estruturas algebricas i

EstruturasAlgébricas I

São Cristóvão/SE2009

Natanael Oliveira Dantas

Projeto Gráfico e CapaHermeson Alves de Menezes

Elaboração de ConteúdoNatanael Oliveira Dantas

Dantas, Natanael OliveiraEstruturas Algébricas I/ Natanael Oliveira Dantas --

São Cristóvão: Universidade Federal de Sergipe,CESAD, 2009.

Copyright © 2009, Universidade Federal de Sergipe / CESAD.Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e grava-da por qualquer meio eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem aprévia autorização por escrito da UFS.

FICHA CATALOGRÁFICA PRODUZIDA PELA BIBLIOTECA CENTRALUNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE

Estruturas Algébricas I

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Núcleo de TutoriaRosemeire Marcedo Costa (Coordenadora)Carla Darlem Silva dos ReisAmanda Maíra SteinbachLuís Carlos Silva LimaRafael de Jesus Santana

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Núcleo de Formação ContinuadaAndrezza Maynard (Coordenadora)Elisabete Santos

Assessoria de ComunicaçãoGuilherme Borba Gouy

AULA 1A estrutura de domínio ordenado dos números inteiros ..................... 01

AULA 2Algorítmo da divisão e Máximo Divisor Comum................................. 07

AULA 3Fatoração única e congruências ....................................................... 14

AULA 4O conceito de grupo.......................................................................... 21

AULA 5Grupos quocientes ............................................................................ 28

AULA 6Homomorfimos de grupos ................................................................. 35

AULA 7Mais sobre o grupo simétrico ............................................................ 42

AULA 8P-Grupos e o Teorema de Cauchy .....................................................49

AULA 9Os teoremas de Sylow...................................................................... 55

AULA 10O conceito de anel..........................................................................61

Sumário

Aula 01A ESTRUTURA DE DOMÍNIO ORDENADO DOS NÚ-MEROS INTEIROS

META

Discutir as principais propriedades da estrutura de domínio bem ordenado dos nú-meros inteiros.

OBJETIVOS

Ao final desta aula, o aluno deverá:

Aplicar as propriedades da estrutura de domínio dos inteiros na demonstração de outras proposições decorrente destas.

Aplicar o princípio de indução na resolução de problemas referentes a números naturais.

PRÉ-REQUISITOS

O pré-requisito para esta aula é o curso de Fundamentos de Matemática. Portan-to, disponibilize as aulas impressas desta disciplina e as consulte sempre que você necessite.

1

INTRODUÇÃO

Seja bem-vindo, prezado aluno! Esta aula é o início da nossa jornada rumo ao universo das estruturas algébricas.Tradicionalmente, a matemática divide-se em três grandes áreas: a Ál-gebra, a Análise e a Geometria/Topologia. Entretanto, tal tricotomia está cada vez mais se descaracterizando tanto pelo aparecimento de outros segmentos que não se encaixam unica-mente em uma destas quanto pela necessidade de novas técnicas. Outro fator é a interface en-tre áreas dando origem a novas teorias. Por exemplo, topologia algébrica é a interface entre ál-gebra e topologia. É importante que você, futuro professor, tenha uma boa preparação em cada uma destas áreas e, este é o primeiro dos dois cursos de Álgebra dos currículos dos cur-sos de Matemática da UFS.

A palavra Álgebra vem de um manuscrito árabe de cerca de 800 a.C., que estabelece leis para a resolução de equações e, até a segunda metade do século XIX, a Álgebra era vista ape-nas como uma teoria de equações. Atualmente, a álgebra é mais do que isto; trata-se da área da Matemática que lida com conjuntos munidos de operações e relações formais chamados estru-turas algébricas. É uma coleção de modelos abstratos provindos até mesmo de outras áreas da Matemática e ciências afins.

Os objetos da Álgebra são classificados de acordo com os tipos de operações que neles podem ser efetuadas e pelas propriedades das quais gozam tais operações. Grupos, anéis, ide-ais, espaços vetoriais, módulos e corpos são exemplos de como um conjunto pode ser estrutu-rado algebricamente.

Em regra, um primeiro curso de Álgebra trata das estruturas de grupos e anéis. Deste modo, são estes os conteúdos presentes neste curso. Nas três primeiras aulas apresentaremos informalmente os números inteiros e discutiremos suas primeiras propriedades. Tal aborda-gem servirá de modelo no estudo de grupos e anéis.

A ESTRUTURA DE DOMÍNIO DOS INTEIROS

No conjunto dos inteiros estão definidas a adição e a multiplicação. Tais operações sa-tisfazem as seguintes propriedades:

i) Associativa da adição. , .

ii) Comutativa da adição. , .

iii) Existência do elemento neutro para a adição. Existe em , o zero, tal que , para todo

iv) Existência do oposto. Para cada existe tal que .

2

v) Distributiva da multiplicação em relação à adição. , e .

vi) Associativa da multiplicação. .

vii)Comutativa da multiplicação. .

viii) Existência do elemento neutro para a multiplicação. Existe em , o um, , tal que, , para todo .

ix) Integridade. Se e então ou .

Futuramente, na aula 10, estudaremos os anéis que são estruturas algébricas das quais o conjunto dos números inteiros munido das operações adição e multiplicação verificando às cinco primeiras propriedades aqui exibidas, é um exemplo. Os inteiros munidos destas opera-ções verificando às oito primeiras propriedades é chamado um anel comutativo com identida-de e como verifica também a nona è chamado um domínio de integridade.

Definição 1. Nos inteiros, definimos a diferença entre dois elementos , (nesta ordem), como sendo o inteiro .

Decorrem da estrutura de domínio de integridade dos inteiros as propriedades contidas na

Proposição 1.

i) Os elementos neutros 0 e 1 são únicos.

ii) Cada inteiro tem um único oposto.

iii) .

iv) .

Demonstração. i) Se existissem tais que para cada então, em particular, teríamos

e e da comutatividade da adição, . Portanto, o elemento neutro da adição é único.

A demonstração da unicidade do elemento neutro da multiplicação é análoga à, feita aci-ma e deixaremos como atividade.

ii) Dado , suponhamos que existam tais que . Podemos es-crever: donde segue a unicidade.

3

iii) Dado notemos que . segue que e

têm o mesmo oposto logo, donde temos

que .

iv) Vamos provar que . Com efeito, notemos que

. Segue que é um oposto de . Da uni-

cidade do oposto, temos que .

O caso é semelhante e deixaremos como atividade.

A BOA ORDENAÇÃO DE .

Em existem a relação de ordem total e o conceito de valor absoluto , que admiti-remos com suas propriedades básicas visando estabelecer resultados futuros. Neste sentido va-mos assumir inicialmente o principio da boa ordem.

Principio da boa ordem: Todo subconjunto não vazio de de elementos não negativos possui elemento mínimo.

Exemplo 1. Para , .

Proposição 2. Não existe inteiro tal que .

Demonstração: Suponhamos que exista um inteiro tal que . Então o conjunto é não vazio e do princípio da boa ordem existe .

Como segue que donde temos que , contradizendo a minimalidade de .

Proposição 3. (Indução – 1ª forma) Seja uma sentença aberta sobre para a qual valem:

i) é verdadeira;

ii) Se é verdadeira então é verdadeira.

Portanto, é verdadeira para todo pertencente a .

Demonstração: Seja o conjunto dos inteiros não negativos para os quais seja falsa, e suponhamos que . Do princípio da boa ordem existe . Segue de i) que

, isto implica que donde segue que é verdadeira. Finalmente por ii) temos que o que é uma contradição. Portanto e a de-monstração está concluída.

4

Proposição 4. (Princípio de indução – 2ª forma). Seja uma sentença aberta para a qual va-lem:

i) é verdadeira;

ii) Para cada é verdadeira para implica verdadeira.

Então é verdadeira para todo .

Demonstração: Se esta proposição não fosse verdadeira, então existiriam uma sentença aberta sobre , verificando i) e ii) e um para a qual seria falsa. Supondo o menor na-

tural com tal propriedade, então e com , seria verdadeira. Por “ii)”, seria verdadeira, uma contradição.

Observação: Não é difícil perceber que nas proposições 6 e 7, o domínio da sentença abertas pode ser um conjunto do tipo onde é um inteiro pré-fixado.

Definição 2. Dados a potência de base e expoente , pondo

Exemplo 2.

Exemplo 3. Para cada , vamos usar o princípio de indução para provar que . Notemos que para , temos e, a expressão é

verdadeira. Admitamos agora, por hipótese, que para a expressão acima é verdadeira e, vamos provar que isto implica na veracidade da expressão para . Com efeito,

. Portanto, a expressão acima é verdadeira .

5

Exemplo 4. Usando indução, vamos provar que . Para tal, caro aluno, vamos escolher um entre e , para usar indução, digamos e fixar a e

(embora arbitrários). Com efeito, para , temos e . Logo , ok! Suponhamos agora, por hipótese que e vamos

olhar para . Ora, por definição, , logo,

Resumindo: para e arbitrários, a propriedade é válida para e ser válida para implica ser válida para . Logo do princípio de indução é válida . Sendo

e arbitrários, podemos concluir que a mesma é verdadeira.

Definição 3. O domínio , numido da relação de ordem total para a qual vale o princi-pio da boa ordem dá a uma estrutura algébrica chamada, domínio bem ordenado.

RESUMO

Nesta primeira aula, aprendemos as primeiras propriedades dos números inteiros onde discutimos sua estrutura de domínio ordenado onde apresentamos os princípios da boa ordem e de indução que serão pré-requisitos fundamentais das próximas aulas.

ATIVIDADES

1. Provar que a única solução em da equação, , na variável é .

2. Provar que, em , as únicas soluções da equação são .

3. Provar que

4. Usando o princípio de indução, provar que:

a) .

b) .

COMENTÁRIOS DAS ATIVIDADES

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Caro aluno, se você aprendeu as propriedades da estrutura de domínio dos inteiros em especial a existência e unicidade do oposto de cada inteiro e integridade então você resolveu corretamente as primeira e segunda atividades.

Na terceira atividade você deve ter usado o item iv) da proposição 1.

Na quarta atividade, para resolvê-la, você deve ter aplicado indiretamente algumas das nove propriedades da estrutura de domínio e ter aprendido que na aplicação do princípio de indução, testa-se a veracidade da sentença aberta no primeiro elemento do conjunto, assume que a mesma é verdadeira para um elemento genérico do conjunto e com esta hipótese justifi-ca que a mesma é verdadeira também para o sucessor deste elemento, concluindo finalmente que a sentença é verdadeira para todos os elementos do conjunto em apreço.

REFERÊNCIAS

GONÇALVES, Adilson. Introdução à álgebra. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2007. 194 p. (Projeto Euclides) ISBN.

HUNGERFORD, Thomas W. Abstract algebra: an introduction. 2nd. ed. Austrália: Thomson Learning, ©1997.

HEFEZ, Abrumo. “Curso de Álgebra, Vol. I” Coleção matemática Universitária.

GARCIA, Arnaldo; LEQUAIN, Yves. Elementos de álgebra. 3. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2005. 326 p. (Série: Projeto Euclides).

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Aula 02ALGORITMO DA DIVISÃO E MÁXIMO DIVISOR CO-MUM

META

Apresentar o algoritmo da divisão e estabelecer o conceito de máximo divisor co-mum.

OBJETIVOS

Definir a relação de divisibilidade em .

Aplicar as propriedades da relação de divisibilidade.

Efetuar divisões com resto pequeno em .

Resolver problemas que envolvam o conceito de máximo divisor comum de inteiros.

Calcular o máximo divisor comum de dois inteiros usando o algoritmo de Euclides.

PRÉ-REQUISITOS

O curso de Fundamentos de Matemática e a primeira aula.

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INTRODUÇÃO

Olá! Que bom encontramos novamente! Espero que você tenha gostado e entendido a nos-sa primeira aula. Nela estudamos a estrutura de domínio ordenado dos inteiros onde discutimos várias das suas propriedades.

Nesta aula, daremos continuidade ao estudo destes números onde o resultado central é o al-goritmo da divisão. Estabelecemos também o conceito de máximo divisor comum de inteiros cuja existência é uma conseqüência imediata do algoritmo da divisão.

A RELAÇÃO DE DIVISIBILIDADE E O ALGORITMO DA DIVISÃO

Definição 1. Dados , dizemos que divide se existe um inteiro tal que . Di-zemos também que é um divisor de e ainda, que é um múltiplo de .

Escrevemos: .

Assim, tal que

Indicamos a negação de que divide escrevendo .

Exemplo 1. , pois existe tal que .

Proposição 1. São verdadeiras:

i) .

ii) Se e então .

iii) Se e então .

iv) Se então .

v) Se então .

vi) Se e então .

Demonstração: Os itens i,ii e iii fazer como atividade.

iv) Existem tal que , logo, .

Como é um inteiro segue que .

v) tal que tal que . Assim, . Temos então ou . No

primeiro caso, e no segundo, .

8

vi) Como temos que e existe positivo, tal que

, logo .

Proposição 2. (Algoritmo da divisão). Sejam sendo . Existem únicos tais que e .

Demonstração: Vamos supor inicialmente que . Para isto, consideremos o conjunto de nú-meros inteiros . Então, é não vazio ( e do princí-pio da boa ordem existem e tais que . Ou melhor, existem tais que e . Além disto, , pois se assim não fosse, teríamos

e , contrariando a minimalidade de . Quanto às unicidades de e ; suponhamos que existam tais que

e . Então e .

Se , temos donde segue que . Analoga-mente, se , e como segue que . Portanto e conseqüentemente, .

Finalmente, se , temos e da primeira parte existem únicos tal

que e . Tomando e , temos a demonstração, concluí-da.

Exemplo 2. Para e , o único par de inteiros que verifica o algoritmo da divisão é e .

Os inteiros , referidos no algoritmo da divisão são chamados, respectivamente, divi-dendo, divisor, quociente e resto. A operação que associa a cada par o par é chama-da divisão e, quando dizemos que a divisão é exata.

O MÁXIMO DIVISOR COMUM

Apesar de nem sempre ser possível dividir um inteiro por outro, de modo exato, o algorit-mo da divisão nos garante em , uma divisão. Esta propriedade implica em resultados algébricos notáveis e, o primeiro deles é a existência do máximo divisor comum que discutiremos agora.

Definição 2. Seja um subconjunto não-vazio de . Dizemos que é um ideal se cumpre às se-guintes condições:

i)

ii) .

Notamos que .

9

Se , por ii, e, por i, .

Os conjuntos e são evidentemente ideais.Estes ,são chamados os ideais triviais de .

Exemplo 3. Seja e seja o conjunto de todos os múltiplos de . Este conjunto é um ideal de , chamado ideal principal gerado por . Com efeito, é fácil

ver que a diferença entre dois múltiplos de é o produto de um inteiro por um múltiplo de , são múltiplos de .

Observação: É comum usar as notações para indicar o ideal .

Exemplo 2.2.4: Sejam . O conjunto é um ideal, chamado ideal gerado por

.

