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Estimación de Parámetros y Estimación de Parámetros y Estado para Modelos de Flujo Estado para Modelos de Flujo
y Transporte del Agua y Transporte del Agua Subterránea Usando un Subterránea Usando un Subterránea Usando un Subterránea Usando un Ensamble SuavizadoEnsamble Suavizado
Graciela Herrera ZamarrónGraciela Herrera ZamarrónInstituto de Geofísica, UNAMInstituto de Geofísica, UNAM
5 de octubre de 2012
CréditosCréditos
►►Jessica Briseño RuizJessica Briseño Ruiz�� Estudiante de doctoradoEstudiante de doctorado titulada en junio de titulada en junio de 20122012
Guía de la presentaciónGuía de la presentación►► Problemática del agua subterráneaProblemática del agua subterránea►► Modelo general del flujo en aguas subterráneasModelo general del flujo en aguas subterráneas►► Modelo de transporte con Modelo de transporte con advecciónadvección y dispersióny dispersión►► Estimación de parámetros y calibración de modelosEstimación de parámetros y calibración de modelos►► Modelación estocásticaModelación estocástica►► SimulaciónSimulación Monte CarloMonte Carlo►► SimulaciónSimulación Monte CarloMonte Carlo►► Ejemplo sencillo en aguas subterráneas Ejemplo sencillo en aguas subterráneas ►► Asimilación de datosAsimilación de datos►► Ensamble suavizadoEnsamble suavizado►► Método para la estimación conjunta del estado y Método para la estimación conjunta del estado y parámetros de modelos de flujo y transporteparámetros de modelos de flujo y transporte
►► ResultadosResultados►► Desarrollos en procesoDesarrollos en proceso
Ciclo hidrológico
AcuíferoAcuífero
Formación geológica que es capaz de almacenar y transmitir el agua subterránea a través de ella en cantidades significativas.
Problemática del agua subterránea
Problemática del agua subterránea
Problemática del agua subterránea
Contaminación del agua Contaminación del agua subterráneasubterránea
agricultura
Desarrollo urbano ciudad
planta de tratamiento de aguas residuales
ganaderíafábrica
vertedero mal
aislado
►►Contaminación difusaContaminación difusa�� Abonos agrícolasAbonos agrícolas�� Plaguicidas agrícolasPlaguicidas agrícolas�� Intrusión marinaIntrusión marina
►►Contaminación puntualContaminación puntual�� Actividades domésticasActividades domésticas�� Actividades industrialesActividades industriales�� Residuos sólidosResiduos sólidos
contaminación difusa fuente puntual de
contaminación
nivel freático
Ecuaciones para modelar el flujo Ecuaciones para modelar el flujo del agua subterráneadel agua subterránea
►► Ecuación en 3DEcuación en 3D
►► --carga hidráulica [L]carga hidráulica [L]
Rt
hS
z
hK
zy
hK
yx
hK
xszyx −
∂
∂=
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂
h►► --carga hidráulica [L]carga hidráulica [L]
►► --conductividad hidráulica (capacidad del medio para conductividad hidráulica (capacidad del medio para conducir agua) [L/T]conducir agua) [L/T]
►► --almacenamiento específico (depende de la elasticidad del almacenamiento específico (depende de la elasticidad del medio) [1/L]medio) [1/L]
►► --esfuerzos (fuentes o sumideros, p. ej. extracción de agua esfuerzos (fuentes o sumideros, p. ej. extracción de agua por pozos) [1/T]por pozos) [1/T]
sS
K
R
h
Ecuación de transporte de solutos Ecuación de transporte de solutos con con advecciónadvección y dispersióny dispersión
t
ccV
z
cD
zcV
y
cD
ycV
x
cD
xzzyyxx
∂
∂=
−
∂
∂
∂
∂+
−
∂
∂
∂
∂+
−
∂
∂
∂
∂
),(1
,
z
hK
y
hK
x
hKV zyx
∂
∂
∂
∂
∂
∂−=
θ
►► -- concentración del soluto [M/concentración del soluto [M/LL33]]
►► -- velocidad efectiva [L/T]velocidad efectiva [L/T]
►► -- dispersión hidrodinámica (dispersión hidrodinámica (depdep caractcaract medio porosomedio poroso) [L) [L22/T]/T]
►► -- porosidad [porosidad [--]]θ
zyx ∂∂∂θ
V
c
D
Resolución de las ecuacionesResolución de las ecuaciones
►►Solución analítica Solución analítica para problemas para problemas simplessimplesMétodos numéricosMétodos numéricos►►Métodos numéricosMétodos numéricos�� Diferencias finitasDiferencias finitas�� Elemento finitoElemento finito
Entradas del modeloEntradas del modelo
►►En lo anterior hemos supuesto que se En lo anterior hemos supuesto que se conocen los parámetros hidrogeológicos, las conocen los parámetros hidrogeológicos, las condiciones iniciales y de frontera , y los condiciones iniciales y de frontera , y los esfuerzos.esfuerzos.esfuerzos.esfuerzos.
