Kandidatuppsats Statistiska institutionen

Bachelor thesis, Department of Statistics

Estimering av Volatilitet – En studie från valutamarknaden

Forecasting volatility in a foreign exchange market

Yue Ngong King Choy

( I samarbete med Lars Björkman,

Företagsekonomiska Institutionen)

Självständigt arbete 15 högskolepoäng inom Statistik III, vt 2013

Handledare: Göran Rundqvist

Sammanfattning

Korrekta skattningar av framtida volatilitet, spelar i många fall en väsentlig roll vid riskhantering och

prissättning av finanseilla produkter. Många komplexa prognosmetoder för skattning av volatilitet i

finansiella tidserier har därför utvecklats och föreslagits genom åren. Syftet med denna studie är att

testa hur bra olika metoder för estimering av volatilitet kan förutse framtida volatilitet på

valutamarknaden. Undersökningen omfattar sammanlagt nio olika prognosmodeller, där åtta modeller

är tidseriebaserade ARCH-, GARCH- och EGARCH-modeller av olika ordningar. Den sista modellen

är en betydligt enklare historisk modell, som bygger på en fem dagars stickprovsvarians. Vidare är

studien avgränsad till att endast behandla valutaparet SEK/EUR, där tidserieprognosmodellerna

bygger på data från år 2004 till 2012. Våra resultat indikerar att prognoser baserade på lägre ordningar

av ARCH, bäst fångar volatiliten under testperioden. Slutligen föreföll samtliga testade modeller att

generera stora medelprognosfel i förhållande till realiserad volatilitet, vilket visar hur problematisk

skattning av framtida volatilitet är i praktiken.

Nyckelord

ARCH, GARCH, EGARCH, Volatilitet, SEK/EUR, Betingad volatilitet, Stiliserad fakta och

Tidserieprognos.

1

Abstract

Accurate estimates of future volatility often play an important role in risk management and pricing of

financial products. Many complex forecasting methods for the estimation of volatility in financial time

series have therefore been developed and proposed over the years. The purpose of this study is to

examine how well different methods for estimating volatility can predict future volatility in the foreign

exchange market. The study covers a total of nine forecasting models, where eight of the models are

based on ARCH, GARCH and EGARCH time series of different orders. The ninth model is a much

simpler historical model, based on a five day sample variance. Furthermore, the study is limited to

only treat the currency pair SEK/EUR, where the time series models are based on data from 2004 to

2012. Our results indicate that forecasts based on lower orders of ARCH, is the ones that captures

volatility with smallest errors during the test period. Finally, it seems like all models generate large

errors relative to realized volatility, which shows how challenging it is to estimate future volatility in

practice.

Keywords

ARCH, GARCH, EGARCH, Volatility, SEK /USD, Conditional volatility, Stylized Facts and Times

series forecasting.

2

Innehåll

Sammanfattning....................................................................................................................................... 0

Nyckelord ............................................................................................................................................ 0

Abstract ................................................................................................................................................... 1

Keywords ............................................................................................................................................ 1

1 Introduktion ..................................................................................................................................... 4

1.1 Bakgrund ................................................................................................................................. 4

1.2 Problemdiskussion ................................................................................................................... 5

1.3 Syfte ........................................................................................................................................ 6

1.4 Frågeställning .......................................................................................................................... 6

1.5 Avgränsning ............................................................................................................................ 6

2 Teoretisk referensram ...................................................................................................................... 7

2.1 Tidigare studier ........................................................................................................................ 7

2.2 Teori ........................................................................................................................................ 9

2.2.1 Definitioner ..................................................................................................................... 9

2.2.2 Modeller för estimering av volatilitet ............................................................................ 10

2.2.3 Parameterestimering och residualanalys för ARCH- GARCH- och EGARCH-

modellering .................................................................................................................................... 13

3 Val av empiri ................................................................................................................................. 16

4 Hypoteser....................................................................................................................................... 17

5 Metod............................................................................................................................................. 18

5.1 Metodologi ............................................................................................................................ 18

5.1.1 Praktiskt tillvägagångssätt ............................................................................................. 18

6 Resultat .......................................................................................................................................... 22

6.1 Residualanalys ....................................................................................................................... 22

7 Diskussion & Slutsats .................................................................................................................... 26

8 Egenkritik & felkällor ................................................................................................................... 27

9 Fortsatt forskning .......................................................................................................................... 28

3

10 Referenser .................................................................................................................................. 29

11 Appendix ................................................................................................................................... 31

4

1 Introduktion

1.1 Bakgrund

Världen har kommit att bli allt mer globaliserad, med ökad handel mellan länder, vilket lett till att

valutamarknaden idag är den finansmarknad med högst omsättning. Endast mellan 2007 och 2010

ökade den globala omsättningen på valutamarknaden med 20 %, och 2010 uppgick den genomsnittliga

dagshandeln till 4 biljoner dollar (Triennial Central Bank Survey, 2010), vilket är ungefär 20 gånger

mer än summan av alla andra finansmarknaders dagliga omsättning (Nacher & Ochiai, 2012). Många

företag tillverkar ofta i ett land och säljer varorna i ett annat, vilket leder till att kassflödena påverkas

av valutakursförändringar. Stora valutakursförändring kan därför kraftigt påverka lönsamheten i ett

utländskt projekt, vilket gör att globala och internationella företag ägnar mycket tid åt

valutariskhantering, genom bland annat olika typer av derivatainstrument.

Ett betydande derivatainstrument vid valutariskhantering är optioner. Dessa instrument är ett slags

kontrakt mellan två parter, som ger optionssinnehavaren rätten (men inte skyldigheten) att köpa eller

sälja en viss valuta i framtiden, till ett förutbestämt pris. Denna valmöjlighet leder således till att

utställaren av optionen kräver en premie, som motsvarar den risk som kontrakten medför. Hur stor

denna premie är, beror enligt Garman-Kohlhagens modell för prissättning av valutaoptioner (som är en

vidareutveckling av Black & Scholes modell för prissättning av aktieoptioner), på sex oberoende

variabler. De fem första variablerna, spotpris, lösenpris, inhemsk riskfri ränta, utländsk riskfri ränta

samt tid till lösendagen är alla lätta att observera. Den sjätte variabeln i modellen, är den framtida

volatiliteten i den underliggande valutan (Garman & Kohlhagen, 1983), vilken uppenbart inte kan vara

observerbar, då den avser en framtida händelse. Detta gör volatiliteten till en central fråga vid

prissättning av optioner, vilket lett till att ett flertal metoder för skattning av volatilitet har utvecklats

på området.

Begreppet volatilitet kan beskrivas med ord som varierande eller föränderlig och brukar allmänt sett

förknippas med risk. Det utgör en av grundpelarna inom modern finansteori och återkommer ständigt

inom disciplinen. Exempelvis återfinns volatilitets-variabeln i Capital Asset Pricing Model (CAPM)

och Markowits portföljteori, vari man tydligt kan se att det föreligger ett samband mellan risk

(volatilitet) och avkastning (Daly, 2011). Högre volatilitet leder till större avvikelser från det

förväntade värdet, vilket på en kapitalmarknad leder till en högre probabilitet att göra stora vinster

eller förluster. Avkastningskravet på en tillgång ökar därför med volatiliteten.