Sejam , então, existem tais que , logo,

e como cada para é inteiro, segue que .

Se e então e como cada para é inteiro segue

que .

A proposição a seguir estabelece que todo ideal de é, na verdade, o conjunto de múltiplos de algum inteiro.

Proposição 3. Todo ideal de é principal.

Demonstração: Seja um ideal não nulo. Evidentemente e do principio da boa ordem existe .

Afirmamos: . Com efeito, pois . Seja a um elemento arbitrário em , do algoritmo da divisão existem tais que e .

Sendo , temos . Como segue que e, .

Portanto, , como queríamos demonstrar.

Definição 3. Dados , não todos nulos, o máximo divisor comum de é, por definição, o maior dos divisores comuns de .

10

Denotamos: .

Proposição 4. Sejam não todos nulos. Então o é o gera-dor positivo do ideal .

Demonstração: Seja tal que . Como, para cada , , segue que e conseqüentemente é um divisor

comum de .

Seja um outro divisor comum de . Como, existem tais que (esta relação é conhecida como for-

ma linear do máximo divisor comum). Desta relação segue que e . Logo,

.

Observação: A proposição acima garante que dados quaisquer não todos nulas existe sempre o e, na sua demonstração vimos também que a equação dio-fantina (equação algébrica que tem como universo de soluções números inteiros)

, tem solução.

Definição 4. Se não são todos nulos e , dizemos que são relativamente primos, primos entre si ou ainda, coprimos.

Exemplo 5. Se são inteiros para os quais existem tais que então esses inteiros são relativamente primos. Com efeito, notemos pri-

meiro que não podem serem todos nulos, portanto, existe tal que

. Mas, da definição , logo,

, isto é, donde concluímos que .

Exemplo 6. Se , desde que existam, . Escrevendo

e , vamos provar que e que e, como estamos tratando

de números positivos concluiremos que ! Como temos que ou seja .

Logo, . Analogamente, . Isto implica que e isto implica, ainda, que .

Como temos que .

Proposição 2.2.5. (Algoritmo de Euclides para o cálculo do mdc). Sejam com . Sejam sucessivas divi-sões tais que . Então .

Demonstração: Segue do exemplo anterior que

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RESUMO

Nesta aula, estabelecemos o algoritmo da divisão, definimos o máximo divisor de dois ou mais inteiros e demonstramos a existência do máximo divisor comum como conseqüência do al-goritmo da divisão.

ATIVIDADES

1. Sejam tais que é par. Provar que também é par.

2. Ache tais que , e .

3. Se são tais que é um múltiplo de , prove que também o é.

4. Prove que para todo inteiro positivo :

a) .

b) .

5. Determine tais que e .

6. Dados , , prove que existem únicos tais que e .

7. Sejam . Prove que .

8. Sejam e suponha que existem tais que . Provar que .

9. Se são tais que e , prove que e têm paridades diferentes e que é impar.

10. Sejam . Defina como sendo o menor múltiplo comum positivo de e . Se , prove que .

11. Use o algoritmo de Euclides para calcular .


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Caro aluno, se você fez a primeira e segunda atividade, então entendeu a relação de divisibi-lidade. Quanto à terceira atividade, conseguiu? Então, além de entender a relação de divisibilidade você foi capaz de escrever como sendo o produto e usando a

hipótese de que , concluir que .

Se você fez a quarta atividade, então você ou usou o principio de indução em ou usou mais uma vez uma fatoração de tipo .

Quanto as quinta e sexta atividades, você deve ter usado fortemente, o algoritmo da divisão.

Se você resolveu as sétima e oitava atividades então, usou a definição de máximo divisor co-mum e deve ter usado o fato de que se então .

Na nona atividade, você deve ter notado que quadrado preserva a paridade e que soma de inteiros de mesma paridade é par.

Na décima atividade se você conseguiu fazê-la, deve ter usado preliminarmente que

e depois que divide todos os múltiplos comuns de e .

Finalmente, a décima primeira atividade é uma aplicação direta do algoritmo da divisão e você não deve ter tido nenhuma dificuldade nesta atividade.

Se você não conseguiu resolver alguma destas atividades, reveja os conteúdos discutidos na aula e lembre-se que os tutores estão disponíveis para ajudar a tirar suas dúvidas.

REFERÊNCIAS



HEFEZ, Abrumo. “Curso de Álgebra, Vol. I” Coleção matemática Universitária.


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Aula 03FATORAÇÃO ÚNICA E CONGRUÊNCIAS

META

Apresentar a estrutura de domínio fatorial e estabelecer o conceito de congruência em .

OBJETIVOS

Definir número inteiro primo bem como reconhecer suas propriedades básicas.Aplicar o teorema fundamental da Aritmética na demonstração de propriedades rela-tivas à fatoração em .Definir congruência e aplicar, mas propriedades na resolução de problemas de Arit-mética.

PRÉ-REQUISITOS

O curso de Fundamento de Matemática e os conteúdos discutidos nas duas primei-ras aulas.

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INTRODUÇÃO

Olá, caro aluno! Estamos aqui, mais uma vez. Espero que você tenha compreendido todos os conteúdos discutidos nas aulas anteriores, pois a compreensão desta aula e de diversos tópicos das aulas futuras depende do conhecimento desses conteúdos.

Dividimos esta aula em duas partes onde, na primeira discutiremos a estrutura de domínio fatorial dos inteiros, definindo número primo e estabelecendo suas primeiras propriedades. Na segunda parte, estabeleceremos a relação da congruência em , apresentando as propriedades da divisibilidade de um modo bastante simples. Finalizaremos a aula, aproveitando o fato da relação de congruência ser uma relação de equivalência em e apresentando a estrutura de anel comuta-tivo das classes residuais.

FATORAÇÃO ÚNICA

Definição 1. Dizemos que um inteiro é primo se e toda vez que divide um produto ele divide um dos fatores.Exemplo 1. O inteiro não é primo. Notemos que embora , divide , não divide 3 e nem divide . O número é primo, pois e sempre que com e inteiros, ou é múltiplo de .Proposição 1. Seja -1,0,1}. Uma condição necessária e suficiente para que seja primo é que seu conjunto de divisores seja .Demonstração: (Suficiência). Sejam com primo e . Segue que , logo,

. Se , existe tal que e neste caso temos que implica e conseqüentemente e . Se, , analogamente existe tal que e donde temos e . Portanto, o conjunto dos divisores de é

. (Necessidade). Suponhamos que o conjunto dos divisores de seja e que onde . Vamos provar que . Com efeito, se , do fato de que os únicos divisores de são e p e que , temos que . Logo existem

tais que e por conseguinte, .como e segue que .Observação: Notemos que todo admite como divisores. Estes são os chama-dos divisores triviais de . Se e não é primo além dos divisores triviais, tem outros divisores, chamados divisores próprios.Exemplo 2. Os divisores de são e . Os números e são os divisores próprios de .

Um inteiro não nulo que tem divisores próprios é comumente chamado composto.Proposição 2. (Teorema fundamental da Aritmética). Todo inteiro Pode ser escrito na forma onde e são inteiros primos positivos não necessariamente distintos. Além disto, a expressão , a menos da ordem dos fatores é única. Demonstração: Vamos inicialmente provar a existência da expressão , usando indução em .

Para ; temos e ou seja ok!Seja e suponhamos que , , passar ser escrito como um

produto de primos e, usando este fato, vamos provar que o mesmo acontece com . Se é pri-mo ok! ( e, se não é primo, existem , com e

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. Como por hipótese de indução podem ser escrito na forma , segue que também pode. Portanto, todo inteiro maior do que pode ser escrito na forma .

Quanto à unicidade, dado , suponhamos que

Onde e são inteiros primos positivos, não necessariamente distintos. Vamos provar que e que após uma reordenação (se necessário), . Com efeito, como é primo e segue que tal que (como ativida-de, usando a definição de primo e indução, prove isto). Após uma reordenação (se necessária), podemos supor que e da expressão temos que

Sendo primo e como , segue que para algum .

Como antes, podemos assumir e a expressão nos leva a

Prosseguindo de modo análogo e supondo, que ,chegaremos à expressão

que é, um absurdo, pois nenhum primo divide . Portanto, .Também, se fosse , de , chegaríamos a uma expressão do tipo

o que seria absurdo.Portanto, e, menos da ordem dos fatores, , como queríamos

demonstrar.Observação: É fácil ver que no teorema fundamental da Aritmética, poderíamos ter tomado

e escrito onde são primos positivos ou negativos, não necessariamente distintos.

Para , a expressão

Onde são primos positivos tais que e são intei-ros positivos, é chamada fatoração canônica em primos positivos do inteiro .

Vimos aqui que do ponto de vista da divisibilidade, os números primos são bastante simples, têm apenas quatro divisores e o teorema fundamental da Aritmética afirma que a menos de multi-plicação por e ordem dos fatores, todo inteiro pode ser escrito como um produto de números primos. Uma pergunta que você, caro aluno, pode fazer é a seguinte; para gerar todos os inteiros , através de produtos precisamos de quantos números primos? Esta resposta é dada pela seguinteProposição 3. O conjunto dos números primos é infinito.Demonstração: Vamos, por absurdo, supor que o conjunto dos números primos positivos seja fi-nito. Digamos

e construamos o inteiro . Do teorema fun-damental da Aritmética existe um tal que e como segue que (pois

). Temos então um absurdo. Portanto existem infinitos primos positivos e conseqüentemente, infinitos inteiros primos.Observação. Os números primos é até hoje um conteúdo bastante estudado pelos matemáticos, por exemplo, a distribuição dos primos é tão irregular que você pode encontrar dois primos ím-pares consecutivos e dado um natural , qualquer, a seqüência de inteiros consecutivos

é fornada apenas por inteiros compostos.Dado um inteiro cujo numeral indo-arábico tem muitos algarismos, decidir se o inteiro é pri-

mo ou não é até hoje uma tarefa bastante difícil.

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CONGRUÊNCIAS

Definição 1. Seja . Dizemos que os inteiros e são congruentes módulo se é um múltiplo de e escrevemos Exemplo 1. , , .Notemos que .Negamos escrevendo (neste caso, ).Proposição 1. Dados e , são equivalentes:i)ii) Os inteiros e quando divididos por deixam o mesmo resto.

Demonstração: i⟹ii. Existem tais que e

. Segue que .

Como temos que . Do fato de que , segue que e como conseqüência temos ou .

ii⟹i. Existem com tais que e . Então

, ou seja, .

Exemplo 2. Como seguem que e quando divididos por deixam o mesmo resto: e . Proposição 2. Sejam sendo . Valem:i) . ii) iii) iv) v) vi)

Demonstração:i) ii) iii) .iv) Como temos que ou seja, .v) Novamente, , logo existe tais que

tal que , ou seja .

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vi) Notemos que como segue que , ou seja, .

Exemplo 3. Vamos determinar o resto da divisão de por . Notemos que . Isto implica que ou seja, que

. Como segue que . Assim, quando divididos por deixam o mesmo resto que evidentemente, é . Este exemplo mostra que a relação de congruência torna as propriedades da divisibilidade facilmente manipuláveis tor-nando menos trabalhoso este tipo de cálculo.

Notemos que os itens i), ii) e iii) da proposição anterior mostraram que a relação de con-gruência módulo um inteiro positivo é uma relação de equivalência no conjunto dos números inteiros.

Dados e , a classe de módulo esta relação de congruência, é cha-mada classe residual de módulo e indicamos por . Indicamos o conjunto quociente (des-tas classes) por .

Proposição 3. Para cada , onde a cardinalidade de é .

Demonstração: Dado , do algoritmo da divisão existem tais que e . Segue daqui que , ou seja, que . Isto mostra que

.Agora, sejam . Se então de modo que

e lembrando que , segue que . Portanto tem exata-mente classes residuais.

Vamos definir em , duas operações uma adição e uma multiplicação pondo:.

Proposição 4. As operações de em de adição e multiplicação estabelecidas acima es-tão bem definidas. Ou seja, não dependem dos representantes das classes.

Demonstração: sejam e . Então e b . Então donde temos que .

Proposição 5. As operações de adição e de multiplicação acima definidas no conjunto verifi-cam às seguintes propriedades:i) ii) iii) tal que iv) tal que v)vi) vii) viii) tal que

Demonstração: (será deixada como atividade)Comentário munido das oito propriedades acima é um dos primeiros exemplos

dos anéis comutativos finitos que estudaremos futuramente.

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RESUMO

Caro aluno, nesta terceira aula discutimos inicialmente o conceito de número primo onde demonstramos o teorema fundamental da Aritmética e como primeira conseqüência deste teore-ma concluímos que existem infinitos números primos. Por fim, estabelecemos o conceito de con-gruência que é uma forma simples de apresentar propriedades da divisibilidade. Usando a relação de congruência em exibimos os anéis conhecidos também como os anéis das classes de res-tos, construindo com isto um dos primeiros exemplos de anéis finitos, terminando com esta aula o estudo dos números inteiros necessário na composição dos pré-requisitos para as aulas futuras.

ATIVIDADES

1. Sejam e b onde são primos posi-tivos distintos e . Se e prove que e

2. Seja , um número ímpar. Prove que ou .

3. Sejam onde Prove que se então .

4. Sejam tais que ou é não nulo. Prove que a equação diofantina tem solução se, e somente se, . Se é uma solução, prove que todas as outras podem ser postas na forma , onde .

5. Encontre todos os tais que.a) .b) .

6. Seja um primo e um inteiro. Prove que é um múltiplo de .

7. Prove que, se é primo então , .

8. Prove que o conjunto ; é primo e é infinito. Sugestão: negue esta afirmação exibindo e o número . Observe que, pro-duto de números do tipo também é deste tipo.


Na primeira atividade, você, caro aluno, deve ter notado que se um primo divide , então, por transitividade o mesmo deve dividir também e . Além disto, sen-

do se é outro divisor comum de e então . Segue que a ordem (expo-ente) de em deve ser a mínima entre as ordens de em e em . Quanto ao mínimo múlti-plo comum, cada primo divisor deste, deve ser um divisor de ou de . Além disto, você deve ter lembrado que qualquer outro múltiplo comum de e é também múltiplo do ogo todo primo divisor do deve ter ordem igual à maior das ordens de em e em

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Na segunda atividade, você deve ter notado que o resto da divisão de por deve ser ou e que .

Na terceira atividade, você deve ter observado que e como o , o resultado é imediato.

Na quarta atividade, se é uma solução então você deve ter percebido facilmente que mdc .. Reciprocamente, se divide c,então existe

tal que donde temos que e

é uma solução da equação

Por outro lado, supondo que é uma solução, substituindo diretamente na equação por e por para cada você deve ter visto claramente que se trata de

uma solução. Finalmente, usando o fato de que e são duas soluções da equação foi fácil obter um tal que

Na quinta atividade item , você não deve ter tido dificuldades se notou que esta congruên-cia é equivalente à equação no anel onde temos que ou seja . No item , temos ou equivalentemente,

.

Na sexta atividade, você, caro aluno, deve ter notado que para , os fatores de e de são menores do que .

