Univerza v LjubljaniFakulteta za matematiko in fiziko

oddelek za fiziko

Evolucija dinamike Zemljineprecesije

Avtor: Ivo Krajnik

Ljubljana, 15. marec 2011

PovzetekBistvo tega seminarja je v sklopu klasične mehanike z uporabo numerične HITS kode podati

časovno odvisnost dinamike gibanja planeta Zemlja kot točkasto telo v Osončju, in kot togo teloglede na lastni sistem. V ta namen so bile leta 2005 izdelane tri študije. Prva obravnava gravitacijskeefekte vseh planetov Osončja na nagnjenost Zemljine osi. V drugi študiji, izdelani v istem času, sovključili tudi vpliv gravitacije Lune. Tretja študija, pa ločeno obravnava dinamiko Zemlje, ki se pojavi,ko Luno "postavimo "na različne oddaljenosti od središča Zemlje. V geološki zgodnji preteklosti, ko jebila Luna veliko bližje Zemlji, je bila dinamika tega sistema dveh teles bistveno drugačna. V nadaljnirazpravi skušam pobliže orisati tako dinamiko sistema. Na koncu seminar sklenem s komentiranjemrezultatov.

1

Kazalo1 Kratek uvod 2

1.1 Nagnjenost Zemljine osi in letni časi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Nastanek Lune v času mlade Zemlje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Nagnjenosti osi planetov Osončja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Osrednji del 32.1 Študij dinamike sistema Zemlja - Luna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Rotacijski problem več teles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1 Kinematika rotacijskega problema več teles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.2 Dinamika rotacijskega problema več teles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.3 Gravitacijski momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Rešitve rotacijskega problema N teles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Izračun nagnjenosti in kotov precesije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5 Rezultati in diskusija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5.1 Rezultati simulacij s posameznimi planeti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5.2 Simulacije z vsemi planeti Osončja kot celota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 Kratek uvodOdkar smo se na Zemlji pojavila razumna bitja, obstaja tudi zanimanje za naš izvor ter izvor naravnihpojavov kot so strela, oblaki, grmenje, zvezde, Luna, Sonce, vesolje, ter v končni fazi Zemlja.Posebno pozornost bom v seminarju namenil sistemu Zemlja - Luna. Gre za sistem dveh med sebojgravitacijsko povezanih teles. Zanima nas kako se je tak sistem sploh formiral, ter zanima nas prihodnostdinamike gibanja takšnega sistema. Dejstvo seveda je, da vemo kakšna je ta dinamika danes, in napodlagi le te lahko sklepamo na njeno preteklost oziroma prihodnost, ter je to naša odskočna deska zaobravnavo spreminjanja nagnjenosti osi rotacije Zemlje skozi geološke dobe.

1.1 Nagnjenost Zemljine osi in letni časiZemlja je od središča Osončja v povprečju oddaljena 150 · 106 km. V prisončju je ta razdalja 88 · 106 km,v odsončju pa 160 · 106 km. Po oddaljenosti od Sonca je treji planet, in tako spada med notranje planeteOsončja. Zemljina os rotacije je trenutno nagnjena glede na pravokotnico na ravnino ekliptike za kot23.5 ◦. Posledica nagnjenosti osi rotacije so letni časi, še več, spreminjanje samih letnih časov. Kadar jena severni polobli poletje, je na južni zima, in obratno. Ta proces se odvija že milione let, a ni kostantnoenoličen. Sprememba nagnjenosti osi rotacije za par stopinj ima za posledice ogromne spremembe vvremenu. Po obliki je Zemlja rotacijski elipsoid, os rotacije je krajša od osi, ki povezujeta ekvator.Posledica take oblike, je delovanje momenta na Zemljo. ki sestoji iz prispevkov gravitacijskih sil Lune,Sonca in planetov.

