aplicando esperanzas,

E (ZtZt-u) = a1E(Zt-1Zt-u) + a2E(Zt-1Zt-u)+…+ E(appZt-pZt-u)

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34

Cu = a1Cu-1 +a2Cu-2+ …+appCu-p, y dividendo por «C0»,

Ru = a1Ru-1 +a22Ru-2+…+ appRu-p [7]

Dando valores a u se obtienen las ecuaciones de Yule-Walker.

1

1 0 1 1 1

22 1 0 2 2

1 2 0

u

u

uu u u u

a R R R R

a R R R R

a R R R R

, que permiten calcular la Función de

Autocorrelación parcial de orden «u».

Cálculo de la Función de Autocorrelación Parcial de las manchas solares

Función de Aucorrelación Parcial de orden 1 se calcula a partir de [1]

a11 = R1; a11=0.676

La función de Aucorrelación parcial de orden 2 se calcula a partir de [6]

1 1

0 11 1

1 022 2

1 0.676

1 0.676 0.676 0.6760.543 0.543

0.676 1 0.254 0.676 1 0.254

0.543 0.543

1.84162 1.24494 0.676

1.24494 1.84162 0.254

R Ra R

R Ra R

-0.374

Valores que coinciden con los del Correlograma calculado por el ordenador.

Sample: 1749 1760

Included observations: 12

Autocorrelation Partial

Correlation

AC PAC Q-Stat Prob

. |***** | . |***** | 1 0.676 0.676 6.9865 0.008

. |** . | .***| . | 2 0.254 -0.374 8.0747 0.018

. *| . | . *| . | 3 -0.083 -0.142 8.2022 0.042

.***| . | .***| . | 4 -0.429 -0.435 12.065 0.017

****| . | . | . | 5 -0.534 0.055 18.897 0.002

****| . | . **| . | 6 -0.477 -0.212 25.277 0.000

. **| . | . |* . | 7 -0.264 0.192 27.614 0.000

. | . | . **| . | 8 -0.014 -0.204 27.623 0.001

. |* . | . *| . | 9 0.096 -0.094 28.141 0.001

. |* . | . *| . | 10 0.169 -0.101 30.532 0.001

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