evaluation et contrôle non destructifs propagation d'ondes...

Propagation d'ondes modales dans des structures multicouches périodiques :

application aux ondes de type Lamb et Rayleigh

Catherine POTELLaboratoire d'Acoustique de l'Université du Maine (LAUM), UMR CNRS 6613, Le Mans - France

17 avril 2008 - Brest2

Domaines d'application

� Evaluation et Contrôle Non Destructifs

� Géophysique, ...

� Comportement des composites en Carbone-Epoxyde

� En particulier

0°/90° 0°/45°/90°/135°

3

Ondes mécaniquesondes locales

ondes modales

x1

2x

3x

O

Ondes modales (1/3)

4

énergie acoustique:- se propage le long des couches- est bornée en x3

x3

� ondes guidées� ondes de surface� ondes d'interface

Ondes modales (2/3)

x1

2x

3x

O

6

Vide/ paroi rigide / impédance réactive

Ondes d'Osborne et Hart

a)

b)

Vide/ paroi rigide / impédance réactive

vide

solide a)

vide

b)solide

fluide ou solide

fluide ou solide

fluide ou solide

fluide ou solide

a)

b)

ondes guidées

- onde de Rayleigha)- onde anti-modale b)

- onde de Scholte, onde deStoneley,onde de Rayleigh-Cezawa, etc... a)- onde anti-modale b)

ondes de surface ondes d'interface

onde de Lamb

Ondes modales (3/3)

mode S0

Courtesy of Patrick Lanceleur, UTC Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University 7

Plan

� Ondes modales en milieu multicouche périodique dépendant de deux fonctions de champs� Utilisation du théorème de Cayleigh-Hamilton� Deux familles d'ondes modales

� Ondes de Rayleigh en milieu multicouche anisotrope

� Faisceau d'ondes modales en milieu multicouche anisotrope� Déviation de faisceau par rapport au plan sagittal� Mise en évidence numérique et expérimentale

en collaboration avec Philippe GATIGNOL et Jean-François de BELLEVAL

LaboratoireRoberval, Unité de Recherche en Mécanique (LRM, UMR CNRS 5253),Université de Technologie de Compiègne (UTC)

Ondes modales en milieu multicouche périodique dépendant de deux fonctions de champs

Ph. Gatignol, C. Potel, J.F. de Belleval, Acustica-Acta Acustica, 93(6), 959-975, (2007)

9τ : matrice de transfertd'1 période

� Conditions aux frontières� Equations de propagation

Milieu multicouche périodique

- ondes de compression en milieu fluide- ondes transversales horizontales en milieu solide

- chaîne diatomique périodique d'atomes

structures décrites avec 2 fonctions de

champ

z

ττ

τ

Chaîne diatomique

ondes L

ondes SH

ou

10

ττττ : matrice de transfertd'une période

z p

z p-1

z

τ

τ

( ) ( )1pp zz −= WW ττττ

� Vecteur déplacements - contraintes :

( )

=p

pp T

uz r

r

W

pur

pTr

� Conditions aux limites :– égalité des déplacements– égalité des contraintes

Matrice de transfert d'une période (1/2)

x

11

−=

dc

baττττ avec ad + bc = 1

� valeurspropresλ et vecteurspropresV

VV λ= 01s22 =+λ−λ( )das2 +=

avec

( ) ( ) ( )( ) ( )

202x

222

x22

2x

21

2x

21

2x

22

202x

2210

2x

21x0

KKKsinsinKK

KK~1

KK

KK~2

1

KKKcosKKKcosK,Ks

η−102x

21 KKK η−

−

−

ρ+

−

−ρ−

η−η−=

2

1qq

q

0q

000

0

xx

~;h

h;

V

VK;

V

hhkK;

k

kK

ρρ

=ρ=η=ω===

x

z

k x

k 0→

τ

τ

Matrice de transfert d'une période (2/2)

Cas particulier de 2 couchesdans une période

ondes de Floquet

12

Bandes d'arrêt et bandes passantess dépend de : – propriétésde la structure (V, ρ, h)

– fréquenceproportionelle à K 0– projection des nombres d'ondeK x

0

xx k

kK =

000 V

hhkK

ω==

s = 1s = -1bandesd'arrêt| s | > 1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3K 1

K2

x

z

h

h

k x

k 0→

13

Modes guidés (1/2)