1.2 Nastanek Lune v času mlade ZemljePreden so astronavti stopili na Lunino površje, sta veljali dve najverjetnejši teoriji o njenem nastanku.Prva je t. i. zajetje kjer naj bi Zemljina gravitacija Luno, ki naj bi od nekje pač prišla, vtirila v današnjoorbito.1 Druga teorija pa je bila, da je Luna preprosto nastala hkrati z Zemljo. Po sprehodu astronavtovpo Luni je nastala tretja teorija, ki velja še danes. Gre za t. i. teorijo collision - ejection, po kateri naj bimlada Zemlja doživela trk z vesoljskim telesom velikosti Marsa pod ravno pravšnjim kotom. Del telesain Zemlje naj bi nato v obliki delcev različnih velikostnih redov izvrglo v orbito okoli Zemlje, iz katerihnaj bi se s pomočjo gravitacije izoblikoval naš naravni satelit. Ta teorija se zdi najverjetnejša, saj sta pogeološki sestavi Zemlja in Luna zelo podobni.

1Ta teorija je bila ovržena na podlagi večih neskladij, danes vemo, da se Luna ves čas od Zemlje oddaljuje, kar je močanargument proti tej teoriji.

2

1.3 Nagnjenosti osi planetov OsončjaVsak planet Osončja ima os rotacije nagnjeno za določen kot. Različne vrednosti posameznih kotovshematsko prikazuje slika 1. Velikost nagnjenosti je, kot bomo videli v nadaljevanju, odvisna od večihspremenljivk. Zelo pomembni sta velikost in število naravnih satelitov posameznega planeta. Številonaravnih satelitov planetov je zelo ratlično, in ponavadi ne presega par procentov velikosti planeta, okolikaterega kroži. Zemlja je s tega vidika "privilegirana," in ima v Osončju edinstveno situacijo, saj Lunaskoraj presega četrtino velikosti Zemlje. Izmed vseh planetov Osončja, je sistemu Zemlja - Luna, povelikosti, najbolj podoben sistem Pluton in njegov naravni satelit, vendar pa gre v tem primeru zaledena planetoida, in ju kot taka uvrščamo med drugačne planete. Raziskave leta 1993 so pokazale,da delovanje momenta gravitacijske sile ostalih planetov Osončja na Zemljo, ki je rotacijski elipsoid,povzroča spremembe nagnjenosti osi rotacije s periodo 106 let, kjer je "amplituda" med 21.5◦ in 24.5◦[1]. V primeru, da bi Luna nenadoma "izginila" bi se perioda prepolovila, amplituda pa bi znašala med±15◦ ali do ±20◦ [1]. Življenje kot ga poznamo danes, na takšni Zemlji gotovo ne bi bilo več mogoče.

Slika 1: Trenutne nagnjenosti osi rotacij devetih planetov Osončja [1].

Luna s svojo trenutno lego v orbiti okoli Zemlje ohranja relativno stabilno orientacijo Zemljine osi. Vnadaljevanju bom pokazal rezultate (časovni potek nagnjenosti osi Zemlje), pod vplivom Lunine in grav-itacije planetov. Predstavljeni so rezultati različnih simulacij (vpliv posameznega planeta na dinamikorotacije Zemlje z Vplivom Lune in brez, ter vpliv celotnega Osončja ob upoštevanju Lune in brez nje). Vposameznih simulacijah niso vključeni medsebojni gravitacijski vplivi planetov.

2 Osrednji del2.1 Študij dinamike sistema Zemlja - LunaZačetni pogoji sistema Zemlja - Luna nam niso dobro poznani, vemo, kakšna pa je ta dinamika danesin lahko dokaj zanesljivo napovemo kakšna bo v prihodnosti. Ker gre za sistem gravitacijsko vezanih Nteles, in N > 2, moramo postopati numerično.

Slika 2: Prikaz heliocentričnega sistema.Planeti krožijo v različnih orbitah [1].

