Exemple de rezolvare Problema 3 Pentru consola cu secţiune pătrată executată din oţel cu tensiunea admisibilă admσ = 150 MPa având schema statică şiîncărcările din fig. 3.3.2, a se cere: a) să se traseze diagrama forţelor tăietoare T şi diagrama momentelor încovoietoare M; b) să se dimensioneze grinda, pentru F = 10 kN, a = 1 m; c) să se traseze diagrama unghiurilor de rotire θ ; d) să se traseze diagrama deplasărilor pe verticală u (diagrama săgeţilor). Modulul de elasticitate al materialului MPa 101,2E 5⋅= .

Rezolvare a) Calculul reacţiunilor Suma momentelor tuturor forţelor faţă de punctul A ∑ =⇔=⋅−⋅−⋅+⇔= .Fa12M0a3F22a3F0RM;0M AAA)A(i .

Suma momentelor tuturor forţelor faţă de punctul C a3/)Fa3Fa12(R0aF3a3RM0M AA)C(i +=⇔=⋅+⋅−⇔=∑ ,

Fa5R A = .Ecuaţia pentru verificare ( suma proiecţiilor tuturor forţelor pe

verticala) 0F5F5F2F3R A =+−=++−b) Trasarea diagramelor eforturilor T şi M.

Împărţim grinda în sectoarele AB, BC, CD. Alegem originea

a) Fig.3.3.1 b) coordonatelor în punctul stâng extrem A al grinzii, orientăm axa X în lungul axei grinzii spre dreapta. Calculăm forţa transversală (tăietoare) T şi momentul încovoietor M într-o secţiune arbitrară cu abscisa X. Forţa tăietoare T într-o secţiune este suma proiecţiilor pe normala la axa barei a forţelor

1

Fig.3.3.2 din stânga secţiunii (sau celor din dreapta). Momentul încovoietor M, într-o secţiune transversală , este suma momentelor forţelor din stânga secţiunii (inclusiv cupluri) , luate faţa de secţiune (sau a celor din dreapta). Cele două eforturi sunt pozitive când au sensurile indicate pe fig. 3.3.1, a (1-1 este secţiune unde se calculează eforturile). Alcătuim funcţiile de variaţie ale eforturilor T, M în cele trei regiuni.

Sectorul AB, a2x0 ≤≤ (fig. 3.3.1,a) F5R)x(T A == .

2

Fx5Fa12xRM)x(M AA +=⋅+−= .

După cum se vede din aceste ecuaţii, forţa tăietoare este identicăîn toate secţiunile sectorului, de aceea diagrama T are forma unui dreptunghi; funcţia M(x) este funcţia liniară. Pentru a construi graficul ei e suficient să se obţinem două puncte - la începutul şi la finele sectorului: pentru x = 0 (secţiunea A) M(0) = 12Fa; pentru x = 2a (secţiunea B) M(2a) = Fa2 .

Conform acestor date construim diagrama M pe sectorul AB. Ordonatele pozitive ale diagramelor T şi M se pun de la axa în jos (diagrama M se construieşte pe fibrele întinse). Sectorul BC, a3xa2 ≤≤ (fig. 3.3.3)

Fig.3.3.3

F2FF5F3R)x(T A =−=−= .)a2x(F3Fx5Fa12)a2x(F3xRM)x(M AA −−+−=−−⋅+−= .

pentru Fa2)a2a2(F3a2F5Fa12M(2a) a2x −=−−⋅+−== ;pentru 0)a2a3(F3a3F5Fa12M(3a) a3x =−−⋅+−== .

Sectorul CD, a4xa3 ≤≤ (fig. 3.3.4)

Fig. 3.3.4 3

0F2F3F5F2F3R)x(T A =−−=−−= .

0Fx5Fa12Fx5Fa12)a3x(F2)a2x(F3Fx5Fa12)a3x(F2)a2x(F3xRM)x(M AA

=−++−=−−−−−+−=−−−−⋅+−=

.

Diagramele de eforturi sunt reprezentate în fig. 3.3.2, b şi c. În secţiunea B se produce un salt egal cu forţa 3F, obţinând douăvalori ale forţei tăietoare, corespunzătoare secţiunii din stânga şi asecţiunii din dreapta punctului B, în care este aplicată forţa 3F. Bara este solicitată la încovoiere, secţiunea periculoasă fiind secţiunea (A), în care se dezvoltă moment maxim Fa12Mmax = .

c) Dimensionarea grinzii În fig. 3.2.2, b şi c sunt reprezentate diagramele de eforturi. Se observă că secţiunea periculoasă este secţiunea (A), în care se dezvoltă momentul încovoietor maxim, în valoare absolută, M =12Fa.

