estudo do controlador lqg/ltr aplicado a inversores...
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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELÉTRICA
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
LETÍCIA DE ABREU ARAÚJO
ESTUDO DO CONTROLADOR LQG/LTR APLICADO A
INVERSORES MONOFÁSICOS
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
PATO BRANCO
2017
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LETÍCIA DE ABREU ARAÚJO
ESTUDO DO CONTROLADOR LQG/LTR APLICADO A
INVERSORES MONOFÁSICOS
Trabalho de Conclusão de Curso degraduação, apresentado à disciplina deTrabalho de Conclusão de Curso 2,do Curso de Engenharia Elétrica daCoordenação de Engenharia Elétrica - CO-ELT - da Universidade Tecnológica Federaldo Paraná - UTFPR, Câmpus Pato Branco,como requisito parcial para obtenção dotı́tulo de Engenheira Eletricista.
Orientador: Prof. Dr. Rafael Cardoso
PATO BRANCO
2017
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TERMO DE APROVAÇÃO
O Trabalho de Conclusão de Curso intitulado ESTUDO DO CONTROLA-
DOR LQG/LTR APLICADO A INVERSORES MONOFÁSICOS do acadêmico Letı́cia
de Abreu Araújo foi considerado APROVADO de acordo com a ata da banca exami-
nadora N◦ 165 de 2017.
Fizeram parte da banca examinadora os professores:
Prof. Dr. Rafael Cardoso
Prof. Dr. Emerson Giovani Carati
Prof. Dr. Jean Patric da Costa
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AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a Deus, minha famı́lia pelo apoio em todos os mo-
mentos e por acreditar em meus sonhos, aos meus amigos que sem eles esse tra-
balho e o caminho percorrido na graduação teria sido muito mais difı́cil, e ao meu
namorado, pelo incentivo, paciência e companheirismo durante a graduação e no de-
senvolvimento deste trabalho.
Também devo agradecer ao professor Rafael Cardoso pela oportunidade de
orientação e desenvolvimento deste trabalho, sempre me incentivando e mostrando
que podemos melhorar.
Finalmente, agradeço à UTFPR, universidade que abriu as portas para uma
nova etapa em minha vida, tornando possı́vel a minha graduação como Engenheira
Eletricista.
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RESUMO
ARAÚJO, Leticia de Abreu. Estudo do controlador LQG/LTR aplicado a In-versores Monofásicos. 2017. 51p. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação emEngenharia Elétrica) - Universidade Tecnológica Federal do Paraná, 2017.
A geração distribuı́da possibilita o consumidor brasileiro gerar sua própriaenergia elétrica e injetar o excedente na rede, esses sistemas em sua totalidade utili-zam inversores para a conexão com à rede de energia elétrica. Para que a conexãocom a rede de energia elétrica ocorra na forma correta é necessário um sistema decontrole que atue sobre o inversor do sistema. Este trabalho apresenta a utilização docontrolador LQG/LTR aplicado a inversores monofásicos conectados a rede de ener-gia elétrica. Para a realização do estudo do controlador LQG/LTR são consideradasvariações na impedância da rede e um ruı́do de medida. Para verificar os resultadosutilizou-se o controlador ressonante para propósito de comparação, pois o mesmo jávem sendo estudado para sistemas conectados a rede. Através deste estudo, pode-seconcluir a eficácia do controlador LQG/LTR diante das incertezas e distúrbios no pontode conexão do inversor monofásico com a rede de energia elétrica.
Palavras-chave: Inversores conectados à rede, controle, controlador PR, controladorLQG/LTR.
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ABSTRACT
ARAÚJO, Leticia de Abreu. LQG / LTR Controller Study Applied to Single-Phase Inverters. 2017. 51p. Undergraduate Thesis (Bachelor’s degree in ElectricalEngineering) - Federal University of Technology - Paraná. Pato Branco, 2017.
Distributed generation allows the Brazilian consumer to generate its ownelectricity and inject surplus into the grid, these systems in their entirety use invertersto connect to the grid. In order for the connection to the electricity grid to take placein the correct way, a control system is required that acts on the system inverter. Thiswork presents the use of the LQG / LTR controller applied to single phase invertersconnected to the electric power grid. In order to perform the LQG / LTR controller study,variations in the network impedance and a disturbance signal at the point of connectionto the network are considered. To verify the results, the resonant controller was usedfor comparison purposes, since it has already been studied for systems connected tothe network. Through this study, one can conclude the efficiency of the LQG / LTRcontroller in the face of uncertainties and disturbances at the point of connection of thesingle-phase inverter with the electric power grid.
Keywords: Single-Phase Grid-Connected Inverters, control, PR controller, LQG/LTRcontroller.
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Sistema de Geração de Energia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Figura 2: Inversor monofásico de topologia ponte completa conectado à
rede. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Figura 3: S1 e S2 operando de forma complementar. . . . . . . . . . . . . 15
Figura 4: Diagrama de Bode do controlador ressonante Ideal e Não Ideal. 17
Figura 5: Diagrama de blocos de um sistema a ser estudado. . . . . . . . 18
Figura 6: Modelo do bloco PLL, utilizado neste trabalho. . . . . . . . . . . 19
Figura 7: Diagrama de Bode de malha aberta do controlador ressonante
e da planta G(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Figura 8: Diagramas de Bode de malha aberta do controlador ressonante
e da planta G(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Figura 9: Sistema considerando a impedância da rede. . . . . . . . . . . 23
Figura 10: Efeito do aumento da impedância da rede no sistema. . . . . . 24
Figura 11: Efeito do aumento da impedância da rede no sistema. . . . . . 25
Figura 12: Corrente de referência e corrente de saı́da do inversor monofásico
controlada pelo controlador ressonante. . . . . . . . . . . . . . . 27
Figura 13: Erro de rastreamento no caso 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Figura 14: Corrente de referencia e corrente de saı́da do inversor monofásico
no Caso 2 14(a) e no Caso 3 14(b). . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Figura 15: Erro de rastreamento no Caso 2 15(a) e no Caso 3 15(b). . . . 29
Figura 16: Diagramas de Bode de malha aberta do controlador ressonante
e da planta G(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Figura 17: Corrente de referencia e corrente de saı́da do inversor monofásico
no Caso 2 17(a) e no Caso 3 17(b). . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Figura 18: Erro de rastreamento no Caso 2 18(a) e no Caso 3 18(b). . . . 32
Figura 19: Diagrama de blocos de Gn(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
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Figura 20: Diagrama de blocos do controlador LQG. . . . . . . . . . . . . . 36
Figura 21: Sensibilidade S(s) do sistema controlado pelo método LQG/LTR. 39
Figura 22: Sensibilidade Complementar T (s) do sistema controlado pelo
método LQG/LTR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Figura 23: Corrente de referência e a corrente de saı́da do inversor mo-
nofásico no Caso 2 (a) e no Caso 3 (b). . . . . . . . . . . . . . . 41
Figura 24: Erro de rastreamento no Caso 2 (a) e no Caso 3 (b). . . . . . . 42
Figura 25: Diagram de Bode de malha fechado da atuação do controlador
ressonante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Figura 26: Diagrama de Bode de malha fechada da atuação do controlador
LQG/LTR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
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LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Máxima Distorção Harmônica de corrente em Percentuais de Cor-
rente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Tabela 2: Dados do sistema ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Tabela 3: Dados do sistema considerando a impedância da rede. . . . . . 23
Tabela 4: Margem de ganho e de fase para os casos 1, 2 e 3. . . . . . . . 24
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SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1 OBJETIVO GERAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 INVERSOR MONOFÁSICO PONTE COMPLETA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 CONTROLADOR RESSONANTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 CONTROLADOR LQG/LTR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 PHASE-LOCKED LOOP - PLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 SÍNTESE DO CONTROLADOR RESSONANTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 SISTEMA SEM IMPEDÂNCIA DA REDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 ANÁLISE DA ESTABILIDADE CONSIDERANDO-SE OS EFEITOS DA IM-
PEDÂNCIA DA REDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 RESULTADOS DA ATUAÇÃO DO CONTROLADOR RESSONANTE . . . . . . . 26
4.1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2 CONTROLADOR RESSONANTE CONSIDERANDO REDE IDEAL . . . . . . . . 26
4.3 CONTROLADOR RESSONANTE CONSIDERANDO IMPEDÂNCIA DE REDE
NÃO NULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5 SÍNTESE DO CONTROLADOR LQG/LTR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2 MODELAGEM DO SISTEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.3 CONTROLADOR LQG/LTR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
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5.4 PROJETO DO CONTROLADOR LQG/LTR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.5 RESULTADO DA ATUAÇÃO DO CONTROLADOR LQG/LTR . . . . . . . . . . . . . . 39
6 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS OBTIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
ANEXO A - CÓDIGO DO CONTROLADOR LQG/LTR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
ANEXO B - SIMULAÇÃO UTILIZADA PARA OBTENÇÃO DOS RESULTADOS . 50
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10
1 INTRODUÇÃO
A geração de energia elétrica vem sendo repensada no mundo. Uma pes-
quisa realizada pela Agência Internacional de Energia mostra um aumento na utilização
de fontes renováveis para a geração de energia elétrica, em relação a outras fontes
primárias de energia. Em números, a pesquisa diz que desde 1990, a geração de
energia por fontes renováveis no mundo cresce na média de 3,6% no ano, o que é
ligeiramente mais rápido que a taxa de crescimento de todas as fontes primárias de
energia no mundo que cresce no mesmo perı́odo um percentual de 2,9% (AGENCY,
2016).