►►Éstos son necesarios para poder obtener Éstos son necesarios para poder obtener soluciones de los modelos.soluciones de los modelos.
Problemas para estimar parámetros► En la práctica, la distribución de los parámetros es muy difícil de obtener.
► Se tiene un conocimiento incompleto de las propiedades de las formaciones geológicas.
► Se observan normalmente en unos pocos sitios aunque exhiben un alto grado de variabilidad espacial.
► Con frecuencia se observan indirectamente.
Zhang, 2002
Log permeabilidad
Profundidad (pies)
Calibración de un modeloCalibración de un modelo►►Es necesario calibrar el modelo antes de usarlo Es necesario calibrar el modelo antes de usarlo para obtener prediccionespara obtener predicciones
►►Proceso en el que entradas del modelo, tales Proceso en el que entradas del modelo, tales como propiedades del sistema, condiciones como propiedades del sistema, condiciones iniciales y de frontera, y esfuerzos, se iniciales y de frontera, y esfuerzos, se modifican de tal manera que los resultados del modifican de tal manera que los resultados del modifican de tal manera que los resultados del modifican de tal manera que los resultados del modelo se parezcan a los valores asociados modelo se parezcan a los valores asociados medidosmedidos
►►A las entradas del modelo que se modifican les A las entradas del modelo que se modifican les llamaremos parámetrosllamaremos parámetros
►►A los valores medidos asociados con los A los valores medidos asociados con los resultados del modelo les llamaremos resultados del modelo les llamaremos observacionesobservaciones
Proceso de calibraciónProceso de calibración
Información del sistema
ModeloAjustar valores de Observaciones
relacionadas con los Modelo
Comparar valores simulados y observados usando una función objetivo
Ajustar valores de los parámetros relacionadas con los
resultados del modelo
Comparar valores simulados y observados usando una función objetivo
Ejemplo calibración acuífero de la Ejemplo calibración acuífero de la ciudad de Méxicociudad de Méxicociudad de Méxicociudad de México
DominioDominio y y mallamalla del del modelomodelo
Conductividad hidráulicaConductividad hidráulica
PozosPozos de de observaciobservaciónón
Comparación de resultados del Comparación de resultados del modelo y observacionesmodelo y observaciones
Problema a resolverProblema a resolver
►►Proponer un método para estimar la Proponer un método para estimar la conductividad hidráulica utilizando datos de conductividad hidráulica utilizando datos de carga hidráulica y concentraciones de un carga hidráulica y concentraciones de un contaminantecontaminantecontaminantecontaminante
►►Método a utilizarMétodo a utilizar�� Basado en modelos estocásticosBasado en modelos estocásticos
Procesos estocásticos
► La teoría de los procesos estocásticos proporciona un método natural para evaluar incertidumbres.
► En el formalismo estocástico, la incertidumbre es representada por � La probabilidad � Los momentos estadísticos� Los momentos estadísticos
► Los parámetros de los materiales no son puramente aleatorios, por lo que son tratados como funciones espaciales aleatorias� Su variabilidad presenta algunas estructuras de correlación espacial
► Las correlaciones espaciales pueden ser cuantificadas por medio de distribuciones de probabilidad conjunta o momentos estadísticos conjuntos (p. ej. auto covarianzas o covarianzas cruzadas).