Condiţia de rezistenţă la încovoiere adm1

1WM

σ≤ ,

în care 1W reprezintă modulul de rezistenţă axial al suprafeţei secţiunii transversale.

Formula de dimensionare se scrie a

11

MW

σ=

3366

3

admadm

max1 cm 800m10800

10150101012Fa12M

W =⋅=⋅

⋅⋅=σ

=σ

= −

114

Pentru secţiunea pătrată 33

1 cm 8006

bW ==

cm 16,87 8006b 3 =⋅= .Momentul de inerţie axial al secţiunii transversale a grinzii va fi

444

11 cm 5,67471287,16

12bI ===

4

d) Trasarea diagramei unghiurilor de rotire Fie originea coordonatelor în punctul A. Orientăm axa X în

lungul axei grinzii spre dreapta.

Fig. 3.3.5

Pentru calculul deplasărilor pe verticală notată u şi unghiurilor de rotire notată θ vom aplica relaţiile lui V. Marina:

EI

ABM

ABΩ

−θ=θ ,

EIS

)xx(uuBMAB

ABAAB −−⋅θ+= .

Din fig. 3.3.5 avem:

a32FaaFa2

21

aa221Fa4a2Fa2

a34a2

32Fa10a2Fa10

21

32

3

22

2

12

1

=ξ−=⋅⋅−=Ω

=⋅=ξ−=⋅−=Ω

=⋅=ξ−=⋅⋅−=Ω

unde iΩ sunt ariile diagramei momentelor încovoietoare pe intervale (din fig. 3.3.5), iξ sunt distanţele dintre centrele de greutate ale ariilor

iΩ şi axa verticală dusă prin secţiune unde se calculează deplasarea pe verticală.

Unghiul de rotire în secţiunea A este nulă deoarece ea aparţine şireazemului, 0A =θ .

Unghiul de rotire în secţiunea B: 5

( ) ==−−−=Ω+Ω

−=Ω

−θ=θEIFa14Fa4Fa10

EI1

EI0

EI

22221

ABM

AB

rad. 0,0099 )mm(105,6747)mm/N(101,2

)mm(10)N(10144425

264=

⋅⋅⋅

⋅⋅=

unde 21ABM Ω+Ω=Ω este aria diagramei momentelor încovoietoare

pe intervalul AB (fig. 3.3.5). Unghiul de rotire în secţiunea C:

==−−=

Ω−=

Ω−θ=θ

EIFa15

EIFa

EIFa14

EIEIFa14

EI

2223

2BCM

BC

rad. 0106,0)mm(105,6747)mm/N(101,2

)mm(10)N(10154425

264=

⋅⋅⋅

⋅⋅=

unde 3BCM Ω=Ω este aria diagramei momentelor încovoietoare pe

intervalul BC (fig. 3.3.5). Unghiul de rotire în secţiunea D

EIEIFa14

EI3

2BDM

BDΩ

−=Ω

−θ=θ .

Din comparaţia relaţiilor pentru unghiurile de rotire ale

secţiunilor C şi D rezultă rad0106,0EIFa15 2

CD ==θ=θ .

Diagrama de variaţie a unghiului de rotire al secţiunilor în lungul axei barei este reprezentată în fig. 3.3.2, d. f) Trasarea diagramei deplasărilor pe verticală

Deplasarea pe verticală în secţiunea A 0u A = (secţiunea este situată pe reazem). Deplasarea pe verticală în secţiunea B:

EIS

)xx(uuBMAB

ABAAB −−θ+= ,

6

unde diferenţa coordonatelor AB xx − prezintă distanţa dintre

punctele B şi A, egală cu 2a metri; BMABS este momentul static al ariei

diagramei momentelor încovoietoare pe intervalul AB faţă de axa verticală dusă prin secţiunea B (fig. 3.3.5).

=ξΩ+ξΩ

−=ξΩ

−⋅+=EIEI

a200u 2211ABM

B

==

⋅−⋅−

EI3Fa52aFa4a

34Fa10

EI1 3

22

mm. 23,12)mm(105,6747)mm/N(101,23

)mm(10)N(10524425

394=

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅=

Deplasarea pe verticală în secţiunea C:

EIS

)xx(uuCMBC

BCBBC −−θ+= ,

unde diferenţa coordonatelor BC xx − prezintă distanţa dintre

punctele B şi A, egală cu a metri; CMBCS este momentul static al ariei

diagramei momentelor încovoietoare pe intervalul BC faţă de axa verticală dusă prin secţiunea C (fig. 3.3.5).