No Brasil, de acordo com a Administração de Informação de Energia, a
geração de energia através de fontes renováveis também tem perspectiva de aumento
(AGENCY, 2016). Inclusive a Agência Nacional de Energia Elétrica (ANEEL) tem incen-
tivado a adoção de medidas que buscam soluções alternativas as matrizes já existen-
tes, como a geração distribuı́da, no qual o consumidor pode gerar sua própria energia
elétrica a partir de fontes renováveis ou a cogeração qualificada e fornecer o exce-
dente de energia gerada para a rede de distribuição de sua localidade (ANEEL, 2015).
Assim, a geração distribuı́da permite o consumidor conectar o seu sistema
de geração de energia na rede de distribuição elétrica. Para a conexão desses siste-
mas, tais como o sistema fotovoltaico, são utilizados inversores. Na qual, a função do
inversor é realizar a conversão de tensão CC em CA pois, usualmente, há um estágio
CC para o armazenamento de energia (KANIESKI, 2010).
Os inversores geralmente podem ser classificados segundo ao número de
fases como inversores monofásicos e inversores trifásicos. O inversor escolhido para
estudo é o monofásico, pois é o mais utilizado em aplicações de baixa potência, que
é a que ocorre, por exemplo em sistemas fotovoltaicos residenciais. Esses inverso-
res em geral usam sinais de controle PWM para produzir uma corrente CA de saı́da
(RASHID, 1999), neste trabalho utiliza-se o controle PWM.
Com isso, a Figura 1 descreve o sistema considerado neste trabalho. O
bloco Geração de Energia representa os painéis fotovoltaicos e o conversor CC/CC
utilizado para garantir o máximo aproveitamento de potência do conjunto de painéis.
Como este trabalho tem seu escopo no controle do inversor, este bloco não é deta-
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1 Introdução 11
lhado. O bloco Sistema de Controle é o responsável pela correta operação do inversor
e será detalhado ao longo do trabalho. Da mesma forma, a topologia do inversor
utilizada é um inversor monofásico de ponte completa.
Conversor CC/CC
InversorCC/CA
Sistema de Controle
PWM
Rede Elétrica
VREDE
IREDE
Geração deEnergia
Figura 1: Sistema de Geração de Energia.Fonte: Autoria própria
Uma das maiores dificuldades encontrada pelo controle de sistemas dis-
tribuı́dos é no ponto de conexão do inversor com a rede de energia elétrica, devido
as incertezas ocasionadas pelos tipos de cargas conectadas e a impedância da rede
vista no ponto de conexão. Estes distúrbios permitem a presença de harmônicas no
ponto de conexão do inversor com a rede (CHEN et al., 2017).
Assim, o objetivo deste trabalho é o estudo de um método de Controle Ro-
busto que garanta a estabilidade e o desempenho do sistema, mesmo em condições
onde perturbações e incertezas estejam presentes (LUQUE, 2007).
O controlador LQG/LTR, é caracterizado como um controlador robusto mul-
tivariável e os objetivos que este controlador busca atender são: o acompanhamento
de sinais de referência, a rejeição de perturbações externas, a insensibilidade a variações
na planta e a rejeição do erro de medida (CRUZ, 1996).
O método de controle LQG/LTR utiliza dois procedimentos que são: a obtenção
do controlador linear quadrático ótimo e a recuperação das propriedades desejadas
de robustez a ele associada. Para o projeto é preciso especificar o par de matrizes
do observador de estados e assim, definir os parâmetros de controle para garantir a
estabilidade do sistema.
Com isso, este trabalho propõe um estudo do uso do controlador LQG/LTR
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1.1 Objetivo Geral 12
aplicado a inversores monofásicos e uma comparação com o uso do controlador res-
sonante aplicado ao mesmo sistema. A comparação com o controlador ressonante
se deve ao fato do mesmo ter recebido grande destaque nas aplicações conectadas
à rede de energia elétrica devido a sua capacidade de eliminar o erro de sinais com
referências senoidais e ser de simples implementação.
Sendo assim, ao final deste trabalho será possı́vel determinar o impacto
da incerteza paramétrica no controlador LQG/LTR aplicado a um inversor monofásico
conectado a rede de energia elétrica.
1.1 OBJETIVO GERAL
O principal objetivo deste trabalho é investigar o uso de um sistema de con-
trole, baseado no controlador LQG/LTR, visando o controle de inversores monofásicos
conectados na rede elétrica de energia.
1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Projetar e simular um sistema de controle baseado no controlador ressonantepara um inversor conectado a rede de distribuição monofásica ideal para propósitos
de comparação.
• Considerar uma rede não ideal com o acoplamento de um filtro L e analisar seuefeito no desempenho do controlador e na estabilidade do sistema.
• Projetar um controlador LQG/LTR e analisar seu desempenho para sistema co-nectado a rede não ideal.
• Realizar simulações computacionais para comparar o desempenho do controla-dor LQG/LTR com o controlador ressonante para rede não ideais.
1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO
Esta monografia está dividida em seis Capı́tulos. Sendo o primeiro a introdução,
os outros estão descritos na sequência.
• O Capı́tulo 2 contém a revisão teórica do trabalho. Nele são apresentados osprincipais conceitos relativos ao inversor e ao sistema de controle. Ainda nesse
Capı́tulo, também são abordados os fundamentos do controlador Ressonante e
do controlador LQG/LTR.
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1.3 Organização do trabalho 13
• O Capı́tulo 3 é reservado para a modelagem do sistema, descrição e projeto doControlador Ressonante. Nele é modelado uma planta ideal com um filtro L, ou
seja, não é considerada a impedância da rede.
• O Capı́tulo 4 apresenta os resultados da atuação do controlador Ressonante nosistema modelado no Capı́tulo 3. Os resultados obtidos são analisados e discu-
tidos.
• O Capı́tulo 5 é apresentado o método LQG/LTR. Inicialmente é feita a mode-lagem do sistema, para a aplicação do método LQG/LTR. Posteriormente, o
controlador LQG/LTR é projetado e, finalmente, são apresentados os resulta-
dos obtidos com a atuação do controlador LQG/LTR avaliando sua eficiência em
comparação ao controlador Ressonante.
• No Capı́tulo 6 é realizada a comparação da atuação do controlador LQG/LTRcom o controlador ressonante, avaliando-se sua eficiência.
• O Capı́tulo 7 finaliza o trabalho estabelecendo as principais conclusões e pro-pondo sugestões para trabalhos futuros.
