estudos de controle - aula 11: análise de resposta transitória e de regime estacionário (parte 5)
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Estudos de Controle – Análise de Resposta Transitória e de Regime Estacionário
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Sistemas de Controle Integral
• O controlador integral elimina o erro residual do controlador proporcional, porque acumula o erro desde o momento inicial.
• Porém, pode conduzir a uma resposta oscilatória, com amplitude que decresce lentamente, ou mesmo crescente.
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Sistemas de Controle Proporcional Integral • Considerando um sistema com a seguinte planta:
𝐺𝑝 𝑠 =1
𝑇𝑠 + 1
• Temos a equação de malha fechada:
𝐺 𝑠 =𝐾
𝑠 𝑇𝑠 + 1 + 𝐾
• Como: 𝐸(𝑠)
𝑅(𝑠)=𝑅 𝑠 − 𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)=
𝑠 𝑇𝑠 + 1
𝑠 𝑇𝑠 + 1 + 𝐾
• Para uma entrada em degrau unitário 𝑅 𝑠 = 1𝑠 :
𝐸 𝑠 =𝑠 𝑇𝑠 + 1
𝑠 𝑇𝑠 + 1 + 𝐾
1
𝑠
• O erro estacionário será:
𝑒𝑠𝑠 = lim𝑠→0
𝑠𝐸 𝑠 = lim𝑠→0
𝑠 𝑇𝑠 + 1
𝑠 𝑇𝑠 + 1 + 𝐾
𝑠
𝑠= 0 3
Sistemas de Controle Proporcional Integral • Exemplo:
• Considere o sistema de primeira ordem:
𝐺𝑝 𝑠 =1
5𝑠 + 1
• Aplicando-se um controle proporcional integral com diferentes ganhos:
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Para 𝑇𝑖 = 1. Para 𝐾𝑝 = 1.
Sistemas de Controle Proporcional Integral • Exemplo:
• Considere o sistema de segunda ordem:
𝐺𝑝 𝑠 =1
𝑠2 + 1,2𝑠 + 1
• Aplicando-se um controle proporcional integral com diferentes ganhos:
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Para 𝑇𝑖 = 1. Para 𝐾𝑝 = 1.
Sistemas de Controle Proporcional Integral • Resposta a distúrbios do tipo conjugado:
• Supondo que 𝑅 𝑠 = 0, a função de transferência entre C(s) e
D(s) é: 𝐶(𝑠)
𝐷(𝑠)=
𝑠
𝐽𝑠3 + 𝑏𝑠2 + 𝐾𝑝𝑠 +𝐾𝑝𝑇𝑖
• Então, o erro é definido como: 𝐸(𝑠)
𝐷(𝑠)= −
𝐶 𝑠
𝐷 𝑠= −
𝑠
𝐽𝑠3 + 𝑏𝑠2 + 𝐾𝑝𝑠 +𝐾𝑝𝑇𝑖
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Sistemas de Controle Proporcional Integral
• Resposta ao distúrbio do tipo conjugado:
• O erro estacionário para um distúrbio em degrau, igual a 𝑇𝑑 é dado:
𝑒𝑠𝑠 = lim𝑠→0
𝑠𝐸 𝑠
= lim𝑠→0
−𝑠
𝐽𝑠3 + 𝑏𝑠2 + 𝐾𝑝𝑠 +𝐾𝑝𝑇𝑖
𝑠𝑇𝑑𝑠
= 0
• Portanto, o erro estacionário causado por um distúrbio de pertubação em degrau também é eliminado.
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Sistemas de Controle Proporcional Integral • Resposta ao distúrbio do tipo conjugado:
• Exemplo:
𝐺𝑝 𝑠 =1
5𝑠 + 1
• Aplicando-se um controle proporcional integral com diferentes ganhos:
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Para 𝑇𝑖 = 1. Para 𝐾𝑝 = 1.
Sistemas de Controle Proporcional Integral • Resposta ao distúrbio do tipo conjugado:
• Exemplo:
𝐺𝑝 𝑠 =1
𝑠2 + 1,2𝑠 + 1
• Aplicando-se um controle proporcional integral com diferentes ganhos:
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Para 𝑇𝑖 = 1. Para 𝐾𝑝 = 1.
Sistemas de Controle Proporcional Integral
• Resposta a distúrbios do tipo conjugado:
• A ação do controle integral converteu um sistema de segunda ordem em um sistema de terceira ordem.