. =ξΩ−θ+=

EIauu

BCM

BBC =ξΩ

−θ+EI

au 33BB

==

⋅−−⋅+

EI3Fa96

3a2Fa

EI1a

EIFa14

EI3Fa52 3

223

mm. 58,22)mm(105,6747)mm/N(101,23

)mm(10)N(10964425

394=

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅=

Deplasarea pe verticală în secţiunea D:

EIS

)xx(uuDMCD

CDCCD −−θ+= ,

unde diferenţa coordonatelor CD xx − prezintă distanţa dintre

punctele D şi C, egală cu a metri; DMCDS este momentul static al ariei

7

diagramei momentelor încovoietoare pe intervalul CD faţă de axa verticală dusă prin secţiunea D (fig. 3.3.5). Deoarece pe intervalul CD M = 0 D

MCDS = 0. Deci.

=θ+= auu CCD ==⋅+EI3Fa141a

EIFa15

EI3Fa96 323

mm. 17,33)mm(105,6747)mm/N(101,23

)mm(10)N(101414425

394=

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅=

Diagrama de variaţie a deplasării pe verticală a secţiunilor în lungul axei barei este reprezentată în fig. 3.3.5, e. Observaţii utile în construcţia diagramelor deplasărilor. 1) În secţiunea unde se anulează momentul încovoietor unghiul de rotire θ este maxim sau minim, θ⇒= 0M este maxθ sau minθ .2) Efortul 0M < , unghiul de rotire θ este crescător. 3) Efortul 0M > , unghiul de rotire θ este descrescător. 4) Când momentul încovoietor este crescător convexitatea curbei unghiurilor este îndreptată spre valorile θ+ ale diagramei unghiurilor de rotire iar când momentul este descrescător – spre valorile θ− .5) În secţiunea unde se anulează unghiul de rotire θ deplasarea pe verticală (săgeata) este maximă sau minimă, u0 ⇒=θ este maxu sau

minu . 6) Unghiul de rotire 0<θ , deplasarea pe verticală este descrescătoare. 7) Unghiul de rotire 0>θ , deplasarea pe verticală este crescătoare. 8) Când unghiul de rotire este crescător convexitatea curbei deplasărilor pe verticală este îndreptată spre valorile u− ale diagramei deplasărilor pe verticală iar când unghiul de rotire este descrescător – spre valorile u+ .

Problema 4 Pentru o grindă simplu rezemată, din oţel cu tensiunea

admisibilă aσ = 150 MPa, cu secţiunea transversală pătrată, încărcatăca în fig. 3.4.1,a se cere: a) să se traseze diagrama forţelor tăietoare T şi diagrama momentelor încovoietoare M; b) să se dimensioneze grinda, pentru F = 10 kN, a = 1 m; c) să se traseze diagrama

8

unghiurilor de rotire θ ; d) să se traseze diagrama deplasărilor pe verticală u (diagrama săgeţilor); e) formulaţi concluziile care rezultădin compararea celor două scheme de rezemare din probleme 3 şi 4. Modulul de elasticitate MPa 101,2E 5⋅= , tensiunea admisibilă

MPa 150a =σ . Datele necesare pentru rezolvare sunt date în tabelul 2.1.1. Rezolvare a) Calculul reacţiunilor Suma momentelor tuturor forţelor faţă de punctul A

∑ =⇔=⋅+⋅−⋅−⇔= F3R0a4Ra3F22a3F;0M DD)A(i .Suma momentelor tuturor forţelor faţă de punctul D ∑ =⇔=⋅−⋅+⋅⇔= F2R0a4RaF22a3F;0M AA)D(i .

Ecuaţia pentru verificare ( suma proiecţiilor tuturor forţelor pe verticala trebuie să fie egală cu zero)

0F3F2F3F2RF2F3R DA =+−−=+−− .b) Trasarea diagramelor eforturilor T, M

Alcătuim funcţiile de variaţie ale momentului încovoietor şi ale forţei tăietoare în cele trei regiuni.

Sectorul AB, a2x0 ≤≤

Fa4M(2a) a,2x0M(0) 0,x

2Fx xR)x(M

;F2R)x(T

A

A

====

=⋅=

==

Sectorul BC, a3xa2 ≤≤FF3F2F3R)x(T A −=−=−=

Fa3M(3a) a,3xFa4M(2a) ,a2x

)a2x(F32Fx )a2x(F3xR)x(M A ====

−−=−−⋅=

Sectorul CD, a4xa3 ≤≤F3F2F3F2F2F3R)x(T A −=−−=−−=

0M(4a) a,4xFa3M(3a) ,a3x

)a3x(F2)a2x(F32Fx

)a3x(F2)a2x(F3xR)x(M A

====

−−−−=

=−−−−⋅=

9

Diagramele de eforturi T şi M sunt reprezentate în fig. 3.4.1, b şic Bara este solicitată la încovoiere, secţiunea periculoasă fiind secţiunea (B), în care se dezvoltă moment maxim Fa4Mmax = .