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14
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1 INTRODUÇÃO
Este capı́tulo apresenta os principais tópicos relevantes no contexto deste
trabalho. É realizada uma breve revisão sobre o inversor monofásico ponte completa,
bem como é apresentado o controlador ressonante. Os conceitos básicos do controle
LQG/LTR são também introduzidos. Ao final deste capı́tulo será possı́vel entender a
base de funcionamento dos controladores propostos e as metodologias utilizadas para
o projeto de cada um deles.
2.2 INVERSOR MONOFÁSICO PONTE COMPLETA
O inversor tem um importante papel na geração distribuı́da, pois é ele quem
possibilita um sistema de geração de energia, como por exemplo os sistemas fotovol-
taicos, eólicos, baseados em células de combustı́vel e micro turbinas operarem co-
nectados com a rede de energia elétrica.
Devido o aumento da tecnologia na área de eletrônica de potência, no mer-
cado é encontrada uma grande variedade de topologias de inversores. A topologia de
ponte completa, apresentada na Figura 2, é usualmente utilizada em sistemas fotovol-
taicos. Comparada ao inversor meia ponte, o inversor de ponte completa consegue
processar maior quantidade de energia com o mesmo valor de barramento CC.
UPWM
Figura 2: Inversor monofásico de topologia ponte completa conec-tado à rede.Fonte: Autoria própria.
O inversor de ponte completa monofásico possui dois braços compostos
por um par de chaves semicondutoras, de modo que as chaves S1 e S4, assim como
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2.2 Inversor Monofásico Ponte Completa 15
as chaves S3 e S2 operam de forma complementar, como apresentado na Figura 3.
UPWM
Figura 3: S1 e S2 operando de forma complementar.Fonte: Autoria própria.
Se a tensão CC de entrada do inversor for constante, uma tensão variável
de saı́da pode ser obtida pela variação do ganho do inversor, a qual é normalmente
realizada pelo controle de PWM (RASHID, 1999). A forma de corrente de saı́da deste in-
versor deve ser senoidal, mas na prática não é senoidal pelo fato de conter harmônicos
oriundos da modulação PWM. Em sistemas que utilizam-se inversores conectados à
rede, esses harmônicos causados pela modulação PWM são indesejáveis.
Essas componentes harmônicas, podem causar: problemas como a degradação
do fator de potência, distorções nas formas de onda de corrente e tensão, aqueci-
mento de elementos reativos e irradiações de ondas eletromagnéticas (ALEX-SANDER
et al., 2008).
Ainda, de acordo com a norma IEEE 1547, as condições que devem ser
atendidas para a conexão com à rede em relação a máxima distorção de corrente,
são apresentadas na Tabela 1.
Tabela 1: Máxima Distorção Harmônica de corrente em Percentuais de Corrente.
Ordem Harmônica Individual(harmônicas ı́mpares) h
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2.3 Controlador Ressonante 16
2.3 CONTROLADOR RESSONANTE
O controlador ressonante é um controlador baseado no princı́pio do modelo
interno, ou seja, para que seja garantido o seguimento de referência e/ou rejeição à
pertubação, adiciona-se à malha de controle, ou na planta ou no controlador, um termo
que apresente ganho infinito na frequência que se deseja seguir e/ou rejeitar (SCHILDT,
2014).
No controle de inversores, o objetivo do controlador é seguir uma referência
senoidal com frequência w0. No controlador ressonante, w0 é a sua frequência de
ressonância, que neste trabalho, relaciona-se com a frequência da rede, isto é 60Hz.
Assim, tem-se que w0 ' 377 rad/s.
A estrutura do controlador na forma ideal é apresentada na Equação 1.
Nessa configuração considera-se um par de pólos complexos e conjugados sobre o
eixo imaginário exatamente na frequência do sinal de referência w0.
Cres = kp +kr.s
s2 + w02(1)
O controlador na forma ideal garante erro nulo em regime permanente para
uma entrada senoidal de frequência w0. Entretanto, para evitar problemas de esta-
bilidade associados a um ganho infinito, é acrescentado uma constante de amorte-
cimento wa na função de transferência do controlador PR (TEODORESCU et al., 2006).
A função de transferência do controlador PR com a constante de amortecimento é
apresentada na Equação 2.
Cres = kp +kr.wa.s
s2 + wa.s+ w02(2)
A introdução da constante de amortecimento reduz o ganho do controla-
dor na frequência w0 e faz com que o ganho deste em torno da frequência de res-
sonância seja maior. Dessa forma, garante-se que o controlador tenha um ganho
elevado mesmo se a frequência de referência divergir ligeiramente de w0.
A Figura 4 ilustra a diferença na resposta em frequência do controlador
ressonante ideal e do controlador com constante de amortecimento.
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2.4 Controlador LQG/LTR 17
0
100
200
300
Magn
itude
(d
B)
100 101 102 103
-45
0
45
90
Fa
se (
deg
)
Ideal
Não Ideal
Diagrama de Bode
Frequência (Hz)
Figura 4: Diagrama de Bode do controlador ressonante Ideal e Não Ideal.Fonte: Autoria própria.
O ganho kp é escolhido de modo que a planta seja estável e tenha uma boa
resposta dinâmica. O ganho kr é projetado de forma a corrigir o erro de amplitude e
fase sem comprometer a margem de fase (NAHAR, 2015).
2.4 CONTROLADOR LQG/LTR
O método LQG/LTR (Linear Quadratic Gaussian with Loop Transfer Reco-
very ) inicialmente foi proposto por (DOYLE; STEIN, 1981) para o projeto de controlado-
res. Esse método trata-se de uma técnica de controle robusto, ou seja, tolerante a
grandes incertezas e distúrbios, que pode ser aplicado tanto em sistemas SISO (Sin-
gle Input – Single Output) quanto MIMO (Multiple Input – Multiple Output) (SILVA et al.,
2014).
Para descrever a metodologia de funcionamento do controlador LQG/LTR
um diagrama geral do sistema a ser estudado é apresentado na forma de diagramas
de blocos na figura 5.
Os sinais apresentados na figura representam os sinais que compõem o
sistema a ser estudado, de modo que r(s) representa a referência do sistema, u(s) o
sinal de controle gerado pelo controlador (K(s)), y(s) o sinal de saı́da do sistema, d(s)
as pertubações ou ruı́dos, n(s) são as incertezas e G(s) a planta do sistema.
Os objetivos que o controlador LQG/LTR deve atender são:
• que a saı́da y(s) acompanhe o sinal de referência r(s);
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2.4 Controlador LQG/LTR 18
n(s)
Figura 5: Diagrama de blocos de um sistema a ser estudado.Fonte: Autoria própria.
• que o sinal de pertubação d(s) seja rejeitado sobre a saı́da y(s);• e que apresente estabilidade e desempenho robusto diante de incertezas no
modelo.
Para garantir essas especificações é projetado o controlador K(s), ou seja,
o controlador LQG/LTR, o método combina instrumentos como o controlador linear
ótimo quadrático (LQR) e o Filtro de Kalman, de onde se justifica a parte ”LQG”(Linear
Quadrático Gaussiano) (CRUZ, 1996).
O controlador linear ótimo quadrático (LQR) garante a estabilidade do sis-
tema regulado em malha fechada, se condições como margem de ganho e margem
de fase são satisfeitas. A dificuldade encontrada pelo LQR é que sua implementação
requer a realimentação de todos os estados do sistema, mas na prática nem todos
esses estados são acessı́veis.
Uma forma de resolver este problema, é utilizando observadores de estado,
para que assim todos os estados do sistema sejam realimentados. Em 1979, (DOYLE;
STEIN, 1979) apresentaram um artigo com o procedimento de ajuste para controlado-
res lineares com observadores de estado, pois (DOYLE; STEIN, 1979) haviam provado
que a utilização de observadores podia reduzir a robustez do regulador LQR.
Sendo assim, foi proposto o método LQG/LTR, que é o projeto de con-
troladores combinados com observadores, em que utiliza a técnica de loop transfer
recovery (LTR) em conjunto com a fomulação do regulador linear gaussiano (LQG).