Krajevni vektorji in vektorji hitrosti v heliocentričnem sistemu(X,Y, Z). Planeti mas mi in mj krožijo okoli izhodišča inercial-nega sistema. Količine mi, ~ri in ~vi so masa, krajevni vektor terhitrost i-tega planeta v heliocentričnem sistemu. Lahko napovemokrajevni vektor in hitrost i-tega planeta v sistemu ob času t+ dt,če poznamo pospešek i-tega telesa ob času t. Pospešek planeta občasu t podaja [1]:

~ri = ~ai =N∑ji

(Gmj

r3ij

)~rj (1)

kjer i in j predstavljata različna planeta v sistemu, ~rij pa vektorrazdalje med njima. Enačba 1 za več kot dve telesi analitično nirešljiva, in poslužiti se moramo numeričnih metod. V ta namenbom apliciral metodo HITS.a

aHermite Integrator with ind. Timestep Scheme.

3

2.2 Rotacijski problem več teles2.2.1 Kinematika rotacijskega problema več teles

Pri rotacijskem problemu N vezanih teles želimo enolično popisati lego togega2 planeta i, katerega ori-entacijo definira sistem (x, y, z) katerega izhodišče je pripeto v centru mase planeta, glede na heliocentričnisistem (X,Y, Z). Momenti gravitacije ostalih planetov povzročajo spremembo naklona Zemlje. Transfor-macijo inercialnega sistema v rotirajoči sistem (x, y, z) opravimo z Euler - jevimi koti. Rotacije okli osix, y, z za poljubno velik kot označimo s φ, θ, ψ. Torej:

1. Rotacija okoli osi z za kot φ,2. Rotacija okoli osi y za kot θ,3. Rotacija okoli osi x za kot ψ.

Slika 3: Prikaz Euler - jevih kotov [3]. Rotacijskematrike posameznih zasukov so ortogonalne. Splošnaorientacija vrtečega sistema glede na heliocentrični jetorej matrika, ki je produkt treh matrik za posamezneosi, za pojubne kote posameznih zasukov

R = R1(ψ)R2(θ)R1(φ). Glej enačbo 2 [1].

R =

cos θ cosφ sin θ sinψ cosφ+ cosψ sinφ sin θ sinφ− sin θ cosψ cosφ− cos θ sinφ cosψ cosφ− sin θ sinφ sinψ sin θ cosψ sinφ+ sinψ cosφ

sin θ − cos θ sinψ cos θ cosψ

(2)

Za nadaljnje delo rabimo še odvisnosti projekcij kotne hitrosti v vrtečem sistemu. Brez izpeljavprepišimo odvode Euler - jevih kotov [4]:

θ = ωx sinφ+ ωy cosφ (3)

φ = (ωy sin θ sinφ− ωx sin θ cosφ) sec θ + ωz (4)

ψ = (ωx cosφ− ωy sinφ) sec θ (5)

2.2.2 Dinamika rotacijskega problema več teles

V primeru N gravitacijsko vezanih planetov za katere predpostavimo, da se obnašajo kot toga telesa,zapišemo enačbe gibanja za togo telo. Ker je Zemlja rotacijski elipsoid, ki kroži na orbiti, ki je na meji,ki ločuje notranje planete od zunanjih "velikanov," je izpostavljena delovanju gravitacijskega momoenta,ki je vsota gravitacijskih momentov vsakega planeta posebej. Ker Zemljo ravno tako obravnavamo kottogo telo, so enačbe gibanja v splošni obliki - Euler - jeve enačbe [1]:

Nx = Ixωx − (Iy − Iz)ωyωz (6)

Ny = Iyωy − (Iz − Ix)ωzωx (7)

Nz = Izωz − (Ix − Iy)ωxωy (8)2Planete zaradi poenostavitev in lažje obravnave smatramo kot, da so toga telesa, razdalja med posamezni deli togega

telesa, npr med delom l in m se po definiciji ne spreminja, torej ~rlm = Clm.