Olika metoder för estimering av volatilitet har olika för- och nackdelar. Den kanske enklaste metoden

är att enbart använda historisk varians, vilket innebär att man utgår från att framitda volatilitet är den

samma som föregående periods volatilitet. Tidigare empiriska studier har dock påvisat att detta

5

samband är förhållandevis svagt (Bharadia et al., 1996), vilket delvis beror på att volatilitet varierar

över tid (Figlewski, 1997 (a), s.3).

Mer komplexa metoder för skattning av volatilitet har därför växt fram genom åren. Dessa modeller

bygger på tidserier och utgår från att den betingade variansen är heteroskedastisk, vilket innebär att

den tillåts variera över tid. Genom empiriska dataanalyser har man försökt finna vanliga mönster för

hur variansen tycks variera i finansiella tidserier och vanligt förkommande mönster kallas för stiliserad

fakta. Några exempel på stiliserad fakta för finansiella tidserier är ”volatility clustering”,

leptokurtiosisk fördelning, samt ”mean reversion” (Poon & Granger, 2003, s. 481). ”Volatility

clustering” innebär att stora avvikelser tenderar att efterföljas av stora avvikelser och små avvikelser

efterföljas av små avvikelser (Daly, 2011). Med leptokurtosisk fördelning för avkastningen, menas att

sannolikheten för extremvärden är större än för en normalfördelning (Nacher & Ochiai, 2012, s. 2233).

Begreppet ”mean reversion” betyder att priser har benägenhet att konvergera mot dess medelvärde.

Sådana typer av rörelsemönster har man sedan försökt fånga upp i olika variansestimerande

tidseriemodeller som GARCH-, EGARCH- och ARCH-modeller (autoregressive conditional

hetroskedacity).

Både ARCH- och GARCH-modeller skattar den framtida volatiliteten genom historisk data. Till

skillnad från ARCH så skattar GARCH-modeller dessutom volatiliteten med hjälp av en eller flera

historiska prognoser. EGARCH- modeller är till skillnad från GARCH-modeller asymmetriska, vilket

innebär att de tillåter prisuppgångar och prisnedgångar att ha olika mycket inflytande över volatiliteten

(Daly, 2011, s.50-53).

1.2 Problemdiskussion

Korrekta riskbedömningar är kritiska på en kapitalmarknad, eftersom dessa ligger till grund för

prissättningen av tillgången. En felaktig bedömning av risker har många gånger förorsakat stora

finansiella kriser. Exempelvis föranleddes finanskrisen 2007 av dåliga riskbedömningar av tillgångar

(Banerjee et al., 2012).

Tidsvarierande volatilitetsmodeller som ARCH och GARCH används frekvent vid riskhantering,

portföljanalys och vid prissättning av olika derivatainstrument (Cheong et al, 2007, s. 652). Vilken

metod som ger bäst resultat vid estimering av volatilitet tycks dock fortfarande vara oklart och

forskarvärlden har genom åren testat, samt utvärderat flera olika modeller, där resultaten varit

varierande (Daly, 2011). Frågan om de komplexa metoderna ARCH och GARCH kan ge bättre

prognoser för framtida volatilitet, än den betydligt enklare historiska standardavvikelsen kvartstår.

Många prognosmodeller har dessutom utvecklats utifrån empiriska observationer och stiliserad fakta

från ett flertal olika marknader (Nacher & Ochiai, 2012). Då dessa marknader inte fungerar på exakt

samma sätt, så finns det goda skäl att tro att de modeller som bäst fångar volatiliteten i en marknad,

6

inte nödvändigtvis behöver vara den som bäst förutser volatiliteten i annan (Wang & Yang, 2006).

Exempelvis har flera tidigare studier kommit fram till olika resultat för olika marknader och valutapar,

där de använt samma prognosmodeller (Ramasamy & Munisamy, 2012), (Hansen och Lunde, 2005).

Poon och Granger gjorde en omfattande sammanställning av 92 tidigare studier av volatilitet från olika

marknader och med olika metoder, för att på så vis försöka besvara följande frågor: Går det att förutse

volatilitet? Vilken metod ger bäst estimering? Deras slutsats var att volatilitet går att estimera och att

de flesta forskarna hade funnit implicit volatilitet som den bästa skattningen av framtida volatilitet.

Vidare ansåg drygt hälften av de undersökningar som testat historisk volatilitet mot ARCH- och

GARCH-modeller att en enkel historisk volatilitet ger bättre skattning än ARCH- och GARCH-

modellerna, medan resterande undersökningar påstod motsatsen. Överlag tycktes de flesta

undersökningar som jämfört ARCH och GARCH, påvisa att GARCH gav bättre prognoser än ARCH

(Poon & Granger, 2003). En intressant sak med denna studie är att den visar hur mycket blandade

empiriska resultat som uppkommit genom åren, vilket lett till att forskningsfältet fortsätter att

undersökas och kritiseras av olika forskare.

I denna studie har vi valt använda dagskurser för valutaparet SEK/EUR. Valet av den svenska kronan

som valuta, bygger dels på att vi inte sett några tidigare studier för just den valutan, men också för att

den är den nionde mest omsatta valutan i världen (Triennial Central Bank Survey, 2010, s.12).

1.3 Syfte

Vi avser med detta arbete att testa olika ordningar av ARCH, GARCH och EGARCH- modeller, samt

en historisk standardavvikelsemodell för skattning av volatilitet för valutaparet SEK/EUR, för att på så

vis kartlägga vilken eller vilka av dessa modeller som ger bästa skattning av realiserad volatilitet.

1.4 Frågeställning

Kan ARCH, GARCH eller EGARCH-modeller ge bättre skattningar av framtida volatilitet än historisk

volatilitet på valutamarknaden?

1.5 Avgränsning

Vi kommer i denna uppsats endast inrikta oss på att jämföra tidsseriemodeller som estimerar volatilitet

för valutaparet SEK/EUR, där empirin bygger på dagsobservationer och är baserade på mittenkurser

(i.e. mittenpriset mellan köp- och säljkurs). Modellerna som testas är enbart baserad på historiska

kursrörelser under tidsperioden 2004-01-01 - 2012-09-28.

Vidare kommer undersökningen endast att behandla 10-dagarsprognonser för volatilitet.

7

2 Teoretisk referensram

2.1 Tidigare studier

Ett stort antal forskare har genom åren lagt ned stora delar av sina akademiska karriärer på att försöka

finna modeller som bättre kan estimera volatilitet. Många har genom åren påstått sig ha funnit bättre

modeller, samtidigt som åtskilliga skeptiker menar att enkel historisk volatilitet fungerar lika bra som

de mer komplexa modellerna (Daly, 2011). En mängd olika metoder för estimering av volatilitet har

utvecklats och föreslagits genom åren. Lite förenklat kan de vanligaste metoderna kategoriseras in i

fyra olika grupper (Poon & Granger, 2003).

1. GARCH- familjen (e.g. -GARCH, - EGARCH, ARCH)

2. Historiskt volatilitetsmodeller

Olika glidande medelvärden

Historiska standardavvikelser

Slumpvandringar

AR-processer

3. Stokastiska volatilitetsmodeller

4. Implicit volatilitet

Som tidigare nämnts kommer denna uppsats endast att behandla olika modeller ur GARCH-familjen

samt en enkel historisk volatilitetsmodell. För mer ingående förklaringar av övriga modeller se Poon

Granger, 2003, s. 506-508. Nedan följer en genomgång av relevanta studier som gjorts på området och

vilka resultat som framkommit.