A metodologia LQG/LTR se assemelha ao cálculo dos ganhos de um filtro de Kal-
man, mas com algumas modificações nas matrizes de covariância das pertubações
atuantes no sistema e dos ruı́dos de medição das saı́das do sistema SILVA.
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2.5 Phase-Locked Loop - PLL 19
2.5 PHASE-LOCKED LOOP - PLL
Uma parte crı́tica em sistemas de controle de inversores monofásicos co-
nectados a rede é a sincronização do sistema de geração de energia com a rede
elétrica.
Diferentes técnicas vem sendo utilizadas na literatura para a sincronização
de sistemas de geração com a rede elétrica. Uma técnica bem disseminada é Phase-
Locked Loop, PLL. A ideia principal do PLL é gerar um sinal cujo ângulo de fase
encontra-se continuamente rastreando variações do ângulo de fase de um dado sinal
(MARANGONI, 2012). Normalmente a estratégia utilizada nesse sistema é estimar a
diferença entre o ângulo de fase do sinal de entrada e do sinal gerado e levar este
valor a zero por meio de uma malha de controle.
Em sua totalidade, os sistemas PLL’s são baseados em três partes. A pri-
meira parte é o detector de fase (Phase Detector - PD), o PD é quem gera o sinal de
erro de fase, esse sinal de erro gerado é o erro entre o sinal de entrada e a fase esti-
mada. A segunda parte trata-se um loop filter (Loop Filter - LF), o LF é responsável
por eliminar distúrbios gerados dentro do loop de controle do PLL. O LF também deve
garantir uma resposta dinâmica, um bom rastreamento das caracterı́sticas do sinal de
entrada e manter a estabilidade do PLL. Em aplicações relacionadas a sistemas de
energia elétrica, o LF geralmente é um controlador proporcional integral (PI). A última
parte é um oscilador controlado de tensão (Voltage-controlled Oscillator - VCO), o qual
gera o sinal de saı́da, ou seja, o sinal com as caracterı́sticas do sinal de entrada, de
modo que essas caracterı́sticas são a frequência e a velocidade angular do sinal de
entrada do PLL.
Na Figura 6 é apresentado o diagrama interno do bloco PLL que será utili-
zado neste trabalho.
cos Entrada*
Freq
XPID VCO
Ganho
Detector de fase
Filtro
Freq
wtEntrada
Figura 6: Modelo do bloco PLL, utilizado neste trabalho.Fonte: Autoria própria (Baseado no software Matlab).
-
20
3 SÍNTESE DO CONTROLADOR RESSONANTE
3.1 INTRODUÇÃO
Este capı́tulo tem o objetivo de descrever a modelagem de um inversor
monofásico para aplicação em geração distribuı́da. Inicialmente, considera-se um,
modelo simplificado onde a impedância de rede é desprezada. Na sequência, um
controlador ressonante é projetado considerando este modelo simplificado. Um estudo
de estabilidade é apresentado para o sistema controlado pelo controlador ressonante
considerando-se os efeitos da inserção da impedância da rede.
3.2 SISTEMA SEM IMPEDÂNCIA DA REDE
Para iniciar o estudo do controlador Ressonante aplicado a inversores mo-
nofásicos, inicia-se com uma planta ideal, ou seja, não foi considerado a impedância
da rede. A planta ideal já foi ilustrada na Figura 2, e seus parâmetros são descritos na
Tabela 2.
Tabela 2: Dados do sistema ideal.
Parâmetros Descrição Valor
L Indutância 2, 5mH
Vcc Tensão CC 300V
Vrede(RMS) Tensão da Rede 127V
frede Frequência da Rede 60Hz
finv Frequência de Chaveamento 10kHz
Fonte: Autoria Própria.
A função de transferência encontrada para o sistema ideal é apresentada
na equação 3. E a partir da modelagem do sistema ideal é projetado o controlador
PR.
-
3.2 Sistema sem Impedância da Rede 21
G(s) =ig(s)
UPWM(s)=
1
sL(3)
Para o controlador PR foi considerada a frequência de ressonância como
sendo a da rede. Logo tem-se w0 ' 377rad/s, a frequência de amortecimento esco-lhida foi de fa = 10Hz, então wa = 2 · π · 10rad/s. Com isso, o próximo passo foideterminar os ganhos kp e kr.
Primeiro determinou-se o ganho kp. Para determinar kp utilizou-se o dia-
grama de Bode para encontrar um valor de ganho kp onde o sistema seja estável. E
por meio da simulação realizada pelo software matlab foram feitos os ajustes para que
ganho kp apresentasse uma boa resposta dinâmica.
O diagrama de Bode apresentado na Figura 7 mostra o comportamento do
controlador ressonante com a planta e o ganho kp escolhido. Observando a Figura 7
podemos ver que a margem de fase encontrada para o ganho kp é de 88, 7◦ garantindo
assim que o sistema com o controlador seja estável.
-20
0
20
40
60
80
Ma
gn
itud
e (
dB
)
100 101 102 103 104-180
-135
-90
-45
0
Fa
se (
de
g)
Diagrama de Bode
Frequência (Hz)
Margem de Fase: 88.7º
Figura 7: Diagrama de Bode de malha aberta do controlador ressonante e da planta G(s).Fonte: Autoria própria.
Para especificar o ganho kr, o critério que deve ser atendido é que o ganho
apresentado no diagrama de Bode, deve ser o maior possı́vel na frequência de w0 '377rad/s. Sendo assim, foi realizado uma rotina no software Matlab para investigar
um valor de ganho que na frequência de w0 ' 377rad/s atenda esse critério. A rotinaé iniciada com kr igual a 500 e realiza incrementos de 50 até kr igual a 750. Os
diagramas de Bode são apresentados na Figura 8.
-
3.3 Análise da estabilidade considerando-se os efeitos da impedância da rede 22
0
20
40
60
80M
ag
nitu
de
(d
B)
101 102 103-180
-135
-90
-45
0
Fa
se
(d
eg
)
kr=550
kr=600
kr=650
kr=700
kr=750
Diagrama de Bode
Frequência (Hz)
Figura 8: Diagramas de Bode de malha aberta do controlador ressonante e da planta G(s).Fonte: Autoria própria.
Dessa forma, como apresentado na Figura 8 o ganho kr = 750 é o que
apresenta maior ganho na frequência de w0 ' 377rad/s. Logo determinou-se que oganho kr é de 750.
Definidos os parâmetros do controlador PR aplica-se os mesmos na Equação
2. Assim, a equação da função de transferência do controlador encontrada, é apre-
sentada na Equação 4.
Gres(s) = 75 +750 · 125, 64
s2 + 125, 64s+ 142122, 3(4)
3.3 ANÁLISE DA ESTABILIDADE CONSIDERANDO-SE OS EFEITOS DA IMPEDÂNCIADA REDE
Uma vez que na prática a impedância de rede pode ser de difı́cil caracterização
e esta apresenta impactos na dinâmica do sistema, é importante se analisar seus efei-
tos. Assim, é adicionada uma impedância na rede de distribuição conforme ilustra a
Figura 9.
-
3.3 Análise da estabilidade considerando-se os efeitos da impedância da rede 23
LG RG
UPWM
Figura 9: Sistema considerando a impedância da rede.Fonte: Autoria própria.
A função de transferência da planta da Figura 9, é apresentada na Equação
5.
G(s) =ig(s)
UPWM(s)=
1
s(L+ Lg) +Rg(5)
Na qual a impedância da rede é representada por Lg e Rg, e o parâmetro L
representa o filtro L.
Algumas concessionárias disponibilizam as especificações dos cabos CA
tipicamente utilizados, logo é possı́vel determinar os valores de impedância para a
rede. Os valores escolhidos são apresentados na Tabela 3. Esses valores foram
adaptados das concessionárias CELG e COPEL.
Tabela 3: Dados do sistema considerando a impedância da rede.
Caso Distância(km) Resistência (R) [Ω\km] Impedância (X) [Ω\km]
1 0,0 0,0 0,0
2 1,0 1,5 0,9
3 2,0 3,0 1,8
Fonte: Autoria Própria.