4

2.2.3 Gravitacijski momenti

Enačbe 6, 7 in 8 so zapisane v splošni obliki za togo telo na katero deluje od 0 različen navor. Posameznemomente Nx, Ny in Nz moramo sedaj povezati z gravitacijo, in jih bomo v nadaljevanju rabili za izračunrazvoja kota nagnjenosti Zemlje. V naši obravnavi imamo opravka z devetimi planeti Osončja. Za začetek,zaradi preglednosti, zapišimo gravitacijski moment kot posledica gravitacijskega polja enega planeta.Moment na maso mi (slika 2) povzroča sferno simetrično gravitacijsko polje planeta mase mj (slika 2).Spomnimo, da ima gravitacija 1/r2 odvisnost, in po kratki izpeljavi lahko zapišemo gravitacijski momentplaneta j okoli glavnih osi planeta i kot [1]:

Nx = 3Gmj(Iz − Iy)yzr5 (9)

Ny = 3Gmj(Ix − Iz)xzr5 (10)

Nz = 3Gmj(Iy − Ix)yxr5 (11)

Spremenljivke x, y in z v enačbah 9, 10 in 11, podajao koordinate planeta j (telo, ki "izvaja"gravitacijskinavor na telo i - Zemljo), v vrtečem sistemu. Ker rabimo vse spremenljivke glede na inercialni sistem(izhodišče v središču Osončja), z uporabo transformacije - enačba 2, lahko zapišemo: x

yz

= R

Xj −Xi

Yj − Yi

Zj − Zi

= ~r (12)

Ker Zemlja ni popolna krogla, in jo obravnavamo kot rotacijski elipsoid, katerega vztrajnostne mo-mente vzdolž glavnih osi povezuje enačba Ix = Iy 6= Iz, se Eulerjeve enačbe prepišejo v specifičnejšoobliko:

Ixωx − (Ix − Iz)ωyωz = −3Gmj(Ix − Iz)yzr5 (13)

Ixωy − (Ix − Iz)ωzωx = 3Gmj(Ix − Iz)xzr5 (14)

terIzωz = 0 (15)

2.3 Rešitve rotacijskega problema N telesNa tej točki bomo aplicirali algoritem HITS, ki dokaj natančno omogoča popis gibanja sistema več teles.Sam algoritem so začeli uporabljati znanstveniki z univerze v Miami - ju pri simulacijah dinamike planetovv Osončju. Sprva v dveh dimenzijah in kasneje obravnave razširili na tri dimenzije. Pri dinamiki Zemljineprecesije je potrebno, za opis sistema, ki sestoji iz tirnega gibanja planetov (točkasto telo), in gibanjaplanetov okoli rotacijskih osi glede na center mase (togo telo), algoritem HITS najprej uporabiti za opistirnega gibanja3 in nato še rotacijskega. Za začetek si zaradi lažje predstave najprej bežno poglejmo"delovanje"omenjene metode za gibanje točkastega telesa. Vsako telo i, (katerega gibanje lahko opišemokot gibanje točkastega telesa okarakteriziramo z naslednjimi petimi količinami: [1]

1. Absolutni čas ti2. Časovni korak ∆ti,3. Krajevni vektor ~ri,4. Vektor hitrosti ~vi,5. Vektor pospeška ~ai ter,6. Odvod vektorja pospeška ~ai.

3V tem seminarju se obravnavi tirnega gibanja več teles z metodo HITS izognem, predstavim le način obravnave in seosredotočim uporabi algoritma HITS za toga telesa. V sklepnem delu seminarja, kjer predstavim rezultate izračunov, jeseveda upoštevano tudi tirno gibanje.