� Matrice de transfert de toute la structure

( ) ( )IsUsUdc

ba2P1P

PP

PPP−− −=

−= ττττττττ

Polynômes de Tchebychev

structure finie

( ) ( )0P

P zz WW ττττ=

+−=+=

0P0PP

0P0PP

TdwcT

Tbwaw

� Conditions aux frontières : T 0 = 0

T P = 0( ) 0K,Kc x0P =

p = 1

p = 2

x

z

p = P

τ

τ

τ P

z 0

z P

vide

vide

14

Modes guidés (2/2) : deux familles de modes

( ) 0K,Kc x0P =

( ) ( ) 0sUK,Kc 1Px0 =−

modes de structure

modes de période

P = 3

s = 1s = -1bandes d'arrêt

00 V

hK

ω=

xK

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3K1

K2

équation aux modes propres factorisée

dans les bandes passantes

dans les bandes d'arrêt

15

Modes de surface (1/2)

structure infinie

� Conditions aux frontières

Pour 1 période, avec

� Contraintes et déplacements

+=+=

001

001

Tdw0T

Tbwaw

T 0 = 0

T 1 = 0

T 2 = 0a w 0

w 0

a2 w 0

a w 0

w 0

a2 w 0

1a >>>>1a <<<<

z z

( ) 0K,Kc x0 =

Mode "Rayleigh multicouche" Onde anti-modale

z

p = 1

p = 2

x

p = 3

z 0vide

z 1

z 2

� Rôle crucial joué par le caractère périodique de la structure: pas d'onde modale de surface en milieu fluide homogène semi-infini

T 0 = 0 T 1 = 0 et w 1 = a w 0

w p = a w p-1

16

Modes de surface (2/2)

� Onde anti-modale

( ) 0K,Kc x0 =

et

1a >

1a <

( ) 0K,Kc x0 =

et

modes de périodec = 0

a = 1a = -1

s = 1s = -1

Bandes d'arrêt

xK

00 V

hK

ω=0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

� Mode de Rayleigh Multicouche

17

� structure finiedans le vide :

modes de structure

modes de période

� structure semi-infinie:description physique des modes de Rayleighmulticouche

deux familles

modes de période

En résumé

z

p = 1

p = 2

x

p = 3

z 0vide

z 1

z 2

z

p = 1

p = 2

x

p = 3

z 0z 0vide

z 1z 1

z 2z 2

p = 1

p = 2

x

p = P

z 0

z P

vide

vide

p = 1

p = 2

x

p = P

z 0z 0

z Pz P

vide

vide

18

Plan




en collaboration avec J-F de Belleval, A.U. Rehman, J.M. GherbezzaLaboratoireRoberval, Unité de Recherche en Mécanique (LRM, UMR CNRS 5253),Université de Technologie de Compiègne (UTC)

Ondes de Rayleigh en milieu multicouche anisotrope

- C. Potel, J.F. de Belleval, J. Appl. Phys., 77, 12, 6152-6161, (1995)

- C. Potel, S. Devolder, A.U. Rehman, J.F. de Belleval, J.M. Gherbezza, O. Leroy, M. Wevers, J. Appl. Phys., 86, 2, 1128-1135, (1999)

et Oswald Leroy, Stéphane Devolder, Martine WeversInterdisciplinary Research Centre, Katholieke Universiteit Leuven (KUL) - Belgium

20

Ondes de Rayleigh multicouche en milieu multicouche anisotrope (1/5)

� Ondes de Floquet� modes de propagation du milieu multicouche périodique infini� solutions indépendantesliées aux valeurs propres et vecteurs propres

de la matrice ττττ de transfert d'une période� Onde de Rayleigh multicouche

� Ondemodalede surface� Combinaison linéaire de 3 ondes de Floquet inhomogènes(en milieu

multicoucheanisotrope)� Ondedispersive

p = 1

p = 2

x1

x3

vide

p = 1

p = 2

x1

x3

(1)

(2)(3)

vide

21

milieu 0°/45°/90°/135°

Ondes de Rayleigh multicouche en milieu multicouche anisotrope (2/5)

Courbes de dispersion obtenues par annulation d'un déterminant (3x3)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5

fréquence (MHz)

angl

e de

Ray

leig

h (d

egré

)

3

2

1

7

1 46

5

22

comment ?

sur quoi ?