Na sétima atividade, você deve ter usado o desenvolvimento do binômio de Newton e apli-cado a sétima atividade.

Na oitava atividade nós já sugerimos uma opção para a solução e esperamos que você tenha desenvolvido com êxito.

Lembramos sempre que os tutores estão disponíveis.

REFERÊNCIAS



HEFEZ, A. “Curso de Álgebra, Vol. I”, Coleção Matemática Universitária.


20

Aula 04O CONCEITO DE GRUPO

META

Apresentar o conceito de grupo, as primeiras definições e diversos exemplos.

OBJETIVOS

Definir e exemplificar grupos e subgrupos.

Aplicar as propriedades dos grupos na resolução de problemas.

Reconhecer grupo cíclico.

Reconhecer o grupo de permutações e seus subgrupos.

PRÉ-REQUISITO

O curso de Fundamentos de Matemática e as propriedades dos números inteiros es-tudados nas aulas anteriores.

INTRODUÇÃO

21

Estamos de volta para mais uma aula. Esperamos que você tenha gostado do conteúdo estu-dado nas três aulas anteriores. Nesta aula, vamos começar de fato o que é conhecido como Álge-bra abstrata.

A teoria dos grupos embora tenha sido inicialmente estudada por matemáticos, no inicio do século XX os físicos usando argumentos desta teoria fizeram descobertas importantes sobre a es-trutura dos átomos e das moléculas em Mecânica Quântica.

Hoje a teoria dos grupos é aplicável em outras áreas tanto das ciências afins quanto em ou-tras da Matemática.

Dentro das estruturas algébricas, os grupos têm uma das estruturas mais simples e, portanto, mais geral. Vamos em frente!

CONCEITO DE GRUPO

Definição 1. Definimos grupo como sendo todo par onde é um conjunto não vazio e é

uma operação binária em verificando às seguintes propriedades.

i)Associativa, .

ii) Existência do elemento identidade. Existe tal que .

iii) existência do inverso. Para cada , existe tal que .

Em geral, com o intuito de simplificar notação escrevemos apenas em vez de .

Se e são elementos identidades de um grupo, então donde podemos

concluir que o elemento identidade é único.

Para cada elemento a, num grupo , se existem e no grupo inversos de , então

.

Donde temos também que o inverso de cada elemento é único. Denotamos o inverso

de por .

22

Quando num grupo além das três propriedades exibidas na definição se unifica a proprie-

dade:

iv) , dizemos que é abcliano (ou comutativo).

Quando a operação for uma adição (simbolizada por +) dizemos que é um grupo

aditivo. Neste caso indicamos a identidade por e o inverso de cada por . Os grupos

aditivos são sempre abelianos.

Quando o conjunto é finito, dizemos que é um grupo finito, no caso contrário dize-

mos que é um grupo infinito.

Definição 4.2.2. Definimos a ordem de um grupo como sendo a cardinalidade do conjunto

. Indicamos: .

Obviamente, temos grupos finitos (nestes a ordem é um inteiro positivo) e grupos infinitos.

Exemplo 1. é um grupo aditivo infinito

Exemplo 2. , é um grupo abeliano infinito

Exemplo 3. Seja onde e . En-

tão é um grupo abcliano finito com apenas dois elementos, .

Exemplo 4. O subconjuntos dos números complexos onde é a unidade ima-

ginária, cuja operação é a restrição da multiplicação de a este conjunto é um grupo finito com

quatro elementos, ou seja,

Exemplo 5. Seja o conjunto das matrizes quadradas de ordem com entradas em . Então

é um grupo abeliano.

23

Exemplo 6. Seja o conjunto das matrizes quadradas de ordem não-singulares de

entradas reais. Este conjunto munido da restrição do produto usual de matrizes é um exemplo de grupo não abeliano infinito.

Exemplo 7. Sejam e . Então munido da restrição de pro-

duto de números complexos é um grupo abeliano finito contido elementos.

Exemplo 8. Sejam um conjunto não vazio e o conjunto de todas as funções bijetivas

. Então munido da composição de funções é um grupo, chamado grupo das permu-

tações de . Em particular, quando , é chamado o grupo das permutações de

nível tem ordem e o indicamos por . Este grupo desempenha um papel importante na te-

oria dos grupos finitos, como veremos futuramente.

Proposição 1. (Propriedades imediatas de um grupo)

i) A identidade é única.

ii) O inverso de cada elemento é único.

iii) Se e então .

iv) Se então

v) A equação tem como solução única .

Demonstração: i) Seja um grupo e suponhamos que existam tais que

e . Em particular .

ii) Seja a um elemento de e suponhamos que existam tais que

. Então, .

iii) Como , da unicidade do inverso, temos que

.

24

iv) .

v) . (A

unicidade do inverso garante a unicidade da solução).

Definição 3. Dados um grupo e , definimos o produto destes elementos nes-

ta ordem, indutivamente, como segue: .

Se , pode-se provar que .

Definição 4. Dados grupo, e , definimos a potência de base e expoente como

sendo

Usando indução, podemos provar que e , valem

i)

ii) .

Definição 5. Sejam um grupo e um subconjunto não vazio de . Dizemos que é um sub-

grupo de se munido da restrição si da operação de é também um grupo.

Da unicidade do elemento identidade e da necessidade da existência deste elemento num

grupo segue que a identidade de pertence a .

Uma condição necessária e suficiente para que um subconjunto de seja um grupo é que

i) e ii) se tenha .

25

Notemos que as duas condições acima são verificadas por todo grupo e, se e veri-

fica i e ii, então, dado , e, dados ,

. A associatividade da restrição da

operação de a em é óbvia.

Quando é subgrupo de indicamos por .

Exemplo 10. Seja . então é um subgrupo de . .

Exemplo 11. e . Então .

Exemplo 12. Seja um grupo e . Então, . Notamos que

, pois em , comuta com todos os elementos de . Segue que e . Sejam

. Então

.

Para cada , o subconjunto formado pelos elementos que comutam com todos os elemen-

tos de é chamado o centro de e o indicamos por .

Observemos que quando é abeliano .

Exemplo 13. Sejam um grupo e . Seja . Então

, ou seja, e . Se então

. Portanto,

e . Este sub-

grupo de é chamado o centralizador de em e o indicamos por . Notamos que

.

26

Exemplo 14. e então .

Definição 6. Seja um grupo. Dizemos que é cíclico se existe um elemento tal que

. Dizemos também que é gerado por e indicamos .

Exemplo 15. Seja .

Então é cíclico finito de ordem 3. Notemos que dado

, do algoritmo da divisão, existem tais que e . Logo

.

Exemplo 16. Dados grupo e , o conjunto é um grupo cíclico

de . Notemos que . Se então .

Observação. Quando um grupo é aditivo, a potência de base e expoente é denotada por .

Exemplo 17. O grupo é cíclico infinito gerado por 1.

. O conjunto

é o subgrupo cíclico de gerado pelo elemento 2.

Então podem escrever: e .

Observação. Notemos que se é cíclico gerado pelo elemento e então

, portanto é abeliano.

Proposição 2. Todo subgrupo de um grupo cíclico é cíclico.

Demonstração: Sejam cíclico e . Se ok! Pois . Se ,

então, o conjunto é não vazio. Sejam e .

27

Afirmamos: . De fato, pois se então, do algoritmo da divisão existem

tais que e . Segue que . Mas, da minimalidade

de segue que . Como

e .

RESUMO

Caro aluno, nesta aula, nós estabelecemos o conceito de grupo, onde definimos grupos e subgrupos apresentamos diversos exemplos, apresentamos os subgrupos especiais centro e cen-tralizador de um elemento num grupo e grupos cíclicos.

ATIVIDADES

1. Seja um grupo abeliano. Prove que se e , então .

2. Seja um grupo e suponha que . Prove que é abeliano.

3. Seja um grupo e . Prove que .

4. Seja um primo, prove que é um grupo abeliano com elementos.

5. Se é um grupo finito de ordem par. Prove que existe tal que

6. Sejam e o subconjunto de formado pelas matrizes anti-simétricas. Prove que

.

7. Sejam grupos e seja . Defina uma operação em do seguinte modo:

. Prove que é um grupo. Este

grupo é chamado produto direto de e . Se , prove que .

28

8. Prove que todo grupo tem um subgrupo cíclico .

9. Seja . Indicando cada elemento do seguinte modo,

Escreva explicitamente o grupo . Calcule e conclua que não é abeliano.

10. Prove que o subconjunto de dos elementos tais que é um subgrupo de .

11. Se e são subgrupo de um grupo , prove que é um subgrupo de e que , em geral

não é subgrupo de .

COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES

Caro aluno, se você fez as cinco primeiras atividades então entendeu as propriedades dos grupos.

Na segunda atividade você deve ter notado que e usado o fato de que

.

Na terceira, você deve ter multiplicado por pela esquerda e pela direita e usado

o fato de que o inverso de um elemento num grupo é único.

Na quinta atividade, você deve ter notado que todo elemento tem um único inverso e que a identidade tem como inverso ela própria.

Nas sete ultimas atividades exploramos a definição de subgrupo. Se você compreendeu esta definição não deve ter tido dificuldades, hesitou possivelmente na última questão onde você deve

ter notado que é subgrupo se, e somente se, ou . Lembre-se de que o objeti-

vo das atividades é fixar os conteúdos desenvolvidos na aula. Portanto você deve ler estes con-teúdos com carinho quantas vezes sejam necessárias. Lembre-se também que a ajuda dos tutores é importante.

29

REFERÊNCIAS



GARCIA, Arnaldo; LEQUAIN, Yves. Elementos de algebra. 3. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2005. 326 p. (Série: Projeto Euclides).

30

Aula 05GRUPOS QUOCIENTES

METAS

Estabelecer o conceito de grupo quociente.

OBJETIVOS

Definir classes laterais e estabelecer o teorema de Lagrange.

Aplicar o teorema de Lagrange na resolução de problemas.

Reconhecer subgrupos normais e aplicar suas propriedades.

Reconhecer e exemplificar grupo quociente.

PRÉ-REQUISITOS

O curso de Fundamentos de Matemática e os conteúdos estudados nas aulas anteri-ores.

28

INTRODUÇÃO

Ola! Estamos em mais uma das nossas aulas. Na aula passada tivemos o nosso primeiro con-tato com a teoria dos grupos estudando as primeiras definições e contemplando vários exemplos. Nesta aula continuaremos a estudar os grupos onde estabeleceremos os conceitos de classes late-rais, subgrupos normais e o conceito de grupo quociente que é uma das noções básicas mais im-portantes da álgebra abstrata.

CLASSES LATERAIS E O TEOREMA DE LAGRANGE

Sejam um grupo, um subgrupo e . Os subconjuntos de , e são chamados classe lateral à esquerda e classe lateral à direita de , respecti-

vamente.

Exemplo 1. Vamos considerar onde

que tem a seguinte tabela de operação, na qual o produto tem como 1º fator o elemento da colu-na.

Para , e .

Observação. Neste nosso exemplo, ocorreu que . Em geral

Vamos agora estabelecer uma relação de equivalência num grupo , na presença de um sub-grupo , onde o conjunto quociente módulo esta relação é exatamente o conjunto das classes la-terais à direita, de .

29

Definição 1. Seja grupo . Para cada par de elementos de , dizemos que é con-gruente a módulo , e escrevemos se .

Ou melhor: .

Proposição 1. A relação binária definida no grupo acima é de equivalência.

Demonstração: Como , seque que esta relação é reflexiva. Se estão e como é um grupo, donde temos e, a relação é simétrica.

Finalmente, se são tais que e , então . Novamente, do fato de que é grupo temos , isto é,

, ou seja, e, portanto, a relação é transitiva.

Como sabemos a classe de equivalência do elemento é por definição.

.

Notemos que tal que . Logo, . Se então tal que e

neste caso implicando que , ou melhor, que . Portanto .

Denotamos o conjunto quociente módulo esta relação por e, escrevemos

Observação. Quando é um grupo finito obviamente o conjunto é finito e tem cardinalidade

menor ou igual à ordem de . Quando é infinito, podemos ter finito ou infinito.

Exemplo 2. Se nunido da adição os subgrupos de são os conjunto do tipo .

Notemos que dados , então e que . Segue que

para . Se , temos e

. Logo, para é finito e tem elementos, enquanto que, para

tem infinitos elementos.

30

Definição 2. Dados e , definimos o índice de como sendo a cardinalidade do

conjunto quociente e indicamos por .

Proposição 2. (Teorema de Lagrange). Se é um grupo finito e é um subgrupo de então, a ordem de divide a ordem de .

Demonstração: Para cada , a aplicação definida por é bijetiva. De fato, se e temos . Se então existe tal que e

Escrevendo onde , como e

, temos que . Portanto | ,como queríamos demonstrar.

Exemplo 3. Como conseqüência imediata do teorema de Lagrange, todos os grupos finitos cuja

ordem é um número primo são cíclicos (⟹ abelianos). Com efeito, se e ,

então | e .

SUBGRUPOS NORMAIS E GRUPOS QUOCIENTES

Definição 1. Sejam um grupo e subgrupo de . Dizemos que é um subgrupo normal de se, para todo H e todo temos . Indicamos .

Exemplo 1. Quando é abeliano, todo subgrupo de é normal. Com efeito, para e , temos . Para todo , é normal. Se e ,

.

Proposição 1. Sejam grupo e . As seguintes afirmações são equivalentes:

i) .

ii) .

iii) .

iv) .

31

v)Se então .

Demonstração. i⇒ii). Da definição de subgrupo normal, e

. Como é arbitrário no grupo , trocando por , vale . Observemos também que

. Portanto, vale a igualdade , para cada .

ii⇒iii). Como , é imediato que , donde temos

.

iii⇒iv). .

iv⇒v). Como temos que . Logo,

e daqui, . Ou seja, tal que . Portanto, .

v⇒i). Sendo e , vamos provar que . Para isto, seja , donde

. Como , temos , conseqüentemente, .

32

Considerando o conteúdo da proposição acima, podemos, bem definir, a seguinte operação

em :

onde .

Proposição 2. munido da operação, acima definida, tem estrutura de grupo.

Dados

.Ou seja, esta operação é associativa.

Para cada classe lateral , existe tal que

e . ( é o elemento identidade).

Finalmente, para cada , existe tal que ou seja

. (existência do oposto).

Definição 2. O grupo é chamado o grupo quociente módulo .

Lembremos que, para a operação em que associa ao par a classe ser bem

definida é necessário que . Portanto só podemos falar no grupo quociente de G por H se H for um subgrupo normal.

Proposição 3. Sejam um grupo e .

i) Se é abeliano então é abeliano.

ii) Se é cíclico então é cíclico.

Demonstração. i) , então .

ii) Seja .

Exemplo 2. Sejam e . Note que . Pois, a tabela

∙

33

Deixa claro que e se então .

Como e segue que .

Notemos que onde .

Exemplo 3. Sejam e onde ,

Fazendo as contas, podemos verificar que , portanto e é o

grupo quociente com tabela de operações.