Modelos estocásticos
► Las ecuaciones de flujo y transporte se convierten en estocásticas cuando son aleatorios:� Las propiedades de los materiales, como la conductividad hidráulica o la porosidad.
� Las condiciones iniciales o de frontera.� Los esfuerzos.� Los esfuerzos.
► Las soluciones ya no son funciones deterministas, sino distribuciones de probabilidad de las variables dependientes.
►Con frecuencia se trabaja únicamente con los primeros momentos de la distribución� Media, varianza, covarianza, etc.
Métodos de solución
► Ecuaciones de los momentos� Diferenciales
►Se derivan ecuaciones diferenciales para los momentos con base en las ecuaciones originales
� Integrales� Integrales►Se derivan ecuaciones integrales para los momentos con base en las ecuaciones originales
► Simulación Monte Carlo� La idea es aproximar la distribución probabilísticas de los procesos estocásticos por un gran número de realizaciones igualmente probables
Simulación Monte Carlo
►Consiste en tres pasos:� Generar múltiples realizaciones de la propiedad de interés en base a la distribución probabilística de la misma. Cada realización es determinista.
� Para cada realización resolver las ecuaciones diferenciales deterministas por métodos numéricos (p. diferenciales deterministas por métodos numéricos (p. ej. diferencias finitas y elementos finitos).
� Promediar sobre las soluciones de muchas realizaciones para obtener los momentos estadísticos o distribuciones de las variables dependientes.
► Las primeras aplicaciones a problemas de flujo en medios porosos se llevaron a cabo en 1961.
Ejemplo en 1DTomado de Zhang, 2002
2
2
( )( )
h xw x
x
∂= −
∂x∂
0( ) en 0h x H x= =
( ) en Lh x H x L= =
Realizaciones y momentosSuponemos que w es un campo Gaussiano completamente correlacionado
0.1
0.1w
w
σ
=
=
Asimilación de datos Asimilación de datos ► La existencia de incertidumbres en los modelos sugiere no utilizarlos como la única fuente de información del comportamiento del sistema, sino en combinación con observaciones.
► Estas observaciones también tienen incertidumbre. ► Se necesitan métodos para combinar estas informaciones diferentes.A este proceso de combinar datos con modelos se le llama ► A este proceso de combinar datos con modelos se le llama asimilación de datos.
► Surgió para controlar trayectorias de misiles en los años sesenta. Se ha aplicado en un gran número de áreas.
► Recientemente se ha utilizado con éxito en ciencias de la tierra � Ciencias de la atmósfera � Oceanografía � Hidrología
Filtro de KalmanFiltro de Kalman►►Método de asimilación de datos para Método de asimilación de datos para problemas linealesproblemas lineales
►►Proporciona una estimación lineal sin Proporciona una estimación lineal sin sesgo y de variancia mínima del estado sesgo y de variancia mínima del estado sesgo y de variancia mínima del estado sesgo y de variancia mínima del estado de un sistema utilizando datos con ruidode un sistema utilizando datos con ruido
►►Establece un método secuencial para Establece un método secuencial para actualizar las estimaciones cuando se actualizar las estimaciones cuando se proporcionan datos nuevos, sin necesidad proporcionan datos nuevos, sin necesidad de hacer referencia a datos anterioresde hacer referencia a datos anteriores
variable a estimar o estado
kkk vXZ += H
kX
medicionesZ
HMatriz de dimensión que relaciona el estado en el tiempo k con la medición Zk
representan el error del proceso y de las mediciones respectivamente.kk vw ,
kkk wXX +=+ A1Ecuación estocástica
lineal en diferencias
Estimación inicial
AMatriz que relaciona el estado en el tiempo kcon el estado en k-1
covarianza del error del proceso y del error de las mediciones, respectivamente. kk RQ ,
Ecuaciones filtro de KalmanEcuaciones filtro de Kalman
},...,|{ˆ1 lm
l
m ZZXEX =
Se puede demostrar que el estimador lineal sin sesgo y de mínima varianza es
Ecuación de muestreo
Ecuaciones para la actualización
1
111 )(−
+++ += k
Tk
k
Tk
kk RHHPHPK
)ˆ(ˆˆ1111
1
1
k
kkk
k
k
k
k XZXX ++++++ −+= HK
k
kk
k
k 11
1
1 )( ++++ −= PHKIP
1. Cálculo de la ganancia de Kalman (Kk+1)
2. Actualización estimación con observaciones
3. Actualización covarianza del error
Requiere una estimación inicial y la matriz de covarianza del error de esta
estimación
0
0
0
0 ,ˆ PX
1. Predicción del estadok
k
k
k XX ˆˆ1 A=+
k
Tk
k
k
k QAAPP +=+1
Ecuaciones para la predicción
2. Predicción de la covarianza del error
Estimación inicialde las mediciones, respectivamente. kk RQ ,
Filtro de Kalman ensambladoFiltro de Kalman ensamblado
►►Se propuso originalmente en oceanografía Se propuso originalmente en oceanografía por por EvensenEvensen en 1994 para tratar problemas en 1994 para tratar problemas no lineales.no lineales.