Fig.3.4.1 c) Dimensionarea grinzii

Pentru dimensionare se scrie: 336

6

3

admadm

max1 cm 267m10267

1015010104Fa4M

W =⋅=⋅

⋅⋅=σ

=σ

= −

unde 1W este modulul de rezistenţă axial ( caracteristica geometrică asecţiunii transversale)

10

Pentru secţiunea pătrată6

bW3

1 = , unde b este latura pătratului.

Rezultă mc7,112676W6b 331 =⋅=⋅=

Momentul de inerţie axial al secţiunii transversale a grinzii va fi 4

44

11 cm 156012

7,1112bI ===

d) Trasarea diagramei unghiurilor de rotire θFie originea coordonatelor în punctul A. Orientăm axa X în

lungul axei grinzii spre dreapta. Unghiul de rotire în secţiunea A vom calcula din condiţia cădeplasarea pe verticală în punctul D este nulă. Aplicăm relaţia lui Marina pentru calculul deplasărilor:

0EI

Sa4uu

DMAD

AAD =−⋅θ+=

Luând în consideraţie că 0usi0u DA == obţinem:

0)(EI1a4 44332211A =ξ⋅Ω+ξ⋅Ω+ξ⋅Ω+ξ⋅Ω−⋅θ

)(aEI41

44332211A ξ⋅Ω+ξ⋅Ω+ξ⋅Ω+ξ⋅Ω=θ ,

unde iΩ este aria diagramei momentelor încovoietoare pe un interval,

iξ este distanţa dintre centrul de greutate al ariei iΩ şi axa verticalădusă prin punctul D unde se calculează deplasare(fig. 3.4.2). Din fig. 3.4.2 avem:

a32a

32Fa

23aFa3

21

a35aa

32Fa

21aFa

21

a23aa

21Fa3aFa3

a38a2a2

31Fa4a2Fa4

21

42

4

32

3

22

2

12

1

=⋅=ξ=⋅⋅=Ω

=+⋅=ξ=⋅⋅=Ω

=+⋅=ξ=⋅=Ω

=+⋅=ξ=⋅⋅=Ω

11

Fig. 3.4.2

Unghiul de rotire în secţiunea A va fi:

=

⋅+⋅+⋅+⋅=θ a

32Fa

23a

35Fa

21a

23Fa3a

38Fa4

aEI41 2222

A

==EI4Fa17 2

rad, 013,0)mm(101560)mm/N(101,24

)mm(10)N(10174425

264=

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

Unghiul de rotire în secţiunea B:

==−=Ω

−=Ω

−θ=θEI4

FaEIFa4

EI4Fa17

EIEI4Fa17

EI

2221

2ABM

AB

rad. 00076,0)mm(101560)mm/N(101,24

)mm(10)N(104425

264=

⋅⋅⋅⋅

⋅=

unde 1ABM Ω=Ω este aria diagramei momentelor încovoietoare pe

intervalul AB (fig. 3.4.2). Unghiul de rotire în secţiunea C

=

+−=

Ω+Ω−=Ω

−θ=θ 222

322BC

MBC Fa

21Fa3

EI1

EI4Fa

EIEI4Fa

EI

12

rad. 0099,0)mm(101560)mm/N(101,24

)mm(10)N(1013EI4Fa13

4425

2642−=

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅−=−=

unde 21BCM Ω+Ω=Ω este aria diagramei momentelor încovoietoare

pe intervalul BC (fig. 3.4.2). Unghiul de rotire în secţiunea D

=−=−−=Ω

−−=Ω

−θ=θEI4Fa19

EI2Fa3

EI4Fa13

EIEI4Fa13

EI

2224

2CDM

CD

rad. 0145,0)mm(101560)mm/N(101,24

)mm(10)N(10194425

264−=

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅−=

Luând în consideraţie că unghiul de rotire în secţiunea B are semnul plus iar în secţiunea C are semnul minus vom determina pe sectorul BC secţiune (fie coordonata acestei secţiuni x*) unde unghiul de rotire se anulează. Pentru acesta alcătuim expresia generală a rotirii pentru sectorul BC. Unghiul de rotire în secţiunea cu coordonata x* va vi (fig. 3.4.3):

Fig. 3.4.3

EIEI4Fa

EI32

2BxM

Bx

∗∗ Ω+Ω−=

Ω−θ=θ

∗

∗ . (3.4.1)

Egalăm expresia (3.4.1) cu zero

04

Fa0EIEI4

Fa32

232

2

x=Ω−Ω−⇒=

Ω+Ω−=θ ∗∗

∗∗

∗ (3.4.2)

Momentul în secţiunea cu coordonata x*:∗∗∗∗∗∗ −=+−=−−= FxFa6Fa6Fx3Fx2)a2x(F3xR)x(M A .