• Nesse caso, se 𝐾𝑝 tiver um valor muito alto, o
sistema pode se tornar instável, já que as raízes passam a ter partes reais positivas.
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Sistemas de Controle Proporcional Integral
• Resposta a distúrbios do tipo conjugado:
• Exemplos:
𝐺𝑝 𝑠 =1
5𝑠+1 𝐺𝑝 𝑠 =
1
𝑠2+1,2𝑠+1
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Primeira ordem. Segunda ordem.
Sistemas de Controle Integral
• Resposta a distúrbios do tipo conjugado:
• Nesse caso, se o controlador for apenas integral, o sistema se torna instável, pois a equação característica 𝐽𝑠3 + 𝑏𝑠2 + 𝐾 passa a ter raízes com partes reais positivas.
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Sistemas de Controle Integral
• Resposta a distúrbios do tipo conjugado:
• Exemplo:
𝐺𝑝 𝑠 =1
𝑠2 + 1,2𝑠
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Sistemas de Controle Proporcional Integral
• Portanto, geralmente a ação proporcional é responsável por estabilizar o sistema, enquanto a ação integral tende a eliminar ou reduzir o erro estacionário.
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Sistemas de Controle Proporcional Derivativo • A parte derivativa responde a uma taxa de
variação do erro atuante e permite uma correção significativa antes que o valor do erro se torne muito elevado.
• Permite que se obtenha um controlador de alta sensibilidade.
• Prevê o erro atuante e toma medidas corretivas antecipadamente e tende a aumentar a estabilidade do sistema.
• Aumenta o amortecimento do sistema.
• Nunca é usado sozinho.
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Sistemas de Controle Proporcional Derivativo
• Considerando o sistema com carga inercial: • Relembrando que o controle proporcional não
estabilizava esse sistema. • A função de transferência da malha fechada é:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)=
𝐾𝑝
𝐽𝑠2 + 𝐾𝑝
• Como as raízes da da equação característica são imaginárias, para uma entrada degrau unitário o sistema irá oscilar indefinidamente.
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Sistemas de Controle Proporcional Derivativo
• Efeito do controle proporcional-derivativo no sistema com carga inercial:
• Função de transferência de malha fechada: 𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)=
𝐾𝑝(1 + 𝑇𝑑𝑠)
𝐽𝑠2 + 𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠 + 𝐾𝑝
• As raízes da equação característica tem agora duas raízes com partes reais negativas.
• Amortecimento adicionado.
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Sistemas de Controle Proporcional Derivativo • Resposta a um sistema com carga inercial:
• Exemplo:
𝐺𝑝 𝑠 =1
5𝑠2
• Aplicando-se um controle proporcional derivativo com diferentes ganhos:
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Para 𝑇𝑑 = 1. Para 𝐾𝑝 = 1.
Erros Estacionários
• Um sistema pode não apresentar erro estacionário para uma entrada degrau unitário, mas pode apresentar erro estacionário não nulo para uma entrada em rampa.
• O erro estacionário depende do tipo de função de transferência de malha aberta do sistema.
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Erros Estacionários
• Classificação dos sistemas de controle:
• De acordo com a habilidade de seguir sinais de entrada do tipo degrau, rampa, parábola, etc.
• Considerando um sistema com realimentação unitária, temos uma forma geral da função de transferência de malha aberta:
𝐺(𝑠) =𝐾 𝑇𝑎𝑠 + 1 𝑇𝑏𝑠 + 1 … (𝑇𝑚𝑠 + 1)
𝑠𝑁 𝑇1𝑠 + 1 𝑇2𝑠 + 1 …(𝑇𝑝𝑠 + 1)
• Conforme o valor de N, um sistema é classificado como tipo 0 (N=0), tipo 1 (N=1), etc.
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Erros Estacionários
• Classificação dos sistemas de controle:
• Essa classificação é diferente da ordem do sistema.
• O termo 𝑠𝑁 determina o pólo de multiplicidade N na origem.
• Geralmente, conforme o tipo N aumenta, aumenta a precisão do sistema, porém agrava a sua estabilidade.