►►Sustituye las predicciones por un conjunto Sustituye las predicciones por un conjunto ►►Sustituye las predicciones por un conjunto Sustituye las predicciones por un conjunto de realizaciones (ensamble) producidos con de realizaciones (ensamble) producidos con simulación Monte Carlo.simulación Monte Carlo.
Ensamblado suavizadoEnsamblado suavizado
► Propuesta original van Leeuwen y Evensen en 1996 y una variación de este de formaindependiente por Herrera en 1998.
► El vector de estado contiene la variable en todos los tiempos de interés.
X
todos los tiempos de interés. ► La matriz es una matriz en espacio-tiempo►Aplicación original de la versión de Herrera
� Diseño óptimo de redes de monitoreo de la calidad del agua subterránea.
P
Requiere una estimación inicial y la matriz de covarianza del error de esta estimación
00 ˆ,ˆ PX
Estimación inicial
Estado contiene todos los tiempos de interés
kkk vXZ += HEcuación de muestreo
kX
mediciones (datos u observaciones)Z
representan el error del proceso y de las mediciones respectivamentekk vw ,
kkk wXfX +=+ )(1Ecuación estocástica no
lineal
Ecuaciones para la actualización
Ecuaciones ensamble suavizado de HerreraEcuaciones ensamble suavizado de Herrera
00 ˆ,ˆ PX
∑=
==Nr
k
k
ipip cNr
cc1
0
1ˆ
( )( )jq
k
jq
Nr
k
ip
k
ip
r
jqip ccccN
CovP −−−
== ∑=1
:
0
1
1
0
1
01ˆˆ
PP =
=
+
+
k
k
k
k cX
Ecuaciones de predicción cambian por los cálculos de ensamble determinados
Ejemplo para la concentración
Ecuaciones para la actualización
1
111 )(−
+++ += k
Tk
k
Tk
kk RHHPHPK
)ˆ(ˆˆ1111
1
1
k
kkk
k
k
k
k XZKXX ++++++ −+= H
k
kk
k
k 11
1
1 )( ++++ −= PHKIP
1. Calculo de la ganancia de Kalman (Kk+1)
2. Actualización la estimación con observaciones
3. Actualización la covarianza del error
covarianza del error del proceso y del error de las mediciones, respectivamente. kk RQ ,
Uso en la estimación de Uso en la estimación de parámetrosparámetros
►Estos métodos de ensamble se pueden usar también para estimar parámetros
►Generalmente se incorporan los parámetros a estimar en el vector estadoa estimar en el vector estado
►Resulta en un método que estima a la vez los parámetros y las variables que simula el modelo
Problema en aguas subterráneas
► Se usa el ensamble suavizado
LnK
X H
= Vector estado
►Objetivo: Estimar Ln K, H y C usando combinaciones de datos de Ln K, H y C
► Las medias de los ensambles de Ln K, H y C se utilizan como estimaciones a priori para cada variable
► La matriz de covarianza cruzada del ensamble se utiliza como estimación a priori de la matriz de covarianza cruzada
X H
C
=
Vector estado
El método de estimación de parámetros y estado propuesto
Dadas la media de la conductividad hidráulica (K) y el
semivariograma de Ln K, se obtienen realizaciones aleatorias de este
parámetro con un método de simulación.