5

Na tej točki si poglejmo kako postopamo z uporabo algoritma HITS pri opisu tirnega gibanja večteles. Za naš primer bi bilo tako gibanje, gibanje planetov v različnih orbitah okoli skupnega središča.Algoritem HITS najprej izračuna predvidene vrednosti vektorja kraja ~xp,i in hitrosti planeta i, ~vp,i občasu t, z razvojem v Taylor - jevo vrsto do tretjega reda: [1]

~xp,i = ~vi(t− ti) + ~ai(t− ti)2

2 + ~ai(t− ti)3

6 (16)

ter~vp,i = ~ai

(t− ti)2

2 + ~ai(t− ti) + ~vi (17)

Enačbi 16 in 17 sta predvidena položaj in hitrost planeta ob času t. Nato rabimo še pospešek in odvodpospeška, ki je posledica delovanja gravitacije vseh ostalih planetov: [2]

~ai =∑i 6=j

(Gmj~rij

r3ij

)(18)

~ai =∑j 6=i

Gmj

(~vij

r3ij

− 3~rij(~vij · ~rij)r5

ij

)(19)

kjer je ~rij = ~xp,j − ~xp,i razdalja med telesoma i in j, ter ~vij njuna relativna hitrost.

Predvidene vektorje kraja in hitrosti korigiramo z uporabo Hermitove interpolacije: [1]

~ai(t) = ~a0,i + ∆t~a0,i + ∆t2

2 ~a0,i + ∆t3

6 ~a(3)0,i (20)

kjer sem uporabil ∆t = t− t1. Indeks 0 predstavlja količino ob času t, indeks 1 pa ob t+ dt.

Sledita enačbi za drugi in tretji odvod pospeška: [4]

~a0,i = −6(~a0,i − ~a1,i)−∆ti(4~a0,i + 2 ˙~a1,i)∆t3i

(21)

~a(3)o,i = 12(~a0,i − ~a1,i)−∆ti(4~a0,i + 2~a1,i)

∆t3i(22)

Z uporabo enačb 21 in 22 vektor kraja ~xi in hitrosti ~vi telesa i korigiramo na čas ob t+ ∆ti: [1]

~xi(ti + ∆ti) = ~xp,i + ∆t4i ~a0,i

24 + ∆t5i ~a0,i

120 (23)

~vi(ti + ∆ti) = ~vp,i + ∆t3i ~a0,i

6 + ∆t4i24 (24)

na tem mestu povejmo še, da za drugi odvod pospeška, ob času t in t+ dt velja: [1]

~a1,i = ~a0,i + ∆ti~a0,i (25)

Postopek izračuna z uporabo algoritma HITS pri problemu dinamike togega telesa je podoben. Priobravnavi rotacijskega problema, vektor kraja in hitrosti zamenjajo Euler - jevi koti in njihovi odvodi -kotne hitrosti. V tem primeru je naloga algoritma HITS podobna - izračun orientacije telesa glede naizhodišče v centru mase. Mesto pospeška v tem primeru prevzamejo drugi odvodi Euler - jevih kotov.Funkcijo šunka "pospeška pa tretji odvodi Euler - jevih kotov po času. Enačbe 3, 4 in 5 že podajajo prveodvode. Tu so še drugi: [4]

θ = φψ cos θ + ωy cosφ+ ωx sinφ (26)

φ = −(θψ cos θ + ψ sin θ) (27)

6

ψ = (θ(ψ sin θ − θ) + ωx cosφ− ωy sinφ) sec θ (28)Tu so še treji odvodi po času:

θ(3) = cosφ(ωy + φωx) + sinφ(ωx − φωy) + φ(ψ cos θ − ψθ sin θ) + θψ cos θ (29)

φ(3) = ψ(θ2 sin θ − θ cos θ)− (ψ sin θ + 2ψθ cos θ) (30)

ψ(3) = θ(ψ sin θ − φ) + cosφ(ωx − φωy)− sinφ(φωx + ωy) + θ(ψ2 sin θ − φ) + θ2ψ cos θ (31)kjer Γ = Iz−Ix

Ix. Kot smo videli v enačbah za odvode Euler - jevih kotov, rabimo ustrezne kotne

hitrosti in njih prve ter druge časovne odvode. Moramo jih izračunati. Iz enačb 13 in 14 izrazim kotnihitrosti kot vsoto prispevkov po vseh j planetih: [1]

ωx = 3GΓN∑

i=1,i6=j

mjyz

r5 − Γωyωx (32)