Ederington och Guan publicerade en studie endast ett par år efter den ovan nämnda studien av Poon

och Granger, där de menar att GARCH-modeller ger bättre resultat än historiska standardavvikelser. I

deras undersökning, har de främst fokuserat på 40 dagars-prognoser, där de finner de att GARCH

presterar bättre än historisk volatilitet (Ederington & Guan, 2005). Även Nowak & Treepongkaruna,

2008 utförde en studie med prognostester för ARCH- och GARCH-modeller på valutamarknaden.

Deras resultat var mycket blandade och generellt fann de att framtida volatilitet är mycket svårt att

estimera.

Hansen och Lunde 2005 fokuserade sin studie endast på att testa olika modeller ur ARCH-familjen

och totalt testades 330 olika ordningar av ARCH-modeller mot en GARCH (1,1)-modell. Empirin

bestod av valutaparet DEM/USD och IBMs aktieavkastning. För valutaparet fann de ingen empirisk

evidens för att ARCH-modellerna presterar bättre än GARCH (1,1), medan det för aktieavkastningen

hos IBM var resultaten de motsatta. Vidare fann de också att en t-fördelning av den standardiserade

avkastningen generellt överensstämmer bättre för valutaparet, än en Gaussisk fördelning

(normalfördelning), vilket ofta brukar vara fallet i finanseilla tidserier. I analysen av IBM var dock

fallet det motsatta och avkastning tycktes där vara normalfördelad.

8

Figlewski 1997 (b) testade en GARCH (1,1) samt flera historiska volatilitetsmått med olika

tidhorisonter på amerikanska statsobligationer, valutaparet DEM/USD samt S&P 500 aktieindex.

Studien genomfördes dessutom med både dagliga och månatliga kursförändring och fann att GARCH-

modellen gav bättre prognoser för S&P 500 vid användning av dagskurser. För månatlig data och för

de andra marknaderna var dock de historiska modellerna bättre på att skatta framtida volatilitet.

Dunis et al. (2000) testade en mängd olika modeller på valutamarknaden. Bland annat en

GARCH(1,1) historisk stickprovsstandardavvikelse, implicit volatilitet, stokastisk volatilitetsmodell

(SV) samt en AR (10)-modell. Enligt deras studie presterade SV-modellen sämst för alla valutapar. I

övrigt var det ingen modell som konstant var överlägsen för alla valutapar och tidshorisonter som

testades. Utöver att endast testa dessa modeller mot varandra, så testade de även att kombinera

modellerna med varandra och fann då att implicit volatilitet tenderar att förbättra prognoserna i

samtliga fall.

Ett viktigt stiliserat fakta som motiverat utvecklingen av EGARCH-modellen är uppfattningen om att

positiva och negativa prisförändringar på aktiemarknaden leder till olika stor inverkan på volatiliteten.

Denna assymmetriska inverkan på volatilitet brukar ofta förklaras av hävstångseffekten, vilken innebär

att om ett aktiepris går ned, så ökar skuldsättningsgraden i förhållande till marknadsvärdet på eget

kapital. En högre skuldsättningsgrad leder således till högre volatilitet i aktiepriset (Daly, 2011, s. 47

& 52). På en valutamarknad bestäms en valutas värde relativt en annan, vilket innebär att en uppgång i

den ena valutan, leder till en nedgång i den andra valutan och avkastningen bör därför vara

symmetrisk. Vissa studier har dock funnit indikationer på att så inte alltid är fallet och Wang & Yang,

2006 menar att assymmetriska avkastningar kan förekomma även på valutamarknader. Detta förklarar

de med att olika valutor har olika stor betydelse på världsmarknaden. Exempelvis är det fler företag

som använder USD som basvaluta vid beräkning av risker i kassaflöden, än som använder exempelvis

AUD. Ökad volatilitet i valutaparet USD/AUD leder följaktligen till ökad risk i AUD-bestämda

tillgångar, för de bolag som använder USD som basvaluta och vice versa för företag med AUD som

basvaluta. För att skydda sig mot ökad valutarisk, förväntas företag vilja sälja tillgångar i den valuta

som inte är dess basvaluta, vilket i detta exempel skulle leda till att fler vill sälja tillgångar i AUD än

som vill köpa tillgångar i valutan. Effekten blir att AUD deprecierar relativt USD. För valutapar

bestående av två mer jämbördiga valutor (eg. EUR/USD), är denna assymmetriska volatilitetseffekt

mindre eller helt icke existerande (Wang & Yang, 2006).

En nyligen genomförd studie där tre olika metoder för estimering av volatilitet användes (GARCH,

GJR GARCH och EGARCH) samt fyra olika valutor (Australisk dollar (AUD), Singaporiansk dollar

(SGD), Thailändsk baht (THB) och Filippinsk Peso (PHP)), fann de evidens för att de mer volatila

valutorna tenderar att bättre estimeras med dessa modeller (Ramasamy & Munisamy, 2012). I likhet

med Wang & Yang, 2006, så tycks studien indikera att beroende på valutapar, kan vissa modeller ge

9

bättre resultat än andra. Skillnaderna mellan GARCH och de assymmetriska GARCH-modellerna

(EGARCH och GJR GARCH), var dock mycket små, vilket indikerar att assymmetrisk volatilitet inte

tycks existera för de testade valutaparen eller att effekten är mycket svag.

2.2 Teori

2.2.1 Definitioner

Prognos

En prognos syftar till att beskriva ett framtida händelseförlopp. Lite förenklat kan de vanligaste

metoderna vid skapande av prognoser delas in i följande tre grupper: subjektiva, univariata samt

multivariata prognosmetoder. Subjektiva prognoser grundas på uttalanden från exempelvis experter

och analytiker, medan de andra två grupperna (univariata och multivariata prognoser) bygger på

kvantitativ analys av samband mellan variabler. Dessa kvantitativa analyser görs genom

regressionsmodellering som sedan används vid prognostiseringen. Univariata prognoser är uppbyggda

på endast en variabel (enkel regression), där tidigare observationer i responsvariabeln utgör den

förklarande variabeln. Multivariata prognoser innehåller flera variabler och bygger på multipel

regression, där ett antal exogena variabler förklarar responsvariabeln (Chatfield, 2003 s. 73-98).

Volatilitet

Generellt är volatilitet någon form av spridnings- eller riskmått som beskriver kursvängningar hos en

underliggande tillgång. Volatilitet beskriver med andra ord hur mycket värdet på en tillgång avviker

från sitt medelvärde under en given tidsperiod. Volatilitet kan därmed beräknas med varians eller

standardavvikelse. Om en växelkurs har hög volatilitet innebär det att kursfluktuationen är stor, både

uppåt och nedåt. En tillgång med låg volatilitet indikerar däremot att kursen är stabil. Detta innebär att

ju högre volatilitet desto högre blir risken och osäkerheten.

Volatilitet inom finansiella tidserier tenderar att följa fenomenet ”volatility clustering”, dvs. i vissa

perioder har tillgången en hög volatilitet som sedan följs av lugna perioder med låg volatilitet

(Gujarati & Porter, 2009). Volatilitet i sådana tidserier är följaktligen heteroskedastiska, dvs. variansen

är inte konstant och växlar över tiden. Växelkursen tenderar även att följa sådana mönster där en hög

varians under en dag ofta följs av en hög varians nästa dag och vice versa.