1
2 Usando cada realización de K, se emplea el modelo estocástico de flujo y/o
transporte para producir una realización de la carga hidráulica y/o de la
3
concentración del contaminante, el total de las realizaciones se emplea
para obtener la media de Ln K y del estado (h y/o c), así como la matriz de
covarianza cruzada espacio temporal del parámetro y el estado (Ln K-h-c).
Empleando el ES se realiza la estimación del parámetro de Ln K, utilizando
como estimación y covarianza a priori a la media de las realizaciones y su
correspondiente matriz de covarianza. Se puede emplear para realizar la
estimación observaciones de Ln K, h o c o mediante combinaciones de Ln K
y/o h y/ó c.
Dadas la media de la conductividad hidráulica (K) y el
semivariograma de Ln K, se obtienen realizaciones aleatorias de este
parámetro con un método de simulación.
1
Análisis geoestadístico
Para obtener las realizaciones aleatorias de K.
Se emplearon simulación secuencial gaussiana (SGSim) yMuestreo por Hipercúbo Latino
(LHS).
Se determina el modelo del semivariograma del Ln K
Realizaciones
de K
Puntos con mediciones de Ln K
2 Para cada realización de K, se resuelve numéricamente la ecuación de flujo
y/o transporte y se obtienen realizaciones de h y c para un periodo de
tiempo.
( ) 0=+∂
∂−∇⋅∇ Q
t
hSshK
h carga hidráulica [L]
K conductividad hidráulica [L/T]
Q fuentes o sumideros [1/T]
Ss coeficiente de almacenamiento específico [L-1]
t tiempo [T]
Ecuaciones para modelar el flujo y
el transporte del agua subterránea
Resolución de
ecuaciones
( ) 0=+−∇⋅⋅∇−∂
∂ wQcVccD
t
c
hK
V ∇⋅−=φ
Métodos Numéricos
c concentración del soluto [M/L3]
D dispersión hidrodinámica [L2/T]
φ porosidad efectiva [-]
V velocidad [L/T]
wc concentración del fluido bombeado [ML-3]
donde
Las ecuaciones se resuelven empleando el modelo en elemento finito
Princent Transport Code (PTC)
Modelo estocástico de flujo y transporte
Parámetros aleatorios
Conductividad hidráulica
Resolución de las ecuaciones
Con simulación estocástica o Monte Carlo
� Obtener realizaciones de los parámetros aleatorios
Realizaciones de K
� Obtener realizaciones de los parámetros aleatorios
� Resolver el modelo de flujo y de transporte para
cada realización
� Calcular momentos a priori espacio-temporales
2 Momentos a priori. El total de las realizaciones se emplea para obtener la media de Ln K y del estado (h y/o c), así como la matriz de covarianza
cruzada del parámetro y el estado (Ln K-h-c).
∑=
==Nr
k
k
ipip cNr
cc1
0
1ˆ
Media y matriz de covarianza de la
concentración
k
ipc denota la k-ésima realización de c en la posición
cmix ...1= en el tiempo cppt ...1=
( ) ( )( )kNr
k −−=== ∑0 1 cm número de nodos de la ME
0c vector en espacio-tiempo, incluye una estimación de c para todas las posiciones y tiempos
rN número de realizaciones
( ) ( )( )jq
k
jq
Nr
k
ip
k
ip
r
jqipjqipc ccccN
CoveeCovP −−−
=== ∑=1
:
0
1
1,
cm
cp
número de nodos de la ME
número de tiempos de estimación
ip
k
ip
k
ip cce −=Matriz de covarianza del error de c en espacio-
tiempo0
cP
Posibles puntos con datos
puntos de estimación.
Los puntos de estimación se determinan de acuerdo alnúmero de posiciones en las que se quiera estimar el LnK, y el número de posiciones en espacio y tiempo en lasque se quiera estimar cada una de las variables deestado.