13

Înălţimea triunghiului cu aria ∗Ω3 :

Fa2Fx)FxFa6(Fa4)x(MFa4KLKNNL −=−−=−=−= ∗∗∗ .Calculăm ariile:

=−−=−=Ω ∗∗∗∗ )a2x)(FxFa6()a2x)(x(M *2

22 Fa12)x(FFax8 −−= ∗∗ .

=−−=−=Ω ∗∗∗∗ )a2x)(Fa2Fx(21)a2x(NL

21

3

)Fa4Fax4)x(F(21 22 +−= ∗∗

Substituim ∗∗ ΩΩ 32 si în expresia (3.4.2) pentru ∗θx

:

−−−−=Ω−Ω− ∗∗∗∗ )Fa12)x(FFax8(4

Fa4

Fa 222

32

2

0a41ax24)x(20)Fa4Fax4)x(F(21 2222 =+−⇔=+−− ∗∗∗∗

a063,2x =∗

Deci, în secţiunea cu coordonata x = 2,063a = 2,063 m. unghiul de rotire se anulează.

Diagrama de variaţie a unghiului de rotire al secţiunilor în lungul axei barei este reprezentată în fig. 3.4.1, d. e) Trasarea diagramei deplasărilor pe verticală

Pentru calcularea deplasărilor aplicăm relaţia lui Marina. Deplasarea pe verticală în secţiunea A = 0 (este situată pe reazem).

Fig. 3.4.4 14

Deplasarea pe verticală în secţiunea B:

EIS

)xx(uuBMAB

ABAAB −−θ+= ,

unde diferenţa coordonatelor AB xx − prezintă distanţa dintre

punctele B şi A, egală cu 2a metri; BMABS este momentul static al ariei

diagramei momentelor încovoietoare pe intervalul AB faţă de axa verticală dusă prin secţiunea B (fig. 3.4.4).

=ξ′Ω

−θ+=EI

a20u 1ABM

AB =ξ′Ω

−θ=EI

a2u 11AB

==⋅⋅−⋅EI6Fa35a

32Fa4

EI1a2

EI4Fa17 3

22

mm. 81,17)mm(101560)mm/N(101,26

)mm(10)N(10354425

394=

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅=

Deplasarea pe verticală în secţiunea C:

EIS

)xx(uuCMBC

BCBBC −−θ+= ,

unde diferenţa coordonatelor BC xx − prezintă distanţa dintre

punctele B şi C, egală cu a metri; CMBCS este momentul static al

ariei diagramei momentelor încovoietoare pe intervalul BC faţă de axa verticală dusă prin secţiunea C (fig. 3.4.4).

=ξΩ

−θ+=EI

auuBCM

BBC ( ) =ξΩ′+ξ′Ω−θ+ 3322BB EI1au

==

⋅+⋅−⋅+

EI4Fa17a

32Fa

21

2aFa3

EI1a

EI4Fa

EI6Fa35 3

2223

mm. 97,12)mm(101560)mm/N(101,24

)mm(10)N(10174425

394=

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅=

Calculăm valoarea extremă a deplasării pe verticală, care va fi în secţiunea unde unghiul de rotire se anulează (pentru x = 2,063a) (fig. 3.4.3).

15

=−−⋅θ+=∗

∗∗

EIS

)a2x(uuxMBx

BBmax

=−−⋅θ+=∗

∗

EIS

)a2a063,2(uxMBx

BB

=ξΩ+ξΩ

−⋅θ+∗∗

EIa063,0u

*33

*22

BB

+−⋅−−−

⋅+=∗

∗∗

2a2x)Fa12)x(FFax8((

EI1

EI4063,0Fa

EI6Fa35 22

23

=−⋅+−+ ∗∗∗ )a2x(32)Fa4Fax4)x(F(

21 22

−⋅+=EI4

063,0FaEI6Fa35 23

+−⋅−⋅−⋅−

2a2a063,2)Fa12a063,2Fa063,2Fa8((

EI1 22

=−⋅+⋅−⋅+ )a2a063,2(32)Fa4063,2Fa4a063,2F(

21 222

==−⋅+−+ ∗∗∗

EIFa84,5)a2x(

32)Fa4Fax4)x(F(

21 3

22

mm. 83,17)mm(101560)mm/N(101,2

)mm(10)N(1084,54425

394=

⋅⋅⋅

⋅⋅=

Diagrama de variaţie a deplasării pe verticală a secţiunilor în lungul axei barei este reprezentată în fig. 3.4.1, e. e) Concluziile. Tabelul 3.4.1