ωy = −3GΓN∑

i=1,i6=j

mjxz

r5 − Γωxωz (33)

Rabim še drugi odvod, in ponovno upoštevam, da je Γ = Iz−Ix

Ix[2]

ωx = 3GΓN∑

i=1,i6=j

mjddt

(yzr5

)− Γωyωz (34)

ωy = −3GΓN∑

i=1,i6=j

mjddt

(xzr5

)+ Γωxωz (35)

Če se nekoliko ustavimo pri enačbah 34 in 35, in poglejmo podrobneje količini: [1]

ddt

(yzr−5

)= r−5(vyz + vzy − 5r−2(xvx + yyy + zvz))

ddt

(xzr−5

)= r−5(vxz + vzx− 5r−2(xvx + yvy + zvz)) vx

vy

vz

= R

vX,j − vX,i

vY,j − vY,i

vZ,j − vZ,i

− R Xj −Xi

Yj − Yi

Zj − Zi

(36)

R =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

(37)

za primer: a11 = −(θ sin θ cosφ+ φ cos θ sinφ).

Sedaj imamo izračunane vse potrebne količine za izračun Euler - jevih kotov za poljuben čas t.Povzemimo numerični postopek poteka izračuna Eulerjevih kotov z algoritmom HITS za togo telo: [1]

1. Algoritem sledi razporeditvi in hitrosti planetom glede na heliocentrični sistem ob času t,2. sledi tudi Eulerjevim kotom in njihovim prvim odvodom,3. Z informacijama iz 1. in 2. program izračuna izračuna položaj in hitrosti planetov, ki na Zemljodelujejo z navorom N , v vrtečem se sistemu,4. izračuna prva in druga odvoda komponent kotne hitrosti v vrtečem sistemu, 5. izračuna druge intretje odvode Euler - jevih kotov,6. z uporabo Euler -jevih kotov in tretjih odvodov program predvidi in korigira Euler - jeve kote v časut+ dt

7

2.4 Izračun nagnjenosti in kotov precesijeKot nagnjenosti Zemljine rotacijske osi γ (gledano s heliocentričnega sistema), in kot precesije δ za vsečase določimo z uporabo Euler - jevih kotov, ki smo jih obravnavali v prejšnjem razdelku. Kot nagnjenostiZemljine osi, je po definiciji kot, ki ga Zemljina rotacijska os oklepa z normalo na ravnino XY (ravninav heliocentričnem sistemu). Za izračun kota nagnjenosti si najprej mislimo enotski vektor v smeri osi zv vrtečem sistemu: [4]

~A′ =

001

isti vektor izražen v inercialnem sistemu je: [4]

~A = R ~A′ ,

in je projekcija na vrteči sistem, ki jo lahko zapišem kot: [2]

~A =

cosαcosβcos γ

.

Ker je R ortogonalna transformacija velja R−1 = RT , in velja: [1]

~A′ = RT ~A, (38)

po množenju dobimo: cosαcosβcos γ

=

sin θ− cos θ sinψcos θ cosψ

. (39)

Končno dobim kot nagnjenosti γ:γ = arccos(cos θ cos γ). (40)

Na podoben način lahko kot precesije δ izrazim preko kotov α, β in γ s koti vrtečega sistema (Euler -jevi koti φ , θ , ψ):

δ = arctan(cosβ

cosα

)= arctan

(− cos θ sinψsin θ

)(41)