� technique acousto-optique développée à : Katholieke Universiteit Leuven (KUL) - Belgique

liée aux faisceaux bornés

� plaque composite en carbone/époxyde

ondes planes� Prouver expérimentalement l'existence

des ondes deRayleigh multicouche

Ondes de Rayleigh multicouche en milieu multicouche anisotrope (3/5) : comparaisons

expérimentales

23

� Interaction d'un faisceau laseravec les ultrasons

� Faisceau laser perpendiculaire aux ondes incidentes et réfléchies, diffracté par elles.

� Images de strioscopie pour différents angles et fréquences

Technique acousto-optique

incidentchamp

réfléchichamp

plaque

24

Génération et ré-émission d'une onde de Rayleigh (milieu isotrope)

Programmes réalisés par Ph. Gatignol, Pr., Université de Technologie de Compiègne

1,010 =ρρ k0a = 60, kLa = 15, kTa=30, θθθθ = θθθθRayleigh

réflexion spéculaire

réflexion non spéculaire

réflexion nulle

25

Après les deux angles critiques, pas d'onde de Rayleigh

x/a

z/a

1,010 =ρρ

Programmes réalisés par Ph. Gatignol, Pr., Université de Technologie de Compiègne

Onde Longitudinale évanescente

Onde Transversale verticale évanescente

k0a = 60, kLa = 15, kTa=30, θ > θc2

réflexion spéculaire

26

plaque composite 0°/45°/90°/135° (24 couches)

région nulle� anglecaractéristique

pas de région nulle � pasd'angle caractéristique

f = 3 MHz ; θ = 20°mode �

f = 3 MHz ; θ = 16°

Images de strioscopie

région nullechamp réfléchi

champ incident

27

Plan




en collaboration avec Stéphane BALY, Jean-François de BELLEVAL,Philippe GATIGNOL

LaboratoireRoberval, Unité de Recherche en Mécanique (LRM, UMR CNRS 5253),Université de Technologie de Compiègne (UTC)

Faisceau d'ondes modales en milieu multicouche anisotrope

C. Potel, S. Baly, J.F. de Belleval, M. Lowe, Ph. Gatignol, IEEE Trans. UltrasonicsFerroel. Freq. Contr., 52 (6), 987-1001, (2005)

et Mike LOWEImperial College, Department of Mechanical Engineering, Londres - Grande Bretagne

29

Position du problème

Zone d'impact

θ

x1

x3x2

ϕ

Direction del'axe acoustiqueTransducteur

émetteur

Plan sagittal Excitation d'une onde modale

structure multicouche anisotrope

fluide

fluide

30

� Faisceau d'ondes modales en milieu multicouche anisotrope

� Description qualitativedu phénomène physique

� Modélisationet résultats numériquesassociés

� Comparaisons expérimentales

31

Phénomène physique

x1

x3x2

Faisceau d'ondes modales

hors du plan sagittal

Direction de déviation du faisceau modal

ϕ

θ

Direction del'axe acoustiqueTransducteur

émetteur

Plan sagittal

32

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 1 2 3 4 5

f.H (MHz.mm)

inci

denc

e (°

)

(Vitesse Vph)

plan sagittalθ

k→

x

zy

O

°)

ω fixé

mode fixé

courbes de dispersion àϕ fixé

ϕ

mΛ 0 = 1

V ph

Plan sagittal (ϕ) varie

Courbe des lenteurs des modes de Lamb

00mk ΛΛ ω=rrk

→→→→ΛΛΛΛ 0k2

k1

Direction del'axe acoustique

Vecteur d'onde principal

Visée d'un mode de Lamb

θθθθ

f.H (MHz.mm)

incidence (°)

33

Courbes des lenteurs modales

y

x

y

x

vide

milieu stratifié

Rayleighvide

vide

Lamb

f.H = 1 MHz.mm f = 2.5 MHz

0°/45°/90°/135°unidirectionnel ; fibres // Ox

34

Déviation angulaire

Faisceau modal dévié

tangente

anisotropie direction de groupe principale ≠ directionk→

Λ0

direction de groupe principale du faisceau d'ondes modales

M(x,y)

ω fixébranche F

ligne d'onde

x

y

O

trace duplan sagittal

kΛ→

0

2 π

kΛ→

0

onde principale du faisceauincident (projection surle plan de la plaque)