Os valores encontrados são baseados em cabos de alumı́nio nu com alma
de aço tipo CAA, esses cabos são geralmente os utilizados em redes de distribuição
rurais, onde ainda se encontra uma grande quantidade de redes de distribuições mo-
nofásicas.
Na Tabela 3, quando a distância é 0, tem-se o caso do sistema ideal. Isso
significa que a fonte primária está muito próxima do inversor sendo a impedância na
rede desprezı́vel.
Com os valores da Tabela 3 foi realizado uma rotina no software Matlab,
-
3.3 Análise da estabilidade considerando-se os efeitos da impedância da rede 24
para analisar os efeitos da impedância ao sistema. Nessa rotina foram considerados
os casos 1, 2 e 3 apresentados na Tabela 3.
A primeira análise foi realizada através do diagrama de Bode do sistema em
malha aberta onde foi considerado o controlador ressonante e a planta demonstrada
na Equação 5. Os diagramas são apresentados na Figura 10.
-20
0
20
40
60
80
Ma
gnitu
de (
dB
)
100 101 102 103 104-180
-135
-90
-45
0
45
Fa
se (
de
g)
caso 1
caso 2
caso 3
Diagrama de Bode
Frequência (Hz)
Figura 10: Efeito do aumento da impedância da rede no sistema.Fonte: Autoria própria.
Com a Figura 10 foi possı́vel observar que em todos os casos, o sistema
permanece estável. Isso pode ser concluı́do por meio do comportamento da margem
de fase de cada caso, onde os valores de margem de fase são menores que 180◦,
como demostrado na Tabela 4.
Tabela 4: Margem de ganho e de fase para os casos 1, 2 e 3.
Caso Margem de Fase) Margem de Ganho
1 88,8◦ ∞
2 88,8◦ ∞
3 88,8◦ ∞
Fonte: Autoria Própria.
Outro aspecto observado nos diagramas de Bode foram que de acordo com
o aumento das impedâncias da rede o ganho na frequência de w0 ' 377rad/s diminuiu.Essa alteração no ganho pode causar perda de desempenho no controlador, como
-
3.3 Análise da estabilidade considerando-se os efeitos da impedância da rede 25
dificuldade no rastreamento de referência.
Também foi observado o comportamento do sistema considerando a im-
pedância da rede pela função pzmap do software Matlab. Com a função pzmap foi
analisada a tendência dos polos e zeros do sistema em malha fechada para os três
casos da Tabela 3. O resultado é apresentado na Figura 11.
Figura 11: Efeito do aumento da impedância da rede no sistema.Fonte: Autoria própria.
Pelo comportamento observado no mapeamento de polos e zeros, espera-
se que o controlador tenha problema de desempenho, pois o aumento da impedância
da rede faz com que os polos e zeros do sistema sofram alterações de localização.
Estas alterações afetam o controlador no rastreamento da referência (SOUZA, 2007),
visto que o projeto do controlador foi feito para o caso 1, ou seja onde não é considera
a impedância da rede.
Com a estabilidade não é esperado problemas, pois como observado na
Figura 11 conforme o aumento do valor da impedância os polos no eixo real seguem
uma tendência a caminho do semiplano direito, mas não chegam a deslocar-se para
o semiplano direito.
-
26
4 RESULTADOS DA ATUAÇÃO DO CONTROLADOR RESSONANTE
4.1 INTRODUÇÃO
Este capı́tulo é dedicado a apresentação dos resultados obtidos através da
atuação do Controlador Ressonante. Inicialmente é apresentada a resposta do contro-
lador atuando em um sistema desconsiderando a impedância da rede. Na sequência,
são apresentados os resultados obtidos da atuação do controlador em uma planta
considerando a impedância da rede com um filtro L.
4.2 CONTROLADOR RESSONANTE CONSIDERANDO REDE IDEAL
Os parâmetros do controlador, foram projetados baseados na planta ideal,
conforme projeto descrito no capı́tulo 3. Por isso, espera-se que o controlador atuando
neste primeiro modelo consiga rastrear a referência.
A resposta do sistema é apresentada na Figura 12. A corrente no tempo
de 0,10 segundos, tem um aumento de amplitude de 20A para 30A. Esse aumento de
amplitude visa testar o comportamento transitório do sistema. O distúrbio considerado
nas simulações é do tipo gaussiano, com média 0 e variância de 1,5. Essa pertubação
é considerada na saı́da do sistema.
Observando a Figura 12 nota-se que o controlador obteve uma resposta
satisfatória no rastreamento da corrente de referência. Outro ponto observado foi que
a corrente de saı́da do inversor no inı́cio da simulação não acompanha a corrente de
referência por alguns milissegundos e esse comportamento se repete onde o distúrbio
é perceptı́vel. Afim de analisar melhor esse comportamento é apresentado na Figura
13 o erro da corrente de saı́da do inversor em relação à corrente de referência.
Observando a Figura 13 percebe-se um erro maior de rastreamento em al-
guns pontos. O próximo passo é adicionar a impedância da rede ao sistema e verificar
seus efeitos.
-
4.3 Controlador Ressonante considerando impedância de rede não nula 27
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
Tempo (s)
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40C
orr
ente
(A
)Corrente de Saída do Inversor
Corrente de Saída do Inversor
Corrente de Referência
Figura 12: Corrente de referência e corrente de saı́da do inversor monofásico controlada pelocontrolador ressonante.Fonte: Autoria própria.
Figura 13: Erro de rastreamento no caso 1.Fonte: Autoria própria.
4.3 CONTROLADOR RESSONANTE CONSIDERANDO IMPEDÂNCIA DE REDENÃO NULA
A atuação do controlador ressonante é verificada considerando-se uma
rede de impedância não nula. Para isso foi adicionada a impedância da rede ao sis-
tema. A impedância da rede pode assumir valores diferentes, isso pode ocorrer devido
ao cabo utilizado na rede de distribuição, a distância em que o inversor é conectado à
rede, a quantidade de equipamentos encontrados na rede elétrica e também a adver-
-
4.3 Controlador Ressonante considerando impedância de rede não nula 28
sidades naturais.
Os valores escolhidos para a simulação da impedância da rede, são os do
caso 2 e 3. Como discutido no capı́tulo anterior a impedância da rede faz com que
o sistema reduza o seu desempenho. O resultado da simulação é apresentado na
Figura 14.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
Tempo (s)
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
Corr
ente
(A
)
Corrente de Saída do Inversor
Corrente de Saída do Inversor
Corrente de Referência
(a)
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
Tempo (s)
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
Corr
ente
(A
)
Corrente de Saída do Inversor
Corrente de Saída do Inversor
Corrente de Referência
(b)
Figura 14: Corrente de referencia e corrente de saı́da do inversor monofásico no Caso 214(a) e no Caso 3 14(b).
O que foi observado na Figura 14 é que com o aumento da impedância
da rede, o sistema de controle tem uma maior dificuldade em manter a corrente de
-
4.3 Controlador Ressonante considerando impedância de rede não nula 29
saı́da do inversor com a mesma amplitude da corrente de referência. Comparando os
resultados do caso 2 e do caso 3 nota-se que quanto maior a impedância menor foi a
amplitude da corrente de saı́da do inversor.
Na Figura 15 são apresentados para o caso 2 e 3 os gráficos de erro de
rastreamento. Nele foi possı́vel visualizar uma diminuição no ripple da corrente de
saı́da do inversor de acordo com o aumento da impedância da rede.
(a)
(b)
Figura 15: Erro de rastreamento no Caso 2 15(a) e no Caso 3 15(b).
A fim de aumentar a amplitude da corrente de saı́da do inversor foi realizada
uma alteração o ganho kr, pois como já foi comentado o ganho kr é projetado de forma
-
4.3 Controlador Ressonante considerando impedância de rede não nula 30
a corrigir o erro de amplitude e fase sem comprometer a margem de fase.
Utilizou-se a rotina desenvolvida para o primeiro projeto do ganho kr para
encontrar um novo ganho. Os resultados obtidos com a rotina são apresentados na
Figura 16.