2.5 Rezultati in diskusijaSledi zaključno poglavje v katerem predstavim različne simulacije in ob priloženih grafičnih rezultatihkomentiram posamezne zaključke. V prvem delu so izidi simulacij pri katerih upoštevam sistem Zemlja- Sonce in po en planet Osončja individualno, najprej brez, nato pa še z upoštevanjem vpliva gravitacijeLune. Pri tem niso upoštevani medsebojni gravitacijski vplivi planetov, kar doprinese k nenatančnostim.V drugem delu predstavitve rezultatov si pogledamo vpliv celotnega Sončnega sistema na gibanje Zemlje,kjer Luno v prvi simulaciji najprej postavimo na današnjo orbito, v drugi pa vpliv Lune iz simulacijeizključimo. Na tak način dobimo časovni potek nagnjenosti Zemljine osi kot posledica delovanja celotnegaOsončja z Luno, in brez nje. V nobeno izmed simulacij niso vključeni naravni sateliti - Lune drugihplanetov, saj le ti prispevajo zanemarljive popravke. V primeru zelo mlade zemlje (starost 109 let), ko jebila Luna veliko bližje, in Osončje, kot ga poznamo danes, ni bilo še formirano, je bilo v medplanetarnemprostoru prisotnih veliko delcev in medplanetarnega prahu. Za natančnejše izračune za sistem Zemlja -Luna v tistem času, bi morali vzeti tudi to v upoštev, a tega tu ne obravnavam.

8

2.5.1 Rezultati simulacij s posameznimi planeti

Slika 4: Prikazuje spremembe nagnjenosti Zemljine osi pod vplivom Sonca in enega izmed planetov Osončja.Simulacija prikazuje razvoj sistema v dobi 5 · 106 let, medsebojni gravitacijski vpliv planetov ni upoštevan. Lunav tem primeru ni prisotna. Na desni strani je podana amplituda oscilacij v ◦. [1].

9

Slika 5: Prikazuje spremembe nagnjenosti Zemljine osi pod vplivom Sonca in enega izmed planetov Osončja.Simulacija prikazuje razvoj sistema v dobi 5 · 106 let, medsebojni gravitacijski vpliv planetov ni upoštevan. Lunaje v tem primeru prisotna. [1].

S slik 4 in 5 vidimo, da je gravitacijski vpliv Merkurja na Zemljo zanemarljiv in v primerjavi z vpliviostalih planetov minimalen. Povzroča oscilacije osi z amplitudo med 23.042◦ in 23.987◦ in periodo 85000let v prisotnosti Lune. Če vpliv Lune odstranimo iz simulacije, amplituda ostane skoraj nespremenjena,perioda pa se zmanjša na 25000 let. S slike 4 vidimo, da ima izmed vseh planetov Venera največji vplivna Zemljo. Amplituda oscilacij Zemljine osi znaša od 17.895◦ do 32.713◦ s periodo 400000 let. V primeruprisotnosti Lune se amplituda osi zmanjša na med 20.462◦ in 26.696◦, pri čemer se perioda drastičnozmanjša na okoli 30000 let. Mars, znan tudi pod imenom Rdeči planet, približno enako zanemarljivovpliva na nagnjenost Zemeljske osi kot Merkur. Amplituda znaša med 23.5◦ in 24◦ s periodo 100000 letbrez Lune in zelo podobno pri upoštevanju Lune. Zanimiv je primer Jupitra brez Lune, kjer je amplitudaoscilacij Zemljjine osi med 19.666◦ in 26.099◦, čas ene oscilacije, to je ena perioda pa traja 110000 let.V simulaciji Jupitra z upoštevanjem vpliva Lune se amplituda skoraj ne spremeni, poveča pa se hitrostoscilacij - torej zmanjša se perioda na 30000 let.Učinek Saturna povzroča oscilacije osi z amplitudo med 18.478◦ in 28.484◦ s periodo 2 ·106 let. V primeruUrana, sta gravitacijska vpliva na Zemljo z upoštevanjem Lune in brez nje skoraj popolnoma enaka, in vobeh primerih zanemarljiva.

2.5.2 Simulacije z vsemi planeti Osončja kot celota

Naklon Zemljine osi se spreminja za vrednost ±1.3◦. To je posledica učinkovanja vseh planetov sku-paj - gravitacijski učinek Osončja (rezultirajoči učinek). Učinki navorov, kot posledica gravitacijske sileplanetov na Zemljo ki je rotacijski elipsoid, se torej seštevajo. Naklon Zemljine osi se spreminja počasi,daleč prepočasi, da bi to prosto opazili za časa človeškega življenja. V simulaciji smo pokazali, da bi biloza vidne posledice na Zemlji zaradi spremembe naklona osi pri današnji hitrosti spreminjanja, potrebnopočakati vsaj 106 let, toliko pač, kolikor znaša perioda oscilacij Zemljine osi zaradi celotnega Osončja.