Avkastning

En tillgångs avkastning beskrivs som

(2.1)

10

Där är väntevärdet på avkastningen och är residualerna. är en stokastiskt variabel och är

approximativt normalfördelad:

(2.2)

Avkastningens volatilitet definieras som standardavvikelse vid tidpunkt t. kan enligt ovan även

skrivas som

(2.2)

Eftersom är normalfördelad kan vi med hjälp av variabeltransformation sätta lika med noll, vilket

ger

(2.3)

Istället för att göra prognoser direkt på den underliggande tillgången är det vanligt att använda

logaritmerad avkastning (log return) vid konstruktion av finansiella tidsserier. Logaritmerad

avkastning definieras som (Yu, 2002):

(2.4)

Där avser tillgångens värde vid tidpunkt t och är värdet vid tidpunkt . Det finns flera skäl

till att använda logaritmerad avkastning istället för relativ avkastning. Logaritmerad avkastning är till

skillnad från relativ avkastning oberoende om vi uttrycker förändringen i inhemsk eller utländsk

valuta. En annan viktig anledning är att i många fall antas priset på tillgången vara lognormalfördelad.

Genom att logaritmera avkastningen kan även extremvärden (outliers) undvikas (Enders, 1995).

2.2.2 Modeller för estimering av volatilitet

Som tidigare påpekats har flera olika metoder för att estimera volatilitet utvecklats. Nedan följer några

modeller för hur volatilitet kan mätas.

Historisk volatilitetsmodell

En av de enklaste metoderna på att beräkna framtidens volatilitet är att använda historisk volatilitet

som förväntad framtida volatilitet. Historisk volatilitet avser det faktiska utslaget och visar hur

11

volatilitet har varit under en bestämd tidsperiod. Exempelvis är 30 dagars historisk volatilitet

variansen på en tillgångs kursrörelser under de senaste 30 dagarna. Denna metod antar således att

framtida volatilitet är ungefär den samma som den historiska. Nackdelen med denna metod är att

historisk volatilitet anses ge en sämre uppskattning av framtida kursrörelser, till följd av bland annat

fenomenet ”volatility clustering”. Stickprovsvariansen kan beskrivas med följande formel:

(2.5)

Där utgör tillgångens värde vid tidpunkt t av n observationer och är stickprovets väntevärde

(Daly, 2011, s. 48).

ARCH

ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) är en modell som utvecklats av Engle 1982

och är baserad på den betingade variansen. En ARCH-modell bygger på att volatilitet på den

innevarande perioden är relaterad till volatilitet på föregående p perioder.

(2.6)

Modell 2.6 är en ARCH (p) modell där är den uppskattade volatilitet för tidsperiod t. Variabeln

är en konstant och avser den historiska variansen. är den kvadrerade slumptermen för period

, där termen p anger hur många laggar en ARCH-modell innehåller, i.e. antalet uppmätta

volatiliteter som modellen tar hänsyn till. Färre antal laggar av p leder följaktligen till att modellen tar

hänsyn till tillfälliga chocker (kraftiga rörelser mellan observationer) under kortare perioder, vilket gör

att fenomenet ”volatility clustering” får kortare perioder av hög eller låg volatilitet (Daly, 2011, s. 51).

(2.7)

Modell 2.2 är en ARCH (1)-modell och är den vanligaste formen. I detta fall beräknas volatiliteten på

den nuvarande perioden utifrån förgående periodens slumpterm och den historiska variansen.

12

GARCH

GARCH (Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity) är en vidareutveckling av ARCH-

modell och infördes av Bollerslev 1986. Till skillnad från ARCH-modell tar den även hänsyn till

tidigare prognoser.

(2.8)

Modell 2.3 är en GARCH-modell där är olika vikter för hur mycket hänsyn som skall tas för varje

tidigare prognos. är ett reellt och positivt tal. Den enklaste GARCH-modellen är GARCH (1, 1) och

kan skrivas som:

(2.9)

Den innevarande volatiliteten beror förutom på den kvadrerade slumptermen från förgående period,

även på den betingade variansen från förgående period. GARCH-Modeller kan generellt skrivas som

GARCH (p, q) där p är antalet laggar av kvadrerade slumptermer och q är antalet laggar av betingade

varianser.

EGARCH

EGARCH (Exponential GARCH) är som namnet antyder en vidareutveckling av GARCH. Till

skillnad från ARCH- och GRACH-modellerna som tidigare nämnts, är denna ickelinjär, vilket

möjliggör att prisuppgångar och prisnedgångar kan få olika inverkan på den betingade volatiliteten.

Som man kan se i nedanstående funktion, så är den betingande variansen logaritmerad, vilket gör att

parametrarna tillåts anta negativa värden. Modellens assymmetriska egenskaper uppkommer till följd

av

, där negativa värden på koefficienten leder till att positiva prisförändringar får

mindre inverkan på volatiliteten, än negativa (Daly, 2011, s.52-53).

(2.10)

13

2.2.3 Parameterestimering och residualanalys för ARCH- GARCH- och EGARCH-

modellering

Vid skapandet av prognoser genom tidserieanalys, måste parametrarna i modellerna skattas, samt ett

flertal tester utföras för att modellerna ska kunna ge teoretiskt korrekta prognoser. I vissa fall måste

transformationer av tidserien utföras, innan prognoserna kan estimeras.

Stationäritet

Generellt finns det två olika definitioner av stationäritet, strikt stationäritet och svag stationäritet. En

stokastisk process är strikt stationär om den simultana fördelningen är oförändrad över tiden

(Wooldridge, 2008, s. 378-379). Svag stationäritet har däremot som begreppet antyder svagare kriterier.

I denna uppsats kommer endast svag stationäritet att beaktas. För att en tidserie ska vara svagt

stationär måste följande tre villkor vara uppfyllda:

(I)

(II)

(III)

Enklare förklarat är en tidserie stationär om den har konstant medelvärde (I) och konstant varians (II)

över tiden (bortsett från säsongsvängningar). Dessutom beror kovariansen enbart på avstånden mellan

observationerna och inte på läget (III). Med andra ord beror observationerna inte på var i tidsspannet

de ligger. Att en tidsserie blir icke-stationär kan bero på trend, drift och slumpvandring (Box &

Jenkins, 1970). Anledningen till att vi inte kan bygga en regressionsmodell där variablerna är icke-

stationära är att även om variablerna är oberoende kan det uppstå oäkta korrelationer ”spurious

correlations” eller nonsenssamband (Jagdish, 2000, s.214).

Det finns dock flera metoder att undersöka stationäritet i en tidsserie. En enkel metod är att skapa ett

linjediagram. Genom att beakta diagrammen kan vi avgöra om det föreligger växande eller avtagande

trender i tidserien. En annan metod är att bilda ett korrelogram genom autokorrelationsfunktionen

(ACF). Om en tidserie är stationär kommer korrelationerna mellan laggarna vara svaga och avta

snabbt (Gujarati & Porter 2009). Däremot är korrelationerna starka och avtar sakta när tidserien är

icke-stationär. En av de vanligaste metoderna för att undersöka stationäritet är enhetsrotstest (unit-root

test). Augmented Dickey Fuller (ADF) är den form av unit-root test som kommer att behandlas i

denna studie:

(2.11)

Om tidserierna blir icke-stationära kan vi med hjälp av transformationer eller differentiering omvandla

dem till stationära tidserier. Ett exempel på transformation är att logaritmera tidserien:

(2.12)

14

Differentiering skapar stationäritet genom subtraktion av tidigare observationer en eller flera gånger.