∙

RESUMO

Nesta aula, estudamos o conceito de classe lateral onde estabelecemos o teorema de Lagran-ge. Estudamos os conceitos de subgrupos normais e grupos quocientes e, suas propriedades.

ATIVIDADES

1. Se é um grupo finito com 12 elementos, um subgrupo de pode ter 9 elementos? Justifi-que sua resposta.

2. Sejam um grupo e . Definimos a ordem do elemento , e indicamos por , a or-dem do subgrupo cíclico de gerado por . Prove que:

i) Se então .

ii) Se então .

3. Dizemos que um grupo é simples se os únicos subgrupos normais de são e . Dê exemplo de grupo simples.

34

4. Sejam um grupo e . Para cada , defina . Pro-ve que:

a) b) Se é finito, c) . (o subgrupo é chamado um conjugado de em ).

5. Seja e . Determine .


Caro aluno, você deve ter notado que a resposta da pergunta da atividade 1 é justificada fa-cilmente pelo teorema de Lagrange.

Na segunda, escrevendo a potência de base e expoente igual à ordem de explicita-mente, você deve ter notado a conclusão da atividade.

Na terceira atividade, você num primeiro momento, deve ter pensado em grupos cuja ordem é um número primo.

No item a) da quarta atividade, você deve ter notado que e que dados .

No item b), você deve ter notado que á correspondência é uma bijeção de em .

No item c), olhe para a correspondência do item anterior e lembre que ela vale .

Para a quinta atividade, você deve ter imitado algum dos exemplos do texto.

Mais uma vez, lembre-se de ler o conteúdo da aula com cuidado e sempre que precisar pro-cure os tutores.

REFERÊNCIAS




35

Aula 06HOMOMORFISMOS DE GRUPOS

META

Apresentar o conceito de homomorfismo de grupos

OBJETIVOS

Reconhecer e classificar os homomorfismos.

Aplicar as propriedades imediatas dos homomorfismos de grupos.

Calcular os núcleo e imagem de um homomorfismo.

Aplicar os teoremas dos homomorfismos na relação de problemas.

PRÉ-REQUISITOS

Todas as aulas anteriores principalmente as aulas 4 e 5.

35

INTRODUÇÃO

Caminhando dentro da teoria dos grupos, vamos a mais uma aula. Mais uma vez, necessita-mos que você, caro aluno, tenha aprendido os conteúdos das aulas anteriores, principalmente, os das aulas 4 e 5 que tratam dos grupos.

Em estruturas algébricas os homomorfismos são aplicações que têm como domínio e con-tradomínio estruturas algébricas de mesma natureza (mesma definição abstrata) e servem em ge-ral para comparar tais estruturas. No nosso caso, é claro, trataremos dos homomorfismos de gru-pos.

O CONCEITO DE HOMOMORFISMO

Definição 1. Sejam e grupos e uma aplicação de em . Dizemos que é um homo-morfismo se .

Exemplo 1. Se é um grupo e , para , a aplicação definida por

é um homomorfismo de grupos, pois . Este homomorfismo é comumente cha-

mado projeção canônica.

Exemplo 2. Dado um grupo , a função identidade de é evidentemente um homomorfismo de em . Notemos que .

A um homomorfismo de um grupo nele próprio, chamamos endomorfismo de .

A um homomorfismo injetivo, chamamos um monomorfismo de em .

A um homomorfismo sobrejetivo,chamamos um epimorfismo de em .

A um homomorfismo bijetivo, chamamos um isomorfismo de em . Neste caso dizemos também que e são grupos isomorfos.

A um isomorfismo de um grupo nele próprio, chamamos um automorfismo de .

Proposição 1. Seja um homomorfismo. Então, , onde e são, respecti-vamente, as identidades de e .

Demonstração:

.

Proposição 2. Seja um homomorfismo. Então, , .

36

Demonstração .

Proposição 3. Se é um homomorfismo e então é um subgrupo de ?

Demonstração: e . Sejam . Existem

tais que e . Logo,

e, como segue que . Portanto, . Neste caso .

Proposição 4. Se e são homomorfismos então tam-bém é homomorfismo.

Demonstração:

Dados ,

.

Definição 2. Seja um homomorfismos chamamos núcleo de e denotamos por o subconjunto de :

.

Exemplo 3. Dados um grupo e , notemos que é o núcleo da projeção canônica

, pois, , ou seja,

.

Proposição 5. Para todo homomorfismo , .

Demonstração: Como . Se então

. Logo . Agora, seja

e . Temos

. Portanto .

Proposição 6. Seja . é monomorfismo se, e somente se, .

Demonstração: Trivial, pois e é injetiva .

37

Se e então , ou seja, é injetiva.

OS TEOREMAS FUNDAMENTAIS DOS HOMOMORFISMOS

Proposição 1. Se é um homomorfismo de grupos com núcleo então existe um homomorfismo injetivo tal que .

Demonstração: Inicialmente, notemos que se são tais que então e donde temos que . Isto significa que para ,

ou seja que está, bem definida, ou seja a imagem de

não depende do seu representante. Dados , temos

logo, é um homomorfis-mo de grupos. Agora,

ou seja é in-jetiva.

Corolário (1º teorema do isomorfismo). Se é um epimorfismo e então e são isomorfos. Ou melhor, existe um isomorfismo tal que

.

Demonstração: é o monomorfismo de em definida na proposição e como

, segue que é um isomorfismo .

Se é a projeção canônica, este teorema pode ser expresso pela comutativi-dade do seguinte diagrama;

�� G’

38

��

Exemplo 1. Sejam (grupo aditivo) e o grupo multiplicativo formado pelos números complexos e e a aplicação dada por . É fácil ver que (faça isto como atividade). Agora,

.

Como é sobrejetiva, do 1º teorema dos homomorfismos, temos que .

Quando é um grupo, e então e .

Com efeito, e se então

. Sendo , .

Logo, donde temos que .

Sendo , segue que pois, , em particular, . Também, . Aqui, dados

. Como segue que . Logo, . Analogamente . Portanto

.

Proposição 2. (2º teorema dos homomorfismos). Se e então .

Demonstração: Seja definida por . Então,

, é homomorfismo de grupos (notemos que aqui

pois ). Para qualquer classe , temos donde com

e . Isto implica que logo, ψ é so-

39

brejetivo. Além disto, . Ou seja, . Como con-

seqüência do primeiro teorema segue que , como queríamos demonstrar.

Observação. Se , segue deste teorema que .

No estudo de grupos quocientes formados a partir de grupos quocientes, é útil a seguinte

Proposição 3. (3º Teorema dos homomorfismos). Se e então

e vale:

Demonstração: É claro que . Agora, notemos que se temos e como segue que e . Portanto, podemos definir a aplicação

, pondo .

Notemos ainda que ,

. Além disto, para cada , existe tal que , ou seja, é um ho-

momorfismo sobrejetivo de em .

Finalmente, .

Segue do 1º teorema dos homomorfismos que .

Observação. Este teorema deixa claro que quocientes de quocientes de são na realidade iso-morfos a quocientes de . Vamos terminar esta aula estabelecendo o teorema da correspondên-cia no qual veremos que um epimorfismo de grupos preserva propriedades como ser subgrupos ou ser subgrupo normal tanto diretamente quanto inversamente. Mais precisamente, vale a

Proposição 4. (Teorema da correspondência). Sejam e grupos e um epimorfis-mo onde . Então:

a)Para cada . Se então .

b)Para cada , o único subgrupo de contendo tal que é . Se então .

40

Demonstração: a) Já sabemos que ; sejam e portanto, .

b) Como , claramente . Se então . Isto implica que

. Logo, .

Para cada temos:

. Portanto,

. Donde segue que .

Finalmente, seja tal que e . Assim,

. Se então

. Logo, e conseqüentemente .

RESUMO

Nesta aula estabelecemos o conceito de homomorfismo de grupo onde inicialmente defini-mos, exemplificamos e apresentamos as propriedades imediatas. Terminamos a aula enunciando e demonstrando os 1º, 2º e 3º teoremas dos isomorfismos e o teorema da correspondência que são teoremas importantes na construção dos pré-requisitos de conteúdos futuros.

ATIVIDADES

1. Verifique em cada caso, se é um homomorfismo de grupos.

a) dada por onde aqui é o grupo aditivo.

b) dada por onde é o grupo multiplicativo dos reais não nulos.

c) dada por , onde é aditivo e , multiplicativo.

d) dada por onde é um elemento de pré-fixado.

2. Seja um grupo abeliano finito de ordem e seja tal que . Prove que a aplicação dada por é um automorfismo de .

41

3. Se é um isomorfismo, provar que também o é.

4. Se é um homomorfismo onde é finito, prove que divide .

5. Se é cíclico de ordem provar que .

6. Sejam um grupo e tais que . Prove que e .

7. Se , e , prove que .


Na primeira atividade, se você entendeu a definição de homomorfismo, não deve ter tido problemas.

Na segunda, você deve ter notado que . Como segue que ou seja e . Portanto, é injetiva.

Na terceira atividade, você deve ter usado a definição de isomorfismo e concluído com faci-lidade.

Na quarta atividade, você deve ter usado o primeiro teorema do isomorfismo.

Na quinta atividade, para , a aplicação dada por deve ser um isomorfismo de grupos!

A sexta atividade, caro aluno, é um exercício que auxilia no desenvolvimento da sétima ativi-dade. Para e , você deve ter notado que

pois e são subgrupos normais.

Na sétima atividade, se você conseguiu resolvê-la, deve ter percebido que a aplicação onde é um isomorfismo de grupos.

REFERÊNCIAS


42



43

Aula 07MAIS SOBRE O GRUPO SIMÉTRICO

META

Conhecer um pouco mais de perto as propriedades do grupo das permutações de nível .

OBJETIVOS

Reconhecer elementos de

Reconhecer os subgrupos e de

Aplicar propriedades decorrentes do teorema da representação no estado de grupos finitos.

PRÉ-REQUISITOS

As aulas 4,5 e 6.

42

INTRODUÇÃO

Nesta aula, caro aluno, estudaremos um pouco mais os grupos de permutação , onde apresentaremos os subgrupos das permutações pares e das simetrias de um polígono co-nhecido também como o subgrupo diedral . Mostraremos também nesta aula que todo gru-po finito pode ser visto como um grupo de permutações, que é o conteúdo dos teoremas da cor-respondência e de Cayley.

SINAL DE UMA PERMUTAÇÃO E O GRUPO ALTERNADO .

Definição 1. Seja . Dizemos que é uma transposição se existem , com tais que e .

Por simplicidade de notação, costumamos escrever

Exemplo 1. Em é uma transposição que transforma em , em e fixa os demais.

Indicamos: .

Notemos que toda transformação é igual à sua inversa. ou .

Proposição 1. Toda permutação de para , pode ser escrita como um produto de trans-posições..

Demonstração: Vamos usar indução sobre . Se , ok! Supo-nhamos que , e . Então , ou seja, fixa . Logo, podemos olhar para como uma permutação de e, por hipótese de indução existem transposições de que fixam tais que . Portanto, .

Exemplo 2. Em , seja .

Notemos que:

e também

Este exemplo mostra que não é única a forma de expressar uma permutação como um pro-duto de transposições, inclusive o número de transposições.

Na realidade pode-se provar que duas fatorações de uma permutação como produtos de transposições têm em comum a paridade do número de fatores. No exemplo acima as fatorações têm e fatores (ambos ímpares).

43

Definição 2. Seja . Dizemos que é uma permutação par se é par o número de fatores de uma (e, portanto de todas) fatoração como produto de transposições. Quando não é par, dizemos que é impar.

Segue da definição acima que o produto de duas permutações de mesmo paridade é par e que o produto de duas permutações com paridades distintas é impar. É fácil ver também que e

têm a mesma paridade e que a identidade é par (.

Podemos, dos comentários acima, concluir que é válida a

Proposição 2. O conjunto de todas as permutações pares de nível é um subgrupo de . (Este subgrupo é também conhecido como o grupo alternado de ).

Seja o grupo multiplicativo de ordem , e seja

se é par e se é impar. Então, é um homomorfismo sobrejetivo com núcleo .

Do 1º teorema dos homomorfismos segue que e .

Portanto, .

Um artifício para testar a paridade de um é o seguinte: sejam variá-

veis e seja polinômio nestas variá-veis. Para cada , definamos

. Logo, .

Se então é par e se , é impar.

Exemplo 3. Seja .

Então

Logo, é par.

Exemplo 4. Verificando diretamente,

44

O SUBGRUPO DIEDRAL DE

Seja . Vamos identificar os elementos de como os vértices de um polígono regular de lados de centro , como na figura:

Olhando para como o grupo de todas as permutações do conjunto de vértices , vamos agora estabelecer um subgrupo de contendo exatamente elementos.

Indiquemos por a permutação de obtida quando giramos o polígono de no sentido

trigonométrico, ou seja:

indiquemos por a permutação de obtida quando fazemos a reflexão do polígono em torno do eixo , ou seja:

se é par ou se é impar.

Definição 3. Chamamos subgrupo diedral de ao conjunto de todas as permutação que podem ser escritas como uma expressão do tipo

onde e

Indicamos

45

Através de uma observação cuidadosa dos efeitos de composições evolvendo , na figu-ra, podemos concluir que:

e .

Usando estas leis, podemos concluir ainda que onde dados

sempre. Ou seja é um subgrupo de contendo exatamente elementos. é o subgrupo menos amplo de que contém .

Exemplo 5. Para , pois

.

e como ,segue que

OS TEOREMAS DA REPRESENTAÇÃO E DE CAYLEY

Proposição 3.(Teorema da representação).Sejam um grupo e tal que . En-

tão existe um subgrupo normal de tal que e, a menos de isomorfismo, . Além

disto, se e então .

46

Demonstração: sejam o conjunto quociente de módulo e o

grupo simétrico (das permutações) de . Consideremos agora a aplicação onde,

para cada , é dada por .

Notemos que

, ou seja,

para cada , é injetiva de em que é finito, logo, e conseqüentemente esta bem definida.

Dados é tal que

para cada . Logo ou seja é um homomorfismo de

grupos.

Por outro lado, notemos que ,

.

Lembrando que , podemos escrever:

Tomando , temos do 1º teorema do homomorfismo que

Finalmente, se e então,

.

Corolário (Teorema de Cayley). Se é um grupo finito de ordem então é isomorfo a algum subgrupo de .

Demonstração: Sendo , tomando no teorema da correspondência ,

segue que , donde temos e portanto, é isomorfo a um subgrupo de .

Exemplo 6. Quando é finito é é tal que onde é o menor primo positivo divisor da ordem , temos . Com efeito, do teorema da correspondência, existe

47

tal que . Sendo o menor divisor primo de , do teorema de La-grange, é o menor divisor primo positivo de . Segue então que e con-seqüentemente .

Em particular, se é par e tal que , então . Ainda, como já sabía-

mos, para .