Problema 3 Problema 4 Mmax (kN) 120 40 umax (mm) 33,2 17,8 A (mm2) 285 137

Ai/A4 A3 /A4 =2,1 A4 /A4 =1

In tabelul 3.4.1 noi prezentam rezultatele generale ce permite săjudecăm despre faptul care din schemele de rezemare sunt raţionale pentru grinda dată si care nu. În acest tabel Mmax este momentul maxim care apare în bara; umax este deplasarea pe verticala maximă asecţiunilor grinzii; Ai este aria necesară a secţiunii transversale. Valorile din ultimul rând arată de câte ori grinda cu schema de rezemare dată este mai grea decât grinda cu schema de rezemare din problema 4. După cum se vede din tabel, mai raţională este schema de rezemare din problema 4, care implica micşorarea de trei ori a momentului maxim, de două ori a deplasării maxime pe verticală şi dedouă ori a greutăţii grinzii (A3 /A4 =2,1) faţă de grinda rezemată ca în problema 3.

Problema 9 Pentru o grindă încărcată conform fig. 3.9.1, a cu secţiune pătrată executată din oţel cu tensiunea admisibilă MPa150adm =σ , se cere: a) să se ridice nedeterminarea statică; b) să se traseze diagrama forţelor tăietoare T şi diagrama momentelor încovoietoare M, dacă

FaM = ; c) să se dimensioneze bara, pentru F = 10 kN, a = 1 m; d) săse traseze diagrama unghiurilor de rotire θ ; e) să se traseze diagrama deplasărilor pe verticală u (diagrama săgeţilor); f) formulaţiconcluziile care rezultă din compararea celor trei scheme de rezemare din probleme 3, 4 şi 9. Modulul de elasticitate MPa 101,2E 5⋅= .Datele necesare pentru rezolvare sunt date în tabelul 2.1.1.

Rezolvare În fig.3.9.1, b, c şi d s-au trasat: diagrama )1(M - pentru cazul când asupra barei acţionează reacţiunea RD; diagrama )2(M - pentru cazul când asupra barei acţionează forţa concentrată 2F; diagrama

)3(M - pentru cazul când asupra barei acţionează forţa concentrată 3F; diagrama forţelor transversale T; diagrama momentelor încovoietoare M.

17

Fig. 3.9.1 18

a) Ridicarea nedeterminării statice Problema este o singură dată static nedeterminată. Alcătuim

ecuaţia de deplasare. Din condiţia că săgeata în reazemul D este nulăfolosind relaţia lui Marina obţinem ecuaţia:

EIS

a4uuDMAD

AAD −⋅θ+= .

Deoarece ⇔==θ= 0Savem 0usi0=,0u DMADDAA

0S 332211DMAD =ξ⋅Ω+ξ⋅Ω+ξ⋅Ω=

0a3

10Fa6a3Fa9a38aR8S 222

DDMAD =⋅−⋅−⋅= .

F64

141R D = .

b) Trasarea diagramelor forţelor tăietoare şi ale momentelor încovoietoare

Alcătuim funcţiile de variaţie ale eforturilor T, M în cele trei regiuni.

Sectorul CD: ax0 ≤≤ ;

F64

141RT D −=−= ;

xF64

141)x(M ⋅=Fa

64141=M(a) ;ax

0)0(M;0x

=

==

Sectorul BC: a2xa ≤≤ ;

F6413F2F

64141F2R)x(T D −=+−=+−= ;

)ax(F2xF64

141)ax(F2xR)x(M D −⋅−⋅=−⋅−⋅=

;Fa64

141=M(a) ;ax =

19

Fa3277 =M(2a) ;a2x =

Sectorul AB, a4xa2 ≤≤

F64

179F3F2F64

141F3F2R)x(T D =++−=++−= ;