Differentiering 1 skapas genom:

(2.13)

Autokorrelation

Autokorrelation för en tidsserie redogör för korrelationerna mellan residualerna vid olika tidpunkter.

Det skiljer sig dock mellan positiva och negativa autokorrelationer. Med hjälp av

autokorrelationsfunktionen (ACF), och partiella autokorrelationsfunktionen (PACF), kan

autokorrealtionen mellan residualerna skildras, där ACF beskriver korrelationen mellan och

vid lagg k. Skattningen av ACF vid lagg k, ges av:

(2.14)

PACF vid lagg k definieras däremot som korrelation mellan och efter när effekten av samtliga

Y-variabler, … , tagits bort, vilket också kan skrivas som

.

Durbin-Watson’s test används för att undersöka om det föreligger positiva och negativa

autokorrelationer vid lägre tidsförskjutningar. Durbin-Watson’s test ges av:

(2.15)

Box-Ljung chi-två test används däremot för att kontrollera att ingen autokorrelation råder i samtliga

laggar. Om det inte föreligger någon som helst autokorrelation i residualerna vid samtliga laggar,

kallas fenomenet för vitt-brus.

Heteroskedasticitet

Att en tidsserie är heteroskedastisk innebär att variansen för observationerna inte är konstant över

tiden. ”Volatility clustering” som råder i finansiella tidsserier är ett exempel på heteroskedasticitet.

Avkastningen skiljer sig emellertid från olika perioder.

15

Heteroskedasticitet kan bland annat testas med ”Q-statistic” test, vilket visar förändringar i variansen

över tiden. Genom att beakta p-värden för respektive lag kan heteroskedasticitet avgöras.

Maximun-Likelihood

MLE (Maximum Likelihood Estimation) är en statistisk metod som används för att hitta skattningar

för parametrar i underliggande sannolikhetsfunktioner eller täthetsfunktioner (Mendenhall, 2008).

Maximum Likelihood-skattningen för avser det värde på parametrarna som maximerar

sannolikheten för det observerade urvalet. ML-metoden kan därmed användas för att uppskatta de

okända parametrarna i ARCH- och GARCH-modellerna.

16

3 Val av empiri

Som tidigare nämnts, så valde vi svenska kronan som valuta, dels för att vi inte sett några tidigare

studier för just den valutan, men också för att den är den nionde mest omsatta valutan i världen. Den

genomsnittliga dagsomsättningen för kronan var 2,2 procent (av totalt 200 procent) av hela

valutamarknaden i april 2010. I förhållande till euron är dock den svenska kronan en ganska liten

valuta på världsmarknaden. Euron stod vid samma period för 39 procent (av totalt 200 procent) av den

totala globala omsättningen på valutamarknaden (Triennial Central Bank Survey, 2010, s.12).

Penningpolitiken i Sverige och Euroområdet är ganska lika. Båda tillämpar flytande växelkurser (IMF,

2008), vilket innebär att centralbankerna i respektive land avhåller sig från att aktivt påverka

valutakursens värde. Istället tillåts valutamarknaden att fritt styra priset på valutan genom utbud och

efterfrågan (Mankiew, 2010, s.345). Tilläggas bör dock att både Sveriges Riksbank och Europeiska

Centralbanken har inflationsmål (IMF, 2008).

Liksom omsättningen för euron, så är även den sammanlagda bruttonationalprodukten (BNP) för

länderna inom euroområdet mycket högre än vad den är i Sverige. Euron bör därmed kunna anses ha

en högre ekonomisk betydelse på världsmarknaden än kronan, vilket enligt tidigare studier indikerar

att assymmetrisk volatilitet bör existera för valutaparet. Även om tidigare studier visat att

assymmetrisk volatilitet är svår att fånga i modeller (Wang & Yang, 2006, s.2), så vore det inte helt

oväntat om den assymmetriska GARCH-modellenen (i.e. EGARCH) ger bättre skattningar av framtida

volatilitet än de symmetriska ARCH och GARCH-modellerna.

17

4 Hypoteser

Med utgångspunkt i tidigare studier och syfte, har följande hypoteser formulerats.

Tidigare studier har påvisat flera olika resultat för estimering av volatilitet. Vissa forskare hävdar att

tidseriebaserade modeller ger bättre skattningar av framtida volatilitet, medan andra hävdar att

exempelvis historisk volatilitet ger lika bra eller bättre skattningar.

o H1: ARCH-, GARCH- och EGARCH-prognoser har mindre prognosfel i förhållande till realiserad

volatilitet än historisk varians.

För vissa valutapar har assymmetriska tidseriemodeller visat sig kunna fånga volatilitet bättre än

linjära ARCH och GARCH-modeller.

o H2: EGARCH-modeller ger mindre prognosfel i förhållande till realiserad volatilitet än ARCH-

och GARCH-modellerna.

18

5 Metod

5.1 Metodologi

Undersökningen kommer att ske med hjälp av kvantitativ sekundäranalys, vilket innebär vi använder

oss av data som sammanställt i annat syfte och som vi sedan kommer bearbeta vidare (Bryman, 2011,

s.300-305). Sekundäranalys lämpar sig mycket bra för denna typ av undersökning, då tillgången för

pålitligt data är stor, samt att mängden data som krävs är omfattande.

Som angetts i syftet så avser studien att testa olika modeller för estimering av volatilitet. Detta

kommer att göras med hjälp av en kvantitativ forskningsstrategi med ett hypotetiskt deduktivt

angreppssätt, där hypoteser formuleras utifrån teorier. Ett sådant angreppssätt leder följaktligen till att

både logik och empiri nyttjas i studien. Det deduktiva angreppssättet bygger på att man utgår från teori

och sedan försöker falsifiera eller styrka redan färdigställda teoretiska modeller (Bryman, 2011, s.25-

28), vilket leder till att studien inte kommer kunna generera några nya teorier. Istället hoppas vi att

med vår undersökning kunna bidra med stöd för användandet av en viss modell och på så vis öka

generaliserbarheten i den.

5.2 Praktiskt tillvägagångssätt

För att kunna skatta den framtida volatiliteten eller de betingade varianserna för valutaparet

EUR/SEK, undersökte vi flera ARCH-och GARCH-modeller med olika ordningar samt modeller som

endast är baserade på historisk varians. Vi gjorde 10-handelsdagarsprognoser, där vi utvärderade

modellernas validitet genom att jämföra prognosdata med de faktiska utfallen av volatilitet. På så vis

kunde vi avgöra vilken modell som stämde bäst överens med verkligheten. Som hjälpmedel använde

vi oss av statistikprogrammet SAS 9.2 i samtliga beräkningar. Referensperioden var mellan 1:a januari

2004 till 28:e september 2012. Prognosen ägde rum mellan 1:a oktober till den 12:e oktober.

Undersökningen bestod av 2 282 observationer. Datainsamlingen skedde genom databasen Thomson

Reuters Datastream, vilket anses vara en tillförlitlig källa. Växelkurserna definierades som mittkursen

per handelsdag, vilket ges av:

(5.1)

Den dagliga avkastningen bestämdes av:

(5.2)

19

Vi testade först om växelkursen var stationär. Vi använde därför Augmented Dickey Fuller (ADF)

enhetsrotstest för att kunna undersöka om tidserien var stationär. Hypotesen var följande:

H0:

Ha:

Vi testade sedan om det rådde positivt respektive negativt autokorrelation med Durbin-Watson test på

signifikansnivå 5% med följande hypoteser:

H0: feltermerna är ej autokorrelerade

Ha: feltermerna är positivt eller negativt autokorrelerade

Vi förkastar H0 om eller . H0 kan ej förkastas om och . Dock

kan inga beslut dras om eller Utifrån p-värdet kunde vi avgöra

om nollhypotesen kunde förkastas.