ATIVIDADES

1. Quantas transposições tem ?

2. Qual a paridade da permutação

3. Resolva em , a equação .

4. Calcule e .

5. Se é um grupo tal que onde é um primo, e onde , prove que .

6. Seja um grupo e suponha que é infinito e simples. Se é um subgrupo próprio de , prove que é infinito.


Na primeira atividade, você deve ter usado algum conhecimento adquirido no ensino médio quando estudou análise combinatória!

Na segunda atividade, como , você deve ter resolvido facilmente, substituindo dire-tamente na equação , todos os elementos de .

Na quarta, você deve também ter escrito os grupos explicitamente e procurado diretamente os seus centros, lembrando sempre do teorema de Lagrange.

A quinta atividade, se você conseguiu desenvolvê-la, usou o fato de que que é o menor fator primo da ordem de

Na sexta, se, por absurdo, fosse finito, do teorema da correspondência existiria

um subgrupo normal de tal que onde seria um subgrupo de . Sendo simples,

seria necessariamente {e} mas, isto implicaria, que é finito.

48

Caro aluno, reler o texto é sempre necessário e procure os tutores sempre que necessite.

REFERÊNCIAS




49

Aula 08P-GRUPOS E O TEOREMA DE CAUCHY

META

Conceituar p-grupos e estabelecer o Teorema de Cauchy

OBJETIVOS

Definir p-grupos e aplicar suas propriedades na resolução de problemas.

Reconhecer o teorema de Cauchy sobre ordens de grupos finitos e aplicá-lo na reso-lução de problemas.

PRÉ-REQUISITO

As aulas 4,5,6 e 7.

49

INTRODUÇÃO

Olá caro aluno, vamos a mais uma aula sobre a teoria dos grupos. Espero que você esteja gostando e aprendendo, pois precisamos dos conteúdos das anteriores para compreender os con-teúdos da presente aula.

Como sabemos, quando um grupo é finito e é um subgrupo de , o teorema de La-

grange afirma que . O recíproco do Teorema de Lagrange não é em geral verdadeiro. Nesta aula estudaremos os primeiros resultados que estabelecem hipóteses segundo as quais, para um divisor positivo da ordem de um grupo finito , existe um subgrupo de cuja ordem é

.

CLASSES DE CONJUGAÇÃO E P-GRUPOS

Seja um grupo. Vamos definir em uma relação binária do seguinte modo: dados , é conjugado de e indicamos se existe um tal que

Notemos que: . Se então existe tal que .

Se e então existem tais que e . Logo .

Provamos que a relação binária é uma relação de equivalência em .

Definição 1. Dado , chamamos classe de conjugação de elemento em , e indica-mos por à classe de equivalência de , módulo a relação de equivalência acima definida.

Assim, e

Notemos que se, e somente se, , ou seja,

. Segue daqui, que

Esta é a chamada equação das classes e a usaremos a seguir em alguns teoremas.

Proposição 1. Seja um grupo finito, e (o centralizador de em ).

Então e conseqüentemente .

Demonstração: Vamos considerar a aplicação de em dada por .

50

Notemos que se então ou seja que ou melhor , portanto está

bem definida.

Se então ou

seja donde segue que é injetiva.

Como dado , ; temos que ou seja é sobrejetiva.

Sendo uma bijeção de em para cada , temos que , com que-ríamos demonstrar.

Definição 2. Dizemos que um grupo finito é um p-grupo se onde é um primo po-sitivo e .

Exemplo. e têm ordens e respectivamente por-tanto são p-grupos.

Proposição 2. Se é um p-grupo e então também é um p-grupo e | (G)|>1.ℤ

Demonstração: Seja . Como , do teorema de Lagrange, ,

logo, , tal que .

Para cada e da proposição anterior, logo, , é um

múltiplo de .

Como temos que ou seja

.

Exemplo 1. Se onde é um primo positivo, então é abeliano. Da proposição acima, e divide , logo, e conseqüentemente (G) ou seja, é abeliano.

O TEOREMA DE CAUCHY

Proposição 3. Sejam um grupo finito e um primo. Se então existe um elemento

tal que , ou melhor, tem um subgrupo cíclico de ordem .

Demonstração: Vamos usar indução sobre . Se , como já sabemos, tal que e o teorema é verdadeiro.

51

Vamos por hipótese de indução supor que o teorema é verdadeiro para todo grupo que te-nha ordem e considerar os três casos:

1º Caso – é cíclico. Neste, tal que e seja um divi-

sor primo de . Escrevendo onde e , para , temos

e, além disto, pois . Portanto é um sub-

grupo cíclico de ordem , como queríamos.

2º Caso – não é cíclico, mas é abeliano. Sejam um divisor primo de e Se então divide a ordem do subgrupo cíclico de e, pelo 1º caso existe um

tal que . Como e segue que .

Se , escrevendo e lembrando que , segue que

. Como , por hipótese de indução, existe tal que .

Assim, e e Seja , estão ou .

Se fosse, , teríamos uma contradição.

Logo, . Tomando , temos que e .

3º Caso – não é abeliano. Neste caso, consideremos a equação das classes

e seja um primo divisor de .

Consideremos as duas possibilidades:

1ª Possibilidade: . Neste caso, como é abeliano, pelas partes anteriores, existe

tal que .

52

2ª Possibilidade: ∤ . Agora, como , considerando a equação das classes, temos que

existe pelo menos um tal que ∤ .

Como ] e segue que . Sendo

por hipótese de indução existe tal que concluindo com isto a nossa demonstração.

CLASSIFICAÇÃO DOS GRUPOS FINITOS DE ORDENS .

Já sabemos que os grupos de ordens e são todos cíclicos e conseqüentemente abelia-nos.

Seja um grupo de ordem . pode ser cíclico, por exemplo, , munido da multiplicação dos números complexos é um grupo

cíclico de ordem .

Se então, , logo ou seja, .

Neste caso se , , ou seja é abeliano. Notemos que estes grupos existem, veja o grupo .

Podemos então afirmar que todo grupo de ordem é abeliano.

Agora, seja um grupo de ordem . Do teorema de Cauchy, existem tais que e . Seja , como sabemos da aula anterior que

. Logo, , . Assim, ou e neste caso .

No primeiro caso, se então e é cíclico.

53

No segundo caso, .

Uma das ocupações dos estudiosos da teoria dos grupos é estudar as possíveis naturezas dos grupos finitos de uma mesma ordem. É uma tarefa difícil e trabalhosa.

RESUMO

Nesta aula definimos os p-grupos e estabelecemos o teorema de Cauchy, onde começamos apresentando as classes de conjugação e sua equação que é um conteúdo fundamental na de-monstração que fizemos do teorema, de Cauchy, acima referido.

ATIVIDADES

1. Calcule todas as classes de conjugação de e de .

2. Se é um -grupo tal que , prove que

3. Se é um grupo finito que tem exatamente duas classes de conjugação, provar que é abelia-no.

4. Se tem três classes de conjugação, calcule as possibilidades para a ordem de .

5. Sejam um homomorfismo injetivo de em e um primo tal que .

Prove que existe tal que .


Na primeira atividade, você deve ter começado olhando os elementos dos centros e depois tomado elementos fora do centro e obtendo distintamente seus conjugados.

Na segunda atividade, você deve ter percebido que para e usado este fato.

Na segunda e terceira atividades, você deve ter usado a equação das classes e que

.

Na quinta atividade, você deve ter usado o teorema de Cauchy e o primeiro teorema dos iso-morfismos (ou o da correspondência).

REFERÊNCIAS

54




55

Aula 09OS TEOREMAS DE SYLOW

META

Estabelecer os teoremas de Sylow.

OBJETIVOS

Identificar .

Aplicar os teoremas de Sylow na resolução de problemas.

PRÉ-REQUISITOS

O curso de Fundamentos de Matemática e as aulas anteriores.

55

INTRODUÇÃO

Esta é a última aula deste curso sobre a Teoria dos grupos. Vamos estabelecer os teoremas de Sylow que, após os teoremas de Lagrange e Cauchy, constituem os primeiros resultados im-portantes decorrentes das propriedades aritméticas das ordens dos grupos finitos.

Nesta aula, iniciaremos estabelecendo o conceito de ação de grupos sobre conjuntos de modo sucinto, definindo e apresentando apenas os propriedades que utilizaremos nas demonstra-ções dos três teoremas de Sylow que são os resultados importantes desta aula.

AÇÃO DE GRUPOS EM CONJUNTOS

Definição 1. Sejam um grupo e um conjunto não vazio. Chamamos ação de em a qual-quer aplicação de x , que escrevemos, x , satisfazendo às seguintes propri-edades:

i)

ii)

Exemplo 1. Seja um grupo para , a aplicação de x dada por é uma ação de em si próprio.

Exemplo 2. Sejam e .

Então, a aplicação x dada por é uma ação no conjunto quociente

.

Observação. Quando o grupo age no conjunto , para cada . Define-se uma transforma-ção onde .

É fácil ver que cada é bijetiva onde é dada por .

A ação de um grupo nem conjunto , define uma relação de equivalência neste, assim de-finida: tal que .

Notemos que , se em , então existe tal que don-de temos que e, . Se tais que e então existem tais que e , donde temos que logo, .

Dados grupo e conjunto com agindo em , definimos a -órbita do elemento , como sendo a classe de equivalência de e a indicamos por

56

Precisamente, . Indicamos o conjunto quociente (das órbitas) por

.

Quando é finito, lembremos que existem tais que e .

Definição 2. Dados grupo, conjunto com agindo em e, , definimos o estabiliza-dor (ou subgrupo de isotropia) de , como sendo o conjunto

.

Notemos que . Se então e e . Portan-

to, para cada , o estabilizador de é um subgrupo de , como já informamos na definição, chamado também de subgrupo de isotropia do elemento de .

Notemos também que se estão na mesma órbita, isto é, então, seus esta-bilizadores são conjugados, pois se , para algum , temos:

. Portanto, e são conjugados.

Proposição 1. Sejam um grupo e um conjunto com agindo em então, para cada .

Demonstração. Consideramos para cada , a aplicação dada por

. Então, para , . Logo, é

injetiva. Como estamos lidando com conjuntos finitos, temos a bijetividade. Portanto, .(ou ).

Observação. Para , temos

OS TEOREMAS DE SYLOW

Proposição 1. (1º teorema de Sylow). Sejam um grupo finito e um primo onde , onde . Então existe um subgrupo de de ordem .

57

Demonstração. Seja e o conjunto de todos os subconjuntos de com elementos.

Façamos agir em do seguinte modo: e ,

Notemos que .

Notemos que para e , . Logo,

.

Seja a potência de de maior expoente na fatoração em primos de (ou de ). Como

, e ∤ , existe pelo menos uma destas órbitas, digamos

tal que ∤ .

Seja um elemento desta órbita, então

Como e temos que . Lembrando que

.

Finalmente, como temos que , além disto,

, logo .

As duas desigualdades acima implicam que e portanto, existe tal

que .

Observação: O teorema de Cauchy é um caso especial deste teorema.

58

Sejam, um grupo finito, um primo e .

Definição 1. Dizemos que é um p-subgrupo de Sylow de se é a potência de , de maior expoente, que divide a ordem de .

Ou seja é um se com e .

Proposição 2. (2º teorema de Sylow). Sejam um grupo finito e um primo divisor da or-dem de . Então, todos os são conjugados. Ou seja, se são p-subgrupos de Sy-low, então existe tal que .

Demonstração. Seja um de . Então com e . Temos então que .

Seja e seja um outro de . Façamos agir em pela regra .

Como e , existe uma órbita com elementos tal que

. Seja um elemento desta órbita. Então, o estabilizador deste elemento é

.

Ou seja .

Como temos que . Como segue que

e . Conseqüentemente e portanto, e são conjugados.

Proposição 3. (3º teorema de Sylow). Sejam um grupo finito e um primo divisor da or-dem de . Então, o número de de é um divisor do índice comum destes subgrupos e, é congruente a 1 módulo .

Demonstração. Sejam com e . Seja o número de de .

Devemos mostrar que e que . Com efeito, sejam um de ,

e a ação de em definida por . Notemos que dados

, existe tal que donde temos que , ou seja, para esta ação temos apenas uma órbita ( Todos os grupos de isotropia dos elementos de são conjugados ( têm a mesma ordem)).

59

Seja um elemento pré-fixado de . Então . Ou

seja, o estabilizador de é o .

Sejam os elementos de que tem como estabilizador. Então, para

.

Agora notemos que para cada , e para cada . Segue que os elementos

são estabilizados pelo .

Sejam os elementos de que são estabilizados por . Então, para cada

e cada , temos segue que

é estabilizado por . Temos então que e ou seja .

Logo, cada de estabiliza o mesmo número de elementos de .

Como temos que como queríamos.

Agora, façamos o de agir em pela ação (mes-

ma lei de definição de antes). Sabemos que para cada , donde segue que o nú-

mero de elementos de cada órbita é 1 ou uma potência de . Se então . Isto implica que

existem órbitas, sob a ação de com um único elemento. Como as ordens não unitárias são múltiplos de , existe tal que ou seja, como,

, temos e como ou seja

e portanto . Como queríamos demonstrar.

Exemplo 1. Seja , um grupo de ordem 15. Vamos provar que tem um subgrupo normal. De fato, seja o número de subgrupos de de ordem . Pelo 3º teorema de Sylow, temos que

e . Segue que . Como existe um único 5-subgrupo de Sylow, pelo 2º teorema de Sylow este subgrupo é normal.

RESUMO

Estabelecemos inicialmente a ação de um grupo num conjunto, apresentado suas proprieda-des onde preparamos os pré-requisitos para as demonstrações dos teoremas de Sylow. Apresenta-

60

mos os teoremas, definimos os , demonstramos os teoremas e terminamos com um exem-plo no qual aplicamos o 3º e 2º teoremas de Sylow.

ATIVIDADES

1. Seja um grupo de ordem . Prove que tem um subgrupo tal que .

2. Seja um grupo de ordem onde e são primos positivos tais que . Prove que tem um subgrupo normal de ordem .

3. Se é simples e abeliano, prove que é um número primo.

4. Suponhamos que é um grupo simples cuja ordem é onde e é primo e . Prove que tem no mínimo dois .


Caro aluno, você deve ter notado que para fazer a primeira atividade basta aplicar diretamen-te o primeiro teorema de Sylow.

Na segunda, você deve ter imitado o exemplo 3.

A terceira atividade, se você conseguiu fazê-la, você deve ter usado o fato de que todo sub-grupo de um grupo abeliano é normal.

Na quarta atividade, usando o 2º teorema de Sylow, se tivesse apenas um , este se-ria normal.

REFERÊNCIAS




61

Aula 10O CONCEITO DE ANEL

META

Apresentar o conceito de anel, suas primeiras definições, diversos exemplos e resul-tados.

OBJETIVOS

Definir, exemplificar e classificar anéis.

Aplicar as propriedades dos anéis na relação de problemas.

Reconhecer subanéis.

PRÉ-REQUISITOS

O curso de Fundamentos de Matemática e as aulas anteriores.