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Erros estacionários
• Considerando o sistema:
• A função de transferência de malha fechada é: 𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)=
𝐺(𝑠)
1 + 𝐺(𝑠)
• A função de transferência entre o sinal de erro e o sinal de entrada é:
𝐸(𝑠)
𝑅(𝑠)= 1 −
𝐶 𝑠
𝑅 𝑠=
1
1 + 𝐺(𝑠)
• O erro estacionário será:
𝑒𝑠𝑠 = lim𝑠→0
𝑠𝐸 𝑠 = lim𝑠→0
𝑠𝑅(𝑠)
1 + 𝐺(𝑠)
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Erros Estacionários
• Para uma entrada degrau unitário, temos:
𝑒𝑠𝑠 = lim𝑠→0
𝑠
1 + 𝐺(𝑠)
1
𝑠=
1
1 + 𝐺(0)
• Constante de erro estático de posição é definida como:
𝐾𝑝 = lim𝑠→0
𝐺(𝑠) = 𝐺(0)
• Então,
𝑒𝑠𝑠 =1
1 + 𝐾𝑝
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Erros Estacionários
• Para um sistema do tipo 0:
𝐾𝑝 = lim𝑠→0
𝐾 𝑇𝑎𝑠 + 1 𝑇𝑏𝑠 + 1 … (𝑇𝑚𝑠 + 1)
1 𝑇1𝑠 + 1 𝑇2𝑠 + 1 … (𝑇𝑝𝑠 + 1)= 𝐾
𝑒𝑠𝑠 =1
1 + 𝐾
• Para um sistema do tipo 1:
𝐾𝑝 = lim𝑠→0
𝐾 𝑇𝑎𝑠 + 1 𝑇𝑏𝑠 + 1 …(𝑇𝑚𝑠 + 1)
𝑠 𝑇1𝑠 + 1 𝑇2𝑠 + 1 … (𝑇𝑝𝑠 + 1)= ∞
𝑒𝑠𝑠 = 0 • Portanto, a resposta ao degrau unitário de um
sistema conterá erro estacionário se não houver integração no ramo direto.
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Erros Estacionários
• Exemplo de respostas ao degrau unitário:
• Sistema do tipo 0:
𝐺 𝑠 =𝐾
𝑠2+7𝑠+10
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• Sistema do tipo 1:
𝐺 𝑠 =𝐾
𝑠3+7𝑠2+10𝑠
Erros Estacionários
• Para uma entrada rampa unitária, temos:
𝑒𝑠𝑠 = lim𝑠→0
𝑠
1 + 𝐺(𝑠)
1
𝑠2= lim
𝑠→0
1
𝑠𝐺(𝑠)
• Constante de erro estático de velocidade é definida como:
𝐾𝑣 = lim𝑠→0
𝑠𝐺(𝑠)
• Então,
𝑒𝑠𝑠 =1
𝐾𝑣
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Erros Estacionários
• Para um sistema do tipo 0:
𝐾𝑣 = lim𝑠→0
𝑠𝐾 𝑇𝑎𝑠 + 1 𝑇𝑏𝑠 + 1 … (𝑇𝑚𝑠 + 1)
1 𝑇1𝑠 + 1 𝑇2𝑠 + 1 … (𝑇𝑝𝑠 + 1)= 0
𝑒𝑠𝑠 = ∞ • Para um sistema do tipo 1:
𝐾𝑣 = lim𝑠→0
𝑠𝐾 𝑇𝑎𝑠 + 1 𝑇𝑏𝑠 + 1 … (𝑇𝑚𝑠 + 1)
𝑠 𝑇1𝑠 + 1 𝑇2𝑠 + 1 … (𝑇𝑝𝑠 + 1)= 𝐾
𝑒𝑠𝑠 =1
𝐾
• Para um sistema do tipo 2 ou maior:
𝐾𝑣 = lim𝑠→0
𝑠𝐾 𝑇𝑎𝑠 + 1 𝑇𝑏𝑠 + 1 … (𝑇𝑚𝑠 + 1)
𝑠𝑁 𝑇1𝑠 + 1 𝑇2𝑠 + 1 … (𝑇𝑝𝑠 + 1)= ∞
𝑒𝑠𝑠 = 0
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Erros Estacionários
• Exemplo de respostas a rampa unitária:
• Sistema do tipo 0:
𝐺 𝑠 =𝐾
𝑠2+7𝑠+10
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• Sistema do tipo 1:
𝐺 𝑠 =𝐾
𝑠3+7𝑠2+10𝑠
Erros Estacionários
• Exemplo de respostas a rampa unitária:
• Sistema do tipo 2:
𝐺 𝑠 =𝐾
𝑠4+7𝑠3+10𝑠2
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• Sistema do tipo 2:
𝐺 𝑠 =𝐾(𝑠+1)
𝑠4+7𝑠3+10𝑠2
Erros Estacionários
• Um sistema do tipo 0 é incapaz de seguir uma entrada em rampa.