-50
0
50
100
Magn
itude
(d
B)
100 101 102 103 104 105-180
-135
-90
-45
0
Fa
se (
deg
)
kr=750
kr=1500
kr=2250
kr=3000
kr=3750
Diagrama de Bode
Frequência (rad/s)
Figura 16: Diagramas de Bode de malha aberta do controlador ressonante e da planta G(s).Fonte: Autoria própria.
Analisando a Figura 16 o ganho com maior valor valor na frequência de
w0 ' 377rad/s é o ganho de kr igual a 3750 e esse valor de ganho também nãodeixou o sistema instável como pode ser verificado pela margem de fase que nesse
caso é de 84,7◦. Então o novo valor do ganho kr é de 3750.
Os resultados do caso 2 e 3 para o novo valor do ganho kr são apresenta-
dos na Figura 17.
-
4.3 Controlador Ressonante considerando impedância de rede não nula 31
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
Tempo (s)
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40C
orr
ente
(A
)Corrente de Saída do Inversor
Corrente de Saída do Inversor
Corrente de Referência
(a)
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
Tempo (s)
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
Corr
ente
(A
)
Corrente de Saída do Inversor
Corrente de Saída do Inversor
Corrente de Referência
(b)
Figura 17: Corrente de referencia e corrente de saı́da do inversor monofásico no Caso 217(a) e no Caso 3 17(b).
Com o ajuste do controlador, o sistema apresentou uma melhora na ampli-
tude da corrente de saı́da do inversor, conforme ilustrado na figura 17.
O erro de rastreamento do sistema também foi verificado para o caso 2 e 3,
e é apresentado na Figura 18. Com a Figura 18 notou-se que o ripple da corrente de
saı́da do inversor diminuiu.
-
4.3 Controlador Ressonante considerando impedância de rede não nula 32
(a)
(b)
Figura 18: Erro de rastreamento no Caso 2 18(a) e no Caso 3 18(b).
-
33
5 SÍNTESE DO CONTROLADOR LQG/LTR
5.1 INTRODUÇÃO
Nesse capı́tulo será inicialmente descrita a metodologia de projeto do con-
trolador LQG/LTR, e os passo realizados para o projeto do controlador. Na sequência,
será apresentado os resultados da atuação do controlador LQG/LTR aplicado ao sis-
tema considerando as incertezas. Por fim é realizada uma comparação entre os re-
sultados do Controlador Ressonante e o Controlador LQG/LTR.
5.2 MODELAGEM DO SISTEMA
Para aplicação do controlador LQG/LTR a planta do sistema também con-
sidera o controlador Ressonante projetado na Seção 4.3, nessa Seção foi alterado o
valor ganho kr do controlador ressonante para aumentar a amplitude da corrente de
saı́da do inversor. O controlador ressonante, então utilizado para o projeto do contro-
lador LQG/LTR é apresentado na Equação 6.
Gres(s) = 75 +3750 · 125, 64
s2 + 125, 64s+ 142122, 3(6)
O controlador ressonante é incluı́do ao projeto, pois a planta deve apresen-
tar rejeições de pertubações em caráter estacionário, ou seja, erro nulo em regime
estacionário (MATOS et al., 2008).
A planta do inversor é a mesma descrita no capı́tulo 3, a função de trans-
ferência referente a planta do inversor é demonstrada na Equação 7.
G(s) =ig(s)
UPWM(s)=
1
s(L+ Lg) +Rg(7)
Os parâmetros Lg e Rg apresentados na Equação 7 representam a im-
pedância da rede e L representa o filtro passivo de primeira ordem.
Tendo definido estes parâmetros, temos que a planta que será aplicada ao
controlador LQG/LTR é Gn(s), na qual Gn(s) é Gres(s) · G(s). O diagrama de blocosque representa Gn(s) é apresentado na Figura 19.
-
5.3 Controlador LQG/LTR 34
G (s)res G(s)Figura 19: Diagrama de blocos de Gn(s).Fonte: Autoria própria.
Determinada Gn(s) com o software Matlab utilizou-se a função ssdata para
conversão da função de transferência para espaço de estados. Assim, a Equação 8
representa Gn(s) em espaços de estados.
A =
−403, 37 −345, 73 −301, 14
512 0 0
0 256 0
B =
256
0
0
C =
[54, 24 13, 31 61, 30
]D =
[0]
(8)
A planta Gn(s) deve seguir alguns requisitos, para assim ser possı́vel a
aplicação do controlador LQG/LTR. Os requisitos que a planta deve cumprir são (MA-
TOS et al., 2008):
• a planta deve ser fase mı́nima, isto é, os zeros são localizados no semiplanoesquerdo aberto;
• o par (A,B) deve ser controlável e
• o par (C,A) deve ser observável.
Este requisitos foram testado com o software Matlab e a planta Gn(s) se
encaixa em todos. Uma vez que estes requisitos são cumpridos pela planta Gn(s),
inicia-se o projeto do controlador LQG/LTR na seção seguinte.
5.3 CONTROLADOR LQG/LTR
A ideia do controlador LQG/LTR é determinar um controlador K(s) que
mesmo na presença de distúrbios consiga gerar um sinal de controle para a planta
do sistema que neutralize as pertubações. A estrutura do sistema de controle que
será utilizada foi apresentada na Figura 5.
Para que o controlador LQG/LTR (K(s)) consiga neutralizar as pertubações,
o erro de rastreamento e(s) deve ser pequeno. Em um caso ideal, no qual há erro nulo
-
5.3 Controlador LQG/LTR 35
de rastreamento, tem-se que y(s)=r(s), mesmo com distúrbios aplicados ao sistema.
Para iniciar o projeto do controlador define-se a função de malha aberta do
sistema como L(s), sendo L(s) = Gn(s)K(s). A função L(s) é utilizada na definição
das funções de sensibilidade e sensibilidade complementar.
As funções de sensibilidade e sensibilidade complementar permitem melhor
conhecimento do rastreamento de referência e dos distúrbios que o sistema apresenta.
Define-se que os sinais de distúrbios e o sinal de referência são sinais caracterı́sticos
de baixas frequências (PAULA, 2013).
A função de sensibilidade é a matriz de transferência de d(s) para y(s), ou
seja, representa a sensibilidade do sistema ao vetor de distúrbio. A função de sensi-
bilidade complementar representa a sensibilidade do sistema ao vetor de referência,
logo é a matriz r(s) para y(s).
As matrizes das funções de sensibilidade e sensibilidade complementar
para o sistema podem ser descritas como:
S(s) = (I +Gn(s)K(s))−1 (9)
T (s) = (I +Gn(s)K(s))−1Gn(s)K(s) (10)
Considerando que as incertezas do sistema da planta sejam representadas
na sua saı́da, tem-se que:
y(s) = T (s)r(s) + S(s)d(s) (11)
Como discutido no inı́cio da seção deseja-se que y(s) seja igual a r(s) para
que o erro de rastreamento seja nulo, sendo assim necessário, que T (s) → 1 e S(s)→ 0.
Os parâmetros do controlador são definidos de forma que a malha L(s)
apresente as caracterı́sticas desejadas. A formatação da malha (loop shaping) é
uma abordagem para a escolha dos parâmetros no projeto de controladores KOZAN
(2016). Em sistemas SISO, que é o caso deste trabalho, a formatação da malha está
relacionada à magnitude de L(s) (PAULA, 2013).
Para a formatação da malha objetivo geralmente utiliza-se a função de sen-
sibilidade, pois muitos problemas de controle desejados envolvem rastreamento de
-
5.3 Controlador LQG/LTR 36
referências ou rejeição a distúrbio, sinais as quais a sensibilidade está diretamente
relacionada (KOZAN, 2016).
Mas em alguns casos a formatação somente à sensibilidade não é sufici-
ente, pois outros requisitos como overshoot, diminuição da taxa de atenuação em altas
frequências ou limitação na magnitude dos sinais de controle podem ser desejados.
Os dois primeiros estão relacionados com a função T (s), enquanto que o último com
a função K(s)S(s) (PAULA, 2013).
Outros parâmetros que devem ser definidos no projeto do controlador são
µ, ρ, L e H. Segundo Paula (2013), no ponto de vista do projeto de controlado-
res baseados na formatação da malha objetivo, tais parâmetros são tratados como
parâmetros livres de projeto sem interpretação fı́sica, como um meio para um fim.