61

INTRODUÇÃO

Os números inteiros, racionais, reais e complexos podem ser somados e multiplicados entre si, e o resultado é ainda um número do mesmo conjunto. Analogamente, podemos somar e mul-tiplicar matrizes de mesma ordem e outros tipos de objetos que são hoje bastante utilizados. Es-tes são exemplos de estrutura algébricas menos gerais que os grupos, pois, envolvem duas opera-ções verificando um conjunto de operações similares, que são os ingredientes que compõem a definição da estrutura algébrica chamada anel.

Nesta aula estabeleceremos o conceito de anel, apresentando as primeiras definições, fazen-do a classificação, exemplificando e estabelecendo as primeiras proposições sobre anéis.Vamos em frente.

O CONCEITO DE ANEL

Sejam um conjunto não vazio, e, e

duas operações em .

Definição 1. Dizemos que é um anel, se valem as propriedades:

i) é grupo abeliano. Ou seja,

1)

2)

3)

4)

ii) A operação é associativa:

iii) Valem as leis distributivas:

1)

2)

Exemplo 1. Os conjuntos numéricos e munidos das suas operações de adição e multi-plicação são exemplos de anéis.

Exemplo 2. O conjunto dos matrizes quadradas de ordem com nas operações tra-dicionais de adição e multiplicação é um exemplo de anel.

62

Se, num anel vale a propriedade

iv) comutatividade da multiplicação:

dizemos que é um anel comutativo.

Exemplo 3. Os termos e são exemplos de anéis comutativas. O anel é um exemplo de anel que não é comutativo.

Se, num anel vale a propriedade:

v) tal que , dizemos que é um anel com identidade. Neste caso, 1 é a identidade do anel .

Exemplo 4. Todos os anéis exibidos nos exemplos anteriores são anéis com identidade. Sejam e . É fácil ver que a soma e o produto de dois ele-

mentos de são elementos de . Segue que . Onde e são as restrições das operações de adição e multiplicação de , a , é um anel sem elemento identidade.

Observação. Como em grupos, com o intuito de simplificar notação, costumamos escrever em vez de para representar tal anel.

Definição 2. Seja um anel. Dizemos que o elemento é um divisor de zero, se existe tal que .

Exemplo 5. Lembremos que para na aula 3, nós afirmamos que junto com as duas operações de adição e multiplicação ali exibidos tinha

uma estrutura de anel. Notemos que de fato é um exemplo de anel comutativo com ele-mento identidade , finito, com elementos ( é um anel que tem ordem ). Notemos que quando não é primo, existem tais que . Assim, em

e . Ou seja, os elementos e são divisores de zero.

Se, é um anel comutativo com identidade no qual vale a propriedade

v) Integridade: Se e então ou , dizemos que é um domínio (ou anel de identidade).

Exemplo 6. Os anéis e são exemplos de domínios. Note que num domínio não há di-visores de zero. Os anéis onde não é primo não são domínios.

Exemplo 7. No anel os elementos e são divisores de zero

pois .

63

Definição 3. Sejam um anel com identidade e . Dizemos que é invertível se existe um tal que indicamos o inverso de por .

Exemplo 8. No anel , o elemento é invertível pois,

tal que .

Definição 4. Quando todos os elementos não nulos de um anel são invertíveis, dizemos que é um anel de divisão. Quando o anel de divisão é comutativo o chamamos de corpo.

Observação. Notemos que quando é um anel de divisão, é um grupo.

Indicamos o conjunto dos invertíveis de um anel por ou .

Exemplo 9. Os domínios e são corpos. O domínio não é um corpo, pois os únicos ele-mentos invertíveis de são e .

Proposição 1. (propriedades imediatas dos anéis) , seja um anel.

i) O 0 (zero) é único.

ii) O oposto de cada elemento é único

iii)

iv) Se tem identidade , esta é única.

v)

Demonstração. Deixaremos como atividade. Caro aluno, para desenvolver esta atividade, volte às aulas 1 e 4 e veja demonstrações semelhantes!

Exemplo 10. Anel nulo. Seja e definamos . Então tem estrutu-ra de anel. O chamamos de anel nulo.

Proposição 2. Se é um anel não nulo com identidade então .

Demonstração. Se fosse , então , teríamos e .

Proposição 3. Num anel comutativo não nulo, um elemento não pode ser divisor de zero e inver-tível.

Demonstração. Sejam um anel comutativo . Se fosse divisor de zero e invertível, existi-ria um tal que , uma contradição.

Proposição 4. Todo domínio finito é corpo.

64

Demonstração. Seja um domínio. Então dado

pois se temos com

. Assim, como , existe um tal que , logo . Provamos então que todo elemento não nulo de é invertível, ou seja, que é um

corpo.

Exemplo 11. Vamos apresentar aqui um anel de divisão que não é um corpo, ou seja, um anel de divisão no qual o grupo dos elementos invertíveis não é abeliano.

Seja o conjunto de todos as 4-úplas de . Definimos a adição em , do seguinte modo: para e

e, a multiplicação,

Com algum trabalho, podemos verificar que tem estrutura de anel no qual o zero é .

Fazendo a identificação e , po-demos escrever de modo que podemos reescrever

Neste anel valem:

e

Além disto,

e

. Este anel é conhecido como os quatérnios (ou quaterniões) é indicado por Quat, foi construído no século XIX, pelo matemático irlandês W. R. Hamilton quando tentava construir um corpo nu-mérico que fosse uma extensão do corpo dos números complexos, sem sucesso. Quat só não é um corpo porque a multiplicação não é comutativa.

Observação. Com um pouco de trabalho, podemos verificar que o subconjunto de Quat é fechado para a multiplicação. Mais ainda, tem

estrutura de grupo.

Definição 5. Seja um anel. Dizemos que um subconjunto não vazio é um subanel de , se sob as restrições das operações de adição e multiplicação a si, tem também estrutura de anel.

65

Uma condição necessária e suficiente para que um subconjunto não vazio de um anel seja um subanel é que cumpra às seguintes condições: e . Com efeito, notemos que a condição: é necessária e suficiente para que

seja um subgrupo de . A condição: garante que é fecha-do para a operação de multiplicação. Finalmente, como as outras propriedades de anel são válidas em , valem a fortiori para .

Exemplo 12. Para todo anel e são subanéis.

Exemplo 13. Na seqüência de inclusões , cada anel é subanel dos que ficam à sua direita.

Exemplo 14. Para cada , o conjunto munido das restrições das ope-rações de adição e multiplicação dos inteiros é subanel de .

Definição 6. Sejam um anel comutativo e . Definimos

Observação. Notemos que a definição acima nada mais é do que a de potência de expoente intei-ro no grupo aditivo , e, portanto para e , valem:

i)

ii)

iii)

Definição 7. Seja um anel comutativo não nulo definimos a característica de como sendo o menor inteiro positivo para o qual . Se não existe tal dizemos que a caracte-rística de é zero.

Exemplo 15. Nos anéis e , não existe inteiro positivo tal que para todo no anel. Portanto estes anéis têm característica zero. Em o menor in-teiro positivo para o qual é logo, tem características .

Definição 8. Dados um anel comutativo com identidade e , definimos:

Valem e podem ser provadas

66

i)

ii) onde e .

Definição 9. Sejam um anel comutativo com elemento identidade e . Dizemos que é nilpotente se existe um tal que

Exemplo 16. No anel é nilpotente, pois .

Notamos que todo elemento nilpotente não nulo é um divisor de zero. Quando é nil-potente, o menor inteiro positivo não nulo para o qual é chamado índice de nilpotência do elemento .

Sejam e anéis. Vamos definir em uma adição e uma multiplicação do seguinte modo: dados , e

. Podemos verificar facilmente que munido das opera-ções aqui definidas é também um anel. O zero deste anel é o par . Se e têm identidades então tem identidade, (1,1). O anel é chamado produto direto dos anéis e .

Exemplo 17. Sejam e anéis com identidade. O conjunto é um subanel de . Notemos que: se então

e . Notemos ainda que se e têm identidades então a identidade de é enquanto que R tem identidade .

Ou seja, a identidade do subanel é diferente da identidade do anel

Definição 10. Sejam um anel comutativo com identidade e . Dizemos que é irredutível se, sempre que com , temos que ou . Dizemos que é primo se, sempre que com , temos que ou .

Exemplo 18. Os primos dos inteiros já estudados é um exemplo de elementos irredutíveis e pri-mos. Futuramente estudaremos anéis diferentes dos inteiros onde exibiremos outros exemplos. Apresentaremos um domínio no qual existem irredutíveis que não são primos.

RESUMO

Nesta aula, caro aluno, estudamos o conceito de anel, onde definimos, estabelecemos uma primeira classificação, apresentamos diversos exemplos e as proposições clássicas mais gerais da teoria.

ATIVIDADES

67

1. Sejam um anel comutativo com identidade e o conjunto de todos os elementos inver-tíveis de . Mostre que é um grupo.

2. Em , prove que é invertível se, e somente se, .

3. Identifique todos os divisores de zero de e de .

4. Seja , onde é o número de inteiros tais que e . Sejam e tais que . Prove que

. Em particular, se é primo e , temos . (Esta função é conhecida como função Phi de Euller e este último resultado como pequeno teorema de Fermat).

5. Se é um anel comutativo e são divisores de zero, prove que também é divisor de zero.

6. Sejam um primo e . Para e

, definamos as operações: e

. Prove que é um domínio.

7. Se é uma seqüência de subanéis de um anel , prove que tam-bém é um subanel de .

8. Determine todos os subanéis de .

9. Sejam um anel e . Prove que é um subanel co-mutativo de .

10. Prove que o conjunto de todos os elementos nilpotentes de um anel comutativo com iden-tidade é um subanel. (Este subanel é chamado o nilradical de ).


Na primeira atividade você deve ter usado a definição de elemento invertível e desenvolvido com facilidade.

Na segunda atividade, se você conseguiu resolver, deve ter usado o fato de que, se, e somente se, existem tais que .

Na terceira atividade a observação de que em um elemento é divisor de zero ou é invertí-vel é útil!

Na quarta, você deve ter notado que é um grupo finito de ordem .68

Na quinta atividade, você deve ter usado a definição de divisor de zero e feito a atividade com facilidade.

Na sexta atividade, você, caro aluno, deve ter notado que as adição e multiplicação definidas

são de fato operações de , que e que , para

concluir que goza de todas as propriedades de um domínio.

Na sétima atividade, você deve ter usado apenas a definição de subanel para fazer a prova proposta.

Na oitava, caro aluno, você deve ter notado que se é um subanel de então é um subgrupo do grupo finito e usado as propriedades aritméticas da ordem de

.

Na nona atividade, bastou usar com cuidado a definição de subanel para concluir a afirma-ção proposta.

Finalmente, na décima atividade, se e são tais que , para suficientemente maior do que e , você deve ter usado a fórmula do

binômio de Newton e concluído que .

Que é nilpotente é simples: .

REFERÊNCIAS




69

Aula 11IDEAIS E ANÉIS QUOCIENTES

META

Apresentar o conceito de ideal e definir anel quociente.

OBJETIVOS

Aplicar as propriedades de ideais na resolução de problemas.

Reconhecer a estrutura algébrica de anel quociente.

PRÉ-REQUISITO

O curso de Fundamentos de Matemática e a aula 10.

70

INTRODUÇÃO

Avançando na teoria dos anéis, vamos a mais uma aula. Nesta, iniciaremos o estudo dos ide-ais que são subanéis especiais, estudados inicialmente pelos matemáticos alemães Kummer e De-dekind motivados pelo famoso, último teorema de Fermat, no final do século XIX. Atualmente, a noção de ideal é fundamental na teoria dos anéis que é um dos temas centrais da álgebra comuta-tiva.

Veremos a seguir que os ideais, cumprem um papel na construção dos anéis quocientes, se-melhante ao papel dos subgrupos normais na construção dos grupos quocientes.

A partir desta aula trataremos apenas dos anéis comutativos.

O CONCEITO DE IDEAL

Definição 1. Seja um anel. Dizemos que um subconjunto de é um ideal, se cumpre as se-guintes condições:

i) é um subgrupo de .

ii) Para cada e cada ,

Notemos que em especial, , . Logo, todo ideal é subanel. Ou melhor, é um ideal se:

i)

ii) Se então ,

iii) Se e então .

Notemos que sendo , existe pelo menos um e . Se então

e .

Exemplo 1. Os subanéis e de são, trivialmente, ideais de .

Exemplo 2. Sejam um anel e . Então o conjunto dos múltiplos de em é um ideal de . De fato, pois, e se então

com , portanto . Se e , então . O ideal é chamado ideal principal de gerado

pelo elemento . Denotamos também este ideal por ou .

Exemplo 3. Sejam um anel e . O conjunto é um ideal, cha-

71

mado ideal de gerado por . A verificação de que este conjunto é de fato, um ideal é simples e deixamos como atividade. Indicamos este ideal também por ou

.

Observação. Quando tem identidade o ideal principal gerado por é o próprio . Notemos que e para cada , ou seja . Se é um corpo e é um ideal de então ou . Notemos que neste caso, se e existe e como , temos .

Exemplo 4. Na aula 2, quando estudamos o máximo divisor comum entre inteiros, estabelecemos o conceito de ideal especialmente para os inteiros. Vimos que todo ideal de é principal.

Definição 2. Quando num domínio todo ideal é principal, dizemos que o mesmo é um domínio de ideais principais (DIP).

Definição 3. Sejam um anel e . Dizemos que divide se existe um tal que

Notamos que esta definição é a mesma que estabelecemos quando estávamos estudando os inteiros e, analogamente, valem as seguintes propriedades:

i)

ii) Se e então

iii) Se e então, para todos , temos que .

Definição 4. Sejam um domínio e não todos nulas. Dizemos que é um máximo divisor comum de se:

i)

ii) Se existe tal que , então .

Exemplo 5. Para , e são máximos divisores comuns de e .

Proposição 1. Sejam um domínio e . Se então .

Demonstração. Existe tal que , logo , ou seja, . Segue que para todo , ou seja, .

Definição 5. Sejam um anel com identidade e . Dizemos que e são associados se existe um invertível tal que . Indicamos: .

72

Proposição 2. Se é um anel com identidade e são elementos associados então .

Demonstração. Seja . Como existe tal que , temos . Analogamente, , donde temos a igualdade.

Observação. A recíproca desta proposição só é verdadeira se é um domínio. Notemos que e e . Então, existem tais que e

. Sendo e domínio, segue que ou seja .

Definição 6. Sejam um anel e ideais. Definimos a soma de e como sendo o conjun-to .

Notemos que . Se e então

. Se e (com ), então . Com e , pois e são ideais, segue que

. Portanto é um ideal de .

Definição 7. Sejam um anel e ideais. Definimos o produto de por como sendo o conjunto .

Notamos que é o conjunto de todos os elementos de que podem ser escritos como uma soma com um número finito de parcelas do tipo com e .

É fácil ver que o pode ser escrito desta forma, que se são escritos desta forma, também pode ser escrito desta forma e finalmente, se e é uma soma de parcelas

do tipo com e , então também o é. Portanto é um ideal de .