θ

x

zy

k→

plan sagittal

ϕk2

k

Zone d'impact

O k→→→→

ΛΛΛΛ 0


Vecteur d'ondeprincipal

1

35





36

Résultats numériques

� Logiciel de calcul de champs réfléchis et transmis :� Décomposition du faisceau incident en ondes planes

monochromatiques� Prise en compte des coefficients de réflexion et de transmission� Recomposition des faisceaux réfléchis et transmis

� Représentation des résultats : 2 points de vue

rotation du plan sagittal rotation de la plaque

x

zy

x

zy

37

Y

XY

X

Plaque unidirectionnelle : champs de pression réfléchie parallèlement à la plaque

Mode S0

H= 0.59 mmf = 1.35 MHz1.35 MHz

ϕϕϕϕ=0°

Illustrationdu phénomène de déviation du faisceau modal

xy

ϕϕϕϕ=45°ϕϕϕϕ=45°

Xx

y

38

Cartographies des champs de pression réfléchie

Cartographies représentées dans le plan (OXY)

x

y

xy

trace du plan sagittal

39

Amplitude maximale : 28.328.3°°Normale à la CDL : 27.827.8°°

Courbes des lenteurs (CDL)champ de pression réfléchie

TrTrèès bon accords bon accordentre la normale entre la normale àà la CDL etla CDL et

l'amplitude maximuml'amplitude maximum

Mode S0 - Angle azimutal ϕϕϕϕ = 30°

yx


40

Amplitude maximale : --10.610.6°°Normale à la CDL : --12.012.0°°

TrTrèès bon accords bon accordentre la normale entre la normale àà la CDL etla CDL et

l'amplitude maximuml'amplitude maximum

Courbes des lenteurs (CDL)champ de pression réfléchie

Mode A1 - Angle azimutal ϕϕϕϕ = 30°

yx


41

Mode A2 Mode S0

Mode A1

Chaque mode excitépossède :

son propre couplageson propre couplage

sa propre direction sa propre direction de propagationde propagation

Modes A1, A2, S0 - Angle azimutal ϕϕϕϕ = 30°

y

x


42

Prédiction de la direction de déviationpar la normale aux CDL de Lamb

Mode S0Mode S0

champ de pression réfléchie

Variation de la direction de déviation en fonction de l'angle azimutal (1/2)

43

Mode A1Mode A1

Prédiction de la direction de déviationpar la normale aux CDL de Lamb

champ de pression réfléchie

Variation de la direction de déviation en fonction de l'angle azimutal (2/2)

44

Zone d'impact

θ

x

zy


Transducteurémetteur

Plan sagittal

Faisceau d'ondes modales

du faisceau modalDirection de déviation

hors du plan sagittal

Plan oblique de re-rayonnement

θ

Rerayonnement dans un plan oblique

45

Carbone-Epoxydeunidirectionnelf.d=1 MHz.mm

Angle azimutal ϕ=60°mode S0

(mm)

(mm

)

h= 0 mm

(mm

)

(mm)

δ

h= 200 mm

Théoriquement:θ, α β = 74.7°Numériquement:δ, h β = 75.3°

α

Mise en évidence numérique du plan oblique de re-rayonnement

x

y z

46





47

Montage expérimental

f = 1 MHzDiamètre : 19.05 mmExcitation 10 cyclesd = 0.59 mm

48

Le plan sagittal contientcontient la direction des fibres

Champ de pression réfléchie (dB)

Résultat expérimental

RRéésultat numsultat num éériquerique

Mode SMode S00

f = 1.351.35MHzθ = 9.8°

Pas de dPas de d ééviationviation

BON ACCORDBON ACCORD

Comparaison des résultats numériques et expérimentaux (1/2)

x

y z

49

Le plan sagittal NE contient PASNE contient PAS la direction des fibres

ExpExpéérimentalrimental : 45.145.1°°

NumNuméériquerique : 42.242.2°°

Mode SMode S00

f = 1.201.20MHzθ = 13.6°

DDééviation du faisceauviation du faisceau

Résultat expérimental

RRéésultat numsultat num éériquerique

Champ de pression réfléchie (dB)

BON ACCORDBON ACCORD

Comparaison des résultats numériques et expérimentaux (2/2)

xy z

50

� Défaut propagation de l'onde perturbée

� Mais .... il faut tenir compte de l'anisotropie

plaquedéfaut

transducteurdéplacement

Conclusions

evaluation et contrôle non destructifs propagation d'ondes...

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