).a2x(F3)ax(F2xF64

141

)a2x(F3)ax(F2xR)x(M D

−⋅−−⋅−⋅=

=−⋅−−⋅−⋅=

.Fa1651 =M(4a) ;a4x

;Fa3277=M(2a) ;a2x

−=

=

Luând în consideraţie că momentul încovoietor în secţiunea B are semnul plus iar în secţiunea A are semnul minus vom determina pe sectorul AB secţiune (fie coordonata acestei secţiuni x′ ) unde momentul se anulează. Pentru acesta alcătuim expresia generală amomentului pentru sectorul AB şi egalăm cu zero. Momentul în secţiunea cu coordonata x′ va vi:

=−′⋅−−′⋅−′⋅=′ )a2x(F3)ax(F2xR)x(M D

a179512x0)a2x(F3)ax(F2xF

64141 =′⇔=−′⋅−−′⋅−′⋅=

Distanţa dintre secţiune unde momentul se anulează şi capătul

grinzii din stânga este: a179204a

179512a4xa4 =−=′−

Diagrame de eforturi sunt reprezentate în fig. 3.9.1, e şi f. c) Dimensionarea barei

Momentul încovoietor are cea mai mare valoare în secţiunea din

încastrare unde .Fa1651Mmax =

Modulul de rezistenţă necesar, din condiţia de rezistenţă la încovoiere, (ţinând seama de momentul maxim şi tensiunea admisibilă): este:

20

333

2

33

admadm

maxnec

cm 5,212mm105,212

)(N/mm 150)mmN(16/1010105116Fa51M

W

=⋅=

=⋅⋅⋅⋅=σ

=σ

=

Latura b ce defineşte dimensiunile secţiunii transversale pătrate

va fi: 6

bW3

x = , mc84,105,2126W6b 33x =⋅=⋅=

Momentul de inerţie axial al secţiunii transversale a grinzii va fi 4

44

11 cm 11521284,10

12bI ===

d) Trasarea diagramei unghiurilor de rotire θAplicăm relaţia lui Marina.

Unghiul de rotire în secţiunea D:

( ) =Ω+Ω+Ω+θ=θ⇔Ω

−θ=θ 321AD

ADM

DA EI1

EI

=

⋅−⋅⋅−⋅⋅+= a2Fa6

21a3Fa6

21a4aR4

21

EI10 D

==

−−⋅

EI8Fa2169

641418

EIFa 22

rad. 011,0)mm(101152)mm/N(101,28

)mm(10)N(10214425

264=

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅=

Unghiul de rotire în secţiunea C se exprimă prin unghiul de rotire în secţiunea D:

EI

CDM

DCΩ

−θ=θ

unde CDMΩ este aria diagramei momentelor încovoietoare pe inter-

valul CD (fig. 3.9.1, b). 21

=

⋅⋅−=θ aaR

21

EI1

EI8Fa21

D

2

C

==

⋅−

EI128Fa195

64141

21

821

EIFa 22

rad. 0063,0)mm(101152)mm/N(101,2128

)mm(10)N(101954425

264=

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅=

Analog vom determina unghiul de rotire în secţiunea B.

EI

BDM

DBΩ

−θ=θ ,

unde BDMΩ este aria diagramei momentelor încovoietoare pe intervalul

BD (fig. 3.9.1)

=

⋅−⋅⋅−=θ aFa2

21a2aR2

21

EI1

EI8Fa21

D

2

B

=−=

−−

EI32Fa251

32141

821

EIFa 22

rad. 0032,0)mm(101152)mm/N(101,232

)mm(10)N(10254425

264−=

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅−=

În secţiune cu coordonata a179512x =′ unde momentul de

încovoiere se anulează unghiul de rotire θ′ are valoare extremă (se calculează aria diagramei din stânga):

EIEI0

EIEI

xAM

xAM

xAM

A

xAM

A

′′′′ Ω=

Ω+=

Ω+θ=θ′⇔

Ω−θ′=θ

unde xAM

′Ω este aria diagramei momentelor pe intervalul xA ′ (se calculează aria diagramei din stânga, fig. 3.9.2)

22

Fig. 3.9.2

=−=

⋅⋅−=θ′

EI1432Fa2601a

179204Fa

1651

21

EI1 2

rad. 0075,0)mm(101152)mm/N(101,21432

)mm(10)N(1026014425

264−=

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅−

Luând în consideraţie că unghiul de rotire în secţiunea B are semnul plus iar în secţiunea C are semnul minus vom determina pe sectorul BC secţiune (fie coordonata acestei secţiuni x*) unde unghiul de rotire se anulează. Pentru acesta alcătuim expresia generală a rotirii pentru sectorul BC şi egalăm cu zero. Unghiul de rotire în secţiunea cu coordonata x* va vi (fig. 3.9.3):

( )=Ω+Ω−θ=Ω

−θ=θ *Dx2

*Dx1D

*DxM

D*x EI1

EI

Fig. 3.9.3

23

0)a*x()a*x(F221*x*xR

21

EI1

EI8Fa21

D

2=

−⋅−−⋅−= .