Exemplo 6. Sejam e . Então:

e

Observação:

Definição 8. Sejam um anel e um ideal de . Dizemos que é um ideal primo de se, e toda vez que com , temos que ou

73

Exemplo 7. O ideal nulo e os ideais gerados por elementos primos de são todos ideais primos. Se é primo então e se com então donde temos que

ou .

Exemplo 8. Seja tal que é continua e seja . En-tão, é um ideal primo do anel . Com efeito, se e

ou g(0)=0 (⟹g . Notemos que

.

Definição 9. Sejam um anel e um ideal de . Dizemos que é maxámal se toda vez que é um ideal tal que temos ou (ou seja, não existe um ideal próprio de contendo e diferente de ).

Exemplo 9. Todos os ideais primos e não nulos de são maximais. Seja um primo e supo-nhamos que existe um ideal tal que . Então ou . Se , temos e, se , temos

ANÉIS QUOCIENTES

Sejam um anel e um ideal de Vamos definir em a seguinte relação binária:

Definição 1. Dados , dizemos que é congruente módulo e escrevemos se .

Proposição 1. A relação acima definida em é de equivalência.

Demonstração. i) .

ii) Se então .

iii) Se e então .

A classe de um elemento , módulo esta relação é:

74

O conjunto quociente é . Agora, vamos definir duas

operações uma adição e uma multiplicação no conjunto quociente do seguinte modo: dados

, e .

Proposição 2. As operações acima estão bem definidas. Ou melhor, não dependem dos represen-tantes das classes.

Demonstração. Sejam e suponhamos que e ou seja . Temos então:

. Agora,

.

Proposição 3. O conjunto quociente , munido das operações acima definidas tem estrutura de anel.

Demonstração. Dados , temos,

i)

.

ii) .

iii) existe tal que .

iv) para cada , existe tal que

.

v)

.

vi)

.

Analogamente, .

75

Notemos que se tem identidade, então tem identidade, pois,

.

Exemplo 1. Sejam e um ideal de . Notamos que . Logo,

.

Ou seja, é o anel que já estudamos na aula 3.

Proposição 4. Sejam um anel com identidade e um ideal de .

i) primo se, e somente se, domínio.

ii) maximal se, e somente se, corpo.

Demonstração. i) se não fosse um domínio, existiriam tais que

. Neste caso, e como é um ideal primo, teríamos ou , contradição.

Suponhamos que domínio. Se não fosse um ideal primo então e neste caso

, uma contradição, ou existiriam tais que com e . Mas, te-

ríamos então e contrariando a hipótese de

que é domínio.

ii) Seja logo . Segue que o ideal contém propriamente o ide-

al . Como é maximal segue que e, existem e tais que . Assim, ou seja, . Portanto, é in-

vertível e conseqüentemente é corpo.

Seja um ideal tal que e suponhamos que segue que existe

. Como é corpo e , temos que é invertivel em ou seja, existe

tal que . Logo, ou melhor,

pois e . Portanto, e é maximal.

Exemplo 2. Os ideais do tipo , de com primo são todos maximais. Com efeito, se existe um ideal de tal que então , ou seja, . Se , temos

.

76

RESUMO

Nesta aula, estudamos inicialmente o conceito de ideal, no geral definimos os domínios prin-cipais, o máximo divisor comum nestes domínios, definimos a adição e o produto de ideais defi-nimos ideais primos e maximais. No final estudamos conceito de anel quociente onde estabelece-mos os dois resultados importantes de que quando um ideal é primo (maximal) o quociente é do-mínio (corpo).

ATIVIDADES

1. Seja uma família de ideais de um anel . Prove que é também um ideal de .

2. Seja uma cadeia ascendente de ideais de . Prove que existe um tal que . (Anéis que tem esta propriedade são chamados Noetheria-

mos).

3. Se e J são ideais de um anel . Prove que em geral não é um ideal.

4. Sejam ideais de um anel . Prove que:

a)

b)

c) .

d)

5. Sejam um anel comutativo e o nilradical de .prove que é um ideal de . Prove tam-

bém que o único elemento nilpotente do anel quociente é .

6. Sejam um anel e um ideal de . Defina tal que para algum

. Prove que é um ideal de . (Este ideal é chamado o radical de ).

7. Seja o anel das funções contínuas e seja um ideal maximal de . Prove que para cada existe um tal que .


Na primeira atividade você, caro aluno, deve ter aplicado apenas a definição de ideal.

77

Na segunda atividade, você deve ter usado o fato de que o domínio dos inteiros é principal, conseqüentemente, fatorial. Se a cadeia ascendente de ideais não estabilizasse, teríamos algum in-teiro com infinitos divisores.

Na terceira atividade, você deve ter notado que a união de dois ideais só é um ideal, quando um é subconjunto do outro.

Na quarta atividade, se você a fez, deve ter apenas aplicado a definição de ideal e as respecti-vas definições.

Nas quinta e sexta atividades, você deve ter usado novamente a definição de ideal e como se trata de anéis comutativos, a fórmula do binômio de Newton pode ser aplicada.

Na sétima atividade você deve ter percebido que se a afirmação não fosse verdadeira a fun-ção 1 pertenceria ao ideal e o mesmo não seria maximal.

REFERÊNCIAS




78

Aula 12HOMOMORFISMO DE ANÉIS

META

Estabelecer o conceito de Homomorfismo de Anéis.

OBJETIVOS

Reconhecer e classificar homomorfismos de anéis.

Aplicar as propriedades básicas dos homomorfismos na resolução de problemas.

Aplicar o primeiro teorema dos isomorfismos.

PRÉ – REQUISITOS

As aulas 6, 10 e 11.

78

INTRODUÇÃO

Nesta aula, caro aluno, continuaremos o estudo dos homomorfismos que começamos na aula 6, onde lá os domínios e contradomínios eram grupos, aqui são anéis. É importante neste momento que você reveja a aula 6.

Como já dissemos anteriormente, os homomorfismos são aplicações que servem para com-parar estruturas algébricas de mesma natureza. Os termos aqui usados são basicamente os mes-mos que usamos para grupos. Temos núcleo e imagem de homomorfismo, os três teoremas de isomorfismos, etc.

O CONCEITO

Definição 1. Sejam e anéis e uma aplicação de em . Dizemos que é um homomor-fismo se e .

Exemplo 1. Sejam e anéis a aplicação nula é um homomor-fismo de anéis. Notemos que e

.

Exemplo 2. Seja um anel. A identidade de é um homomorfismo de em . De fato, para e .

Exemplo 3. Sejam um anel e I um ideal. Seja dada por . Claramente

é um homomorfismo de anéis. Sejam então e,

. Chamamos este homomorfismo ou

projeção canônica de sobre .

A um homomorfismo de um anel nele próprio chamamos um endomorfismo de .

A um homomorfismo injetivo, chamamos monomorfismo de em .

A um homomorfismo bijetivo, chamamos isomorfismo de em . Neste caso dizemos que e são anéis isomorfos.

A um isomorfismo de um anel nele próprio, chamamos um automorfismo de .79

Proposição 1. Sejam e anéis e um homomorfismo. Então:

i)

ii) .

iii) Se e são domínios então é a aplicação nula ou .

Demonstração.

i) .

ii) .

iii) , ou .

Exemplo 4. O único automorfismo de é o homomorfismo identidade. De fato, seja

um automorfismo. Então, como é um domínio . Assumindo por indução, que para

, , . Logo .

Finalmente, . Segue que .

Portanto, , ou seja, .

Definição 3. Seja um homomorfismo de anéis. Definimos o núcleo de como sendo o conjunto .

Proposição 2. Seja um homomorfismo de anéis. Então, é um ideal de e é um subanel de .

Demonstração. Como e . Sejam . Então .

Sejam e . Então, . Ou seja, . Portanto é um ideal de .

80

Agora, de e se , existem , tais que e . Segue que e que . Portanto, é um subanel de .

Proposição 3. Seja um homomorfismo de anéis. Então,

é injetiva se, e somente se, .

Demonstração. Se é injetiva, como segue que . Se e então , ou seja, é injetiva.

ISOMORFISMOS CANÔNICOS E O TEOREMA DA CORRESPONDÊNCIA

Proposição 1. (1º Teorema do Isomorfismo de Anéis). Se é um homomorfismo so-

brejetivo de anéis e , então os anéis e são isomorfos. Precisamente, a aplicação

dada por é um isomorfismo.

Demonstração. Notemos inicialmente que se , ou seja, se então

e donde temos que . Logo, está bem definida. Como,

e

, logo, é um homomorfismo.

Finalmente, ou seja,

é injetiva. Como segue que:

é um isomorfismo de anéis.

Escrevemos: .

81

Exemplo 1. Dados dois anéis A e B definimos o produto direto dos anéis A e B como sendo o anel no qual estão definidas as operações dadas

, e . O zero deste anel é . Quando e , com e ,

a aplicação , dada por é sobrejetiva e tem

núcleo . Do primeiro teorema dos isomorfismos segue que

Vamos às contas!

Afirmação. é um homomorfismo.

De fato, dados ,

Analogamente, .

Afirmação. .

Seja e suponhamos que . Ou seja, e . Segue que , ou seja, . Como , temos que isto é,

. Se então e donde temos que e de modo que ou seja, .

Afirmação.(Teorema chinês dos restos). A aplicação é sobrejetiva. De fato

, como existe um tal que ,

portanto e de modo que .

Notemos que, sendo , existem tais que . Tome como sendo então:

82

e como segue que

e como temos que .

Proposição 2. (2º teorema dos isomorfismos de anéis). Sejam um anel, um ideal de e um subanel de . Então é um subanel de é um ideal de

é um ideal de e vale:

Demonstração. Vamos mostrar apenas o isomorfismo. Com efeito, consideremos a aplicação

dada por . Então,

.

Analogamente, ou seja, é um homomorfismo.

Agora, . Logo, .

Finalmente, dado com e , notemos que , pois . Assim, , ou seja, é sobrejetiva. Segue do 1º teorema dos isomorfismos que

, como queríamos demonstrar.

Proposição 3. (3º teorema dos isomorfismos para anéis). Sejam uma anel, ideais de com

. Então é um ideal de , é um ideal de e temos o isomorfismo de anéis.

.

Demonstração. Demonstraremos apenas o isomorfismo. Consideremos a aplicação:

dada por . É fácil ver que é um homomorfismo. Seja

.

Logo, .

83

Dado , temos que , ou seja, é sobrejetiva. Logo, do 1º teorema,

segue que , como queríamos demonstrar.

Observação. Caro aluno, os dois últimos teoremas têm valor teórico, podem ser utilizados em cursos futuros e nós queremos apenas que você olhe para eles, neste momento, como exemplos de aplicações do primeiro teorema.

Proposição 4. (Teorema da correspondência). Seja um homomorfismo sobrejetivo de anéis. Existe uma bijeção entre ideais de contendo e ideais de dada por .

Demonstração. Primeiro, notemos que como é sobrejetiva, para cada ideal de é um ideal de . Para ver isto, . Se , existem tais que

e de modo que e como , segue que .

Dados existem tais que e como , ou seja, um ideal de .

Agora, sejam um ideal de contendo tais que . Então isto é, , ou

seja, a correspondência é injetiva.

Dado , o conjunto é um ideal de , pois, dados

Se a e então e como segue que e consequentemente

Logo é tal que donde temos que a correspondência entre ideais de contendo e suas imagens diretas em é uma bijeção.

RESUMO

Nesta aula começamos definindo, exemplificando e classificando os homomorfismos de anéis. Definimos núcleo e imagem destes homomorfismos e, em seguida estabelecemos os seus teoremas clássicos, os três de isomorfismos e o da correspondência que são ferramentas básicas para cursos de Álgebra posteriores.

84

ATIVIDADES

1. Prove que o único automorfismo de é a identidade .

2. Prove que os subcorpos de e

não são isomorfos.

3. Sejam e anéis e sejam e dadas por e . Prove que ambas são homomorfismos sobrejetivos (epimorfismos). Calcule

e conclua que e .

4. Sejam e inteiros positivos coprimos e a função Phi de Euller. Prove que

.

5. Sejam e anéis comutativos com identidades e um homomorfismo sobrejeti-vo. Prove que é um ideal primo se, e somente se é primo.


Na primeira atividade, você deve ter usado o exemplo 4, para concluir que e notado que para cada .

Na segunda atividade, você deve ter notado que se existisse um isomorfismo então, por ser teríamos o que não é verdade.

Na terceira atividade, você deve ter usado as respectivas definições e o 1º teorema dos iso-morfismos.

Se você conseguiu fazer a quarta atividade, deve ter usado o exemplo 4 e a definição da fun-ção Phi de Euller.

Notemos que na quinta atividade estamos afirmando que no teorema da correspondência, o correspondente de um ideal primo é também um ideal primo. Para provar este resultado, você deve ter apenas usado com cuidado a definição de ideal primo.

REFERÊNCIAS

85




86

Aula 13DOMÍNIOS EUCLIDIANOS

META

Estabelecer o conceito de domínio euclidiano.

OBJETIVOS

Reconhecer domínios euclidianos.

Aplicar as propriedades dos domínios euclidianos na resolução de problemas.

PRÉ – REQUISITO

Aula 10.

INTRODUÇÃO

85

O algoritmo da divisão em , estudado na aula 2, em essência, diz que em , podemos fazer a divisão de um elemento por outro (não nulo) obtendo um “resto pequeno”, ou mais preci-samente, um resto cujo valor absoluto seja menor do que o valor absoluto de . Um domínio eu-clidiano nada mais é do que um domínio que tem um algoritmo similar ao de Euclides em . Aliás, os inteiros munidos do algoritmo de Euclides é um exemplo de domínio euclidiano.

O CONCEITO DE DOMÍNIO EUCLIDIANO

Definição 1. Dizemos que um domínio é euclidiano, se existe uma função sa-tisfazendo as seguintes propriedades:

i) , existem tais que e ou .

ii) , temos .

Exemplo 1. Sejam e (a função valor absoluto, ). Então, o algo-ritmo de Euclides afirma que dados com , existem tais que e

. Notemos que a condição é equivalente a ou . Dados , como e temos que . Ou seja, é um do-

mínio Euclidiano.

Exemplo 2. Seja um corpo e seja a função nula. Então, dados existem e tais que e . Além disto, se , então

. Logo, é um domínio euclidiano.

Exemplo 3. Seja o subdomínio dos complexos formados pelos números que têm partes real e imaginária inteiras (Este domínio é conhecido como o anel dos inteiros gaussianos).

Seja , dada por que evidentemente, é multiplicativa, isto é, e seja a função restrição de a com contradomí-

nio . Então, e .

Afirmação. é um domínio euclidiano. Com efeito, sejam onde . Vamos exibir tais que e ou . Escrevendo

com , temos , ou seja,

.

86

Agora sejam tais que e sejam tais que e

. É fácil ver que estes inteiros existem! Tomemos agora, e .

Assim,

=

.

Portanto, existem tais que e . Notemos que esta últi-ma igualdade é equivalente a ou .

Finalmente, dados , temos e de modo que .