Vi testade även vitt-brus med Box-Ljung chi-två test med följande hypoteser:

H0: feltermerna är vitt-brus

Ha: feltermerna är ej vitt-brus

Vidare undersökte vi heteroskedasticitet med ”Q-statistic” test, vilket visar variansförändringen över

tiden. Hypotestest för ”Q-statistic”:

H0: residualerna har samma varians

Ha: residualerna har ej samma varians

Sedan testade vi normalitet på residualerna med Kolmogorov-Smirnovs’s test:

H0: feltermerna är normalfördelade

Ha: feltermerna är ej normalfördelade

20

Vi undersökte följande ARCH- och GARCH-modeller:

Konstanterna , och i både ARCH- och GARCH-modellerna är som vi tidigare har nämnt

okända. Vi gjorde därför parameterestimeringar genom Maximum-Likelihood-skattningar.

Parameterskattningar bestämdes utifrån hela urvalet av historiska avkastningar.

Vidare undersökte vi den historiska modellen som var baserad på den faktiska volatiliteten under 5-

dagars tid. Modellen avser som vi tidigare har påpekat endast punkskattning av variansen under en

bestämd tidsperiod. Punktskattningen av ges av:

(5.3)

Problemet med denna metod var att välja en referensperiod som är relevant för de framtida

prognoserna. Risken att ta för långt tidsspann är att vikten läggs på information som inte längre är

aktuell. Detta beror bland annat på att marknaden förändras i avseende på ränta, inflation,

konjunkturläge med mera, vilket gör att dåtidens tillfälliga kurssvängningar blir betydelselösa för de

framtida. Å andra sidan om analysen beaktar för korta tidsperioder kan resultatet bli missvisande

eftersom viktig information saknas, men kan också leda till att extrema observationer får för stora

vikter. Det finns dock ingen metod som kan beräknar den optimala tidsperioden som ger den bästa

punktskattningen. Vi använde därför 5 handelsdagar som referensperiod, vilket också är en vanlig

förekommande tidsperiod vid tidserieprognoser. Skattningen bestod således av . Eftersom

volatiliteten förändras över tiden, gjorde vi om skattningen för varje prognosdag.

21

Realiserad volatilitet beräknade vi genom:

(5.4)

Där och var dagshögsta respektive dagslägsta avkastningen. avser gårdagens avkastning och

är avkastning vid stängning. Detta var dock ett väldigt grovt sätt att räkna variansen för en

handelsdag, vilket också minskar tillförlitligheten på vår studie. Egentligen bör samtliga observationer

under en handelsdag vara inkluderade i variansberäkningen, men det fanns dock ingen tillgänglig

databas som kunde tillhandahålla sådan information.

Totalt undersökte vi nio modeller. Som Goodness-of-fit test använde vi Root Mean Square Percentage

Error (RMSPE), vilket mäter avvikelsen mellan den prognostiserade avkastningarna, och de faktiska

utslagens, i procent. Detta ges av:

(5.5)

22

6 Resultat

I detta kapitel redovisas resultaten för de empiriska studierna.

Figur 6.1 – SEK/EUR:s växelkurs (y-axel) plottad mot handelsdag (x-axel), från 2004-01-01 till 2012-09-28

Figur 6.1 visar SEK/EUR:s växelkurs, från 2004-01-01 till 2012-09-28. Vi kan direkt se att tidsserien

innehåller en trend och kan därmed bli icke-stationär.

6.1 Residualanalys

Figur 4.2 – logaritmerad avkastning (y-axel) plottad mot handelsdag (x-axel), från 2004-01-01 till 2012-09-28

Figur 4.2 visar SEK/EUR:s logaritmerade avkastning från 2004-01-01 till 2012-09-28.

Exchange_Rate

8

9

10

11

12

Date

01/01/2004 01/01/2006 01/01/2008 01/01/2010 01/01/2012 01/01/2014

r

-3

-2

-1

0

1

2

3

Date

01/01/2004 01/01/2006 01/01/2008 01/01/2010 01/01/2012 01/01/2014

23

Stationäritet

Augmented Dickey Fuller (ADF) enhetsrottest visar att växelkursen är icke-stationär (se appendix,

tabell 1 & figur 1). Vi kan även endast genom att betrakta ACF-grafen se att ACF-effekten är stark. Vi

definierade därmed om avkastningen, r, på växelkursen samt gjorde en transformation genom att

logaritmerna avkastningen. Vi kan nu genom ADF-enhetsrot och ACF se att tidserien är stationär (se

appendix, tabell 2 & figur 2). Därmed kan vi med signifikant stöd förkasta nollhypotesen att tidsserien

är icke-stationär.

Autokorrelation

Durbin-Watson test visar att det existerar negativ autokorrelation vid andra laggen mellan residualerna

(se appendix, tabell 3). Nollhypotesen att feltermerna inte är autokorrelerade kan förkastas med ett p-

värde på 0,0022. Box-Ljung chi-två test visar även signifikant stöd för att vi kan förkasta

nollhypotesen om att feltermerna är vitt-brus (se appedix, tabell 4 & figur 4).

Normalitet

Enligt Kolmogorov-Smirnovs testet kan vi inte förkasta nollhypotesen eftersom p-värde är på 0,072.

Det finns med andra ord inget signifikant stöd för att residualerna inte är normalfördelade. Detta kan

också illustreras med hjälp av en Q-Q-plot (se appendix, tabell 5 & figur 5).

Hetroskedacitet

Genom ”Q-statistic” test som visar variansförändringen över tiden kan vi se att tidsserien är

heteroskedastiskt (se appendix, tabell 6). Vi kan därför följaktligen förkasta nollhypotesen. Med ett p-

värde på mindre än 0,0001 för samtliga tolv laggar indikerar att tidsserien är starkt heteroskedastiskt.

24

6.2 Parameterestimering & Prognosutslag

Tabell 4.1 – Parameterestimeringar för respektive ARCH- och GARCH-modeller

Tabell 4.1 visar samtliga maximum-likelihood-parameterestimeringar för respektive ARCH- och

GARCH-modell.

Model

ARCH(1) 0.12369 0.39416 - - - - -

ARCH(2) 0.09225 0.33477 0.23439 - - - -

ARCH(3) 0.06617 0.28331 0.18125 0.24238 - - -

GARCH(1, 1) 0.00112 0.06562 - - 0.92865 - -

GARCH(1, 2) 0.02337 0.15763 0.16516 - 0.45955 0.54322 -

GARCH(2, 1) 0.00168 0.09832 - - 0.34978 - -

GARCH(2, 2) 0.15461 0.09683 0.07634 - 0.00000 0.00000 -

EGARCH(1, 1) -0.01458 0.14675 - - 0.99068 - 0.23215.