0)a*x(F*)x(R21

8Fa21 22

D

2=−+−

0)a*x(F*)x(F128141Fa

821 222 =−+−

a67,1*x0a464*ax256)x(13 22 =⇒=−+ .

Deci, unghiul de rotire în secţiunea cu coordonata x* = 1,67a este zero (fig. 3.9.1, g). Diagrama de variaţie a unghiului de rotire al secţiunilor în lungul axei barei este reprezentată în fig. 3.9.1, g.

f) Trasarea diagramei deplasărilor Fie originea coordonatelor în punctul D. Orientăm axa X în

lungul axei grinzii spre stânga. Aplicăm relaţia lui Marina. Deplasarea verticală a punctului D = 0 (este situat pe reazem). Deplasarea verticală a punctului C

EIS

)xx(uuCMCD

DCDDC −−θ+= ,

unde diferenţa coordonatelor DC xx − prezintă distanţa dintre

punctele D şi C, egală cu a metri; CMCDS este momentul static al ariei

diagramei momentelor încovoietoare pe intervalul CD.

=ξΩ

−θ+=EI

a0uCDM

DC =⋅⋅−⋅ a31aR

21

EI1a

EI8Fa21 2

D

2

==⋅⋅⋅−=EI128

Fa289Fa64

14161

EI1

EI8Fa21 3

33

mm. 33,9)mm(101152)mm/N(101,2128

)mm(10)N(102894425

394=

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅=

24

Deplasarea verticală a punctului B

EIS

)xx(uuBMBD

DBDDB −−θ+= ,

unde diferenţa coordonatelor DB xx − prezintă distanţa dintre

punctele B şi D, egală cu 2a metri; BMBDS este momentul static al ariei

diagramei momentelor încovoietoare pe intervalul BD.

Fig. 3.9.4 145

=ξ′Ω+ξ′Ω

−θ+=EI

a20u 2BD21

BD1

DB =⋅⋅−⋅ a31aR

21

EI1a

EI8Fa21 2

D

2

==⋅⋅⋅−=EI128

Fa289Fa64

14161

EI1

EI8Fa21 3

33

mm. 33,9)mm(101152)mm/N(101,2128

)mm(10)N(102894425

394=

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅=

Calculăm valoarea extremă a deplasării verticale, care va fi în secţiunea unde unghiul de rotire se anulează (pentru x* = 1,67a).

( )=

−⋅−−⋅⋅⋅−

−⋅=ξΩ+ξΩ−

−⋅+=−⋅θ+=

)aa67,1(31)aa67,1(F2

21a67,1

31)a67,1(R

21

EI1

a67,1EI8Fa21

EI1

a67,1EI8Fa210

EIS

a67,1uu

22D

2*x

2*Dx

2*x

1*Dx

1

2*x*MDx

DD*x

25

==

⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅=

EIFa77,2

3167,067,1

3167,1

12814167,1

821

EIFa 3

323

mm. 45,11)mm(101152)mm/N(101,2

)mm(10)N(1077,24425

394=

⋅⋅⋅

⋅⋅=

Diagrama de variaţie în lungul axei barei a deplasării pe verticală a secţiunilor este reprezentată în fig. 3.9.1, h. f) Concluziile. Tabelul 3.9.1

Problema 3 Problema 4 Problema 9 Mmax (kN) 120 40 32 umax (mm) 33,2 17,8 11,4 Ai (mm2) A3=285 A4=137 A9=117

Ai /A9 A3 /A9=2,4 A4 /A9=1,2 A9 /A9 =1

In tabelul 3.9.1 noi prezentam rezultatele generale ce permite săjudecăm despre faptul care din schemele de rezemare sunt raţionale pentru grinda dată si care nu. În acest tabel Mmax este momentul maxim care apare în bara; umax este deplasarea pe verticala maximă asecţiunilor grinzii; Ai este aria necesară a secţiunii transversale. Valorile din ultimul rând arată de câte ori grinda cu schema de rezemare dată este mai grea decât grinda cu schema de rezemare din problema 9. După cum se vede din tabel, mai raţională este schema de rezemare din problema 9, care implica micşorarea de patru ori a momentului maxim, de trei ori a deplasării maxime pe verticală şi de 2,4 ori a greutăţii grinzii (A3 /A9 =2,4) faţă de grinda rezemată ca în problema 3.

26