En los ejemplos presentados las estimaciones se hacensobre submallas del modelo numérico, que pueden serdiferentes para LnK, h y c.
3 Empleando el ES se realiza la estimación de Ln K, utilizando comoestimación y covarianza a priori a la media de las realizaciones y sucorrespondiente matriz de covarianza. Se puede emplear para la estimaciónobservaciones de Ln K, h o c.observaciones de Ln K, h o c.
Casos de estudioCasos de estudio
Casos de estudio
El método de estimación conjunta estado-parámetro se probo en los
siguientes casos:
Estimar el Ln K y el estado (h y c). Caso de estudio: Querétaro flujo y transporte.
Estimar el Ln K y del estado (h).Caso de estudio: Querétaro flujo.
Caso de estudio: Querétaro flujo y transporte.
Estimar el Ln K y el estado (h y c).Caso de estudio: Pozo de bombeo con fuente de contaminante.
Análisis de sensibilidad del ensamble suavizado.
Estimación empleando SGSIM para el calculo de covarianza a priori.
Estimación empleando LHS para el calculo de covarianza a priori.
Comparación de SGSIM VS LHS para la estimación.
Prueba ► Dominio: 700 x 700 m2
► Malla: 1702 nodos, 1306 elementos
► Modelo de flujo transitorio� Hay un pozo en la zona centro
� Ss = 0.001� Ss = 0.001� K es aleatorio su media es 1.6 m/day
► Modelo de transporte � Hay una fuente de contaminante del lado oeste
► Periodo � 12 años
Datos y puntos de estimación
Datos de h (25 cada 2 años)
Datos de Ln K (no se usan)Datos de Ln K (no se usan)
Datos de c (25 cada 2 años)
Puntos de estimación 48
Tiempos de estimación 6
Estimación de la carga hidráulica 4000 realizaciones, datos h y c
Estimación de la concentration 4000 realizations , h and c data
Estimación LnK , datos de h y c
Reducción del error
►h - 64%
►c - 77%
►LnK- 21%
Desarrollos en procesoDesarrollos en proceso
►►Método para calibrar la recarga en el Método para calibrar la recarga en el modelo estocástico (Ingrid modelo estocástico (Ingrid KohnKohn))
►►ParalelizaciónParalelización del código (Esther del código (Esther LeyvaLeyva y y ►►ParalelizaciónParalelización del código (Esther del código (Esther LeyvaLeyva y y Luis Miguel de la Cruz)Luis Miguel de la Cruz)
Bibliografía► Zhang D., Stochastic methods for flow in porous media, Academic Press, 1992.► Graciela Herrera de Olivares, Cost Effective Groundwater Quality Sampling Network
Design, tesis para obtener el grado de doctor, University of Vermont, 1998.► Herrera, Graciela S. y George F. Pinder, ``Cost Effective Groundwater Quality
Sampling Network Design''. Water Resources Research, vol. 41, W12407, doi:10.1029/2004WR003626, diciembre de 2005.
► Zhang, Yingqi, George F. Pinder y Graciela S. Herrera, ``Least cost design of groundwater quality monitoring networks''. Water Resources Research, vol. 41, W08412, doi:10.1029/2005WR003936, agosto de 2005.
► Herrera, G.S. y J. Briseño, ``Hydraulic conductivity and state estimation forstochastic flow and transport models'', en las memorias del 13th International Conference on Water Rock Interaction, llevado a cabo en Guanajuato, México, del 16 al 20 de agosto del 2010.
► Briseño Ruiz, Jessica Vanessa, Graciela del Socorro Herrera Zamarrón y JúnezFerrerira Hugo Enrique, ``Método para el diseño espacio-temporal de redes de monitoreo de los niveles del agua subterránea''. Tecnología y Ciencias del Agua, 2011.
► Briseño Ruiz, Jessica Vanessa, Método para la Calibración de Modelos Estocásticosde Flujo y Transporte en Aguas Subterráneas, para el Diseño de Redes deMonitoreo de Calidad del Agua. Tesis para obtener el grado de Doctor, Posgrado deIngeniería UNAM, 2012.