Esses parâmetros são projetados com o objetivo de formatar as matrizes de trans-
ferência em malha fechada no domı́nio da frequência, sendo neste caso as matrizes
S(s) e T (s).
Com essas definições inicia-se a demostração do projeto do controlador
LQG/LTR, sendo que a planta Gn(s) utilizada no projeto do controlador é representada
em variáveis de estado pela Equação 12.
ẋ = Ax+Bu
y = Cx+D(12)
A função de transferência que representa o controlador LQG/LTR é apre-
sentada na Equação 13, com o seu diagrama de blocos demonstrado na Figura 20.
KLQG/LTR(s) = KC(sI − A+BKC +KFC)−1KF (13)
-I KF
C
-1(sI-A)
B
-KC-+ ++E(s) U(s)
K(s)
Figura 20: Diagrama de blocos do controlador LQG.Fonte: Adaptado de Maia Júnior (2007).
Definida a estrutura do controlador LQG/LTR determina-se os ganhos KCe KF , que são matrizes de ganho, onde KC é a matriz de ganho do regulador LQR e
-
5.3 Controlador LQG/LTR 37
KF é a matriz de ganho do observador de estados do Filtro de Kalman.
As matrizes KC e KF são calculadas utilizando-se as Equações 14 e 15.
KC = ρ−2BTX, (14)
KF = µ−2Y CT , (15)
Sendo que X e Y são soluções das Equações Algébrica de Ricatti, na qual
para determinar X utiliza-se a Equação (16) e para o cálculo de Y a Equação (17).
ATX +XA− ρ−2XBBTX +HTH = 0 (16)
Y AT + AY − µ−2Y CTC + LLT = 0 (17)
A teoria do princı́pio de recuperação da malha objetivo, primeiramente pro-
posto por (DOYLE; STEIN, 1981) diz que, se ρ→ 0+ e a matriz H for igual a matriz C ea planta do sistema for quadrada e de fase-mı́nima, pode demonstrar que:
limρ→0+
K(S) = (C(sI − A)−1B)−1C(sI − A)KF (18)
Assim:
limρ→0+
G(s)K(S) = C(sI − A)KF (19)
Dessa forma tem-se que L(s) é a própria matriz do observador de estados
(Filtro de Kalman). Com isso pode-se dizer que houve uma recuperação da matriz de
transferência da malha aberta do observador (SILVA et al., 2014). Este procedimento
é conhecido como Princı́pio de Recuperação da Malha Objetivo pela saı́da e existe
também o procedimento conhecido como Princı́pio de Recuperação da Malha Objetivo
pela entrada que corresponde ao procedimento pela saı́da, no qual µ → 0+ e L iguala B, resultando em:
limµ→0+
K(s)G(s) = B(sI − A)KC (20)
Ou seja,K(s)G(s) é a matriz de transferência do Regulador Linear Quadrático
(LQR).
Como uma consequência de (19) e (20), as seguintes propriedades da
formatação da malha para o Princı́pio da Malha Objetivo pela saı́da podem ser ob-
-
5.4 Projeto do Controlador LQG/LTR 38
tidas:
limρ→0+
σmaxS(jw) ≤ 1, (21)
limρ→0+
σmaxT (jw) ≤ 2, (22)
limρ→0+
σmaxS(jw) ≤ µσmax(C(jwI − A)L)−1, (23)
limρ→0+
σmaxT (jw) ≤ σmax(C(jwI − A)KF ), (24)
O parâmetro σ representa o valor singular, neste trabalho ele é utilizado
para quantificar a magnitude das matrizes, sendo σmax o maior valor singular da função.
Para a sensibilidade é possı́vel determinar os parâmetros livres de projeto L
e µ e contar com a restrição (23), entretanto para o rastreamento nenhum parâmetro
livre de projeto adicional (além de L e µ) pode ser utilizado e é necessário contar
apenas com a restrição (24) imposta pelo ganho KF (que depende de L e µ). Se for
priorizado o rastreamento na escolha de L e µ (através de KF ), a sensibilidade ficará
então condicionada a estes parâmetros (OLIVEIRA, 2017).
5.4 PROJETO DO CONTROLADOR LQG/LTR
Conforme apresentado na seção anterior, para o projeto do controlador
LQG/LTR é necessário definir L, µ e ρ. Os parâmetros L e µ são determinados para a
formatação da malha objetivo e ρ é definida para a recuperação da malha, sendo que
quanto menor for o valor de ρ, melhor é a recuperação do Filtro de Kalman.
Na seção 5.2 foi determinado Gn(s) e verificado que o modelo é Controlável
e Observável. Assim, inicia-se a definição de L e µ de modo que a malha objetivo apre-
sente a resposta desejada, obedecendo as barreiras de desempenho e estabilidade.
Sendo assim, os valores adotados são L = B e µ = 4, 5.
O parâmetro ρ foi definido de forma que garantisse a recuperação da malha
objetivo e as propriedades de robustez. O valor escolhido para ρ que garante essas
condições é de 0,0001.
Com os parâmetros definidos obteve-se as seguintes matrizes de ganho
KC e KF .
-
5.5 Resultado da atuação do Controlador LQG/LTR 39
KC =[3720 2321 4020
], KF =
6470
4034, 5
6988
(25)Substituindo os valores encontrados de KC e KF obtém se a equação de
transferência do controlador LQG/LTR:
K(s) =3, 22 · 106s2 · 9, 439 · 109s · 4, 147 · 1011
s3 · 1, 424 · 106s2 · 4, 554 · 109s · 2, 02 · 1011(26)
Na Figura 21 é apresentado o gráfico da sensibilidade e na Figura 22 é
apresentado o gráfico da sensibilidade complementar do sistema. Analisando os
gráficos percebe-se que para baixas frequências o sistema apresenta valores singula-
res de sensibilidade pequenos e para valores singulares de sensibilidade complemen-
tar apresenta valores singulares altos. Observa-se também que em altas frequências
o gráfico de sensibilidade complementar apresenta baixos valores singulares.
101 102 103 104 105 106 107-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2Valores Singulares de S(s)
Frequência (Hz)
Valo
res
Sin
gula
res
(dB
)
Figura 21: Sensibilidade S(s) do sistema controlado pelo métodoLQG/LTR.Fonte: Autoria própria.
Na próxima Seção são apresentados os resultados da atuação do contro-
lador LQG/LTR projetado.
5.5 RESULTADO DA ATUAÇÃO DO CONTROLADOR LQG/LTR
Nesta Seção é analisada a resposta da planta com a atuação do controlador
LQG/LTR. O primeiro resultado analisado é o rastreamento da referência do sistema.
Os valores de impedância, são os descritos no caso 2 e 3 da Tabela 3. Os resultados
são apresentados na Figura 23.
-
5.5 Resultado da atuação do Controlador LQG/LTR 40
100 101 102 103 104 105 106 107-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20Valores Singulares de T(s)
Frequência (Hz)
Valo
res
Sin
gula
res
(dB
)
Figura 22: Sensibilidade Complementar T (s) do sistema controladopelo método LQG/LTR.Fonte: Autoria própria.
Um aspecto que pode ser observado na Figura 23 é que com a atuação do
controlador LQG/LTR a corrente de saı́da do inversor tem a forma desejada, de modo
que a corrente de saı́da segue a corrente de referência. Os resultados também mos-
traram que com o aumento da impedância a corrente de saı́da do inversor conseguiu
alcançar uma amplitude próxima da corrente de referência.
O erro de rastreamento com a atuação do controlador LQG/LTR é apresenta
no caso 2 e no caso 3, esses resultados são apresentados na Figura 24.
Por meio da análise do erro de rastreamento observou-se que com o au-
mento da impedância a amplitude do erro diminuiu, portanto houve uma redução no
ripple da corrente de saı́da do inversor.
No próximo Capı́tulo é feita uma discussão, comparando os resultados do
controlador ressonante e do controlador LQG/LTR.