25

Tabell 4.2 – realiserad volatilitet och volatilitetsprognoser

Datum Verklig Varians-5 ARCH(1) ARCH(2) ARCH(3) G-H(1, 1) G-H(1, 2) G-H(2, 1) G-H(2, 2) EG-H(1, 1)

1/10 .00002994 .000028211 .000013890 .000033648 .000028842 .000030271 .000030290 .000027447 .000030343 .000032671

2/10 .000019106 .000035911 .000017844 .000021393 .000039409 .000030209 .000030214 .000031430 .000030228 .000032535

3/10 .00004172 .000046431 .000019403 .000024273 .000023944 .000030148 .000030152 .000029161 .000030166 .000032400

4/10 .00000815 .000061756 .000020017 .000022365 .000027534 .000030087 .000030091 .000030308 .000030105 .000032266

5/10 .00001399 .000028566 .000020259 .000022401 .000028310 .000030026 .000030031 .000029590 .000030045 .000032135

8/10 .00000240 .000031587 .000020354 .000021966 .000025432 .000029966 .000029971 .000029891 .000029985 .000032005

9/10 .00000583 .000032837 .000020392 .000021829 .000025627 .000029906 .000029911 .000029636 .000029926 .000031877

10/10 .00001232 .000026289 .000020407 .000021681 .000025348 .000029846 .000029851 .000029685 .000029866 .000031751

11/10 .00002322 .000003797 .000020413 .000021599 .000024607 .000029787 .000029792 .000029568 .000029807 .000031627

12/10 .00000518 .000002477 .000020415 .000021537 .000024394 .000029728 .000029733 .000029542 .000029749 .000031504

Tabell 4.2 visar den realiserade och prognoserade volatiliteten över 10 handelsdagar, från 2012-10-03

till 2012-10-12. Prognoserna bestod av en historisk modell med 5-dagars varians, ARCH(1),

ARCH(2), ARCH(3), GARCH(1,1), GARCH(1,2), GARCH(2,1), GARCH(2,2) samt EGARCH(1,1).

Tabell 4.3 – Root-Mean Square Procent Error

Var-5 A-H(1) A-H(2) A-H(3) G-H(1,1) G-H(1,2) G-H(2,1) G-H(2,2) EG-H(1,1)

RMSPE 465,56% 272,39% 296,91% 355,70% 427,22% 427,30% 425,69% 427,53% 459,95%

Tabell 4.3 visar Goodness-of-fit-testet, Root-Mean Square Percentage Error.

26

7 Diskussion & Slutsats

Utifrån vår testperiod finner vi att våra resultat är i linje med H1 (i.e. ARCH-, GARCH- och

EGARCH-prognoser har mindre prognosfel i förhållande till realiserad volatilitet än historisk varians),

men inte i linje med H2 (i.e. EGARCH-modeller ger mindre prognosfel i förhållande till realiserad

volatilitet än ARCH- och GARCH-modellerna). Då endast en prognos för vardera modell har utförts,

är inte jämförelsetestet signifikant.

Genom RMSPE-test finner vi att vår historiska modell med fem handelsdagars referensperiod, ger

sämre prognoser för volatilitet än samtliga ARCH-, GARCH-modeller som testats under

undersökningsperioden. EGARCH gav oväntat störst prognosfel av ARCH- och GARCH-modellerna

och studien kunde därför inte finna något stöd för att assymmetrisk volatilitet existerar för valutaparet

SEK/EUR. Studien finner därmed inget stöd för att volatiliteten i valutaparet SEK/EUR påverkas olika

beroende på om kursen rör sig uppåt eller nedåt.

Ingen av de testade modellerna tycktes ge särskilt bra skattningar av framtida volatilitet, där de

procentuella medelprognosfelen för den modell som gav bäst prognoser var 272 % samt 466 % för den

modellen som gav störst prognosfel. ARCH (1) var den som gav de minsta prognosfelen, följt av

ARCH (2) och ARCH (3). Desto lägre ordning av ARCH, ju bättre tycks modellen fånga volatiliteten

för valutaparet under undersökningsperioden. Då antalet lagg (p) i en ARCH(p) modell bestämmer hur

långvarig ”volatility clutser”-effekten kvarstår efter en kraftig prisförändring, så indikerar resultaten

för SEK/EUR att volatiliten i avkastningen endast tycks få korta tillfälliga uppgångar vid kraftiga

prisförändringar.

I likhet med Nowak & Treepongkaruna, 2008 fann vi det mycket svårt att spåra och skatta framtida

volatilitet på valutamarknaden. Ingen av de prognosmodeller som testades, tycktes kunna ge

tillfredsställande prognoser för den framtida volatiliteten under testperioden.

27

8 Egenkritik & felkällor

Att beräkna realiserad volatilitet, tycks enligt teorin vara ganska enkelt, men för att korrekt beskriva

denna krävs det att samtliga observationer under en dag vägs in. I praktiken är sådan data mycket svår

att tillhandahålla och istället fick vi konstruera ett mått utifrån den data som kunde erhållas (se

metodkapitlet formel 5.4).

Då studien endast beaktar en 10-dagarsprognos för varje modell, så blir risken för att slump ska

påverkar resultaten stor. Varje tidserieprognos innebär väldigt mycket arbete, vilket lett att vi gjort

denna avgränsning. En mer omfattande studie skulle därför vara önskvärd, då det skulle leda till ökad

generaliserbarhet för resultaten, även utanför testperioden.

28

9 Fortsatt forskning

Till att börja med skulle empirin kunna utökas till att omfatta fler valutapar, för att på så vis kunna

stärka och utvidga underliggande teorier kring stiliserade fakta i finansiella tidserier. Även studier med

högre täthet i empirin (i.e. flera observationer för varje dag) skulle vara intressant att undersöka. Att

endast undersöka 10-dagarsprognoser för volatilitet är en viss begränsning i studien. Exempelvis fann

Ederington & Guan, 2005 (som nämnts i tidigare studier) goda resultat vid användandet av GARCH

(1,1) på 40-dagarsprognoser.

En jämförelse mot den implicita volatilliteten skulle också vara önskvärd, då denna i flera fall har visat

sig ge mycket bra skattning av framtida volatilitet.

29

10 Referenser

Banerjee, Tamal, Ghosh, Mrinal K. & Iyer, Srikanth K., 2012, Pricing credit derivatives, Current Science, VOL.

103, NO. 6

Bharadia M.A.J, Christofides N & Salkin G.R., 1996, A Quadratic Method for the Calculation of Implied

Volatility Using the Garman-Kohlhagen Model, Financial Analysts Journal

Bollerslev, Tim, 1982, Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity, Journal of Econometrics,

vol. 31, pp.307-327,

Box, G.E.P. & Jenkins, G.M., 1970, Time-Series Analysis, forecasting and control, Holden-Day, USA, 23-30

Chatfield, Chris, 2003, The Analysis of Time Series, Chapman & Hall/CRC, USA

Cheong, Chin Wen, Nor, Abu Hassan Shaari Mohd & Isa, Zaidi, 2006, Asymmetry and long-memory volatility:

Some empirical evidence using GARCH, ScienceDirect Physica A, 373 (2007) 651–664

Daly, Kevin, 2011, An Overview of the Determinants of Financial Volatility: An Explanation of Measuring

Techniques, Modern Applied Finance, Vol.5, No.5; October

Dunis, Chris L., Laws, Jason & Chauvin, Stephane, 2000, The Use of Market Data and Model Combination to

Improve Forecast Accuracy, Working Papers, Liverpool Business School

Ederington, L.H. & Guan, W., 2005, Forecasting Volatility, The Journal of Future Markets 25, 465-490.