10

Slika 6: Prikaz časovne odvisnosti kota naklonjenosti Zemljine osi zaradi vpliva celotnega Osončja, brezupoštevanja gravitacijskega vpliva Lune. Simulacija znaša za dobo 5 · 106 let [1].

Slika 7: Prikaz časovne odvisnosti kota naklonjenosti Zemljine osi zaradi vpliva celotnega Osončja, zupoštevanjem gravitacijskega vpliva Lune. Simulacija znaša za dobo 5 · 106 let. S slike jasno vidimo, da je velikovprašanje, ali bi bilo življenje na Zemlji brez Lune, tako kot ga poznamo danes sploh mogoče. Naklonski kotZemeljske osi bi se stalno spreminjal za ±15◦. Lahko si samo mislimo, kakšne posledice bi imelo tako gibanjeplaneta na vreme tako na lokalni kot na globalni ravni [1].

11

Slika 8: Prikazuje spremembe nagnjenosti Zemljine osi zaradi vpliva Sonca in Lune, ter drugič samo zaradiSonca. Na desni strani so vrednosti amplitude oscilacij na tri decimalna mesta natančno. Vidimo zanemarljivvpliv Sonca na nagnjenost Zemljine osi. Drugače povedano: v odsotnosti vseh planetov in Lune bi kotnagnjenosti znašal 23.503 ◦ [1].

Literatura[1] Amy Negich Girkin - A Computational Study on the Evolution of the Dynamics of the Obliquity of

the Earth, Faculty of Miami University in partial fulfillment of The requirements for the degree ofMaster of Science Department of Physics, Oxford, 2005.

[2] L. D. Landau E. M. Lifshitz - Mechanics, 3 rd. edition, Volume 1 of Course of Theoretical Physics,Institute of Physical Problems U.S.S.R., Academy of Sciences, Moscow 1997.

[3] Direktna spletna povezava: http : //en.wikipedia.org/wiki/Eulerangles

[4] prof. Peter Prelovšek - Univerzitetna predavanja iz predmeta Analitična mehanika, Fakulteta zaMatematiko in Fiziko, Univerza v Ljubljani, šolsko leto 2009/10.

[5] Janez Strnad -Fizika 1. del Mehanika/Toplota, DZS, Ljubljana 1982.

[6] Douglas C. Giancolli - Physics, Principles with Applications 4 th Ed., Prentice Hall International,INC Englewood Cliffs, New Jersey 1995.

[7] Richard L. Amoroso, Geoffrey Hunter, Menas Kafatos and Jean Pierre - Vigier - Gravitation andCosmology: From the Hubble Radius to the Planck Scale, Proceedings of a Simposium in Honour ofthe 80th birthday Jean Pierre - Vigier, Noetic Advanced Studios Institute, Orinda CA USA 2003.

[8] Rudolf Kladnik - Osnove fizike 2, visokošolski učbenik za fiziko, DZS, Ljubljana 1998.

[9] I. N. Bronstein, K. A. Semendjajev, G. Musiol, H. Mühlig - Matematicni prirocnik, 2. izdaja,Tehniška Založba Slovenije, Ljubljana, 1997.

[10] Peter Prelovšek - Geofizika, učbenik za predmet Geofizika pri 4. letniku univerzitetnega študijafizike, Fakulteta za Matematiko in Fiziko, Univerza v Ljubljani, Ljubljana 2005.

[11] T. Padmanabhan - Theoretical Astrophysics, Volume 2: Stars and Stellar Systems, Inler UniversityCenter of Astronomy and Astrophysics, Pune, India, Cambridge University Press 2000.

12