-
5.5 Resultado da atuação do Controlador LQG/LTR 41
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
Tempo (s)
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
Corr
ente
(A
)
Corrente de Saída do Inversor
Corrente de Saída do Inversor
Corrente de Referência
(a)
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
Tempo (s)
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
Corr
ente
(A
)
Corrente de Saída do Inversor
Corrente de Saída do Inversor
Corrente de Referência
(b)
Figura 23: Corrente de referência e a corrente de saı́da do inversor monofásico no Caso2 (a) e no Caso 3 (b).
-
5.5 Resultado da atuação do Controlador LQG/LTR 42
(a)
(b)
Figura 24: Erro de rastreamento no Caso 2 (a) e no Caso 3 (b).
-
43
6 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS OBTIDOS
Este capı́tulo aborda uma comparação entre os resultados dos controla-
dores, a forma escolhida de verificar a estabilidade e desempenho do controlador
ressonante e do controlador LQG/LTR é aumentando a impedância da rede. Aqui as
comparações são realizadas para os casos 2 e 3.
A modelagem do controlador ressonante utilizada para comparação é a
com ajuste no ganho kr. A escolha do modelo com ajuste se deve ao fato do mesmo
ter apresentado melhor desempenho quando simulado com as impedâncias da rede.
Comparando inicialmente os resultados obtidos no caso 2 pelos os dois
controladores, percebe-se que nos resultados das simulações os controladores tive-
ram um bom desempenho alcançando a amplitude da corrente de referência, mas para
uma análise mais detalhada foi apresentado também os gráficos de rastreamento de
erro, neles foram possı́vel notar que a amplitude do erro de rastreamento do controla-
dor ressonante é maior que a do controlador LQG/LTR. Outra caracterı́stica diferente
que se observou foi que no gráfico de erro de rastreamento do controlador ressonante
quando a amplitude da corrente de referência foi alterada visualiza-se um pico de am-
plitude no erro de rastreamento.
No caso 3 para verificar o desempenho dos controladores aumentou-se
a impedância da rede com do dados da Tabela 3. Verificou-se que nesse caso o
controlador LQG/LTR mostrou um melhor desempenho, de modo que a amplitude da
corrente de saı́da do inversor na sua simulação foi maior que a amplitude da corrente
de saı́da do inversor com a atuação do controlador ressonante.
Uma outra análise é proposta, espera-se entender melhor o comportamento
dos controladores atuando no sistema por meio do Diagrama de Bode. Na Figura 25 é
apresentado o diagrama de bode referente ao controlador ressonante e na Figura 26
o diagrama de bode referente ao controlador LQG/LTR.
-
6 Comparação dos Resultados Obtidos 44
Figura 25: Diagram de Bode de malha fechado da atuação do con-trolador ressonante.Fonte: Autoria própria.
Figura 26: Diagrama de Bode de malha fechada da atuação do con-trolador LQG/LTR.Fonte: Autoria própria.
Observou-se que no diagrama de bode do controlador ressonante a mar-
gem de fase apresentada é maior em relação a margem de fase do controlador LQG/LTR.
Essa caracterı́stica apresentada implica em um sistema de controle com resposta
mais lenta, voltando aos resultados das simulações dos dois controladores essa ca-
racterı́stica também pode ser notada, sendo que o controlador ressonante mostra um
tempo de acomodação maior.
-
45
7 CONCLUSÃO
Neste trabalho foi apresentado um estudo do controlador LQG/LTR apli-
cado a inversores monofásicos conectados à rede de energia elétrica, para isso, foi
realizado uma comparação de resultados com o controlador ressonante aplicado no
mesmo sistema.
Como abordado no capı́tulo 2, é muito importante o estudo do comporta-
mento do sistema, uma vez que com o uso da modelagem aproximações são feitas
deixando de representar a dinâmica real do sistema.
Desta forma, no capı́tulo 3 foi apresentada a modelagem do sistema, com
intuito de entender suas caracterı́sticas. Os testes realizados na modelagem do sis-
tema envolvem entender através do mapeamento dos polos e zeros e pelo diagrama
de Bode, como o sistema se comporta em malha aberta e em malha fechada com o
aumento da impedância da rede.
Quando aplicado o controlador ressonante no sistema modelado, os resul-
tados mostraram o que foi discutido na modelagem do sistema, que de acordo com
o aumento de impedância da rede o controlador apresenta dificuldades em alcançar
a amplitude da corrente de referência, sendo preciso sofrer ajustes para seguir a re-
ferência da forma desejada. No caso da planta em que o controlador foi projetado, o
mesmo obteve uma boa resposta cumprindo com o rastreamento da referência.
O desenvolvimento do controlador LQG/LTR, abordou a modelagem do sis-
tema considerando o controlador ressonante. A técnica LQG/LTR trata-se de um con-
trolador robusto, ou seja, essa técnica busca garantir a estabilidade e bom desempe-
nho do sistema mesmo onde exista incertezas e ruı́dos. Os resultados do controlador
LQG/LTR aplicado ao sistema mostraram resultados positivos. Entretanto no caso de
maior impedância a corrente de saı́da do inversor não alcança a amplitude da corrente
de referência, mas chega bem próximo da amplitude desejada.
Analisando os resultados dos controladores abordados nesse trabalho, foi
possı́vel mostrar o que foi discutido ao longo deste. O controlador ressonante apre-
senta os resultados almejados quando aplicado ao sistema para que foi modelado,
porém quando aumentada a impedância o controlador mostra uma perda de ampli-
-
7 Conclusão 46
tude na corrente de saı́da do inversor. Em relação ao tempo de resposta do controla-
dor verificou-se que comparado ao controlador LQG/LTR sua resposta é mais lenta.
O desenvolvimento desse estudo serve de ponto de inicial para aplicações
do controlador LQG/LTR em inversores monofásicos conectados à rede. Portanto este
trabalho contribui para que novas pesquisas possam surgir. Assim uma ideia proposta
para trabalhos futuros é a utilização de um filtro LCL na saı́da do inversor.
-
47
REFERÊNCIAS
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-
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-
49
ANEXO A - CÓDIGO DO CONTROLADOR LQG/LTR
clear all;
close all;
clc;
s=tf(’s’);
Lg=2.9*10^-3;
Rg=1.5;
L=2.5*10^-3;
kp=75;
kr=750*5;
w0=2*pi*60;
wa=2*pi*10;
Gres= (kp + ((kr*wa*s)/(s^2+wa*s+w0^2)));
G=[1/(s*(L+Lg)+Rg)];
FTMA = ss(Gres*G);
[A,B,C,D]=ssdata(FTMA);
Qc=C’*C;
R=0.0001;
[Kc,X,e]=lqr(A,B,Qc,R,0);
XI=1;
THETA=1;
RHO=4.5;
[K,SVL,W1]=ltrsyn(FTMA,Kc,XI,THETA,RHO);
[A,B,C,D]=ssdata(K);
[num, den]=ss2tf(A,B,C,D);
Ktransf = tf(num,den);
-
50
ANEXO B - SIMULAÇÃO UTILIZADA PARA OBTENÇÃO DOS RESULTADOS
Controlador LQG/LTR
Controlador Ressonante
Distúrbio
IntroduçãoObjetivo GeralObjetivos EspecíficosOrganização do trabalho
Fundamentação TeóricaIntroduçãoInversor Monofásico Ponte CompletaControlador RessonanteControlador LQG/LTRPhase-Locked Loop - PLL
Síntese do Controlador RessonanteIntroduçãoSistema sem Impedância da RedeAnálise da estabilidade considerando-se os efeitos da impedância da rede
Resultados da Atuação do Controlador RessonanteIntroduçãoControlador Ressonante considerando Rede IdealControlador Ressonante considerando impedância de rede não nula
Síntese do Controlador LQG/LTRIntroduçãoModelagem do sistemaControlador LQG/LTRProjeto do Controlador LQG/LTRResultado da atuação do Controlador LQG/LTR
Comparação dos Resultados ObtidosConclusãoAnexo A - Código do Controlador LQG/LTRAnexo B - Simulação utilizada para obtenção dos resultados