Engle, Robert F., 1982, Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of Variance of United

Kingdom Inflation, The Econometric Society, vol. 50. no. 1, pp. 987-1007

Figlewski, Stephen, 1997 (a), Derivatives risks, old and new, Economics Working Paper, FIN-98-033

Figlewski, Stephen, 1997 (b), Forecasting Volatility, Financial Markets, Institutions & Instruments, V. 6, N.

NYU, Salomon Center, Blackwell Publishers, 6:1, pp. 1–88

Garman, Mark B. & Kohlhagen, Steven W., 1983, Foreign Currency Option Values, Journal of International

Money and Finance, 231-237

Gujarati D. & Porter D., 2009, Basic Econometrics, McGraw-Hill, Singapore, 5:e uppl, s. 791

Handa, Jagdish, 2000, Monetary Economics, Routledge, London

Hansen, Peter R. & Lunde, Asger, 2005, A Forcast Comparison of Volatility Models: Does Anything Beat a

GARCH (1,1)?, Journal of Applied Econometrics, 20: 873 – 889u

Hull, John C., 2008, Options, Futures and Other Derivatives, Pearson Prentice Hall, 7th

ed.

IMF, 2008, De Facto Classification of Exchange Rate Regimes and Monetary Policy Frameworks,

https://www.imf.org/external/np/mfd/er/2008/eng/0408.htm, [2013-01-02]

30

Latané, Henry A. & Rendleman, Richard J. Jr., 1976, Standard Deviations of Stock Price Ratios Implied in

Option Prices, The Journal of Finance, Vol. 31, No. 2

Mankiew, Gregory N., 2010, Macroeconomics, Worth Publishers, 7th

ed.

Mendenhall W., 2008, Mathematical Statistics with Applications, Brooks/Cole Cengage Learning, 7:e uppl.,

s.476-477

Nacher J.C. & Ochiai T., 2012, Data Analysis Unveils a New Stylized Fact in Foreign Currency Markets,

American Institute of Physics

Nowak, Sylwia & Treepongkaruna, Sirimon, 2008, Modeling and Forecasting Volatility in Foreign Exchange

Markets, Working Paper, JEL Classification: C220; F310; G150

Poon, S.-H. & Granger C., 2003, Forecasting Volatility in Financial Markets: A Review, Journal of Economic

Literature 41, 478-539

Triennial Central Bank Survey, 2010, Report on global foreign exchange market activity in 2010, Bank for

International Settlements, ISBN 92-9197-854-X, http://www.bis.org/publ/rpfxf10t.pdf, [2013-01-02]

Ramasamy, Ravindran & Munisamy, Shanmugam, 2012, Predictive Accuracy of GARCH, GJR and EGARCH

Models Select Exchange Rates Application, Global Journal Inc. (USA), Volume 12 Issue 15 Version 1.0

Wang, Jianxin & Yang, Minxian, 2006, Asymmetric Volatility in the Foreign Exchange Markets, Working

Papers Faculty of Commerce and Economics, University of New South Wales, Sydney

Wooldridge Jeffrey M., 2008, Introductory Econometrics: A Modern Approach, South-Western; 4:e uppl.

Yu J., 2002, Forecasting volatility in the New Zealand stock market, Applied Financial Economics, vol 12, pp.

193-202

31

11 Appendix

Tabell 1 – Augmented Dickey Fuller (ADF) enhetsrotstest för växelkursen

Augmented Dickey-Fuller Unit Root Tests

Type Lags Rho Pr < Rho Tau Pr < Tau F Pr > F

Zero Mean 3 -0.0916 0.6622 -0.4132 0.5342

Single Mean 3 -5.7054 0.3720 -1.5108 0.5286 1.1941 0.7652

Trend 3 -5.5848 0.7772 -1.4804 0.8361 1.6376 0.8498

Figur 1

Figur 1.1 – visar studentized residualer mot observationer

Figur 1.2 – visar SEK/EUR:s växelkurs plottad mot handelsdag

Figur 1.3 – visar Cooks distance för varje observation

Figur 1.4 – visar residualernas fördelning

Figur 1.5 – visar autokorrelationsfunktionen (ACF)

Figur 1.6 – visar partiella autokorrelationsfunktionen (PACF)

32

Tabell 2 – Augmented Dickey Fuller (ADF) enhetsrotstest för logaritmerad avkastning

Augmented Dickey-Fuller Unit Root Tests

Type Lags Rho Pr < Rho Tau Pr < Tau F Pr > F

Zero Mean 3 -3069.1369 <.0001 -25.5385 <.0001

Single Mean 3 -3070.9644 <.0001 -25.5365 <.0001 326.0560 <.0010

Trend 3 -3091.9532 <.0001 -25.5683 <.0001 326.8679 <.0010

Figur 2

Figur 2.1 – visar studentized residualer mot observationer

Figur 2.2 – visar logaritmerad avkastning plottad mot handelsdag

Figur 2.3 – visar Cooks distance för varje observation

Figur 2.4 – visar residualernas fördelning

Figur 2.5 – visar autokorrelationsfunktionen (ACF)

Figur 2.6 – visar partiella autokorrelationsfunktionen (PACF)

33

Figur 3 – visar invers partiell autokorrelationsfunktionen (IPACF)

Tabell 3 – Durbin-Watson test av autokorrelation

Durbin-Watson Statistics

Order DW Pr < DW Pr > DW

1 1.9344 0.0587 0.9413

2 2.1183 0.9978 0.0022

3 1.9986 0.5034 0.4966

4 2.0864 0.9833 0.0167

Pr < DW och Pr > DW är p-värdet på Durbin-Watson test för positiv respektive negativ

autokorrelation.

34

Tabell 4 – Box-Ljung chi-två-test för vitt brus

Autocorrelation Check for White Noise

To Lag Chi-Square DF Pr > ChiSq Autocorrelations

6 24.49 6 0.0004 0.033 -0.061 -0.001 -0.045 -0.060 0.019

12 38.57 12 0.0001 0.062 0.008 0.014 -0.042 -0.016 -0.002

18 56.98 18 <.0001 0.027 0.018 -0.027 0.016 0.074 -0.021

24 67.26 24 <.0001 -0.045 -0.033 -0.015 -0.012 -0.010 0.030

Figur 4 – Sannolikhetsgraf för vitt brus

Tabell 5 – Kolmogorov–Smirnov’s test på normalitet för residualerna

Tests for Normality

Test Statistic p Value

Kolmogorov-Smirnov D 0.069084 Pr > D <0.072

35

Figur 5 – Q-Q plot av residualerna för avkastning, r

Tabell 6 – “Q-statistic” test; test av hetroskedacitet

Tests for ARCH Disturbances Based on OLS Residuals

Order Q Pr > Q LM Pr > LM

1 193.6474 <.0001 193.4016 <.0001

2 304.6573 <.0001 239.2775 <.0001

3 413.6876 <.0001 276.3112 <.0001

4 587.1435 <.0001 343.6769 <.0001

5 808.3031 <.0001 412.9614 <.0001

6 979.8790 <.0001 439.1465 <.0001

7 1128.5322 <.0001 455.7909 <.0001

8 1269.4891 <.0001 467.2219 <.0001

9 1444.5005 <.0001 485.6866 <.0001

10 1676.3551 <.0001 519.8510 <.0001

11 1822.5556 <.0001 522.9979 <.0001

12 1966.4395 <.0001 528.4191 <.0001