Notemos que a escolha de e como fizemos não garante a unicidade do par . No caso

de e . Neste caso deve ser tal que e

.

Podemos escolher e no conjunto ou seja, pode ser ou .

Proposição 1. Todo domínio euclidiano é principal.

Demonstração.

Sejam um domínio euclidiano e um ideal não nulo de . Sejam

e . Então o ideal . Seja e sejam tais que onde ou . Como e temos que e

. Portanto .

Sejam elementos de um domínio euclidiano , não todos nulos. Um ele-mento tal que cumpre as seguintes condições:

i)

ii) Existem tais que

iii) Se existe tal que então .

87

Portanto, é um máximo divisor comum de .

Para o cálculo de um máximo divisor comum, podemos usar o algoritmo de Euclides, das divisões sucessivas em todo domínio euclidiano.

Exemplo 4. Vamos em , calcular um máximo divisor comum dos elementos e . Façamos:

é um máximo divisor comum de e em .

Observação. Vejamos na atividade 1 que . Logo, cada ideal não nulo de tem quatro geradores e é fácil ver que em cada quadrante do plano complexo, tem um destes ge-radores. Dados não todos nulos, escolhemos, por definição, um dos má-ximos divisores comuns, para ser “o máximo divisor comum” aquele que está no primeiro qua-drante. O indicaremos por . Precisamente, ou , . Por exemplo,

.

Exemplo 5. Seja e . É fácil ver que

é um subdomínio do corpo dos números complexos. Para cada , notemos que

Notando que e temos que .

Consideremos a função dada por . Claramente é multiplicativa, ou seja, . Vamos provar que

é um domínio euclidiano.

Afirmação: Dados , onde , existem e tais que e ou . Se , então .

De fato, queremos encontrar e tais que e ou . Escre-

vendo e com , como fizemos no caso dos inteiros

gaussianos, tomemos tais que e , façamos e

. Agora,

88

Ou seja, .

Portanto, dados com existem e (não necessariamente únicos) tais que e . Notando que , temos que para

e que de modo que . Podemos então concluir que é um domínio euclidiano.

Observação. Outro exemplo de domínio euclidiano é o dos polinômios em uma única indetermi-nada (variável) sobre um corpo que será estudado no curso de Estruturas Algébricas II.

RESUMO

Nesta aula, estudamos os domínios euclidianos, dos quais, os inteiros é um exemplo. Vimos também que todo domínio euclidiano (DE) é um domínio de ideais principais e exibimos dois domínios euclidianos e .

ATIVIDADES

1. Sejam um domínio euclidiano, não nulos, um de e um de . Prove que e são associados.

2. Prove que e não são corpos.

3. Determine todos os invertíveis de e os de .

4. Seja um elemento primo de , prove que existe um elemento primo de tal que .

5. Se é tal que é um elemento primo de , prove que é um elemento primo de .

6. Seja . Prove que este subdomínio de , munido da apli-

cação dada por é um domínio euclidiano.


89

Se você, caro aluno, fez a primeira atividade, você deve ter notado que se trata do lema cru-cial que usamos no cálculo do máximo divisor comum por divisões sucessivas (de Euclides). Bas-ta provar que e .

Na segunda questão, dado , você deve ter notado que a equação nem sempre tem solução no domínio.

Na terceira atividade, você deve ter observado que é invertível se, e somente se, .

Na quarta atividade, você deve ter notado que e usado o fato de que é um elemento primo.

Na quinta, você não deve ter tido dificuldades, pois, .

Na sexta atividade, você deve ter imitado as demonstrações feitas na aula de que e são domínios euclidianos.

REFERÊNCIAS




90

Aula 14DOMÍNIOS FATORIAIS

META

Estabelecer o conceito de domínio fatorial.

OBJETIVOS

Aplicar a definição de domínio fatorial na resolução de problemas.

Estabelecer a definição de máximo divisor comum em domínios fatoriais.

Reconhecer elementos primos em domínios.

PRÉ – REQUISITO

As aulas 10, 11, 12 e 13 deste curso.

90

INTRODUÇÃO

Quando estudamos os números inteiros, tivemos a oportunidade de verificar que os núme-ros primos (irredutíveis) do ponto de vista da divisibilidade são bastante simples, além disto, vale o teorema fundamental da Aritmética, ou seja, através da multiplicação de primos podemos gerar todos os inteiros não nulos e não invertíveis.

Nosso objetivo aqui é apresentar o conceito de domínio fatorial que é uma extensão desta propriedade dos inteiros. Ou melhor, o domínio é o primeiro exemplo de Domínio Fatorial.

O CONCEITO DE DOMÍNIO FATORIAL

Definição 1. – Dizemos que um domínio D é fatorial (ou de fatoração única) se as seguintes con-dições são satisfeitas:

i) Todo elemento a não nulo e não invertível admite uma fatoração do tipo:

Onde e são irredutíveis.

ii) Se um elemento admite duas fatorações e

do tipo então e existe uma permutação tal que

para .

Informalmente, num Domínio Fatorial (DFU) todo elemento não nulo e não invertível ou é irredutível ou é um produto de elementos irredutíveis, e esta fatoração é única, a menor da ordem dos fatores e de multiplicação por invertíveis.

Exemplo 1. Segue do teorema Fundamental da Aritmética que é um DFU.

A proposição a seguir fornece uma caracterização dos domínios fatoriais da qual podemos concluir que todo domínio principal (e, portanto todo domínio euclidiano) é fatorial.

Proposição 1. Seja D um domínio. Então D é um Domínio Fatorial se, e somente se valem as se-guintes proposições:

i) Todo elemento irredutível de D é primo.

ii) Toda cadeia ascendente de ideais principais de D é estacionária, isto é, se é uma sequência de ideais, então existe um

tal que, .

91

Demonstração. Sejam onde é irredutível e . Então existe tal que . Como , e D é fatorial, possuem fatorações do tipo ,

ou seja,

Pela unicidade da fatoração de (ou ) segue que é associado de um ou de um . No primeiro caso, e no segundo . Portanto é primo.

Por outro lado, consideremos uma cadeia ascendente de ideais principais

.

Como para , as fatorações de têm as formas

Onde . Logo para algum temos que é associado de e consequentemente

Ou seja, a cadeia é estacionária.

Agora, suponhamos que D é um domínio para o qual valem “i)” e “ii)”. Seja um ele-mento não nulo e não invertível, e suponhamos, por contradição, que a não tenha uma fatoração do tipo .

Então, onde ou b não admite uma fatoração do tipo e ambos são não nulos e não invertíveis. Fazendo e escolhendo um elemento entre b e c que não admite uma fatoração do tipo , por indução construímos uma sequência

onde, e .

Segue que os ideais principais são tais que

Contrariando a hipótese de que toda cadeia ascendente é estacionária. Portanto, o domínio D é fatorial.

92

Observação. Sabemos que todo domínio euclidiano é de ideais principais e que em todo domínio de ideais principais, ser irredutível implica ser primo e toda cadeia ascendente de ideais estabiliza. Do teorema acima segue que todo domínio principal é fatorial.

Exemplo 2. Considerando a observação acima podemos afirmar que e são domínios fatoriais.

Observação. Lembremos que um corpo é um domínio euclidiano no qual não existem irredutí-veis. Neste caso extremo, temos um Domínio Fatorial onde os tais elementos não nulos e não in-vertíveis se existissem seriam produtos de irredutíveis.

Observação. No curso de Estruturas Algébricas II, você caro aluno, estudará anéis de polinômios numa indeterminada sobre domínios. Em particular, o anel dos polinômios em uma indetermina-da com coeficientes inteiros é um exemplo de domínio fatorial que não é principal.

Vamos terminar esta aula estudando o exemplo de Kummer de um domínio que não é fato-

rial. Trata-se do conjunto .

É fácil verificar que D é um subdomínio do corpo dos números complexos.

A função norma dada por que inclusive já estudamos as res-

pectivas de e tem aqui também um papel importante.

Proposição 2. Seja . As afirmações a seguir são equivalentes:

i) ;

ii) ;

iii)

Demonstração. (Atividade)

Proposição 3. Seja não nulo e não invertível. Se, para cada divisor d de

, a equação diofantina Não tem solução, então é um elemento irredutível.

Demonstração. Suponhamos, por contradição, que seja irredutível e seja

Onde os fatores e são não nulos e não in-

vertíveis em . Da proposição anterior, e . Logo,

.

Assim, para , o par é uma solução da equação diofantina , uma contradição.

93

Exemplo 14.2.3. É fácil ver que para , divisor próprio de , a equação diofanti-

na não tem solução. Portanto, é irredutível em .

Analogamente, para , a equação diofantina também não tem solução. Portanto

também é irredutível em .

Exemplo 14.2.4. Os elementos e são irredutíveis em pois para cada divi-

sor próprio de que pertence ao conjunto , a equação diofantina não admite solução.

Agora considerando os conteúdos dos exemplos 14.2.3 e 14.2.4 e notando que

temos que, em , o elemento admite duas fatorações dis-

tintas como produto de irredutíveis, donde concluímos que é um domínio que não é fatori-al. Notemos ainda que, por exemplo, não é primo em , haja visto que

, e .

RESUMO

Nesta aula, caro aluno, definimos Domínios Fatoriais, estabelecemos uma primeira caracteri-zação dos Domínios Fatoriais, da qual concluímos que domínios principais são fatoriais e termi-namos a aula estabelecendo o exemplo de Kummer de um Domínio que não é fatorial.

ATIVIDADES

1. Seja a um inteiro positivo e seja tal que (ou seja, ). Prove que não é racional.

2. Sejam e as fatorações em primos positivos dos intei-ros a e b onde, . Prove que e

onde e para

3. Prove que os elementos e da atividade , verificam a relação: .

4. Num Domínio Fatorial, um elemento é um máximo divisor comum dos elementos não nu-los e se, e se existe tal que então . Se , es-creva em função dos fatores irredutíveis de e .

5. Mostre que se é um elemento primo do domínio de Kummer então divide um elemento primo de .

94


Na primeira atividade, caro aluno, você deve ter assumido, por contradição, que é racional contrariando o fato de que é um Domínio Fatorial.

Nas segunda e terceira atividades você, usando as respectivas definições de e não deve ter tido dificuldades para provar tais afirmações.

Na quarta atividade, você deve ter usado o caso especial da atividade como inspiração.

Na quinta atividade, se você caro aluno, conseguiu êxito, deve ter notado que e usado o teorema fundamental da Aritmética.

REFERÊNCIAS



95

Aula 15CORPO DE FRAÇÕES DE UM DOMÍNIO

META

Estabelecer o conceito de corpo de frações de um domínio.

OBJETIVOS

Identificar o corpo de um domínio.

Aplicar as propriedades do corpo de frações de um domínio na resolução de proble-mas.

PRÉ-REQUISITOS

O curso de Fundamentos de Matemática e as aulas 10, 12, e 14 deste curso.

96

INTRODUÇÃO

Caro aluno, finalmente vamos à ultima aula deste nosso primeiro curso em Estruturas Algé-bricas; espero que você esteja gostando. Nesta aula vamos mostrar que dado um domínio D é possível sempre estabelecer, a partir de D, um corpo que o tenha como subdomínio. Chamamos este corpo de corpo de frações de D e o indicamos por .

O primeiro exemplo de construção de um corpo de frações de um domínio é estudado, em-bora do modo informal, no ensino fundamental, quando definimos um racional como sendo um número que pode ser posto na forma , onde e são inteiros e .

O CONCEITO DE CORPO DE FRAÇÕES DE UM DOMÍNIO

Seja D um domínio qualquer. Vamos definir uma relação de equivalência no conjunto do seguinte modo: dados , então se, e

somente se, .

Notemos que e que ,trivialmente. Quanto à transitividade, suponhamos que e que . Por definição, e . Multiplicando a primeira igualdade por e a segunda por , obtemos e

, donde temos . Logo e, portanto . Denotemos a classe de equivalência de por , ou seja,

Indicamos o conjunto quociente de módulo esta relação por .

Sejam .

Definição 1.

Definição 2.

Notemos que, como a adição e a multiplicação foram acima definidas, devemos justificar que as mesmas não dependem dos representantes das classes. Com efeito, sejam e .

Agora, notemos ainda que é equivalente a ou

equivalente a .

Como, por hipótese, e , temos a ultima igualdade verificada e con-seqüentemente a primeira.

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A verificação da multiplicação é também simples e deixamos caro aluno, como atividade.

Notemos que o elemento é neutro para a adição:

, e que o elemento é neutro para a multi-

plicação: .

Se, então, , ou seja, todo elemento tem inverso mul-

tiplicativo.

Aliás, tem estrutura de corpo. As demais propriedades são de fácil verificação e de uma rotina tediosa e se você, caro aluno quer fazê-las como atividade, vá em frente!

Agora, consideremos a aplicação dada por .

Notemos que

, e que

,

Logo é um homomorfismo de anéis. Além disto,

ou seja, é injetiva. Segue que

. Identificando por em , podemos assumir que é um subdomínio do corpo .

Exemplo 1.

Exemplo 2. É de fácil verificação que o conjunto munido das restrições das operações de adição e multiplicação usuais, é um subcorpo de . Afirmamos: O corpo de frações do domínio (dos inteiros de Gauss) é a menos de isomorfismo, .

Para justificarmos esta afirmação, consideremos a aplicação

, dada por . Notemos que se em então

donde temos que em donde temos que não depende dos re-

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presentantes das classes. Por outro lado, se , então

Facilmente, também se verifica que .

Portanto é um homomorfismo de em .

Agora, notemos que em ou

seja, é injetiva.

Finalmente, seja . Então existem tais que e de modo que

Fazendo , temos que e, conseqüentemen-

te, é sobrejetiva.

Concluímos então que é um isomorfismo de em .

Afirmamos simplesmente que é o corpo de frações de .

RESUMO

Nesta aula, dado um domínio D, usando uma relação de equivalência em , construímos um corpo, dependendo apenas de D, chamado o corpo de frações de D, corpo este que contém um subdomínio isomorfo a D que, tecnicamente, é conveniente identificá-lo como sendo o próprio D.

ATIVIDADES

1. Considere o subdomínio de . Identifique o sub-corpo de que, a menos de isomorfismo, é .

2. Seja D um domínio e . Se é um corpo tal que , prove que .

3. Se o domínio D é um corpo, prove que .

4. Assumindo a conhecida relação de ordem total em , estabeleça em uma ordem total da qual em é uma restrição.

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5. Identifique o subcorpo de que é o corpo de frações de . .


Nas atividades 1 e 5, você deve ter imitado o segundo exemplo. Na quinta, se você percebeu que e que você deve ter reduzido o seu trabalho.

Na segunda atividade, basta notar que se , então . Costumamos interpretar esta atividade dizendo que é o menor subcorpo que contém D.

Na terceira atividade, você deve ter notado que a imagem do homomorfismo dado por é um subcorpo de e aplicando o exercício anterior.

Na quarta atividade, você deve ter usado fortemente o fato de que para quaisquer dois racio-nais e não negativos existem tais que e .

REFERÊNCIAS



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estruturas algebricas i

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