• Um sistema do tipo 1 segue a entrada em rampa mas com um erro estacionário.
• Um sistema do tipo 2 ou maior pode seguir uma entrada em rampa com erro nulo.
• O erro estático de velocidade tem a mesma dimensão do erro do sistema, e não está relacionada a um erro na velocidade do sistema, e sim ao erro de uma entrada rampa. 30
Erros Estacionários
• Para uma entrada parábola unitária, temos:
𝑒𝑠𝑠 = lim𝑠→0
𝑠
1 + 𝐺(𝑠)
1
𝑠3= lim
𝑠→0
1
𝑠2𝐺(𝑠)
• Constante de erro estático de aceleração é definida como:
𝐾𝑎 = lim𝑠→0
𝑠2𝐺(𝑠)
• Então,
𝑒𝑠𝑠 =1
𝐾𝑎
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Erros Estacionários • Para um sistema do tipo 0:
𝐾𝑎 = lim𝑠→0
𝑠2𝐾 𝑇𝑎𝑠 + 1 𝑇𝑏𝑠 + 1 … (𝑇𝑚𝑠 + 1)
1 𝑇1𝑠 + 1 𝑇2𝑠 + 1 … (𝑇𝑝𝑠 + 1)= 0
𝑒𝑠𝑠 = ∞ • Para um sistema do tipo 1:
𝐾𝑎 = lim𝑠→0
𝑠2𝐾 𝑇𝑎𝑠 + 1 𝑇𝑏𝑠 + 1 … (𝑇𝑚𝑠 + 1)
𝑠 𝑇1𝑠 + 1 𝑇2𝑠 + 1 …(𝑇𝑝𝑠 + 1)= 0
𝑒𝑠𝑠 = ∞ • Para um sistema do tipo 2:
𝐾𝑎 = lim𝑠→0
𝑠2𝐾 𝑇𝑎𝑠 + 1 𝑇𝑏𝑠 + 1 … (𝑇𝑚𝑠 + 1)
𝑠2 𝑇1𝑠 + 1 𝑇2𝑠 + 1 … (𝑇𝑝𝑠 + 1)= 𝐾
𝑒𝑠𝑠 =1
𝐾
• Para um sistema do tipo 3 ou maior:
𝐾𝑎 = lim𝑠→0
𝑠2𝐾 𝑇𝑎𝑠 + 1 𝑇𝑏𝑠 + 1 …(𝑇𝑚𝑠 + 1)
𝑠𝑁 𝑇1𝑠 + 1 𝑇2𝑠 + 1 … (𝑇𝑝𝑠 + 1)= ∞
𝑒𝑠𝑠 = 0
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Erros Estacionários
• Exemplo de respostas a parábola unitária:
• Sistema do tipo 0:
𝐺 𝑠 =𝐾
𝑠2+7𝑠+10
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• Sistema do tipo 1:
𝐺 𝑠 =𝐾
𝑠3+7𝑠2+10𝑠
Erros Estacionários
• Exemplo de respostas a parábola unitária:
• Sistema do tipo 2:
𝐺 𝑠 =𝐾
𝑠4+7𝑠3+10𝑠2
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• Sistema do tipo 2:
𝐺 𝑠 =𝐾(𝑠+1)
𝑠4+7𝑠3+10𝑠2
Erros Estacionários
• Exemplo de respostas a parábola unitária:
• Sistema do tipo 3:
𝐺 𝑠 =𝐾
𝑠5+7𝑠4+10𝑠3
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• Sistema do tipo 2:
𝐺 𝑠 =𝐾(𝑠2+0,02𝑠+0.001)
𝑠5+7𝑠4+10𝑠3
Erros Estacionários
• Tanto os sistemas do tipo 0 ou do tipo 1 não conseguem seguir uma entrada do tipo parábola.
• O sistema do tipo 2 segue uma entrada do tipo parábola com erro estacionário.
• Os sistemas do tipo 3 ou maior seguem a entrada do tipo parábola sem erro estacionário.
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Erros Estacionários
• As constantes 𝐾𝑝, 𝐾𝑣 e 𝐾𝑎 descrevem a
habilidade de um sistema com realimentação unitária para reduzir ou eliminar o erro estacionário.
• São indicativos de desempenho do regime estacionário.
• Geralmente é desejável aumentar essas constantes de erro, mas é necessário manter a resposta transitória dentro de um limite aceitável. 37